Obsah 1 Císla 6 1.1 Reálná čísla................................ 6 1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselne soustavě............ 8 1.2.1 Zápis racionálního čísla...................... 8 1.2.2 Iracionální čísla.......................... 8 1.2.3 Aproximače čísel.......................... 9 1.2.4 Vlastnosti reálnýčh čísel..................... 10 1.2.5 Vlastnosti usporadání reálnýčh čísel............... 11 1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty reálneho čísla............ 12 1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum mnoziný reálnáčh čísel . . 14 1.3.1 Sýmbolý oo, —oo......................... 16 1.3.2 Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu.......... 17 1.4 Komplexní čísla.............................. 18 1.5 Pripomenutí duleZitýčh vzorču pro počítání s číslý........... 22 2 Základní pojmy lineární algebry 23 2.1 Uvod do matičoveho počtu........................ 23 2.2 Relače mezi matičemi ........................... 26 2.3 Zíakladní operače s matičemi ....................... 27 2.4 Spečiální matiče a pravidla pro počítání s matičemi.......... 35 2.5 Sýstemý lineírníčh algebraičkíčh rovnič, uvod............. 38 2.6 Zavedení pojmu inverzní matiče ..................... 42 2.7 Ukázka formulače ulohý lineárního programování............ 44 1 3 Lineární prostor 47 3.1 Aritmetický vektorový prostor...................... 47 3.2 Lineární nezávislost vektorů....................... 48 3.3 Elementární transformace ........................ 51 3.4 Transformace matice na matici schodoviteho tvarú........... 53 4 Metody reSení systému lineárních algebraických rovnic 61 4.1 Řešení nekterých typů systemů linearních rovnic............ 61 4.2 Ekvivalentní systemy rovnic........................ 67 4.2.1 Prevod systemů linearních rovnic na ekvivalentní system rovnic. 67 4.3 Gaússova eleminacní metoda....................... 75 4.4 Jordanova eliminacní metoda....................... 77 4.5 Jordanova metoda na resení maticove rovnice A X = B........ 78 5 Determinanty 83 5.1 Zavedení pojmů determinantu matice.................. 83 5.2 Vípocet determinantů rozvojem podle libovolneho rídků, resp. sloůpce 88 5.3 Hodnota determinantů matice B vznikle z matice A.......... 93 5.4 Vípocet hodnoty determinantů z horní schodovite matice....... 96 5.5 Poůzití determinantů........................... 100 5.6 Cramerovo pravidlo............................ 100 5.7 Prímy vypocet inverzní matice pomocí determinantů......... 103 6 Vztah mezi volnými a aritmetickámi vektory 106 6.1 Zavedení volních vektorů......................... 106 6.2 Skalarní soůcin, norma a vzdalenost ve vektorovem prostorů..... 110 6.3 Zavedení Eůklidova prostorů En..................... 114 7 Pojem funkce, základní pojmy 119 7.1 Množina, konstanta, promenna ..................... 119 7.2 Zobrazeníí.................................. 121 7.3 Pojem fůnkce a nekteré její vlastnosti.................. 125 7.4 Řealna fůnkce realne promenne..................... 130 2 7.4.1 Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá.........135 7.4.2 Funkce složená a funkce inverzní.................138 8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné 142 8.1 Limita funkce jedne promenne v danem bode..............143 8.2 Spojitost funkce jedne promenne v danem bode............151 8.2.1 Limita a spojitost funkce vytvorene pomocí dvou funkcí.... 153 8.2.2 Limita a spojitost složene funkce v danem bode........159 8.2.3 Spojitost inverzní funce......................160 8.3 Shrnutí, ulohy...............................160 9 Elementární funkce. 163 9.1 Polynom a racionalní lomená funkce................... 163 9.1.1 Kontrolní ulohy - polynom a racionalní funkce......... 174 9.1.2 Zavedení odmocnin........................ 175 9.2 Funkce ?fX ................................ 176 9.3 Mocniny s racionalním exponentem................... 178 9.4 Mocniny s realním exponentem..................... 181 9.5 Exponencialní funkce a logaritmus.................... 183 9.6 Trigonometricke funkce.......................... 187 9.7 Uhel v obloukove míre........................... 187 10 Derivace reaine funkce reaine promenne 198 10.1 Zavedení pojmu derivace funkce ..................... 198 10.2 Derivace elementarních funkcí......................212 10.3 Shrnutí, uílohy ............................... 231 11 Použití derivací 232 11.1 Funkce spojitíe na intervalu ........................ 232 11.2 Vety o funkcích spojitích na intervalu (a,b) ..............235 11.3 Funkce monotoínní na intervalu a lokíalní extríemy ........... 238 11.4 Absolutní extrémy ............................243 11.5 Konvexita a konkíavnost funkce ..................... 244 3 11.6 Hledání kořenů rovnice /(x) = 0 „metodou půlení intervalu"...... 253 11.7 Výpočet nekterých typů limit...................... 255 11.8 Průbeh funkce............................... 260 11.9 Diferenciýl a Taylorova veta....................... 265 11.10Shrnutí a ýlohy.............................. 270 12 Funkce více proměnných 274 12.1 Parciíalní derivace ............................. 280 12.1.1 Totíalní diferenciíal ......................... 291 12.2 Extremy funkcí více promenných .................... 293 4 Masarykova univerzita Ekonomicko-sprívní fakulta Matematika studijní text Miloslav Mikulík, LuboS Bauer, Markéta Matulova Brno 2010 Kapitola 1 Čísla Každý čtenář tohoto textu pracuje s čísly. Prace s čísly je mu samozřejmostí, avšak málokdo si uvedomuje, jak je pojem čísla obtížný. Presne zavedení pojmu čísla se vymyká nasim možnostem. Tuto kapitolu je proto možne čhípat jen jako připomenutí vlastností čísel a jako pokus o vytvoření nahledu na jeden zpusob zavedení pojmu čísla. V teto kapitole uvedeme tez nekolik připomínek k numeričkym vypočtum a zopakujeme si nektere ukony s realnymi čísly. Zopakujeme si tez zavedení komplexníčh čísel. Součastí vykladu je nekolik príkladu. Pokud nekdo bude mít potíze s jejičh řesením, doporučuji sbírky príkladu ze stredoskolske matematiky. 1.1 Realna císla Historičky začali lide pouzívat napred přirozená čísla. Vyjadřuje se jimi počet prvku konečne mnoziny i pořadí odpočítavanyčh objektu. V matematičke literatuře není pojem mnozina prirozenyčh čísel čhapan jednotne. Nekteří autoři zařazují do mnoziny prirozenyčh čísel i nulu. V dalsím budeme pod mnozinou přirozenyčh čísel rozumet jen mnozinu čísel 1, 2, 3,...; budeme ji značit N. Na mnozine N je zavedena relače „<" (mensí nebo rovno) a jsou zavedeny operače sečítaní, označena „ + ", a nasobení, označena „•". Jestlize a, b e N a existuje takove číslo c e N, pro nez platí a = b + c, označíme c = a — b. Je tedy mezi nekterymi prvky z N definovana operače „ —", nazveme ji odečítíním. Pozadavek proveditelnosti teto operače pro vsečhna a, b G N vede k zavedení 0 a čelyčh zapornyčh čísel —1, —2, —3,.... Mnozina N sjednočena s mnozinou {0} a mnozinou čelyčh zípornyčh čísel se značí Z a nazyví mnozinou celých čísel. Operače ,, + , — "a uspořadaní,,<" definovane na mnozine prirozenyčh čísel se rozsirují na čelou mnozinu Z. Na mnozine Z je pak definovana operače „ —". (Zavedení čelyčh čísel umoznuje pračovat nejenom s hotovostí, ale i s dluhy.) Nečht p, q e Z, q = 0. Jestlize existuje x e Z tak, ze p = q • x, píseme x = p, resp. 6 x = p : q. Operaci „:" nazýváme dělením. Aby dělení čísla p číslem q, q = 0, bylo vzdy proveditelne, rozSiruje se mnoZina Z na mnoZinu Q, zvanou mnoZina racionálních čísel. Operace „ + , —, •" a usporadíní, definovane na mnozine Z, rozSirujeme na celou mnozinu Q. Na mnozine Q je pak definovano i delení císla p císlem q pro vsechna p, q E Q, q = 0. Mnozinu Q nazývíme množinou racionálních čísel a operace ,, + , —, •,:" nazývíme racionálními operacemi. Racionílním císlem je tedy kazde císlo tvaru |, kde p, q E Z, q = 0. Jestlize p, S E Q, potom p = r, jestlize ps = rq. Napr. | = §. Kazde cele císlo a E Z lze zapsat ve tvaru a. (Zavedení racionalních císel umoznuje pocítat i s cístmi celku.) Zaveďme si nyní císelnou osu. Číselná osa. Uvazujme přímku s danym bodem 0, nazveme jej pocatkem. Jisty smysl prímky zvolíme jako kladny. Zvolme dale ísecku, její delku oznacíme jako jednotku. V textu budeme tuto prímku kreslit ve vodorovne poloze a za její kladny smysl volíme smer zleva doprava. Ke kazdemu racionalnímu císlu priradíme na teto prímce bod takto: ke kazdemu přirozenemu císlu n priradíme bod, oznacme jej n, a to tak, ze zvolenou jednotku naneseme od pocatku n-krat v kladnem smyslu, to jest doprava. Ke kazdemu celemu zapornemu císlu m přiřadíme bod, oznacme jej m, a to tak, ze zvolenou jednotku naneseme od pocatku (—m)-krat v zapornem smyslu, to jest doleva. Císlu 0 přiřadíme pocatek. Necht: p je racionalní císlo, ktere není celym císlem. Bez ujmy na obecnosti lze predpoklídat, ze p E Z, q E N, q = 0. Usecku, jejíz delku jsme zvolili za jednotku, rozdelme na q stejnych dílku. Je-li p > 0, naneseme p techto dílku doprava, je-li p < 0, naneseme (—p) techto d ílku doleva. Obdrzeny bod oznacíme p. Jsou-li p, S takova racionaln í císla, ze ps = rq, potom je jim přiřazen tentyz bod. C ísla p, S jsou za pisy te hoz racion a ln ího císla, např. zapisy §, 4 predstavuj í totez racionaln í císlo. Oznacme Q mnozinu vsech bodu přiřazenych naznacenym zpusobem k racion a ln ím císlum. Uvedenou přímku nazveme c íselnou osou. Nen í podstatny rozd íl mezi bodem z mnoziny Q a racion a ln ím císlem, k nemuz byl bod přiřazen. Budeme tedy pouz ívat pojem bod p a racionaln í c íslo p ve stejn e m vyznamu. Na obr. 1.1 jsou vyznacena císla — 2, — 1, 0,1, 2, 3, 4 a císlo \. 1 1 1 1 1 iii 1 1 ľ ii iii —2 —1 0 1 u 2 3 2 4 Obrízek 1.1: C íseln a osa Jestlize k císlu p je prirazen bod na císelne ose nalevo od bodu přiřazenemu k císlu q, je p < q, resp. q > p. Budeme pak ríkat, ze císlo p je mensí nez císlo q, resp. ze císlo q je vetsí nez císlo p. Rekneme, ze p < q, je-li p < q nebo p = q. 7 1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselné soustavě K zápisu C ísel v desítkové soustavě pou z íváme deset symbolů (cifer) 0,1, 2, 3,4,5,6, 7, 8,9 a prípadn e desetinnou Cárku (v zahrani Cním textu a pri práci na poC íta Ci Často desetinnou tečku). Tak napr . 3,15 (1.1) je zkraceny zapis C ísla 3 + 1 • 10-1 + 5 • 10"2-. Tomuto C íslu odpovída na C íselne ose bod leZ ící mezi bodem „3" a „4". Vzdalenost mezi „3" a „4" rozd e líme na 10 dílku - jeden dílek ma delku a od Císla „3" naneseme jeden tento dílek napravo - dostaneme bod na Císelne ose odpovídající C íslu 3,1. Dílek delky rozd e líme op et na 10 dílku - jeden dílek má pak delku . „5" techto dílku naneseme od bodu „3,1" napravo. Dostaneme tak bod, ktery odpovídí bodu „3,15." 1.2.1 Zápis racionýlního čísla. Kazde nenulove racionalní Císlo lze zapsat ve tvaru +1 nebo —p, kde p, q E N, q = 0. Delením Císla p Císlem q podle znameho algoritmu dostaneme kde sgn je znamenko „ + ", nebo „-", n je prirozene Císlo nebo nula, „," je tzv. desetiní Carka a a1,a2,... jsou cifry „0,1,2, 3,4,5, 6, 7,8, 9". Napr. a) | = 0, 75 b) 1 = 0, 333... Lehce nahledneme, ze zípis kazdeho racionální-sho Císla se vyznaCuje tím, ze bud'to • za desetinou Carkou je koneCny poCet nenulových cifer nebo • existuje takova uspor^dana skupina Císel, ze za kazdou takovou skupinou Císel bezprostredne nasleduje opet tato skupina Císel. Takovato Císla se nazyvají period-icka. Zapis je mozne provest tak, ze nad prvním vyskytem opakující se skupiny se da pruh a dalsí navazující skupiny se nepísí. Tedy nahore uvedene Císlo 1 = 0, 333... lze zapsat jako 0, 3. Ke kazdemu racionalnímu Císlu odpovída na Císelne ose bod (Tak jak jsme to videli s Císlem „3,15". 1.2.2 Iracionýlní čísla Lze ukazat, z e delku uhlopríCky Ctverce o stran e „1" nelze vyjíd rit jako racionílní C íslo. To znamena, z e neexistuje takove racionalní C íslo „u", jehoz druha mocnina je je rovna „2" (viz.1.1). Tento nedostatek odstraníme zavedením tzv. irácionýlních čísel. Ira-cionalním Císlem budeme rozum etop et symbol (1.2),avsak takovy, z e za desetinou Církou je nekoneCne mnoho nenulovych cifer a neexistuje v tomto zapisu takova usporadana 8 skupina čísel, že za každou takovou skupinou čísel bezprostředn ě nasleduje opět tatá ž skupina čísel.To znamena, že zapis (1.2) nepredstavuje číslo racionainí. Jestli že x = sgn n, aia2 ... an ..., (1.2) je iracionalní číslo,potom pro ka ž de n lež í číslo x meži racionalními čísly xi = sgn n, a\a2 ... an, x2 = sgn n, aia2 ... an,... an+k + 1S, (1-3) kde k je nejmen s ítakove přirožene číslo, ž e an+k 4 {0,9}. Men s í ž čísel (1.3), ožna čme je xd nažveme dolní aproximačí iračionalního čísla x a vetsí ž tečhto čísel, ožna čme je xh, nažveme horní aproximačí čísla x. Lež í tedy číslo x meži dve ma račionílními čísly, jejičh ž vždalenost je \xh — xd\. S rostoučím n se čísla xd,xh „přibliž ují" k bodu, ktery odpovída iračionalnímu číslu. V dal sím nebudeme d e lat roždíl meži bodem na číselne ose a reíalníym bodem. 1.2.3 Aproximace čísel. Uved'me si n e kolik požnímek k aproximači čísla x číslem x. Roždíl x — x nažyvíme absolutní chybou aproximace x. V reílnyčh situačíčh tuto čhybu nežname, ale často ji mužeme odhadnout. Odhadem absolutní čhyby rožumíme číslo 5 > 0, pro n ež platí \x — x\ < 5. Jestli ž e x je iračionílní č íslo v desítkove soustave a v jeho žapise ponečhame jen prvníčh n čifer ža desetinnou čarkou, dostaneme račionalní číslo x, pro než platí \x — x\ < 10-n. Predpokladejme, ž e pr i m erení vždílenosti dvou míst A, B, kde A je místo v Praže a B je místo v Brn e , se dopustíme čhyby nejvýse 1m. Podobn e predpoklídejme, ž e pri merení delky obdelníkove místnosti se dopustíme rovnež čhyby nejvýse 1 m. Je žřejme, že stejny odhad čhyby merení nelže použít ke srovníní presnosti metody merení. K posoužení „kvality" aproximače se pro x = 0 používa často tžv. relativní chyba, definovana vžtahem _ x Číslo 5 > 0, pro než platí I x — x I < 5, x nažyvame odhadem relativní chyby. Pri numerických výpočtech jsme v jistem okamžiku nuceni čísla iracionální, s nimiž se pracuje, aproximovat čísly racionálními. Provádíme-li vápočty na kalkulačce, nebo na počítači, nemame k dispozici ani množinu vsech racionálních čísel. Pracuje se jen s čísly dane reprezentace v danem rozsahu. Vysledek racionalní operace (+, —, :) s těmito císly se aproximuje podle zabudovaného kriteria opčt číslem dane reprezentace. Tím, že nepračujeme s přesnymi čísly, alae jenom s jejičh apoximačemi, muže vest k velkym 9 chybám. Je tomu tak především pri dělení velice malými čísly. Iracionálním nslům často přiřazujeme symboly, např. n a teprve k zaveru, jeli to ůčelne, provadíme aproximaci racionalními císly. 1.2.4 Vlastnosti reálnách čísel Množinu všech racionálních čísel, sjednocenou s množinou čísel ira-cionálních,nazýváme množinou reálnych čísel a budeme ji značit R. Aritmetické operace „+ - sečítaní, - -odečítaní, . -násobení a ; delení pro racionální čísla rozčičujeme i na čísla realna. Rovnčz lze rozččit relaci < na množinu vsech realnych čísel." (Zavedení je močno provest využitím dolní a horní aproximace aproximace iracionílních čísel.) Uved'me vsak napřed zakladní vlastnosti takto zavedenych realnych císel. Dále uvedene vlastnosti je mozno pouzít k axiomatickemu zavedení realnych císel takto. Mnozinu R, na n íz jsou zavedeny operace „ + , • " a uspora dan í < s nasleduj íc ími vlastnostmi, nazyví me mnozinou realnych císel. Zakladní vlastnosti realnách čísel (R1) (x + y) + z = x + (y + z) pro včechna x,y,z e R. (R2) x + y = y + x pro kačde x, y e R. (R3) Existuje prvek 0 e R tak, če pro kačde x e R platí x + 0 = x. (R4) Ke kačdemu x e R existuje prvek —x e R tak, če x + (—x) = 0. (R5) (x • y) • z = x • (y • z) pro včechna x, y, z e R. (R6) x • y = y • x pro kačde x, y e R. (R7) Existuje prvek 1 e R tak, če pro kačde x e R platí x • 1 = x. (R8) Ke kačdemu x e R, x = 0 existuje prvek x~l e R tak, če x • x~l = 1. (R9) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) pro včechna x, y, z e R. (R10) Usporadaní< je lineírní. (R11) Je-li x, y, z e R, x < y, pak x + z < y + z. (R12) Je-li x, y, z e R, x < y, z > 0, pak x • z < y • z. (R13) Jsou-li X c R, Y c R neprazdne mnočiny a platí-li x < y pro kačde x e X a kačde y e Y, pak existuje a e R tak, če x < a < y pro kačde x e X a kačde y e y ._ 10 1.2.5 Vlastnosti uspořádání reálných čísel. Ze „základních vlastností reálných čísel" dostáváme tuto vetu. Veta 1.1. (Nerovnice) Pro libovolná čísla platí (1.4) Je-li x < y, z < u, potom x + z < y + u. Slovy: Leví i prave strany souhlasných nerovnic můžeme sečíst. (1.5) Je-li x < y, z > 0, pak x • z < y • z. Slovy: Nasobíme-li obe strany nerovnice týmž kladným Číslem, smysl nerovnice se nezmění. (1.6) Je-li 0 < x < y, 0 < z < u, platí0 < x • z < y • u. (1.7) Je-li x < y, z < 0, potom x • z > y • z. Slovy: Nísobíme-li obe strany nerovnice týmž záporným ďslem, zmení se smysl nerovnice. (1.8) Je-li 0 yz. □ Příklad 1.1. V R reste nerovnici 2x +1 < 5x — 2. (1.9) Řešení. Na obe strany (1.9) připočítejme — 2x + 2. Uzitím (R11) dostívame 3 < 3x. (1.10) Nísobením (1.10) číslem 1 dostívíme x > 1. Tedy nerovnici (1.9) vyhovují vsechna čísla x> 1. 11 1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty realneho čísla. Zopakujme si zavedení pojmu absolutní hodnota reílneho čísla. Definice 1.1. (Absolutní hodnota reálného čísla) Nečht x E R. Polozme .. í x, je-li x > 0, \ —x, je-li x < 0. Císlo \x\ nazveme absolutní hodnotou čísla x. Príklad 1.2. a) \ — 4\ = 4. Polozíme-li x = —4, je x < 0, takze podle definiče je \ — 4\ = \x\ = —(—x) = —(—4) = 4. b) \x — 2\, kde x je reílne se určí takto: Je-li x — 2 > 0, to jest, jestlize x > 2, je \x — 2\ = x — 2. V prípade, ze x — 2 < 0, to jest, jestlize x < 2, je \x — 2\ = —(x — 2) = 2 — x. Tedy r x — 2 pro x >2, \ \ 2 — x pro x < 2. Pro absolutní hodnotu reílnyčh čísel platí vztahy uvedene v nasleduj íčí vete. Jejičh dukazy přrenečhíavíame řčteníařri. (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) (1.17) Poznámka 1. Pro vsečhna x, y E R polozme p(x,y) = \x — y\ je p(x,y). Číslo g je vzdalenost bodu x,y. Poznamka 2. Jsou-li a,e, kde e > 0, pevna čísla, potom \x — a\ v (1.17) znamena, ze x je od bodu a vzdíleno o mene nez e. Ponevadz body a — e, a + e jsou od bodu a vzdaleny prave o e, lezí x mezi body a — e, a + e, tedy platí a — e < x < a + e (viz obr. 1.2). 12 Véta 1.2. (Pravidla pro absolutní hodnoty) Necht: x, y, a, e E R, e > 0. Potom platí \ x\ > 0 x < \ x\ , — x < \ x\ \x\ — \y\ <\x + y\ < \x\ + \y\ \x ^ y\ = \x\ ^ \y\ \x — a\ < e a — e < x < a + e a x a + e Obrázek 1.2: K poznámce 2. Příklad 1.3. V R reste nerovnici 2x - 1 < \x - 2| < 3x + 2. (1.18) Řešení. Řešení rozdělme do dvou Častí a) Nechť x - 2 > 0. Potom \x - 2\ = x - 2. Dale je x > 2. (1.19) Ze vztahu 2x - 1 < x - 2 dostávame x< -1. (1.20) Ze vztahu x - 2 < 3x + 2 dostávame 2x > -4, tedy x> -2. (1.21) Vztahy (1.19), (1.20), (1.21) vyznačíme na Číselne ose. 1 1 1 1 1 - -3 -2 -10 1 2 3 Vidíme, ze pro x > 2 nema rovnice resení. j3) Necht: x - 2 < 0. Potom \x - 2\ = -x + 2. Podle předpokladu je x< 2. (1.22) Ze vztahu (1.18) pro tato x dostávame 2x - 1 < -x + 2. Odtud dostavame 3x < 3, 13 tj- x< 1. (1.23) Ze vztahu -(x - 2) < 3x + 2 dostavame 4x > 0, tjx> 0. (1.24) Ze vztahU (1-22), (1-23), (1-24) dostavame 0 < x < 1. Dane úloze tedy vyhovují vSechna čísla, pro nez platí 0 < x < 1. 1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum množiny reálných čísel Zaved'me si nekolik pojmu spojených s mnozinami realnych císel. Ohraničené množiny. Necht: M c R. Řekneme, ze mnozina M je shora ohraničená, jestlize existuje takove císlo h, ze x e M = x < h. Císlo h nazývame horním ohraničením množiny M. Podobne rekneme, ze mnozina M je zdola ohraničená, jestlize existuje takove reílne císlo d, ze x e M == x > d. Číslo d nazývame dolním ohraničením množiny M. Jestlize mnozina M je shora i zdola ohranicení, ríkíme, zeje ohraničena. Jako príklad uved'me mnozinu M = {x e R : x = -, kde n e N}. n Zrejme horním ohranicením mnoziny M je kazde reílne císlo h > 1 a dolním ohranicením mnoziny M je kazde císlo < 0. Zaved'me si dale pojmy maximum, minimum a pojmy suprámum a infimum množiny realnyčh čísel. 14 Maximum číselne množiny Řekneme, že číslo xmax je maximum číselné množiny M, jestliže 1. xmax E M, 2. jestliže x E M, potom x < xmax. Píšeme xmax — max x, resp. xmax — max M. Jestliže takové číslo neexistuje, Yíkáme, že množina M nemá maximum. To znamena, ze xmax je horním ohraničením mnoziný M, ktere do do M patří. Minimum číselne množiny Řekneme, že žíslo xmin je minimum žíselne množiny M, jestliže 1. xmin E M, 2. jestliže x E M, potom x > xmin. Pížeme xmin = min x, resp. xmin = min M. Jestliže takoví číslo neexistuje, žíkame, že množina M nema minimum. To znamena, ze xmin je dolním ohraničením mnoziný M, ktere do do M patrí. Jako príklad uved'me dve mnoziný U, V realných čísel U = {x E R : x = \, kde n E N}, (1.25) n2 V = {x E R : x < 2 A x > 0}. (1.26) Zřejme max x = 1, min x neexistuje, max x = 2, min x = 0. VS imn e me si, ž e podle definice je maximum (minimum) č íselne mno ž iny M jejím prvkem. Uved'me si dva podobne pojmý: supremum a infimum číselne mnoziný. Týto pojmý posluchači nekdý mýlne zameňujís pojmý maxima a minima číselne mnoziný. Jestliže množina M je shora ohranižena, potom existuje její nejmenží horníohranižení, ožnažme je supM, a nažveme je suprímem množiny M. Toto žíslo, na roždíl od maxima množžiný, nemusí patžrit do množžiný M. Jako príklad uved'me mnozinu M={0,9; 0;99; 0.999, ... } Lehce nahledneme, ze tato mnozina je shora ohraničena - jejím supremem je zřejme číslo „1". Toto číslo není maximem mnoziný M, nebol; nepatří do M. Jestližže množžina M je ždola ohranižžena, potom existuje její nejvžetžsí ohranižžení ždola, ožnažme je infM, a nažveme je infimem množiny M. Toto žíslo, na roždíl od minima množiny, nemusí patřit do množiny M. 15 Jako příklad uveďme množinu M={0,9; 0;09; 0.009, ... } Lehce nahlédneme, že tato množina je ždola ohraniCena - jejím infimem je žřejme číslo „0". Toto Číslo není minmem množiny M, nebol; nepatrí do M. Všimněme si, že sup M a inf M nemusí byt prvky množiny M. Jestliže platí G = sup M E M, potom G je maximem množiny M. Podobne, platí-li g = inf M E M, potom g je minimem množiny M. 1.3.1 Symboly oo, —oo Rozšíření množiny reálných čísel o dva symboly oo, —oo. Množinu realnych Čísel R nyn í rožs íříme o dva symboly oo, — oo, (m ísto oo lže psa t i +oo) (Cteme (plus) nekonečno a minus nekonečno). Množinu R U { — o, oo} budeme žnačit R*. Symboly — oo, oo nažyvame nevlastními čísly. (Nekdy ž duvodu stručnosti použe čísly.) Stejne jako místo term ínu re alne číslo lže použ ít term ín bod x, lže mluvit o bodečh oo, resp. — oo. Položme x < oo pro vsečhna x E R. Jestliže množina M C R nen í shora ohraničen a , polož íme sup M = oo. Nevlastn í číslo oo je nejmensí horn í ohraničen í množiny rea lnyčh čísel. Položme x > — oo pro vsečhna x E R. Jestliže množina M C R nen í ždola ohraničen a , polož íme inf M = —o. Nevlastn í číslo — oo je nejvetsím doln ím ohraničen ím množiny přiroženýčh čísel. Některé racionální operace rozšíříme i na nevlastní čísla —oo, oo a to takto. Definice 1.2. Nečht a E R, potom definujeme a + oo = oo, oo + a = oo oo + oo = oo a — oo = — oo, — oo + a = — oo — oo — oo = — oo a- = 0 ±oo oo • oo = oo oo • (—oo) = — oo — oo • oo = — oo — oo • (—oo) = oo 16 í oo, je-li a > 0 [ —oo, je-li a < 0 , s í —o, je-li a > 0 v ' [ oo, je-li a < 0 Poznámka. Všimneme si, ze nektere operace, například ±oo oo — oo, — oo + oo,--, 0 •o, 0 • (—o), ±oo jsou nadale nedefinovane. 1.3.2 Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu. Necht a, b E R, a < b. Mnozinu vsech x E R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako {a, b) a nazyvat uzavřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu {a,b). Mnozinu vsech x E R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazyvat otevřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu (a, b). Mnozinu vsech x E R, pro nez platí a < x < b (a < x < b), budeme zapisovat jako {a, b) ((a, b)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) a zprava otevřeným (uzavřeným) intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a nazyvame levym a Císlo b nazyvame pravym koncovym bodem intervalu {a,b) ((a,b)). Mnozinu vsech Císel x E R, pro nez platí a < x < oo (a < x < to), budeme zapisovat jako {a, o) ((a, o)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) intervalem o koncových bodech a, o. Bod a budeme nazyvat levym a bod o jeho pravym koncovym bodem. Mnozinu vsech Císel x E R, pro nez platí —o < x < a (—o < x < a), budeme zapisovat jako (—o, a) ((—o, a)) a nazyvat zprava uzavřeným (otevřeným) intervalem o koncových bodech —o, a. Bod —o budeme nazyvat levym a bod a jeho pravym koncovym bodem. Mnozinu vsech realnych Císel x muzeme zapsat jako (—o, o) a nazyvat intervalem o koncovych bodeh —o, o. Vsimneme si, ze levy koncovy bod kazdeho intervalu je mensí nez jeho pravy koncovy bod. Kdybychom v definici intervalu {a, b) nahradili pozadavek a < b pozadavkem a < b, zahrnuli bychom pod pojem intervalu tez jednobodovou mnozinu, obsahujícíjediny prvek a, kterou bychom mohli zapsat jako {a, a). Na obr. 1.3 jsou vyznaCeny uvedene intervaly. Okolí bodu. Zaved'me si jeste pojem okolí bodu a E R. Necht: a E R, ó E R, ó > 0. 17 (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) (a, oo) (a, oo) (—oo, a) (—oo, a) (—oo, oo) Obrázek 1.3: Intervaly. a b a b a b a b a a a a Potom interval (a, a+8) budeme nazývat pravým 8-okolím bodu a a budeme jej většinou značit [/"/(a). Tedý U+(a) = (a, a+8). KvUli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U +(a). Nechť a E R, 8 E R, 8 > 0. Potom interval (a — 8, a) budeme nazývat levým 8-okolím bodu a a budeme jej vetSinou značit U-(a). Tedý U-(a) = (a — 8, a). Kvuli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U-(a). Nechť a E R, 8 E R, 8 > 0. Potom interval (a — 8, a + 8) budeme nazývat 8-okolím bodu a a budeme jej vetsinou značit U (a). Tedý U (a) = (a — 8,a + 8). Kvuli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U (a). Nechť k E R. Potom mnozinu (k, o) nazýva me k-okol ím bodu o a značíme Uk(o), nebo stručne U (o). Podobne mnozinu (—o, k) naz ývame k-okol ím bodu —o a znač íme Uk (—o), nebo stručne U (—o). 1.4 Komplexní čísla Rada matematických uloh není resitelna v oboru realných čísel. Napr. neexistuje realne číslo x, pro nez je x2 = —1. To znamena, ze rovnice x2 + 1 = 0 nemá v oboru realných čísel resení. Tato a cela rada jiných uloh nas inspiruje k zavedení komlexních čísel. 18 Definice 1.3. Oznacme C mnozinu usporadanych dvojic realnych císel (x,y), na níz jsou zavedeny operace secítaní „ + " a nasobení „•" s temito vlastnostmi: Pro ai,a2,61,62 e R polozíme (ai,a2) + (61,62) = (ai + 61, a2 + 62), (1.27) (ai,a2) • (61,62) = (ai6i — a262,a6 + a261). (1.28) Mnozinu C nazveme mnozinou komplexních císel, její prvky nazyvíme komplexními císly. Je-li z = (a, 6) e C, lze psat z = (a, 0) + (0,1) • (6,0) (1.29) Císlo (c, 0) lze zkracene oznacit jako c pro kazde c e R. Symbol (c, 0) oznacuje tedy reílne císlo. Císlo (0,1) oznacíme symbolem i a nazveme imaginární jednotkou. Potom (1.29) lze zapsat jako z = a + i6. (1.30) Jestlize z = a + i6 e C, potom císlo a nazývame jeho realnou častí a znacíme ji íř(z), 6 nazyvame imaginarnícastía znacíme S(z). Je tedy $ř(a + i6) = a, q (a + i6) = 6. Necht: z = a + i6 e C. Potom císlo a — i6 nazyvame císlem komplexne sdruženým k císlu z. Budeme jej znacit ž. Tedy ž = a — i6. Vzhledem k definovíní souctu a soucinu císel (a1,61), (a2,62) dostavíme (ai + i6i) + (a2 + i62) = (ai + a2) + i(6i + 62), (ai + i6i) • (a2 + i62) = (aia2 — 6162) + i(ai62 + a26i). Príklad 1.4. (2 + 3i) + (4 — i) = 6 + 2i (2 + 3i) • (4 — i) = 11 + 10i Lze ukízat, ze operace scítíní a nasobení komplexních císel mají tyto vlastnosti (1) (zi + z2) + z3 = zi + (z2 + za) pro kazde zi, z2,z3 e C, (2) z1 + z2 = z2 + z1 pro kazde z1 ,z2 e C, (3) Pro 0 = (0,0) e C platí z + 0 = z pro vsechna z e C, (4) Ke kazdemu z e C existuje —z e C tak, ze z + (—z) = 0, (5) (zi • z2) • z3 = zi • (z2 • za) pro kazde zi, z2, z3 e C, (6) z1 • z2 = z2 • z1 pro kazde z1,2 e C, 19 (7) Pro 1 = (1,0) G C a pro každé z e C platí 1 • z = z, (8) Ké každému z e C, z = 0 éxistujé z-1 e C tak, žé z • z-1 = 1, (9) zi • (z2 + z3) = (zi • z2) + (zi • z3) pro každé zi, z2,z3 G C. Vidímé, žé opéracé sécítaní a nasobéní kompléxních císél mají vlastnosti, ktéré jsmé uvédli u réainých Císél na strané 10. Kompléxní Čísla vsak néjsou linéarné usporadana. Kompléxní Čísla sé žnažomují jako bodý v roviné, vé ktéré jé žavédéna kartéžska soustava souřadnic, nažýva sé Gaussovou rovinou. Každé kompléxní císlo z = x + iy sé v n í žnažomujé jako bod o souřadnic ích x,y, tédý jako [x, y]. Na obr. 1.4 jé grafický žnážornén soucét dvou komléxn ích císél. v a Obrázek 1.4: Součet dvou komplexních čísel. Na obr. 1.5 jé výžnacéno kompléxn í c íslo z a k nému kompléxné sdružén é císlo z. • z = a — ib Obrázek 1.5: Komplexne sdružená číslá. Absolutní hodnota komplexního čísla. Nécht z = a + ib e C. Potom říslo V a2 + b2 nažývamé absolutní hodnotou komplexního čísla z a žnacímé ji |z|. Jé tédý \a + ib\ = Va2 + b2. Jé to vždalénost bodu [0,0], [a, b]. 20 Příklad 1.5. Určete reálnou a imaginární část komplexního čísla _ l + 2i z _ 3—4 i Řešení. Zlomek, jímž je komplexní číslo z definováno, rozSíríme číslem komplexne sdruženým k číslu ve jmenovateli, to jest číslem 3 + 4i. Dostaneme (l + 2i) • (3 + 4i) —5 + l0i ^k' tojest z _ o. • z_ (3 — 4i) • (3 + 4i) 25 Je tedý !R(z) _ _l o _ 2 _ — 5 ' _ 5 ^ Z vykladu je zrejme, ze reálna čísla jsou podmnožinou komplexníčh čísel, tedy R C C. Komplexní císla, ktera nejsou realna, nazyvame imaginarními. Rozdelení komplexních císel lze schematicky znazornit takto: Komplexní čísla C Imaginární Realná R čísla čísla Iračionaílní Racionální Q čísla čísla Nečelí račionílní čísla Celí čísla Z Cela zíporna Nula Přirození N čísla 0 čísla Zaved'me si jeste celocíselne mocniny komplexních císel nasledovne. Necht: a E C, n E N. Polozme an = a - aa ■ a , y-v-'' n an a0 = 1, pro a = 0, 0n = 0. Pro celocíselne mocniny komplexních císel platí tato pravidla. (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) 2l Necht: a, b E C, r, s E Z. Potom platí ar • as = ar+s (1.35) ar : as = ar-s (1.36) (ar )s = ars (1.37) (a • b)r = ar • br (1.38) Dr = br (1.39) pokud ma leva strana význam. 1.5 Pripomenutí dUležitých vzorcU pro počítaní s čísly. n-faktorial. (jslo n! (čteme „n faktorial") definujeme takto: 0! = 1, n! = 1 • 2n pro n E N. Kombinační číslo. Nečht n E N, k E {0} U N. Definujeme n n! VkJ = (n — k)!k!. 1 [Dulezití vzorce] Necht a, b E C, n E N. Potom platí (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.40) (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (1.41) (a — b)(a + b) = a2 — b2 (1.42) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1.43) (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (1.44) (1.45) a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (1.46) Binomicka véta (a + b)n = ^ :)bn 22 Kapitola 2 Zakladní pojmy linearní algebry V teto kapitole se zavadej í pojmy linea rn í algebry jako je matice, operace s maticemi, zapis syste mu linearn ích rovnic v maticove notaci a pojem matice inverzn í. 2.1 "Uvod do maticoveho počtu V denn ím zivote se casto setkava me s ruzn ymi tabulkami c ísel. Jedna se vlastne o skupinu císel zapsanych do nekolika řadku a nekolika (třeba jin e ho poctu) sloupcu. Jako príklad si uved'me nasleduj ící tabulku. Vi V2 V3 V4 V5 tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 kakao 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 čukr 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 Tabulka 2.1: Tabulka pro výrobu v čokolídovne Tato tabulka charakterizuje vyrobu v cokoladovne pri vyrobe 5 druhu vyrobku, oznacenych jako Vi, V2, V3, V4, V5. V nasem príklade se uvad í spotřeba surovin Si, S2, S3, to jest po rade tuku, kakaa a cukru v kg na 1 kg kazdeho z vyrobku Vi,... ,V5. Např. při vyrobe 1kg vyrobku V2 spotřebujeme 0,4kg tuku. Vynechame-li zíhlaví v tabulce, jední se o usporadanou skupinu 15 císel, zapsanych do tří radku a peti sloupcu. Pro takove uspořídane skupiny císel si zavedeme nasledující definicí pojem matice. 23 Zavedení pojmu matice. Matici typu (m, n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m-n reálnych čísel resp. funkcí, definovaných na nějakě množině, zapsaných do m řádku a n sloupcu. Každé z techto čísel, resp. každou z techto funkci, budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznacili, že tato čísla, resp. funkce, vytvařejí matici, budeme tuto skupinu čísel davat do kulatých zavorek. V dalším se omezíme na matice, jejíž prvky jsou čísla. Označování. Matice budeme oznaCovat vetSinou velkými tuCne vytiStenymi písmeny, napr. A. Prvek matice um ísteny v jej ím i—tem ra dku a v j-tem sloupci, budeme vetsinou oznaCovat mal ym p ísmenem, odpov ídaj íc ímu oznacen í matice, s indexy i, j, um ístenymi u jeho doln ího prave ho rohu. Tedy aij bude znacit prvek matice A v jej ím i—t e m ra dku a v j—te m sloupci. Pokud nemuze doj ít k chybe, lze carku mezi indexy vynechat. Príklad 2.1. Vyse uvedenou tabulku vyznacíme tedy jako matici typu (3, 5) nasledovne: A / 0, 00 0,4 0, 3 0, 6 0, 6 \ 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 j (2.1) V teto matici je napr. a2,3 = 0,1; a1}3 = 0, 3. Zápis obecné matice A typu (m, n). Matici A typu (m, n) muzeme tedy zapsat takto í a1,1 a1,2 ■ ■ ■ a1,j ■ ■ ■ a1,n-1 a1,n \ A ai,1 ai,2 \ am,1 am,2 ai,j am,j ai,n-1 ai,n (2.2) am,n-1 am,n Jestlize matice A je typu (1,n) , to jest, jestlize A = (a1,1 a1,2 ■ ■ ■ a1,n), (2.3) potom ji nazyvame tez ra dkovym vektorem. Budeme jej vetsinou označovat tucne vytistenym malym p ísmenem. Ponevadz u vsech prvku je prvn í index stejny, roven 1, lze jej vetsinou vypoustet. M ísto nahoře uveden e matice(2.3) muzeme tedy psat a = (a1 a2 ■ ■ ■ an)^ Prvky tohoto ra dkove ho vektoru budeme nazyvat slozkami vektoru. Tedy ai je i—ta slozka vektoru a. 24 Podobně, jestliže matice A je typu (m, 1) , to jest, jestliže «2,1 A (2.4) \ «m,1 / potom ji muzeme nazyvat tez sloupcovym vektorem. Budeme jej vetsinou oznacovat tucne vytistenym malym písmenem. Ponevadz u vsech prvku je druhy index stejny, roven 1, budeme jej vetsinou vypoustet. Místo (2.4), muzeme tedy psat a «2 (2.5) Řadky matice typu (m,n) jsou radkovymi vektory a sloupce matice jsou sloupcovymi vektory. Příklad 2.2. V nísledujícím príklade je A maticí typu (2, 3), vektor b je radkovy vektor se 4 slozkami, c je sloupcovy vektor se 4 slozkami. 1 \ -2 3 ' 5/ Je tedy napr. a2,3 = 7. Příklad 2.3. Oznacme D\,D2 m ísta, z nichz se proví d í rozvoz do m íst Zi,Z2,Z3. Oznacme Cj naklady v Kc na dopravu 1 tuny zboz í z m ísta Di do m ísta Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Z císel cij utvoríme matici, napr. / 2000 1500 1800 \ C = . (2.6) 800 50000 1000 Jde o matici typu (2, 3). V teto matici je napr. ci)3 = 1800, to znamen a , ze n a klady na dopravu jedn e tuny zboz í z m ísta D1 do m ísta Z3 jsou 1800 Kc. I 1 5 3 \ ( ) A =[ , b =( 1 6 5 4 ) \ 4 5 7 J V ' c 25 Příklad 2.4. Uveďme matici popisující cenu v $ tří druhů zboží V\, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Z\, Z2, Z3, Z4. / 230 450 100 \ 200 420 90 C 210 430 80 (2.7) 235 435 95 Zde Oij značí cenu zboží Vj v $ v zemi Zi. Poněvadž c23 = 90, je cena zboží V3 v zemi Z2 rovna 90$. Uved'me jeste příklady matic, ktere obsahují jenom jeden řadek, tedy příklady řadkových Příklad 2.5. Uvazujme výrobní zavod, v jehoz dvou provozovnach se vyrabejí stejne ctyri ruzne vyrobky, oznacme je Vi,V2,Vs,V4. Oznacme ai pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobit v prvn í provozovne a bi pocet vyrobku Ví, ktere se maj í denne vyrobit v druh e provozovne. Potom vektor a = (ai a2 a3 a4) charakterizuje denn í vyrobn í pian prvn í provozovny a vektor b = (b1 b2 b3 b4) charakterizuje denn í vyrobn í pi a n druh e provozovny. Je-li tedy např. potom např. a2 = 5 znamena, ze prvn í provozovna ma denne vyrobit podle pianu 5 vyrobku V2. Druha provozovna ma podle pl a nu vyrobit techto vyrobku b2 = 6. Zat ím jsme pouze uvedli zpusob zapisu uspořadan e skupiny c ísel, se kterymi je vhodn e v dals ím pracovat jako s celkem. V dals ím budeme vetsinou odhl ízet od vecn e ho vyznamu jednotlivych prvku matic a ukazeme moznosti, jak lze s maticemi pracovat. 2.2 Relace mezi maticemi Mezi maticemi téhož typu si zavedeme následující relace. Necht: A, B jsou matice te hoz typu (m, n). Řekneme, ze matice A je mens í nebo rovna matici B, a p íseme A < B, jestlize aij < bij pro vsechna i =1, 2,... ,m, j = 1, 2,... ,n. Řekneme, ze matice A je mens í nez matici B, a p íseme A < B, jestlize aij < bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Řekneme, ze matice A je vets í nebo rovna matici B, a p íseme A > B, jestlize aij > bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Řekneme, ze matice A je vetsí nez matice B, a píseme A > B, jestlize aij > bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. vektoru. a = (1 5 8 6), b = (4 6 1 2), (2.8) 26 Řekneme, že matice A je rovna matici B, a p íšeme A = B, jestliže všechna i = 1, 2,... ,m, j = 1, 2,..., n. Příklad 2.6. Nechť /l2-3\ /82-2\ bij pro V J v 3 0 2 2 2 0 3 2 2 -5 Přesvědčte se, ze A < B. Příklad 2.7. Přesvedčte se, že mezi maticemi A, B , kde 3 0 / 1 2 -3 2 0 -3 A = 2 0 3 , B = 2 8 3 2 2 -5 0 0 0 neplat í žá dna z relací <, <,>, >, 2.3 Základní operace s maticemi Zaved'me si tyto operace s maticemi. Začneme s nekolika motivacn ími příklady. Nahoře v příklade 2.5 jsme uvažovali vektory a a b, dan e vztahy (2.8). Vektor a představuje denn í vyrobn í plan prvn í provozovny a b představuje denn í vyrobn í plan druh e provozovny. Necht: ai je denn í pl a n vyroby výrobku Vi v prvn í provozovne a bi je denn í pl an vyroby výrobku Vi v druh e provozovne pro i = 1, 2, 3, 4. Jestlize se ve vyrobn ím z a vode vyrabej í uveden e vyrobky pouze v techto dvou provozovnach, pak denn í pl an vyroby vyrobku Vi, V2, V3, V4 cel e ho zavodu přredstavuje zřrejmře c = (5 11 9 8), kde ci = ai + bi, je denn í pl a n vyroby cel e ho z a vodu vyrobku Vi pro i = 1, 2, 3, 4. Jev í se proto uzitecnym oznacit vektor c jako soucet vektoru a a b. Příklad 2.8. Necht: podnik vyrí b í vyrobky V1, V2, V3 ve dvou provozovnach. Pl a n vyroby vyrobku V1, V2, V3 v prvn í provozovne podniku je pro jednotlive kvartí ly charakterizovan matic í A a vyroba ve druh e provozovne je pro jednotlive kvarta ly charakterizova na matic í B. Obe matice jsou typu (4, 3). Necht: prvek aij matice A ud ava planovany pocet vyrobku Vj v i—t e m kvarta lu v prvn í provozovne. Analogicky vyznam m a prvek bij matice B. Tedy A a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a1 2 a2 2 a3 2 a4 2 a1 3 a2 3 a3 3 a4 3 B b1 1 b2 1 b3 1 b4 1 b1 2 b2 2 b3 2 b4 2 b1 3 b2 3 b3 3 b4 3 27 Pokud zavod vyrab í uveden e vyrobky pouze v techto dvou provozovn a ch, lze charakterizovat pl a n vyroby vyrobku V1,V2,V3 cel e ho podniku pro jednotlive kvartaly maticí C, jej íz prvek cij = aij + bij predstavuje plan vyroby vyrobku Vj v i—tem kvartí lu cel e ho podniku. Tedy / ai,i + bi,i ai,2 + bi,2 aM + bM \ a2,i + b2,i a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,i + b3,i a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3 V a4,i + bzt;i a4,2 + b4,2 a4,3 + b4,3 / C Z techto príkladU je patrno, ze mú smysl definovat součet dvou matic A, B tehoz typu podle nasleduj ící definice- Definičé 2.1. (Součet dvou matic) Necht: matice A, B jsou te hoz typu (m, n). Souctem matic A a B budeme rozumet matici C typu (m, n), pro jej íz prvky cijj, i = 1,... ,m, j = 1,..., n, plat í ci j = ai j + bi j. Pro operaci sec ít aní matic budeme pouz ívat symbolu „ + ". P íseme pak C = A + B. Příklad 2.9. Necht: A, B jsou matice typu (3, 3) / 1 0 -3 \ 7 2 -1 A= 6 1 3 B= 3 5 0 -2 0 -3 ) 1 5 2 Potom matice C = A + B je 1 0 3 C 6 1 3 2 0 3 7 2 1 + 35 15 0 2 / 8 2 -4 \ 9 6 3 1 5 1 Nasobení matice číslem. V príklade 2.4 jsme uvedli matici C. Č íslo c^j v n íznac í cenu v $ vyrobku Vj v zemi Zi. Čhceme-li vyj a drit cenu jednotlivych vyrobku v uvazovanych zem ích v Kc, stací n asobit kazdy prvek matice C stejn ym císlem, danym kurzem dolaru. Vzniklou matici oznacíme D. 28 To nas motivuje k zavedení definiče součinu čísla a matiče takto: DefiniceA 2.1. (Součin čísla a matiče) Necht: A je matice ttýpu (m, n) a a je reálné císlo. Potom soudnem matice A a císla a rozumíme matici C, pro jejíž prvký Cíj platí Ci j = a • ai ,j pro i =1,...,m, j = 1,...,n. Pro nísobení matice číslem budeme používat sýmbol „■ ". Pžeme pak C = a • A. Sýmbol „• " lze vynechat. Príklad 2.10. Nečht a = 3 a nečht A je matiče typu (3, 3) 1 0 3 A Potom C = a A = 3 V 6 1 3 2 0 3 1 0 3 3 0 9 6 1 3 2 0 3 18 3 9 6 0 9 DefiniceA 2.2. Necht A, B jsou matice tehoztýpu. Potom definujme A—B jako matici A+(—1)B. Součin dvou matic. Zaveďme si ještě definici součinu dvou matic. Začneme s příkladem. Uvažujme matici / 0, 00 0,4 0, 3 0, 6 0, 6 \ A 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 J (2.9) V ní aij značí spotřebu v kg i—te suroviny Si na vyrobu jednoho kilogramu j—teho vyrobku Vj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. Zapisme tuto matiči obečne. A a2 ,i a2 , 2 a2, 3 a2 ,4 a2 , 5 a3 i a3 2 a3 3 a3 4 a3 5 (2.10) Mí-li se vyrobit x j kg vyrobku Vj, spotrebuje se při jeho vyrobe ai}j • x j kg suroviny Si. Uvazujme prípad, ze čhčeme vyrobit vyrobky Vi, V2, V3, V4, V5 v mnozstvíčh xi, x2, x3,x4, x5 29 v kg a že chceme určit spotřebu suroviny Si pro některé i = 1, 2, 3. Označme ji yi. Potom yi je sou Ctem č ísel aij • x j, j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy yi = ai,i • xi + ai,2 • X2 + ai>3 • x3 + aM • X4 + • X5. Ozna C me tedy x sloupcový vektor o p e ti slož kach, v n e m ž Xj udáva pož adovane množství výrobku Vj v kg. Budeme jej nažývat vektorem výroby. Ožna C me y sloupcový vektor o třech slož kach, v n e m ž yi vyjad r uje množství suroviny Si v kg potrebne k výrob e výrobku Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5 v požadovaných množstvích Xj. Nažveme jej vektorem spotřeby. Tedy x / X1 \ yi X3 , y = X4 y3 \X5 J (2.11) Ožna cme yi = ai,i • Xi + ai,2 • X2 + ai,3 • X3 + ai,4 • X4 + ai,5 • X5, i = 1, 2, 3. (2.12) Budeme říkat, ž e vektor y je sou cinem matice A a vektoru x a budeme psat y = A • x. Pro vektor víyroby a matici A í 250 \ 120 x = 150 85 V 80 / / 0,00 0,40 0, 3 0, 6 0, 60 \ 0,05 0,20 0,10 0,10 0,00 0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20 dostíavíame yi = 0, 00 • 250 + 0, 4 • 120 + 0, 3 • 150 + 0, 6 • 85 + 0,6 • 80, y2 = 0, 05 • 250+ 0, 2 • 120 + 0, 1 • 150 + 0, 1 • 85+ 0, 0 • 80, y3 = 0, 10 • 250+ 0, 2 • 120 + 0, 2 • 150 + 0, 1 • 85+ 0, 2 • 80. 30 Vyčíslením obdržíme y1 = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedy / 192.0 \ y V 60.0 103.5 J Tento príklad nás inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. DefiniceA 2.3. (Součin matic) Necht: A je matice typu (m, k) a B je matice typu (k, n). Potom součinem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m, n) pro jejíž prvky cij ,i = 1,... ,m, j = 1,... ,n, platí Cij = au • bij + ai2 • b2j ... + au- • bkj. (2.13) Pžeme pak C = A • B. Poznámka 1. Ze vžtahu (2.13) je patrno, že pro vypočet prvku cij matice C (tj. prvku v i-tem řadku a v j-tem sloupci matice C používame i—ty radek (ai,1 ai,2 . . . ai,k) (2.14) matice A a j—ty sloupec matice B bi j b2 j (2.15) bk j Ríkame, že ci j je skaiarním soucinem radkoveho vektoru (2.14) a sloupcoveho vektoru (2.15). Poznámka 2. Vžtah (2.13) lže žapsat takto k r=1 Zde symbol k=1 air • br j žnamena, že se provadí secítaní clenu, ktere dostaneme tak, že do vyražu ža symbolem dosažujeme postupne r = 1,..., k. Poznámka 3. Pro soucin dvou matic budeme používat opet symbolu „-". To není na žavadu, nebol; že souvislostí je vždy patrno o jake nasobení se jedna. Budeme tedy psat C = A B. 31 Poznámka 4. Vsimneme si, ze pocet sloupcu v matici A je stejny jako je pocet radku v matici B. Kdyby tomu tak nebylo, nebylo by mozno aplikovat vzorec (2.13). Príklad 2.11. Urcete matici C = A • B, jestlize A 1234 0 7 8 5 4329 B 1 —3 2 —5 83 —1 1 Pon evad z A je matice typu (3, 4) a B je matice typu (4, 2), lze vypocíst sou cin C A • B. Podle (2.13) dostívame C 25 0 73 —6 17 12 Např . prvek c21 dostaneme jako skalarní sou cin druheho řídku matice A, to jest řadkoveho vektoru ( 0 7 8 5 ) a prvního sloupce matice B, to jest sloupcoveho vektoru / 1 \ 2 8 —1 Víypo ctem dostíavíame c2,i = 0 • 1 + 7 • 2 + 8 • 8 + 5 • (—1) = 73. Poznamka 5. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce muže nastat případ, ěe A • B existuje, avěak B • A neexistuje. Jestliěe pro nějaké matice A, B platí A • B = B • A, potom matice A, B se nazývajízamenitelne. Príklad 2.12. Je-li napr. matice A typu (3,4) a matice B je typu (4, 3), potom A • B je matice typu (3,3). Avsak B • A je matice typu (4,4). Jsou tedy matice A • B, B • A 32 různých typů a tedy, aniž bychom jejich součiny počítali, vidíme, že jsou navzájem různé. Matice A, B nejsou tedy v tomto případe zamenitelne. Příklad 2.13. Nechť A (3 4) B ( 1 °) Potom AB Vidíme, že A • B = B • A, takže tyto matice A, B nejsou zamenitelne. Příklad 2.14. Nechť ' 8 10 \ / 1/3 -5/3 1 2 J V -1/6 4/3 A ) Pro tyto matice platí AB = BA = CD Dane matice A, B jsou tedy zamenitelne. Matice třansponovanía. DefiniceA 2.4. (Matice transponovana) Necht A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-ty řádek je roven i-tému sloupci matice A, i = 1, 2,... ,m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji znažit AT. Matice AT je tedy typu (n, m). Příklad 2.15. Nechť Potom A n 5 6x 456 í 1 4 X 25 36 33 O transponované matici součinu dvou matic platí tato věta. Věta 2.5. (Transponovaná matice součinu matic) Necht A, B jsou takové matice, že existuje A • B. Potom platí (A • B)T = BT • AT. DUkaz: DUkaz prénéchavam Cténari. [ Submatice. Zavéd'mé si pojém submaticé naslédující definicí. DefiniceA 2.6. (Submaticé) Necht A je matice typu (m,n) a necht, u = (ii,ip) je takový vektor, ze 1 < ii < i2 < • • • < ip < m. Dale necht, v = .. ,jr) je takový vektor, ze 1 < ji < j2 < • • • < jq < n. Potom matici, ktera vznikne z matice A vypustením YádkU s řádkovými indexy, ktere jsou složkami vektoru u a vypustením sloupcu matice A se sloupcovými indexy, ktere jsou složkami vektoru v, nazývame submaticé matice A a značíme ji A(UíV), resp. Auv. Tedy např.Aij značí submatici, ktera vznikne z matice A vypuštěním i-teho radku a j-tého sloupce. Příklad 2.16. Nécht A / 1 2 4 5 \ 5 7 2 -1 4 10 2 Potom vypusténím druhého radku a druhého a ctvrtého sloupcé maticé A dostanémé submatici B = A2,(2,4). Jé tédy B (4 0) Zavédémé si jésté toto oznacovaní Označení. Necht, A je matice typu (m, n). Potom A(i, :) bude značit její i—ty radek a symbol A(:,j) bude značit její j — ty sloupec. 34 Význam symbolů „= , := ." Symbol „ = " znamená, že levá strana, tj. vyraz nalevo od rovnítka, se rovná pravé straně, tj. vyrazu napravo od rovnítka. Napf. A 124 5 7 2 41o 5 -1 2 značí, že A je matice, jejíž prvky jsou uvedeny napravo od , Naproti tomu symbol „ := "značí, že promžnná nalevo od tohoto symbolu se pžižadí hodnota vyrazu napravo od tohoto symbolu. Napž. A := A + B (2.16) značí, ze výsledkem tohoto pžižazení bude matice A, která vznikne ze součtu matice A a matice B, pžed pžižazením. Upozornění. Vztah (2.16) není možno chapat jako rovnici, nelze tedy napž.pževást matici A z pravá strany na levou - vzniklo by 0 = B. V literatuže se vetžinou místo „ := " píže jenom „= " a rozlišení se ponechíví na kontextu.(V textu tomu bude rovnžežz tak.) 2.4 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Ctvercova matice. Matici A typu (n, n) budeme nažyvat čtvercovou maticí žadu n. Místo ctvercova matice řadu n sta c íríkat matice radu n, pon evad ž o radu matice mluvíme jen u ctvercovíych matic. Nap r. matice 123 A V 456 7 8 9 je ctvercovaí matice ríadu 3. Núlova matice. Matici typu (m,n) budeme nažyvat nulovou maticí typu (m,n), jestli ž e vsechny její prvky jsou rovny nule. Nulovou matici budeme žna cit 0. 35 Příklad 2.17. Matice O / 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 y o o o o y je nulová matice typu (3, 4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Necht A je matice typu (m,n). Budeme říkat, ze její prvky aii,i = 1, 2,...,m leží na hlavní diagonále a její prvky aij, pro než je i + j = n + 1, i = 1, 2,... ,m, leží na vedlejší diagonále. Příklad 2.18. Nechť / 1 -2 3 1 \ V A = I 0 -3 8 5 -5 0 4 2 Potom prvky „ 1, -3, 4" leží na hlavní diagonale a prvky „ 1, 8, 0" leží na vedlejší diagonale. Řekneme, že Ctvercova matice E radu n je jednotková, jestliže všechny prvky na hlavní diagonale jsou rovny Císlu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li ždUražnit její rad n, ožnacíme ji En. Příklad 2.19. Matice 100 010 001 je jednotkova matice radu 3. Diagonální matice. Řekneme, že ctvercova matice A je diagonalní, jestliže všechny její nenulove prvky leží na hlavní diagonale. Příklad 2.20. Matice V J A 100 020 oo3 je diagonalní maticí. Horní trojúhelníková matice. Řekneme, žectverova matice Ařídu n je hornítrojuhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky pod hlavní diagonalou jsou rovny 0. Doln ítrojúheln ikova matice. Řekneme, že ctvercoví matice A řadu n je doln í troj uheln íkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad hlavní diagonalou jsou rovny 0. Horn í šchodovita matice. Necht: A je matice typu (m,n). Řekneme, že matice A je horní schodovita matice, jestliže existuje takove přirožene císlo h < n, že ke každemu radkovemu indexu i, i = 1, 2,... ,h, existuje nejmensí sloupcový index Si tak, že ai>Si = 0 a si < s2 < ... < sh a žbyvající radky h + 1,... ,m jsou nulove. 36 Příklad 2.21. Matice A /1234567\ 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 9 je horní schodovitou maticí. V tomto příklade je zřejme s1 = 1, s2 = 3, s3 = 7. Poznámka. Schodovitou matici mUZeme definovat ekvivalentne takto. Matice A typu (m,n) je horní schodovitá matice, jestliZe pro kaZde dva řádkove indexy p,q matice A platí: ■ Necht: p-ty řadek matice A je nenulový a q-ty řídek matice A je nulovy, potom p < q. ■ Necht: p-ty a q-ty řadek matice A jsou nenulove a necht: apSp je první nenulovy prvek matice A v p-tem radku a aqSq je první nenulovy prvek v q-tem radku matice A. JestliZe p < q, potom je sp < sq. ■ PonevadZ budeme mluvit jen o horních schodovitych maticích, muZeme slovo „horní" vynechavat. Pravidla přo počítaní s maticemi. Pro Zavedene operace s maticemi platí vZtahy uvedene v nísledující vete. Veta 2.7. (Pravidla přo počítaní s maticemi) Necht A, B, C, 0 jsou matice téhož typu, kde 0 je matice nulová, a necht: a, P e R. Potom platí A + B = (A + B) + C = A+0 A - A 1 • A a • (p • A) = (a + p) • A = a • (A + B) = B + A, A+ (B + C), = A, = 0, = A, (a • P) • A, a • A + P • A, a - A + a - B. (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) Důkaz: Provedeme pouZe dukaZ vZtahu (2.17). Ostatní vZtahy se dokaZují analogicky. Prvek v i-t^m radku a j-tem sloupci matice na leve strane vZtahu (2.17) je roven +bij a prvek v i-tem rídku a j-tem sloupci matice na prave strane vZtahu (2.17) je roven bij + aij pro vsechna i, j. Platí tedy (2.17). □ 37 Věta 2.8. (Pravidla pro počítání s maticemi) Necht typy matic A, B, C, 0 (nulová matice), E (jednotková čtvercová matice) jsou takové, že operace ve vztazích (2.25)—(2.30) mají vyznam. Potom platí 0 • A = 0, A • 0 = 0, (2.25) E • A = A, (2.26) A • E = A, (2.27) (A • B) • C = A • (B • C), (2.28) (A + B) • C = A • C + B • C, (2.29) C • (A + B) = C • A + C • B. (2.30) Poznámka. Jestliže pro matice A, B platí A • B = 0, nemusí bát žadna z matic A, B nulovou maticí. Napr. 'l0\/00\ / 0 0 í10) í0 0)=(° °) 0 0 3 2 0 0 2.5 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Uvazujme výrobu čtyř výrobků V\,V2,V3,V4. K jejich výrobě jsou potřebné suroviny Si,S2,S3. Jejich množství v kg potřebné při výrobé jednoho kilogramu každého z výrobku Vi,V2,V3,V4 je uvedeno v nasledující tabulce. Ve sloupci označenem písmenem Z jsou uvedena množství Z\,Z2,Z3 jednotlivých surovin Si,S2,S3, která se mají spotřebovat. Budeme se zabývat ulohou urcit množství jednotlivých výrobku V1,V2,V3,V4 v kg tak, abýchom zcela spotřebovali suroviný S1 ,S2,S3, jejichz mnozstvíjsou uvedena v tabulce ve sloupci Z. Vi V2 V3 V4 Z Si 0, 0 0, 4 0, 3 0, 6 5 0, 2 0, 2 0,1 0,1 2 S3 0,1 0, 2 0, 2 0,1 3 Oznacme postupne x1,x2,x3,x4 hledana mnozství v kg výrobku V1,V2,V3,V4. K jejich výrobe bý se potřebovalo 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 kg surovin S1, 0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4 38 kg surovin S2 a 0, 1 Xi + 0, 2 X2 + 0, 2 X3 + 0, 1 X4 kg surovin S3. Jestli se mají suroviny S1, S2, S3 plne spotřebovat, musí se výrobky V1, V2, V3, V4 vyrábět v množstvích x1,x2,x3,x4, ktera splňují tyto podmínky: 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 = 5 0, 2 xi + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4 = 2 0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4 = 3. (2.31) Každa ž techto podmínek představuje rovnici pro nežname veliCiny x1,x2,x3, x4. Každa ž nich je tvaru a,1 • x1 + a2 • x2 + ... + an • xn = b. (2.32) V rovnici (2.32) x1,x2 ,...,xn jsou nežníme a a1,a2,... ,an jsou (vetsinou) žnama Císla, nažyvame je koeficienty rovnice. Koeficient ai je koeficient u nežníme xi. Číslo b nažyvíme pravou stranou. Rovnici (2.32) nažyvame linearní algebraickou rovnicí o nežn a mych x1,...,xn. Ponevadž v line a rní algebře, kterou prob írame, pojednavame jenom o algebraickych rovnic ích, budeme už ívatžkra cen e ho pojmenova n line a rn í rovnice". Při řesen í uloh vetsinou se pracuje s v íce rovnicemi. Jestliže koeficienty v techto rovnic ích jsou obecn a c ísla, mužeme je odlisit od sebe tak, že v ž-te rovnici ožnac íme koeficient u x j např. aij. Potom system (místo system mužeme ríkat tež soustava) m line a rn ích algebraickych rovnic o n nežn am ych x1,x2,xn lže žapsat takto: a1 1x1 a2 1x1 + + a1 2x2 a2 2x2 + + + + a 1 nxn a 2 nxn am,1x1 + am,2x2 + + am,nxn b1 b2 (2.33) Zde aij, i = 1,... ,m, j = 1,... ,n, žnac í koeficient u nežní m e xj v ž—te rovnici, druhy index j ožnacuje složku nežn a m e ho vektoru x). Č íslo bi nažyvame pravou stranou i—t e rovnice. Ožnacme A matici A a1 1 a2 1 a1 2 a2 2 am 1 am 2 a1 n a2 n am n (2.34) 39 Nazývame ji maticí soustavy systému (2.33). Vektor x nazýváme vektorem neznámých a vektor í bl \ nazýváme vektorem pravých stran. Lehce nahlédneme, že sýstem lineárních algebraických rovnic (2.33) lze zapsat užitím tohoto označení jako _A • x = b_(2 35) Skutečné, matice A je týpu (m, n), x je týpu (n, 1), takZe A • x je matice týpu (m, 1). Rovnice (2.35) znamena, Ze kaZda sloZka vektoru A • x je rovna odpovídající sloZce vektoru b. Porovná n ím i-tých sloZek techto vektoru dostavame i-tou rovnici sýste mu (2.33). Matice, ktera vZnikne z matice A pridan ím vektoru b jako dalsího sloupce, se naZýva rozšírenou matici sýstemu rovnic (2.33). Znacíme ji (A|b). Je tedý (A\b) í a1,2 a2,1 a2,2 a1,n a2,n b1 \ b2 Příklad 2.22. UvaZujme sýste m linea rn ích algebraických rovnic -12, x1 + 3x2 4x1 + 5x2 3X3 2x3 (2.36) OZnacme-li A matici soustavý tohoto sýste mu rovnic, b vektor pravých stran a x vektor neZn am ých tohoto sýst emu rovnic, je A (43 -2)b-(--6) x x1 x3 b 40 Matice rozšířená je rovna (aI&) Daný system rovnic lze tedy zapsat jako ( 13 -3 | -12 4 5 2 I -6 ) A - x = b. Zaved'me si nyn í pojem řešen í systé mu lineárn ích rovnic. Definice 2.2. Vektor 0x nazveme řešen ím syste mu line árn ích rovnic A • x = b, jestliZe A • 0x = b. (To jest, jestli vektor 0x vyhovuje rovnici A • x = b). Vratme se k příkladu 2.22. Oznacme / 3 \ / 0\ x 4 1 2 2 3 1 Zřrejmře A • X = b, A • 2x = b, A • 3x 104 = b. Jsou tedy vektory X, 2x řesen ím uvaZovan e ho syste mu (2.36), avsak 3x nen í jehoresen ím. Lehce se presvedcíme, Ze vektor x= -6 + 2 • c V je řesen ím uvaZovan e ho syste mu rovnic (2.36) pro kaZd e realn e c. Příklad 2.23. UvaZujme syste m linea rn ích rovnic x\ — 2x2 = 3, 2#i — 4x2 = 5. (2.37) (2.38) 0 c 41 Tento syste m rovnic nem a resen í. Skutecne, predpokladejme, ze a,/3 jsou takova c ísla, ze xi = a, x2 = P vyhovovuj í prvn í rovnici, tedy, ze platí a - 2 • p = 3. Potom by bylo 2 • a - 4 • p = 6 a ne 2 • a - 4 • f3 = 5, takze xi = a, x2 = j3 nevyhovuje druh e rovnici. Poznamka. Pozdeji budeme řesit obecne ota zku, kdy syste m line í rn ích rovnic m a jedno resen í, kdy m a nekonecne mnoho řesen í a kdy nema vubec zadn e řesen í. 2.6 Zavedení pojmu inverzní matice V linea rn í algebre ma velky vyznam pojem inverzn í matice k dan e matici. Tento pojem si nyn í zavedeme nasleduj íc í definic í. Pozdeji si řekneme neco o existenci inverzn í matice k dan e matici a sezn a m íme se s radou vlastnost í inverzn ích matic a nauc íme se nal ezt k dan e matici matici inverzn í. Definice 2.3. (inverzní matice) Matice B se nazyva inverzn í k matici A, jestlize B • A = A • B = E. (2.39) Matici inverzn í k matici A budeme znacit A_i. Veta 2.9. (Vlastnosti inverzní matice) Nečht je dana matiče A a nečht k níexistuje matiče inverzní A~l. Potom platí a) Matiče A a matiče A~l jsou čtverčové matiče tíhož radu. b) Inverzní matiče A~l je jednoznačně určena. c) K matiči A~l existuje matiče inverzní a platí (A_i)_i = A. d) Jestliže A, B jsou čtverčové matiče tíhoě radu n a jestli k nim existují matiče inverzní A~l, B~l, potom k matiči A • B existuje matiče inverzní a platí (A • B)~i = B~i • A~l._ a) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem (2.39). b) Necht: B, C jsou inverzn í k A. Potom A • B = B • A = E, A • C = C • A = E. Odtud C = E • C = (B • A) • C = B • (A • C) = B • E = B. Tedy B=C. c) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem definice inverzn í matice. 42 d) Podle vet 2.7, 2.8 platí (B-1A-1) • (AB) = B1 (A-1A)B. PonevadZ A-1 A = E, dostavame odtud (B-1A-1) • (AB) = B-1 • E • B = B-1 B = E. Podobnře dok ařZeme, řZe (AB) • (B-1A-1) = E. Je tedy B-1 A-1 inverZní maticí k matici AB. □ Uved'me si Zde vetu o řesitelnosti a jednoZnacnosti resení systemu line a rn ích rovnic, Za predpokladu, Ze k matici soustavy existuje matice inverZn í. Veta 2.10. (ReSení systémů A • x = b pomoci inverzní matice A-1). Nechtt A • x = b (2.40) je system n linearních rovnic o n neznamych, kde A je čtvercova matice soustavy řadu n a b je vektor pravých stran typu (n, 1). Necht k matici A existuje matice inverzní A-1. Potom system rovnic (2.40) má prave jedno řešení x, ktere lze uržit vztahem _x = A-1 • b._(2.41) Důkaz: JakjiZ bylo dríve dokí z a no, inverZn í matice A je urcena jednoZnacne. Vyn a sob íme-li (2.40) maticí A-1 Zleva, dostavame A-1 • (A • x) = A-1 • b (2.42) VZhledem k vete 2.8 platí (A-1 • A) • x = A-1 • b. PonřevadřZ (A-1 • A) = E a E • x = x, dost av ame odtud (2.41). DokaZme jeste jednoZnacnost řesen í. Predpokladejme, Ze existuj í dve resen í 1x,2 x syste mu (2.40). Potom A • 1x = b, A • 2x = b. Odecten ím techto vZtahu dostavame A • (1x - 2x) = 0. Vyn asoben ím tohoto vZtahu maticí A-1 Zleva dostavame 1x - 2x = 0, takřZe 1x = 2x. 43 Má tedy systém A ■ x = b právě jedno řešení. □ Poznámka. Problematiku ják urcit mátici inverzní k dáné mátici, budeme reSit pozdéji. Příklad 2.24. Náleznete reSení systemu lineárních rovnic A ■ x = b, jestliZe /1 5 2\ Í26\ A= 3 4 1 , b = 39 1° 1 4 l787 á znáte-li k mátici A mátici inverzní 5 13 6 13 1 13 \ A"1 = 4 13 4 39 5 39 1 13 1 39 11 39 / (2.43) Řešení. Podle predch á zej íc í vety má dány syste m prá ve jedno řesen í á to 39 78 / 5 13 6 13 1 13 \ x = 4 4 5 13 39 39 1 1 11 / 13 39 39 Vypoctem dostáváme x= 14 - 6 21 2.7 Ukázka formulace úlohy lineárního programování. (Ulohu nebudeme resit!!)V teto kápitole popsány ápárát máticoveho poctu pouzijeme nyn í k mátemáticke formuláci následuj ící ulohy, která pátrí do uloh linea rn ího pro-grámová n í. Tyto ulohy jsou velice vyznámnou áplikác í line á rn íálgebry. Ulohy tohoto typu se res í vetsinou pomoc í poc ítácu á k jejich řesen í jsou vyprácovány speci áln í prográmy. My se nebudeme zde zábyvát otázkou ják se řesí, ále jenom otázkou, ják se d á ulohá mátemáticky formulovát á ják se pripráví dátá pro vstupn í hodnoty techto prográmu. Příklad 2.25. Čokol á dovná vyráb í 5 druhu výrobku. Jsou to výrobky, ktere oznácíme V]_, V2, V3, V4, V5. K vyrobe potrebujeme suroviny tuk, kákáo á cukr. Tyto suroviny jsou k 44 dispozici v omezených množstv ich, v uvedn é m pořad i 1500kg, 300kg, 450kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1kg výrobku je dana tabulkou 2.1 na strane 23. Odbýtove cený jednotlivých výrobku v uvedn e m pořad i jsou 20 KC, 120 KC, 100 KC, 140 Kc, 40 Kc. Ukolem je stanovit takový denn í výrobn í pl a n, abý hodnota výrobý býla maximain i. Výrobký jsou výrabený technologický nezavisle na sobe navz ajem. Výroba se tedý uskutecřuje ve forme peti výrobn ích procesu, ktere vsak nejsou navz ajem zcela izolovan e , nebot spolecne spotrebova vaj i výrobn i zdroje, jeden proces na ukor druh e ho. Matematická formulace úlohy. Pro ucelý matematicke formulace zaved'me 5 nez a visle promenných: x j necht: oznacuje mnozstv i výrobku Vj v kg, jez bude výrá beno za den, kde j = 1, 2, 3, 4, 5. Hledame tedý hodnotý Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, výhovuj ic i nerovnostem 0,4x2 + 0,3x3 + 0,6x4 + 0,6x5 < 1500 0,05xi + 0,2x2 + 0,1x3 + 0,1x4 < 300 (2.44) 0,10x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,1x4 + 0,2x5 < 450 V ime, ze pri výrobe xj výrobku Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5, bude odbýtova cena výrobý rovna z = 20xi + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (2.45) Nasi ulohu muzeme tedý formulovat takto : Naleznete takova nezaporn a c isla xj, j = 1, 2, 3, 4, 5, ktera výhovuj i nerovnostem (2.44) a pro nez funkce (2.45) nabýva sve ho maxima. Tato uloha je tedý popsana matici A, vektorem m mnozstvi surovin a vektorem b odbýtových cen výrobku a vektorem x poctu výrobku A 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0, 05 0,2 0,1 0,1 0,0 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2 x Potom (2.44) lze zapsat jako jako a funkce (2.45) lze zapsat jako m xi x2 x3 x4 x5 Ax < m z = b ■ x. 1500 300 450 20 120 100 140 40 (2.46) (2.47) Nasi ulohu muzeme výslovit takto: Naleznete vektor x > 0 výhovuj ic i (2.46), který minimalizuje funkci (2.47). 45 Matice A, vektory m, b a požadavek, že vektor XT = (xi,X2,X3,X4,X5) > 0, jsou vstupními udaji programu, kterym se vypocet realižuje. Dostavame xi = 0, X2 = 0, X3 = 1000, X4 = 2000, X5 = 0. 46 Kapitola 3 Lineární prostor 3.1 Aritmetický vektorový prostor. V minulé kapitole jsme si zavedli pojem sloupcového a řádkového vektoru jako zvláštní případ matic - toti Z sloupcový vektor jako matici typu (n, 1) a řadkový vektor jako matici typu (1,n). Tedy vektory muZeme chapat jako prvky mnoZiny Rn, tj. mnoZiny uspořádaných n—tic reálnych císel, kde n E N. Zna címe je malymi, tu cn e vytiste nymi písmeny. Číslo na i—te pozici vektoru a nazyvame jeho i—tou sloZ kou a vets inou ozna covat jako (v Nebude-li nic re ceno, budeme predpokladat, Z e se jedna o sloupcove vektory. O jake vektory se jedna, bude casto vid et ze zapisu, ani Z bychom zduraznovali, Z e se jedna o sloupcove, resp o cadkove vektory. Pripomenme si, Ze je-li a sloupcovy vektor, potom aT je řídkovy vektor se stejnymi sloZ kami. Pripomenme si, Ze sou cet dvou vektoru zna c íme symbolem „ + " a nísobení reílnymi c ísly te c kou „• kterou, nemu Z e-li dojít k omylu, lze vynechat. Tedy např., jestliZe a \ On / \bnj potom jejich sou ctem a + b je c E Rn, pro n eZ platí f ai + b\ ^ c = a + b = . , \On + bn J a je-li a E R, potom sou cinem a.a rozumíme d E Rn, pro n eZ platí ( a.a1 ^ d = a.a = . , a.an b 47 Množinu W1 společně s těmito operacemi „ +, . " budeme značit Vn a nazývat aritmetickým vektorovým prostorem. Vektorový podprostor Necht; P c Wn a necht: platí: jestliže a, b g P a a g R, potom i a + b g P, a.a g P. Budeme ríkat, že na P je definován aritmetický podprostor prostoru Vn. Budeme jej žnaCit P. Často budeme o nem mluvit proste jako o vektorovem prostoru. Označení. Místo a g P lže psat a g P. Místo a + (—b) lže psat a — b. 3.2 Lineární nezávislost vektoru Uvažujme system linearních algebraických rovnic a,itixi + ... + ainXn = bi, i = l,...,m, (3.1) v nemž x1,... ,xn jsou nežname a aij, bi,i =1, 2,... ,m, j = 1, 2, ,n. jsou daná císla. Pri jeho analýže je žapotčebí žjistovat, žda ■ nektera ž rovnic systemu není v rožporu s jinými rovnicemi tohoto systemu ■ žda každa ž rovnic daví nove požadavky na hledane nežname x\,... ,xn, ■ žda podmínky na nežname rovnici vyjadčeny jednotlivymi rovnicemi, je nebo není již obsažen v jinych rovnicích systemu. Pri techto uvahach je vhodne k i—te rovnici tohoto systemu (3.1) pččadit vektor (ai,i.. ,ai,n,bi); i =1, 2,...,m. Soucet dvou rovnic pak mužeme realižovat pomocí souctu vektoru, ktere jsou k temto rovnicím přiraženy. Podobne nasobení rovnice císlem mužeme realižovat pomocí nasobení vektoru, pčičaženemu k teto rovnici, tímto císlem. K resení nahore uvedeneho problemu použijeme dale žavadene pojmy: linearní kombinace vektoru (rovnic), linearn í než a vislost a line arn í žavislost vektoru (rovnic). S temito pojmy se setkame i v jin ych uvah ach. Definice 3.1. Necht: X,..., nx jsou vektory ž vektorove ho prostoru P a c1,... ,cn jsou realna c ísla. Potom vektor x = c11x + ... + cnnx nažveme lineární kombinací vektorU lx,..., nx. Příklad 3.1. Necht! 1x =(2, 3, —1), 2x = (5, 2, 6), 3x = (9, 8, 4) 48 jsou vektory z prostoru V3. Poněvadž 2 • (2, 3, -1) + (5, 2, 6) = (4, 6, -2) + (5, 2, 6) = (9, 8, 4), tj. 21£C + 2x = 3x, je vektor 3x line á rn í kombinac í vektorU 1x, 2x. Definice 3.2. (Lineární nezávislost a závislost vektorů) Necht 1x,..., nx jsou vektory z vektorove m prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže c11x + ... + cnnx = 0 -t=^ c1 = c2 = ... = cn = 0. (3.2) Jestliže vektory 1x,..., nx nejsou line a rne nez a visl e , jsou lineárně závisle. Poznámka. Z nahoře uveden e definice výplýva, Ze vektorý 1x,...,nx z vektorove m prostoru P jsou linea rne zívisl e, kdýZ a jenom kdýZ existuj í takova císla ci,c2,... ,cn, z nichZ alespon jedno je ruzn e od 0, Ze c11x + ... + cnnx = 0. Příklad 3.2. UkaZme, Ze vektorý 1x = (1,4, -4), 2x = (1,2,0), 3x = (1,5, -2) z prostoru V3 jsou linea rne nezavisl e. Skutecne, ze vztahu c1 ' 1x + c2 ' 2x + c3 ' 3x = 0 dost avame c1 ' (1, 4, -4) + c2 ' (1, 2, 0) + c3 ' (1, 5, -2) = (0, 0, 0), to jest (c1 + c2 + c3, 4c1 + 2c2 + 5c3, -4c1 + 0c2 - 2c3) = (0, 0, 0). Abý rovnost mezi temito vektorý platila, musí koeficientý c1,c2,c3 výhovovat sýste mu line a rních rovnic c1 + c2 + c3 = 0, (3.3) 4c1 + 2c2 + 5c3 = 0, (3.4) -4c1 + 0c2 - 2c3 = 0. (3.5) Jak se lehce přesvedc íme, m a sýste m rovnic (3.3)—(3.5) jedin e řesen í c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedý dan e vektorý line arne nezavisl e . Poznámka. á) Vektor 0 je lineárně závislý, nebol: a0 = 0 pro kázde a e R. b) Vektory x,..., "x, n > 1, jsou lineárně závisle, kdyz á jenom kdyz álespon jeden z nich lze vyjádřit jáko lineární kombináci ostátnách z nich. (Dokázte!) 49 Príklad 3.3. Ukazme, ze vektorý (1, 2, 3), (-1, 2, 0), (1, 6, 6) jsou line arnře z avisl e. Lehce nahl edneme, ze 2 • (1, 2, 3) + (-1, 2, 0) = (1, 6, 6). Vektor (1, 6, 6) jsme vyjádřili jako line árn í kombinaci zbývaj íc ích dvou vektorů, jsou tedy Zaved'me si nýn í pojem hodnosti skupiný X vektoru z prostoru Vn. Definice 3.3. (Hodnost matice.) Necht X je skupina vekoru z prostoru P. Maxim a ln í pocet linea rne nezavislých vektoru teto skupiný budeme nazývat jej í hodností. Budeme ji znacit h(X). Poznamka. Pojem hodnosti matice pouzijeme k resen í probl e mu „ Ma dan ý sýste m line arn ích rovnic řesen í ?. Ma-li resen í, kolik je techto řesen í?" Poznamka. Necht A je matice týpu (m, n). Na matici A se muzeme dívat jako na usporadanou m-tici radkovych vektoru z vektorováho prostoru Vn, resp. jako na uspořádanou n-tici sloupcovych vektoru z vektoroveho prostoru Vm. Aplikovan ím definice hodnosti na řadký matice dostavame řadkovou hodnost matice a aplikoví n ím definice hodnosti na sloupce matice dostava me sloupcovou hodnost matice. Později ukazeme, ze pro kazdou matici je sloupcova hodnost rovna její radkove hodnosti. Pokud to ne-dokí zeme a výslovne neřekneme o jakou hodnost se jedn a , budeme m ít na mýsli ra dkovou hodnost. Príklad 3.4. Urcete ra dkovou hodnost matice line arnře z avisl e. 1 2 3 4 A 5 6 7 8 y 6 8 10 12 J Oznacme X, 2x, 3x postupne prvn í, druhý a třet í ra dek matice A. Tedý 1x = ( 1 2 3 4 ) , 2x = ( 5 6 7 8 ) , 3x = ( 6 8 10 12 ) . (3.6) (3.7) (3.8) Zřejme vektor 3x je linearne z a vislý na vektorech 1x, 2x, nebol; 3x = 1x + 2x 50 a vektory X, X jsou lineárně nezávislé. Skutečně, kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, byl by jeden z ničh násobkem druheho. To znamená, existovalo by takove č íslo a, Z e by X = alx to jest, platilo by ( 5 6 7 8 ) = a ( 1 2 3 4 ) . Takove číslo a vsak evidentn e neexistuje. Vektory X, 2x jsou tedy lineárn e nezavisle. Tedy mezi vektory X, X, 3x jsou práve dva lineárn e nezávisle vektory. Radkova hodnost matiče A je tedy rovna 2. Definice 3.4. (Regulární matice) Nechť čtvercová matice A řádu n má hodnost n. Potom ji nazýváme regulární maticí. Úkol. Doka zte si, z e horná sčhodovita matiče ma řádkovou hodnost rovnu po čtu jejičh nenulových radku. Poznámka. Zjistovat hodnost matiče přámo z definiče je obtáz ne. Hodnost matiče budeme hledat pozd eji jejám převodem na horná sčhodovitou matiči o stejne hodnosti pomočá elementárnáčh transformačá, o kteryčh ted' pojedname. 3.3 Elementární transformace 1. Nečht matiče A je typu (m,n) a a je libovolne realna čásla, i E N, 1 < i < m. Nečht matiče B je matiče, jejáz i-ty radek je roven a nasobku i-teho řadku matiče A a ostatná radky matiče B jsou stejne jako v matiče A. Potom rekneme, ze matiče B vznikla z matiče A transformačá Tl(i,a). Páseme pak B = Tl(i,a)A, resp. {tí = a.rí}A = B. Príklad. Nečht 1234 A = 5 6 7 8 (3.9) y 9 10 11 12 y Ozna č me B matiči, která vznikne z matiče A tak, z e jej á druhy radek vynasobáme č ásle, „ — 3" a ostatná radky ponečháme beze zm e ny. Dostaneme 1234 B T 1(2, — 3)A —15 —18 —21 —24 9 10 11 12 51 Tuto tránsformáci lze zápsát tíe z tákto [r2 = -3.r2]A = B. Necht: mátice A je typu (m,n) á a, P = 0 jsou libovolná reálná c íslá, i, j jsou prirozená císlá 1 < i, j < m, i = j Ozná cme B tu mátici typu (m,n), jejíz j-ty rádek je roven sou ctu a-nísobku i-teho řídku mátice A á P-nísobku j-teho rádku mátice A á ostátní řádky jsou stejne jáko u mátice A. Potom rekneme, z e mátice B vzniklá z mátice A tránsformácí t2(i,a; j, P). Píseme pák B = t2(i,a; j,P )A, resp. B = [rj = a.ri + p.rj }A. Príklad.Necht: 1234 A V 67 1° 11 8 12 (3.1°) Označme B matici, která vznikne z matice A tak, že řádek „2", vynásobený číslem„-4" připočítáme k řádku č. „3" vynásobenemu číslem „5" a ostatní řádky matice B jsou stejne jako v matici A. Tedy matice B je matice, ktera vznikne transformacá T2(2, —4; 3, 5)A. Dostavame B = t2(2, -4; 3,5)A 1234 5678 25 26 27 38 Tuto tránsformáci lze zápsát tíe z tákto B = [r3 = 4.r2 + 5.r:i}A. 3 . Necht: mátice A je typu (m,n) á i, j jsou prirozená císlá 1 < i, j < m, i = j Ozná cme B tu mátici typu (m, n), kteríá vznikne z mátice A, vzáíjemnou víym enou jejího i-teho řídku s j-tym rádkem. Potom řekneme, z e mátice B vzniklá z mátice A tránsformácí T3(i; j)A. Píseme pák B = T3(i; j )A, resp. B = [ri o r j }A. Príklad.Necht: A 1234 5 6 7 8 9 1° 11 12 (3.11) 2 52 Oznacme B matici, kter a vznikne z matice A tak, ze ra dek „2" matice A výmen íme s řadkem c. „3" matice A a ostatn írí dký matice B m a stejn e jako v matice A . Potom rekneme, ze matice B, vznikne z matice A transformací T3(2; 3)A. Tedý B = T3(2; 3)A 1234 9 10 11 12 5678 Tuto transformaci lze zapsat t eřz takto B = {r2 o r3}A. 3.4 Transformace matice na matici schodovitého tvaru Uka zeme si nýn í transformaci matice A elementa rn ími transformacemi na horn í schodovitou matici B. Tuto transformaci výuřzijeme • pri zjistovan í hodnosti matice • na analýzu resitelnsti sýste mu linearn ích rovnic a odvozen í eliminacn í metodý na resen í sýste mu line a rn ích rovnic • na výpocet hodnotý determinantu. Ve výkladu pouz íva me oznacen í: A ... promenna pro matici. Na zaca tku jej í prirazena matice, kterou mame transformovat na horn í schodovitou matici. V jednotlivých kroc ích bude tato matice transformovana sama na sebe. m... pocet řadku matice A n... pocet sloupcu matice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme prova det n a sledující ukoný. 53 ZAČÁTEK i = 1 Bod 1. Budeme vytvířet i-ty řadek hledane matice schodoviteho tvaru. Bod 2. K c íslu i urc íme nejmen s í poradove c íslo sloupce matice A, v jehož rídcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradove c íslo sloupce ožna c me Si. Bod 3. Zvolme p E {i,... ,m}, pro než je apsSi = 0. (je-li takovych p více, žvolíme jedno ž nich).Zvoleny p-ty radek matice A nažveme hlavním Žídkem. Bod 4. Je-li p = i, vym e níme navžajem p-ty a i-ty radek matice A. Vym e nu techto dvou radku provedeme transformaci A := T3(i,p)A. Po teto vym e n e je i-ty rídek hlavním řadkem. Je-li p = i, je ji ž i-ty řadek hlavním radkem. Vym e na radku se tedy neprovadí. Bod 5. Provedeme nynítakove elementarní transformace, aby po jejich realižaci byly prvky ai+i, Si,..., am>Si rovny 0. Toho dosíhneme napr . elementírní transformací a) A := T2(i, —ajtSi; j,aitSi)A pro ty indexy j = i + 1,... ,m pro n ež ajsSi = 0, nebo transformací b) A := T2(i, ai,si ; j, 1)A pro ty indexy j = i + 1,... ,m pro n ež ajss. = 0, Bod 6. Jestli ž e matice A není jeste ve schodovitem tvaru, polož me i = i + 1 a přejdeme žp et na Bod 1. Je-li A ji ž schodovitíeho tvaru, je víypo cet ukon cen. Příklad 3.5. Matici / 0 1 3 2 3 \ 0 2 6 4 1 00012 01324 transformujte na horní schodovitou matici užitím elementírních transformací. Řešení. Položme / 0 1 3 2 3 \ 02641 00012 01324 A V nasem prípade je m = 4, n 5. V nasledujícím popisu vypoctoveho postupu bude ožnacení Bod .. ,Bod 6-i žna-menat íukony Bod 1, . . . , Bod 6 pro daníe i. 54 ZAČÁTEK i=1 Bod 1-1 Budeme vytvířet i-ty (první) rádek hledáne schodovite mátice. Bod 2-1 K císlu i (to jest k císlu i = 1) urcíme nejmen sí pořádove císlo sloupce, v jehoz rádcích i,... ,m (to jest v jeho z řádcích 1, 2, 3, 4) je nenulovy prvek. Je to druhy sloupec. Poloz íme tedy si = 2 (tj. s1 = 2). Bod 3-1 Zvolíme hlávní řádek. V s—tem sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulove prvky v řídcích 1, 2, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořádove c íslo ozná c íme p. Rozhodneme se pro řídek p =1, ktery zvolíme jáko hlávní. Bod 4-1 Pon evádz jsme zvolili zá hlávní řádek p-ty rádek, kde p = i, neprovádíme vym e nu p-tíeho ráídku s i-tíym ríádkem. Bod 5-1 Provedeme nynítákove elementární tránformáce mátice A, áby po jejich reálizáci byly v si-tem sloupci (to jest ve druhem sloupci) v rádcích i + 1,... ,m (to jest v rádcích 2, 3, 4) nulove prvky. (Prvky a22, a32, a42 eliminujeme). Toho dosáhneme nápr . elementárními tránsformácemi A = T2(i, -ajssi ; j, )A, pro j = i + 1,...,m, je-li a^. = 0. Pon evádz i =1, si = 2, m = 4, elimináci provedeme elementárními tránsformá-cemi A = t2(1, -aj,2 ; j,a1 , 2)A, pro j = 2, 3,4. Toznámená, z e prvek aj22 pro ká z de j e [2, 3, 4} eliminujeme ták, z e hlávní rádek (to jest první řídek) vynísobíme císlem (-aj 2) á pri cteme jej k j-temu rádku vynásobeneho císlem a1 ;2. • Poloz me j = i + 1 (tedy pro j = 2) dostívíme A = t2(1, -a2,2, 2,a1 , 2)A. Po tíeto tránsformáci je druhíy ríádek mátice A roven -2 ■ (0 1 3 2 3) + 1 ■ (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 - 5) á ostátnírádky mátice A se nem e ní. • Poloz me j = j + 1. Je tedy j = 3. Pon evád z ajSi = 0, (to jest a3;2 = 0), elimináci není třebá provád et á prejdeme k dálsímu rádku. • Poloz me j = j + 1. Je tedy j = 4. Pon evádz ajsSi = 1=0, (to jest a4 t2 = 0,) provedeme elementární tránsformáci A = t2(1, -a4,2;4,a1,2)A. Po tíeto tránsformáci je ctvrtíy ríádek mátice A roven -1 ■ (0 1 3 2 3) + 1 ■ (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). 55 Ostatní řádky matice A se nem e ní. Je tedy A ( 0 1 3 2 3 \ 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 Bod 6-1 Ponevadz obdržená matice A jeSte není horní schodovitou maticí, položíme i = i + 1 a p rejdeme na bod Bod 1. Bod 1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. Bod 2-2 K Číslu i (to jest k Číslu i = 2) urCíme nejmenSí pořadove Číslo si (to jest s2) sloupce, v jehož řadcích i,... ,m (to jest v jehož řídcích 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to ctvrtý sloupec. Polo ž íme tedy si = 4 (s2 = 4). Bod 3-2 Zvolíme hlavní řadek. V si-tem sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řídcích 2, 3, 4 nenulový prvek jen v radku 3. Jeho pořadove c íslo ožna c íme p. Tento radek žvolíme ža hlavní řadek. Je tedy p = 3. Bod 4-2 Pon evadž jsme žvolili ža hlavní radek radek p, kde p = i, provedeme v matici A vým e nu radku p s radkem i. (Tedy vým e nu druheho a tretího radku.) Dostavíme tak matici 0 1 3 2 3 A 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 Bod 5-2 Provedeme nynítakove elementírní transformace matice A, aby po jejich realižaci byly v si-tem sloupci (to jest ve ctvrtem sloupci) v radcích i + 1,... ,m (to jest v radcích 3, 4) nulove prvky. (Prvky a3í4,a4í4 eliminujeme.) Avsak v tomto případ e jsou prvky a3)4,a4)4 rovny 0, takž e eliminaci není třeba províd et. Je tedy vysledna matice v tomto kroku A 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 Bod 6-2 Obdrž ena matice A je st e není horní schodovitou maticí, proto polož íme i = i + 1 a p rejdeme na bod Bod 1. 56 Bod 1-3 Je tedy i = 3. To znamená, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. B2-3 K Číslu i (to jest k Číslu i = 3) urCíme nejmen Sí pořadove Číslo si (to jest s3), v jehož řádcích i,... ,m (to jest v jehož řádcích 3, 4) je nenulový prvek. Je to páty sloupec. Polož me tedy si = 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tem sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou nenulove prvky v řádcích 3, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadove císlo ozna címe p. Rozhodneme se pro řídek p = 4, ktery zvolíme jako hlavní. B4-3 Pon evadz jsme zvolili za hlavní rádek p-ty řádek, kde p = i, provádíme vym e nu rádku p s řídkem i. Po teto vym e n e je A f 0 1 3 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 V 0 0 0 0 -5 / B5-3 Provedeme nynítakove elementární transformace matice A, aby po jejich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest v pátem sloupci) v rádcích ... ,m (to jest v rádku 4) nulove prvky. (Prvek x4>5 eliminujeme.) Toho lze dosáhnout napr . elementární transformací A = t2(3, -«4,5; 4, «3,5) A. touto trnsformcí bude ctvrty rádek roven 5 • (0 0 0 0 1) + 1 • (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0). Je tedy A 01323 00012 00001 00000 Bod 6-3 Pon evadz obdrzená matice je ji z horní schodovitou maticí, je transformace dane matice na horní schodovitou matici ji z ukon cen. Pon evad z obdrzená schodovitá matice má celkem tři nenulove rádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadane matice rovna 3. Tedy h(A) = 3. Příklad 3.6. Urcete hodnost skupiny vektoru la =(10 - 12), 2a =(012 - 1), 3a =(013 - 6). 57 Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice / 1 0 -1 2\ A 0 1 2 -1 0 1 3-6 J Tuto hodnost hledejme transformací matice A elementárními ransformacemi na horní schodovitou matici postupem popsaným na str. ??. PoloZme i = f Bod 1-1 Budeme výtvířet i-tý řadek (1. řádek) schodovite matice. Bod 2-1 K císlu i =1 urcíme nejmensí pořadove císlo sloupce matice A, v jehoZ řadcích 1, 2, 3 je alespon jeden prvek ruzný od 0. Je to v prvním sloupci. Pokladame tedý si = 1. Bod 3-1 Hledáme nýní rídek matice A, v jehoZ sloupci s pořadovým císlem s1 = 1 je nenulový prvek. To jest, hledame p E {1, 2, 3}, pro neZ je aps1 = 0. Je to pro p =1. PoloZme tedý p =1. Řádek p =1 volíme za hlavní. Bod 4-1 PonevadZ p = i, neprovadíme výmenu p-teho a i-teho radku. První radek je hlavním. Bod 5-1 PonevadZ vsechný prvký v prvním sloupci pocínaje druhým radkem, jsou nulove (tj. prvký = 0 pro j = 2, 3), přejdeme k B6-1. Bod 6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto poloZíme 7~= i +11 a jdeme Zpet k bodu B1. Bod 1-2 Je tedý i = 2. Budeme výtvíařret 2. řríadek schodovitíe matice. Bod 2-2 K císlu i (tj. k císlu i = 2) urcíme nejmensí poradove císlo sloupce Si (to jest s2), v jehoZ radcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. PoloZíme tedý s2 = 2. Bod 3-2 Zvolíme hlavní řídek. Ve sloupci s pořadovým císlem s2 (tj. ve druhem sloupci) hledíme index j, j > i, tak, abý ajS2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. ŘoZhodneme se pro j = 2. PoloZíme p =2. Bude tedý p-tý radek hlavním rídkem. Bod 4-2 PonevadZ jsme Zvolili Za hlavnírídek p-tý radek, kde p = i, neprovadíme vZajemnou vým e nu p-teho a i-teho radku. Je tedý i-tý řídek hlavním řadkem. Bod 5-2 Provedeme nýnítakove elementarní transformace, abý po jejich realiZaci býlý v si-tem sloupci (ve druhem sloupci) v radcích i + 1,... ,m (to jest v řadku 3) nulove prvký. Toho dosahneme např. elementarní transformací A = t2(2, -a3^2;3,a2 ,2)A. Výpoctem dostavame tretí řadek vektoru A -1(0 12 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (0 0 1 - 5). 58 Celkem dostáváme A ( 1 0 -1 2 \ 0 1 2 -1 0 0 1-5 Bod 6-2 Dosázená mátice A je horní schodovitá mátice. Ponevádz má tři nenulové rádky, je její hodnost rovná 3, je tedy h(A) = 3. Dáne vektory la, 2a, 3a jsou lineárne nezávisle. Příklad 3.7. UrCete hodnost mátice X 00123 0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 V 0 0 2 4 6 / Řešení. V tomto příkláde náznácíme pouze výsledky jednotlivých Upráv bez komentáre. / 0 2 2 4 3 \ 00123 02489 X 02243 00123 00246 00246 02243 00123 00000 00000 00246 Má tedy mátice X hodnost 2. Transformace matice A = (bIc) na matici (.eIx). Necht B je ctvercová regulární mátice řádu n á C je mátice typu (n, m). Popisme álgoritmus tránsformáce teto mátice elementárními tránsformáce ná mátici tváru (^Ix). Ve vykládu pouz ívá me oznácen í: A ... promenná pro mátici. Ná zácá tku jej í přiřázená mátice, kterou máme tránsformo-vát ná pozádovány tvár. V jednotlivych kroc ích bude táto mátice tránsformováná sámá ná sebe. m... pocet řádku mátice A n... pocet sloupcu mátice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme prová det n ásleduj ící ukony. 59 ZAČÁTEK i=1 Bod 1. Budeme vytvářet i-ty řádek hledane matiče. Bod 2. K č áslu i urč áme nejmen s á poradove č áslo sloupče matiče A, v jehoz rádčáčh i, i + 1,... ,n je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradove čáslo sloupče ozna čme sí. Bod 3. Zvolme p e {i,... ,n}, pro nez je apsi = 0. (je-li takovyčh p váče, zvoláme jedno z ničh).Zvoleny p-ty radek matiče A nazveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vym e náme navzajem p-ty a i-ty radek metiče A. Vym e nu tečhto dvou radku provedeme transformači A := T3(i,p)A. Po teto vym e n e je i-ty rádek hlavnám řádkem. Je-li p = i, je ji z i-ty řadek hlavnám radkem. Vym e na radku se tedy neprovadá. Bod 5. Provedeme nynátakove elementarná transformače, aby po jejičh realizači byly prvky aj,si,j = 1,... ,n, j = i rovny 0. Toho dosahneme napr . elementarnámi trasfor-mačemi a) A := T2(i, —aj,si; j, )A pro ty indexy j = 1,...,n,j = i pro n ez ajySi = 0, nebo transformačá b) A := T2(i, cl]'Si ; j, 1)A pro ty indexy j = 1,... ,n,j = i, pro n ez ajsSi = 0, Bod 6. Jestli ze i < n poloz me i := i + 1 a jdeme zpet k Bod 1. V opa čnem přápad e jdeme k bodu (Bod 7). Bod 7 Provedeme tyto transformače A := T1(i, —),i = 1,... ,n Tám je A hledanou matičá. 60 Kapitola 4 Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic 4.1 Rešení nekterých typU systemU lineárních rovnic Uloha. Rešení systému n lineárních rovnic o n neznámých s regulární horní trojúhelníkovou maticí soustavy Re s me system rovnic Cx = d, (4.1) kde C je horní regularní trojíhelníkoví matice řadu n, d je n-rožmerny sloupcovy vektor a x je n-rožmerny sloupcovy vektor nežnamych. Tento system rovnic lže tedy žapsat jako / c1,1 c1,2 0 C2,2 0 0 0 0 0 0 c1,n-1 c2,n-1 C1,n \ C2, n cn—1 ,n—1 cn—1 ,n 0 cn ,n ) ( X1 \ X2 xn— 1 Xn ( d1 \ dn-1 (4.2) Rožepsaním tohoto systemu dostavíme 61 c1,1x1 + Ci;2£2 + . . . + c\,n-1Xn-\ + C\,nXn = d\ c2,2x2 + . . . + c2,n-1Xn-1 + c2,nxn = d2 . . ... . . (4.3) cn-1,n-1xn-1 + cn-1,nxn dn-1 cn,nxn dn Ponevadz dle předpokladu je matice C regul á rn í, jsou jej í prvky na hlavn í diagon á le mzn e od nuly. Tento system rovnic lze resit metodou, zvanou metoda zpětné substituce. Z posledn í rovnice vypocítá me xn. Dostáváme xn dn/cn,n. (4.4) Dosad íme-li do predposledn í rovnice za xn vypocítanou hodnotu (4.4), dostáváme c-n-1,n-1 ' xn-1 + cn-1,n ' dn/Cn,n dn-1. (4.5) Odtud xn-1 1/cn- 1,n-1 ' (dn-1 cn-1,n ' dn/Cn,n). (4.6) Kdyz jsme jiz vypoc ítali xn,xn-1, dosad íme tyto hodnoty do (n - 2)-te rovnice a vypoc ítáme xn-2. T ímto zpusobem dále pokracujeme. Kdyz jsme jiz vypoc ítali xn, xn-1,... ,x2, dosad íme tyto hodnoty do prvn í rovnice a vypoc ítáme zbyvaj íc í hodnotu x1. Příklad 4.1. Naleznete resen í syste mu line á rn ích rovnic (jehoz matice soustavy je horn í regulárn ítrojuheln íkoví matice). 2x1 + 3x2 + x3 = 11 x2 + 2x3 = 9 (4.7) 2x3 = 8. Z posledn í rovnice vypoc ítáme x3. Dostá váme x3 = 4. Dosazen ím teto hodnoty do druh e rovnice dosta v ame x2 + 8 = 9. Odtud dostá váme x2 = 1. Dosad'me za x2,x3 tyto vypoc ítá n e hodnoty do prvn í rovnice syst emu. Dostav ame 2x1 + 3 + 4 = 11. Odtud dost avame x1 = 2. Resen ím zadan e ho syste mu rovnic (4.7) jsme tedy obdrzeli x1 = 2, x2 = 1 , x3 = 4. 62 Uloha. ReSení systěmu linearních rovnic s regularní diagonalní matici soustavy. Resme sýst e m rovnic Cx = d, kde C je regul a rn í diagonaln í matice. Rozepsan ím lze tento sýste m zapsat takto c2,2%2 = d2 . (4.8) cn—1,n—1Xn—1 dn—1 cn,nxn dn. Řesen ím tohoto sýste mu rovnic je zrejme vektor x = C —1d, to jest Príklad 4.2. Naleznete řesen í sýste mu rovnic s diagonaln í matici soustavý 2x1 = 6, 3 X2 = 1, -2 X3 = 5. Resení. Z prvn í rovnice výpoc ítí me x1. Dostavame x1 = 3. Z druh e rovnice výpoc ítí me x2. Dostí va me x2 = 1/3. Z tret í rovnice výpoc ítame x3. Dostava me x3 = —5/2. Uloha. Řešen í syst é mu line árn ích rovnic s horn I schodovitou matic í soustavy (4.9) typu (h,n), s hodnost í h < n. Rř eřsme tedý sýst em rovnic Cx = d, který po rozepsa n í ma tento tvar. c1,sixsi + . . . + c1,S2xs2 + . . . + c1,Shxsh + . . . + c1,nxn d1 c2,S2xs2 + . . . + c2,shxsh + . . . + c2,nxn = d2 . . . (4.9) ch,Sh xsh + . . . + ch,nxn dh. V nem jsou prvký c1si, c2s2,..., chsh, kde s1 < s2 < ... sh jsou ruzn e od nulý. 63 Nezná m é x1,x2,... ,xn tohoto systé mu lze rozdělit do dvou skupin. Prvn í skupina obsahuje h nezn a mych - nazveme je zakladn ími, a druh a skupina obsahuje zbyvaj ících n — h nezn a mych. Toto rozdelen í nezn a mych do dvou skupin nen í libovoln e. Musí byt takove, ze jestlize cleny jednotlivých rovnic syste mu C x = d, obsahuj ící za kladn í promenn e , ponechame na leve strane a ostatn í cleny rovnic d a me na pravou stranu rovnic, obdrz íme syste m h rovnic o h neznamych z prvn í skupiny s regul a rn í matici soustavy. Prava strana takto vznikl eho syst emu obsahuje neznam e druh e skupiny - parametry. Tedy zakladn í promenn e lze vypocíst z dan e ho syste mu jako funkce nezn a mych druh e skupiny - parametru. Toto rozdelen í neznamych nen í jednoznacne urceno. Za zí kladn í promenn e lze zvolit napr. nezní m e xSi ,i = 1, 2,..., h. Mnozinu vsech resen í dan e ho syste mu rovnic naz yvame obecným řešením daného systému. Je funkc í zvolenych n — h parametru. Příklad 4.3. Naleznete resen í syste mu linearn ích rovnic xi + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 + 2x6 + 7x7 = 40 2X3 + x5 x6 x7 3x7 —8 -15 (4.10) o neznam ych xit i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Řešení. Matic í soustavy je horn í schodovití matice 1 2 1 4 1 2 7 A 0 0 —2 0 1 0 —1 0 0 0 0 0 1 3 Oznacme b vektor pravych stran a x vektor neznam y ch. Potom je xi 40 —8 —15 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 Zadany syste m (4.10) rovnic lze pak zapsat v maticove notaci jako A - x = b. b 64 Zá zíkládní nezníme lze volit neznáme x1,x3,x6. Vsechny cleny rovnic obsáhující neznáme x1,x3,x6 ponecháme ná leve strán e á ostáttní cleny dáme ná právou stránu. Dostávíme ták systíem rovnic xi + x3 + 2xe 2x3 X6 40 -8 -15 2X2 4x4 x5 — 7x7 + 3x7 (4.11) Dosadíme-li za neznámé x2,x4,x5,x7 do (4.11) jakákoliv čísla, je pravou stranou takto vzniklého systému konstantní vektor a systém prechazí na systém 3 rovnic o třech neznamych xi,x3,x6. Matice soustavy tohoto systému je regulární horní trojúhelníkova matice radu 3. Jeho vyřesením dostívíme hodnoty neznamych xi,x3,x6, které spolu se zvolenými hodnotami x2,x4,x5,x7 davají resení zadaného systému linearních rovnic. Na neznamé x2, x4, x5, x7 se budeme tedy dívat jako na parametry. Kvuli zvysení přehlednosti zavedeme toto oznacení parametru: x2 = Ci, x4 = C2, x5 = C3, x7 = C4. (4.12) Dosazením téchto parametru do (4.11), dostavame xi + x3 + 2x6 = 40 2x3 = —8 2Ci 4C2 x6 15 C3 — C4 + 3C4 (4.13) Z posledn í rovnice vypocítá me x6. Dostává me x6 = -15 + 3c4. Do druh e rovnice dosád íme vypocítánou hodnotu x6 á vypocítá me x3. (Dosázen í zá x6 se neprojeví, nebot koeficient u x6 je v teto rovnici roven 0.) Dostáváme x3 4 + 1/2C3 — 1/2C4. Dosad íme tyto vypoc ítan é hodnoty za x3, x6 do prvn í rovnice systé mu (4.13) a vypoc ítame xi. Dosta v ame xi = 66 — 2ci + 4c2 + 1/2c3 — 25/2c4. Vsechna resen í zadan é ho systé mu rovnic (4.11) lze zapsat takto 66 — 2Ci + 4C2 + 1/2C3 — 25/2C4 Ci 4 + 1/2C3 — 1/2C4 X = | C2 C3 — 15 + 3C4 C4 65 kde ci,C2, c3, c4 G R jsou párámetry. Toto resen í lze zápsát ve tváru x 66 0 4 0 0 -15 Partikulární řešení systému Ax = b + Ci -2 1 0 0 0 0 0 + C2 4 0 0 1 0 0 0 + c3 /1/2\ 0 1/2 0 1 0 0 + C4 -25/2 0 -1/2 0 0 3 1 Obecné řešení homogenního systému Ax 0 Poznamka 1. Mnozinu vsech resen í syste mu lineárn ích rovnic A • x = b názyví me obecným řešením. Lze ukázát, ze toto obecn e resen í je souctem obecn e ho řesen í príslusn e ho homogenn ího syste mu rovnic A • x = 0 á pártikulárn ího, to jest libovolne zvolen e ho jednoho resen í syste mu rovnic A • x = b, b = 0. Poznamka 2. V násem prípáde obdrzen e obecn e resen í zívisí ná 4 párámetrech. Zná-mená to, ze kázdou volbou párámetru dostává me řesen í uveden e ho syste mu lineárn ích rovnic á náopák, kázd e resen í dán e ho syste mu rovnic dostáneme speciá ln í volbou párámetru V tomto obecn e m resen í je vektor x 66 0 4 0 0 -15 0 jedn ím z řesen í dán e ho syste mu rovnic. Názyvá me je pártikul á rn ím řesen ím. Mnoziná 66 řešení Cl /"2\ 1 0 0 0 0 V 0 / + C2 /4\ 0 0 1 0 0 0 + C3 /l/2\ 0 1/2 0 1 0 0 + C4 / -25/2 \ 0 -1/2 0 0 3 1 kde c1,c2,c3,c4 E R jsou parametry, je obecnym řesen ím syste mu A • x = 0, ktery se nazyvá homogenn ím syste mem rovnic, príslusnym k dan e mu syste mu rovnic A • x = b. Poznámka 3. Vyjí dřen í obecn e ho resen í syste mu rovnic nen í jednoznacn e (kazd e vyjádřen í ovsem obsahuje tatáz řesen í), d á se vyjádřit v ruznych tvarech. 4.2 Ekvivalentní systémy rovnic. Definice 4.1. (Ekvivalentní systémy rovnic.) Necht' A x = b, C x = d jsou dva syste my line á rn ích rovnic o n nezní mych. Tyto syste my nazveme ekvivalentními, jestlize kazdy vektor x, ktery je řesen ím syste mu rovnic Ax = b, je i resen ím syste mu C x = d a naopak, kazd e resen í x, ktere je resen ím syste mu rovnic C x = d, je i řesen ím syste mu rovnic Ax = b. Pri řesen í syste mu rovnic Ax = b půjde o nalezen í takove ho ekvivalentn ího syste mu rovnic, ktery je mozno snadno posoudit. To znamená urcit, zda tento ekvivalentn í syste m m á nebo nemá řesen í a v prípade, ze m á řesen í, toto resen í nal ezt. 4.2.1 Převod systému lineárních rovnic na ekvivalentní systém rovnic. Uvazujme systé m linea rn ích rovnic A • x = b (4.14) Ukažme si platnost následuj ících pravidel P1, P2, P3, P4. 67 P1. Necht: a je libovolne reílne císlo = 0. Uvažujme libovolne žvolenou i-tou rovnici systemu (4.14) ai,1 • X1 + ... + ai,n • Xn = bi. (4.15) Je evidentní, že vektor x vyhovuje rovnici (4.15), když a jenom když vyhovuje rovnici a • (aM • X1 + ... • Xn) = a • bi. (4.16) Nahradíme-li tedy v systemu (4.14) nekterou rovnici jejím nýsobkem císlem a, a = 0, je vznikly system ekvivalentní s danym systemem. P2. Nechť a, p e R, f = 0 a nechť ai,1 • X1 + ... + ai,n • Xn = bi, (4.17) ajt1 • X1 + ... + ajtn • Xn = bj, (4.18) jsou dve libovolne rovnice systemu rovnic (4.14). Je opet evidenetní, že každy vektor x vyhovuje obema temto rovnicím, když a jenom když vyhovuje rovnicím ai, 1 • X1 + ... + • Xn = bi, (4.19) (aai, 1 + ffaj,1) • X1 + ... + (aai,n + fajn) • Xn = abi + ffbj,, (4.20) kde a, f e R, f = 0. Pricteme-li tedy k f-nísobku nektere rovnici systemu (4.14) a-nasobek jine rovnice, a, f e R, vznikne system ekvivalentní se systemem (4.14). P3. Vzájemnou výmenou dvou rovnic systemu A • x = b vznikne system ekvivalentn í s danym syst emem. P4. Vypust íme-li ze syst emu rovnic (4.14) rovnici tvaru 0 • X1 + 0 • X2 + . . . + 0 • Xn = 0, obdrzíme system rovnic, ktery je ekvivalentní se systemem rovnic (4.14), nebot každy vektor x e Vn teto rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedaví žadne omežení pro řesení systemu rovnic (4.14). P5. Jestlize v systemu rovnic (4.14 ) je nektera rovnice tvaru 0 • X1 + 0 • X2 + ... + 0 • Xn = c, c = 0, nema uvazovaný system zádne resení, nebot: teto rovnici nevyhovuje žídny vektor. Tyto uvahy mužeme shrnout nasledovne. 68 Veta 4.1. Necht: jsou dány dva systémy lineárních rovnic A x = b, C x = d o neznámych x1, x2, ..., xn. Necht, systém C x = d vznikl ze systému A x = b těmito Úkony: T1. Libovolnou rovnici systemu jsme násobili číslem rúznym od nuly. T2. K nenulovemu násobku jedné rovnice jsme připočetli libovolný násobek jiné rovnice. T3. Vymenili jsme navzájem dve rovnice systemu. T4. Z dáného systému rovnic vypustíme rovnice typu 0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = 0, Potom systemy A x = b, C x = d jsou návzájem ekviválentní Abychom si usnadnili zapis při operacích s rovnicemi, budeme pracovat jenom s koeficienty rovnic a s jejich prav ymi stranami. K syst emu rovnic Ax = b (4.21) prirad íme rozs řenou maticitohoto syst e mu rovnic (A|6) (4.22) Souctu dvou rovnic syste mu (5.1) odpovíd a soucet odpovídaj ících ra dku matice (4.22). Podobne nasoben ínejake rovnice syste mu (5.1) c íslem rôznym od nulyodpov ída nasoben í odpovídaj ícího řadku matice (4.22) tímto císlem. Predpokladejme, ze jsme k syste mu line a rn ích rovnic Ax = b priradili rozs řenou matici soustavy tohoto syste mu rovnic. Potom ukonum T1, T2, T3, s rovnicemi syste mu Ax = b, uvedenych ve vete 4.1, odpovídaj í elementa rn í transformace T1(i,a), T2(i,a ; j, P), T3(i,j), vypusten í rovnice odpov ídí vypusten í odpov ídaj íc ího radku v matici (A|b). Aplikovan ím techto ukonu na matici (A|b). obdrzíme matici odpovídaj ící ekvivalentn ímu syste mu k syste mu A x = b. Vhodnymi elementa rn ími transformacemi lze z matice (A|b) dospet ke schodovite matici (C|d), ktera odpov ída syste mu Cx = d, ekvivalentn ímu k syste mu linearn ích rovnic Ax = b. V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovity tvar uzitím elementa rn ích transformací. Resen í syste mu line a rn ích rovnic Ax = b lze t ímto zpusobem převest na resen í syste mu linearn ích rovnic se schodovitou maticí soustavy. O resen í syste mu linearn ích rovnic, s horn í schodovitou matic í soustavy, bylo pojedn a no jiz dříve. 69 Postup řešení systému lineárních rovnic Necht; je dan sýstem linearních rovnic Ax = b (4.23) o n neZnamých x1, ..., xn. Tento sýstem linearních rovnic muZeme resit v techto krocích 1. K danem sýstemu rovnic priradíme matici roZsřenou (A|b). 2. UZitím vhodných elementarních transformací T1(i,a), a = 0, T2(i,a ; j,[), [ = 0, T3(i, j) postupne aplikovaných na matici (A|b), výtvoříme horn í schodovitou matici (F 3. Výpustíme nulove řídký matice (FTakto vZniklou matici oZnacme (CId). Teto matici odpovída sýstem rovnic Cx = d. (4.24) 4. Tento sýstem rovnic (4.24) a) m a bud;to tvar c1,si xsi + . . . + c1,S2xs2 + . . . c1,Sh—i xsh—i + . . . + c1,nxn d1 c2,s2 xs2 + . . . + C2,sh-1 xsh-i + . . . + c2,nxn = ^2 . (4.25) Ch—1,Sh — i xsh—i + . . . + ch—1,nxn dh—1 v nemZ císla c1sSl, c2sS2, ..., ch—1tSh1, dh jsou ruZna od 0. b) nebo tvar c1,si xsi + . . . + c1,S2 xS2 + . . . + c1,Sh xSh + . . . + c1 ,nxn ^1 c2 ,s2 xs2 + . . . + c2 ,sh xsh + . . . + c2 ,nxn = d2 . (4.26) ch,Sh xSh + . . . + ch,nxn dh v nemZ c1>Si, c2s2, ..., ch>Sh jsou ruZna od 0. V případe á) nema sýstem C x = d řesení, nebot jeho poslední rovnice 0 • xn = dh nen í splnena pro Zadn e xn. V tomto prípade ma matice C hodnost h - 1 a matice roZs řen a (C|d) hodnost h. Maj ítedý ruZn e hodnosti.VZhledem k tomu, Ze elementarn ími transformacemi se hodnost matice nemen í, muZeme konstatovat, Ze sýste m rovnic Ax=b nema řesen í, kdýZ a jenom kdýZ hodnost matice soustavý je mens í neZ hodnost matice roZsřene . Pod ívejme se na prípad b). O Zpusobu resen í tohoto sýste mu jsme jiZ dríve pojednali. Strucne to Zopakujme. V tomto případe lZe neZn a m e roZdelit do dvou skupin , skupinu 70 h neznámých - nazveme je základn ími, které lze vypoč íst pomoci zbývaj ících n — h nezn á mých - parametrů. Toto rozdelen i nen i jednoznaCne urCeno. Mozn e volby jsou patrny z tvaru syst e mu Cx = d. Jestlize cleny syste mu C x = d, obsahuj ici zakladn i promenn e , ponech a me na leve strane a ostatn i cleny d a me na pravou stranu, musime obdrzet syste m rovnic s horn i trojuheln ikovou matici soustavy, jej iz diagon a ln i prvky jsou nenulove. Za z á kladn i promenn e lze napr. zvolit neznam e xSi ,i = 1, 2,... ,h a zbyvaj ic i promenn e - nazveme je parametry a oznac ime je c\,..., cn-h. Výsledek techto uvah shrneme do nasleduj ic i vety. Veta 4.2. (Frobeniova veta.) Necht Ax = b (4.27) je system m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí: Jestliže matice soustavy A má menší hodnost než matice rozšírená (A\b), potom system rovnic (4.27) nemá žežení Jestlize matice soustavy A má stejnou hodnost jako matice rozšžená (A\b), potom system rovnic (4.27) ma žežená. Jestlize tato společná hodnost je rovna požtu neznamych n, potom ma pravž jedno žesená. Jestlize tato spoležna hodnost je h < n, potom ma nekonežnž mnoho žežená, závislych na n — h parametrech. Příklad 4.4. Proved'me analyzu syste mu linea rn ich rovnic Ax = b, kde A Jedn a se o syste m ctyr line i rn ich rovnic o trech neznamych. Analyzu resitelnosti tohoto syste mu rovnic provedeme podle predchoz iho navodu. 0 1 —4 /3\ —6 —2 1 4 , b = 7 —4 0 2 v 1 0 2 1 Utvorme rozs irenou matici (A\b) tohoto syst e mu / 0 1 —4 | 3 \ -6-2 1 I 4 (A\b) 7 —4 0 | 2 1 0 2 I 1 / 71 Transformujme ji na horn í schodovitou matici. r 2 = 6ri + r2 r3 = -7ri + r3 / 0 1 -4 j 3 \ -6 -2 1 j 4 7 -4 0 I 2 V 1 0 2 I 1 / 1 0 2 1 0 -2 13 10 0 -4 -14 -5 0 1 -4 3 r2 o r4 r3 = 4r2 + r3 r4 = 2r2 + r4 / 1 0 2\ 1 \ 0 -2 13 | 10 0 -4 -14 j -5 V 0 1 -4 I 3 / 10 01 21 43 0 0 -30 7 V 0 0 5 16 y {r4 = r3 + 6r4 Hledanou horn í schodovitou matic í je tedy matice 1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 -4 3 0 1 -4 3 0 0 -30 7 0 0 -30 7 0 0 5 16 0 0 0 103 / 1 0 2 I 1 \ 0 1 -4I 3 0 0 -30 I 7 V 0 0 0 I 103 / Teto matici odpovíd a sýste m line írn ích rovnic 1 0 2 x1 1 0 1 -4 x2 3 0 0 — 30 ' x3 7 V 0 0 0 J \ x4 / \ 103 / Tento sýste m rovnic nem a řesen í(posledn í rovnice !!!). Nema tedýresen í ani daný sýste m rovnic A x = b, který je s t ímto sýste mem ekvivalentn í. Uved'me ukazký resen í nekolika uloh, v nichz matice soustavý nen í schodovita. 72 Příklad 4.5. Reste syste m lineárn ích rovnic x1 + 2x2 2x1 - x2 Bx3 + x4 = l, x3 - x4 = l , (4.2S) 4x1 Bx2 SX3 x4 B. Řešení. K dán e mu syste mu rovnic náp íseme odpovídáj ící rozsčenou mátici soustávy (Alb) 1 2 4 2 -B ll B ^ (4.29) Tuto mátici tránsformujeme elementá rn ími tránsformácemi ná horn í schodovitou mátici. Vypocet provedeme v nekoliká krocích. 1. Prvn í řádek zvol íme jáko hlávn í. Budeme eliminvát prvky a2>1,a3l>1. Prvn í rá dek n ásob íme c íslem (-2) á pricteme ke druh e mu rá dku. Dostáneme (Alb) l O 4 2 -B ^ T B —S) Prvn í řádek násob íme (-4) á připocteme ke ctvrte mu ří dku. Dostáneme (A|b) ~ l O O B T T 2. Druhy řádek zvol íme jáko hlávn í. Budeme eliminovát prvek a32. Druhy rá dek n ásob íme císlem (—1) á připocteme ke třetímu rí dku. Dostáneme horn í schodovitou mátici (Alb) l O O 2 O B T O l l O V této matici vypustíme řá dek obsahuj íc í sam é 0. Dostává me tak matici, označme ji (B|c), která odpovíd a systé mu (4.30) Bx = c, který je ekvivalentn ís daným systé mem rovnic (4.28). x\ + 2x2 — 3x3 + x4 = 1 5x2 + 7x3 — 3x4 = —1 (4.BO) Ůeny techto rovnic obsáhuj íc í neznám e x3,x4 prevedeme ná právou stránu syste mu. Budeme je povázovát zá párámetry. Z á roveř poloz íme C1 = x3, C2 = x4. TB Dostávame 5^2 1 + 3ci -1 7ci c2, 3C2- Z poslední rovnice vypočítáme x2. Dostaneme X2 = 1/5 • (1 + 7ci — 3c2). Dosadáme tuto vypočátanou hodnotu x2 do prvná rovniče a vypočátame z takto vznikle rovniče Xi. Dostaneme xi = 1/5 • (3 + ci + C2). Obečnym řesenám zadaneho systemu linearnáčh rovnič (4.28) je tedy vektor / (1/5 • (3 + ci + C2) \ x = 1/5 • (1 + 7ci - 3c2) ci c2 , kde ci,c2 E R. Toto obecne reSení lze zapsat ve tvaru x= 3/5 1/5 0 V 0 / + ci 1/5 7/5 1 0 + c2 1/5 -3/5 0 1 kde ci, c2 E R. Příklad 4.6. Naleznete reSení systemu lineárních rovnic xi + 2x2 — 3x3 + x4 2Xi 4xi x2 3x2 X3 5X3 x4 x4 1 4 (4.31) Řešení. K danemu systemu rovnic napíseme odpovídající rozsírenou matici soustávy. (A\b) = 1 2 4 2 —3 +1 -1 1 — 1 351 Tuto matiči soustavy transformujme elementárnámi transformačemi na horná sčhodovitou matiči. 1 74 1. Prvn ára dek zvol áme jako hlavn á. Budeme eliminovat prvky a2)1,a3,1. Prvn ára dek nasobáme čáslem (—2) a pričteme ke druhemu radku. Dostaneme (A\b) 1 0 4 —3 7 5 1 1 4 Prvná řadek nasobáme (—4) a připočteme k třetámu řadku. Dostaneme (A\b) ~ 1 0 0 3 7 7 1 1 0 2. Druhy radek zvoláme jako hlavná. Druhy radek nasobáme čáslem (—1) a připočteme ke třetámu radku. Dostaneme horná sčhodovitou matiči 1 2 —3 1 (A\b) ~ [ 0 —5 7 —3 0000 Prvná čtyri sloupče představujá matiči, kterou jsme obdrzeli elementarnámi transforma-čemi matiče soustavy daneho systemu rovnič. Tato matiče ma hodnost 2. Cela matiče predstavuje matiči, ktera vznikla elementa rn ámi transformačemi rozsřen e matiče soustavy daneho systemu rovnič. Ma hodnost 3. To znamena, ze matiče soustavy daneho systemu rovnič ma hodnost 2 a matiče rozsářená daneho systemu rovnič ma hodnost 3, tedy odlisnou od hodnosti matiče soustavy. Dany system rovnič tedy nema resená. Neexistenče resená daneho systemu rovnič vyplyva i z teto uvahy. Tato vysledna matiče reprezentuje syste m linea rn áčh rovnič xi + 2x2 — 3x3 — 5x2 + 7x3 0 • xi + 0 • x2 + 0 • x3 + x4 3x4 0 • x4 1, 1, 1. (4.32) Vzhledem k posledn á rovniči je patrno, ze syste m nema řesen á. 4.3 Gaussova eleminační metoda. V nasleduj áčám vykladu nejde o nič nove ho. Jde o zaveden á nazvu pro metodu, o ktere jsme jiz obečneji pojednali. Spečialn á přápad uva d áme proto, ze se s t ámto n a zvem muzete setkat. Nečht A je regularn á čtverčova matiče řadu n, b je n-rozmerny sloupčovy vektor a x je nezn a my n-rozmerny sloupčovy vektor. Uvazujme syste m n linearn áčh rovnič Ax = b. (4.33) Tento syste m rovnič (4.33) řesme takto: 75 1. Matici (A|b) transformujeme elementa rn ími transformacemi na horn í schodovitou matici. Dostaneme (T|c), (4.34) kde T je horn í trojuheln íkova matice. (Je to žvl a stn í prípad horn íschodovite matice.) 2. Resíme obdrženy syste m rovnic Tx = c s horn í trojuheln íkovou maticí metodou žpřetn e substituce. Tento žpusob vypoctu se naž yva Gaussova eleminacní metoda. Tato metoda ma mnoho variant, spocívaj ících jak ve vyberu hlavn ích řadku (při transformaci rožsířen e matice soustavy na horn í schodovitou matici), tak i pri provaden í jednotlivych kroku v elementa rn ích transformacích, jimiž se syste m rovnic (4.33) převa d í na syste m rovnic (4.34). Príklad 4.7. Gaussovou eliminacn í metodou reste syste m linea rn ích rovnic Ax = b, kde A 1 0 2 3 5 4 2 2 1 b 1 4 9 K syste mu rovnic priřad íme rožsířenou matici soustavy (A|b)= 1 0 2 3 5 4 Tuto matici prevedeme elementa rn ími transformacemi na matici (Blc), kde matice B je horn í trojuheln íkova matice. Postupne dostava me (A|b) 1 0 2 3 5 4 1 -3 05 02 Posledn í matici odpovída syste m linearn ích rovnic X1 - 3 X 2 +2 X3 5X2 - 2X3 21X3 1 4 11 1, 4, 63. 1 0 3 5 0 0 21 1 4 63 76 Tento systé m řešíme metodou zpětn é substituce. Z posledn í rovnice vypočíta me x3. Dostávame x3 = 3. Dosad íme-li tuto hodnotu do druh e rovnice a vypočítá me x2, dostá váme x2 = 2. Dosad íme-li nyn í do prvn í rovnice vypoč ítan e hodnoty x3,x2, dostává me z n í xi = 1. Je tedy hledaným řesen ím vektor 4.4 Jordánova eliminační metoda. V následuj ícím vykladu pojednáme o metode zaloZen e na speci á lne cílenou elementá rn í tranformaci rozsířen e matice soustavy. (Popis algoritmu je na str. 79.) Necht; A je regulárn í ctvercová matice řádu n, b je n-rozmerny sloupcovy vektor a x je nezn á my n-rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme syste m lineá rn ích rovnic Syste m rovnic (4.35) řesme takto: 1. Matici (A\b) transformujeme elementá rn ími trasformacemi na matici (C\d), kde C je regulárn í diagon á ln í matice řádu n. 2. Resíme syste m rovnic s diagon á ln í matic í Tento zpusob vypoctu se nazyvá Jordánova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spoc ívaj íc ích jak ve vyberu hlavn ích řádku tak i pri prová den í jednotlivych kroku v elementárn ích transformacích, jimiz se syste m rovnic (4.33) prevá d í na syste m rovnic (4.36). Příklad 4.8. Jordánovou eliminacn í metodou řeste syste m lineárn ích rovnic x= Ax = b. (4.35) Cx = d. (4.36) Ax = b, kde K syste mu rovnic priřad íme rozsířenou matici soustavy / 1 -3 2 (A\b) = í 0 5 -2 -2 4 1 4 9 77 Tuto mátici prevedeme elementá rn ími tránsformácemi ná mátici (Cld), kde mátice C je diágon á ln í mátice, (to lze, jestlize mátice A je regulárn í). Postupne dost áváme (Alb) l -a 2 O 5 -2 24l rS = 2rl + rS I rl = rS = ar2 + 5rl 2r2 + 5rS I rl = 2lrl - 4r2 r2 = 2rS + 2lrS l -a 2 O 5 -2 -2 4 1 l -a 2 O 5 -2 O -2 5 5O 4 17 O5 -2 4 OO 2l 6a Posledn í mátici odpovídá syste m rovnic lO5xl lO5x2 I 4 9 l 4 II l O O 2lxS lO5 O O lO5, 2lO, 6a. -a 2 1 x 5 -2 4 -2 5 11 O 4 17 > 5 -2 4 O 21 6a O O 105 lO5 O 210 O 2l 6a Jeho resen ím dostává me hledány vektor x 4.5 Jordanova metoda na řešení maticove rovnice AX=B Uvářzujme syst em rovnic AX = B, (4.3T) kde A je dáná ctvercová regulárn í mátice rá du n, B je dán á mátice typu (n, m) á X je nezn ám á mátice typu (n, m). 78 Kazdy sloupec X(: , j), j = 1, ... ,m, matice X je resen ím syste mu rovnic AX(: ,j) = B(:,j), j = 1,...,m. (4.38) Mame tedy resit m syste mu rovnic (4.38) se stejnou matic í soustavy A. Tyto syste my muzeme resit najednou. K syste mu rovnic (4.37) přiřaďme matici rozsířenou (A | B). (4.39) Uzitím elementarn ích transformací prevedeme tuto matici na matici (E I C), (4.40) kde E je jednotkova matice. Polozme G := D1 F. Matice G ma tedy tvar G = (E I R). Teto matici odpovíd a syste mu rovnic E X = R, (4.41) kteryje ekvivalentn í se syste mem (4.37). Ponevadz E . X = X, dosta vame ze syste mu (4.41) X = R, (4.42) takze matice R je resen ím syste mu (4.37). Výpočet inverzní matice k regulárni matici řádu n V podkapitole 5.4 jsme ukazali, ze v případe, ze matice A je regularn í, potom inverzn í matici, oznacme ji X, nalezneme resen ím syste mu rovnic AX = E. Jde tedy o resen í syste mu, kteryje speci a ln ím prípadem syste mu rovnic (4.37). Převod matice F elementárními transformacemi na matici G. Algoritmus. Předpokl a dejme, ze promenn e F je priřazena matice (A | B) a promenn e n je prirazen ra d matice A a promenn e m je přiřazen pocet sloupcu matice B. 79 Začátek BI Začneme s úpravou prvn ího sloupce matice F. Poloz íme j := 1- B2 Zvolme p E {j, j + 1, -.., n}, pro než je (Takove p existuje vzhledem k regulárnosti matice A.) Touto volbou zvol íme p-tý ra dek matice F jako hlavn í pro nasledn e eliminace. Jestliže p = j, je j-tý ra dek hlavn í a jdeme k B3. Jestliže p = j, výmen íme navz ajem p—tý a j—tý řá dek matice F a jdeme k B3. B3 Pro i = 1, ... ,n,i = j, provedeme týto ukoný bl Položme i := 1, jdeme k b2. b2 Jestliže i = j jdeme k b4, jinak k b3. b3 Je-li fitj = 0, jdeme k b4, jinak polož íme F = Hli j, —fi j lfjá ,i, 1)F. (Po teto transformací bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 položme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4. B4 Položme j := j + 1. Jestliže j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Puvodn í matice F se transformovala na matici F = (D | C) kde matice D je diagoní ln í. Potom hledana matice G je G := D-1 F = (EIR). Příklad 4.9. Naležnete inveržn í matici k matici A 1 2 4 -2 1 2 4 3 5 (4.43) Řešení. Ožnacme X matici inveržn í k matici A. Předpokl a dame-li, že matice A je regularn í, je hledan a matice X resen ím sýste mu linea rn ích rovnic A X = E. Teto rovnici odpovíd a matice F = (A|E), to jest matice F 124 212 435 100 010 001 (4.44) 80 Na matici F budeme postupně aplikovat elementá rn í tranasformace podle nahoře popsán é ho algoritmu. Položme j := 1. ZaCneme s Úpravami prvn ího sloupce matice F. Za hlavn í radek zvol íme ra dek 1.(Prvek f11 = 0.) Elementa rn ími transformacemi typu H 4 dosa hneme toho, aby ve vznikl e matici byly prvky f2>1, f3,1 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(1, — f2>1/fi>1, 2,1)F , to jest transformac í F := H4(1, 2, 2,1)F dost a vame / 1 2 4 10 0 F = I 0 5 10 2 1 0 V 4 3 5 0 0 1 Proveden ím transformace F := H4(1, — f3í1/f1}1, 3,1)F to jest proveden ím transformace F := H4(1, —4, 3,1)F dostava me F := 1 0 0 24 5 10 5 11 1 0 0 2 1 0 401 Položme j := 2. Zacneme s upravami druh e ho sloupce matice F. Za hlavn í ra dek zvol íme ra dek 2.(Prvek f2>2 = 0.) Elementa rn ími transformacemi typu H4 dosa hneme toho, aby ve vznikl e matici byly prvky f1>2, f3>2 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(2, —f1>2/f2í2,1,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, —2/5,1,1)F dostavame' F 1 0 0 00 5 10 5 11 1/5 2 4 2/5 1 0 Proveden ím transformace F := H4(2, —f3,2/f2t2, 3,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, 5/5, 3,1)F, dostavame 10 05 00 0 10 1 1/5 2 2 2/5 1 1 Položme j := 3. Zacneme s upravami třetího sloupce matice F. Za hlavn í ra dek zvol íme ra dek 3.(Prvek f33 = 0.) Ponevadz f13 = 0, provedeme jenom takovou elementa rn í transformaci typu H4, aby ve vznikl e matici byl prvek f23 roven nule. Proveden ím transformace F := H4(3, —f2í3/f3>3, 2,1)F, to jest transformací F := H4(3,10, 2,1)F dosta vame F 10 05 00 0 0 1 1/5 —2/5 — 18 11 2 11 1 0 10 1 81 Oznacme obdrzenou matici F jako F = (D | C). Je tedý D K n í inverzn í matic í je matice D—1 1 0 0 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1/5 0 0 0 1 Polozme Dost av ame G Matici G lze zapsat jako G := D—1 F. 100 010 001 1/5 —2/5 0 _ 18 11 2 5 5 2 2 -1 -1 G = (E I R). Teto matic íodpov íd a sýste m rovnic EX = R ekvivalentn í s daným sýste mem rovnic AX = E. Je tedý hledanou inverzn í matic í matice 1/5 2/5 0 X=R= 18 11 9 5 5 2 2 -1 -1 82 Kapitola 5 Determinanty V teto kápitole se zává d í pojem determinántu ctvercove mátice á zpusoby jeho vyc íslen í. Odvozuje se Crámerovo právidlo ná resen ísyste mu line á rn ích rovnic pomoc í determinántu á prímy vypocet inverzn í mátice. 5.1 Zavedení pojmu determinantu matice Několik úvodních slov. Uvázujme syste m dvou lineárn ích rovnic o dvou nezn á mych a1,1 ' x1 + a1,2 ' x2 = b1, (5 1) «2,1 ' x1 + «2,2 ' x2 = &2- ( Jestlize a1)1 • a2>2 - a12 • a2>1 = 0, potom &1 ' a2,2 - b2 ' a1,2 i>2 ' a\,1 - 61 • a2,1 (r. ^ x1 =-, x2 =- (5.2) a1,1 ' a2,2 - a1,2 ' a2,1 a1,1 ' a2,2 - a1,2 ' a2,1 je resen ím syste mu (5.1), ják se lze presvedcit dosázen ím techto hodnot zá x1, x2 do rovnic (5.1). Záved'me si toto oznácen í. Oznácme C mátici , C1,1 C1,2 C 1,1 1,2 / C1,1 C1,2 \ V C2,1 C2,2 / _ C2,1 C2,2 Potom c íslo C1,1 ' C2,2 - C1,2 ' C2,1 názveme determinántem mátice C. Oznácíme jej det(C), resp. \C|. Tedy C1,1 C1,2 det(C) = deti C2,1 C2,2 C1,1 C1,2 C2,1 C2,2 83 c1,1 ' c2,2 - c1,2 ' c2,1. Resen í (5.2) syste mu (5.1) lze pák pomoc í determinántu zápsát tákto x1 b1 a1 2 a1 1 b1 b2 a2 2 a2 1 b2 a1 1 a1 2 , x2 = a1 1 a1,2 a2 1 a2 2 a2 1 a2,2 (5.3) V techto vzorc ích je jmenovátel determinántem mátice soustávy A a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 ktery je dle predpokládu = 0. Čitátel ve vyjádřen í pro x1 je determinántem mátice, která vznikne z mátice A náhrádou jej ího prvn ího sloupce vektorem právych strán C2) Podobne citátel ve vyj á dren í x2 je determinántem mátice, která vznikne z mátice A ní hrádou jej ího druh e ho sloupce vektorem právych strán b. V dálsím si závedeme pojem determinántu i pro ctvercove mátice A libovoln e ho řádu n. Budeme jej znácit shodne jáko determinánty mátic ří du 2. Determinánty vyuzijeme při resen í syste mu n lineárn ích rovnic o n nezní mych. Pojem determinántu se vyuz ívá i při resen í rády jin y ch ekonomickych uloh. Záved'me si nyn í pojem determinántu mátice. b Definice 5.1. (Determinant matice) Necht: A je ctvercová mátice. Determinántem mátice A rozum íme říslo, oznácme je \A\ nebo det(A), definován e tákto: Je-li n =1, to jest, jestlize A = (a11), potom \A\ = a11. Jestlize je jiz definová n determinánt mátice ří du n - 1, potom determinánt mátice rá du n definujeme tákto: \A\ = (-1)1+1a1,1 '\A1A\ + ... + + (-1)1+fca1,k '\Ahk\ + ... + (-1)1+nahn '\Am\ , (5.4) kde Aiyj je mátice (ják jsme si to jiz dríve závedli), která vznikne z mátice A vypusten ím jej ího z-teho řádku á j-te ho sloupce. Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině všech čtvercových matic. Príklad 5.1. Nápř. je-li A = (-2), potom \A\ = -2. 84 Příklad 5.2. Nechť Dokařzme, řze Skuteřcnře, podle (5.4) je A / «1,1 «1,2 \ V «2,1 «2,2 / \A\ — «1,1 • «2,2 — «1,2 ' «2,1- \A\ = (—• «1,1 • \A1,1 \ + (—1)1+2 • «1,2- \A1,2\ - (5.5) (5.6) (5.7) Zde A11 je matice, která vznikne z matice A vypusten ím 1. rá dku a 1. sloupce. Je tedy A1t1 = («^2), \A1,1\ = «2,2. Podobne A1,2 je matice vznikl á z matice A vypusten ím jej ího prvn ího řádku a 2. sloupce. Je tedy A^2 = («2^), \A^2\ = «2,1. Dosazen ím do (5.7) dostav ame \A\ «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 Po upravře dostaneme ( —• «1,1 • «2,2 + (—1)1+2 • «1,2 • «2,1- «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 «1,1 • «2,2 — «1,2 • «2,1- Poznamka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od soucinu prvku na hlavn í diagonále odecteme soucin prvku na vedlejsí diagon á le. Příklad 5.3. Vypocítejte hodnotu determinantu matice (3 —2) A Řešení. Jedná se o vypocet determinantu matice 2. řádu. Podle (5.6) je \A\ =„soucin prvku na hlavn í diagon á le — soucin prvku na vedlejsí diagonále". Tedy \A\ = 3 • 4 — (—2) • 5, \A\ = 22- Příklad 5.4. Necht; A je matice rá du 3 «1 ,1 «1,2 «1,3 A = «2,1 «2,2 «2,3 «3,1 «3,2 «3,3 (5.8) 85 Vypoc ítejme determinant z teto matice. Podle Definice 5.1 je \A\ = ' aM '\A1A\ + (-1)1+2 ' a1>2 '\Ah2\ + (-1)1+3 • «1,3 ' |A1,3\. (5.9) Zde A11 je matice, která vznikne z matice A vypusten ím 1. rá dku a l.sloupce. Je tedy a2,2 a2,3 a2,2 a2,3 a3,2 a3,3 A1,1 a3,2 a3,3 takze podle (5.6) je \A1,1\ = a2,2 ' a3,3 - a2,3 ' a3,2. (5.10) Matice A12 vznikne z matice A vypusten ím 1. ří dku a 2. sloupce. Je tedy a2,1 a2,3 a2,1 a2,3 a3,1 a3,3 A1,2 a3,1 a3,3 takřze podle (5.6) je \ A1,2\ = a2,1 ' a3,3 - a2,3 ' a3,1. (5.11) Matice A13 vznikne z matice A vypusten ím 1. ří dku a 3. sloupce. Je tedy a2,1 a2,2 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 A1,3 a3,1 a3,2 takřze podle (5.6) je \ A1,3\ = a2,1 ' a3,2 - a2,2 ' a3,1. (5.12) Dosad íme-li do (5.9) za \A11-1 \, \A^2\, \A1,3\ vypocítan e hodnoty (5.10), (5.11), (5.12), dost avame \ A\ = a1,1 ' (a2,2 ' a3,3 - a2,3 ' a3,2) - a1,2 ' (a2,1 ' a3,3 - a2,3 ' a3,1)+ + a1,3 ' (a2,1 ' a3,2 - a2,2 ' a3,1). (5.13) Odtud dost avame po upravře \ A\ = (a1,1 ' a2,2 ' a3,3 + a2,1 ' a3,2 ' a1,3 + a3,1 ' a1,2 ' a2,3)- (a3,1 ' a2,2 ' a1,3 + a1,1 ' a3,2 ' a2,3 + a2,1 ' a1,2 ' a3,3). (5.14) Odtud dostává me následuj íc í pravidlo—.Sarusovo pravidlo" pro vyc íslen í determinantu matice řádu 3. 86 Pozor!! Poznámka. Je nutno si uvědomit, ze Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro determinanty matic 3. řádu. Pro matice vyšších YádU není obdoba Sarusova pravidla. Sarusovo pravidlo. Podle príkladu 5.4 se vypočíta hodnota determinantu matice A řádu n = 3 vztahem \A\ = S - S2, (5.15) kde 51 = ' a2,2 ' a3,3 + a2,1 ' a3,2 ' a1,3 + a3,1 ' a1,2 ' a2,3 ? 52 = «3,1 ' a2,2 ' «1,3 + 0:1,1 ' 03,2 ' «2,3 + «2,1 ■ «1,2 ' «3,3. Vidíme, Ze S1 je sou ctem tří clenu, každý z nich je sou žinem tří prvku matice A. Na nasledujícím obrazku 5.1 jsou prvky matice vyznaZeny kroužky a každa trojice prvku, jejichž sou čin je členem v S1, je propojena čarou. S2 je soužtem tžížlenu, každý z nich je soužinem tžíprvku matice A. Na nísledujícím obrazku 5.2 jsou prvky matice vyzna ženy kroužky a každa trojice prvku, jejichž soužin je clenem v S2, je propojena carou. Obrázek 5.1: S1 Obrázek 5.2: S2 Příklad 5.5. Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 -2 3 \ A 2 4-2 -3 6 7) uZitím Sarusová pravidlá. Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu 5 -2 3 \ A\ = 2 4 -2 -3 6 7 87 Podle Sarusova pravidla dostáváme | A\ = [5 • 4 • 7 + (-2) • (-2) • (-3) + 2 • 6 • 3] - [3 • 4 • (-3) + (-2) • 6 • 5 + (-2) • 2 • 7]. Úpravou dostáváme \A\ = [140 - 12 + 36] - [-36 - 60 - 28], takže |A| = 288. Příklad 5.6. Vypočítejte hodnotu determinantu matice A 1 2 -1 3 2 3 4 1 0 1 2 3 1 4 -3 -2 Řešení. Podle (5.4) dostavame 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 | A| = 1 • 1 2 3 - 2 • 0 2 3 - 1 • 0 1 3 - 3 • 0 1 2 4 -3 -2 1 -3 -2 1 4 -2 1 4 -3 Hodnotu kazdeho z techto determinantu matic radu 3 určíme užitím Sarusova pravidla. Dostavame \A\ = 1 • 60 - 2 • 20 - 1 • (-20) - 3 • (-20), takže \A\ = 100. 5.2 Výpočet determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. sloupce Napred uved'me nekolik vlastností determinantu čtvercových matic. Veta 5.1. Necht: i = j jsou indexy řádků čtvercové matice A a necht: B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou vymčnou jejího i- teho čádku s j-tym řádkem. Potom platí \B\ = -\A\ 88 Veta 5.2. Necht: A je matice řadu n > 1. Necht její i-tý řádek (sloupec) je stejný jako její j-tý řádek (sloupec), i = j. Potom \A\ = 0. Důkaz.Skutecne. Oznacme B matici, která vznikne z matice A vymenou obou stejnych rá dku (sloupcu) matice A. Je tedy A =B, takze \A\ = \B\. Ponevadz matice B vznikla z matice A vymenou dvou jejich řádku (sloupcu) je \A\ =- \B\. To je mozn e jen v prípade, ze \ A\ = \B\. Příklad 5.7. Nechť A / 5 -2 3 \ 2 4 -2 523 Vid íme, že v této matici jsou si prvn í a třet í řádek rovny. Výpočtem se snadno přesvědč íte, že \A\ =0. Uved'me si tento príklad.Necht H-12] b =( -;3) Matice B vnikla z matice A vzájemnou vymenou jej ího prvn ího a druh e ho řádku. Zřejme \A\ = -5, \B\ = 5.e tedy ve shode s vetou (5.1), ze \A\ = -\vekB\. V definici 5.1 determinantu matice má jej í prvn í řá dek vyjimecn e postaven í.Lze doká zat, ze vypocet determinantu ctvercove matice A lze provest analogickym zpusobem - m ísto prvn ího rá dku lze pouz ít libovolny řádek, jak je uvedeno v n á sleduj íc í vete. Dukaz teto vety nebudeme prová det, v dukaze se vyuz ívá veta (5.1). Veta 5.3. (Výpočet determinantu - rozvoj podle řádku.) Necht: A je libovolný matice řádu n > 0. Potom pro každé s E {1, ... n}. platí n \A\ = J2(-1)S+k ' ask '\As,k\ (5.16) Výpočet pomocí tohoto vzorce nazývame výpočtem determinantu matice A rozvojem podle s-teho řadku. DUkaz: Dukaz nebudeme provádet. Dukaz se op írá o vetu, ze vz ájemnou vymenou dvou rá dku se zmen í znam e nko hodnoty determinantu. 89 Příklad 5.8. Vypočítejte hodnotu determinantu matice A / 1 2 0 -1\ 0 0 3 0 4 0 12 V 5 1 0 2 / Řešení. Ponevadz ve druhem radku ma matice A tri nulove prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme výpočet determinatu dane matice rozvojem podle druheho radku. Podle predchazející vety obdrZíme \A\ = -0 -\A2A\ +0 -\A2,2\ +3 • (-1)2+3 1 2 -1 4 0 2 5 1 2 + 0 •\A2A\ = - 3 • (-2) = 6. Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice AT. Zabývejme se nyní vztahem mezi hodnotou determinantu matice A a matice k ní transponovane AT. Dríve nez uvedeme vetu o vzajemnem vztahu mezi determinantem matice A a determinantem matice AT, tak si uvedomte, ze matice AT je transponovana k matici A, jestlize kazdý i-tý radek matice A je i-tým sloupcem matice AT. Lehce nahledneme, ze platí vztah (Ai,J)T = (A (5.17) Doporucuji, abý jste si tento vztah sami dokazali. Abýchom demonstrovali pravdivost tohoto vztahu, uved'me nasledující príklad. Příklad 5.9. Nechť A 123 456 7 8 9 AT 147 258 369 Vidíme, ze napr. (AT )2,3 13 46 (A3,2)T. Dokazme nýní, platnost teto vetý. 90 Věta 5.4. Necht. A je čtvercová matice řádu n. Potom det( A) = det( AT). (5.18) Důkaz: Vetu dokážeme už itím matematické indukce. Veta je evidentn e správná pro matice rádu n =1. Předpokládejme nyní, že veta je správná pro matice řádu n a doka ž me, ž e je pak spravna i pro matice radu n +1. Necht: tedy A je matice A / 0,1,1 a1,2 ai,1 0i,2 a1,n+1 \ 0i,n+1 \ 0n+1,1 0n+1,2 ■ ■ ■ 0n+1,n+1 / Ožna c me A = AT, takž e ak,n+1 ak,n+2 01,n+1 \ Ok n+1 \ 0n+1,1 0n+1,2 ^ ^ ^ 0n+1,n+1 / Rožvojem podle i-teho řadku matice A dostáváme n+1 kde (0i,j — 0j,i (5.19) k=1 Rožvojem podle fc-teho radku matice A dostaváme n+1 \A = Y,(-1)k+l0k,\AkA i=1 n+1 i=1 (5.20) Vžhledem k tomu, že akíi = aikk a pon evad ž podle (5.17) je (Aij)T = (AT= A lže tento vžtah p repsat na tvar j i (5.21) 91 Poněvadž podle indukčního předpokladu je věta správná pro matice řádu n, je | (Aí;fc)T| \Aitk|, takže n+l (5.22) i=l Provedeme-li výpočet \ A\ podle (5.19) pro i =1, 2, ... ,n + 1 a tyto obdržené výsledky sečteme, dostávame n+l n+l (n + 1)\A\ = ahk\Aik\. (5.23) i=l k=l Podobne, provedeme-li výpočet \ A\ podle (5.21) pro k =1, 2, ... ,n +1 a tytoobdržene výsledky sečteme, dostávame n+l n+l (n + 1)\A\ = J2(-1ý+kJ2 aik\Ai,k\. i=l k=l Porovnáním (5.23) a (5.24), dostaváme, že detA = detAT. (5.24) □ Bezprostředním dUsledkem teto vety je následující veta, ktera ukazuje žpUsob vyčíslení determinantu matice rozvojem podle libovolneho sloupce matice. Veta 5.5. (Výpočet determinantu - rozvoj podle sloupce) Necht A je matice n-teho řádu A al l an-l ,l an l an—l, j al n a2 n a n— l n an n Necht j je libovolný index jejího sloupce. Potom n \ A\ = (-1)k+j ak j \ Ak j\ . (5.25) k=l DUkaz: Vzorec (5.25) nažyva me vypočtem determinantu matice A rozvojem podle jej ího j-te ho sloupče. □ 92 Příklad 5.10. Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 3\ A = 4 5 6 l7 8 97 rozvojem podle druheho sloupce. Řešení. Dostávame \A\ = 2 • (-1)1+2 Po vyčíslení obdrZíme \ A\ = 0. 46 7 9 + 5 • (-1)2+2 13 79 + 8 • (-1)3+2 13 46 Veta 5.6. Necht A je matice řádu n > 1. Necht: všechny prvky v některém jejím řádku (resp. sloupci) jsou rovny 0. Potom \A\ = 0. Důkaz: Tvrzení vychází z výpočtu determinantu matice rozvojem podle řádku (sloupce), jehož vSechny prvky jsou rovny 0. □ 5.3 Hodnota determinantu matice B vznikle z matice A. UkaZme si vztah mezi hodnotou determinantu z matice A a matice B, ktera vznikne z matice A nekterou elementa rn í transformac í.Plat í tyto vety. Veta 5.7. Necht: A je čtvercová matice n-táho řádu. Potom platí: Necht: B je matice, která vznikne z matice A vynásobením jejího i-teho řádku realnym oslem a tj. necht: B = T1(i,a)A, kdea e R Potom platí \B\ = a\A\ (5.26) Slovy „determinant matice B, ktera vznikne z matice A vynásobením jejího libo-volneho radku i číslem a, má hodnotu a\A\ ", tj. \T1(i, a)A| = a\A\. 93 Dukaz je snadny. Stac í porovnat vypocty obou determinantu matic A, B rozvojem podle i—t eho řr adku. Tuto vetu demonstrujme na tomto príklade. V nem matice B vznikne z matice A vyn a soben ím prvn ího ra dku matice A c íslem „3". Příklad 5.11. A = 3 4 = —2, B = 3 4 = —6 Tedy | B| = 3| A| ve shodře s nahořre uvedenou vřetou (5.7). Veta 5.8. Necht: a, P E R, i = j jsou indexy řádku mátice A á necht: B je mátice, která vznikne z mátice A ták, ze její i—ty řádek vynásobený číslem a se p řičte k j — tému řádku vynásobenému číslem P, tj B = T 2(i,a; j, P) A Potom plátí B | = P|A| Slovy „Necht: B je mátice, která vznikne z mátice A ták, ze její i—ty čádek vynásobeny císlem a se pčicte j—tému čádku vynásobenému císlem P. Potom plátí" |B| = P A Upozornení. i—ty čádek v mátici B je stejní jáko v mátici A. DUkaz: provedeme ve dvou kroc ích, napřed dokazeme tuto vetu pro zvlastn í prípad a = P =1. 1. Necht: Bi = T2(i, 1; j, 1), tj. necht: matice B1 je matice, jej íz j—ty řadek je souctem i—teho a j—tího řadku matice A a ostatn í ra dky jsou stejn e jak ma matice A. Dokazme, ze v tomto případe plat í |B| = |A|. Rozvojem podle j— t eho řradku dostav ame B ^ = |B2| + |A| kde B2 je matice, ktera ma j—ty řadek stejny jako i-ty ra dek a ostatn í ra dky ma stejn e jako ma matice A. Je tedy B2\ = 0. Tedy = —A—. 2. Necht: nyn í a = 0. Potom matici B dostaneme z matice A postupne temito elementarn ími transformacemi takto: C = T1(i, a)A, D = T1(j, P )C, F = T 2(i, 1; j, 1)D, B = T1(i, - D). a 94 Zřejmě \D\ = a.p.\a = \f\. Odtud B = p.\a\. Příklad 5.12. Necht! A / 1 -2 3 \ 0 1 2 V 2 -3 1 ) Výpočtem dostaneme \A\ = —7. Označme t.j. matici B = T2(1, 3; 3, 2)A 1 -2 3 B 0 1 2 \4 —6 2 y Výpočtem zjistíme, Ze \B\ = —14, takZe skutečne \B 2\A\. Nasleduj ící vetu jsme jiz sice uvedli, ale uvedeme ji jeste jednou, aby všechny tři vety týkaj ící se vypoctu determinantu z matice vznikl e elementa rn ími transformacemi z jin e matice byly uvedeny na jednou m íste. Veta 5.9. Necht i = j jsou indexy řádků čtvercové matice A a necht B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou vymčnou i— tého čádku s j — tym čédkem, tj. necht Potom platí B = T3(i, j)A \B\ = -\A\ Slovy „Necht b je matice, ktera vznikne z matice a tak vzájemnou vymčnou i—tého řadku Potom \b\ = —|A|, " tj. \r 3(i,j )\ = —\a\. 95 5.4 Výpočet hodnoty determinantu z horní schodovité matice. Veta 5.10. (Determinant horní schodovite matice) Necht B je horní schodovitá matice n-tého řádu: ( bi,2 bi,3 ... b1,n-1 b1,n \ 0 &2,2 b2,3 . . . b2,n-1 b2,n 0 0 b3,3 . . . b3,n-1 b3,n 0 0 . . . 0 bn—1,n—1 b bn—1, n 0 0 . . . 0 0 bn n ) (5.27) Potom \B\ = b1 ,1 • b2,2 • ... • bnn. (5.28) Důkaz: Proved'me výpocet hodnotý determinantu teto matice rozvojem podle jej ího prvn ího sloupce. Dostavame \B\ = (-1)1+1 • b1,1 b2 2 b2 3 0 b3 3 00 00 b2 n- 1 b3 n- 1 b2 n b3 n bn- 1 n- 1 bn- 1 n 0 bn n Hodnotu determinantu takto vznikl e matice urc íme opet rozvojem podle prvn ího sloupce. Dost av ame \B \ = b1,1 • • • b2,2 b3 3 b3 n-1 b3 n bn- 1 n- 1 bn- 1 n 0 bn n 0 0 96 T ímto způsobem pokračujeme, až po n krocích obdrž íme hledaný vzorec (5.28) \B\ = 6M • 62,2 bn,n. □ A Příklad 5.13. Výpoc ítejte hodnotu determinantu matice / 5 2 4 5 \ 0434 0084 0002 Řešení. Podle vzorce (5.28) dostava me \A\ = 5 • 4 • 8 • 2 = 320. (5.29) Poznámka. Jestliže nekterý prvek schodovite matice B na hlavn í diagon a le je roven 0, potom \B\ = 0. Výpočet hodnoty determinantu jejím převodem na horní schodovitou matici Ukažme si metodu výpoctu hodnoty determinantu ze ctvercove matice ra du n převodem na horn í trojuheln íkovou matici užit ím elementa rn ích transformací. (Uvažme, že horn í schodovita matice je horn í trojuheln íkovou matic í.) Ve výkladu použ íva me ožnacen í: A ... promenn a pro matici. Y... promenna, v n íž se sleduje žmena hodnoty determinantu vlivem elementá rn ítrans-formace. D ... Ožnacen í hledan e hodnoty determinantu Na žacatku výpoctu je promenn e A priražena matice, že ktere m a me pocítat hodnotu determinantu. Na žacítku výpoctu polož íme Y :=1, takže na žacatku výpoctu je D = Y \ A\ Algoritmus výpoctu je podobný jako algoritmus, který jsme uvedli pro transformaci matice na schodovitý tvar. Mus íme m ít vsak na pameti, že vlivem elementa rn í transformace se obecne žmen í hodnota determinantu a to takto 1. Jestliže 1 B = T 1(i,a)A, a = 0, potom \A\ = -\B\ a 97 2. Jestliže B = T2(i,a; j,f )A, ff = 0, potom \A\ = -\B\ 3. Jestliže B = T3(i, j)A, potom \A\ = -\B\ ZAČÁTEK i = 1 Bod 1. Budeme vytvářet i-ty řádek hledané matice trojúhelníkového tvaru. Bod 2. K Číslu i urCíme nejmenSí pořadove Číslo sloupce matice A, v jehož řádcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulový prvek. Toto pořadove císlo sloupce ožnacme si. Je-li si > i je hodnota determinantu D rovna nule. Výpocet je ukoncen.V opacnem prípade jdeme k Bod 3. Bod 3. Zvolme p E {i,... ,m}, pro než je aPSi = 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno ž nich).Zvolený p-tý radek matice A nažveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme navžajem p-tý a i-ty radek matice A. Zaroven žmeníme hodnotu promenne 7, položíme 7 = —j. Tedy A := T3(i,p)A, 7 := —7 Po teto výmene je i-ty řídek hlavním řadkem. Pro tuto transformovanou matici tedy platí D = 7 -\A\ Je-li p = i, je již i-ty řadek hlavním řídkem. Výmena radku se tedy neprovadí a neprovadíse žmena hodnoty promenne 7. Bod 5. Provedeme nyní takove operace, aby po jejich realižaci byly prvky ai+i, Si,... ,ams Si rovny 0 a hodnota promenne 7 se žmenila odpovídajíacím žpusobem. Toho dosahneme napřr.podle a) nebo podle b) a) Pro každe j = i + 1,... ,n, pro než ajsSi = 0 provedeme oba tyto ukony A := Tlil, -ajs si ; j, ai s si)A; 7 := —7 ai Si nebo transformací b) Pro ty indexy j = i + 1,... ,m pro než ajs Si = 0, provedeme tuto transformaci A := T=^ ; j 1)A Bod 6. Jestliže matice A není jeste ve schodovitem tvaru, položme i = i + 1 a přejdeme žpet na Bod 1. Je-li A již horn í trojuheln íkovou maticí, je D = 7 • ai,i • . • an,n. 98 Příklad 5.14. Vypoč ítejte determinant matice jej ím převodem na horn ítrojúheln íkovou matici / 0 2 1 0 \ 2 10-2 Řešení. Položme -3 3 2 0 3 1 1 0 A 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 Hodnotu determinantu dan e matice označme D. PoloZme 7 := 1, takZe D = 7'det(A). 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 -3 3 2 1 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 7 := 7 ' { r2 = 2r1 + 3r2 -3 3 2 1 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 2 1 0 0 3 1 0 ! r3 = r4 = -2r2 + 9r3 3r2 - 9r4 0 9 4 -4 0 2 1 0 0 3 1 0 7:=7 7:=7 -3 3 2 1 -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 0 1 8 0 0 3 -12 1 1 9 ' T r4 = - 3r3 + r4 -3 3 2 094 001 1 -4 8 V 0 0 3 -12 / -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 0 1 8 0 0 0 -36 7:=7'1 99 1 3 T ím jsme dospeli k horn í trojuheln íkove matici A. Hodnota determinantu ž teto horn í trojuheln íkove matici je rovna soucinu diagon a ln ích prvku, tedy \A\ = (—3) • 9 • 1 • (—36). Hodnota promenn e 7 je rovna (—1) • 3 • (—1) • 1 • 1. Je tedy D = 7 ^\A\ = 4 5.5 Použití determinantů Přímá metoda řešení systému lineárních rovnic. V drívejs ím výkladu jsme se sežn a mili s řesen ím syste mu n line a rn ích algebraických rovnic o n nežn am ych Ax = b, jestliřže matice soustavy A ma hodnost n. Za tohoto přredpokladu m a tento syst em rovnic podle Frobeniovy vety príve jedno resen í. Na resen í tohoto syste mu jsme si v drívejsím pojednan í ukažali dve metody - Gaussovu a Jordanovu metodu. Ukažme si nyn í jeste dals í metodu - Crammerovo pravidlo. Touto metodou se řesen í urc í pomoc í determinantu. Pro naležen í řesen í syste mu n rovnic o n nežní mých je nutno vyc íslit n + 1 determinantu ž matic n-te ho řadu.(Pokuste se odhadnout pocet aritmetických operací, ktere by bylo nutno provest k resen í syste mu napr. 100 rovnic o 100 nežn a mých !!!). Vžhledem k velke mu poctu operací potřebných k resen í syste mu rovnic o vetsím poctu nežn a mých, se tato metoda použ íva jen pro resen í mens ího poctu rovnic anebo tam, kde potřebujeme řesen í explicitne žapsat, aniž bychom jednotlive determinanty pocítali. 5.6 Cramerovo pravidlo Veta 5.11. (Cramerovo pravidlo) Necht A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozmčrný sloupcový vektor a x je hledaný sloupcový n-rozmerný vektor. Označme Bi, i = 1, . . . , n, matici, který vznikne z matice A tak, Ze její i-tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran, vektorem b. 100 Potom system lineárních rovnic Ax = b (5.30) má práve jedno řešení x, pro jehož složky platí \Bi\ Xi = jaj" , i = 1,...,n. (5.31) Důkaz. Dokažme, že vektor x o složkačh Xk = ^\Al\, k = 1,...,n, (5.32) je resením systemu (5.30). Nečht j je jedno ž čísel 1,... ,n. Dosažením hodnot xk do leve strany j-te rovniče vysetrovaneho systemu obdržíme veličinu, kterou ožnačíme L. Dost av ame k=l k=l \ A\ Rožvojem determinantu \Bk\ podle k-teho sloupče dostavame odtud nn L = r^E ajkY, (-1)i+k bi\Ai,k \. \ A\ k=l i=l Provedením upravy pak dostavame nn L = u] 5>1)i—j biY, (-1)j+k k \Ai, k\. (5.33) \ A\ i=l k=l Vyraž (5.33) rožepíseme na dva sčítanče - pro i = j a pro i = j. Je tedy n n n L = Abj^t(-1)j+k\Aj,k\ + E (-1)j+kaj,k\Ak\. (5.34) k=l i=l i=j k=l Ponevadž nn J2(-1)j+k aj, k\Ajk \ = \A\, (-1)j+k aj,k A k \ = 0 pro i = j k=l k=l dostavame ž (5.33), že L = bj.Je tedy skutečne vektor x o složkačh (5.31) resením syst emu 5.30). 101 Příklad 5.15. Uzit ím Cramerova pravidla řeste ní sleduj íc í syste m lineárn ích rovnic X1 + 2X2 -X3 2x1 + 7x2 - x3 3x1 + 6x2 - x3 (5.35) Řešení. Oznacíme-li A matici soustavy tohoto syste mu, b vektor pravych stran a x vektor nezna m ych, je A (1 2 -1\ 2 7 -1 3 6 1 -1 3 1 x= x1 x2 x3 (5.36) Vypoctem zjistíme, ze \A\ = 6. Je tedy matice A regul á rn í a dany syste m lze řesit Cramerov ym pravidlem. Matici B1 dostaneme tak, ze prvn í sloupec matice A nahrad íme vektorem b. Dostáváme tak matici 1 2 1 B1 V 3 7 -1 1 6 1 a determinant \B1\ = -6. Matici B2 dostaneme tak, ze druh y sloupec matice A nahrad íme vektorem b. Dostáváme tak matici 111 B2 2 3 -1 311 a determinant \B2\ 6. Matici B3 dostaneme z matice A tak, ze jej í třetí sloupec nahrad íme vektorem b. Dostaneme tak matici 1 2 -1 B3 2 7 3 3 6 1 Resen ím syste mu (5.35) je tedy a determinant \B3\ 12. x1 \B 1 \ x2 x3 \B2\ = 6 = 6 = 6 = jBaj 12 6 6 -1, 1, 2. b 102 5.7 Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Řekli jsme, ze matice B je inverzní k matici A, jestliZe A• B = B • A = E. Ukazali jsme, Ze jestliZe Ctvercova matice A je regularní, potom matice B, pro níz platí A B = E je hledanou inverzní maticí. Ukazali jsme si Jordanovu metodu na řesení tohoto systemu rovnic. Nyní si ukazeme metodu, kterou muzeme vypocítat inverzní matici k matici A pomocí determinantu. Při vypoctu je nutno vypocítat determinant z matice A a n2 determinantu matic řadu (n — 1. Metoda je zalozena na Cramerove pravidlu. Nechť tedy matice A je regularní ctvercova matice řadu n. Hledejme ctvercovou matici B tak, řze A • B = E. (5.37) Zvolme i E {1, ..., n}. Uvazujme i—ty sloupec B(:, i) hledane matice B a i—ty sloupec E(:, i) matice E. Tedy B(:, i) ( bM \ b2, i bi-\, i bi i bi+l,i E(:, i) 0 0 1 0 0 . . . i—t y řradek Ze vztahu (5.37) vyplyva A • B(:,i) = E Tento system rovnic řesme uzitím Cramerova pravidla. Dostavame b.. := m j,i : \A\ ' j = 1' (5.38) (5.39) kde C j je matice, ktera vznikla z matice A nahrazením jejího j—teho sloupce vektorem Ei). Determinant \Cj\ vycíslíme rozvojem podle j—teho sloupce. Jediny nenulový prvek v tomto sloupci je císlo 1 v i—tem radku.Tedy \Cj\ = (—1)i+j -\Aij\. (5.40) ... j 103 Z (5.39), (5.40) vyplyva (5.41) Z (5.41) pro i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n dostava me matici B. Vypoctem se přesvedc íme, ze BA = E. Je tedy matice B skutecne matice inverzn í k matici A. Dosazeny vysledek muzeme shrnout do nasleduj íc í vety. Veta 5.12. (Výpočet inverzní matice) Necht A je regulační čtvercova matice řadu n. Potom k matici A existuje prave jedna matice inverzní, označme ji B. Její prvek bi j se vypočíta podle vztahu bij = (—^ pro i, j = 1, . . . n. (5.42) Poznámka. Vsimnete si porad í indexu i, j u bij, Ajti v (5.42)! Příklad 5.16. K matici A urcete matici inverzn í. A 124 —2 1 2 435 Řešení. Vypoctem dostava me \Al,3\ 12 35 —2 1 43 14 45 24 12 v \A\ = —5 —1, Ai 2 = = —10, \A2 ,i\ = — 11 , A2 3 = 0, A2 3 = —2 2 4 5 2 4 3 5 1 2 4 3 1 4 2 2 — 18, —2, 5, = 10, 3 3 12 21 = 5. 104 Tedy podle věty 5.12 dostáváme B í \AiA \A\ - Al,2 \A2A \ |Ai,a| \A\ \A\ -|A2 ,a| \Aa,i\ \ IAI 1 |Aa,3| \A\ \A\ \A\ Dosazením vypočítaných hodnot za jednotlivé determinanty dostáváme / 1/5 -2/5 0 \ A-1 = B -18/5 11/5 2 2 -1 -1 ZkouSku správnost výpočtu provedeme výpočtem A • B, B • A. Zjistíme, ze obá tyto součiny jsou rovny mátici E. 105 Kapitola 6 Vztah mezi volnými a aritmetickými vektory 6.1 Zavedení volných vektorů Zopakujme si zaveden ívolnych vektoru z vaseho dřívejsího studia. DefiniceA 6.1. (Voln e vektory) Množinu vsech nenulovych orientovanych usecek, která mají stejny smčr a stejnou velikost, nazveme nenulovym volnym vektorem a množinu vsech nulových orientovaných useček nulovym volnym vektorem. Kazda orientovana usečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volne vektory budeme označovat písmenem se sipkou nahoře, napč. ~čt. Nulová volná vektor budeme označovat symbolem 0 . Delku kazde orientovaná ásečky, ktera reprezentuje volná vektor ~ččč, budeme nazyvat velikost í voln e ho vektoru ~čt a budeme ji značit \~čt\. DefiniceA 6.2. (Vektorovy prostor volnych vektoru) Necht U je množina volnych vektoru. Na táto množine zavedeme dvč operace -sečítaní dvou volnych vektoru, budeme ji značit „+" a nasobení volnych vektoru reálnymi čísly, budeme je značit „ - "a to takto. SeCítaní volnych vektorů. Necht ~čt je volny vektor reprezentovany orientovanou úsečkou —B a volny vektor ~b) je reprezentovaný orientovanou úsečkou BC. Potom definujeme jejich součet ~čt + b jako volny vektor "čt, ktery je reprezentovany orientovanou usečkou BC. (viz. obr.6.1) Nýsobení volneho vektorů realným Císlem. Necht a_je libovolne realne číslo a necht. ~Ě je libovolny volny vektor. Potom definujeme b = a - ~čt takto. Velikost \ b \ = \a\-\"íC \. Smer vektoru ~čt, b je stejny; je-li a > 0, potom smysel orientace vektoru ~ččč, b je stejny, je-li a < 0, potom smysel orientace vektoru ~cč, b je opačcníy. 106 Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+ " a „■ " nazveme vektorovým prostorem volných vektorů. Budeme jej znacit V. Prostor volných vektorů v rovine budeme znacit též V2 a prostor volných vektorU v třírozměrném prostoru budeme značit tež V3. Na obr. 6.1 je zn a zorněno sec ítá n í dvou volných vektorů a , b . Vektor a je reprezentovaný orientovanou úsečkou pQ a volný vektor b^je reprezentovaný orientovanou UseCkou FlŠ. Jejich souCtem je volný vektor Ô = ~čt + b reprezentovaný orientovanou useCkou R_ S Obrazek 6.1: SeCíta n í volných vektoru Na obr. 6.2 je zn a zorneno nasoben í voln e ho vektoru a realným c íslem. Volný vektor č je reprezentova n orientovanou useckou pQ. Volný vektor a =2 ■ ~cč je reprezentovan orientovanou useckou ppB a volný vektor Ô = — 2 ■ ~cč je reprezentovan orientovanou useckou D C p ' Q A-*-B Obrazek 6.2: Nasoben í voln e ho vektoru c íslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovine. V predch a zej íc í definici jsme uvazovali voln e vektorý nezavisle na souradn e m sýste mu, býlý uvazova ný v tzv. invariantn ím tvaru. Pojednejme nýnř o prostoru U2 volných vektorU v rovine, v níž je zaveden kartezský souřadnýsýstem. Oznacme x\,x2 souradn e osý kartezske ho souradn e ho sýste mu v rovine. Oznacme U2 mnozinu vsech volných vektoru v teto rovine s uvedenými operacemi sec ít a n í volných vektoru v rovine a n a soben í volných vektoru v rovine re a lnými c íslý. 107 Uvažujme dvě orientované úsečky RQ, RU (viz. obr. 6.3), kde P = P [pi,P2], Q = Q[Qi,Q2], R = R[Ti,T2], U = U [Ui,U2\. Každa z téchto orientovaných úseček reprezentuje tentyž volny vektor ~čt G U2, když a jenom když qi r pi = Ui r ri A q2 r p2 = U r r2. (6.1) K volnemu vektoru ~ct G U2,reprežentovanemu orientovanou úsečkou RQ, kde P = P[pi,P2], Q = Q[qi,q2] priradíme aritmeticky vektor a = (ai} c2), kde ai = qi rpi, c2 = q2 rp2. Toto pravidlo přiražení ožnačme P. Vektor a nežavisí na volbe orientovane úsečky, ktera reprežentuje vektor 1Í. Lehče lže nahlednout, že jestliže volnemu vektoru ~Ě G U2 je pravidlem P přiražen vektor a = (ai,a2) G V2 a volnemu vektoru b G U2 je pravidlem P priřažen vektor b = (bi,b2) G V2 a a je libovolne realne číslo, potom platí IŽ + 1) = ~é o- a + b = c, čäC = ~ct <=?■ aa = d, (6.2) kde volnemu vektoru 1 je pravidlem P priražen aritmetičky vektor c a vektoru 1 je pravidlem P priřažen aritmetičky vektor d. Toto přiražení P je jednojednožnačne. 108 X2 + V2 V2 X2 O Y ■7 4 / / T / / I / i 1 / i L i i i i i X Z Vi xi xi + yi Obrá zek 6.4: Zobrazen í zachova va sec ítan í ax2 X2 U X / Obra zek 6.5: Zobrazen í zachoví va nasoben í Vzhledem k uvedeným vlastnostem není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. Vektor a = (a\,a2) si mUzeme představit jako množinu vsech takových orientovaných úseček ~P(Q, P = [pi, p2], Q = [qi, q2], v kartézském souradnem sýstemu v rovine, že qi — pi = ai A q2 — P2 = a2. Budeme psat a = Q — P. (Jde o vztah mezi souřadnicemi bodu P, Q a složkami vektoru a.) Volné vektory v kartézském souřadném systému v třírozměrném prostoru. Uvazujme nýníprostor volných vektoru U3 ve trírozmernem prostoru, v nemz je zaveden kartezský souradný sýstem. Uvazujme dve orientovan e usecky —Q, — ň, kde 109 P = P[pi,P2,P3], Q = Q[qi,q2,q3], U = U[ui,U2,U3], R = R[ri,f2,r3]. Kazda z techto dvou orientovaných usecek reprezentuje tentýz voln y vektor ~čt e U3, kdyz a jenom kdyz qi - pi = ri - ui A q2 - P2 = r2 - «2 A q:i - p:i = r3 - U3. (6.3) Vztah mezi prostorem V3 a prostorem volných vektorů v třířozmemem přoštořu. K voln e mu vektoru ~čt e U3,reprezentovan e mu orientovanou useckou -Q, kde P = P [pi ,p2 ,P3], Q = Q[qi,q2,q3] priradíme aritmeticky vektor a = (ai,a2,a3), kde ai = qi - pi, a2 = q2 - p2, a3 = q3 - p3. Podobne jako ve dvojdimenzonalním prostoru lze ukázat, ze vektor a = (ai,a2,a3) si muzeme predstavit jako množinu vsech takovych orientovaných áseček -(Q, kde P = [pi,p2,p3], Q = [qi,q2,q3] v kartézském souřadnem systemu v prostoru, ze qi - pi = ai A q2 - p2 = a2 A q3 - p3 = a3. Nen í proto nutno striktne rozlisovat mezi prostorem U3 a V3. 6.2 Skaiarní souCin, norma a vzdaienost ve vek-torovem prostoru Na gymná ziu se zava d í pojem skal a rn ího soucinu dvou volnych vektoru. Toto zaveden í se motivuje potřebami fyziky. Skal a rn í soucin jste vyuz ívali nejen ve fyzice, ale i v analyticke geometrii a to jak v ulohí ch s přímkami, tak i v uloh a ch s rovinami. Pojem skal a rn ího soucinu dvou volnych vektoru a vypocet uhlu dvou nenulovych volnych vektoru n as bude motivovat k zaveden ískal a rn ího soucinu a uhlu dvou vektoru v aritmetickych vektorovych prostorech. S temito pojmy se pak muzete setkat pri resen í ruznych aplikacn ích uloh. Zacneme tedy s volnymi vektory. 110 DefiniceA 6.3. Uhlem volných vektorů a , b rozumíme úhel p E (0,n), o který je nutno otočit orientovanou úsečku A~B, reprezentující 1, kolem bodu A v rovine určené bodý (A, B, C) do smeru orientovane usečký AŮ = yj b\ + 62 + b Úpravou dostaneme OA cos(^) = aibi + a2b2 + asb3. PonevadZ OA = YÉ\ a dostavame odtud a z (6.4) (r, b ) = aibi + a2b2 + asb3 Jsou-li volné vektory ~čt, b nenulové, lze užitím vztahů (6.4), (6.5) určit cos(^) vztahem (6.5) (6.6) (ra , b ) cos(^) úzitím (6.6) pak dostavame cos(^) ai bi + a2b2 + a3b3 (6.7) x/äíTOfTäf Vbi + b22 + b3 (6.8) uvazujme nyn í zobrazen í P prostoru U3 na prostor V3, definovan e vztahem P(r) = (ai, a2, a3) = a, P( b) = (bi, b2, = b. 112 2 Vzhledem k vlastnostem zobrazen í P a vzhledem k (6.6) definujeme skal a rn í soucin vektoru a, b v prostoru V3 vztahem (pozdeji definici skal arn ího soucinu zobecn íme) (a, b) = ((ai,a2,a3), (bi, 62,63)) = aibi + a2&2 + a363 (6.9) a uhel p, ktery svíraj í dva nenulove vektory a, b, vztahem / x aibi + a2b2 + a3b3 cos(p) = —.--. =. (6.10) ai2 + a22 + a23 b2i + b22 + b23 Uvaz íme-li, ze \a\ = \Jai + a2 + a3, \b\ = \Jbi + b2 + b3, lze (6.10) přepsat takto ( (a, b) \ a\ cos(p) = aijL.. (6.11) Necht: a = (ai, a2), b = (bi, b2) jsou vektory z V2. Potom jejich skalarním součinem je číslo (a, b) = aibi + a2b2 (6.12) Tyto vektory svírají uhel p, jehoz kosinus je dan vztahem cos p = , kde a = a\ + a2, b = \jb{+^tb2 (6.13) Podobne pro vektory z prostoru V3 Necht: a = (ai, a2, a3), b = (bi,b2,b3) jsou vektory z V3. Potom jejich skalarním součinem je číslo (a, b) = aibi + a2b2 + a3b3 (6.14) Tyto vektory svírají táhel p, jehoz kosinus je dan vztahem cos P = ai bbb\, kde a = yja{ + a2 + a2, b = yjbi + b2 + b2 (6.15) Takto zavedeny pojem skalarního součinu vektoru z V3 a z V3 a pojem áhlu dvou nenulovych vektoru z techto prostoru rozšíříme i pro vektory z Vn. 113 6.3 Zavedení Euklidova prostoru En Pojem vzdálenosti na množině. Nečht M je množina a nečht ke každym dvema prvkum x,y G M je priraženo nezúporne číslo, ožnačme je p(x, y) tak, že pro vsečhna x, y, z G M platí 1. p(x, y) > 0, pri čemž p(x, y) = 0 o x = y, 2. p(x, y) = p(y, x) 3. p(x, y) < p(y, z) + p(z, x). (trojuhelníkova nerovnost) Potom p(x,y) se nažyva vždaleností prvku x, y G M. Poznámka. Množina M muže byt jakíkoliv; např.množina vsečh spojityčh funkčí na dan em intervalu. Necht n je přirozené číslo, Rn je množina uspořádaných niR tic reálných čísel. Necht ke kazdým dvěma prvkUm X = [xi,... xn],Y = [yi,...,yn] G Rn je přiřazeno císlo p(X,Y) vztahem p(X,Y) = y'(yi r xi)2 + • • • + (yn r xn)2, potom p(X,Y) definuje vzdálenost na Rn. Nečht n je přirožene číslo. Ožnačme En množinu usporadanyčh nRtič realnyčh čísel ž Rn, jejíž každy prvek ma dvojí vyžnam. ■ Vyžnam bodu. V tomto případe usporadanou nRtiči realnyčh čísel dame do hranatyčh žívorek a prípadne ožnačíme symbolem, vetsinou velkym písmenem, např. A = [ai, ... ,an]. Čísla ai,i = 1, ... ,n, se nažyvají souradničemi bodu A. ■ Vyžnam aritmetičkeho vektoru ž prostoru Vn, takže uspořídana nRtiče realnyčh čísel představuje aritmetičky vektor. V tomto případe ji davame do kulatyčh žavorek a případne ožnačíme symbolem, vetsinou malym tučne napsanym písmenem, napr. a = (ai} ..., an). (jsla ai}i = 1, ... ,n, nažyvame složkami vektoru a. ■ Vžtah meži body ž En a vektory ž Vn je definovan nasledujíčím žpusobem. Nečht P = [pi}... ,pn] je libovolny bod v En, s = (si,... ,sn) je libovolny vektor ž aritmetičkeho vektoroveho prostoru Vn. Ožnačme X = [xi,...,xn] G En, pro nejž platí xi = pi + si, kde i =1,...,n. (6.16) Tento vžtah budeme žapisovat t eřž jako X = P + s. (6.17) Z rovniče (6.17) lže vypočíst jednožnačne kterykoliv člen pomočí žbyvajíčíčh dvou členu. Napr. s = X P. (6.18) 114 Tento vztah zap íšeme též takto s = X - P = PX Budeme říkat, že uspořádaná dvojice bodů P, X tvoří um ístén í vektoru s. Bod P nazývame pocateCn ím a bod X nazývame koncovým bodem um ísten í vektoru s. VSimnete si, že pro n = 2 a pro n = 3 urCuje uspořa dan a dvojice bodu P, X orientovanou useCku, ktera reprezentuje volný vektor, k nemužjsme přiřadili aritmetický vektor s. ■ Skaiarn ísoucin dvou vektoru definujeme takto: Necht: a = (ai, a2, ... an), b = (bi, b2, ... bn), jsou dva vektorý z Vn, potom jejich skal a rn ím soucinem rozum íme císlo aibi + ■ ■ ■ + anbn a znac íme jej (a, b). Je tedý (a, b) = aibi +-----+ anbn. Vsimnete si, ze pro n = 2 a pro n = 3 dosta vame dríve definovaný skal a rn ísoucin. ■ Vzdalenost dvou bodu A[a1, a2, ... an],B[b1} b2, +-----+ bn] se definuje vztahem p(A, B) = y/(bi - ai)2 + ■■■ + (bn - an)2 Vektor a(ai} a2, ... an) lze reprezentovat uspořadanou dvojici bodu oA, kde pocatecn í bod je O = [0,..., )0] a koncový bod je bod A = [ai}... ,an], je-jichz vzd alenost je \Jd\ + ■ ■ ■ + a2n. Proto velikost vektoru a budeme definovat jako _ \a\ = \J ai +----+ Uhlem dvou nenulových vektoru a = (ai} a2, ... an), b = (bi} b2, ... bn), rozum íme uhel ip, pro nejz platí (a, b) cosp = -—— a b Tento prostor En nazveme n— rozmerným euklidovským prostorem. Poznámka. Prostorý Ei, E2, E3, jste prob írali na gýmn a ziích a dovedte si je představit. Smyslová predstava prostorů En pro n > 3 končí a musíme tyto prostory uvaZovát jen ve smyslu definic. Príklad 6.1. Nechť A = [1,-2, 3,0], B =[7,1, 2, 3]. Potom s = IB = [7,1, 2, 3] - [1,-2, 3,0] = (6, 3,-1, 3). 115 Définicé 6.1. Necht; P E En a necht: 1s,..., ds jsou line í rne nezavisl e vektorý z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En X = P + t 1s + ... +d t ds, (6.19) kde 1t,...,dt jsou parametrý (libovolní císla), se nazýva podprostorem dimenze d vnoreným do prostoru En (pro d < n). Přímka | Linearní podprostor dimenze 1 vnožený do prostoru En nazývame př ímkou. Př ímku, urcenou bodem P a vektorem s lze tedý zapsat ve tvaru X = P + ts, kde t E poo, oo) je parametr, (6.20) X je obecný bod přímký. Vektor s nazývame smerovým vektorem prímký. Príklad 6.2. Napisme v E3 rovnici prímký danou bodem A = [2, —1, 3] a smerovým vektorem s = (2, —3, 0). Řéséní. Podle (6.20) dostavame [xi,X2,X3] = [2, —1, 3]+ t(2, —3, 0), takze obecným bodem přímký je bod o souřadnic ích xi = 2 + 2t, x2 = 1 3t, x3 = 3, kde t E ( o , o ). Príklad 6.3. Napisme v E4 rovnici přímký danou bodý A = [2, —1,3,2], B = [1, 0, —5, 2]. Řéséní. Za smerový vektor hledan e přímký lze zvolit vektor s = B — A. Je tedý s = B — A. Výpoctem pak dostí va me (si,S2,S3,S4) = [1, 0, —5, 2] — [2, —1, 3, 2], takřze s =(—1,1, —8, 0). Podle (6.20) je tedý X = A + ts, takze dosazen ím dostíva me [xi, x2, x3, x4] = [2, 1, 3, 2] + t( 1, 1, 8, 0), kde t E ( o , o ). 116 Přímka, určena body A, B, ma tedy rovnici X = A + t(B - A), t E (-00, 00) (6.21) Useckou AB rožum íme body prímky (6.21), pro než platí X = A + t(B - A), t E {0,1). (6.22) Vsimnete si, že parametru t = 0 odpovída bod A a parametru t = 1 odpovída bod B. Rovina I Linearnýpodprostor dimenze 2, vnorený do prostoru En, n > 2, nazývame rovinou. Rovinu, urcenou bodem P a nežavisl ými vektory r, s lže tedy žapsat podle (6.19) ve tvaru X = P + u r + v s, kde u E (—0, 00), v E (—0, 00) jsou parametry. (6.23) (Zde X je obecný bod prímky.) Príklad 6.4. Napiste rovnici roviny v E4, ktera procha ž í body P = [1, 0, 2, —5], Q = [4, 2,-7, 0], R =[0, 4, 2, 6]. Rešení. Položme r = pQ, s = pR Dost av ame r = (3, 2, -9, 5), s = (-1, 4, 0,11). Dosažen ím do (6.23) dostava me hledanou rovnici roviny [xi,x2,xs,x4] = [1,0, 2, -5]+ u (3, 2, -9, 5)+ v (-1, 4,0,11), kde u, v E (-0 , 0 ). Nadrovina v proštoru En 117 Podprostor dimenze n — 1, vnořený do prostoru En, n > 3, nazývíme nadrovinou. Necht: P E En a necht: 1s,..., (n-1^>s jsou lineárně nezávisle vektorý z prostoru Vn. Potom množina bodu X z En, urřených vztahem X =i 1S + ... +(n-i) t (n-1)s, (6.24) kde 11,..., (n-iH jsou parametrý, je nadrovinou v prostoru En.Lze dokazat, že každou nadrovinu v prostoru En danou vztahem (6.24) lze výjadrit ve tvaru ai xi + ... + an xn = b, (6.25) kde ai ... ,an ,b jsou realný císla. Vektor n = (ai, ... an) je kolmý na vektorý Necht: ai xi + ... + an Xn = b, (6.26) je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina urcuje v prostoru En dva poloprostory, urřene nerovnicemi ai xi + ... + an xn > b, ai xi + ... + an xn < b. 118 Kapitola 7 Pojem funkce, žakladní pojmy 7.1 Množina, konstanta, promenna V matematice se pracuje s ružnými objekty. Temto objektum se vedle nažvu priražuje tak e symbol. Množina. Jedn ím že žakladn ích objektu, s nimiž se v matematice pracuje, je množina. Množinou rožum íme soubor nejakých přesne vymežených, navžajem odlisných objektu, kterým ríka me prvký, nebo elementy množiny. Při tom o každ e m objektu se musí d at rožhodnout, žda patrí nebo nepatrí do tohoto souboru. Meži množiny poc ítame i soubor, který neobsahuje ží dny prvek - teto množine budeme ríkat prýzdna množina a budeme ji žnacit 0. Jako príklad množiny je možno uvest množinu přirožen ých císel. Do teto množiny patrí napr. c íslo 2. Nepatří do n í např. komplexn í c íslo i. Vsimneme si, že žde pojem množina nebyl plne vymežen. K jeho vysvetlen í jsme použili príbužný pojem „soubor". Ožnac íme-li uvažovanou množinu např. A, potom okolnost, že objekt x patří do množiny A, budeme žnacit x e A a okolnost, že objekt y nepatří do množiny A, budeme žnacit y e a. Množiny mužeme žada vat ružným žpusobem. Je-li konecna, to jest, ma-li konecný pocet prvku, lže ji žadat výctem. Tak napríklad, jestliže množina A obsahuje prvky a,b, c a řžadn e jin e, b yva žvykem ji žapisovat takto A = { a, b, c} . Príklad 7.1. Necht: M je množina p ísmen obsažených ve slove PRAHA. Zrejme M = {P, R, A, H}. Potom napr. R e M, u e M. 119 PodmnoZina. Necht! M, N jsou dan e mnoziny. Jestlize kazdy prvek mnoziny M je i prvkem mnoziny N, potom říkame, ze mnozina M je podmnozinou mnoziny N, nebo ze mnozina N je nadmnozinou mnoziny M. P íseme pak M C N, resp. N D M. Jestlize zaroven platí M C N a M D N, potom ríká me, ze mnoziny M, N se sobe rovnaj í a p íseme M = N. Jestlize M C N a jestlize mnozina N obsahuje prvky, ktere do mnoziny M nepatří, ríka me, ze mnozina M je vlastn í podmnozinou mnoziny N a p íseme M C N, resp. N je vlastn í nadmnozinou M a p íseme N D M. Je-li tedy M C N, je tez M C N, avsak je-li M C N nemus í byt M C N. Příklad 7.2. Necht! M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} C M, avsak {3, 7} nen í podmnozinou mnoziny M, nebot prvek 7 nen í prvkem M. Vsimneme si dvou vyznamove i form alne odlisnych zapisu. Uvedme príklad. Necht! M = {1, 4, 3, 9}. Potom za pis 8 E M znamena, ze 8 je prvkem mnoziny M, a za pis {8} C M znamen a , ze mnozina, obsahuj íc í jediny prvek 8, je vlastn í podmnozinou mnoziny M. Konštanta, přomenná. Řekli jsme si, ze objekty oznacujeme symboly. To jednak zjednodusuje vyjadřova n í, jednak umozřuje strucny z a pis nekterych vypoved í o objektech mnořziny. Jestlize symbol oznacuje jeden konkretn í prvek mnoziny, nazyvame jej konštantou. Príkladem je např. symbol n, kterym oznacujeme konkretn í reá ln e císlo - Ludolfovo c íslo. Oznacuje-li symbol kterykoliv prvek z dan e mnoziny, nazyvame jej pramennou. Mnozinu konstant, kterych muze tato promenn a nabyvat, nazyva me obořem přomenne. Chceme-li pracovat s prvky mnoziny přirozenych císel N, muzeme zvolit např. symbol n pro promennou s oborem hodnot N. Jestlize tedy oznac íme symbolem x promennou s oborem M, potom vse, co se rekne o x, vztahuje se na kazdy prvek mnoziny, ktera je jej ím oborem. Uvedme si tento příklad. Oznacme M mnozinu vsech kladnych realnych císel mensích nez 8. Mohu vyslovit tvrzen í: „Jestli x E M, potom x2 < 64". Kontrolní otázky 1. Co je to mnozina? 2. Napiste mnozinu A, jej íz prvky jsou p ísmena obsazena ve slove „matematika". a) Pro kazd e z p ísmen „a, b, c, i, j" zapiste, zda patří nebo nepatří do mnoziny A. b) Napiste podmnozinu B mnoziny A, obsahuj ící vsechny samohlasky mnoziny A. c) Co znamenaj í zapisy B C A, B C A. [a) A = {m, a, t, e, i, k }, a E A, b E A, č E A, i E A, j E A; b) B = {č, e, i}; c) B je vlastní podmnozinou mnoziny A; B je podmnozinou mnoziny A.] 3. Vysvetlete rozd íl mezi konstantou a promennou. Uvedte příklady. ^ Co je to obor promenn e ? 120 7.2 Zobrazení. Zopakujme si duleZity pojem „zobrazení". S t ímto pojmem se v denn ím Zivote neustale setkavame, aniZ bychom jej vyslovovali. Přiřazen í prvku jedn e mnoZiny k prvkum druh e mnoZiny se specifickymi vlastnostmi se naz yva zobrazen ím. Zvl a stn ím případem zobrazen í je pak realna funkce rea ln e promenn e . Definice 7.1. (Zobrazení.) Necht: A, B jsou neprízdn e mnoZiny. Pravidlo F, jimZ ke kaZd e mu prvku x E A je přiřazen právě jeden prvek y E B, nazyva me zobrazením mnoZiny A do mnoZiny B. Oznacíme-li x promennou s oborem A a y promennou s oborem B, p íseme y = F (x). O prvku y, přiřazen e mu v zobrazen í F k prvku x, říka me, Ze je obrazem prvku x, a o prvku x říkame, Ze v zobrazen í F je vzorem prvku y. MnoZinu A (to jest mnoZinu prvku, k nimZ v zobrazen í F přiřazujeme prvky z B), nazyvame definiěním oborem nebo též neodvislým oborem zobrazen í F. Znacíme jej casto DF, resp. D (F) a mnoZinu B naz yvame odvislým oborem zobrazení F. PodmnoZinu mnoZiny B, ktera obsahuje vsechny ty prvky y E B, ktera jsou v zobrazen í F přiřazany k prvkum x z mnoZin A, nazyvame oborem zobrazení F. Znacíme ji H (F), resp. HF. JestliZe HF C B, potom říka me, Ze zobrazen í F je zobrazením mnoziny A do B. JestliZe HF = B, potom říka me, Ze zobrazen í F je zobrazením mnoziny A na B. JestliZe B C A, potom říka me, Ze zobrazen í F je zobrazením mnoziny A do sebe. JestliZe HF = A, říkame, Ze zobrazen í F je zobrazením mnoziny A na sebe. Promennou s oborem hodnot A nazyva me neodvisle pramennou a promennou s oborem hodnot B nazyvame zavisle pramennou. V teto definici jsme pouZili symbol x pro neodvisle promřennou a symbol y pro odvisle promřennou. Na obra zku 7.1 je znazorneno zobrazen í F mnoZiny A do mnoZiny B, rovneZ je zn a zornen obor zobrazen í F, to jest mnoZina H (F). Je zde zn a zornen teZ prvek u E B, ktery nepatří do H (F). Nen í tedy obrazem Zadn e ho prvku x E A. 121 Obrázek 7.1: Zobrazen í A do B V některých případech je moZno přiřazen í G, v nemZ je ke kaZd e mu prvku z mnoZiny A přiřazen prvek z mnoZiny B, popsat tabulkou utvořenou takto: V prvn ím řá dku tabulky se uvadejí prvky z mnoZiny A a v druhem řádku jsou pod nimi uvedeny k nim přiřazene prvky z mnoZiny B . Ne kaZde pravidlo, jimZ je ke každému prvku x E A přiřazen prvek z B, je zobrazen ím. Toto přiřazen í je zobrazen ím A do B pouze tehdy, jestliZe ke každému x E A je přiřazen pravé jeden prvek y E B. Příklad 7.3. Necht: A je mnoZina urCite skupiny studentu, B mnoZina re a lnych nezapornych Císel. Oznacme x promennou mnoZiny A, (to jest x je symbol, ktery zastupuje kteréhokoliv studenta ze skupiny A). Oznacme nyní y promennou s oborem hodnot B. Ke kaZdemu x E A (to jest, ke kaZd e mu studentovi z A), přiřaďme jeho aktualn í telesnou vysku v centimetrech, tedy císlo y z mnoZiny B. (Tedy prave jedno císlo.) Toto pravidlo přiřazení oznacíme V. Ke kaZdemu x E A jsme tedy přiřadili prave jedno císlo y z mnoZiny B. Je tedy V zobrazen ím mnoZiny A do mnoZiny B podle nahoře uveden e definice. Zobrazen í V nen í zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu B, ponevadZ existuj í c ísla v B, ktera nejsou přiřazena v zobrazen í V k Za dn e mu prvku x z mnoZiny A. (To vyplyva např. z toho, Ze A je konecna mnoZina a B obsahuje nekonecne mnoho císel.) Jako konkrétní přiřazení uveďme toto. Předpokladejme, Ze A je skupina studentu, ktere si pro nas ucel oznacíme a, b, c. Ke kaZdemu studentovi přiřaďme jeho telesnou vysku. Toto přiřazení oznacme V. Necht je V (a) = 175, V (b) = 175, V (c) = 180. Toto přiřazení lze znazornit n a sleduj íc í tabulkou. x a b c y 175 175 180 Uveden e přiřazen í V je zobrazen ím mnoZiny A do mnoZiny R, ponevadZ ke kaZd e mu prvku x E A je přiřazen prave jeden prvek y z mnoZiny R. Toto zobrazen í vsak nen í zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu R, ponevadZ např. císlo 190 nen í přiřazeno Zadn e mu prvku z A. (V uvaZovan e skupine tří studentu nen í Za dny student s telesnou vyskou 190 cm.) Toto zobrazen í je vsak zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu C = {175, 180 }. Zřejme C = HV. Příklad 7.4. UvaZujme tři matky, oznacme je a, b, c. Necht matka a ma syna, oznacme ho s1, matka b m a syna, oznacme ho s2 a matka c ma dva syny, oznacme je s3 a s4. Oznacme A mnoZinu matek, tedy A = { a, b, c} a B mnoZinu synu, tedy B = 122 {si, s2, s3, s4 }. Označme nyn í D přiřazen í, kterým ke každ é matce přiřad íme každ é ho z jejich synů. Tedy nechť D(a) = si} D(b) = s2, D(c) = s3, D(c) = s4. Toto přiřazen í D zn azorneme tab-ůlkoů x a b c c y si s2 s3 s4 Toto přiřazen í není zobrazen ím mnoziny A do mnoziny B, nebot k prvků c z mnoziny A jsoů přiřazeny dva prvky z mnoziny B, totiz prvky s3, s4. Zaved'me si nekolik pojmů soůvisej ících se zobrazen ím. Zobrazení prosté. Necht F je zobrazení množiny A do množiny B. Toto zobrazení nazýváme prostým, jestliže m a tuto vlastnost: Jestliže x, y E A a x = y, potom F (x) = F (y)._ Príklad 7.5. Necht A = {a, b, c} a B = {a,f3,Y}. Zobrazen í F dan e n a sledůj íc í tabůlkoů je prostym zobrazen ím A na B. x a b c y a 1 Inverzní zobrazení. Necht F je prosté zobrazení mnoZiný A na mnoZinu B. Potom existuje zobrazení, nazveme ho inverzním zobrazením množiny B na množinu A a označíme je F-i, kterým ke každému y E B přiřadíme ten prvek x E A, pro nějž platí F (x) = y. (Viz obr.7.2) Označení. Symbolem F 1 jsme oznacili inverzn í zobrazen í k zobrazen í F, nejedn a se o ůmocnen í zobrazen í F na c íslo (—1). Obrazek 7.2: Inverzn í zobrazen í 123 Příklad 7.6. Nechl; zobrazen í F množiny A = {1, 2, 3, 4} na množinu B = {0, p, x, 0} je d a no tabulkou : x i 2 3 4 y 0 p x Tedy F(1) = 0, F(2) = p, F(3) = x, F(4) = -0. Toto zobrazen í je proste zobrazen í množiny A na mnozinu B. Existuje proto k nemu inverzn í zobrazen í, oznaCme je F-1. V tomto zobrazen í platí F-1(0) = 1, F-1(p) = 2, F-1(x) = 3, F-1(0) = 4. Toto inverzn í zobrazen í lze popsat tabulkou. y 0 p x 0 x i 2 3 4 V tomto inverzn ím zobrazen í je mnozina B neodvislym oborem a mnozina A je odvislým oborem. Vsimnete si, ze v tabulce popisuj íc í toto inverzn í zobrazen í, je neodvisle promenna oznaCena y (zastupuje kterýkoliv prvek z B) a z a visle promenna je oznaCena x (zastupuje kterýkoliv prvek mnoziny A). Ponevadz jsme zvykl í oznaCovat symbolem x neodvisle promennou a y odvisle promennou, muzeme pro inverzn í zobrazen í zavest ■ symbol x pro neodvisle promennou (symbol x muze zastupovat kterykoliv prvek neodvisl e ho oboru, to jest mnoziny B) ■ symbol y pro odvisle promennou (symbol y muze zastupovat kterykoliv prvek odvisl e ho oboru, to jest mnoziny A) Tabulka pro toto inverzn í zobrazen í ma pak tvar x 0 x 0 y i 2 3 4 Složené zobrazení. Necht

0}. Tedy D(f ) = ( — ±00). Příklad 7.12. OznaCme h funkd h(x) = \l x2 — 1 s definiCn ím oborem A = (—3, —1) U {1, 3). Tuto funkd lze zapsat tez takto h : (—3, —1) U {1, 3) — R, Poznámky ke grafické reprezentaci funkci jedné proměnné Grafickou reprezentací grafu funkce f : A — B, A c R, B c R v pravoúhlím souradnem systemu 0xy rozumíme množinu všech bodu [x, f (x)], x E A. GrafiCka reprezentaCe grafu vetsiny funkC í, ktere se vyskytuj í v ekonomiCkyCh aplikaC íCh, odpovída intuitivn ímu Ch a pan í krivky v rovine. Jako příklad si uveďme graf funkCe x — V x2 — 1. x E {—2, 2) uvedeny na obr. 7.9 —\-1—^ -2 -1 0 2 y = x x Obrázek 7.9: Gľ&f funkce y = x2. 131 Grafy některých funkc í si nedovedeme vykreslit. Př íkladem je funkce 1, je-li x racion a In í X ~^ ' —1, je-li x iracionain í. Vytvoření si představy o grafu funkce jedné proměnné. K vytvoren í si hrube představy o grafu vysetřovan e funkče f : A — B si v mnozine A muzeme zvolit body x0 < x\ < x2 < • • • < xn a v ničh vypočítat funkčn í hodnoty f(x0),f(x1),f(x2),...,f(xn). Jestlize pro nejake i je {xi,xi+i) C A, spoj íme body [xi, f (x i)}, [xi+i, f (xi+i)j usečkou. Pro„slusn e" funkče, nejsou-li vzd a lebosti bodu xi,xi+i velke, nam tyto usečky daj í dobrou predstavu o grafu funkče. T ímto zpusobem se prova d í i vykreslovan í grafu funkčí uzitím počítače pro jemn e delen í intervalu, v nemz graf vysetřujeme. Na obr. 7.10 je sčhematičky na črtek grafu funkče y = TG(x), definovan e na intervalu < 0,n > takto TG(x)=í tgx, x = (0, f) U (f {79) Poznámka. Zrejme pro x e< U,n >,x = n/2 je T G (x) = tg(x), v bode x = n/2 nen í funkce tg(x) definovan a, avSak funkce T G (x) je v bode 0 definovan a a plat í TG(0) = 0. Graf funkce y = T G (x) je vykreslen na obr.7.10. 132 Obrazek 7.10: Graf funkce definovan e vztahem (7.9). Na obr. 7.11 je graficky „zn a zornena" funkce (7.9) propojen ím bodu [xk ,TG(xk)], kde xk = k - 0, 2, k = 0, , 16. Porovná n ím obr. 7.11 s obr. 7.10 vid íme, že došlo ke značn é mu zkreslen í. Daná funkce nen í „sluSn á". Je v bode n nespojitá. Pojem nespojitosti funkce si vysvetl íme pozdeji, zatím poznamenejme alespon to, že hodnoty teto funkce se v bodech „ velice bl ízkych k c íslu n " navz ajem znacne lis í. 133 v. 1 -----'---- 1 2 0 1 .-------- 7T X Obrízek 7.11: Pokus o vykreslen í funkce y = tg(x) Obdržený výsledek ukazuje, ze vyse uvedeny postup „zn azornen í funkce" nen í postacuj íc í, je nutno jej kombinovat s vysetren ím nekterych vlastnost í funkce. V ekonomickych rozvahach se bez pojmu funkce neobejdeme. Oznacova n í funkce a neod-visle a odvisle promennych se vetsinou zavad í s ohledem na jejich vyznam a zvyklosti. Jako příklad funkce, kterí se v ekonomickych aplikacích vysetřuje, je funkce C (x), ktera vyjadřuje vztah mezi vyrobou x jednotek produkce a celkovymi naklady na jejich vyrobu. Tyto vyrobn í n a klady jsou souctem fixn ích nakladu a n a kladu variabiln ích, zavislych na poctu x jednotek produkce. Funkce ^-Xl se pak nazyva funkcí prumernych nakladu. Uved'me si tento pr íklad. Příklad. Při kalkulaci n a kladu se odhadnou fixn í naklady na 300 p.j. (penezn ích jednotek). Jsou to n a klady, ktere vznikaj í, ať se vyrab í nebo ne. Krome toho se zjistí, ze na vyrobu x jednotek je zapotreb í 4x p.j. Tedy variabiln í naklady jsou 4x. Celkove naklady jsou tedy C (x) = 300 + 4x. Tuto funkci lze pak pouz ít k dalsím uvah a m, napr. ke stanoven í prumernych nakladu AC 300 AC = 4+--. x Funkce C (x) ovsem nemus í byt linearn í. Dale v praktickych uloh a ch nemuze x presahnout jistou hodnotu K. Tedy 1 < x < K. Poznamenejme, ze x v uveden e m příklade znac í pocet jednotek produkce. Tedy x muze byt v konretn ím prípade jen prirozen e c íslo. Kvuli zjednodušenízkoumane ekonomicke problematiky se zasto používa model s promenou x, ktera nabývá vzech hodnot jistáho intervalu realnych zísel. Tím mužeme dostat zkreslene vysledky. 134 7.4.1 Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá Uveďme si nyn í některé význačn é třídy funkcí, to jest funkcí s některými třídě charakteristickými vlastnostmi. Zacneme s monotónními funkcemi. Uloha. DokaZte, Ze funkce y = x je na sve m definicn ím oboru rostoucí Na obr. 7.12 je uveden příklad grafu funkce rostoucí a na obr. 7.13 je uveden príklad grafu funkce neklesaj ící na intervalu I. f (X2) f (xi) 0 xi j X2 Obrazek 7.12: Graf rostoucí funkce. f (X i) = f (X2) 0 xi x2 j x Obrazek 7.13: Graf neklesaj ící funkce. Funkce na obr. 7.10 je na intervalu (0, -) rostoucí, je rovneZ rostoucí na intervalu Nen í rostouc í ani na intervalu (0, -) ani na intervalu - n 2 ,1X I Nen í ani rostouc í na intervalu (0,n). Zduvodnete! Funkce nerostoucí a funkce neklesaj íc í na dan e mnoZine nazýva me spolecným nazvem funkce monotónní. Funkce rostouc í a funkce klesaj ící na dan e mnozine nazývá me spolecným ní zvem funkce ryze monotonní. Je-li funkce rýze monotonn í, je i monotonn í. Opak nemus í platit. 135 Funkce prostá. Dalším důležitým pojmem je funkce prostá. Necht f : A C E — E. Funkci f nazveme prostou na A, jestliže f má tuto vlastnost Vxi,x2 e A,xi = X2 je f(xi) = f(X2). (7.12) Príklad 7.13. Necht: funkce y = f (x) je dana tabulkou x 1 3 3,5 4 5 y 3 1 0 2 4 Tedy napr. f (3) = 1, f (4) = 2 atd. Tato funkce je prosta. Není vsak ani rostoucí ani klesající. Príklad 7.14. Funkce y = x2 nen í na intervalu (—2, 2) prosta. Oznacme f (x) = x2. Zvolme napr. x1 = —1, x2 = 1. Je tedy x1 = x2, avsak f (x1) = f (x2) = 1. Viz obr. 7.14. -2 -1 0 1 2 x Obrazek 7.14: Funkce y = x2 definovan a na intervalu (—2, 2). Avsak funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prostá . Viz obr. 7.15 136 f (X2 ) 4- f (xi) + xi x2 2 Obrazek 7.15: Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prosta . Porovní n ím definic í rostouc í funkce, klesaj íc í funkce a proste funkce dospejeme k tomuto zavřeru: Funkce ryze monotónní na A C R je na A táz prosta. Existuje však funkce prostá, ktera není ryze monotonní (viz příklad 7.13). Definice 7.4. Řekneme, ze funkce y = f (x) je suda (licha), ma-li tuto vlastnost: Je-li definovana v bode x, je definovan a i v bode (-x) a platí f (-x) = f (x), (f (-x) = -f (x)). Z definice je tedy patrno, ze graf sud e funkce je symetricky vzhledem k ose y a graf lich e funkce je symetrick y vzhledem k pořc atku. Príkladem sud e funkce je funkce y = x2. Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a platí (-x)2 = x2. Príkladem lich e funkce je funkce y = x3. Skutecne, tato funkce je definovan a pro vsechna x a platí (-x)3 = -x3. 137 7.4.2 Funkce složená a funkce inverzní Složena funkce. Necht A je neodvislý obor funkce u = p (x). Označme B = p (A) odvislý obor funkce p. Necht: f (u) je funkce definovana na množine B. Ke každímu číslu x E A přiřaďme číslo F (x) vztahem F (x) = f (p(x)), (7.13) to jest hodnotu funkce f v eísle u = p (x) E B. Funkci f nazývame vnejří sloekou a funkci p vnitrní sloekou funkce F. Príklad 7.15. Funkci y = (x2 + 1)7, x E (—oo, oo) muzeme ch apat jako slozenou funkci. Polozme A = (—oo, oo), u = p(x), kde p (x) = x2 + 1, x E A. Oznařcme B = p(A), tedý B = (1, oo). Polořzme y = f (u), kde f (u) = u7, u E B. Potom ke kazd e mu x E A je funkc í p prirazeno u = p (x) E B .K tomuto císlu u je funkc í f prirazeno c íslo y = f (u). Tedý y = f (p(x)). Je tedý f (u) = u7 vnejs í a u = x2 + 1 vnitrn í slozkou funkce y = (x2 + 1)7. Požnamka. Sloeený funkce muee být vícenasobne slovena. Např. jestlize f je jej í vnejs í slozkou a p je jej í vnitřn í slozkou, potom vnitřn í slozka p muze být opet slozenou. Inverzní funkce. Necht funkce y = f (x) je definovana na mnoeine A a je na ní prostí. To znamena, ží pro kazda dve eísla x1,x2 E A, x1 = x2 je f (x1) = f (x2). Označme B = f (A). Ke kazd e mu y E B přiřaďme to c íslo x E A, pro nejz je f (x) = y. Tím jsme zavedli pravidlo, jime ke kaedemu y E B je přiřazeno x E A. Je tak definovaný nova funkce, oznaeme ji f-1, jejíme neodvislým oborem je mnoeina B a odvislým oborem je mnoeina A. Ponechýme-li oznaeeníy pro proměnnou s oborem B a x pro proměnnou s oborem A, píeeme x = f-1(y), y E B, x E A._ V definici inverzní funkce je podstatný předpoklad, ží f je na svým definičním oboru prosta. Takovými funkcemi jsou např. funkce rýze monotonn í na sve m definicn í oboru. 138 Na obr. 10.2 je v kartézském souřadném systému znázorněn graf funkce y = f (x) rostoucí na intervalu A = D(f), tedy graf funkce prosté. Graf funkce x = f~l(y) je totoZny s grafem funkce y = f (x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvisly obor na ose y a odvisl y obor na ose x. { y = f (x), x = f 1 (y) / / / / B / 0 / / A x Obrázek 7.16: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y). Oznacíme-li x neodvisle proménnou jak pro funkci f, tak i pro funkci f \ zapíseme obé funkce takto y = f (x), x e A, y e B, y = f ~\x), x e B, y e A. (7.14) Jestlize jejich neodvislé obory vyznacíme v kartézském souradném systémy na vodorovné ose, jsou grafy funkcí f (x), f-1(x) symetrické s osou symetrie y = x. Graf inverzní funkce f-1(x) jsme dostali překlopením grafu f (x) kolem prímky y = x. 139 Obrázek 7.17: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y). Z definice inverzn í funkce vyplývá • je-li a E D(f), potom a = f-1(f (a)) • je-li a E D(fpotom a = f (f-1(a) y f (x), (7.15) dostaneme k ní funkci inverzní tak, ze z rovnice (10.21) vypočítáme x pomocí y. Pojem inverzní funkce vede k zavedení nových funkcí, jak později uvidíme. Příklad 7.16. K funkci y = 2x + 1, x G (1, 3) urCete funkci inverzn í. Řešení. OznaCme f (x) = 2x + 1,A = (1, 3). OznaCme B = f (A). Dostává me B (3, 7). Z rovnice y = 2x + 1 vypoC ítá me x. Dostává me x x= \ y - y 1. Tedy funkce je inverzn í k zadan e funkci f, je definován a na intervalu B. Zmenou oznacen í pro neodvisle a odvisle promennou dosta vame hledanou inverzn í funkci 11 y = 2x - 2' x G B' y G A. Grafy zadan e funkce a funkce k n í inverzn í jsou na obrazku 7.18. Je-li prosta funkce dana rovnici i 2 140 13 7 x Obrízek 7.18: Grafý funkcí y = f (x), y = f 1(x) z príkladu 7.16.. Kontrolní otázky 5. Necht; f (x) = f-1. Výpoc ítejte a) f (2) [7] b) f ((0, 3)) [nelze, v bode 1 E {0, 3) nen í f (x) definova no] c) f ((5, 6)) 6. Urcete definicn í obor funkce f (x) 3x+1 x2 — 1 ' 7. Zjistete, zda funkce jsou sud e, resp. lich e : a) f (x) = xĚí b) 9(x) = d) u(x) = x2T1 [(5,4)] [Df = (—oc, — 1) U (—1,1) U (1, o)] [suda] [nen í ani suda, ani lichí ] [licha] [lich a] 8. Co je to funkce rostouc í, klesaj íc í, monotonn í? 9 Nacrtnete grafý funkc í a) y = 2x 1 b) y = x3 + 1 c) y 3x+1 x-2 141 Kapitola 8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné Úvod. V teto kapitole se zameříme na zaveden í pojmu limity reá ln e funkce /(x) jedn e promenn e v dan e m bode. Pojem limity funkce /(x) v dan e m bode pak pouZijeme k zaveden í pojmu spojitosti funkce /(x) v dan e m bode. V teto kapitole budeme tam, kde nemuZe doj ít k omylu, pouZ ívat pojem funkce m ísto realní funkce rea ln e promenn e . Pojem limity je dulezitym pojmem, ktery je za kladn ím pojmem napr. pro zaveden í pojmu derivace funkce a určitého integrálu z dané funkce. Dříve nez začnete studovat podrobne tuto kapitolu, zopakujte si z kapitoly o číslečh zaveden í nevlastn íčh čísel —oo, oo a rozs řen í nekteryčh operač í,, + , —, •, : " na R*. Dí le si zopakujte pojem okol í jak re aln e ho č ísla, tak i nevlastn íčh č ísel. Nečht a, 5 jsou realní čísla. Potom mnozinu < a, a + 5)...... nazyvame pravym 5—okol ím bodu a, znač íme U+(a) (a — 5, a >......naz yvame levym 5—okol ím bodu a, znač íme U-(a) (a — 5, a + 5)......nazyví me 5—okol ím bodu a, znač íme U (a). Nečht a = —o, 5 E R. Potom mnozinu (—o,5)...... nazyva me 5— okol ím bodu —o a znač íme U (—o), resp. U+(—oo) Nečht a = o, 5 E R. Potom mnozinu (5, o)...... nazyvame 5—okol ím bodu o a značíme U (o), resp. U-(oo) 142 8.1 Limita funkce jedné proměnné v daném bodě Úvodní poznámky k zavedení pojmu „limita reálné funkce jedné proměnné" Začněme s vyšetřováním funkce , sin x f (x) = - x v bodech x = 0 „v blízkosti bodu" x = 0. Funkce f (x) není v bode x = 0 definovaná. Uved'me si hodnoty teto funkce v nekolika bodech: x ±1,5 ±1 ±0,5 f (x) x 0,664996... ±0,1 0,841470... ±0,01 0,958851... ±0,001 f (x) 0,998334... 0,999983... 0,999999. Uvedene hodnoty nás vedou k domnence, Ze cím x je „blíZe" k císlu 0, x = 0, tím f (x) je „blíZe" k císlu 1. Slovo „blíZe" budeme precizovat takto: K libovolnemu e > 0 lze urcit císlo 5 > 0 tak, Ze pro x e U(0), x = 0, je ^ e Ue(1), to jest pro x e (-5,5), x = 0, je 1 — e < < 1 + e. DukaZ pravdivosti teto domnenky nebudeme ted' provadet. PonevadZ tato domnenka je pravdiví, budeme říkat, Ze funkce ^xx* ma v bode 0 limitu rovnu „1" a tuto okolnost budeme psít jako x^0 x Dříve, neZ přikrocíme k exaktnímu Zavedení pojmu „limita funkce f (x)" v danem bode a e R*, zavedeme si tento pojem na zaklade neupřesněných pojmu. Doufam, Ze to pomuZe k pochopení tohoto pojmu. Pojem limity funkce je Zakladním pojmem, jemuZ je nutno dobre poroZumet. Toto porozumení je důležitější než naučení se přesnému znění definic a vet, kterí dávají návod k jejich výpoětu. Pokus o osvetlení pojmu limita „limx^a f (x) = a" v následujících případech. ■ I a e R, a e R |. Rcen í „limita funkce f (x) v bode a e R je rovna a e R", ktere symbolicky Zapisujeme „ako lim f(x) = a, Znamena, nepresne receno, toto: Zvolíme-li jakekoliv císlo e > 0, potom v kaZdemm císle x, dostatecne blíZkem k císlu a, ale ruZnem od a, je funkce f definovana a nabyva v nem hodnotu f (x), lisící se od císla a o mene neZ e. Uved'me tento příklad. Lehce nahledneme, Ze pro vsechna x = 2, ktera se malo lisí od 2, je Xxrp[ definovano a Xxr+í se malo lisí od | = 0,8. (Napr. pro x = 2,01 143 dostávame x + 2 í x + 2 \ \x:2 + ly x=2)qi 0,795619... á pro x = 2,001 dostáváme ( x + 2 ^ \x2 + iy; 0,7995602... x=2,QQ1 To nás vede k domněnce, ze x + 2 4 lim —— = - = 0.8 x—2 x2 + 1 5 a E R,a = to |. RCení „limitá funkce f (x) v bode a E R zprává je rovná oo", i o rr-» o i -i ktere symbolicky zápisujeme jáko lim+ f (x) = TO x—a+ známená,Ze jestliZe zvolíme libovolne velke Císlo K, potom pro vsechná Císlá x > a, dostáteCne blízká k císlu a, nábyvá funkce f (x) hodnotu vetsí nez zvolene císlo K. Uved'me tento příklád. Necht: f (x) = . Lehce náhledneme, ze zvolíme-li jákekoliv císlo K, potom pro vsechná císlá x, dostátecne blízká k císlu „2 mzná od 2U, je f (x) = — > K. Nápr. pro x = 2, 001 je f (2, 001) = 1000 á pro x = 2, 000001 je f (2,000001) = 1000000 Budeme tedy psát lim f (x) = lim -= oo, | a = oo,a E R |. Rcení „limitá funkce f (x) v bode oo je rovná a E R", ktere symbolicky zápisujeme jáko lim f(x) = a, x—»oo známená, nepresne íeceno, toto: Jestlize e je libovolne zvolene císlo > 0, potom funkce f je v kázdem dostátecn e velkem císle x definováná á její hodnotá v n e m se li s í od a nejvýse o e. Uved'me tento příklád. Necht: f)x) 2x2 + x + 1 x2 — 1 Tuto funkci muzeme pro x > 0 prepsát tákto (citátele i jmenovátelá delíme x2) 2x2 + x + 1 = 2+ 1/x + 1/(x2) x2 — 1 = 1 — 1/(x2) 144 Čitatel se pro hodne velka x malo lisí od „2" a jmenovatel se pro velke hodnoty x malo lisí od „1", takze pro hodne velkí x se hodnota uvazovane funkce mílo lisí od „2". Např pro x = 100 je +x+1 / 2x2 + x + 1 \ V x2 — 1 / x=100 2,010301 . . . . Rozborem tedy dojdeme k zaveru, ze jsme opravneni psat 2x2 + x + 1 lim -2---= 2 x—oo x2 — 1 č = oo, a = oo I Rcení,, limita funkce f (x) v bode oo je rovna oo", ktere symbolicky zapisujeme jako lim f (x) = oo x—oo znamena, nepřesne receno, toto: Zvolíme-li jakekoliv velke císlo K, potom pro vsechna dostatecne velkí císla x je funkce f definovana a je v nich vetsí nez K. Vyslovme domnřenku: x2 + 1 Uvazme, ze pro x > 0 platí f(x) lim -= o x—o x + 1 x2 + 1= 1 + 1/(x2) x + 1 = 1/x + 1/(x2), takze pro dostatecne velka x je f (x) vetsí, nez zvolene K. Např. pro x = 1000 je f(x) > 999. Osvřetlete si tyto zapisy a) lim ln x = —o b) lim = o c) lim = —oo a nakreslete grafy funkcí, jejichz limity v príslusnych bodech jsou uvedeny a vyslovte domnenku o hodnote príslusne limity. Limitá funkce jedné proměnné Po uvodních slovech k zavedení pojmu limity uvedme si její přesne zavedení. 145 Definice 8.1. (Limita funkce jedné proměnné) Necht y = f (x) je reálná funkce reálné proměnné x. Necht; a E R*. Řekneme, ze funkce f (x) má v bode a limitu a E R* á píšeme lim f (x) = a, x—a jestliže ke káždemu e-okolí bodu a existuje 5-okolí bodu a ták, že 1. funkce f (x) je definováná v Us (a) — {a} 2. pro vSechná x E Us (a) — {a} plátí f (x) E Ue(a). Ná obr.(8.1) je schemáticky znázornená gráficky znázornená definice limity funkce f (x) v bode a. Číslo e libovolne volíme (tj. volíme libovolne Ue(a). Touto volbou urcujeme „blízkost" hodnot „a, f (x)". K císlu e (k okolí Ue(a) se urcuje 5 ,(t.j. Us (a),). Pro x E (Us (a) — {a} se požáduje, áby f (x) E Ue(a). Obrížek 8.1: limx—a f (x) = a, Ukážme, ják lže tuto definici preformulovát v jednotlivých pčípádech. ŘČekneme, Čže funkce f(x) m á v bodČe a E R limitu a E R,a E R, lim f (x) = a. a á piseme Um f (x) = a, jestliže k libovolnemu vlástnímu císlu e > 0 lže urcit tákove vlástní císlo 5 > 0, že pro vsechná x E (a,a + 5), (tj. pro x E U+(a) — {a}) je funkce f (x) definováná á f(x) se lisí od a nejvyse o e, tj. f (x) E< a — e,a + t>. 146 Definici limx—a+ f (x) = a, osvetluje n a sleduj íc í obrázek 8.2 a E R,a = oo, lim f (x) = oo. x—a+ Obrazek 8.2: limx—a+ f (x) = a, Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode a E R limitu zprava rovnu oo a p íseme lim+ f(x) = o, x— a+ jestlize pro kazd e libovolne velke císlo e lze urcit takove vlastn í císlo 5 > 0, ze pro vsechna x E (a,a + 5), (tj. pro x E U+(a) — {a} je funkce f (x) definovana a f(x) > e. Definici limx—a+ f (x) = o osvetluje na nasleduj íc í obra zek 8.3. I Obrazek 8.3: limx—a+ f (x) = o 147 a = oo,a G R, lim f (x) = a. I. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode oo limitu x—»oo rovnu a a p i seme lim f (x) = a, jestlize pro kazde libovolne male císlo e > 0 lze urcit takove císlo 5 > 0, ze pro vsechna x G (c (a - e, a + e). vsechna x G (5, oo), (tj. pro x G U+(a)) je funkce f (x) definovana a f (x) G e Definici limx—o0 f (x) = a osvetluje nasleduj íc í obrízek 8.4 a + f (x) a a — e Obra zek 8.4: limx—o0 f (x) = a a = oo,a = oo, lim f (x) = oo . Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode oo limitu x—»oo rovnu oo a piseme lim f (x) = oo, JestliZe pro káZde libovolne velke Císlo e > 0 lze urCit tákove vlastní Císlo 5 > 0, ze pro vsechná x E (5, to), (tj. pro x E UJ(a) je funkce f (x) definovaná á f(x) E (a — e,a + e). Definici limx^^ f (x) = to osvetluje následující obrázek 8.5 148 U e (a) f (x) b ô Obrázek 8.5: limx—o0 f (x) U5 (OC) oo V bodech a G E zavádíme i limitu zprava a limitu zleva funkce /(x) takto: Definice 8.2. Řekneme, Ze funkce /(x) ma v bode a G E limitu zprava (zleva) rovnu Číslu a G E* a píSeme lim f (x) = a lim f(x) = a ) jestliZe ke káZdemu e-okolí bodu a G R* existuje práve (leve) č-okolí bodu a ták, Ze 1. funkce f (x) je definovaná v U+(a) — {a} (U-(a) — {a}) 2. pro vSechna x G U+(a) — {a} (x G U-(a) — {a}) plát í f (x) G Ue (a). Poznámka 1. JestliZe definiCn ím oborem funkce f (x) je intervál (c,d), budeme nekdy ■ m ísto lim f (x) psát lim f (x),ponevádZ funkce f (x) nen í definován á pro x < c, tákZe funkce f (x) muZe m ít v bode c jen limitu Zprává. ■ m ísto lim f (x) psát lim f (x), ,ponevádZ funkce f (x) nen í definování pro x > d, x—d— x—d tákZe funkce f (x) muZe m ít v bode d jen limitu Zlevá. Poznámka 2. Všimnete si, Ze oZnácen í lim f (x) (lim f (x)) je vlástne rovneZ x—-o x—o oZnácen í pro jednostránn e limity. Poznámka. Vsimnete si, Ze jestliZe funkce f (x) m á v bode a G R limitu Zprává i limitu Zlevá rovnu te muZ císlu a, potom funkce f (x) má v bode a teZ limitu lim f (x) á táto x—-o limitá je rovná a. 149 Poznamka3. Necht, a e R*, necht: existuje ó e R tak, ze f (x) = g(x) pro x e Us (a) - {a}. Potom existuje-li lim f (x), existuje i lim g(x) a platí x—a x—a lim f(x) = lim g(x). x—a x—a Podobnze pro lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x). x—a+ x—a— x——oo x—o 1 x— 1' Příklad 8.1. Funkce /(x) = je pro všechna x = —1 rovna funkci g(x) Lze doka zat, ze lim g(x) = —1. Podle prá ve uveden e pozn a mky je tedy lim /(x) lim g(x) = — 2. X— —1 2 I Funkce f (x) nemusí mít v danem bode limitu. Uveďme tyto příklady. Příklad 8.2. Nechť f ( ) = í 1 pro x racionaln í, f ( ) ( -1 pro x iracion a ln í. Necht' a e R. Potom neexistuje lim f( ) ani lim f( ). x—a+ x—a— Skutecne. V kazd e m intervalu (a, a + ó) ((a - ó, a)) jsou jak body x, v nichz je f (x) = 1, tak body x, v nichřz je f(x) = -1. Tedy neexistuje ani lim f(x) ani lim f(x). x—a+ x—a— Příklad 8.3. Ukazme, ze neexistuje lim sin -. x—0+ x Řešení. Predevs ím zvazme, ze funkce sin x je definovana pro vsechna x = 0. Polozme Zřejme posloupnost {xkm a limitu rovnu 0, tj. lim xk = 0. Dale k—oo — = Sin(2k +1) - = í -1 k lich e, xk 2 \ 1 pro k sud e . Tedy v kazd e m intervalu (0,ó) jsou jednak body, v nichz funkce sin x nabyva hodnoty -1, jednak body, v nichz funkce sin - nybyva hodnoty 1, takze neexistuje lim sin -. x x—0+ x Na obr. 8.6 je vyznacen graf funkce sin - pořízeny na poc ítaci. 150 o -1 Obrázek 8.6: Graf funkce sin 1. x 8.2 Spojitost funkce jedne proměnné v danem bode Pojem spojitosti funkce /(x) v daném bodě a lze zavést pomocí pojmu limity funkce /(x) v bodé a takto. Definice 8.3. (Spojitost funkce v bode) Necht: funkce f (x) je definovaná v bodě a E R a necht: lim f (x) = f (a) x—a ( lim f (x) = f (a)) [ lim f (x) = f (a)]. Potom f (x) je v bode a spojitá (spojitá x—a+ x—a— zprava) [spojitá zleva]. Je-li a levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, na nemZ je funkce definovana, mUZeme říkat, Ze funkce f (x) je v bode a spojita místo f (x) je v bode a zprava (zleva) spojitáa. Jestliže funkce /(x) je v bode a E R spojitá, potom výpočet limity funkce /(x) v bode a lže určit pouhým výpočtem hodnoty funkce /(x) v bode a. Z dřívějšího studia byste meli vedet, že elementární funkce:,, polynom, racionální lomená funkce y/x, ax loga x, sin x, cos x, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x " jsou spojité v každém bode sveho definičního oboru. Pokud vám tyto funkce nejsou dostátecne žnáme, prostudujte si kápitolu o elementárních funkcích. Toto studium mužete si odložit ná poždějsí dobu. Uved'me si nekolik příkladu. 151 Příklad 8.4. Dokažme, že lim logx = 1, lim sinx = ^■ x—10 ° x—n 2 Skutečné- Funkce logx, sinx jsou spojité v každem bode sveho definičního oboru- Tedy lim log x = log 10 = 1, lim sin x = sin — = ^—. x-io 6 6 ' x- f 4 2 Příklad 8.5. Necht: n G N. Dokažme lim xn = í °' n je Sude' x^-oo \ -OD, n je liche. SkuteCne. Necht n je sudé. Necht: e > 0 je libovolne Číslo. Bež újmy na obecnosti mUžeme předpokládat, že e > 1. Položme 5 = — . Potom pro x G Us(—oo), tj. pro x G (-oo, — v^ě) je xn > e, tj. xn G U£(oo), takže lim xn = o pro n sudíe. x^—oo Podobne se dokaže, že pro n liché je lim xn = —o. x—t—oo Příklad 8.6. Vypočítejte lim(3x2 — 4x + 1). x—2 Řešení. Polynom je funkce spojita v každem bode x G R, tedy i v bode 2. Limita v bode a, v nemž je funkce spojita, je rovna její funkcní hodnote v bode a. Tedy lim(3x2 — 4x + 1) = 3 • 22 — 4 • 2 + 1 = 5. x— 2 Příklad 8.7. Vypočítejte v 3x + 2 lim —--. x->2 x2 — 1 Řešení. Funkče f (x) = Xfzf je racionální lomená funkče. Víme, že racionální lomená funkče je spojitá v každem bode sveho definičního oboru, to jest v každem bode, v nemž je jmenovatel nenulový. V naSem případe je jmenovatel x2 — 1 v bode 2 roven 22 — 1 = 3, takže funkče f (x) je v bode „2" spojitá, takže lim f (x) je rovna f (2). Dostáváme tedy x—2 , 3x + 2 3 • 2 + 2 8 lim —-= —--= -. x—2 x2 - 1 22 - 1 3 Příklad 8.8. Vypočítejte x2 — 4 lim —-. x—2 x2 — 5x + 6 152 Řešení. Položme f(x) = —2-ř—■ x 2 — 5x + 6 Zrejme D f = R — {2, 3}. Funkce f (x) nen í tedy v bode 2 spojitá, nebol; v nem nen í ani definován á . Funkci f (x) prepiSme na tvar = (x — 2)(x + 2) JK) (x — 2)(x — 3)' Položme 9(x) =-ô ^ x— 3 Zrejme f (x)=g(x) pro x = 2. Ponevadž limita funkce nezávis í na jej í hodnote v bode, v nemž limitu poCíta me, je lim f (x) = lim g (x). (8-1) Funkce g(x) je vSak spojit a v bode 2, takže lim g(x) = g(2), x—2 tj. 2+2 mrig(x) = --- = x—2 2 — 3 Podle (8.1) je tedy též lim f (x) = —4. x2 8.2.1 Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí Pro funkce, ktere vzniknou secíta n ím, odeatan ím, n asoben ím a delen ím funkcí, jejichž uvažovan e limity v dan e m bode a žname, mužeme poc ítat limitu podle n a sleduj íc í vety. Veta 8.1. Necht f (x), g (x) jsou funkce pro něž platí lim f (x) = A, lim g(x) = B, kde lim znažíjeden ze symbol U lim, lim , lim , lim , lim , a E R a symboly A, B x—a x—a+ x—a- x—oo x—-oo představují reálná žísla nebo jeden ze symbolU +oo nebo —oo (to jest A, B E R*). 153 Potom platí lim(/(x) ± g(x)) = A ± B, (8.2) lim /(x) • g(x) = A • B, (8.3) lim M = A (8.4) g(x) B pokud má pravá strana význam v R*. Důkaz: Důkaz vety proved'me jen pro některé případy. Dokazme vztah (8.2) pro tyto případy. Ostatní případy se dokazují podobne. a) Necht: a, A, B E R. Necht; lim / (x) = A, lim g (x) = B. Dokazme, ze lim(/(x) ± x—a x—a x—a g (x)) = A ± B. Necht: e > 0 je libovolne Číslo. Ponevadz lim /(x) = A, existuje takove 5i > 0, x— a ze pro x = a, x E (a — 5i}a + 5i) je funkce /(x) definovana a platí 1/(x) — A\ < 2. (8.5) Podobne, ponevadz lim g (x) = B, existuje 52 > 0 tak, ze pro x E (a — 52,a + 52), x— a x = a, je funkce g(x) definovana a platí \g(x) — B\ < 2. (8.6) Polozme 5 = min(5i}52). Ze vztahů (8.5),(8.6) dostavame pro x = a, x E (a 5, a + 5) \/(x) ± g(x) — (A ± B)\ = \(/(x) — A) ± (g(x) — B)\ < Tedy <\/(x) — A \ + \g(x) — B\ < 2 + 2 = e. lim(/(x) ± g(x)) = A ± B. x^a ß) Necht: a, A E R, B = to. Necht e,K > 0 jsou libovolná čísla. Poněvadž lim /(x) = A, lže k číslu e určit 5\ > 0 tak, že pro x E (a — 5\,a + 5\), x = a, je funkce /(x) definovaná a platí 1/(x) — A\ 0 tak, že pro x— a x E (a — 52,a + 52), x = a, je funkče g(x) definovaná a platí g(x) > K + e — A. 154 Oznacme 5 = min(51,52). Potom pro x G (a — 5, a + 5), x = a, je funkce g(x) definovana a platí f (x) + g (x) > A — e +(K + e — A) = K. Je tedy lim(f(x) + g(x)) = A + B = A + o = o. x—a Podobne se dokaze, ze lim (f(x) — g(x)) = —o. □ Poznámka. Necht: g(x) = c, kde c je reílní konstanta. Potom lim g (x) = c pro x— a libovolne a, nebot pro libovolne e > 0 a pro vsechna x platí \g(x) — c\ = \c — c\ = 0 < e. Je-li lim f (x) = A, A G R*, c G R je libovolna konstanta, platí tedy podle vety 8.1 x— a lim c • f (x) = c • lim f (x) = c • A, x— a x— a pokud mía cA víyznam. Z vety 8.1 dostavame pro funkce spojite tuto vetu. Veta 8.2. Necht, funkce f (x), g (x) jsou spojite v bode a. Potom i funkce f (x) ± g (x), f (x) • g (x) je spojita v bode a. Jestliže navíc g (a) = 0, je i funkce g^L spojita v bode a. Příklad 8.9. Funkce sin x, x2 — 1 jsou spojite v kazdem bode. Tedy i funkce sin x+x2 — 1, sin x — x2 + 1, (x2 — 1) • sin x jsou spojite v kazdem bode. Ponevadz x2 — 1 = 0 pro x = 1 a pro x = —1, je funkce x^rri spojití v kazdem bode x, kde x = ±1. Príklad 8.10. Vypocítejte lim (anxn + an-ixn~i + • • • + aix + a0), an = 0. x—o Řešení. Polozme f (x) = anxn + an-ixn~i + • • • + aix + a0. Funkci f (x) prepisme na tvar í xn 1 x 1 "\ 155 tj. f (x) = x an + cin-i- +-----+ ai——r + ao — . \ x xn-1 xn) Podle vety 8.1 je lim f (x) = lim xn ■ (lim an + lim n 1 + ■ ■ ■ + lim —^- + lim — ) . x—s-oo x—s-oo Vx—s-oo x—s-oo x x—s-oo xn 1 x—s-oo xn/ Ponevadz lim -L- = — = 0 pro m £ N, c £ R, lim xn = to, dostáváme x—s-oo x o x—s-oo lim f (x) = to ■ lim an. x—oo x—oo Je tedy lim f (x) = ( to pro an > °, x—o [ —to pro an < 0. Příklad 8.11. Vypočítejte lim (anxn + an-1xn-1 + ■ ■ ■ + a1x + a0), an = 0. x—s--oo Řešení. Postupujeme podobne jako v předchozím příklade. Položme f (x) = anxn + an-1xn-1 + ■ ■ ■ + a1x + a0. Dostavame lim f (x) = lim xn ■ ( lim an + lim an 1 + ■ ■ ■ + lim ——'-r + lim — ] x—s--oo x—s--oo \.x—-oo x—-oo x x—-oo xn 1 x—-oo xn J Ponevadž lim xl = 0, m £ N, c £ R a x—-oo x lim xn = ' to pro n sude, ( x—-o i —to pro n ličhe, dostavame 1) ,. , í sgn an • oo pro n sude, lim f(x) = —sgn an ■ to pro n ličhe. Tedy např. lim (2x2 — 3x + 1) = to, lim x2(2 — - + ^) = to. Příklad 8.12. Podle vety 8.1 je např. lim (x2 + 1/x) = to, nebot x2 je funkče spojita, x—0+ takže lim x2 = 0 a lim 1/x = to. x—0+ x—0+ Příklad 8.13. Vypočítejte 2x2 — 3x + 1 lim---. x—oo — x2 — 2x +1 x) sgn a = 1, je-li a> 0, sqn a = — 1, je-li a < 0 156 Řešení. PoloZme 2 f (x) =-2-o—i"T. -x2 — 2x + 1 PonevadZ lim (2x2 — 3x+1) = to, lim (—x2 — 2x + 1) = — to, nemuZeme beZprostředne pouZít Zadnou vetu o limite podílu, kterou jsme Zatím uvedli, nebol; není definovano ani v R*. Avsak pro x = 0 je f (x) = g(x), kde 2 - X + 4 g(x) = -\-X2 . xx2 Zřejme lim (2 - x + 4) 2 , . x_y co x x 2 g(x) = lim (-1 - x + 4) = -1 = -2. x—)-oo v x x / Je tedy lim f (x) = -2. x—»00 Príklad 8.14. Vypocítejte 3x4 - x +1 lim x—O x2 + x 1 Řešení. Zrejme, delíme-li citatele i jmenovatele císlem x2, kde x = 0, dostavame ľ 3x4 - x + 1 ľ 3x2 - x + X, —J3^ - "xx + x2) to lim —--= lim -^—f— = - x—o x2 + x - 1 x—o 1 + —1 lim (1 + 1 —12) 1 =. Příklad 8.15. Vypočítejte , x2 + x + 1 lim —-. x^oo x4 + X — 1 Řešení. Zrejme, delíme-li čitatele i jmenovatele x4 pro x = 0, dostáváme x2 + x + 1 1 + -1 + -1 Um (X2 + X3 + x4) 0 lim x4 + x + 1 = lim x2 + x3 + x4 = -X-^ = 0 = 0. x^oc x4 + x — 1 x^oc 1 + -1 — 4 lim (1 + 43 — 1) 1 x3 x4 x3 x4 Vetu 8.1 pro vypocet lim nelZe pouZít, jestliZe lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Je-li A = 0, je tento případ řesen nísledující vetou. O případe, kdy lim f (x) = lim g(x) = 0, pojedname poZdřeji. 157 Věta 8.3. (Limita podílu /(x)/g(x)) Necht a, A e R, A = 0. Necht lim /(x) = A, lim g(x) x—a+ x—a+ ■ r • f(x) , r- 0. Necht: existuje 5 > 0 tak, ze pro x E U+(a) — {a} je funkce definovaná a platí f (x) g(x) > 0 ŕ f(x) \ \g(x) ) Potom f(x) lim = oo (—oo). x—a+ g (x) Příklad 8.16. Vypočítejte 3x lim —--. x—2+ x2 — 4 Řešení. Zrejme lim 3x = 6, lim (x2 — 4) = 0. Tedy limita čitatele je různá od nuly a x-)-2+ x-)-2+ limita jmenovatele je rovna 0. Určeme znamení funkce xfz^;. Znamení je znázorneno na obr. 8.7. Ponevadz existuje prave okolí bodu 2, v nemz je funkce xjn^ kladna, je podle + — + -2 0 2 vety 8.3 Obrázek 8.7: Znamení funkce z příkladu 8.16. 3x lim —-- = oo. x- 2+ x2 4 Podobne bychom zjistili, ze 3x lim 2 a x—2- x2 — 4 =. Poznámka. Schematicky chovaní funkce x^ti pro x „blízko" k číslu 2 znazomujeme podobne jako na obr. 8.8. Příklad 8.17. Vypocítejte 3x + 1 lim —--. x—1+ x2 — 1 Řešení. Ponevadz lim (3x + 1) = 4, lim (x2 — 1) = 0, ^ > 0 pro x > 1 (urcete x—1+ x—1+ x znamení racionální lomene funkce xx+1), dostavame podle vety 8.3, ze 3x+1 lim —-= oo. x- 1+ x2 1 158 v Obrázek 8.8: Znázornění chování funkce Hr^r v okolí bodu x = 2, x = 2. 8.2.2 Limita a spojitost složené funkce v danem bodě Veta 8.4. (Spojitost sloZené funkce) Necht funkce u = p (x) je spojitá v bodě a G R a necht: funkce f (u) je spojitá v bodě a = p(a). Potom složená funkce f (p (x)) je spojitá v bode a. Je tedy lim f (p (x)) = x—a f (p(a)). Důkaz: Ze spojitosti funkce / v bodě a = p (a) vyplývá, že k libovoln é mu e > 0 existuje tákové g > 0, že pro u E Ue(a) (tj. pro x E (a — g, a + g)) je funkce /(u) definován á á plát í /(u) E U£(/(a)) (tj. /(a) — e < /(u) < /(a) + e). Ponevádž funkce ip je spojitá v bode a, k uvedenemu Číslu g existuje tákove 5 > 0, že pro x E Us (a) (tj. pro a — 5 < x < a + 5) je funkce p(x) definováná á p(x) E Ue(a) (to jest a — g < p (x) < a + g). Je-li tedy x E Us (a), je u = p (x) E Ue(a) á / (u) E Ue (/(a)), tj. /(p(x)) E Ue(/(a)). Funkce /(p(x)) je tedy spojitá v bode a. □ Příklad 8.18. Funkce sin(x2 + x + 1) je spojitá v káždem bode a E R. Skutecne. Položme u = p (x) = x2 + x + 1, / (u) = sin u. Necht x E R. Víme, že polynom je funkce spojitá v káždem bode. Je tedy p(x) spojitá i v bode a. Ožnácme a = a2 + a + 1. Funkce /(u) je spojitá v káždem bode, tedy i v bode a. Podle vety 8.4 je tedy /(p(x)) spojitá v bode a. Ponevádž a byl libovolny bod ž interválu (—oo, to), je /(p(x)) spojitá v káždem bode a E (—o, o). Véta 8.5. (Limita sloZené funkce) Necht p, f jsou funkce, a G R*, a G R a necht: lim p (x) = a. x—a Necht: funkce f je spojitá v bode a. Potom platí lim f (p(x)) = f (lim p(x)) = f (a). (8.7) x—a 2 x 159 Důkaz: Necht: e > o je libovolné číslo. Poněvadž funkce / je spojitá v bodě a, existuje q > O tak, že pro u e Ue(a) je funkce / definovaná a /(u) e U£(/(a)). Ponevadž limx—a o, že pro x e U (a) — {a} je funkce 0. Tedy V x2 + 1 je bážko k cáslu \f\ = 1. Ponevádž funkce V x2 + 1 má v bode a = 0 hodnotu 1, je funkce V x2 + 1 v bode a = 0 spojitá. 8.2.3 Spojitost inverzní funce Uveďme si bež dukažu vetu o spojitosti inveržní funkce. Veta 8.6. Necht /(x) je prostá na intervalu I a necht zobrazuje interval I na interval J. Potom k funkci /(x) existuje funkce inverzní/~l, ktera zobrazuje interval J na interval I. Jestliže funkce / (x) je spojití na intervalu I, potom funkce /-1(x) je spojita na intervalu J. 8.3 Shrnutí, úlohy V kapitole je žaveden pojem limity funkce /(x) v bode a e R* a tento pojem je použit k žavedení pojmu spojitosti funkce /(x) v bode a e R. Jsou vysetrovany limity funkcí / (x) ± g(x), / (x) • g (x), v danem bode pomocí limit funkcí / (x), g (x) v tomto 160 bodě. Je vyšetřována spojitost funkcí / (x) ± g(x), f (x) ■ g (x), -^y v daném bodě, jsou-li v tomto bodě spojité funkce f (x) a g(x). Rovněž je vyšetřovaná limita složene funkce v danem bode a spojitost složene funkce v danem bode. Úlohy 1. Vysvetlete pojem limity funkce f (x) v bode a E R*. 2. Vysvetlete pojem spojitosti funkce f (x) v bode a E R. 3. Necht: f (x) < g (x) < h(x), x E I, x = a. Necht: lim f (x) = lim h(x) = a. x—a x—a Existuje limg(x)? V případe, že existuje, urcete limg(x). x— a x— a 4. Jake vety žnate pro výpocet limity souctu, soucinu a podílu dvou funkcí? 5. Vysvetlete pojem funkce spojite danem v bode. 6. Jake vety žnate o spojitosti souctu, soucinu a podílu dvou funkcí? 7. Co víte o spojitosti složene funkce? 8. Jakou vetu žnate pro vypocet limity složene funkce? 9. Nechť 1 pro x > 0, f (x) = ^ 0 pro x = 0, — 1 pro x < 0. Vypocítejte lim f (x), lim f (x), lim f (x). x—0+ x—0_ x—0 10. Vypocítejte limity a) lim(3x + 1) x—2 b) lim 2x+1 c) lim — 2) [1, —1, neexistuje] [7] [—2 ] [ sJŕ — 2] 11. Vypocítejte limity b) x—moo 4x2 +x-í c) lim arctg x x—x d) lim arccotgx x——x e) lim —, lim — x—0+ x x—0- x f) lim ex, lim ex x—x x——x g) lim log x, lim log x x—>0+ x—0- 3x2+í [ 4 ] [ 2 ] [0] [+1, — 1] [w, 0] [—to, neexistuje] 161 h) lim log x x x—0- 10 i) lim sin x J) k) v) lim sinx x—x x lim sin - x—0+ x lim x sin - x—0+ x TO] [neexistuje] [0] [neexistuje] [0] 12. Vypoc ítejte a) lim ^, lim , lim , lim 3x±1 7 x—1+ x2-ľ x—i- x2-1' x—_i+ x2-ľ x—-i- x2"l b) lim2 W+W 3 x—2+ ^ x2_2x + c) lim x—2+ d) lim x2-55x+6 1 x—3+ x2-3x e) lim arctg j^tl, x 3 x +1 ), lim + -yV) x-2 x2-2x x 2- - - lim_arctg É+i [to, —to, —to, to] [-to] [+to, —to] [ 3 ] [ 2 , 2 ] 13. VypoC ítejte a) lim (V4x2 — 1 — V2x2 + 3) [+to] 14. Je funkce f (x) = spojitá v bode 0? Je funkce g(x) = f (x) pro x E (—to, 0) U (0, to), g(0) = 1 spojitá v bode a = 0? 15. Je funkce a) f (x) = spojitá v bode 0? b) g(x) = f (x) pro x = 0, g(0) = 2 spojitá v bode 0? [není] [není] 16. Vypocítejte a) lim ex~ x b) lim ln(1 — x) x—x c) lim +x x—e+ d) lim 2V-, lim 2V- x—0+ x—0- [1] [nema limitu] [—to] [to, 0] 162 Kapitola 9 Elementární funkce. 9.1 Polynom a racionální lomená funkce V teto kapitole pojedname souhrne o rade funkcí, ktere znate (nebo meli byste zn at) z dřívejs ího studia. Pojedn a me tez o funkcích cyklometrickych, ktere se na gymn a ziích neprob íraj í. Zacneme s polynomem. Polynom Zaved'me si komplexn í funkci komplexn í promenn e „polynom". Necht: an,an—1,... ,a1 ,a0 jsou komplexní eísla. Jestliže ke kazdemu komplexnímu císlu x e C přiřadíme ěíslo f (x) vztahem f (x) = an xn + • • • + a1x + a0, (9.1) je jím definovana komplexní funkce na množine vsech komplexních eísel C. Tato funkce se nazáva polynom. Čísla an,...,a0 nazyváme koeficienty polynomu f (x). Číslo a0 nazyvame absolutním elenem polynomu f (x). Jestlize an = 0, polynom f (x) nazyvame polynomem n-teho stupne. Např. f (x) = x2 + 1 je polynom 2. stupne. Podle definice stupne nen í polynomu f (x) = 0 přriřrazen řzadn y stupeřn. Naz yv ame jej nulovíym polynomem. Číslo a nazyváme kořenem (nulovym bodem) polynomu f (x), jestliže f (a) = 0. 163 Nap r. polynom P (x) = x3 + x (9.2) ma kořeny 0, i, —i, nebot P (0) = 0, P (i) = i3+i = 0. Podobne P (—i) = (—i)3+(—i) = 0. Lze ukazat, ze nemí zadne dalsí kořeny. Jestli ze P(x) je polynom a a je jeho ko ren, potom polynom prvníiho stupn e x — a se nazyva kořenovým činitelem odpovídajícímu kořenu a. O polynomu platíi tyto v ety: Veta 9.1. Necht, a je kořenem polynomu f (x) stupnč n > 1. Potom existuje takový polynom g(x) stupn č n — 1, ze přo každí komplexní číslo x platí f (x) = (x — a) ^ g(x). Důkaz: Ponevadz f (a) = 0 lze polynom f (x) zapsat jako f (x) = f (x) — f (a) = (anxn + an-ixn-i +----+ aix + a0) — — (anan + an-ian-i +----+ aia + a0). Úpravou dostavame f(x) = an(xn — an) + an-i(xn-i — a-i) + • • • + ai(x — a). Pon evad z xk — ak = (x — a)(xk-i + axk-2 +-----+ ak-i), pro k = 1, 2,...,n, lze psíat f (x) = (x — a) • [an(xn-i + ••• + an-i) + ••• + ai], to jest f (x) = (x — a)g(x)' kde g(x) = an(xn-i + • • • + an-i) + • • • + a1. □ Príklad 9.1. Polynom f(x) = x2 — x — 2, ma císlo 2 za svuj kořen, nebot: f (2) = 0. Existuje tedy polynom g(x) stupn e 2 tak, ze f (x) = (x — 2)g(x). 164 Skutecn e . D e lením polynomu f (x) korenovym cinitelem x — 2 dostáváme ( x2 — x — 2): (x — 2) = x + 1 ± x2 + 2x ± ~ 0 tj. (x2 — x — 2): (x — 2) = x + 1, ták že f (x) = (x — 2)(x + 1). x—2 Zátím jsme použe žávedli pojem korene polynomu, ále nežábyváli jsme se problemem existence ko rene polynomu. O tom vypovíidíá níásledujíicíi v etá: Věta 9.2. (Fundamentální věta algebry) Každý polynom stupne n > 1 ma v oboru komplexních čísel kořen. DUkaz: Bež dukážu. ^ Definice 9.1. Říkáme, ž e c íslo a je k-nasobným kořenem polynomu f (x), jestli ž e pro ká žde kom-plexníi cíislo x plátíi f (x) = (x — a)kg(x), kde g(x) je tákovy polynom, že g(a) = 0. Príklad 9.2. Polynom x3 — 3x2 + 4 lže žápsát ve tváru x3 — 3x2 + 4= (x — 2)2(x + 1). Je tedy x = 2 dvojnásobnym á x = —1 jednoduchym kořenem polynomu x3 — 3x2 + 4. Důsledek. Polynom n-tího stupnř, n > 1, f (x) = anxn + an-\xn~l +----+ aix + a0, an = 0 ma právě n kořenu, pořítame-li k-nasobný kořen ža k kořenu. DUkaz: Necht; n = 1, a\ = 0. Potom f (x) = a\x + a0 je polynom stupn e 1. Potom f (x) = ai(x + a0), tákže f (x) = (x — a)ai, kde a = — ^. P redpoklíádejme, že tvrženíi plátíi pro polynomy stupn e n — 1 á doká žme, že pák plátíi 165 take pro polynomy stupne n. Necht: tedy / (x) = anxn + an-\xn~l +----+ a-x + a0, an = O. Podle fundamentalní vety algebry ma polynom /(x) koren v oboru komplexních císel, ožnacme jej a. Tedy / (x) = (x — a)g(x), kde g(x) je polynom stupne n — 1, ktery má podle predpokladu n — 1 kořenu. Ponevadž a je kořenem polynomu /(x), mí /(x) prave n kořenu. Příklad 9.3. Ponevadž x4 + 4x3 — I6x — 16= (x + 2)3 (x — 2), je x = 2 jednoduchym a x = —2 trojnasobnym korenem tohoto polynomu. Ma tedy dany polynom 4 koreny. D ů sledek. Jestliže polynom /(x) je roven nule v nekonečně mnoha číslech, pak je to polynom nulový. D ů kaz: Kdyby polynom byl stupne n > 1, byl by roven nule nejvyse v n navžajem ružnych císlech. To je spor, takže polynom ma vsechny koeficienty nulove. Pro n = O je veta žřejma. □ D ů sledek. Jestliže dva polynomy / (x), g(x) nabývají stejné hodnoty v nekoneěne mnoha ěíslech, pak maji stejné koeficienty u stejnych mocnin x. D ů kaz: Ožnacme h(x) = / (x) — g(x). Polynom h(x) ma nulovou hodnotu v nekonecne mnoha císlech, takže vsechny jeho koeficienty jsou nulove. Odtud snadno plyne tvržení. □ I Polynom s reálnými koeficienty budeme nazývat reálným polynomem. Věta 9.3. Je-li a + if3, (3 = 0 jednoduchým kořenem reálného polynomu f (x) = anxn + dn-\xn+l +----+ aix + ao, an = 0, (9.3) je též číslo a — i(3 jeho kořenem. 166 Důkaz: Dosazen ím x = a + i[3 do (9.3) dostaví me f (a + if3) = an(a + if3 )n + an— i(a + if3 )n— 1 +-----+ ai(a + i3) + a0 = A + iB, kde A = K(f (a + i3)), 5 = 5(f (a + i3)). Ponevadz f (a + i3) = A + iB = 0, je A = 0, B = 0. Ponevadz (a - i(3)r je císlo komplexne sdruzen e k c íslu (a + if3)r pro r = 1, 2,... ,n, plat í f (a - i/3) = an(a - i/3 )n + an— 1(a - i/3 )n—1 + • • • + a1(a - i/3) + a0 = A - iB. Ponevadz A = B = 0, je f (a - i/) = 0, takze a - i/ je korenem polynomu (9.3). □ Je tedy polynom (9.3) delitelny soucinem kořenovych cinitelu (x - (a + i/)) • (x - (a - i/)) = (x - a)2 + 32, tedy realn ym polynomem druh eho stupnře. Je tedy f (x) = [(x - a)2 + 332]f1(x), (9.4) kde f1(x) je re í lny polynom stupne n - 2. Kdyby a + ij3 byl dvojna sobnym korenem realn e ho polynomu f (x), byl by a + ij3 jednoduchym korenem re a ln e ho polynomu f1(x), urcen e ho vztahem (9.4). Tedy a - ij3 by byl podle vety 9.3 tez jeho korenem. Bylo by tedy mořzn e ps at f1(x) = [(x - a)2 + 32]f2(x), (9.5) kde f2(x) je realn y polynom stupnře n - 4. Tedy f (x) = [(x - a)2 + 32]2f2(x). T ímto jsme dospeli k tomuto z a veru Je-li a + ij3, 3 = 0, k-nasobnym kořenem realneho polynomu f (x), je tez a - i3 k-nasobnym kořenem polynomu f (x). Poznámka. Jestlize polynom nen í reainy, tvrzen í vety nemus í byt splneno. Napr. polynom /(x) = x2 + x(1 — i) — i ma C íslo i za svUj koren, avSak —i nen í jeho korenem. 167 Z toho, co jsme o kořenech polynomu uvedli, lze dospět k tomuto tvrzení. Necht: f (x) je realny polynom. Necht: a, P,...,y jsou všechny jeho navzájem rUzne realne kořeny a to a k-nasobny, P l-násobny, ... , 7 m-nasobny. Necht: a ± ib,... ,c ± id jsou všechny jeho navzajem rUzne dvojice nerealnych komplexne sdružených kořen U. Necht: a + ib je p-nasobny,..., c + id je q-nasobny kořen. Potom platí f (x) = an • (x — a)k • (x — P)1(x — 7)m • • [(x — a)2 + b2]p[(x — c)2 + d2 ]q. (9.6) pro každé komplexní číslo x. Polynom f (x) zapsany ve tvaru (9.6) nazývame rozkladem realnáho polynomu v reealneem oboru. Hledaní kořenů polynomů. Vyslovili jsme sice vetu o existenci kořenu polynomu, avsak neuvedli jsme zatím nic o zpusobu jejich hledaní. Tato problematika je znacne rozsahla a její vyklad v plnem rozsahu je nad ramec tohoto textu. Uvedeme zde alespon nekolik uvodn ích poznamek k teto problematice. Hledaní korenu polynomu 1. a 2. stupne by Vam melo byt vsem dobre znamo. Nekterym z Vas mozna nen í znam prípad, kdy koreny kvadraticke rovnice jsou komplexn í. Proto si uvedeme i případ hled a n í korenu polynomu 1. a 2. stupne. Zde nen í uvedeno po-drobn e odvozoví n í. Vyklad tykaj íc í se polynomu 2. stupne je nutno chapat jen jako pripomenutí poznatku z matematiky v dřívejsím studiu. Existuj í i metody na hled a n í kořenu polynomu 3. a 4. stupne, kterými lze kořeny urcit z jejich koeficientu konecnym poctem aritmetickych operací a odmocnova n í. Je dokazí no, ze neexistuje výpočtový postůp, kterym by bylo moZno v obecnem případe ůřčit kořeny kaZdeho polynomů štůpne vetšího neZ 4 z jeho koeficientů provedením konečneho počtů ařitmetickych opeřací a odmocnovaní. Vypoctove postupy, kterymi by bylo mozn e urcit koreny kazd e ho polynomu 3. a 4. stupne z jeho koeficientu konecnym poctem aritmetickych operací a odmocnova n í, davaj í nekdy vysledky v nepřehledn e m tvaru, takze se dava casto přednost numerickym postupum, kterymi lze priblizne hledat koreny polynomu i stupřu vetsích nez 2. Hledaní korenu polynomu P (x) = anxn + an-1 xn-1 + • • • + a;x + ao, (9.7) kde an,an-1,... ,a1,a0 E C, an = 0, vede na řesení algebraicke rovnice anxn + an-1xn~1 + • • • + a1x + a0 = 0. (9.8) J Císlo a je kořenem polynomu (9.7), když a jenom když je řešením rovnice (9.8). 168 Kořeny polynomu 1. stupně. Pro n =1 dostavame ž (9.7) polynom Pí(x) = aíx + a0, aí = 0. (9.9) Príslusnou algebraickou rovnici a1x + ao = 0, a1 = 0, (9.10) nazýváme lineární rovnicí. Má jediný koren, označíme jej xi, kde ao x1 =--. ai (9.11) Polynom P1(x) = a1 x + ao, a1 = 0, má jediný kořen x1 = — ^. polynomu 1. stupně (9.9) je přímka Grafem reálného y = + ao, (9.12) kter-a protíný osu x v bodě x1 = — ^. fV/z obr. 9.18.) = ai x + a0 x Obražek 9.1: Graf linearní funkce (9.12). Příklad 9.4. Napr. polynom Pí (x) = 2x + 3 (9.13) ma prave jeden koren xí, kteryje kořenem rovnice 2x + 3 = 0. Tímto korenem je císlo xí = —3. (Nakreslete si jeho graf.) Kořeny polynomu 2. stupně. Pro n = 2 dostavame ž (9.7) polynom P2(x) = a2x2 + aíx + a0, a2 = 0. (9.14) Koreny tohoto polynomu jsou řesením kvadraticke rovnice a2x2 + aíx + a0 = 0, a2 = 0. (9.15) 169 1 Kořeny xi,X2 (ve stručném zápisu xl>2) polynomu (9.14), tedy řešení kvadratické rovnice (9.15), lze určit podle vztahu —di ± v a2 — 4a2a0 xl,2 = Q ■ 2d2 (9.16) (Vztah (9.16) platí i pro polynomy, které nejsou reálné.) Číslo D = a? — 4a2a0 (9.17) se nazévá diskriminant kvadraticke rovnice (9.15). Diskuze - reálný polynom 2. stupne. Necht: P2(x) = a2x2 + alx + a0, (9.18) kde a2,al,a0 E R, a2 = 0, je reálný polynom 2. stupne. Mohou nastat tyto případy. a) D = 0. V tomto případe dostávame z (9.16) Xi,2 = —tt~ . (9.19) 2a2 b) D > 0. V tomto případe je \[D realne Číslo a z (9.16) dostavíme X = —ot-VĎ X2 = —. (9.20) 2a2 2a2 c) D < 0. V tomto případe dostavame z (9.16) — di — Íy/\D\ x, = --'^, X2 = —^I^ÍM. (9.21) 2a2 2a2 Příklad 9.5. Určete kořeny polynomU a) f (x) = 2x2 — 3x, b) ^(x) = x2 — 5x + 6, c) h(x) = x2 + x + 1. ŘeSení. a) Kořeny polynomu f (x) jsou kořeny rovnice 2x2 — 3x = 0. (9.22) PonevadZ rovnice nemí absolutní clen, není nutno k jejímu řesení pouZít vztah (9.16). Rovnici (9.22) přepíseme na tvar x(2x — 3) = 0. (9.23) 170 Poněvadž součin dvou výrazů je roven 0, když alespoň jeden z nich je roven 0, z (9.23) vyplývá x = 0 nebo 2x - 3 = 0. Odtud 3 xi = 0, X2 = ^ ■ b) Koreny polynomu g(x) dostaneme řeSením kvadraticke rovnice x2 — 5x + 6 = 0. Diskriminant D teto rovnice počítáme podle (9.17). Dostavame D = 52 — 4 • 1 • 6, tedy D = 1. Podle (9.20) dostavame _ 5 — VI _5 + v/T xi = 2 ' x2 = 2 ' tedy x1 = 2, x2 = 3. c) Koreny polynomu h(x) dostaneme řesením kvadraticke rovnice x2 + x + 1 = 0. Diskriminant teto rovnice pocňáme podle (9.17). Dostavíme D = 1 — 4 • 1 • 1, takže D = -3. Podle (9.21) dostavame —1 — íV3 — 1 + xi = 2 ' x2 = 2 ^ Grafem reálného polynomu 2. stupně (9.14) y = a2x2 + a1x + a0, a2 = 0, je parabola, která je pro a2 > 0 otevěena ve smeru kladné osy y a pro a2 < 0 je otevřena ve smeru zaporne osy y. Oznaěéme D = a\ — 4a2a0. Je-li D > 0, parabola proténa osu x ve dvou ruznych bodech x1,x2 danych vztahem (9.20). Je-li D = 0, parabola se dotéykéa osy x v boděe xi = x2 danéem vztahem (9.19). Je-li D < 0, parabola neproténa osu x. Viz obr. 9.2—9.7. 171 / v 1 v J x 1 X1,2 x x Obrázek 9.2: Obrázek 9.3: Obrázek 9.4: a2 > 0, D > 0 a2 > 0, D = 0 a2 > 0, D < 0 x\/ X1,2 1 x x 1 \ / \ f \ Obrázek 9.5: Obrázek 9.6: Obrázek 9.7: a2 < 0, D > 0 a2 < 0, D = 0 a2 < 0, D < 0 Shrňme si nyní dosázene poznátky o hledání kořenů polynomů. Kořeny polynomů 1. á 2. stůpne se hledájí vySe ůvedenym způsobem. Kořeny polynomů 3. á 4. stůpne lze sice vzdy ůrcit z jejich koeficientů provedením konecneho počtů rácionáln ích operác í á odmocnová n í, ávsák výsledky byváj í vyj á dreny cásto v komplikovánem tvárů. Pro obecne polynomy stůpnů vetsích nez 4 je dokázáno, ze nelze nálezt vypoctove postůpy, jimiz by bylo mozno v obecnem prípáde z jejich koeficientů nálezt kořeny konecnym poctem áritmetickych operácí á odmocnování. To ovsem neznámená, ze kořeny nekterych speciálních polynomů nelze ůrcit konecnym poctem zm ínenych operácí. Je tomů nápr. pro polynomy Pn(x) = xn — a0. K ůrcen í kořenů polynomů stůpřů vetsích nez 2 se poůzívájí numerické metody. Uceleny vyklád techto metod přesáhůje rámec tohoto stůdijního textů. V dálsím pojednání se k teto problemátice vrátíme. V přípáde potreby je mozno ůrcit kořeny ná pocítáci, pokůd jsoů ná nem zábůdováne vhodne prográmy. Racionální lomená funkce Racionální lomenou funkcí nazýváme každou funkci tvaru F(x) = , g(x)ž 0, g{x) kde f (x) a g(x) jsou poýnomý. Poněvadž polynom je definován v každém komplexním čísle, je racionální lomená funkce definována ve vsech komplexních Číslech v nichž je g(x) = 0, tj. ve vsech císlech x, ktera nejsou kořený funkce g(x). 172 Příklad 9.6. Funkce 2x + 3 F (x) = —- x3 + x je racionáln í lomen a funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psá t ve tvaru g(x) = x(x+i)(x — i). Je tedy F(x) definovan a ve vSech komplexn ích císlech ruzných od 0, —i, i. Necht: citatel i jmenovatel racion aln í lomen e funkce F (x) maj í spolecn e ho kořenove ho cinitel x—a. Zkra t íme-li t ímto spolecnym kořenovym cinitelem, dostaneme novou racionaln í lomenou funkce, ožnacme ji G(x). Funkce F (x), G (x) maj í stejn e hodnoty pro x = a. Muže se ale stat, že funkce G(x) je v a definovana, žat ímco F (x) nen í v c ísle a defi-nova na. V dals ím budeme předpokl a dat, že citatel a jmenovatel racioní ln í lomen e funkce nemaj í žadny stejny kořen. Necht: n je stupen polynomu citatele a m je stupen polynomu jmenovatele racionaln í lomen e funkce F (x). Jestliže je n < m, funkci F (x) nažyva me ryze lomenou, jestliže n > m, nažyvame funkci F (x) neryze lomenou. Necht: F (x) = M F (x) g(x) je neryže lomen a funkce. Delen ím funkce /(x) funkcí g(x) dostaneme / (x) = P (x) • g(x) + Q(x), kde P (x), Q (x) jsou polynomy. Polynom Q(x) je žbytek po delen í, jeho stupen je mens í neřž stupeřn polynomu g(x). Je tedy F (x) = P (x) + ^. g(x) Funkce je ryže lomena racion a ln í funkce. Slovy: Neryze lomenou racionální funkci lze nápsát jáko soužet polynomu á ryze lomene rácionální funkce. Příklad 9.7. Funkce „. , —x4 — 2x3 + 1 R(x) =----- w x2 + 1 je neryže lomen a . V citateli je polynom stupne 4, ve jmenovateli je polynom stupne 2. 17— Delením dostavame (3x4 —2x3 +1):(x2 + 1)=3x2 — 2x — 33 + ±3x4 ±3x2_ X —2x3 —3x2 +1 T2x3 t2x —3x2 +2x +1 T3x2 T3 2x +4 9.1.1 Kontrolní úlohy - polynom a racionální funkce 1. V kterých bodech je funkce f (x) = X-22 spojita? Zduvodnete. [ve vsech bodech mznych od ±2] 2. Urcete kořeny polynomu a) x2 — 7x +12 [3, 4] b) x2 + x + 1 [—1 ± i^3] c) x3 + 1 [—1, ] 3. Rozlozte na korenove cinitele polynom x4 — x3 + 12x2 — 13x + 45 víte-li, ze ma koren 1 + 2i. [(x — 1 + 2i)(x — 1 — 2i)(x — -1+^^35)(x — -1-^^35)] ^ Dokazte, ze polynom x4 — 5x3 + 6x2 — 9x + 27 mía dvojníasobníy ko ren 3. 5. Reste rovnici x5 — 7 x4 + 9x3 — x2 + 7x — 9 = 0 víte-li, ze ma za kořeny vsechny tretí odmocniny z jedne. [1, -1±^3, 7±2-3] 6. Rozlozte v realnem oboru polynom x4 + 1. [Navod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) — 2x2, x4 + 1 = (x2 + 1)2 — 2x2. Odtud (x2 + xV2 + 1)(x2 — xV2+1)\ 7. Rozlozte na soucet polynomu a ryze lomennou racionalní funkci: 174 xA + 6x2 + x — 2 [i + 2x3+6x2+x-2 J [1 + x4-2x3 J 8. Určete znamení funkcí a) (x3 + 27)3(x — 5)2 b) c) (x2 — l)2 x + 3 (2x + 1)3(x2 — 3)3 x( x — 2) [- [- -3 + -1 + —V3 •—ei 0 2 + 5 + — + --J 9.1.2 Zavedení odmocnin Pripomeňme si pojem inverzní funkce. Veta 9.4. (Inverzní funkce) Nechť funkce f (x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D(f). Označme její odvislý obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzní f-1, jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f-1 je na svem definicním oboru J spojitá a rostoucí (klesající). DUkaz: DUkaz provedeme pro funkce f rostoucí na inervalu I. Pro funkce klesající je dUkaz analogický. Predpokiadejme tedy, Ze f (x) je na intervalu I spojita a rostoucí. DokaZme, ze funkce f-1(x) je rostoucí na intervalu J. Nechť x1}x2 E J, x1 < x2. Kdyby bylo f-1(x1) > f-1(x2), platilo by f (f-1 (x1)) > f (f-1(x2)), (9.24) neboť f je rostoucí na I. Podle (10.19) dostávame z (9.24) x1 > x2, coz je spor s předpokladem, ze x1 < x2. Je tedy funkce f-1(x) rostoucí na intervalu J. Dokazme dale, ze funkce f-1(x) je spojita na J. Nechť a E J je libovolny bod, ktery není jeho pravym koncovym bodem. Necht e > 0 je libovolne císlo. Potom f-1(a) E I a není to pravy koncovy bod intervalu I. Jestlize f-1(a) + e E I, oznacme b libovolny bod z J, pro nejz je b > a. Jestlize f-1(a) + e E I, polozme b = f (f-1(a) + e) E J. Pak pro vsechna x E {a, b) je f-1(x) definovana. Zaroven z monotonie teto funkce plyne f-1(a) < f-1(x) 0. Je tedy ifčŕ = \a\, n sude, a E R. Napě. yj(—2)2 = \ — 2\ = 2. b) n liche. Potom ýfx je definovana pro vžechna x E R a plate je-li x < 0, potom yfx = — yf—x. 176 Pravidla pro počítání s odmocninami. Vzhledem k uvedene poznamce stacíse omezit na odmocniny s nezaporn ymi argumenty. Veta 9.5. (Odmocniny - pravidla) Nechť x,y E R, x > 0, y > 0, m, n E N. Potom platí x Vy x Vx7y fx x pokud y = 0. (9.25) (9.26) (9.27) (9.28) (9.29) Důkaz: Dokazme jen vztah (9.25). Uvedomte si, ze z existence ^fx vyplyví v/xm. Polozme \fx = y, \fxm = u kde y au jsou takova realná císla, ze Ze vztahu (9.31) vyplyva To znamena, ze Odtud yn = x un = xm ynm = xm = un. (ym)n = un. existence (9.30) (9.31) ym = u. Vzhledem k (9.30) dostavame dokazovany vztah (y/x) m = xm. Dokazte dalsí pravidla! Príklady na procvičení odmocnin a) ^125 •V5 = V125 • 5 = V554 = 52 = 25 □ b) c) v/125 /125 ~7f /Í25 Vír = v/25 = 5 81 V—27 = — ^27 = —3 d) v/32v72= v/7322Ť2 = v/72!0^2 = v/v72Tľ = 2v/25 177 e) (v7^) =(" v/Š)2 = ( v/8)2 = 22 = 4 f) (v^)4 = ( V32)4 = 34 = 81 g) v/V727 = = V3 h) 3\f—4 neexistuje v R i) VŠ + V72 = V22 • 2 + V62 • 2 = 2 V2 + 6 V2 = 8 V2. ■ x ( ^ 1 )2 (x + 1)2 x2 + 2x + 1 n j) Vx + v— = —— =- pro x> 0 x x x ( ^ 1 \2 ( vx — 1 \2 / Vx3 Vx2 — 1 \ —-=-= V x3 —2 vx+ 3 x 3 x2 3 x2 1 v/x x—2Vx + y= = x—2Vx+— pro x > 0 Vx2 x nebo I Vx — //x I = x—2y/xvt=+= x—2vx 1 y/x Vx2 Vx2 Vx2 Vx x—2 Vx+— pro x > 0 x 9.3 Mocniny s racionálním exponentem V díívejSím pojedn a n í jsme si ukázali zaveden í celoc íselných mocnin reá In ých c ísel a zaveden í operac í jejich nasoben í a umocnova n í. Býlý uvedený jejich Va m dobre zná m e vlastnosti. Mocniný realných císel nýn í rozsíríme i pro racionaln í mocnitele a pozdeji i pro mocniný s rea lným exponentem, a to tak, ze se zachovaj í za kladn í vlastnosti mocnin s celocíselným mocnitelem. Vlastnosti odmocnin realných císel uveden e ve vete 9.5 nís vedou k rozsíren í celocíselných mocnin rea lných císel na mocniný realných císel s racionaln ím exponentem. 178 Definice 9.2. Necht; p G Z, q G N á necht; x je kládne reálne císlo. Definujme xq vžtáhem xp = ^xp. (9.32) Pro x = 0, p, q G N polož me xq = 0. Pro x > 0 je pr i teto definici spln e n nežbytny pož ádávek plátnosti vžtáhu kde r, s jsou odli s ne žápisy tehož rácionílního c íslá. Necht; tedy r = lpk, pro k G N, je odli s ne vyjád renítehož rácionálního c íslá p. Potom podle (9.32) je pk -T x qk = y xpk Avsák qq^xpk = q\/(xp)k á podle (9.25) je ^(xp)k = ^fx~p. Je tedy p pk xq = x~qk pro k G N. (9.33) Ukážme si nyní následující vlástnosti tákto žávedenych mocnin reálnych císel s rácionálním exponentem. Předevsím si vsimneme, že pro q = 1 je xq = xp, tedy mocniná s celocíselnym exponentem. Kážde právidlo pro pocítání s mocninámi s rácionálním exponentem plátí tedy i pro celoaselne mocniny. 1) Necht; x> 0, r = p, s = f, kde p, u G Z, q, v G N. Potom plátí xr . xs = xr+s — = xr-s xs Skutecne, postupne dostáváme p u pv qu ,- ,- r s — — — qv I ™, qv/ rvn x ' x —— x q ' x v x qv • x qv — \v x'JU * a/ Podle (9.26) je tedy _ • L iAj y • x .x . Ponevádž pv,uq G Z, lže psát xr • xs = qq\lxpv+qu Užitím (9.32) je tedy r s qv 179 tj- Dospěli jsme ke vztahu x ■ x — xav av . Vztah xS — xr-s se dokazuje obdobne-2) Necht: x> 0, r — p, s — ^, kde p,u E Z, q, v E N- Potom platí (xr )s — xrs. SkuteCne- postupne dostavame (xr)s — (xa)u — {/ (xa) — \l[ 1- UkaZme, Ze xr < xs. Necht: r — p, s — u, kde p, u E Z, q, v E N- Potom Podle (9-33) lze zapsat xr, xs ve tvaru xr — a^l xpv xs — aľl xqu • L y • x ^ • x y • c . Ponevadz r < s, tj- p < u, je pv < qu. ponevadz x > 1, je xpv < xqu- Ponevadz qv-ta odmocnina je funkce rostoucí, je xr — i?/< av/xqu — xs Podobne platí: Necht: r, s E Q, r < s, 0 < x < 1, potom xr > xs Obdrzene výsledky shrneme do na sleduj íc í vetý- 180 Veta 9.6. Mocninami s řacionalním exponentem Necht: r, s E Q, x > 0. Potom platí r — = xr-s xs (xr )s = xrs, Je-li x > 1 a r < s je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs. 9.4 Mocniny s reálným exponentem Zavedeme si nyn í mocniny kladn ych realnych císel s rea lnym exponentem jako rozsířen í mocnin kladnych realnych císel s racioní ln ím exponentem. Jeden z moznych zpusobu tohoto rozsíren í je uveden v nasleduj ící definici. DefiniceA 9.7. (Zaveden í xY, 7 E R) Necht: x > 0. Oznažme D = {xa : a E Q, a < 7}. a) Necht x > 1. Polozme xY = sup D. b) Necht: 0 < x < 1. Položme xY = inf D. c) Necht: x =1. Položme xY = 1. d) Necht: x = 0, 7> 0. Položme 0y = 0. e) 00 není definovano. Ukazme, ze takto zaveden e c íslo xY m a tuto vlastnost. Necht x > 0, 7 E R. Oznacme H = {xfi : p E Q,P>7}. Potom platí a) Necht x > 1. Potom platí xY = inf H. b) Necht: 0 < x < 1. Potom platí xY = sup H. 181 Dokazme ä). Zvolme libovolné e > 0 ak nemu urceme n E N tak, ze xY (x — 1) n > —---. e Zvolme a, P tak, ze a < 7 < P, 0 < P — a < n. Potom platí 1 < x3-a 1 + nó. Odtud x — 1 ó < -. n Ukažme nyní, ze x13 — xa < e. x3 — xa = xa(x3-a — 1) 0 lže tedy naležt P tak, že x3 — xY < e. Je tedy inf H = xY. Poznámka. Dulaz b) je analogicky. Pro mocniny realnych čísel s realnym exponentem se definují aritmeticke operace a operace umocnovaní pomocí mocnin s racionalním exponentem. Tuto konstrukci zde nebudeme uvadet. Uvedeme si pouze vlastnosti mocnin realnych císel s realnym exponentem. Na mnozine mocnin realnych císel lze zavest aritmeticke operace a jejich umocnovaní realnymi císly rozsírením odpovídajících operací zavedených pro racionalní císla. Pro tyto mocniny platí tato pravidla. 182 Veta 9.8. Mocniny s reálným exponentem Necht: r, s E R, x > 0. Potom platí xr • xs — xr+s •L 'L 'L • r — — xr-s xs (xr)s — xrs Je-li x > 1 a r < s, je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs. 9.5 Exponenciální funkce a logaritmus Necht: a > 0, a — 1- Definic í 9-4-7 jsme zavedli ax pro kazd e x E R- Vztahem y — ax, x E R je tedy pro a> 0, a — 1 definovana funkce- Nazýva me ji exponenciální funkcí o základu a- Oborem jejich funkcn ích hodnot je interval (0, oo)- Pozadavek a > 0 je nutný, nebot ax je pro vsechna x E R definovan a jen pro a > 0- Pro a — 1 je sice ax definova no pro vsechna x, ale v tomto prípade je 1x — 1 pro vsechna x E R, tuto funkci nerad íme mezi exponencialn í funkce- Exponencialní funkci o zakladu a — 10 nazývame dekadickou exponenciální funkcí. Z definice mocniny ax lehce výplýví její spojitost v každém bodě x. Pro a > 1 je funkce y — ax rostoucí, pro 0 < a < 1 je funkce y — ax klesající. Existuje proto k ní funkce inverzní. Označíme ji y — loga x. Je tedý loga x pro x E (0, oo) to číslo y E (—o, oo), pro něž ay — x. Príklad 9.8. log10 100 — 2, nebol: 102 — 100, log10 0,01 — —2, neboť 10-2 — 0,01- Ukazme si nektere vlastnosti funkce y — logax- Necht a> 0, a — 1- D a le necht: xi,x2 > 0, s E R- Potom plat í l°ga(x1x2) — loga x1 + loga ^ l°ga — — loga x1 — loga ^ x2 loga x1 — s loga x1- Dokazme napr- (9-35)- Polozme l°ga x1 — ^ l°ga x2 — y2, loga(x1x2) — y. (9.38) 183 (9.35) (9.36) (9.37) Potom xi = ayi, x2 = ay2, x\x2 = ay. (9.39) Odtud dostavame xix2 = ayi • ay2 = ayi+y2 = ay. Tedy y = y1 + y2. Vzhledem k (9.38) dostavame loga(xix2) = loga xi + \0ga x2. Vztahy (9.36), (9.37) se dokazují analogicky. UkaZme jeste jednu vlastnost. I Necht a> 0, a = 1, x > 0. Potom I x = aloga x. SkuteCne. Položme loga x = y. (9.40) Je tedy x = ay. Dosad íme-li sem za y (9.40), dosta vame x = aloga x. Shrnme dosazen e výsledky. Funkce y = ax, kde a je kladna realna konstanta ruzna od jedne, je spojita. Pro a > 1 je rostouce na intervalu (—0, 0) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—0,0). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, 0). Nazyva se exponencialní funkcí se zekladem a. Specialnem případem je funkce y = ax pro a = 10, tedy funkce y = 10x. Nazyva se dekadicka exponenci a ln í funkcí. K funkci ax existuje funkce inverzní, znažíme ji loga x (žteme logaritmus x pži zaklade a). Je definovana na intervalu (0, 0). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, 0). Je v nem spojita. Na obr. 10.6 jsou grafy funkc í y = ax, y = loga x pro a > 1 v kartezske m souradn e m syste mu. Na obr. 10.7 jsou grafy funkc í y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1. 184 Obra zek 9.10: Graf funkce ax a loga x pro a> 1. y i / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / 1 \\/ \"""""-"— .___y = ax / / x / / / N,,9 = l°Sa x / / / / Obrazek 9.11: Graf funkce ax a loga x pro 0 < a < 1 185 Necht, a, b jsou kladná reálná čísla různá od jedné. Jsou-li x1,x2 E (0, oo),s E R potom platí log„(xi ^ x2) = log„ xi +log„ x2, (9-41) log« — = loga x1 — loga x2, (9.42) x2 loga xS = s ^ loga x. logb x = loga x ^ logb a. (9-43) Funkci y = log10 x nazýva me dekadickým logaritmem a vetsinou ji zkra cene zapisujeme jako y = log x. Eulerovo číslo. Velký význam má exponenciá In í funkce se z ákladem iracion áln ího č ísla, zvan e ho Eulerovo č íslo. Znač í se e. Toto č íslo lze definovat jako sup A, kde A = j^l + ^ ,n E N j Označ íme-li B = {(l + )-, n E N}, plat í inf B = e. D á le plat í (l + n)" 1. Jejím definičním oborem je (—oo, oo). Oborem jejích funkcních hodnot je interval (0, oo). Nazývá se přirozenou exponenci a ln í funkc í. K funkci y = ex existuje funkce inverzní. Místo y = loge x se většinou píše y = ln x, x E (0, oo). Nazýva se přirozenou logaritmickou funkcí. Obecná mocnina. Funkci y = xs, s E R, x E (0, oo) definujeme vztahem xs = (eln x)s = es ln x. Odtud je videt, ze je to funkce spojit a na intervalu (0, oo). 186 e 9.6 Trigonometrické funkce Dríve nez zácneme s vlástn ím vykládem, zopákůjme si nektere Vá m dobre zn á m e pojmy. 9.7 Uhel v obloukove míre. Uhly meříme ják ve stůpn ích ták i v m íře obloůkove. Necht: AVB je libovolny ůhel. Oblouková míra úhlů. Sestrojme v rovine AVB jedotkovoů krůznici (to jest krůznici o polomerů 1) se stredem v bode V, viz obr. 9.12. Oznácme Ai (Bi) jej í průsec ík s prímkoů V A (VB). Potom velikost í ůhlů AVB v obloůkove m íře rozům íme d e lků x krůhove ho obloůků A1B1 vyznácen e ho ná obrázků (9.12). Jedotkovy ůhel obloůkove m íry se názyvá rádián. Oznácůje se rad. Je tedy 1 rád velikost ůhlů, ktery ná jednotkove krůznici se stredem ve vrcholů ůhlů vyt ín á obloůk jednotkove d e lky. Při oznácová n í velikosti ůhlů se vetsinoů vynech á vá oznácen í rád. Tedy nápř. právy ůhel v obloůkove m íře je roven |rad, Obrázek 9.12: Uhel v obloukové míře. Stupňová velikost úhlů. Jednotkový stupen úhlové m íry, zvaný (úhlový) stupeň je roven prave ho úhlu. Jako menS í jednotky stupňove velikosti úhlu se pouZ ívaj í minuty a vteřiny. Stupne, minuty a vteřiny vyznačujeme jako „°, ', "". Plat í 1° = 60', 1' = 60". Je tedy 1° = 60' = 3600". Velikost uhlu AVB ve stupnove m íře nazyvame nezaporn e číslo, ktere vyjadřuje kolikr a t je uhel AVB vetsí (mensí) nez jeden stupen (m íneno uhlovy stupeň). Vztáh mezi velikosti úhlu v obloukové míře á velikosti úhlu v míře stupňové. Uhlu 360° ve stupnove m íňe odpov íd a uhel 2n v obloukove m íňe. Tedy mezi velikosti uhlu a ve stupnove m íňe a velikosti x te hoz uhlu v obloukove m íňe plat í vztah a : x = 180 : n. (Viz obr. 9.13.) Odtud dosta vame napň. x = ^a. Napr. pro uhel a = 90° dostavame x — E x 2 . 187 Obrázek 9.13: Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míře. V n asleduj ící tabulce 9.1 je vyznačen vztah mezi velikosti úhlů v m íre stupňové a v m íře obloukové pro nektere vyznačn e úhly. úhel ve stupních 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° úhel v radiánech 0 6 4 3 2 3 -n 2 2n Tabúlka 9.1: Vztah mezi velikostmi úhlú ve stupních a v radianech. Orientovaný úhel. Orientován ým úhlem v rovině rozum íme uspořá danou dvojici poloprímek se spoleCným poCa tkem. V teto dvojici prvn ípoloprímku naz ývame poCateCn ím ramenem a druhou koncovým ramenem orientovan e ho úhlu. SpoleCný poCatek techto polopřímek nazývame vrcholem uhlu. Orientovaný uhel s poCateCn ím ramenem V A a koncovým ramenem VB budeme oznaCovat AVB. UvaZujme orientovan ý uhel AVB. Jeho velikost í v obloukove m íre rozum íme kazd e C íslo tvaru (viz.(9.13)) a + 2kn (9.44) kde k E Z a a urCíme takto: a) Jestlize V A = VB, je a = 0. b) Jestlize V A = VB je a velikost neorientovan e ho uhlu, který vznikne otoCen ím poCateCn ího ramene V A do polohý koncove ho ramene VB v kladn e m smýslu, to jest proti pohýbu hodinových ruCiCek. Je tedý 0 < a < 2n. Takto definovan e Císlo a se nazýva za kladn í velikostí orientovan e ho uhlu. Soúčet a rozdíl orientovaných úhlú. Necht: AVB, BVC jsou orientovan e uhlý. Koncove rameno prvn ího z nich je poCateCn ím ramenem druh e ho z nich. Jejich souCtem se nazýva orientovaný uhel AVC. Jestlize velikost prvn ího z nich je a + 2k\n a velikost druh e ho je j3 + 2k2n, kde ki, k2 E Z, potom jejich suCtem je uhel a + j3 + 2kn, kde k = k1+k2. Jestlize uhel AVC je souCtem uhlu AvB a BVC, pak uhel BVC naz ývá me rozd ílem uhlu AVC a AVB. 188 Periodické funkce Dříve než si zavedeme goniometrické funkce, zopakujme si pojem periodické funkce. Funkci f (x) nazývame periodickou, jestliže mí tuto vlastnost: Existuje takové číslo u, žvaní perioda funkce f (x), že platí: Je-li funkce f (x) definovaná v čísle x, je definovaná ve všech číslech x + ku, k E Z a platí f (x + ku) = f (x),k E Z. (9.45) Nejmensíčíslo u pro než platí (9.45) se nažýva z akladn í periodou. Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nýn í trigonometrickými funkcemi, zvanými nekdý tež funkce goniometricko. Omez íme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhl e m souřadn e m sýste mu sestrojme kruznici o jednotkove m polomeru se středem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vých a zej íc í z pocatku, který sv íra s kladnou osou uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jednom bode. Jeho souradnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Týto souradnice zavisí na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovan e pro kařzd e rea ln e x. Pomoc í funkcí sin x a cos x definujeme dalsí trigonometricke funkce tg x, cotg x vztahý sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro tý uhlý x, pro nez je jmenovatel mzný od 0. Zaveden í funkcí tg x, cotg x je patrno t eřz z obr.10.8 cotg (-x) \! Obra zek 9.14: Zaveden ífunkc í sin x, cos x, tg x a cotg x. 189 Některé význačné vlastnosti funkcí sin x, cos x. Trigonometrické funkce jsou dostatečně znamy ze střední školy a proto zde jen zopakujeme jejich základní vlastnosti. Z definice a z konstrukce je videt, ze sinO = 0, sin | = 1, sin n = 0, sin ^ = — 1, sin2n = 0, cosO = 1, cos n = 0, cos n = —1, cos 31 = 0, cos(—2n) = 1. Z definice je videt, ze obe funkce jsou periodicke s periodou 2n a ze sin(—x) = — sinx, cos(—x) = cos x. Pro x E (n ,n) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (0,1) a cos x vsech hodnot z intervalu (—1, 0). Pro x E (n, ^) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (—1,0), cos x vsech hodnot z intervalu (—1,0); konecne pro x E (^, 2n) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (—1, 0) a cos x vsech hodnot z intervalu (0,1). Dále z obr. 10.8, je patrno, ze funkce sin x, cos x jsou periodické s periodou 2n. Funkce sin x je rostoucí v intervalech < —n/2 + k2n,n/2 + k2n >,k E N a klesající v intervalech n/2 + 2kn, 3n/2 + k2n, k E N. Funkce sin x je kladná pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve Čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro úhly v prvním a ve Čtvrtém kvadrantu a je zaporná pro uhly ve druhem a ve tretím kvadrantu. Na obr.9.15 je vykreslen graf funkce sin x a na obr.9.16 je vykreslen graf funkce cos x. Obrazek 9.15: Graf funkce sinx. 190 Obrázek 9.16: Graf funkce cos x. Ze střední školy jsou známy součtové vzorce: sin(xi ± x2) = sin x\ • cos x2 ± sinx2 • cos x1, (9.46) _cos(x1 ± x2) = cos x1 • cos x2 =p sinx1 • sin x2._(9.47) Z techto vzorcU lze lehce odvodit řádu dalších velice uZitecních vztáhU. Kládeme-li v techto vzorcích x1 = x2 = x, dostaneme z (9.46) j sin 2x = 2 • sin x • cos x, cos 2x = cos2 x — sin2 x. Dosádíme-li x1 = x2 = x do vzorce pro kosinus rozdílu do (9.47), dostáváme sin2 x + cos2 x =1. Tento vzorec se vzorcem pro cos 2x dává 2 1 + cos 2x 2 1 — cos 2x cos x =-, sin x =-. 2 '_2 Ze vzorcU pro sin(xi ± x2) a cos(xi ± x2) snadno dostaneme: _ . xi + x2 xi — x2 sin x1 + sin x2 = 2 • sin-• cos-, 1 2 2 2 ' x1 + x2 x1 — x2 sin x1 — sin x2 = 2 • cos---• sin---, cos x1 + cos x2 = 2 • cos-• cos-, x1 + x2 x1 — x2 cos x1 — cos x2 = —2 • sin —--• sin--—. 191 Spojitost funkcí sin x a cos x. Věta 9.9. Funkce sin x je v čísle 0 spojitá. DUkaz: (Sleduj obr. 10.8.) Bud' x E (0, |). Z definice a konstrukce je patrno, ze zde platí 0 < sin x < x. Zvolme 0 < e < 2 libovoln e a poloZ me 5 = e. V U+ (0) je funkce sin x definovana a platí \ sin x — 0| = | sin x\ = sin x < x < e, takZe funkce sin x je v 0 zprava spojita. Pon evadZ funkce sin x je lichá, lehce nahledneme, Ze funkce sin x je v císle 0 take zleva spojita a proto je v císle 0 spojita. □ Věta 9.10. Funkce cos x je v čísle 0 spojitá. D U kaz: Bud' e > 0. Zvolme c íslo 5 = \f2ě > 0. Pak v okolí U+(0) je funkce cos x definovana a je v tomto okolí i ii i 2 x (x)2 x2 52 cos x — 1 = 1 — cos x = 2-sin — < 2- — = — < — = e. 1 11 1 2 \2) 2 2 Je tedy funkce cos x v c ísle 0 zprava spojita. Pon e vadz cos(x) = cos(—x), je funkce cos x i zleva spojita a proto je i spojita v bod e 0. □ Věta 9.11. Funkce sin x je spojití ve vsech bodech. D U kaz: Necht a je libovolne c íslo. Doka z me, z e je v n e m funkce sin x spojití. Z definice spojitosti funkce vyplyví, z e funkce sin x je spojití v bod e a kdyz a jenom kdyz funkce sin(a + h) je spojití v bod e h = 0. Podle (9.46) dostavame sin(a + h) = sin a cos h + cos a sin h. (9.48) Pon evad z funkce sin h, cos h jsou funkce spojite v bod e h = 0, dostívíme odtud, z e prava strana v (9.48) je spojití v bod e h = 0, takz e funkce sin x je spojití v bod e a. □ Věta 9.12. Funkce cos x je spojitá ve vsech bodech. D U kaz: Skute c n e. Spojitost funkci cos x vyplyví ze vztahu cos x = sin(2 — x) a z vety o spojitosti sloz ene funkce. □ Funkcě tg x, cotg x. Pomocí funkcí sin x a cos x jsme definovali trigonometricke funkce tg x, cotg x vztahy sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro n ez je jmenovatel rôzny od 0. Jejich zavedení je patrno tez z obr.10.8 192 Některé význačné vlastnosti funkcí tg x, cotg x. Funkce tg x je definována pro všechna x různá od lichých násobků n, funkce cotg x je definována pro x rUzná od násobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladné pro uhlý pro x v prvním a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovaný a záporné pro uhlý ve druhem a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovaný. Týto funkce jsou zírejme periodické s periodou n. Podobným způsobem jako u funkc í sin x a cos x lze uká zat, že funkce tg x stá le roste v intervalů (— |, n) a nabude vSech reálných hodnot. Funkce tg x nen í definován á pro lich e ná sobký c ísla n. Podobne funkce cotg x stále klesá v intervalu (0,n) a nabývá zde vSech reá lných hodnot. Graf funkce tg x je na obr. 9.17. y y = tg x Obrázek 9.17: Graf funkce tgx. Graf funkce cotg x je na obr.(9.18). 193 y i y = cotg x V-j. 1 n x Obrázek 9.18: Graf funkce cotg x. Uká zali jsme, že funkce sin x, cos x jsou spojité na intervalu (—to, to). Funkce tg x, cotg x jsou tedy jako pod íl spojitých funkcí funkce spojit e v každ e m bode sve ho definiCn ího oboru. MuZeme tedy vyslovit tento zaver: Věta 9.13. Trigonometrické funkce jsou spojité ve všech číslech, ve kterých jsou definovány. Důkaz: Dukaz vychaz í z vety o spojitosti pod ílu a z vet predch azej ících. Funkce cyklometrické Zabyvejme se predevs ím existenc í funkc í inverzn ích k funkc ím sinx, cos x, tgx, cotgx. Funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. nejsou proste , tedy k nim neexistuj í funkce inverzn í. Budeme proto uvazovat tyto funkce pouze na intervalech, na nichz jsou proste . Fůnkce arcsinx Uvazujme funkci y = sinx, zuzenou na interval < —n/2, n/2 > . Tato funkce je na tomto intervalu spojit a a rostoucí. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n í inverzn í, oznacme ji arcsin. Jej ím neodvislym oborem je interval < —1, 1 > a odvislym oborem je interval < —n/2,n/2.. Na sve m definicn ím obor je spojit a a rostouc í. V kartezske m souradn e m syste m je jej í graf symetricky vzhledem k ose y = x s grafem funkce sinx, zuzen e na interval < —n/2,n/2. >. Jej í graf je na obr.10.9 | arcsin x je ten úhel z intervalu {—n, f}, jehož sinus má hodnotu x. 194 Obrázek 9.19: Graf funkce arcsinx. Funkce arecosx Uvažujme funkci y = cos x, zúženou na interval < 0, n > . Tato funkce je na tomto intervalu spojitá a klesaj íc í. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n íinverzn í, oznaCmeji arccos. Jej ím neodvisl ým oborem je interval < —1, 1 > a odvisl ým oborem je interval < 0,n >. Na sve m definicn ím oboru je spojita a klesaj íc í. V kartezske m souradn e m syste m je jej í graf symetrický vzhledem k ose y s grafem funkce cosx, zuzen e na interval < 0,n >. Jej í graf je na obr.10.10 | arccos x je ten úhel z intervalu (0, n), jehož kosinus ma hodnotu x. x y = arccosx Obrázek 9.20: Graf funkce arccos x. Funkce arctg x Funkce tg x je v intervalu (—n, |) spojita a rostouc í a nabýva zde vsech hodnot z intervalu (—oo, to). Tedy k n í existuje funkce inverzn í definovaná na intervalu (—00, to). Tuto 195 funkci oznaCujeme arctg x. Podle vetý 10.6 je to funkce spojit a v intervalu (—co, to) a je v nem rostoucí. Nabýva vsech hodnot z intervalu (—1, 1). Jej í graf v kartezske m souradn e m sýste mu se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x E (—1, 1) okolo prímký y = x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctg x je tento: arctg x je ten uhel z Intervalu (—1, 1), jehož tangens ma hodnotu x. Graf funkce arctg x je na obr,10.11 Obrázek 9.21: Graf funkce arctg x. Funkce cotg x jev intervalu (0,n) spojit a a klesaj íc í a nabýva v nem vsech hodnot z intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í definovana v intervalu (—to, to). Tuto funkci oznaCujeme arccotgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojit a v intervalu (—to, to) a je v nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf v kartezske m souradn e m sýste mu se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x E (0,n) okolo prímký y = x (viz obr. 10.12). Geometrický význam funkce arccotg x je tento: | arccotg x je ten úhel z intervalu (0,n), jehož kotangens ma hodnotu x. Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazývaj í funkce cyklometrické. Dosavadn í výsledký o spojitosti lze shrnout takto: Veta 9.14. Funkce cyklometrické jsou spojité na svem definičním oboru. 196 v 2 ^_____V = arccotg x 0 "x Obrázek 9.22: Graf funkce arccotg x. Veta 9.15. Funkce cyklometrické jsou spojité na svém definičním oboru. 197 Kapitola 10 Derivace reálne funkce reálne proměnné 10.1 Zavedení pojmu derivace funkce Začneme s touto úlohou. Necht; y = f (x) je reúlnú funkce realne promenne definovaná na intervalu I. Necht a je vnitřním bodem intervalu I. Upřesneme si intuitivne chapaný pojem tečny ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)] (viz obr. 10.1) y1 f ( A T [aj (a) x), ľ M /P xj (x)] i t x Obrázek 10.1: Tecna ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)]. Nazor nas vede k teto definici. Zvolme bod x G I, x = a, a uvaZujme přímku p jdoucí body T [a, f (a)], M [x, f (x)] (p je secnou grafu funkce f (x)). Její smernice, oznacme ji k (x) (to jest tangens úhlu, který svíra přímka p s kladným smerem osy x), je rovna ./ \ f (x) - f (a) k(x) =- . xa 198 Lze tedy při pevně zvoleném a považovat k(x) za funkci proměnné x. Tato funkce není v bode a definovaná. Existuje-li k = hm k(x) = hm -J-±^, x—a x—a x — a pak přímku jdoucí bodem T [a, f (a)] se směrnicí k nazveme tečnou grafu funkce y = f (x) v bode T. Přímku na ni kolmou nazveme normálou křivky y = f (x) v bode T. (Podobne mluvíme o pravé (levé) polotečne grafu funkce y = f (x).) V řadě aplikací se setkáváme s touto úlohou. Necht f (x) je daná funkce. Má se urcit limita (resp. limita zprava (zleva)) v bode a funkce F (x) definovane vztahem f (x) = M^m. x — a Pro tyto limity, pokud existuj í, zava d íme pojem derivace funkce f (x) v bode a n a sleduj íc í definic í. Definice 10.1. (Definice derivace funkce) Necht f (x) je funkce, a je re a ln e c íslo. Jestlize existuje c íslo, oznacme jej f l+(a) E R (f'- (a) E R) tak, ze f+(a) = lim f^x^, (f-(a) = Hm f^^f^,) (10.1) x—a+ x — a \ x—a- x — a J pak tuto limitu nazýváme derivací zprava funkce f (x) v císle a (derivací zleva funkce f (x) v císle a). Jestlize funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava f l+(a) a derivaci zleva f-(a) a jestlize f'+(a) = f'-(a), nazývame tuto spolecnou hodnotu derivací funkce f (x) v bode a a znacíme ji f (a). Je tedy f (a) = lim M^M. x—a x a Dohoda o oznacování. Jestlize uvazujeme funkci f (x) na intervalu I, jehoz levým (pravým) koncovým bodem je bod a, budeme nekdy pouz ívat oznacen í f (a) m ísto f+(a) (f-(a)). Poznámka 1. Vsimneme si, ze funkce f (x) = M^m x — a vystupuj íc í v definici derivace funkce f (x) v (10.1) nen í definovana v bode a, nebol; jmenovatel je v bode a roven 0. 199 Poznámka 2. Položíme-li v (10.1) x = a + h, můžeme derivaci funkce /(x) v čísle a definovat tež jako lim /(a + h) - /(a). (10.2) h—0 h Na h se můžeme dívat jako na přírůstek neodvosle promenne x, to jest h je číslo, o než se žmení x-ova souřadnice, přejdeme-li ž bodu a do bodu a + h. Přírůstek neodvisle promenne se často ožnačuje tež jako Ax. Čitatel v (10.2) je pak přírůstkem odvisle promenne y a ožnačujeme jej obvykle Ay, resp. A/. Tedy Ay je hodnota, o níž se žmení funkční hodnota při přechodu ž bodu a do bodu a + h. Tedy (10.2) lže žapsat jako ľ Ay lim ——. △x—0 A x Poznámka 3. Pojem derivace funkce ma značné uplatnění v ekonomických aplikacích. Vyjdeme ž príkladu, ktery nam pomůže počhopit problematiku využití derivačí v nekteryčh ekonomičkyčh aplikačíčh. Nečht s = s (t) vyjadřuje ujetou vždelenost auta ža dobu t. Nečht t1}t2, kde t1 < t2, jsou dva časove okamžiky. Potom ža dobu t2 — t1 auto ujede vždalenost s(t2) — s(ti). Číslo s(t2) — s(ti t2 — ti vyjadřuje tedy průmernou ryčhlost, kterou auto dosahne v dobe od časoveho okamžiku t1 do časoveho okamžiku t2, tj. ža dobu t2 —11. Potom derivači s'(t0) funkče s(t) v bode to, tj. lim s(t) — /(to) t—to t — t0 můžeme nažvat okamžitou rýchlostí auta v časovem okamžiku t0. Jestliže promenne x a y značí nejaké ekonomické veličiny, vyjadřuje funkce y = / (x) jejich vzájemnou závislost. Potom f(xXZfa vyjadřuje prumerný a /'(a) okamžitý pomer zmeny těchto ekonomických veličin. V zavislosti na ekonomické aplikaci dostava derivace /'(a) vhodný ekonomický nazev. Jestlize y = / (x) ma v bode a derivaci / '(a), potom přímka jdoucí bodem T [a, / (a)] se směrnicí /' (a) je tečnou ke grafu y = / (x) v jejím bode T. Přímka k ní kolma, jdoucé bodem T, je jejé norméalou v bodee T. Derivace funkce /(x) = c, c e (—oo, oo) Nečht /(x) = c, c e (—o, o). Potom podle definiče 10.1 dostavame pro a e (—o, o) /'(a) = lim M^M = lim c—c = 0. x—a x — a x—a x — a 200 Jé tédy 2Ql c' = o, kde c G e, x G (—to, to). Derivace funkce f (x) = xn Urceme derivaci funkce f (x) = xn, n G N, v bode a G (—to, to). Podle definice je f >(a) = lun f (x) — f (a) = hm xn—an. x—a x — a x—a x — a Ponevadz xn — an =(x — a)(xn~l + axn-2 + ■■■ + an-2x + an~l) a limita funkce nezáleží na hodnote funkce v bode, v nemž limitu počítáme, dostáváme odtud f'(a) = lim(xn-1 + axn-2 + ■■■ + an-2x + an-1). x—a Vzhledem ke spojitosti polynomu v bode a je f'(a) rovna funkcní hodnote polynomu v zavorce v bode a, takže f '(a) = nan-1. Funkce f (x) = xn, n G N, má v každém bode x G (—to, to) derivaci (xn)' = nxn-1. (1O.3) Příklad 10.1. Vypocítejte derivaci funkce f (x) = x3 v jejím bode x = 4. Řešení. Podle (10.3) dostavame v obecnem bode x G (—to, to) (x3)' = 3x2. Tedy f'(4) = 3 ■ 42, tj. f'(4) = 48. Poznámka. Místo f'(4) muzeme psat (x3)'x=4. Zaveďme si nyní pojem derivace funkce f (x) vyssích radu. Derivace funkce vyšších řádů. Necht, funkce f (x) ma derivaci v každém bode intervalu I\ C I = Df. Přiřadíme-li ke každemu x G I\ hodnotu f'(x), je na I\ definována funkce f'(x). Ma-li funkce f' (x) derivaci v každem bode x G I2 C Ix, potom tuto derivaci nažívame druhou derivací funkce f (x) na I2 a žnačíme ji f' '(x) nebo f(2) (x). Analogicky definujeme f (n)(x) pro n = 3, 4,.... Podobne definujeme derivace vyšších rádu daná funkce žleva a žprava. 202 Úmluva. Řekneme-li, že funkce /(x) má derivaci na intervalu I, bude to znamenat, že má derivaci v každem vnitřním bode intervalu I a jestliže levý (pravý) koncový bod patří do I, potom ma v nem derivaci zprava (zleva). Podobne pro výSSí derivace. Poznámka. Pro n-tou derivaci funkce /(x), n > 1, se používa zapis /(n)(x), resp. /"(x) pro n = 2, /'"(x) pro n = 3, .... Čteme pak / s carkou, / se dvema carkami, / se třemi carkami, atd. Pro n > 3 nebývá zvýkem používat carek pro oznacení derivace. Příklad 10.2. Funkce y = 3x4 ma v intervalu (—to, to) derivace y' = 12x3, y'' = 36x2, y''' = 72x, y(4) = 72, y(k) = 0 pro k > 5. Zabývejme se nýní otízkou, zda vsechný funkce mají v každem bode derivaci. Odpoved' je zaporna, jak ukazuje nasledující príklad. Příklad 10.3. Zjisteme, zda funkce /(x) = \x\ ma v bode 0 derivaci. Řešení. Zřejme /(x) = x pro x > 0 a /(x) = —x pro x < 0. Podle definice derivace dost avame /' +(0) = lim \x\ ~~ \0\ = lim x = 1, x^0+ x x^0+ x x 0 x /-(0) = lim ^-Li = lim -= —1. Ponevadž /'+(0) = /—(0), nemí funkce /(x) = \x\ v bode 0 derivaci. O vztahu mezi spojitostí funkce /(x) v danem bode a a existencí derivace funkce /(x) v bode a platí tato veta. Veta 10.1. (Vztah spojitost - existence derivace) Necht, funkce /(x) ma v bodě a derivaci /'(a). Potom /(x) je v bodě a spojitá. Je-li funkce /(x) v bode a spojitá, nemusí mít v bodě a derivaci. DUkaz: a) Necht funkce /(x) ma v bode a derivaci /'(a). Dokažme, že pak lim /(x) = /(a). x—a 203 Necht; x = a. Podle věty 8.1 je lim f (x) = lim(f (x) — f (d) + f (d)) x—a ' t \ f (x) — f (a) , s s = lim -Í^-L(x — a) + f (a) x—a\_ x — a f(x) — f(a) = lim^^-Í^-L(x — a) + lim f (a) = x—a x — a x—a = lim f (x) — f ((a) • lim(x — a) + lim f (a) = x—a x a x—a x—a = f (a) • 0 + f (a) = = f(a) Ma-li tedy funkce f (x) v bode a derivaci, je v nem funkce f (x) spojitá. Příklad 10.3 ukazuje, ze funkce mUze byt spojitá v danem bode i kdyz v nem nemá derivaci. □ Poznámka. Podobne platí: JestliZe funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava (zleva), potom je funkce f (x) v bode a spojita zprava (zleva). Ukazme si pravidla pro vypocet derivací souctu, rozdílu, soucinu a podílu dvou funkcí. Věta 10.2. Nechi f (x), g(x) mají v bode a £ R derivace f' (a), g' (a) a necht c £ R je libovolné číslo. Potom platí: [c • f (x)]'x=(l = c • f'(a), (10.4) [f (x) ± g(x)]X=a = f (a) ± g'(a), (10.5) [f (x) • g(x)]'x=a = f (a) • g(a) + f (a) • g'(a). (10.6) Je-li g(a) = 0, potom platí: f (x)\' f'(a) ^ g(a) - f (a) ^ g'(a) ^ 7) 9(x)J x=a 92(a) Důkaz: Dokazme jen vzorec (10.5) pro derivaci souctu. Platí (f (x)+ g(x))'x a = lim (f (x)+ 9(x)) — (f(a)+ 9(a)) x a x—a x a lim \f(x) — f(a) + g(x) — g(a)] . {m x—a x — a x — a Ponevadz existují limity lim f (x) — f (a) lim g(x) — g(a), x—a x a x—a x a 204 dost á váme z (10.8) podle věty 8.1 [/(x) + g(x)]'x=a = f(a)+ g'(a). u Poznámka. Analogická vetá plát í pro derivaci zlevá á pro derivaci zprává v dán e m bode. Příklad 10.4. Necht: funkce /(x), g(x) máj ív bode a deriváce /'(a), g'(a) á necht; c1, c2 E R jsou libovoln á c íslá. Potom funkce F (x) = ci/(x) + C2 g(x) m á v bode a deriváci á plát í Skutecne. Podle (10.4) je [c1/ (x)]X=a = c1/'(a), [c2g(x)]X=a = C2g'(a). Odtud á z (10.5) vyplývá (10.9). Vztáh (10.5) lze zobecnit: Necht: /1(x), ..., /n(x) jsou funkce máj íc ív bode a deriváce /1(a), ..., /n(a). Necht: c1,... ,cn E R jsou libovolná c íslá. Potom funkce / (x) = c/1(x) +-----+ On /n(x) m á v bode a deriváci á plát í f(a) = c1 /1(a) + ■■■+cn /n(a). Příklad 10.5. Vypoc ítejte deriváci polynomu F (a) c1/'(a) + c2g'(a). (10.9) / (x) = 4x4 3x2 + 2x - 1 v bode 2. Řešení. Dostává me /'(2) = 4 ■ (4 ■ x3)x=2 3 ■ (2 ■ x)x=2 + 2 ■ (1). Vyc íslen ím /' (2) = 128 12+2 = 118. 205 Príklad 10.6. Necht: /(x) = x3 + 2x2 — 4x + 1. Potom pro x G (—to, to) platí /' (x) = 3x2 + 4x — 4, /"(x) = 6x + 4, f"(x) = 6, /(n)(x) = 0 pro n > 4. Príklad 10.7. Vypoc ítejme druhou derivaci funkce x2 1 F (x) — W ŘeSení. Oznacme f (x) — x2 — 1, g (x) — x + 2- Ponevadz g(x) — 0 jen pro x — —2, je DF — (—o, o) — { — 2}- Podle (10-7) je pro x E DF f (x) — 2x, g (x) — 1. Podle (10-7) dost avame F, (x) — ľ(x) •g(x) — f (x) •g (x) (x) g2(x) , tj— 2x • (x + 2) — (x2 — 1) • 1 F (x) — (x + 2)2 ■ Upravou x2 + 4x + 1 F' (x)— x + 2y , x E Df . (10.10) Funkce F (x) ma prvn í derivaci urcenou vztahem (10-10) pro x E DF - Podobne vypoc ítame i F''(x)- Prvn í derivaci (po zaveden í derivac í slozenych funkc í lze vypocet realizovat jednoduseji) F'(x) prep íseme na tvar F' (x) — ^, g1(x kde f1(x) — x2 + 4x + 1, g1(x) — x2 + 4x + 4- Podle (10-7) dostava me f1(x)g1(x) — f1(x)g1(x) F (x) g12(x) Tedy F'f(x) — (2x + 4) • (x2 + 4x + x — (x + 2)4 ',. ) — (2x + 4) • (x2 + 4x + 4) — (x2 + 4x + 1) • (2x + 4) 206 Po úpravě dostává me F"(x)=|xí| • x e R —{—2}- tj. C ílem naSich dalSích úvah búde ■ odvodit vetú o derivován í složen e fúnkce ■ odvodit vetú o derivován í inveržn í fúnkce ■ odvodit derivace elementá rn ích fúnkc í. Derivace složené funkce Zacneme se složenoú fúnkc í. Znovú si připomeňme žaveden í pojmú „složen e fúnkce" a vetú o spojitosti složen e fúnkce. Nechť A je neodvislý obor fúnkce u = p(x), B = H jej í odvislý obor. Nechť dále fúnkce f (u) je definován á na množine B. Ke každ emú císlú x E A priraďme císlo F (x) = f [p(x)], tj. hodnotú fúnkce f (u) v císle p(x). T ím je definován á na množine A nová fúnkce F (x), žvaná složená fúnkce. Fúnkci f (u) nažývá me jej í vnejsí složkoú a fúnkci u = p(x) nažývá me jej í vnitňn í složkoú. Jako príklad úved'me fúnkci y = sin(3x2 + 1). Jde o složenoú fúnkci. Jej í vnitrn í složkoú je fúnkce u = 3x2 + 1, definován á na intervalú A = (—00, to). Odvislý oborem fúnkce u = 3x2 + 1 je interval B = (1, to). Na množine B je definovaná fúnkce f (u) = sin u. Tedý y = sin(3x2 + 1) je definován á na intervalú A a oborem fúnkcn ích hodnot je interval (— 1,1). (Zdúvodnete!) V dňívejsím výkladú jsme si dokážali túto vetú. Veta 10.3. Necht funkce u = tp(x) je spojitá v bode a a funkce y = f (u) je spojitá v bode a = p(a). Potom složená funkce F (x) = f (p(x)) je spojitá v bode a. Dals í analogicke vetý jsoú vetý, v nichž se o fúnkc ích f, p predpoklí dá jen jednostranná spojitost. O derivová n í složen e fúnkce platí tato veta. Veta 10.4. (Derivace složené funkce) Necht: funkce u = p (x) má derivaci v čísle a a necht: funkce f (u) má derivaci v čísle a = p(a). Potom složena funkce F (x) = f (p(x)) ma v čísle a derivaci a platí F' (a) = f (a) • p (a), tj. F' (a) = f (p(a)) • p' (a). (10.11) 207 Důkaz: Polozme R(y) = j y-* 0 J w pro y = (10.12) - f'(a) pro y = a, ih\y> — ^ Ponevadz 0 pro y = a. lim R(y) = f (a) - f (a) = 0 = R(a), je funkce R(y) spojitá v bode a. Poněvadž funkce tp(x) m á derivaci v bodě x = a, je podle vety 10.1 spojitá v bode a. Je tedy i složená funkce R(t/?(x)) spojitá v bode a. Užitím (10.12) lže funkci R(t/?(x)) žapsat takto í R(^(x)) = < ip{x)-ip{a) J \ t * r\ t -r y\ t, (10.13) 0 pro ip(x) = = ^(a), dostává me x—a x—a x a z (10.16) F' (a) = f (a) F(a = 77tTpro y = a. Vzhledem k ryzí monotónnosti funkce / na intervalu I, je / (y) — / (a) = 0. Funkci F (y) lze pro y = a přepsat takto F (y = f (y)-f (a) ' y-a Ponevadz dle predpokladu ma funkce / v bode a derivaci, je lim Latím = /'(a). y—a y — a Ponevadz /'(a) = 0, je podle (10.7) lim F (y) = lim ,. , = —-j— = F (a). y—aKyJ y—a f (y)-f (a) f (a) y-a J K ' Je tedy funkce F (y) spojita v bode a. Funkce /-1 je podle vety 10.6 spojita na intervalu J, tedy i v císle a. Je tedy i funkce F(/-1(x)) spojita v bode a. Je tedy lim F (/-1(x)) = F (/-1(a)) = F (a) 1 (a) Uzitím tohoto vztahu dostávame l/-1(a)]' = lim /-1(X) — /-1(a) = lim /-1(x) — /^ x—a x — a x—a x — a x—a /(/-1(x)) — /(/-1 (a)) lim F(/-l(x)) = ■ (a) xa □ K vete 10.7 muzeme vyslovit radu analogických vet. Vyslovme tuto. 211 Veta 10.8. (Derivace inverzní funkce) Necht, / je funkce spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Necht, oborem jejích funkěních hodnot je interval J = / (I). Necht, a je levy (pravy) koncový bod intervalu J a necht, v ěísle a = /~l(a) ma funkce / derivaci /'+(a) = 0 (/ — (a) = 0). Potom funkce /~l ma v ěísle a derivaci zprava (zleva) a platí [/~vr = 7+ä • [l/ ~l(a)]" = Tä). DUkaz: Dukaz je analogický k dukazu vetý 10.7. 10.2 Derivace elementárních funkcí Predložený text výchaz í z predpokladu, že citatel je sezn amen s elementa rn ími funkcemi v rozsahu uveden e m v ucebn ím textu „Matematika A". I kdýž v n a sleduj íc ím textu se zava d í jejich strucn e zaveden í a uva dej í se nektere jejich význacn e vlastnosti, je nutno, abýste se s třemito funkcemi dobřre sezna mili. Funkce y = {/x Uvažujme funkci y = xn, kde n je přirozen e . Tato funkce je zřejme definovana na intervalu (—to, to). Pro n liche je tato funkce na sve m definicn ím oboru I = (—to, to) spojit a a rostouc í. Oznacme J = (—to, to) obor hodnot teto funkce. Proto k n í existuje funkce inverzn í na intervalu J. Podle vetý 10.6 je tato inverzn í funkce rostouc í a spojit a na J. Oznac íme ji tfx. Funkce pro n lich e je lich a . Pro n sud e je sice funkce xn rovnež definovaní na intervalu (—to, to), avsak nen í na nem prosta. Např. (—2)n = 2n pro každ e sud e n. Budeme proto uvažovat jej í zíěení na interval I = [0, to). Na nem je tato zužena funkce y = xn rostouc í a spojita, tedý prosta . Obor hodnot teto zužen e funkce je interval J = [0, to). Proto k n í existuje funkce inverzn í, definovana na intervalu J. Podle vetý 10.6 je tato inverzn í funkce rostoucí a spojita. Oznacímeji ^Jx. Na obr. 10.4 jsou narýsova ný grafý funkc í y = x2 a y = y/x, x E [0, to) a na obr. 10.5 jsou narýsovaný grafý funkcí y = x3, y = y/x. 212 Obrázek 10.4: Grafy funkcí x2 a y/x. Obrázek 10.5: Grafy funkcí x3 a y/x. Poznámka. Všimnete si, Ze funkce y/x je pro pro n sudé definována jen pro x E (0, to). Podle definice je pak y/x pro kaZde x E (0, to) rovno tomu Číslu y E (0, to), pro nez je yn = x. Je-li tedy napr. a E R, je an E (0, to), takZe \fď/ = \a\, pro n sude, a E R. Napi. v(-2)2 = \- 2\ = 2. Pro počítání s odmocninami platí pravidla, ktera jste meli odvozeny na gymnáziích. Jsou uvedeny i ve studijním textu „Matematika A". Je nutne, abyste si tato pravidla zopakovali. Derivace funkce y/x. Odvod'me si nyní vzorec pro derivovaní funkce y/x. V obou uvazovaných prípadech, totiz jak pro n sude tak i pro n lich e, jsme oznacili inverzní funkci k funkci xn jako y = y/x. V kazdem bode x = 0 sveho definicního oboru je funkce y = xn mzna od nuly, takze v nem lze vypoc ítat jej í derivaci podle vety 10.7 takto. Polozme f (x) = y/x. Potom (= (f ~l(x))' = = t^tt =-^—r =-7~l=\—ľ. (10.22) K ' f'(y) (yn)' n • yn-r n • (y/x)n~l K ' Dostavame tedy: Funkce f (x) = y/x ma pro x E D f, x = 0, derivaci a platí f (x) = ( w = nrm-i- (10.23) 213 Uveďme si nyn í příklad na derivaci složen é funkce obsahuj ících funkci tfx. Příklad 10.9. Vypoc ítejte derivaci funkce y . (10.24) Řešení. Danou funkci muzeme povazovat za slozenou funkci. Vnitrn í slozkou je funkce u = an+1 = ( 1 + -1— ) . (10.33) n +1 Ponevadz podle (10.29) je x > n+1, dostavame z (10.33) V 1 Y+1' 1 1 \ í i n + 1 1 ex > 1 + —T =1 + —T. (10.34) n + 1 / n +1 Ze vztahu (10.32) a (10.34) vyplyva -^-r + 1 - — 2, takze-<-, (10.337) x n — 1 1 — 2x 1 1 x n +1 <- + 1, takze->-. (10.338) x n + 1 x + 1 Z (10.36), (10.37), (10.38) dostavame 1 ex - 1 1 < e-1 < T1^- (10.39) 1 + x x 1 — 2x Ponevadz lim ~r— = 1, lim-r\- = 1, dostavame z (10.39) x—0 í+x x—0 1-2x lim-= 1- x—0 x b) Pocítejme nyn í derivaci funkce ex. Pro libovoln e x je podle definice (ex)' = lim e--—. Vypoctem dostavame postupne -x+h _ -x -x(eh — 1) eh — 1 (exY = lim-= lim —--- = ex lim-= ex • 1 = ex. h—0 h h—0 h h—0 h Funkce ex je spojita a rostoucí na intervalu (—to, to) a nabyva vsech hodnot ž intervalu (0, to). V každem čísle má derivaci a platí(ex)' = ex. Derivace funkce y = lnx Z vlastnost í exponencií ln í funkce a z definice inverzn í funkce vyplyví , ze k funkci ex existuje funkce inverzn ídefinovana na intervalu (0, to). Tato inverzn í funkce je spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Naz yva se priroženy logaritmus a budeme ji znacit ln x. Jej í graf dostaneme z grafu funkce ex překlopen ím kolem přímky y = x (viz obr. 10.6). Z vety 10.7 plyne, ze ln x ma v kazd e m císle sve ho definicn ího oboru derivaci a platí (ln x)' = -—- = — = —. 216 Obrázek 10.6: Graf funkce ex álnx. Jestliže položíme y = ln x, x e (0, oo) potom ey = x, y e (—o, oo) (10.40) Tedy přirozený logaritmus čísla x e (0, oo) je mocnitel, na nejž je nutno umocnit zaklad e, abychom dostali eíslo x. Odtud dostavame x = eln x. Funkce ln x je spojita a rostoucí funkce na intervalu (0, oo) a nabýva všech hodnot z intervalu (—o, oo). V kazdím eísle sveho definieního oboru ma derivaci a platí (ln x)' = -. x Jsou-li x,x1 ,x2 e (0, o), s e R, potom platí ln(x1 • x2) = ln x1 +ln x2 (10.41) lnxs = s • lnx. (10.42) Příklad 10.10. Vypočítejte derivači funkče x+1 y = ex-1. 217 Řešení. Jde o složenou funkci. Vnitm í složkou je funkce u = 0, a =1. Pro a > 1 je funkce y = ax rostouc í na intervalu (—0, 00) a pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesaj ící na intervalu (—0, 0). Lže ji výjadrit ve tvaru aX _ gin ax _ gX'ln a 218 Odtud je videt, ze je to funkce spojit a v intervalu (—co, to). Jej í derivaci urcíme jako derivaci slořzen e funkce. Dostav ame (ax)' = (ex'lna)' = ex'lna • ln a = ax • ln a. Funkce y = ax pro a> 1,a =1 nabyva vsech hodnot z intervalu (0, to). Existuje k n í funkce inverzn í, ktera se znac í loga x a nazyva logaritmus o základe a. Je to funkce spojita a ryze monotonn í v intervalu (0, to), ktera nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Jej í derivace je podle vety 10.7 rovna Obrázek 10.7: Graf obecne exponenciální a logaritmické funkce, 0 < a < 1. Na obr. 10.7 je na crtek grafu funkc í y = ax a funkce y = loga x pro 0 < a < 1. Pro a = e, tedy pro a > 1, je graf funkce y = ax a graf funkce y = loga x zn a zornen na obr. 10.6. Graf techto funkcí pro a = e jsme jiz dříve vysetrili. Pro logaritmy se zí kladem a plat í pravidla analogicka k pravidlum uvedeným pro funkci y = lnx. Resme jeste jednu ota zku. Necht: a, b jsou kladn a re a ln a c ísla mzn a od nuly. V jak em vztahu jsou c ísla loga x, logb x? Abychom to ukazali, předpoklí dejme, ze a, b jsou kladna c ísla mzn a od jedn e. Necht: x je kladn e c íslo. Oznacme y = loga x. Potom postupne dost a vame: x = dV, logb x = logb dV = y ^ log6 a = loga x ^ logb a. 219 Je tedy logb x = loga x ■ logb a. Funkce y = ax, kde a je kladna reálná konstanta rUzná od jedné, je spojitá a pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—to, to) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—to, to). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, to). V každém bode x sveho definičního oboru ma funkce ax derivaci (ax)' = ax ■ In a. Nazýva se exponenciální funkcí se zakladem a. Specialním případem je přirozená exponencialní funkce pro a = e a dekadicka exponenciální funkce pro a =10. K funkci ax existuje funkce inverzní, značíme ji loga x (čteme logaritmus x při zaklade a). Je definována na intervalu (0, to). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 0 a jak ekoliv rea ln e s. Da se výja drit ve tvaru xs = (eln x)s = es-ln x. Odtud je videt, že je to funkce spojita pro každ e x E (0, to). Jej í derivace je podle vetý 10.7 1 1 Funkce xs je spojita na intervalu (0, to) a ma zde derivaci sxs 1, tedy (xs)' = sxs~\ x E (0, to), s E R. V z averu teto casti jako aplikaci na předch azej íc í vetý řesme n a sledující príklad. Příklad 10.13. Výpocítejte derivaci funkce y = x2 • ln(x2 + 1). Řešení. Jde zde o soucin dvou funkc í. Druh a z nich je funkce složen a. Ponevadž x2 + 1 > 0, je dana funkce definovan a v intervalu (—to, to) a ma zde derivaci, kterou na zaklade predchoz ích vet urc íme takto y' = 2x ln(x2 + 1) + x2^1—2x, x2 + 1 221 takřže po upravře dostavame x2 y' = 2x ln(x2 + 1) + -r— x2 + Derivace funkce /(x)g(x) Nečht F(x) = /(x)g(x), x e A. (10.48) Nečht /(x) > 0 pro x e A a nečht funkče /(x), g(x) mají pro x e A derivače /'(x), g'(x). Funkči (10.48) lže prepsat do tvaru F (x) = eln f (x)9(x), (10.49) a po upravře jako F (x) = eg(x)ln f (x). (10.50) Tuto funkči můžeme derivovat jako složenou funkči. Dostavame F' (x) = eg(x)ln f (x)( g(x)ln / (x)^j Provedením vyžnačene derivače obdržíme F'(x) = /(x)g(x) • [g'(x)ln/(x) + g(x)/M) . Příklad 10.14. Vypočítejte derivači funkče y = xsinx, x e (0, o). Řešení. Funkči xsinx lže prepsat na tvar y _ esin x ln x y = e . Derivačí dostaneme postupne y' = esin x lnx(sin x ln x)' y' = xsinx(cos x ln x +—sin x), x e (0, o). x 222 Derivace trigonometrických funkcí Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nyní trigonometrickými funkcemi, zvanými nekdy též funkce goniometrické. Omezíme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravoUhlem souřadnem systemu s osami u,v sestrojme kružnici o jednotkovem polomeru se středem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychazející z pocatku, který svíra s kladnou osou u uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jednom bode, oznacme jej A. Jeho souřadnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Tyto souradnice zavisí na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovane pro kazde realne x. Pomocí funkcí sin x a cos x definujeme dalsí trigonometricke funkce sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro nez je jmenovatel mzny od 0. cotg~-"~~\j Obrázek 10.8: Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x. Trigonometricke funkce jsou znamy ze strední skoly a bylo o nich pojednano i v ucebním textu „Matematika A". Nakreslete si jejich grafy! Zopakujte si podrobne jejich vlastnosti. 223 Uvedme si tyto jejich vlastnosti: Funkce sin x je kladna pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro úhly v prvním a ve Čtvrtém kvadrantu a je zaporna pro uhly ve druhem a ve třetím kvadrantu. Obe tyto funkce jsou periodická s periodou 2n. Funkce tg x je definována pro všechna x ruzna od lichých násobku n, funkce cotg x je definova na pro x ruzna od nasobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladná pro uhly pro x v prvním a ve tčetím kvadrantu v nemč jsou definovany a zaporná pro uhly ve druhám a ve třetím kvadrantu kvadrantu v nemč jsou definovany. Tyto funkce jsou periodická s periodou n. Odvození derivace funkce f (x) = sin x a) Dokažme napred, že platí sin x lim-= 1. x—0 x Pro x G (0, n) je (viz obr. 10.8) 0 < sin x < x. D ale je obsah vysece OAB mens í nezli obsah trojuheln íku OBC, tj. 2x < 2 tgx. Celkem tedy plat í 0 < sin x < x < tg x = sin x cos x Odtud přechodem k prevracenym hodnota m dostavame cos x 1 1 -< - < -. sin x x sin x Vyna sob íme-li celou nerovnost kladným c íslem sinx, dostaneme sin x cos x <-< 1, tj. sin x 1 <--< — cos x. Pripocteme-li c íslo 1 ke vsem třem vyrazum, mame sin x 0 < 1--< 1 — cos x. x Bud' e > 0 a 5 = y/2e > 0. Pro x G (0,5) je funkce sin(x)/x definovana a plat í v nřem sin x x sin x x sin x <1 cos x x 2 x2 52 224 1 tak ze Díale je Tedy b) Doka zme, ze sin x lim - x—0+ x 1. sin x sin(—x) sin x lim -= lim -= lim -= 1. x—0- x x—0+ —x x—0+ x sin x lim- x—0 x 1. (sinx)' = cos x pro x G (—to, to). Necht: a G (—to, to). Potom platí , sin x — sin a x + a x — a 1 (sin x)x=n = nm-= hm 2 cos —-— sin x—a x a x—a 2 2xa .j i xx + a xx a xx a = lim cos-sin- : - x—a 2 2 2 ) (10.51) Polo zme /(y) sin y pro y = 0, /(0) = 1. Tato funkce /(y) je spojita v císle 0. Polozme dale x a $(x) Zrejme funkce &(x) je v císle a spojita a nabyví zde hodnoty 0, to jest &(a) = 0. Podle vety 8.4 je slozena funkce F (x) = / [&(x)] v císle a spojita, tj. sin X-a lim x-a = lim F (x) = F (a) = / [(a)] = / (0) = 1. (10.52) Polozme nyní / (y) = cos y, &(x) = (x + a)/2. Slozena funkce F (x) = / [&(x)] je v císle a spojita, takze x + a lim cos —-— = cos a. x—a 2 Z (10.51), (10.52), (10.53) dostavame (10.53) (sin x)X=a = cos a. y { ~225~ Derivace funkce y = cos x Užitím vety o derivování složené funkce dostáváme ^cos = sin ^ — — xj '7T \ cosx) = |sin ( — — x)\ = — cos [ 2 — xj = — sinx. Funkce f (x) = cos x má v každém bode x e (—00, 00) derivaci a platí (cosx)' = sinx, x e (—0, 00). Derivace funkcí tg x, cotg x Z pravidel o derivová n í pod ílu dvou funkcí dostáváme pro x e (—0, 00) — {(2k + 1)f}, k e Z sinx (sinx) cosx sinx (cosx) (tg x)' = - =----2---" cos x cos cos x J cos2 x cos x • cos x — sinx • (— sinx) 1 cos2 x cos2 x Podobne pro x e (—0, 00) — {kn}, k e Z . (cosx\' 1 (cotg x) =-- = —. sin x sin2 x Funkce f (x) = cotgx má v každém bodé x e (—0, 0) — {ku}, k e Z derivaci platí (cotgx)' = —2—, x e (—0, 0) — {kn} , k e Z. sin2 x a 226 Derivace cyklometrických funkcí V předcházej ícím výkladu jsme zjistili, ze funkce sin x je v intervalu (—n, \) spojitá a rostoucí a nabývá vSech hodnot z intervalu (— 1,1). Tedý k n í existuje funkce inverzn á definován a na intervalu (— 1,1). Tuto funkci oznacujeme arcsinx. Podle vetý 10.6 je tato funkce spojit a na intervalu (— 1,1) a je na nem rostoucí. Nabýva vsech hodnot z intervalu (— n, n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = sin x, x E okolo prímký y = x (viz obr. 10.9). Geometrický význam funkce arcsin je tento: | „arcsin x je ten úhel z Intervalu (— n, f), jehož sinus ma hodnotu x." Funkce cos x je v intervalu (0,n) spojití a klesaj íc í a nabýva vsech hodnot z intervalu (— 1,1). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (— 1,1). Tuto funkci oznacujeme arccosx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu — 1,1) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cos x, x E (0,n) okolo prímký y = x (viz obr. 10.10). Geometrick ý v ýznam funkce arccos x je tento: I „arccos x je ten Uhel z intervalu (0,n), jehož kosinus ma hodnotu x." Funkce tg x je v intervalu (—f, f) spojita a rostouc í a nabýva zde vsech hodnot z intervalu (—oo, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovan a na intervalu (—00, to). Tuto funkci oznařcujeme arctgx. Podle vřetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu 227 (—to, to) a je v něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x E (—n, n) okolo přímký y = x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctgx je tento: | „arctg x je ten úhel z intervalu (—n, n), jehož tangens ma hodnotu x." y i 2 ---------y = arctg x 0 \ n 2 Obrázek 10.11: Graf funkce arctg x. Funkce cotg x je na intervalu (0,n) spojita a klesaj íc í a nabývá na nem všech hodnot z intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci oznacujeme arccotgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—to, to) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x E (0,n) okolo přímký y = x (viz obr. 10.12). Geometrický význam funkce arccotg x je tento: I „arccotg x je ten úhel z intervalu (0,n), jehož kotangens ma hodnotu x." y Obrázek 10.12: Graf funkce arccotg x. 228 Funkce arcsinx, arccos x, arctgx a arccotg x se nažývaj í funkce cyklometrické. Dosavadn í výsledký o spojitosti lže shrnout takto: | Funkce cyklometrické jsou spojité na svem neodvislem oboru. Derivace cyklometrických funkcí. Funkce sin x je spojit a a rostoucí na intervalu {—n, |). Jej ím odvislým oborem je interval — 1,1). V každ e m bode a ž intervalu (—1,1) m a funkce arcsin x tuto vlastnost: císlo a = arcsin a je ž intervalu (—|, n), takže funkce sin x m a v nem derivaci cos a = 0. Podle vetý 10.7 ma funkce arcsin x v c ísle a derivaci a plat í: ( • V = 1 = 1 =1 (arcsin x) ^_— — ,-— ,-, cos a y/1 — sin2 a Vt—ä nebot sin a = a. Vsimneme si take, že cos a je kladný, nebol: a je ž intervalu (—n, n), takže odmocninu je nutno opatřit žnam e nkem plus. V každ e m bode x ž intervalu (—1,1) tedý platí (arcsin x) = , . Podobne odvod íme, že v každ e m bode x intervalu (—1,1) plat í (arccos x) =--— =--=--. = =--, . (cos y)' sin y — cos2 y y/1 — x2 V intervalu (—0 , 0 ) mame 1 2 1 1 (arctg x) = -—- = cos y (tg y)' 1+tg2 y 1 + x2 1 • 2 1 1 (arccotg x) =--— = — sin y =--2~ =--0 • (cotg y)' 1 + cotg2 y 1 + x2 Obdržen e výsledký mužeme shrnout do n a sledující vetý. Funkce cyklometrické mají derivace v každém vnitrném bode sveho neodvisleho oboru a platí: (arcsin x)' = , , x E (—1,1) (arccos x)' =--. , x G (—1,1) (arctgx)' = ——2, x E (—0, 0) 1 + x2 (arccotgx)' =---, x E (—0, 00). 1 + x2 229 Uveďme si nyní souhrnně derivace elementárních funkcí. Derivace elementárních funkcí (c)' = 0, c E R, pro x E (—00, 00) (xn^J = nxn-1, n E N, pro x E (—0, 00) ( —x\ = ——t1:—-, n E N, n sudé, pro x E (0, 00) = n^ř-i, n E N,n pro x E (—0, 0) U (0, 00) (ex)' = ex, pro x E (—00, 00) (ax)' = ax ln a, a > 0, a= 1, pro x E (—00, 00) (ln x)' = —, pro x E (0, 00) x (loga x)' = —-—, a > 0, a = 1, pro x E (0, 00) x ln a (xs)' = sxs-1, s E R, pro x E (0, 00) (sinx)' = cos x, pro x E (—00, 00) (cos x)' = — sin x, pro x E (—00, 00) , M 1 (tg x) = -— , cos2 x pro x E (—0, 00) — ^(2k + 1)2| , k E Z (cotgx)' =--2—, pro x E (—0, 00) — {kn}, k E Z sin x (arcsin x)' = 2 , pro x E (—1,1) (arccos x)' = ———===, pro x E (—1,1) (arctgx)' =--, pro x E (—00, 00) 1 + x2 (arccotgx)' =---, prox E (—00, 00) 1 + x2 230 10.3 Shrnutí, úlohy Byl zaveden pojem derivace funkce v bode a G R a poukázáno na význam derivace (Definice 10.1). Byly odvozeny derivace elementarn ích funkc í. Jsou zde uvedeny vzorce pro vypocet derivace souctu, rozd ílu, soucinu a pod ílu dvou funkcí (Veta 10.2). Dale byla uvedena veta o derivaci slozen e funkce (Veta 10.4). Byla odvozena veta o vypoctu derivace inverzn í funkce (Veta 10.7). D a le byl vysetřen vztah mezi existencí derivace funkce f (x) v dan e m bode a a spojitost í funkce v bode a. Úlohy 1. Napiste rovnici tecny ke křivce y = 3x2 — x + 1 v bode T[1, ?] lez ícím na dan e křivce. [5x — y — 2 = 0] 2. Napiste rovnici norm aly ke křivce y = -+1 v jej ím bode T[0, ?]. [x + y = 0] 3. Ve ktere m bode křivky y = x3 — 3x2 + 1 svíra tecna s osou x uhel 45°? [x-ova souřadnice bodu je 1 ± ] 4. Ve kterych bodech m a krivka y = x3 — 27x vodorovnou tecnu? [x-ove souradnice techto bodu jsou 3, —3] 5. Necht: f (y) = je vnejs í slozkou a p(x) = je vnitrn í slozkou funkce F (x). Napiste F (x) explicitne. Urcete jej ídefinicn í obor. [F(x) = ^, DF = (—00,1) U (1, to)] 6. Derivujte a) y = V X2 + 1 [ ^-T+l,x G ( — °, o)] b) y = x sin2x [sin2x + 2x cos2x, x G (—0, to)] c) y = sin2 [sÍn^°sV-,x G (0, to)] d) y = 3-2+1 [2ln3 • x • 3-+1, x G (—to, to)] e) y = xx [Navod: x- = exln-; y1 = xx(ln x + 1), x G (0, to)] 7. Vypoc ítejte prvn í derivaci funkce i(1-x2) ln2 "J y -"to2 1-x L(1-x2)ln2J b) y = x2^1 + x2 + 3x) [2x(V1 + x2 + 3x) + x2(-j-^ + 3)] c) y = ex cos 2x [ex cos 2x (cos 2x — 2x sin 2x)] 8. Vypoc ítejte derivace az do 3. řadu funkce a) f(x) = x3 + 3x2 + 4x— 1 [f '(x) = 3x2 + 6x + 4, f "(x) = 6x + 6, f" (x) = 6, x G (—to, to)] b) f (x) = xex [f'(x) = ex(x + 1), f''(x) = ex(x + 2), f'"(x) = ex(x + 3), x G (—to, to)] 231 Kapitola 11 Použití derivací 11.1 Funkce spojité na intervalu Pripomenme si, Ze „JestliZe funkce /(x) m a v bode a derivaci, je v nem spojitá ZaCneme se zaveden ím pojmu loká ln ího extre mu funkce /(x). Definice 11.1. Řekneme, že funkce /(x) m a v bode x0 lokalnímaximum (minimum), jestliže existuje takove 5 > 0, že funkce /(x) je definovaní na intervalu (x0 — 5,x0 + 5) a plat í v nem pro vsechna x E (x0 — 5,x0 + 5) /(x) < /(x0), (/(x) > /(x0)) (11.1) Definice 11.2. (Vlastní lokalní extremy) Řekneme, že funkce /(x) m a v bode xo vlastní lokalní maximum (minimum), jestliže existuje takove 5 > 0, že funkce /(x) je definovan a na intervalu (x0 — 5,x0 + 5) a plat í /(x) < /(x0) (/(x) > /(x0)) pro vsechna x E (x0 — 5,x0 + 5) pro než je x = x0. Lokaln í maxima a lok a ln í minima nazývame spolecným nízvem lokalní extremy (tez relativn í). Podobne vlastn í lok í ln í maxima a minima naz ývame vlastn ími lokíln ími extremy. Na obr. 11.1 je význacena funkce / (x), ktera m a v bodech a, b lok a ln í maximum a v bode c lokaln í minimum. Zaved'me si nýn í pojem absolutního extrému funkce / (x) na množine M C D f. V teto definici se porovníva hodnota funkce /(x) v bode x0 s hodnotami funkce ve vsech 232 y = f (x) a c b Obrázek 11.1: Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bode, c. ostatn ích bodech dan e mnoziny. M ísto pojmu absolutn ího extre mu muzeme mluvit o globalním extrámu funkce na mnozine. Definice 11.3. Řekneme, ze funkce f (x) ma absolutní maximum (minimum) na množine M v bode x0 G M, jestlize funkce f (x) je definovana na mnozine M a jestlize f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro kazd e x G M. Řekneme, ze funkce f (x) ma sve vlastní absolutní maximum (minimum) na množine M v bode x0 G M, jestlize funkce f (x) je definovana na mnozine M a jestlize f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro kazd e x G M. Absolutn í minimima a absolutn í maxima nazyva me spolecnym nazvem absolutn í extr emy. Absolutn í vlastn í maximum a absolutn í vlastn í minimum naz yvame spolecnym nazvem vlastn í absolutn í extre my. Poznámka. V nahore uvedenych pojmech se m ísto vlastn í extre m pouz íva tez term ín ostry extr e m. O existenci absolutn ího extre mu funkce f (x) na intervalu vypovída nasleduj ícíveta. Ve vetsine aplikací nas zaj ím a nalezen í absolutn ího extre mu. Veta 11.1. (Weierstrassova) Necht, funkce f (x) je spojita na intervalu {a,b). Potom existují body x0,x\ G {a,b) tak, že funkce f (x) nabyva sveho absolutn ího minima (maxima) na intervalu {a, b) v bode x0 (x\). Tento bod je buďto krajn ím bodem intervalu {a,b), anebo bodem, v němž funkce nabyva sveho lokalního extrímu. Na obr. 11.2 nabývá funkce f (x) své ho lokáln ího maxima v bode c, lokáln ího minima v bodé d, absolutn ího maxima v bodé c a absolutn ího minima v bodé a. 233 y' _o f y = f x) a c d b x Obrázek 11.2: Absolutní extrémy na (a,b). Funkce na obr. 11.3 na (a,b) nabývá absolutn ího minimum v bode b, avšak nemá absolutní maximum na (a, b). Tato funkce f (x) je sice spojita na (a, b), avšak nen í spojita na (a, b). Vetu 11.1 nelze aplikovat, nejsou splnený jej í predpoklady. y o a b x Obrazek 11.3: Porušení predpokladu véty 11.1. Zabývejme nýn í probl e mem urCen í bodu, v nichZ funkce nabýva lokaln í extre m. K tomu budeme potřebovat nekolik vet. Veta 11.2. Nechť f (a) > 0 (f (a) < 0). Pak existuje takové okolí čísla a, če pro všechna čísla x < a z tohoto okolí platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) a pro všechna x > a z tohoto okolí platí f (x) > f (a) (f (x) < f (a)). Důkaz: Necht: f (a) > 0. Pak existuje lim f (x) — f (a) = f,(a) > o. x—a x — a Existuje tedý takove okol í c ísla a, Ze v nemZ je uvedený pod íl definova n a je stale kladný, tJ' f (x) — f (a) > 0 x — a Tedý v tomto okol í jsou c ísla f (x) — f (a), x — a stejných znam e nek. Pro x < a je tedý f (x) < f (a), pro x > a je f (x) > f (a). Podobne se provede dukaz pro druhý případ f'(a) < 0. □ Poznámka. Jak víme, geometrický význam prvn í derivace je smernice tecný ke grafu funkce f (x) v bode a. Je-li tedý f'(a) > 0, svíra tecna grafu f (x) v bode a uhel p, pro nejz je 0 0). Podobně, je-li /'(a) < 0, svírá tečna grafu funkce /(x) v bodě a úhel p, pro nějž je 2 < p < n. Viž obr.11.5 y 1 f(x) \ \ a x Obrázek 11.5: Derivace jako směrnice teCny (f(a) < 0). 11.2 Vety o funkcích spojitých na intervalu {a,b) Veta 11.3. (Rolleova) Nechť funkce f (x) je spojitá na intervalu {a,b} a necht, má v každém vnitřním bode tohoto intervalu derivaci. Bud dále f (a) = f (b). Pak existuje taková číslo c E (a, b), že f (c) = 0. Důkaz: Je-li funkce f (x) v {a,b) konstantn í, tvrzen í je správn é a za c lze vz ít které koliv číslo uvnitr {a,b). Necht: tedy f (x) nen í v {a,b) konstantn í. Pak tedy aspon v jednom Čísle x E (a,b) platí f (x) = f (a) = f (b). Dejme tomu, ze f (x) > f (a). Podle vety Weierstrassovy nabude funkce f (x) v nekterem čísle c, kde a < c < b, sve maximalní hodnoty. Dokazme, ze f (c) = 0. Kdyby bylo totiz f (c) > 0, pak by podle vety 11.2 existovalo jiste okolí čísla c tak, ze pro vsechna x > c z tohoto okolí by platilo f (x) > f (c), podobne, kdyby f (c) < 0, pak by existovalo jiste okolí císla c tak, ze pro vsechna x < c z tohoto okolí by platilo f (x) > f (c). To vsak není mozne, nebot f (c) je ze vsech funkcn ích hodnot maximí ln í. Tedy opravdu f (c) = 0. □ 235 Poznamka. Geometrický smýsl vetý je tento: graf funkce y = /(x) ma za daných predpokladu aspon v jednom bode vodorovnou tecnu (viz obr. 11.6). Obrázek 11.6: Tečna grafu /(x) v lokálním maximu. Příklad 11.1. Bud' /(x) = |x|, x £ {—1,1). Tvrzen í vety neplat í, v čísle 0 je porušen předpoklad o existenci derivace. Viz obr. 11.7 v1 / 1 —1 1 1 x Obrázek 11.7: Graf funkce y = \x\, x E [—1,1). Veta 11.4. (Obecná veta o přířUstku funkce) Necht, funkce /(x), g(x) jsou spojité na intervalu [a,b) a necht mají v každém vnitrním bodě tohoto intervalu derivace. Pak existuje takové ěíslo c E (a, b), ze [/ (b) — / (a)] • g' (c) = [g(b) — g (a)] • /' (c). DUkaz: Zaved'me pomocnou funkci F (x) = [/ (b) — / (a)] • g(x) — [g(b) — g (a)] • / (x). Z předpokladu o funkc ích / (x) a g(x) vých a z í, že funkce F (x) je na intervalu [a,b) spojita a uvnitr m a derivaci. D a le F (a) = F (b). Podle vetý 11.3 existuje c E (a,b) tak, F' (c) = [/(b) — / (a)] • g' (c) — [g(b) — g (a)] • /' (c) = 0. Odtud tvrzen í vetý. □ Poznamka. Řolleova veta 11.3 je zvalstn ím případem vetý 11.4 pro g(x) = x a funkci /^ pro n íz plat í /(a) = /(b). 236 Věta 11.5. (Věta o přírůstku funkce) Nechi funkce f (x) je spojitá na intervalu {a,b) a necht: existuje f '(x) pro x E (a, b). Potom existuje alespoň jedno c E (a, b) tak, ze f (b) - f (a) = f (c) • (b - a). (11.2) Důkaz: Důkaz vychází bezprostředně z předcházející věty pro g(x) = x. □ Poznámka 1. Vztah (11.2) lze přepsat takto f (b) - f (a) = f'(c)_ b- a Leva strana tohoto vztahů vyjadřuje průmerny přírůstek fůnkce f (x) při přechodů z bodů a do bodů b. Vetů lze interpretovat takto. Existůje bod c E (a,b) tak, ze tecna ke grafů fůnkce y = f (x) v bode [c, f (c)] je rovnobezna se spojnicí bodů [a, f (a)], [b, f (b)]. Veta je schematicky znázornena na obr. 11.8. a c b Obrázek 11.8: Interpretace vety 11.5. Jestlize zname konstantů M pro níz je \ f'(x)\ < M pro x E {a, b), potom podle (11.2) platí \f (b) - f (a)\ f (x2)j. Funkce rostouc í a klesaj íc í se naz ývaj í spolecným n a zvem funkce rýze monotonn í. Funkce f (x) se nazýva neklesaj ící (nerostoucí) na intervalu I, jestlize ma tuto vlastnost: Jestlize xi,X2 E I, xi f (x2^. Funkce neklesaj íc í a nerostouc í se nazývaj í spolecným ní zvem funkce monotonn í. Je tedý kazd a funkce rýze monotonn í t e z monotonn í. Opak nemus í platit. Urcit intervalý, na nichz je výsetrovan a funkce monotonn í, n a m casto pomuze tato veta. Veta 11.6. (Monotónnost funkce na intervalu) Necht funkce f (x) je spojitú na intervalu I a necht: I0 je množina vžech vnitrních bodu intervalu I. Necht, funkce f (x) ma derivaci f \x) na I0. Jestlize f (x) > 0 f'(x) < 0) pro x E I0, potom f (x) je rostoucí (klesající) na I. Jestlize f '(x) > 0 (f' (x) < 0) pro x E I0, potom f (x) je neklesající (nerostoucí) na intervalu I. 238 Ukažme nyní, jak určit intervaly monotónnosti funkce f (x) definované na intervalu I v případě, že funkce f (x) ma déle uvedene vlastnosti. Predpoklédejme, že funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu vsech vnitřních bodu intervalu I. Předpokládejme, že f (x) je spojité na intervalu I0, a že mí na nem konežny požet nulových bodu. Tyto nulové body roždžlí interval I na konežny požet žastežných intervalu. Ve vžech vnitrních bodech každého ž tžchto žasternych intervalu je f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Takže v nem je funkce f (x) rostoucí nebo klesající. Pži grafickém žnažornení vyžnažíme interval I na žíselne ose a nuloví body funkce f (x). Tyto nuloví body roždžlí interval I na nžkolik žastežnych intervalu. Nad každým ž techto intervalu vyžnažíme „+ ", je-li v jeho vnitrních bodech f (x) > 0, a „— ", je-li v jeho vniterních bodech f (x) < 0. Pod interval, nad nímž je symbol „+ " („ — ") dame symbol „/* " (,,\ ") a tak vyžnažíme, že funkce f (x) je na tomto žastežnem intervalu rostoucí (klesající). Ilustrujme to na nasledujícím príklade. Příklad 11.3. Naleznete intervaly monotónnosti funkce f (x) = 2x3 — 15x2 + 36x — 5. Řešení. Funkce f (x) je spojitá a ma i spojitou derivaci f (x), kde f (x) = 6x2 — 30x + 36. ŘeSením rovnice f (x) = 0 dostavame xi = 2, x2 = 3. VyznaCme císelnou osu. Interval I je cela tato císelna osa. Na ní vyznaame body x1 = 2, x2 = 3. Tyto body rozdelí interval I na 3 castecne intervaly: (—oo, 2), {2, 3), {3, to). Znamení f (x) a monotónnost funkce f (x) jsou patrny z obr. 11.9. f(x) + — + -1-1- xi =2 X2 = 3 f(x) / \ / Obrázek 11.9: Monotónnost funkce f (x) = 2x3 — 15x2 + 36x — 5. Funkce f (x) je rostoucí na intervalu (—o, 2) a na intervalu {3, o) a je klesající na intervalu {2, 3). Zabývejme se nyn í podrobneji probl e mem nalezen í lokaln ích extre mu. Veta 11.7. Necht, funkce f (x) ma v bode a lokílní extrím a necht, existuje f (a). Potom f (a) = 0. Důkaz: Veta je bezprostredn ím dusledkem vety 11.2 a definice 11.2. □ Z věty 11.7 vyplývá, že funkce f (x) může mít lokální extrém pouze v bodech, v nichž nemá derivaci ánebo v bodech, v nichž má derivaci rovnu nule. 239 Poznamenejme, že je-li /'(a) = 0, má graf funkce /(x) v bodě a tečnu rovnoběžnou s osou x. Na obr. 11.10 je znázornena funkce, která má v bode xo lokální minimum a má v nem derivaci; na obr. 11.11 je znázornena funkce, která má v bode x0 lokální minimum, ale nemá v nem derivaci. f (x) f (x) y xo Obrázek 11.10: /(x) má v x0 derivaci. xo Obrázek 11.11: / (x) nemá v x0 derivaci. x x Zjistili jsme v kterých bodech může mít daná funkce /(x) lokální extrémy. Dále si uvedeme nekolik vet, kterými lže alespoň v nekterých případech rozhodnout, žda funkce /(x) má v nich skutecne lokální extrem. Veta 11.8. (Existence lokálního extrému) Necht /' (x0) = 0 a necht: existuje 5 > 0 tak, ze pro x E (x0 — 5,x0) je /'(x) definována a platí/'(x) > 0 (/'(x) < 0) a pro x E (x0,x0 + 5) je /'(x) definovane a platí /'(x) < 0 (/'(x) > 0). Potom funkce /(x) ma v hode x0 lokalní maximum (minimum). Jestliže /'(x) > 0 (/'(x) < 0) pro x E (x0 — 5,x0) U (x0,x0 + 5), fukce /(x) nema v x0 lokální extrem. Znázorneme si graficky situaci uvedenou v teto vete. Ukazme nektere případy: a) /'(x0) = 0, /'(x) < 0 pro x E (x0 — 5,x0), /'(x) > 0 pro x E (x0,x0 + 5), kde 5 E R f(x) — + 5 e R xo — ô xo xo + ô f(x) \ \ S f (x) má v x0 lokálni minimum b) /'(x0) = 0, /'(x) > 0 pro x E (x0 — 5,x0), /'(x) < 0 pro x E (x0,x0 + 5), kde f ( x) + xo — ô xo xo + ô f(x) S \ \ f (x) má v xo lokálni maximum 240 c) /' (xo) = O, /' (x) > O pro x G (x0 — 5,x0), f (x) > 0 pro x G (xo,xo + 5), kde 5 G R f(x) + + -€-1-3- xo — ô xo xo + ô f (x) S f (x) nemá v x0 lokálni extrém d) f (xo) = 0, f (x) < 0 pro x G (xo — 5,xo), f (x) < 0 pro x G (xo,xo + 5), kde 5 G R f ( x) — — —e-1-3— xo — ô xo xo + ô f (x) \ \ f(x) nemáá v xo lokálni extrém Uved'me jeste další vetu, ktera umožňuje urcit v některých případech lokaln í extre my funkce /(x). Veta 11.9. (Existence lokálního extrému) Necht f (xo) = 0, /"(xo) > 0 (< 0). Potom funkce f (x) ma v bode xo lokálni minimum (maximum). DUkaz: Nechť f"(xo) > 0. Potom existuje lim f (x) — f (xo) = f"(xo) > 0. x—x0 x — xo Existuje tedy takove cislo 5 > 0, že pro x = xo, x G (xo — 5,xo + 5) je pod íl f (x) — f (xo) = fixl x xo x xo definovan a je kladný. Tedy f (x) a x — xo maj ížde stejn e žnam e nko. Je tedy f (x) < 0 pro x G (xo — 5,xo) a f (x) > 0 pro x G (xo,xo + 5). Podle vety 11.8 ma tedy funkce f (x) v bode xo lokaln í minimum. Podobne se dokaže žbyvaj ící cast vety. □ Príklad 11.4. Určete lokaln í extre my funkce f (x) = x2 — 5x + 6. ŘeSení. Funkce f (x) ma derivaci pro x G (—to, to). Podle požnamky uveden e vyše muže tedy nabyvat lokaln í extre my použe v bodech, v nichž je f (x) = 0. Dostava me f (x) = 2x — 5. Řesen ím rovnice 2x — 5 = 0 dosta vame xo = |. Tedy funkce f (x) muže nabyvat lokaln í extre m použe v bode xo = |. Dokažeme nyn í dvema žpusoby, že žde dan a funkce nabyva lokaln í minimum. a) Zňejme f (x) < 0 pro x G (—to, |) a f (x) > 0 pro x G (f, to). Podle vety 11.8 m a funkce f (x) v bode xo lokaln í minimum. 241 b) Ponevadž /''(x) = 2, je /''(f) = 2 > 0. Podle vetý 11.9 ma funkce /(x) v bode 5 lokaln í minimum. Príklad 11.5. Naleznete lokaln í extre mý funkce /(x) = x4. Řesení. Podobnou uvahou jako v minul e m příklade zjistíme, že funkce /(x) muže m ít lokaln í extre m pouze v bode, v nemž je /'(x) = 0. Zřejme /'(x) = 4x3. Rovnice 4x3 = 0 mí jedin e řesen í x = 0. Zrejme /'(x) < 0 pro x E (—to, 0) a /'(x) > 0 pro x E (0, to). Ma tedý funkce /(x) v bode x = 0 podle vetý 11.8 lokaln í minimum. Ponevadž /''(0) = 0, nelze o existenci lokaln ího extre mu v bode x = 0 rozhodnout podle vřetý 11.9. Příklad 11.6. Naleznete lokaln í extre mý funkce /(x) = x3. Řesení. Funkce /(x) m a derivaci pro x E (—to, to). Muže tedý m ít podle výse uveden e pozn a mký lok íln í extre m pouze v bode x = 0, nebot jenom v nem je /'(x) = 0. Ponevadž /'(x) = 3x2 > 0 pro x E (—to, 0) U (0, to) nem a /(x) podle vetý 11.8 v bode x = 0 lok a ln í extre m. Dan a funkce tedý nema lokaln í extre mý. Ponevadž /''(0) = 0, nelze podle vetý 11.9 rozhoudnout, zda v bode 0 ma funkce /(x) = x3 lokaln í extre m. Na příklade 11.5 jsme videli, že veta 11.9 n a m nekdý neumožnuje urcit, zda funkce /(x) m a v bode x0, v nemž je /' (x0) = 0, lok a ln í extre m, nebo nemí . Uveďme si n a sleduj íc í vetu, kterí je obecnejsí než veta 11.9. Veta 11.10. (Existence lokílniho extremu) Necht: /' ^) = /''(x0) = ••• = / (n)(x0) = 0 a necht: / (n+l)(x0) = 0. Je-li n+1 sude, m a funkce / (x) v bode x0 lokaln í extrím. Jestliže / (n+l)(x0) > 0 (/ (n+l)(x0) < 0), potom funkce / (x) m a v bode x0 lokaln í minimum (maximum). Je-li n + 1 lich í, nema funkce / (x) v bode a lokaln í extrím. Príklad 11.7. Naleznete lokaln í extre mý funkce /(x) = x4. Řesení. Dostava me /'(x) = 4x3, /''(x) = 12x2, /'''(x) = 24x, /(4)(x) = 24. Zřejme /'(0) = /''(0) = /'''(0) = 0, /(4)(0) = 24 > 0. Ma tedý funkce /(x) = x4 v bode x = 0 lokaln í minimum podle vetý 11.10. Príklad 11.8. Naleznete lokaln í extre mý funkce /(x) = x3. Řesení. Dostava me /' (x) = 3x2, /''(x) = 6x, /'''(x) = 6. Zřejme /'(0) = /''(0) = 0, /'''(0) = 6 > 0. Podle vetý 11.10 nem a funkce /(x) = x3 v bode x = 0 lokaln í extre m. 242 11.4 Absolutní extrémy V definici11.3 bylo žavedeno absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na množine M. Absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na množine M naž yvame spolecnym n a žvem absolutn íextre my. Absolutn íextre my funkce nemus í ovsem na dan e množine existovat. Tak napr. funkce f (x) = tg x v intervalu (—n, f) nenabyva ani nejvets í ani nejmensí hodnoty, nebol; límx^-n/2+ = —TO, límx^n/2+ = TO takže funkce f (x) nen í na intervalu , < —n/2,n/2 > ohranicena. Víme, že jestliže funkce f (x) je spojitá na užavňen e m intervalu, pak je existence absolutn ích extre mu žarucena vetou Weierstrassovou. Pro naležen í absolutn ích extre mu je duležit a tato veta: Veta 11.11. (Existence absolutního extremu) Bud f (x) funkce definovaná na intervalu J. Necht: ma v čísle a G J absolutní extrém. Pak a je koncovým bodem intervalu J nebo v nem ma funkce f (x) relativní extrém. DUkaz: Nen í-li a koncovym bodem intervalu J, d a se žvolit interval J takovy, že J je ca st í J a bod a je vnitrn ím bodem v J. Pak v J je f (x) definoví na a plat í f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) na intervalu J. Potom funkce f (x) m a v císle a relativn í maximum (minimum). □ Při hledaní absolutních extremu funkce spojite na uzavřenem intervalu < a, b > postupujeme takto: Necht: funkce f (x) je spojitá na uzavřenem intervalu < a,b >. Podle Weierstrassový vřtý ma funkce f (x) na intervalu a, b > absolutní extrém. Tento absolutní extrem nabýva funkce f (x) buď to v bode, v nemz nabýva lokalní extrém, nebo v bodech a, b. Výhledame proto lokalní extremý a porovnaním hodnot výšetřovane funkce v techto bodech a v bodech a, b určíme absolutní extremý. Na absolutn í extre my funkce vede rada aplikacn ích uloh. Uved'me príklad. Príklad 11.9. Obd e ln íkovy kus plechu m a rožmery 60 x 28 cm. V rož ích se odrížnou ctverce a žbytek se ohne tak, že vžnikne otevrena krabice. Jak velikí mus í byt strana odňížutych ctvercu, aby objem krabice byl maximaln í? ŘeSení. Je-li x strana odnžnutych ctvercu (viž obr. 11.12), je objem krabice f (x) = (60 — 2x)(28 — 2x)x = 4x(30 — x)(14 — x). Platí, že x G {0,14) a f (0) = f (14) = 0, pro x G (0,14) je f (x) > O. Absolutn í maximum splyne tedy s maximem relativn ím. Dostava me f (x) = 4(3x2 — 88x + 420), f (x) = 8(3x — 44). Ulože vyhovuj ící koren rovnice f (x) = 0 je x = 6. Ponevadž f"(6) < 0, ma funkce 243 f (x) v bode x = 6 lok a ln í maximum. Platí f (6) = 4608. Objem krabice je maxim a ln í, odříznou-li se ctverce o strane 6 cm. Objem krabice pak je 4,608 dm3. x / oo x x r 60 x - - Obrázek 11.12: Tvar plechu na krabici. 11.5 Konvexita a konkávnost funkce Necht: funkce f (x) m a v bode a derivaci f '(a). Potom graf funkce f (x) ma v bode [a, f (a)] tecnu y — f (a) = f'(a) • (x — a). Oznacme $(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a), x e Df. odchylku funkce y = f (x) a funkce y = f (a) + f' (a) • (x — a), jej ÍZ graf je tecna ke grafu funkce f (x) v bode a. (viz obr. 11.13) f (x) a — S a a + S x Obrazek 11.13: Zaveden í funkce $(x). 244 Definice 11.4. (Inflexní bod) Řekneme, ze funkce f (x) probíhá v bode a nad tečnou (pod tečnou), existuje-li takové 5 > 0, ze na intervalu (a — ô, a + 5) je definovaná funkce $(x) = f (x) — f (a) — f (a)(x — a) (11.3) a $(x) > 0 ($(x) < 0), pro x e (a — 5, a) U (a, a + 5). (Viz obr. 11.13.) Řekneme, ze bod a je inflexním bodem funkce f (x), (viz obr. 11.14) jestliže existuje 5 > 0 tak, ze $(x) je definovana na intervalu (a — 5,a + 5) a platí $(x) > 0 ($(x) < 0) pro x e (a — 5,a) a $(x) < 0 ($(x) > 0) pro x e (a,a + 5). (Graf funkce prechazí v bode dotyku z jedne strany teCny na druhou.) y = f(x) —i-1-i— a — ô a a + ô Obrazek 11.14: K definici inflexního bodu. Veta 11.12. Necht f "(a) > 0 (f"(a) < 0). Potom funkce f (x) probíhá v bode a nad tečnou (pod tečnou). Důkaz: Necht: f"(a) > 0. Pak podle definice derivace existuje takove okolí Us(a), ze pro x e Us (a) — {a} je f (x) — f (a) x— a definovano a je f (x'l—Í ^ > 0. Tedy v Us (a) je definována derivace f (x). Necht: x je libovolníy bod z intervalu Us(a) — {a}. Potom funkce f(x) je v intervalu o koncovíych bodech a, x spojití a uvnitr ma derivaci. Totez platí pro funkci &(x). Podle vety o prírustku funkce platí pro funkci $ danou vztahem (11.3) $(x) = $(x) — $(a) = $'(c)(x — a), (11.4) kde c lezí mezi a, x. Úpravou (11.4) dostavíme $(x) = (f'(c) — f'(a)) (x — a)= f (C) — f ((a) (x — a)(c — a). ca 245 Poněvadž c lež í mezi a, x, je (x — a)(c — a) > 0. Je tedy znamen í $(x) v Us(a) — {a} stejn e jako je znamen í f (—ía a a tedy stejn e i jako je f "(a). Je tedy &(x) > 0 pro x E Us(a) — {a}. Podobne se doka že veta v ostatn ích případech. □ Z t eto vety bezprostredne vypl yv a tato veta: Veta 11.13. Nechť a je inflexním bodem funkce f (x). Existuje-li f "(a), potom f "(a) = 0. Funkce f (x) mUze mít inflexní bod pouze v bodech, v nichž ma první derivaci, ale nemá druhou derivaci nebo v tžch bodech, v nichž tato druha derivace existuje a je rovna 0. Ukažme si nyn í větu, která nám umožn í alespoň v některých případech zjistit inflexn í body daná funkce. Veta 11.14. (Existence inflexního bodu) Necht, f "(a) = 0 a necht, existuje 5 > 0 tak, že pro x E (a — ô, a) je f "(x) > 0 (f" (x) < 0) a pro x E (a, a + 5) je f" (x) < 0 (f" (x) > 0). Potom funkce f (x) má v bode a inflexní bod. Zn a zorneme si graficky situaci uvedenou ve vete 11.14. f" : f" (a) = 0 + a a + ô a je inflexní bod funce f (x) f : f"(a) = 0 + a a + ô a je inflexní bod funce f(x) Príklad 11.10. Urcete inflexn í body funkce f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. ReSení. Pro x E (—oc, oc) dostá va me f (x) = 3x2 — 6x + 5, f" (x) = 6x — 6. Urceme nulov e body funkce f"(x). Z rovnice f"(x) = 0, to jest z rovnice 6x — 6 = 0 246 dostavame x =1. Funkce f (x) m a prvn í a druhou derivaci pro x G (—to, to). f" : — + 1 1 je inflexní bod funce f (x) Ma tedy funkce f (x) v bode x = 1 podle vety 11.14 inflexn í bod. Dalsí vetou, kterou lže v nekterych případech urcit inflexn í body, je n a sledující veta. Veta 11.15. (Existence inflexního bodu) Necht, funkce f (x) splřuje v bode x = a ttýto vztahý f" (a) = • • • = f (n)(a) = 0, f (n+1\a) = 0. Je-li n + 1 liché, potom funkce f (x) ma v bode a inflexní bod. Pr íklad 11.11. Naležnete inflexn í body funkce f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. (Viž príklad 11.10.) Řesení. Dosta vame f'(x) = 3x2 — 6x + 5, f"(x) = 6x — 6, f" (x) = 6 Ponevadž f''(1) = 0, f''(1) = 0 m a funkce f (x) v bode x = 1 inflexn í bod. Zaveďme si pojem ryže konvexn í (ryže konkavn í) funkce na intervalu. Definice 11.5. (Řyze konvexn í a ryze konkávn í funkce) Řekneme, že funkce f (x) je rýze konvexní (rýze konkavní) na intervalu I, jestliže m a tuto vlastnost: Jestliže x\,x2,x3 G I, xi < x2 < x3 a jestliže p je pňímka jdouc í body A[x\, f (x\)], C[x3 f (x3)], potom bod B[x2, f (x2)] leží pod (nad) pňímkou p. Na obr. 11.15 je žn ažornena funkce ryže konvexn í na intervalu I a na obr. 11.16 je žnažornena funkce ryže konkavn í na intervalu I. 247 y = f (x) C y = f (x) X\ X2 X3 X\ X2 X3 Obrazek 11.15: Funkce ryze konvexní na intervalu I. Obrazek 11.16: Funkce ryze konkavní na intervalu I. Podobnym zpusobem zavadíme pojem konvexnosti a pojem konkavnosti funkce na intervalu. Definice 11.6. (Konvexní a konkavní fůnkce) Řekneme, ze funkce f (x) je na intervalu I konvexní (konkavní), jestlize ma tuto vlastnost: Jestlize x1,x2,x3 E I, xi < x2 < x3 a jestlize p je přímka jdoucí body A[x1, f (x-])}, C[x3,f (x3)], potom bod B[x2, f (x2)] lezí pod (nad) přímkou p nebo na ní. Na obr. 11.17 je znazornena funkce konvexní na intervalu I a na obr. 11.18 je znazornena funkce konkavní na intervalu I. y = f (x) X\ X2 X3 I y = f (x) Xi x2 x3 I Obrazek 11.17: Funkce konvexn í na intervalu I. Obrazek 11.18: Funkce konkavn í na intervalu I. Poznamka 1. Necht; f (x) je funkce definovan a na intervalu I. Necht: x1, x2, x3 E I, x1 f (x3) — f (x2) > Podobne, bod B[x2, f (x2)] lež í nad př ímkou p nebo na ni, jestliže plat í (11.7) f (x2) — f (xi) > f (x3) — f (x2) X2 — Xi X3 — X2 (11.8) O vžtahu meži konvexností (konkavností) funkce f (x) a žnamen ím druh e derivace f"(x) funkce f (x) vypovídaj í nasleduj íc í vety. Veta 11.16. (Vztah konvexnosti a druhé derivace funkce) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu vsech vnitřních bodu intervalu I. Nechtt funkce f (x) má druhou derivaci f" (x) na intervalu I0. Potom platí: Funkce f (x) je konvexní (konkávni) na intervalu I, kdyz a jenom když f" (x) > 0 (f" (x) < 0) pro x E Io._ DUkaz: Dukaž roždel íme do dvou castí. a) Necht: f (x) je spojit a na intervalu I a necht: existuje f" (x) pro x E I0. Necht: f (x) je konvexn í na I. Dokažme, že potom je f"(x) > 0 pro x E I0. Dukaž provedeme 249 sporem. Předpokládejme, že existuje bod x2 g Iq, tak, že f''(x2) < 0. Existuje tedy 5 > 0 tak, že pro x g (x2 — S,x2 + 5), x = x2, existuje f (x')—f ^^ a platí X — X2 f (x) — f (x2) x — x2 < 0. (11.9) Zvolme xi g (x2 — 5,x2), x3 g (x2,x2 + 5). Ponevadž dle předpokladu je funkce f (x) konvexní na I, platí (11.6) i pro takto žvolene body x1,x2,x3. Aplikujeme-li vetu o přírustku funkce na (11.6), dostavame, že existuje c g (x2 — 5,x2) a d g (x2,x2 + 5) tak, že f (c) < f (d). (11.10) Avsak ž (11.9) vyplýva, že f (C) > f (x2) > f (d). (11.11) Ponevadž (11.10), (11.11) nemohou souCasne platit, dospeli jsme ke sporu. Je tedy f"(x) > 0 pro x g I. b) Necht: f (x) je spojita na I a necht: f"(x) > 0 pro x g Iq. Dokažme, že potom je f (x) konvexní na I. Ponevadž f"(x) > 0 pro x g Iq, je f (x) neklesající na I0. Předpokladejme, že f (x) není konvexní na I. Existují tedy body x1,x2,x3 g I tak, že neplatí (11.6), tedy řže je f (x2) — f (xi) > f (x3) — f (x2), xi f(d). (11.13) Ponevadž c,d g I0, c < d a f (x) je neklesající na I0, nemuže (11.13) platit. Je tedy f (x) konvexní na I. Podobne se dokaže veta pro funkce konkávní. □ Poznámka. K vete 11.16 lže vyslovit analogickou vetu pro funkce ryže konvexní a pro funkce ryže konkavní. Uved'me si jeste dalsí vetu, ktera je žobecnením tvržení ve vete 11.16. Veta 11.17. (Ryze konvexní funkce na intervalu) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht: f1 '(x) > 0 pro x g I0, přičemž f"(x) = 0 jen v konečném počtu bodU z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryze konvexní. DUkaz: Princip dukažu ukažme v nasledujícím prípade. Necht: f (x) je funkce spojita na 250 intervalu I = (a, b). Necht: c E (a, b), /''(c) = 0 a necht: /''(x) > 0 pro x E (a,c)U(c, b). Za techto predpokladu je /'(x) spojití na (a,b). Jsou-li xl,xf E (a,c), x\ < xf, je podle vetý o pr írustku funkce f (x2) — f (xi) = /''(C), kde C E (x1}x2). xf — x\ Je tedý /'(xf) — /'(xi) > 0. Je tedý /'(xl) < /'(xf) pro xl,xf E (a, c), xl < xf. Funkce /'(x) je tedý rostoucí na (a,c). Podobne se dokaže, že /'(x) je rostoucí na intervalu (c,b). Tedý /'(x) je rostoucí na intervalu (a,b). Predpoklí dejme, že funkce /(x) nen í rýze konvexn í na (a,b). Pak existuj í takova císla xl,xf,x3 E (a,b), xl < xf < x3, že pro ne neplat í (11.5), to jest, že plat í /(xf) — /(xl) > /(x3) — /(x2) Aplikujeme-li na každou stranu (11.14) vetu o přírustku funkce, dostavame /'(C) > /'(n), kde C E (xi,xf), n E (xf,x3). (11.15) Nelezli jsme tedý C,n E (a,b), C < n, pro než plat í (11.15). To vsak nemuže platit, nebot /'(x) je rostouc í na (a,b). Je tedý /(x) rýze konvexn í na (a, b). □ Veta 11.18. (Řyze konkavní funkce na intervalu) Necht, /(x) je funkce spojita na intervalu I. Ožnaěme I0 množinu jeho vnitrních bodu. Necht /''(x) < 0 pro x E I0, přičemž /''(x) = 0 jen v koneěnem poctu bodu ž I0. Potom funkce / (x) je na intervalu I ryže konkavní. Dukaz: Dukaz je analogický dukazu vetý 11.17. Pri hledan í intervalu konvexitý a konkívnosti a inflexn ích bodu lze casto použ ít nasleduj ící postup. Necht: funkce /(x) je na intervalu I spojita. Necht: I0 je množina jeho vnitrn ích bodu. Na c íseln e ose význac íme interval I. Nad c íselnou osu nap íseme „/"(x)", budeme totiž nad císelnou osou význacovat znamen í funkce /''(x). Pod císelnou osu nap íseme „/(x)", budeme totiž pod c íselnou osou význacovat sýmbolý konvexnost, resp. konkavnost funkce /(x). Necht: funkce /(x) m a na intervalu I0 druhou derivaci /''(x). Necht: /''(x) m a na I0 konecný pocet nulových bodu. Týto nulove bodý rozdel í interval I na nekolik castecných intervalu. Je-li c E I0 takový bod, že /''(c) = 0, pocíta me bod c k obema sousedn ím intervalum s koncovým bodem c. Ve vsech vnitřn ích bodech každ e ho z techto castecných intervalu je bud'to /''(x) > 0 nebo / (x) < 0. 251 V případě, ze je zde f''(x) > 0 (f''(x) < 0), napíšeme nad tento interval symbol „+ " (symbol „— ") a pod tento interval symbol " (,") vyjadřující, ze je na nem funkce f (x) ryze konvexní (ryze konkávni). Je-li f (x) ryze konvexní (ryze konkávni) ve dvou sousedních intervalech, je ryze konvexní (ryze konkavní) i na jejich sjednocení Ve spolecnem bode c těchto sousedních intervalu, v němž je f '(c) = 0, nemí funkce f (x) inflexní bod. Je-li f (x) ryze konvexní (ryze konkavní) v nekterem častecném intervalu a v sousedním intervalu je f (x) ryze konkavní (ryze konvexní), ma funkce f (x) ve spolecn em bode c techto intervalu inflexn í bod. Príklad 11.12. Urcete intervaly, na nichz je funkce f (x) = x3 — 6x2 + x konvexn í a intervaly, na nichz je funkce f (x) konkí vn í. Řešení. Funkce f (x) je spojit a na intervalu I = (—oo, to). Vypoctem dostavame f''(x) = 6x — 12, x e (—to, to). Řesme rovnici f''(x) = 0, tj. 6x — 12 = 0. Tato rovnice m a jedin e resen í xi = 2. Tento nulovy bod rozdel í interval I na dva castecn e intervaly: (—to, 2), [2, to). Ve vnitrn ích bodech intervalu (—to, 2) je f''(x) < 0 a ve vnitrn ích bodech intervalu [2, to) je f''(x) > 0. Je tedy funkce f (x) ryze konkavn í na intervalu (—to, 2) a ryze konvexn í na intervalu [2, to). V bode x = 2 m a funkce f (x) inflexn í bod. (Viz obr. 11.19) f"(x) — + 2 f(x) - | - inflexní bod Obrázek 11.19: Konvexita funkce f (x) = x3 — 6x2 + x. Príklad 11.13. Urcete intervaly, na nichz je funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1 konvexn í, intervaly, na nichz je funkce f (x) konkavn í a inflexn í body. Řešení. Funkce f (x) je spojit a na intervalu I = (—to, to). Zrejme I0 = (—to, to) je mnozina vnitrn ích bodu intervalu I. Vypoctem dostava me f''(x) = 12x2 — 24x +12. Řesen ím rovnice f''(x) = 0, tj. rovnice x2 — 2x+1 = 0, dost a vame x1}2 = 1. Body x1 = 1, x2 = 1 rozdel í interval I na dva cístecn e intervaly (—to, 1), [1, to). Ve vnitrn ích bodech kazd e ho z nich je f''(x) > 0. Je tedy f (x) ryze konvexn í jak na intervalu (—to, 1), tak i na intervalu [1, to). Je tedy ryze konvexn í i na jejich sjednocen í, to jest na intervalu (—to, to). Viz obr. 11.20. Tato funkce nema inflexn í bod. Príklad 11.14. Urcete inflexn í body funkce f (x) = X ln x. Řešení. Funkce f (x) je spojita na sve m definicn ím oboru I = (0, to). Vypoctem dosta vame f' (x) = X? (1 — ln x), f''(x) = X3 (2ln x — 3). Řesen ím rovnice f''(x) = 0, tj. rovnice X3 (2ln x — 3), dostí va me ln x = |, tj. x = e 2. Urcen ím znamen í f''(x) 252 f (x) bod x = 1 není inflexním bodem Obrázek 11.20: Konvexita funkce /(x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1. 3 3 dostáváme, ze /(x) je konkávnív intervalu (0,e2}, konvexní na intervalu (e2, to). V bode 3 x = e2 má inflexn í bod. Viz obr. 11.21. /"(*) — + f(x) 0 3 u e 2 bod x = e 2 je inflexní bod Obrázek 11.21: Konvexita funkce f (x) = - ln x. 1 11.6 Hledání kořenů rovnice f (x) = 0 „metodou půlení intervalu". Ukažme si nyn í vetu, která je velice prospěšná pri hled án í kořenů rovnic. Tuto větu jsme mohli vyslovit již dříve, ale na tomto m íste můžeme využ ít v n á sleduj íc ím příklade poznatky o hled a n í extre mu funkce. Veta 11.19. Necht funkce f (x) je spojitá na {a,b} a necht f (a) f (b) < 0. Potom existuje alespoň jedno takové číslo a E (a, b), ze f (a) = 0. (Viz obr 11.22.) Obrázek 11.22: Ilustrace váznamu vety 11.19. 253 Tato věta umožňuje nalézt kořen a rovnice /(x) = 0 s libovolnou přesností postupným dělen ím intervalu {a, b). UrC íme bod c = (a + b)/2. Je-li /(c) = 0, je a = c. V opaCn é m případe, je-li /(c) • /(a) > 0, položíme a = c; je-li /(c) • /(a) < 0, položíme b = c. Tím se obdrží nový zuzený interval {a,b) v nemž leží Císlo a. Celý postup opakujeme tak dlouho, až obdržíme bud'to Císlo c, v nemž je /(c) = 0 anebo interval {a,b), v nemž leží kořen a a jehož delka b — a je mensí než žvolene Císlo, udavající požadovanou přesnost. Příklad 11.15. Naležneme realne korený polynomu /(x) = x3 — 3x2 + x — 1. Řešení: AbýChom urCili realne kořený daneho polýnomu, urCeme napřed jeho žnamení. UrCeme lokaln í extre mý dan e funkCe. VýpoCtem dostaví me / '(x) = 3x2 — 6x +1. Polýnom /'(x) ma kořený xi = 1 — 1/3^/6, x2 = 1 + 1/3^/6. UrCeme žnamen í funkCe /'(x) a intervalý monotónnosti funkCe /(x). Dosta va me f'(x) + — + -1-1- f(x) s \ s Je tedý /(x) rostouCí v intervalu (—to,x1), klesaj íc í v intervalu {x1,x2), rostouC í v intervalu {x2, to). FunkCe / m a tedý v bode xi lokaln í minimum. Ponevadž výpoCtem žjist íme, že /(xi) < 0, /(x2) < 0, lim /(x) = to, X—řOO m a funkCe /(x) jenom jeden realný koren a e (x2, to). FunkCe /(x) je žaporn a pro x e (—to, a) a kladn a pro x e (a, to). PoC íta n ím hodnot funkCe /(x) v bodeCh intervalu (x2, to), žjist íme, že např. /(2) = —33, / (3) = 2. Ponevadž /(x) je funkCe spojita a rostouC í na intervalu {2,33) a /(2) < 0, /(3) > 0, ma funkCe /(x) na intervalu (2, 3) pra ve jeden koren. Tento kořen mužeme hledat metodou pulen í intervalu. 254 Položme a := 2, b := 3. Postupně dostávame /(a) := ~3, f (b) := 2; c := a+bb, c := 2, f (c) = -133, a := c /(a) := -133> f (b) :=2; c := a+b,c :=11, f (c) = -64, a :=c f (a) := - ^, f (b) := 2; c := ^, c := f, f (c) = f31, b := c f ( ) 9 f (b) 431 a + b 89 f ( ) 1349 f( ) 9 (b) 1349 a + b 5 2921 b f( ) =-— f(b) = 2921 = a+b = 177 = 7087 f (a):= 64'f (b):= 32768; c '= 2 'c :=64 'f (c) = 262144' a := c = 7087 f (b) = 2921 = a + b =355 f (a) := -262144' f (b) := 32768; c := ~T~' c := 128' f(c) 2097152' : c Tedy a = 2^7656, b = 2^7734, takže a = 2'7695. Úkol. Načrtněte si graf funkce /(x) a vyznačte body x\, x2, a = 2, b =3 a kořen a. 11.7 Výpočet některých typů limit Necht / (x), g(x) jsou dvě funkce a necht lim /(x) = A, limg(x) = B, kde A,B G E*. Symbol lim zde zastupuje kterýkoliv ze symbolU lim , lim , lim, lim , lim , x—»a+ x—a— x—a x—»00 x——oo kde a G E. Zatím jsme uvazovali dva pěípady pro výpoěet lim gX). a) Ve větě 8.1 jsme uvedli, ěe /(x) A lim g(x) B' pokud 4 má význam v W. Podíl 4 nemá význam v případě, ze B = 0, a v případě, ze A = ±oo, B = ±oo. 255 b) Ve větě 8.3 jsme uvedli případ, kdy A = 0, B = 0. Doporučuji, abyste si obě tyto věty zopakovali. Přistoupíme nyní k dalěí větě pro vypočet limity podílu dvou funkčí. č) V dalěí věte, zvane ĽHôspitalovo pravidlo, vysetěíme pěípady a) A = B = O, p) A = ±00, B = ±00. ĽHôspitalovo pravidlo Veta 11.20. (ĽHôspitalovo pravidlo) Nečht f (x), g (x) jsou takoví funkče, ěe lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo lim f (x) = ±0, lim g (x) = ±0. Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita pak existuje lim gj^ a platí y f (x) g ( x) y f (x) y f (x) lim = lim = a. g(x) g (x) Symbol lim zde může nabýt kteréhokoliv z pěti významů: lim , lim , lim, lim , lim . x^a+ x^a- x^a x^—oo x—s-+oo Důkaz: Omezme se na případ, z e lim f (x) = lim g (x) = 0 a pro urc itost předpokládejme, ze jde o limity zprava v císle a a Ze a je reálne číslo. PoloZ me f (a) = g (a) = 0. Pak funkce f (x) a g(x) jsou v čísle a zprava spojite. Pon evad z y f(x) x^a+ g (x) existuje k libovolnemu e > 0 takove č íslo 5 > 0, ř e funkce f (x), g (x) mají v intervalu (a, a + 5) derivaci a v n e m platí f (x) a g ( x) 0, je lim /(x) = to. Podobne zjistíme, že lim /(x) = —to. Je tedý x = —1 asýmptotou bez smernice funkce /(x). (Viz ní sleduj íc í n a crtek.) v —1 b) Asýmptotý se smernič í . 262 Hledejme asymptotu v nevlastn ím bodě oo. Asymptotou je přímka Ax + B kde A, B, se urč í podle vety 11.21. Dostávame Je tedy A = lim M = lim ^-ti = lim 2+4~ = 2 x—-co x x—-co x(X + 1) x—-co 1 + X / 2X2 + 1 B = lim (f (x) — Ax) = lim (--2x x—)-co x—-co y x +1 2x2 + 1 — 2x2 — 2x —2x + 1 lim -= lim - x—o x + 1 x—o x + 1 — = lim " ' x = -2. — 2 + _ x x—co 1 + — x y = 2x — 2 asymptotou v nevlastn ím bode oo. Tato přímka je z a roveň asymptotou v nevlastn ím bode — oo. Poznámka. Lze ukazat, Ze u racion a ln ích lomených funkcí je asymptota v nevlastn ím bode +oo totoZna s asymptotou v nevlastn ím bode —o. Pri vyšetřování průběhu funkce zjišťujeme: 1. Kde je funkce definovaná, kde má nulové body, kde je nad ošou x a kde je pod ošou x (znamené funkce). Zda je funkce šudá, liché, periodická. 2. Kde funkce rošte, kde kleša, kde ma extrémy. 3. Kde je funkce konvexné, kde je konkavné a kde ma inflexné body. 4. Jake ma asymptoty. 5. Graf. Příklad 11.24. Vysetřeme pmbeh funkce 2x + 1 x( x + 1) y 1. Jde o re álnou racion á In í lomenou funkci. Čitatel 2x + 1 má kořen x = — | .jmenovatel x(x + 1) m á dva kořeny, a to x = 0 a x = —1. Ponevadz Čitatel a jmenovatel funkce nemaj í stejn e kořeny a kazdy kořen Čitatele a jmenovatele je jednoduchý (lich e n asobnosti), rozdel í tyto kořeny interval (—oo, oo) na 4 Častečn e intervaly. V sousedn ích intervalech m a funkce opacn e znam e nko (viz n a crtek). f : — + — + -e-• o-»• — 1 _1 0 2 263 Funkce nen í definován á v bodech x = 0, x = —1. Graf funkce prot íná osu x v bodě x 2. Funkce nen í ani suda ani lich a , nen í periodická . 2. VypoC ítejme f '(x). Dostava me: = 2x2 + 2x +1 f (X) = x2(x + 1)2 ' Čitatel nem a realn e kořeny, jmenovatel ma C ísla —1, 0 za dvojn a sobn e kořeny. Znamen í f'(x)a monotónnost funkce f (x) jsou patrny z n a sleduj ícího ná Crtku: f' : — — — r-e-e-5«- f : — í 0 \ \ \ Podle vety 11.6 funkce f (x) kles a v intervalech (—to, —1), (—1, 0), (0, to). PonevadZ f'(x) existuje v D f a je zde f'(x) = 0, nema f (x) loka ln í extre my. 3. Vypoc ítejme f" (x). Dosta vame ... . rJ2x + 3x + 3x + 1 f (x) = 2-T(—7~í\i-■ x3(x + l)á Zřejme f" (—1) = 0. Funkce f" (x) nem a jin e re a ln e kořeny. Znamen í f''(x) a konvexita funkce f (x) jsou patrny z n a crtku: f'' : — + — + n m-1*-^ — í _! 0 f : ^ ^2 ~ ^ Je tedy f (x) konkavn í v intervalech (—to, — 1), {— 2, 0) a konvexn í v intervalech (—1, — 2}, (0, to). Bod x = —1 je inflexn ím bodem. 4. Př ímka x = a muze b yt asymptotou bez smernice grafu y = f (x) pouze tehdy, nen í-li funkce f v bode a spojita zprava nebo zleva. V nasem prípade se jedna o body x = 0, x = — 1. Vypoctem dostíva me (pod ívejte se na znamen í funkce f (x)): lim f (x) = to, lim f (x) = — to, x—)-0+ x—0- lim f (x) = to, lim f (x) = — to. x——1+ x— — l — Tedy prímky x = —1, x = 0 jsou asymptoty bez smernice. K urcen í asymptot se smernic í vypoc ítame: A = lim = f^X) = 0, B = lim f (x) = 0. x—±oo X x—±oo Tedy y = 0 je asymptotou se smernic í v bodech to, — to. 264 5. Náčrtek grafu: v -X 0 x Obrázek 11.25: Náčrtek grafu funkce . ° x(x+1) Příklad 11.25. Na obr. 11.26 je znázorněna funkce y = f (t), t e (0, oo) popisující mnoZství y prodeje nejakeho zboZí jako funkci času t. Obrázek 11.26: Prodej zboží. Na nasledujících načrtcích je znazorneno znamení f'(t), f"(t). Z nich lze vyvodit tyto zavery f (t) + f" + - 0 0 , to Funkci f'(t) lze chapat jako funkci „rychlosti" prodeje. Rychlost prodeje se zvysuje az do casoveho okamziku t0, potom rychlost prodeje klesa. 11.9 Diferenciál a Taylorova veta V teto časti se budeme zabývat přibližným vyjadrením funkce. Řešme tuto Úlohu. Je dána funkce f (x); nahraďme ji pro x v blízkosti bodu a polynomem. 265 Úloha je nejjednodušeji řešena, nahradíme-li ji polynomem prvního stupně - tečnou, za předpokladu, Ze existuje f (a). Zvolme h. PoloZme x = a + h. Vyraz Af(a) = f (a + h) - f (a) nazveme diferencí - jde o přírustek funkče, při přechodu z bodu a do bodu a + h. Přírustek na tečne t funkče y = f (x) v jejím bode T [a, f (a)] pri přechodu z bodu a do bodu a + h je roven f' (a)h. (Viz obr. 11.27) y = f (x) f (x) f (a) Af (a) Obrázek 11.27: Význam diferenciálu. Zaveďme si nyní pojem diferenčialu funkče y = f (x) v bode a touto definičí. Definice 11.9. (Diferenciál funkce y = f (x)) Nečht funkče y = f (x) má v bode a derivači f (a). Potom df (a) = f (a) h, h E R je promenna nazývame diferenciálem funkce f (x) v bode a. Poznámka. Ponevadz pro y = x je dx = h, píseme často dx místo h. Potom df (a) = f1 (a)dx. Ma-li funkče y = f (x) derivači na intervalu I, potom píseme df = f (x)dx, resp. dy = f'(x)dx, x E I. (11.17) Potom diferenčial dy je funkčí dvou promennýčh: x, dx. Vztah (11.17) lze přepsat jako podíl dy_ dx f (x), x E I. (11.18) Zde dx je diferenčial neodvisle promřenn e x a dy je diferenči al odvisle promřenn e y. t 266 I Na derivaci f'(x) se můžeme dívat jako na podíl diferenciálu odvisle proměnné a | neodvisle proměnné. Ukažme, že pro dostatečně malé h je Af(a) rovno přibližně df (a). Zaveďme r (h) jako chybu aproximace Af (a) diferenciaiem df (a) f (a + h) - f (a) = f' (a)h + r (h). Delíme-li tento vyraž číslem h, dostaváme f (a + h) - f (a) + r (h) -h-=f (a) + nr. Výpočtem limity leve i prave strany v bode h = 0 dostavame lim --^ = 0. Tedy Pro malé h je A f (a) rovno přibližně df (a): f (a + h) = f (a) + f \a)h. Příklad 11.26. Určete diferencial funkce f (x) = sin2x v bode x = n. Řešení. V obecnem bode x je df (x) = (sin2xy • dx. Tedy df (x) = 2 cos 2x • dx. V bode a = | pak platí df (8) = 2 cos (28) dx = V2dx. Příklad 11.27. Urcete približne sin(3l°), víte-li, že sin(30°) = 0,5, cos(30°) = . Řešení. Uhel 331° vyjádřeny v obloukove míře je roven | + . Položme a = 1, dx = . Potom sin —i--= sin — + cos — •-= 0,5 +--•-. \6 180 J \6J \6J 180 '180 2 Zabyvejme se nyn í aproximac í funkce f (x) polynomem stupne n > 1. 267 Taylorova věta Nechl; funkce f (x) ma v bode x = a derivace az do radu n včetně. Potom polynom v promenne h Tn(a + h) = f (a) + ^ h + ^ h2 + ■■■ + ff-^ hn (11.19) 1! 2! n! se nazýva Taylorovým polynomem stupne n příslušným k funkci f (x) v bode a. Lehce se presvedcíme, Ze polynom Tn(x) a funkce f (x) mají v bode a stejnou funkcní hodnotu a derivace aZ do radu n vcetne. Oznacíme-li h = x — a, dostavame z (11.19) Tn(x) = f (a) + — a) + — a)2 + ■■■ + ^-^(x — a)n (11.20) 1! 2! n! Příklad 11.28. Určete Taylorův polynom příslušný k funkci /(x) = sinx v bodě a = 0 pro n = 5. Řešení. Zřejmě (sinx)1 = cos x, (sinx)" = — sinx, (sinx)1" = — cos x, (sinx)(4) = sinx, (sinx)(5) = cos x. Je tedy 3 5 T5(x) = 1— ff + !f ■ Lze tedy pro x blízka číslu a = 0 psat přibližný vztah 3 5 •x »x • x sin x W 1! — 31+5! • Zabývejme se nyní otázkou, jaké chyby se dopouštíme, nahradíme-li funkci /(x) polynomem Tn[x). Odpoved' dává tato veta. Věta 11.22. (Taylorova věta) Necht funkce /(x) ma na otevřeném intervalu I derivace až do řádu n +1 včetně. Necht a E I. Potom pro každe x E I platí / (X) = Tn(x) + Rn+1, (11.21) kde Tn(x) je TaylorUv polynom urcený vztahem (11.20) a Rn+\ je chyba aproximace. Chyba aproximace muže být určena napr. vztahem Rn+i = /r—}Q-(x - a)n+1, (11.22) (n + 1)! kde Q leží mezi body a, x. 268 Důkaz: Důkaz používá Rolleovu větu. Není obtížný, ale nebudeme jej však provádět. Poznámka 1. Rn+1 představuje chýbu, ktere se dopustíme, aproximujeme-li hodnotu funkce f v bode x hodnotou polynomu Tn v bode x. Císlo Q, ktere zde vystupuje, není vetou urCeno. Pouze je uvedeno, že leží mezi bodý a, x. Jestliže platí odhad \f(n+1\t)\ < M pro vsechna t ž intervalu o koncových bodech a, x, lže psat R n I < M lx aln+1 \Rn+1\ < / , i m \x a\ ■ (n + 1)! Poznámka. Specielne pro a = 0 dostavíme ž (11.20) a ž (11.22) Tn(x) = f (0) + ff x + ™ x2 + ••• + ™ xn 1! 2! n! f (n+1)(Q) Rn+i = 4-\i xn+1, kde Q leží meži 0 a x. n+í (n +1)! Ponevadž případ a = 0 se casto výskýtuje, uvadí se nekdý pro a = 0 místo „Taýlorova vetau nažev „ Maclaurinova vetau. Taylorova a Macláůrinova rada Predpokladejme, že a, x jsou dve navžíjem ružna císla a že funkce f (x) mí v užavrenem intervalu I o koncových bodech a, x derivace vsech radu. Na intervalu I uvažujme řadu f (a) + f^al(x - a) + ••• + J-^a)(x - a)n + .... (11.23) 1! n! Potom řada (11.23) je konvergentní a její soucet je f (x) na intervalu I, kdýž a jenom kdýž lim Rn(x) = 0, x E I, kde Rn+1 je dano vžtahem (11.22). Je-li tedy (11.23) konvergentní, lže psát f (x) = f (a) + í-^(x - a) + í-2^(x - a)2 + .... (11.24) Řada (11.24) se nazývá Taylorova řada, resp. pro a = 0 se nazývá Maclaurinova řada. Příklad 11.29. NapiSte Maclaurinovu řadu pro funkci f (x) = ex. 269 Řešení. Pro každ é n je (ex)(ra) = ex. Je tedy /(0) = /'(0) = /"(O) = • • • = e° = 1. Dosad íme-li tyto hodnoty do (11.23), obdrž íme radu 1+1Í+2Í + - + ň.+ ^ (11.25) Tato rada je absolutně konvergentn í pro kazd e x. Skutečně, pro kazd e x jde o č íselnou radu. Aplikací limitn ího pod ílove ho kriteria obdrz íme lim (n+1)l \x\ lim = 0 < 1. n—oo I x— I n—oo n +1 I nl I Je tedy rada (11.25) absolutne konvergentn í pro kazd e x. Tedy konverguje na intervalu (—00, to). Lze tedy psat ry, X X X ex = 1 + - + — + ••• + — + .... 1Í 2Í nÍ Jde o mocninnou řadu se středem konvergence x0 = 0 a polomerem konvergence r = to. 11.10 Shrnutí a úlohy Souhrn V kapitole je zaveden pojem lokaln ího extre mu funkce f (x) a absolutn ího extre mu funkce (Definice ??, Definice 11.3). V kapitole se pojedn ava o jejich existenci a zpusobu jejich nalezen í. V kapitole se uva d í dulezit a veta „Veta o přírustku funkce". Ukazuje se tez postup při hledan í intervalu, na nichz je vysetřovana funkce monotonn í. Dá le se vysetruje konvexita a konkavnost funkcí. Zava d í se tez pojem inflexn ího bodu funkce. Je uveden postup, jak je v jistých případech mozno urcit intervaly, na nichz je dana funkce konvexn í, resp. konkavn í. Je prezentovana metodika hledí n í inflexn ích bodu dan e funkce. V kapitole se tez pojedn ava o numericke metode hledan í kořene rovnice f (x) = 0 na intervalu {a, b), je-li f (x) spojita na {a,b} a je-li f (a) f (b) < 0. V kapitole je pojedn a noozat ím neřesen e m prípade vypoctu limity lim , je-li lim f (x) = lim O, f {x) = x2 - x - l pro x < O; roste {O, to), klesa {-to, O), lok. min. pro x = Oj 12. Určete intervaly, na ničhz je funkče f {x) konvexn í, intervaly, na ničhz je funkče f {x) konkavn í, a určete inflexn í body. a) f {x) = x3 - bx2 + 3x - 5 27l b) /(x) = (x + l)4 + ex [konv. (—to, to), nemá infl. body] [konv. (5, to), konk. (—to, 5), inf. bod x = 5 ] — to, o c) /(x) = ln(l + x2) [konv. (—1, l), konk. (—to, —l), {l, to)] d) / (x) = x ln x [konv. (e 2, to), konk. (0,e 2), inf. bod x = e 2 ] e) / (x) = e * [konk. (—to, —1), konv. (—1, 0), (0, to), inf. bod. x = —1 ] 13. UrCete absolutní extrémy funkce /(x) ná dánem intervalu. á) /(x) = x2 — 5x + 6, x e (0, l0) [ábs. min. v bode x = 5, ábs. máx. v bode x = l0] b) /(x) = j-^, x e (—l, l) [ábs. máx. v bode x = 0, ábs. min. není] c) /(x) = sin X, x e (0, to) [ábs. máx. pro x = K +;k2n, k e N0, ábs. min. pro x = 2+(2k+i)n, k e N0] 14. UrCete ásymptoty funkce. á) /(x) = X++i [bez smernice x = —l, v bodech ±00: y = 2x — 2] b) /(x) = 3XXX+2: [bez smernice x = 2, v bodech ±00: y = 3] c) /(x) = VT+x2 [ásymptoty bez smernice nemá, y = x v bode to, y = —x v bode —to] 15. Vysetrete pmbeh funkce. á) /(x) = x3 — 6x2 + 9x [Df = (—to, to), známení + + /'(x) = 3x2 — l2x + 9, /: s 1 \ 3 s /(l) = 4, /(3) = 0, lok. max. lok. min. /"(x) = 6x — l2, f: ~ /(x) nemá ásymptoty] b) / (x) = ^ [Df = (—to, to) — { — l, l}, f —1 + + /(x) = , f: S — 1 S 0 S 1 S / (0) lok. min. + f"(x) = _ 4(1+3x2) J (x) = (l-x2)3 , f: „ — 1 „ 1 „ ásymptoty: x = l, x = — l, y = —l] c) / (x) = ^ [Df = (0, to), f- 0 1 f : + /(x) = l-=X?F, f: 0 s \ s /(e) f : x2 ' ' ' ' I * •> \ - / e lok. max. = -3+2 ln x f : ^ infl. bod lim — = —to, ásymptoty: x = 0, y = 0] x—)-0+ x 16. Vypocítejte limity 272 f : + f : + + f l + a) lim xf+I x—x x + 1 b) lim ^ x—°+ x č) lim (1 - d) lim lnx x x—x e) lim Tíxx f) lim x x x—x ex-1 - [to] [to] [ 2 ] [0] [to] [1] [df = (3x2 — 3)dx, df (2) = 9dx] [dy = 2 cos 2xdx] 18. Vypoč ítejte priblizne podle Taylorovy vety ln e2,1 pro n =1, 2, 3. Odhadnete čhybu. 19. Napiste MačLaurinovu radu funkče a) f (x) = sin x [sin x = — |y- + |y- — ..., x E (—to, to)] b) f (x) = cos x [cos x =1 — ^ + ^ — ..., x E (—to, to)] č) f (x) = ln(1 + x) [ln(1 + x) = x — x2 + ■£ — ... , —1 • • •, xn]. Zaveďme nýní vzdalenost dvou bodu v Rn takto:Jestlize A = [a1, • • • ,an],B = [b1 ,•• • ,bn] E Rn, potom jejich vzdalenost budeme označovat p(A,B) a definovat vztahem p(A, B) = x/(bi - ai )2 + ■■■ + (bn - an)2, (12.1) Mnozinu Rn s takto definovanou vzdalenosti p budeme značit En. Ve zvlastním případe n =1 je E1 mnozina reílných čísel se vzdalenosti p(A,B) bodu A = a1}B = b1, určenou vztahem p(A, B) = \b1 — a1 {• Okolí bodu v En Zaveďme si pojem okolí bodu A = [a1, • • • ,an] E En. Necht A E En. Potom mnozinu Us = {X E En : p(A,X) <5] nazveme í-okolím bodu A. Na obrazku 12.1 je znazorneno í-okolí bodu A E E2. Necht M C En. Bod A E En nazveme vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje 5> 0 tak, že U (A) c M. Bod B E En nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže existuje í > 0 tak, že Us (B) n M = ^, to jest, jestliže žádný bod tohoto okolí nepatří do množiny M. Necht M C En. Bod H se nažýva hraničním bodem množiny M, jestliže v každím jeho okolí leží body, který patří do množiny M a body ktere nepatří do M. Množinu všech hraničních bodU množiny M nažyvame hranic í množiny M. Množinu M C En nažyvame otevřenou, jestliže všechny její body jsou jejími vnitřními body. Obsahuje-li množina M C En všechny sve hraniční body, nažyva se uzavřenou. Viž obr. 12.2. 274 x2 Obrázek 12.1: Okolí Us(A) = {X e E2 : p2(A,X) < 5}. Obrázek 12.2: Vnitrní, vnejsí a hraniční bod množiny. Množinu M nazveme oblastí, jestliže je otevřená a jestliže ke každým dvema bodům A, B e M existují bodý P\, P2,..., Pm tak, že P\ = A, Pm = B a každa z ůsecek PíPi+\ leží v M. Příkladem oblasti je množina {X e En : g(A,X) < e}, kde A je daný bod a e je dane kladne číslo. Uved'me si týto příkladý.(Dále uvedene množiny si grafický žnažornete.) Necht: A e En a necht: 5 > 0 je libovolne říslo. Potom 1. Množina M = {X e E2 : p(A,X) < 5}. je otevření množina. 2. Množina h = {X e E2 : p(A,X) = 5} je hraničí množiný M. Každý její bod je hraničním bodem množiný M. 3. Množina M = {X e E2 : p(A,X) < 5} je užavřenou oblastí. Pojem funkce více proměnných. Před žapočetím studia teto podkapitolýsi žopakujte pojmý spojitost funkce jedne promenne v danem bode, vetý o spojitosti souctu, roždílu, soucinu a podílu dvou funkcí jedne promenne a o spojitosti funkce složene že spojitých funkcí. 275 DefiniceA 12.1. Necht, n E N, D C En. Potom zobrazení f množiny D do E1 nazýváme realnou funkč í n-promennyčh. Oznacíme-li X = [x1,x2,... ,xn] E En, lze tuto funkci zapsat jako z = f (x-,x2,... ,xn), resp. z = f (X). NemUze-li dojít k omylu, budeme Často v další Časti textu místo termínu „reálne funkce n-promenných" používat jednoduše termín „funkce". Poznámka. Promenn e funkč í n-promennyčh budeme vetsinou označovat x1,x2,..., xn. Je-li tečhto promennyčh jen nekolik, byva zvykem je označovat tez x, y, z, u, t nebo pouz ít označen í obvykl e příslusn e aplikači. Je-li f funkce n-promenných zadaní předpisem bez uvedení definicního oboru, rozumíme jejím definicním oborem množinu všech bodu [x1,... ,xn] E En, pro něž ma uvedení pžedpis význam. Příklad 12.1. Určete definičn íoborfunkče z = \J4 — x2 — y2 + ln(1 — x — y). (12.2) Řešení. Ponevadz definičn íoborfunkče (12.2) nen í uveden, rozum í se j ím mnozina vsečh bodu [x,y], pro nez lze vyraz na prave strane (12.2) vypoč ítat. Zřejme jsou to ty body [x,y], pro nez plat í 4 — x2 — y2 > 0 A 1 — x — y> 0. (12.3) Odtud dost avame x2 + y2 < 4 A x + y< 1. (12.4) Rovničí x2 + y2 = 4 je definovaná kruzniče k se středem v počátku o polomeru 2. Označme A1 C E2 mnozinu tečh bodu [x,y], ktere lez í uvnitř kruzniče k a A2 C E2 mnozinu tečh bodu, ktere lez í vne kruzniče k. Ponevadz bod [0,0] E A1 vyhovuje nerovniči x2 + y2 < 4, (12.5) vyhovuj í teto nerovniči i vsečhny body z A1, vsečhny body [x, y] E A2 vyhovuj í nerovniči x2 + y2 > 4. (12.6) Nerovniči x2 + y2 < 4 vyhovuj í tedy vsečhny body [x, y] E E2, ktere lez í uvnitr a na kruzniči k. Rovnič í x + y =1 je definovana prímka, ktera prot í na osu x v bode [1, 0] a osu y v bode [0,1]. Tato přímka rozdeluje rovinu (0xy) na dve poloroviny B1, B2. Označen í volme tak, ze počítek 0 = [0, 0] E B1. Ponevadz bod [0, 0] vyhovuje nerovniči x + y< 1, (12.7) 276 výhovuj í nerovnici (12.7) vsechný bodý [x,y] E B1 a pro bodý [x,y] E B2 plat í x+y > 1. Je tedý definičn ím oborem funkce (12.2) mnozina vsech bodu [x,y] E B1, ktere lez í uvnitř a na obvodu kruznice k. Viz obr. 12.3. Obrázek 12.3: Definiční obor funkce (12.2) DefiniceA 12.2. (Spojitost funkce v oblasti D) Necht n E N a D je oblast, resp. užavfena oblast v En, v níž je definovana funkce Z f (x1, ^ ^ ^ , xn). Necht X0 = [x°l,...,x°n] E D. Řekneme, že funkce f (X) je v bodě X0 = [x\, • • • ,xn] E D spojita, jestliže • Je v nem definovana • Ke každému žíslu e > 0 existuje takoví kladní žíslo í , že hodnota funkce f (X) v každem bode X E D vždalenem od bodu X0 o meně než í se ližíod hodnoty funkce f v bode X0 o míně než e, tj. Q(f (X),f (X0) < e. Poznámka. Jestliže funkce je spojitá v každ é m bode množiny D, budeme říkat, že je spojitá na D. ZjiSten í, žda dan á funkce je spojitá v uvažován e m bode by bylo podle teto definice velice obt ížn e . Spojitost řady funkcí odvod íme že žnalosti spojitosti funkcí jedn e promenn e podle následuj ících vet. Poznámka. Uvažujme funkci jedn e promenn e z = 3xi + 1. (12.8) 277 Tuto funkci lze přepsat na tvar, obsahuj ící více promennych, např. na funkci z = 3xi + 0x2 + 0x3 + 1. (12.9) Potom (12.9) a tedy i (12.8) lze chapat jako funkci trí promennych x1,x2,x3. Budeme ríkat, ze funkce (12.8) vznikla z (12.9) vypusten ím nevyznamnych promennych x2,x3, resp. ze funkce (12.9) vznikla z (12.8) přid a n ím nevyznamn ych promennych x2,x3. Ponevadz funkce (12.8) je spojit a v kazd e m bode x1, je v kazd e m bode [x1 ,x2,x3] spojita i funkce (12.9). Kazdou funkci f jedné proměnné x1 lze chápat zároveň jako funkci F (x) = f (x1) + 0.x2 + ... + 0.xn n— proměnnách. Mésto F budeme opět psat f. Je-li funkce f jedné promenné spojitá v bodě x1 = a, potom i funkce f, chápaná jako funkce n promennách x1,... ,xn, je spojita v bode [ l\, kde x<2,..., x'n jsou libovolna ěésla. Poznamenejme, ěe elementarné funkce jedne proměnné jsou spojité ve svem definiěném oboru. Veta 12.3. Spojitost součtu, součinu a podílu funkcí Necht n E N a nechť D je oblast (resp. uzavěené oblast) v En. Necht funkce f (X ),g(X) jsou dane funkce spojite v bode X0 E D . Potom i funkce f (X) ± g(X ),f (X ).g(X) jsou spojite v bode X0. Je-li navíc g(X0) = 0, je i funkce spojita v bode X0. 278 Složená funkce a její spojitost Dríve, nez přistoup íme ke studiu teto c a sti textu, zopakujte si pojem slozen e funkce jedn e promřenn e a vřetu o spojitosti slořzen e funkce jedn e promřenn e. DefiniceA 12.4. (Slozena funkce n-promennych) Necht Q je oblast (resp. uzavěena oblast) v prostoru Em a necht. D je oblast (resp. uzavěena oblast) v En. Necht z = f (y1,...,ym) je funkce definovana na q. Necht funkce y1 = 0 h h->0 h (12.14) Tuto derivaci nazýváme parciální (částečnou) derivací funkce f (x,y) podle x v bode [x0,y0]. Jestliže bod x0 je levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, nahradíme limitu v (12.14) limitou zprava (zleva) v bode h = 0. Bod [x0,y0] muže být libovolný z Q. Místo x0,y0 piSme x,y. Parciální derivaci funkce f (x,y) v bode [x, y] budeme znacit jako ^fdxŔ, nebo fX(x,y) nebo fx(x,y). Ponevadz v (12.10) jsme oznacili funkci f (x, y) jako z, muzeme tez psát dz dx' zx, zx. Chceme-li význacit, ze se jedná o parciální derivaci v bode [x0,y0], muzeme pouzít např. týto za pisý d~Í^, (f) , fX(x0,y0), fx (x0.y0). zX(x0.y0). zx(x0,^). °x \ax = f (x,y) / ^> "Ss^ z = f (x,yo) 0 ./ y0 \ L 'X0,y0], Obrázek 12.4: Geometrická váznam parciálních derivací. Označili jsme g(x) = f (x,yo) a poloZili jsme (^)[x0,y0] = g(xo). Rovnicí z = 9(x), tj. z = f (x,yo) je definovaná křivka, označená na obra zku 12.4 jako 1C. Rovnic í z = h(y), tj. z = f (xo ,y) je definovana křivka, označená na obra zku 12.4 jako 2C. Je tedy f g/(xo) a) fh/(yo)=m ) \dxJ [xoyo] V ^9yJ lxo,Vo]J [xoyo] V \dy/ [xo,yo], smernice tecný -4 (2í) ke křivce lC (2C) v jej ím bode T. Xo X 283 Zavedení parciálních derivací funkcí //-proměnných Uvažujme nyní funkci n-proměnných z = f(xi,X2,...,Xn), n e N, X =[xi,...,Xn] e Q C En. (12.22) Zvolme i e {1, 2,..., n}. Dosad'me ža každou proměnnou Xj, j = 1, 2,... ,n, j = i, v (12.22) pevnou hodnotu x0. Dostali jsme tak funkci jedně proměnně xi, ožnaCme ji %g(Xi). Dostavame g(xi) f (x1j • ■ ■ j Xí-\) XiJ X°+1j • ■ ■ j Xn). (12.23) Jestli tato funkce ma v Císle x° derivaci ig'(x<°), nazveme ji parciainí derivací funkce (12.22) podle Xi v bodě X° = [xl,...,x°-1,x°,x°+1, ... ,xn] e Q. Znac íme ji jedn ím že symbolu Bod X° = [x1,x2,... ,xn] může být libovolný bod z Q. M isto parci a In ích derivac ív bode X° je můžeme uvažovat v bode X = [xi,x2,... ,xn]. Parciain i derivace dz — , % = 1, 2,...,n oxi naz ývame parciálními derivacemi prvního řádu. Příklad 12.5. Uvažujme fůnkci xi sin 22 Tato funkce je definovan a v každ ě m bodě X = [x1jX2jX3] e E3, X = [x1,x2, 0]. Urceme . Derivujme (12.25) podle proměnn ě x2. Proměnn ě x1ľ x3 uvažujeme jako konstanty. Dost av ame az x1— cos x • (xi + x3 + 1) — x1 sin x • 2x2 Upravu prenechávam ctenari. 284 Zavedení parciálních derivací vyšších řádů. Předpokládejme, Ze funkce z = /(xi,x2, • • • ,xi, • • • ,x„), X = [xi, • • • ,xi, • • • ,x„] E Q C En (12.26) je definován a na Q C En a m a parciá ln í derivace —, i =1,2,...,n (12.27) v kaZd e m bode X = [xi,x2, • • • ,xn] E Ql C Q. MůZeme se na ne tedy d ívat jako na funkce n-promennych na Qi. JestliZe parci a ln í derivace ma parcialn í derivaci podle xj v bode X0 = [xl, x2, • • • ,xn], oznac íme ji j ^q0^ • Uved'me si nekolik dals ích uZ ívanych oznacení d2/(X) d2/(Xo) j, dx cx ' Zxixj (X0)' zXiXj (X0)' fx'ix, (X0)' /xixj (Xo)- (12.28) Nazývame ji druhou parci aln íderivac í funkce / podle xi,xj (v tomto porad í) v bode X0. JestliZe i = j, p íšeme vetšinou m ísto q^.^. , resp. z"x2 m ísto z'XiXi. JestliZe i = j, nazývame parci a ln í derivaci -^-Ř— sm ísenou. Příklad 12.6. Nechť o 2 4 3 - -i "V • "V • "V • - O.X i .X 2X 3 . Vypoc ítejte vsechny jej í parci a ln í derivace 2. řadu. Napred vypoc ítame parcialn í derivace 1. ra du. Dost a v ame c z 4 3 c z 2 3 3 c z 2 4 2 — 6xix2x3' ~ — 12xix2x3' ~ — 9xix2x3- cxl cx2 cx3 Prikrocme k vypoctu vsech parcialn ích derivac í 2. ří du. Dostí va me c 2z c 2z c 2z ôx} =6x2x3' dxidx~2 =24xix2x3' dxi~ôx~3 =18xix2x3' c 2z c 2z c 2z — 24x ix2x3' ~ 2 — 36x 2x2x3' ~ ~ — 36x 2x3x3' i 2 3 2 i 2 3 cx2cxi cx22 cx2cx3 c 2z 4 2 c 2z 2 3 2 c 2z 2 4 — 18xix2x3' ~ ~ — 36xix2x3' ~ 2 — 18xix2x3- cx3cxi 2 3 cx3cx2 i 2 3 cx23 Poznamka. Vsimneme si, Ze v tomto príklade je c 2z c 2z c xic xj c xjc xi Jinymi slovy, v tomto prípade nez aleZ í na pořad í deriviva n í. 285 Podobně se definují parciální derivace vyšších řádů. Je-li dána např. funkce Z = f(X), X =[x1,X2,...,Xn], X E Q C En, (12.29) potom např. parciální derivace 3. řádu ďJ»Xi obdržíme takto. VypoCítáme . to znamená, že xi,x3... ,xn považujeme za pevne hodnoty a derivujeme (12.29) podle x2. Predpokladáme, že tato derivace existuje na jiste podmmnožine q1 C q. V dalSím kroku derivujeme funkci JJX- opet podle promenne x2, tj. pocítejme (JX-). To znamená, že x1,x3... ,xn ve funkci JI- považujeme ža pevne hodnoty a derivujeme ji podle x2. Predpokladáme, že tato derivace existuje na jiste podmmnožine q2 C q. Dostaneme tak na -- q2 funkci . V dalsím kroku derivujeme funkci q-, definovanou na q2, podle promenne x1. To žnamená, že x2,x3... ,xn považujeme ža pevne hodnoty a derivujeme funkci J-, definovanou na q2, podle x1. Jestliže tato parciální derivace existuje na q3 C q2, míme v každem bode množiny q3 definovanou parciální derivaci dX--xl. Je otážkou, co lže ríci o vžájemnem vžtahu maži parciálními derivacemi a 21 , «—° Jfl , ' J r ox-oxi ox-oxiox- dxi qx2 . Tyto parciální derivace se lisí poradím promennych, podle nichž jsme provádeli derivování. Platí tato veta. Veta 12.6. Necht funkce n-promenných Z = f (X), X = [xi,x2,. . . ,x,n], X E Q ma v jistem okolí Us (X°), X0 E Q, spojité všechny parciální derivace řádu k, potom nezáleží na pořadí proměnných, podle nichž derivujeme. Tedy např. má-li funkce f (x1,x2) v okol í bodu X0 = [x°,x2] spojit e vsechny parciáln í derivace 2. rá du, potom a° f = a° f . Poznámka. Veta 12.6 je vyslovena ža ponekud silnejsích předpokladu, než je nutno. Příklad 12.7. Nechť z = x3y2r. Potom platí dx = 3x2V2t4, -fdy. = 6x2yt4, = 24x2yt3. dx oxoy oxoyot Podobnře 2 3 Z 2Z 3Z m =4xhy2ŕ- mäy = Sx'yr- alaya-x = 24xřyl?- Vidíme, že a= aJJ!za . K tomuto žáveru bychom prisli prímo užitím vety 12.6, oxoyot otoyox j r r j nebot vsechny parciáln í derivace funkce z = x3y2t4 jsou spojite ve E3. 286 Parciální derivace složené funkce Před započetím studia této problematiky si zopakujte výpočet derivace složené funkce jedné promenne. Veta 12.7. (Derivace složené funkce) Necht. funkce fi(X), X = [xi}... ,xn] £ En, i = 1, 2,... ,m, mají všechny parciální derivace v bode X0 = [x\,... ,x°n}. Necht. funkce z = f (Y), Y = [yi}...,ym], má špojite všechny parciální derivace 1. řádu v bode Y0 = [y0^,..., ym ], kde y0 = fi(X °), i = 1, 2,... ,m. Potom složená funkce z = F (X ) = f ([M*),-.., (X)]) má v bode X0 všechny parciální derivace 1. řádu a platí dF(X0) ™ df (Y0) on(Xo) dxi 4=1 dyi dxi ' i = 1, 2,... ,n. Příklad 12.8. Nechť z = x/i + (x + y)2, [x, y] e E2. (12.30) VypoCíteite . Řešení. Funkce (12.30) je složená funkce. Funkce z = f (u), kde f (u) = y/u, je její vnejší složkou á u = tp(x,y), kde f(x,y) = 1 + (x + y)2, je její vnitřní složkou. Podle vety 12.7 dostáváme dz 1 1 , -7T- =--, =2(x + y). Po úprave dostáváme d z x + y dx yj1 + (x + y)2 Párciální derivácí funkce ^ podle y dostívíme (12.31) dxdy (V1 + (x + y)2)2 Uprávou dostáneme d 2z =_1_ dxdy (\ + (x + y)2} x/1 + (x + y)2' 287 Tečna k prostorové křivce a tečná rovina k ploše. Začneme se zavedením pojmu tečny ke křivce. TeCna ke křivce. Necht: Xi = T = [x°1,... ,xPn, z0] bod na plose z = F(x1,... ,xn). Potom rovina z - z = {ôx-1) To - x1) + ---+{dx-n)To ~ je tecnou rovinou k plose z = F(x1,..., xn) v bode T. 290 Příklad 12.10. Napište rovnici tečné roviny k ploše z = \Jx2 + y2 v bodě T = [4, 3, ?] na dané ploše. Řešení. Napřed určíme z. Doštavame zo = V42 + 32 = 5. Určíme parciainí derivace 1. radu funkce z = \Jx2 + y2 v bode T0 = [4, 3]. Dostavíme z x z y z 4 z 3 dx \Jx2 + y2' dy yjx2 + y2' \dx) m 5, \dy) ^ 5' Tedy hledanou tečnou rovinou je rovina t = z - 5= 5(x - 4) + 5(y - 3). 12.1.1 Totální diferenciál Totální diferenciál funkce dvou pramenných Pred započetím študia teto podkapitoly ši zopakujte diferenciai funkce jedne promenne. Definice 12.1. (Totální diferenciál funkce z = f (x, y)) Necht; z = f (x,y) je funkce definovana v danem 5-okolí Us ([a, b]) bodu [a,b]. Necht; funkce f(x,y) m a v bode [a,b] špojite parcialn í derivace f, f. Potom funkci df v pramenných h, k, danou vztahem naz yvame totálním diferenciálem funkce f (x,y) v bode [a, b]. Pro takto zaveden y tota ln í diferenci a l plat í tato veta. Veta 12.8. Necht, funkce z = f (x, y) má v bode [a, b] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existují 5 > 0 a funkce n (h, k) tak, že pro h, k, pro něž [a + h, b + k] E 3Us ([a, b]) 1) platí f (a + h,b + k) - f (a, b) = (f )[a b h + (g) a k + n(h, k), (12.36) Äo,M = 0. ' (12.37) x) 3Us([a, b]) je okolí bodu [a, b] určené metrikou g3. 291 Poznámka. V diferenciálu (12.35) se často místo h, k píše dx, dy. Diferenciál df funkce f (x,y) v bode [a,b] se pak zapisuje takto Příklad 12.11. Napište diferenciál funkce z = x3y4 v bodě [2, 3]. Řešení. Funkce z = x3y4 ma špojite parciální derivace v kazdem bode [x,y], tedy i v bode [2,3]. Podle (12.35) dostávame dz = (3x2y4)[2 ,3]dx + (4x3y3)[2 }3]dy, tj. dz = 972 dx + 864 dy. Analogicky lze zavešt diferencial funkce n-promennych. Definice 12.2. Necht; funkce z = f (X), X = [x1}... ,xn], n E N, má v oblasti Q špojite parcialní derivace 1. radu. Potom df = (far) dxi + ••• + ( dxn (12.38) nazývame totalním diferencialem funkce z = f (X) v bode X = [x1y... ,xn] E Q. Je tedy df v bode X funkcí promenných dxi,..., dxn. Veta 12.9. Necht funkce z = f (X), X =[xl)...)Xn] mé v bodě X0 =[x°1,..., x0n] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existuje 5 > 0 a funkce r](dx1}... ,dxn) tak, že pro dxi,..., dxn, pro něž [x? + dxi,... ,xn + dxn] E Us(X0) platí f (x1 + dx1, . . . , xn + dxxn) f , . . . , xn) p-) +-----+( t^-) + n(dxi,...,dxn), Sdx1 J X0 \dxnJ X0 pri cemz limita dí^l'■ ■ ■ t^te | v bode [0,..., 0] ma hodnotu 0. Důkaz: DUkaz je analogický jako dUkaz speciálního prípadu n = 2 uvedenem ve vete 12.8. n Z teto vetý vyplýva, Ze f (x1 + dx1; . . . + dxn) — f (x?) . . . , xn) ~ ^ dx~^J + ' ' ' + ^ dx ) dxn. 292 Totáln ídiferenci á I vyjadřuje př írustek na tečn é rovině, přejdeme-li z bodu X° = [x°,... ,x°n] do bodu X = [x° + dx\,... ,xn + dxn]. 12.2 Extrémy funkcí více proměnných Lokální extrémy Lokáln íextre my funkc í n-promenn ych zavá d íme analogicky jeko u funkc í jedn e promenn e. Definice 12.3. Necht /(X), X = [xi' x2'...' xn], je funkce n-promennych definovana na oblasti fž. Necht X0 = [x0'x0,}...}x°n] E f. Nechť existuje 5> 0 tak, Ze Us(X0) c ff a Ze pro vsechna X E U (X0) platí /(X) < /(X0) (/(X) > /(X0)). Potom ríka me, Ze funkce / m a v bode X0 lokálni maximum (lokálni minimum). Lokaln í maxima a lokaln í minima naZyvame spolecnym n a Zvem lokáln i extrémy. Necht! existuje 5 > 0 tak, Ze U (X0) c f a Ze pro vsechna X E U (X0), X = X0 platí /(X) < /(X0) (/(X) > /(X0)). Potom ríka me, Ze funkce / ma v bode X0 vlastn í lokáln í maximum (vlastn i lokáln í minimum). Vlastn í lok íln í maxima a vlastn í lokaln í minima naZyvame spolecnym naZvem vlastn í lokáln í extrémy. Z teto definice je patrno, Ze jestliZe funkce / (X) ma v bode X0 lok a ln í maximum (minimum), potom maj í i vsechny funkce v bode xj, i = 1, 2,... ,n, lok a In í maximum (minimum). Ma-li tedy funkce Fi(t), i = 1, 2,..., n, v bode x° derivaci, je rovna 0. Podle definice parci a ln í derivace funkce f je vSak derivace funkce Fi(t) v bode x° rovna parcialn í derivaci funkce f (X) podle xi v bode X°, takZe F (x°) = (X °) = 0, i =1, 2,...,n. 293 Funkce f (X), X = [x1,... ,xn], definovana na oblasti Q, muže nabývat lokalní extrem pouze v tech bodech, v nichž ma všechný parciální derivace 1. řadu rovný 0, nebo v těch bodech, v nichž nema některou parcialní derivaci. Bod X0 E Q, v nemž ma funkce f věechný parcialní derivace 1. ěadu rovný nule, se nazýva stacion a rn ím bodem funkce f. Příklad 12.12. Urcete stacionarn í body funkce z = x3 + y3 - 3xy. (12.39) Řešení. Vypoc ítejme parci a ln í derivace 1. řadu. Dostaví me dz 2 dz 2 — = 3x - 3y, — = 3y - 3x. dx dy Stacion a rn í body jsou ty body [x, y], pro nez plat í dx ' dy Z techto podm ínek dostavame syste m rovnic 3x2 - 3y = 0, (12.40) 3y2 - 3x = 0. (12.41) Je to syste m nelinearn ích rovnic o dvou nezn am ych. Z (12.40) vypoc ítí me y. Dostavame y = x2. (12.42) Dosazen ím (12.42) do (12.41) dostavame x4 - x = 0. Tuto rovnici lze prepsat na tvar x(x - 1)(x2 + x + 1) = 0. (12.43) Z (12.43) dosta vame x1 = 0, x2 = 1. Dals í dva koreny dostaví me řesen ím rovnice x2 + x +1 = 0. Tyto koreny jsou komplexne sdruzen e. Ponevadz uvazujeme jenom realn e body, nebudeme je uvazovat. Dosad íme-li x = 0 do (12.42), dostava me y = 0. Dosad íme-li x =1 do (12.42), dostvame y = 1. M a tedy funkce (12.39) dva stacionarn í body A[0,0], B [1,1]. Funkce y = x3 + y3- 3xy mí parcialn í derivace ve vsech bodech. Na z aklade dosavadn ích uvah vyplyva , ze vysetřovana funkce muze m ít lok a ln í extre my pouze v bodech A, B. 294 Uvažujme nyn í opět funkci z = f (X), X = [x\,..., xn] n-promennych, definovanou na oblasti q. Budeme vyšetřovat, žda funkce f (X) m a ve stacion a rn ích bodech extrě m. ZaCneme s případem n = 2, tedy s funkcemi z = f (x,y) dvou promenných na oblasti q. Necht bod [a,b] £ q je stacion a rn ím bodem funkce f (x,y). Podle Taylorovy vety pro k = 1 dostava me / (a + h,b + k) = / (a, b) + 1! ~(dĹ) h +(dl) k \dx) [a,b] V SV) [a,b] _ k + R-2, (12.44) kde R2 1 2! {[dx2)[tV]h +K dxdy) ) (12.45) Bod n] je na úsečce o koncových bodech [a,b], [a + h,b + k]. Poněvadž [a,b] je stacioná rn ím bodem fúnkce /, je (f )[a>b] = 0, ()[a,b] = 0. Proto (12.44) lže žapsat jako /(a + h,b + k) - /(a,b) = R2. (12.46) Je-li tedý R2 > 0 (R2 < 0) pro vSechna dostatecne mala h, k,ma fúnkce / v bode [a,b] lok ainí minimům (maximům). Rozborem R2 se dokaže tato veta. Veta 12.10. Necht funkce / (x, y) ma v jistém okolí Us ([a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Necht: Í9x) [a,b] 0 Pro body [x,y] E Us([a,b]) položme a(x,y) = y [a b] 0. d2f dx2 dxdy d2f df dxdy dy2 Je-li a(a,b) > 0, má funkce extrem. Je-li a(a,b) < 0, nemá / (x,y) v bode [a,b] lokální funkce / (x,y) v bode [a,b] lokální extrém. V případě, že a(a,b) > 0 a ( ){a ,b] > (< 0) mí funkce f (x,y) v bodě [a,b] vlastní lokální minimum (maximum). 0 1 Příklad 12.13. Zjistili jsme, že fúnkce z = x3 + y3 — 3xy m a dva stacion a rn í bodý A[0,0], B[1,1]. Rožhodnete, žda tato fúnkce ma v techto bodech lok aln í extre mý. 295 Řešení. Funkce z = x3 + y3 — 3xy m a spojite parci a ln í derivace 2. ra du ve vsech bodech. Vypoctem dostavame d2z d2z 6x, dx2 32z 3 32z o dxdy dydx ' dy2 Tedy A(x,y) 6x — 3 -3 Oy 36xy — 9. Poněvadž A(0, 0) = —9 < 0, nema vyšetřován a funkce ve stacionarln ím bodě [0, 0] lokaln í extre m. Ponevadž A(1,1) = 36 — 9 = 27 > 0, m a vyšetřovaná funkce ve stacionarn ím bode [1,1] loká ln í extre m. Ponevadž cřz_ dx2 ) [i.i] (6x)[i,i] = 6 > 0, m a vysetřovan a funkce v bode [1,1] loká ln í minimum. Pro funkce n-promenných plat í analogicka veta. veta 12.11. Nechť funkce f (X), X = [x1)x2)... ,xn] je definovaná na oblasti Q. Necht: X0 [x^x^,..., xn] je jejím stacionárním bodem, tj. necht: \dxij Xo \dxnJ Necht v jistím okolí Us (X0) má funkce f (X) spojite všechny parciální derivace 2. řádu. Označme d2f df 8x28x1 8x2 82f 82f 8xk8xi 8xk8x2 d2f 8x\8xk 82f 8x28xk 8f 8xj. , k =1, 2,...,n. Je-li Di(X0) > 0, D2(X0) > 0,..., Dn(X°) > 0 (Di(X0) < 0, D2X0) > 0,..., (—1)nDn(X0) > 0), má funkce f v bodě X0 lokální minimum (maximum). 296 Příklad 12.14. Určete loká In í extré my funkce u = x2 + y2 + z2 + xy — Řešení. Položme párci áln í derivace uUx = 2x + y — z, uU = 2y + x, xz. u'z = 2z x rovny nule. Řešen ím vžnikl e ho syste mu rovnic určíme jediny stácion á rn í bod [0, 0, 0]. Pomoc í mátice U'XX u u xz 2 1 -1 u u yy u yz = 1 2 0 v u Mzx u zy uz z ) 0 2 urc i me Di = 2, D2 = 21 12 D3 2 1 -1 120 1 0 2 Protože Di > 0, D2 > 0, D3 > 0, m á vyšetřován á funkce v bode [0, 0, 0] ostre lokáln í minimum. Globální etxrémy Necht funkce f (X) je definovaná na užávřen e oblasti Q (tj. na sjednocen í oblasti s jej í hranie í). Řekneme, že funkce f (X) n-promenných m a globa ln í (absolutn í) maximum v bode X0 E Q, jestliže pro vsechny body X E Q plat í f (X) < f (X °). Podobne rekneme, že funkce f (X) n-promenných m a globaln í (absolutn í) minimum v bode X° E Q, jestliže pro vsechny X E Q plat í f (X) > f (X °). Globaln í maxima a globa ln í minima se nažyvaj í spolecnym nažvem globálni extrémy. Plat í tato veta. Vétá 12.12. Necht funkce n-proménych f (X) je spojitá na uzavřené oblasti Q. Potom má na Q globálni maximum a globálni minimum. Je-li X0 bod, v němž funkce f nabyvé na Q globálni maximum (minimum), potom X0 je bud hraničním bodem Q, anebo funkce f mé v nem lokální maximum (minimum). Jako príklad naležen íglob a ln ího minima funkce f (X) n-promennych uveďme n a sleduj íc í pr íklad. 297