Analýza rozptylu jednoduchého třídění
Motivace: Zajímáme se o problém, zda lze určitým faktorem (tj. nominální náhodnou veličinou A) vysvětlit variabilitu pozorovaných
hodnot náhodné veličiny X, která je intervalového či poměrového typu. Např. zkoumáme, zda metoda výuky
určitého předmětu (faktor A) ovlivňuje počet bodů dosažených studenty v závěrečném testu (náhodná veličina X).
Předpokládáme, že faktor A má r ≥ 3 úrovní a přitom i-té úrovni odpovídá ni pozorování iin1i X,,X  , které tvoří náhodný
výběr z rozložení N(μi, σ2
), i = 1, ..., r a jednotlivé náhodné výběry jsou stochasticky nezávislé, tedy Xij = μi + εij, kde εij jsou
stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
), i = 1, …, r, j = 1, …, ni.
Výsledky lze zapsat do tabulky
faktor A výsledky
úroveň 1 1n111 X,,X 
úroveň 2 2n221 X,,X 
… …
úroveň r rrn1r X,,X 
Ilustrace:
Na hladině významnosti α testujeme nulovou hypotézu, která tvrdí, že všechny střední hodnoty jsou stejné, tj.
H0: μ1 = … = μr proti alternativní hypotéze H1, která tvrdí, že aspoň jedna dvojice středních hodnot se liší.
Jedná se tedy o zobecnění dvouvýběrového t-testu a na první pohled se zdá, že stačí utvořit 





2
r
dvojic náhodných výběrů a
na každou dvojici aplikovat dvouvýběrový t-test. Hypotézu o shodě všech středních hodnot bychom pak zamítli, pokud
aspoň v jednom případě z 





2
r
porovnávání se prokáže odlišnost středních hodnot. Odtud je vidět, že k neoprávněnému zamítnutí
nulové hypotézy (tj. k chybě 1. druhu) může dojít s pravděpodobností větší než α. Proto ve 30. letech 20. století vytvořil
R. A. Fisher metodu ANOVA (analýza rozptylu, v popsané situaci konkrétně analýza rozptylu jednoduchého třídění),
která uvedenou podmínku splňuje.
Pokud na hladině významnosti α zamítneme nulovou hypotézu, zajímá nás, které dvojice středních hodnot se od sebe liší.
K řešení tohoto problému slouží metody mnohonásobného porovnávání, např. Scheffého nebo Tukeyova metoda.
Označení:
V analýze rozptylu jednoduchého třídění se používá tzv. tečková notace.


r
1i
inn … celkový rozsah všech r výběrů


in
1j
ij.i XX … součet hodnot v i-tém výběru
.i
i
.i X
n
1
M  … výběrový průměr v i-tém výběru
 

r
1i
n
1j
ij..
i
XX … součet hodnot všech výběrů
.... X
n
1
M  … celkový průměr všech r výběrů
Zavedeme součty čtverců
  

r
1i
n
1j
2
..ijT
i
MXS … celkový součet čtverců (charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorování kolem celkového průmě-
ru),
počet stupňů volnosti fT = n – 1,
 

r
1i
2
...iiA MMnS … skupinový součet čtverců (charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými náhodnými výběry),
počet stupňů volnosti fA = r – 1.
Sčítanec  ...i MM  představuje bodový odhad efektu αi.
  

r
1i
n
1j
2
.iijE
i
MXS … reziduální součet čtverců (charakterizuje variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů),
počet stupňů volnosti fE = n - r.
Lze dokázat, že ST = SA + SE.
(Důkaz je proveden např. ve skriptech Budíková, Mikoláš, Osecký: Popisná statistika v poznámce 5.20.)
Testování hypotézy o shodě středních hodnot
Náhodné veličiny Xij se řídí modelem
M0: Xij = μ + αi + εij
pro i = 1, …, r, j = 1, …, ni , přičemž
εij jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
),
μ je společná část střední hodnoty závisle proměnné veličiny,
αi je efekt faktoru A na úrovni i.
Parametry μ, αi neznáme.
Požadujeme, aby platila tzv. reparametrizační rovnice: 0n
r
1i
ii 
.
(Pokud je třídění vyvážené, tj. pokud mají všechny výběry stejný rozsah: n1 = n2 = … = nr, pak lze použít zjednodušenou
podmínku 0
r
1i
i 
.)
Kdyby nezáleželo na faktoru A, platila by hypotéza α1 = … = αr = 0 a dostali bychom model
M1: Xij = μ + εij.
Během analýzy rozptylu tedy zkoumáme, zda výběrové průměry M1, …, Mr se od sebe liší pouze v mezích náhodného kolísání
kolem celkového průměru M nebo zda se projevuje vliv faktoru A.
Rozdíl mezi modely M0 a M1 ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
AA
A
f/S
f/S
F  , která se řídí rozložením F(r-1,n-r), je-li model M1 správný. Hypotézu o nevýznamnosti faktoru A tedy zamítneme
na hladině významnosti α, když platí: FA ≥ F1-α(r-1,n-r).
Výsledky výpočtů zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu jednoduchého třídění.
Zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny SA fA = r - 1 SA/fA
EE
AA
fS
fS
reziduální SE fE = n - r SE/fE celkový
ST fT = n - 1 - Sílu
závislosti náhodné veličiny X na faktoru A můžeme měřit pomocí poměru determinace:
T
A2
S
S
P  . Nabývá hodnot
z intervalu 1,0 .
Testování hypotézy o shodě rozptylů
Před provedením analýzy rozptylu je zapotřebí ověřit předpoklad o shodě rozptylů v daných r výběrech.
a) Levenův test: Položme .iijij MXZ  . Označíme
 
 




 
 





r
1i
2
ZZiiZA
r
1i
n
1j
2
ZiijZE
r
1i
n
1j
ijZ
n
1j
ij
i
Zi
MMnS
,MZS
,Z
n
1
M
,Z
n
1
M
i
i
i
Platí-li hypotéza o shodě rozptylů, pak statistika
 
 rnS
1rS
F
ZE
ZA
ZA


 ≈ F(r-1, n-r).
Hypotézu o shodě rozptylů tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když FZA ≥ F1-α(r-1, n-r).
(Levenův test je vlastně založen na analýze rozptylu absolutních hodnot centrovaných pozorování. Vzhledem k tomu, že
náhodné veličiny Xij – Mi nejsou stochasticky nezávislé a absolutní hodnoty těchto veličin nemají normální rozložení, je
Levenův test pouze aproximativní.)
b) Brownův – Forsytheův test je modifikací Levenova testu. Modifikace spočívá v tom, že místo výběrového průměru i-tého
výběru se při výpočtu veličiny ijZ používá medián i-tého výběru.
c) Bartlettův test: Platí-li hypotéza o shodě rozptylů a rozsahy všech výběrů jsou větší než 6, pak statistika
    





 
r
1i
2
ii
2
* Sln1nSlnrn
C
1
B se asymptoticky řídí rozložením  1r2
 . Přitom konstanta
  








 
r
1i i rn
1
1n
1
1r3
1
1C a
S*
2
je vážený průměr výběrových rozptylů.
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když B se realizuje v kritickém oboru     ,1rW 1
2
.
Post – hoc metody mnohonásobného porovnávání
Zamítneme-li na hladině významnosti α hypotézu o shodě středních hodnot, chceme zjistit, které dvojice středních hodnot se
liší na dané hladině významnosti α, tj. na hladině významnosti α testujeme H0: μl = μk proti H1: μl ≠ μk pro všechna l, k = 1,
.., r, l ≠ k.
a) Mají-li všechny výběry týž rozsah p (říkáme, že třídění je vyvážené), použijeme Tukeyovu metodu.
Testová statistika má tvar
p
S
MM
*
.l.k 
. Rovnost středních hodnot μk a μl zamítneme na hladině významnosti α, když
 rn,rq
p
S
MM
1
*
.l.k


 , kde hodnoty q1-α(r, n-r) jsou kvantily studentizovaného rozpětí a najdeme je ve statistických tabulkách.
(Studentizované rozpětí je náhodná veličina
   
s
XX
Q
1n 
 .)
Existuje modifikace Tukeyovy metody pro nestejné rozsahy výběrů, nazývá se Tukeyova HSD metoda. V tomto případě má
testová statistika tvar








lk
*
.l.k
n
1
n
1
2
1
S
MM
. Rovnost středních hodnot μk a μl zamítneme na hladině významnosti α, když
 rn,rq
n
1
n
1
2
1
S
MM
1
lk
*
.l.k









 .
b) Nemají-li všechny výběry stejný rozsah, použijeme Scheffého metodu: rovnost středních hodnot μk a μl zamítneme na
hladině významnosti α, když
   rn,1rF
n
1
n
1
1rSMM 1
lk
*.l.k 





  .
Výhodou Scheffého testu je, že k jeho provedení nepotřebujeme speciální statistické tabulky s hodnotami kvantilů studentizovaného
rozpětí, ale stačí běžné statistické tabulky s kvantily Fisherova – Snedecorova rozložení.
V případě vyváženého třídění, kdy lze aplikovat Tukeyovu i Scheffého metodu, použijeme tu, která je citlivější. Tukeyova
metoda tedy bude výhodnější, když
q1-α
2
(r, n-r) < 2(r-1)F1-α(r-1, n-r).
Metody mnohonásobného porovnávání mají obecně menší sílu než ANOVA.
Může nastat situace, kdy při zamítnutí H0 nenajdeme metodami mnohonásobného porovnávání významný rozdíl u žádné
dvojice středních hodnot. K tomu dochází zvláště tehdy, když p-hodnota pro ANOVU je jen o málo nižší než zvolená hladina
významnosti. Pak slabší test patřící do skupiny metod mnohonásobného porovnávání nemusí odhalit žádný rozdíl.
Doporučený postup při provádění analýzy rozptylu:
a) Ověření normality daných r náhodných výběrů (grafické metody - NP plot, Q-Q plot, histogram, testy hypotéz o normálním
rozložení - Lilieforsova varianta Kolmogorovova – Smirnovova testu nebo Shapirův – Wilkův test).
Doporučuje se kombinace obou způsobů. Závěry učiníme až na základě posouzení obou výsledků.
Obecně lze říci, že analýza rozptylu není příliš citlivá na porušení předpokladu normality, zvláště při větších rozsazích výběrů
(nad 20), což je důsledek působení centrální limitní věty. Mírné porušení normality tedy není na závadu, při větším porušení
použijeme např. Kruskalův – Wallisův test jako neparametrickou obdobu analýzy rozptylu jednoduchého třídění.
b) Po ověření normality se testuje homogenitu rozptylů, tj. předpoklad, že všechny náhodné výběry pocházejí z normálních
rozložení s týmž rozpylem. Graficky ověřujeme shodu rozptylů pomocí krabicových diagramů, kdy sledujeme, zda je šířka
krabic stejná. Numericky testujeme homogenitu rozptylů pomocí Levenova testu, Brownova – Forsytheova testu (oba jsou
implementovány ve STATISTICE, Brownův – Forsytheův test v MINITABu) či Bartlettova testu (je k dispozici
v MINITABu).
Slabé porušení homogenity rozptylů nevadí, při větším se doporučuje mediánový test.
c) Pokud jsou splněny předpoklady normality a homogenity rozptylů, můžeme přistoupit k testování shody středních hodnot.
Předtím je samozřejmě vhodné vypočítat průměry a směrodatné odchylky či rozptyly v jednotlivých skupinách.
d) Dojde-li na zvolené hladině významnosti k zamítnutí hypotézy o shodě středních hodnot, zajímá nás, které dvojice středních
hodnot se od sebe liší. K řešení tohoto problému slouží post-hoc metody mnohonásobného porovnávání, např. Scheffého
nebo Tukeyova metoda.
Příklad: U čtyř odrůd brambor (označených symboly A, B, C, D) se zjišťovala celková hmotnost brambor vyrostlých vždy
z jednoho trsu. Výsledky (v kg):
odrůda hmotnost
A 0,9 0,8 0,6 0,9
B 1,3 1,0 1,3
C 1,3 1,5 1,6 1,1 1,5
D 1,1 1,2 1,0
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota hmotnosti trsu brambor nezávisí na odrůdě. Zamítnete-li
nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Data považujeme za realizace čtyř nezávislých náhodných výběrů ze čtyř normálních rozložení se stejným rozptylem.
Testujeme hypotézu, že všechny čtyři střední hodnoty jsou stejné.
Vypočítáme výběrové průměry v jednotlivých výběrech: M1. = 0,8, M2. = 1,2, M3. = 1,4, M4. = 1,1,
celkový průměr: M.. = 1,14,
výběrové rozptyly: S1
2
= 0,02, S2
2
= 0,03, S3
2
= 0,04, S4
2
= 0,01,
vážený průměr výběrových rozptylů:
 
720,0
110
3
11
01,0204,0403,0202,03
rn
S1n
S
r
1i
2
ii
2
* 






,
reziduální součet čtverců:   3,0
110
3
11SrnS
2
*E  ,
skupinový součet čtverců:           816,014,11,1314,14,1514,12.1314,18,04MMnS
2222
r
1i
2
...iiA  
celkový součet čtverců: ST = SA + SE = 0,816 + 0,3 = 1,116,
testová statistika
11/3,0
3/816,0
f/S
f/S
F
EE
AA
A  = 9,97,
Kritický obor W =     ,59,3,11,3F 95,0 . Protože testová statistika se realizuje v kritickém oboru, H0 zamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Vypočteme poměr determinace: 7312,0
116,1
816,0
S
S
P
T
A2

Výsledky zapíšeme do tabulky ANOVA:
Zdroj variability Součet čtverců Stupně volnosti podíl FA
skupiny SA = 0,816 3 SA/3 = 0,272  
 rnS
1rS
E
A


= 9,97
reziduální SE = 0,3 11 SE/11 = 0,02727 celkový
ST = 1,116 14 - Nyní
pomocí Scheffého metody zjistíme, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti 0,05.
Srovnávané odrůdy Rozdíly .l.k MM  Pravá strana vzorce
A, B 0,4 0,41
A, C 0,67 0,36
A, D 0,3 0,41
B, C 0,2 0,40
B, D 0,1 0,44
C, D 0,3 0,40
Na hladině významnosti 0,05 se liší odrůdy A a C.
Řešení pomocí systému STATISTICA
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a odrůda a 15 případech. Do proměnné X zapíšeme zjištěné hmotnosti,
do proměnné odrůda kódy pro dané odrůdy (1 pro A, 2 pro B, 3 pro C a 4 pro D).
1
X
2
odruda
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,9 A
0,8 A
0,6 A
0,9 A
1,3 B
1 B
1,3 B
1,3 C
1,5 C
1,6 C
1,1 C
1,5 C
1,1 D
1,2 D
1 D
Ověříme normalitu daných čtyř náhodných výběrů pomocí N-P plotu:
odruda: A
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
odruda: B
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
odruda: C
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
odruda: D
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
Odchylky od normality jsou jen nepatrné.
Vypočteme výběrové průměry a výběrové rozptyly:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK – Proměnné – Závislé – X, Grupovací odrůda
– OK – Skupiny tabulek - zaškrtneme Rozptyly - Výpočet.
Rozkladová tabulka popisných statistik (priklad8301)
N=15 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
odruda X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
X
Rozptyl
A 0,800000 4 0,141421 0,020000
B 1,200000 3 0,173205 0,030000
C 1,400000 5 0,200000 0,040000
D 1,100000 3 0,100000 0,010000
Vš.skup. 1,140000 15 0,282337 0,079714
Nyní ověříme předpoklad shody rozptylů.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Levenův test – Výpočet.
Leveneův test homogenity rozpylů (priklad8301)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,018667 3 0,0062220,065333 11 0,0059391,0476190,410027
Vidíme, že p-hodnota Levenova testu je 0,41, tedy větší než hladina významnosti 0,05. Hypotézu o shodě rozptylů
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Přistoupíme k testu hypotézy o shodě středních hodnot.
Na záložce Skupiny tabulek zaškrtneme Analýza rozptylu – Výpočet.
Analýza rozptylu (priklad8301)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,816000 3 0,2720000,300000 11 0,0272739,9733330,001805
Jelikož p-hodnota = 0,001805 je menší než hladina významnosti 0,05, hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Výpočet doplníme krabicovými diagramy:
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
A B C D
odruda
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
X
Nyní aplikujeme Scheffého metodu mnohonásobného porovnávání, abychom zjistili, které dvojice odrůd se liší na hladině
významnosti 0,05. Na záložce Post – hoc zvolíme Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:X (priklad8301)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
odruda
{1}
M=,80000
{2}
M=1,2000
{3}
M=1,4000
{4}
M=1,1000
A {1}
B {2}
C {3}
D {4}
0,059165 0,001950 0,190463
0,059165 0,464537 0,905502
0,001950 0,464537 0,163499
0,190463 0,905502 0,163499
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro vzájemné porovnání středních hodnot hmotnosti všech čtyř odrůd. Vidíme, že na hladině
významnosti 0,05 se liší odrůdy A, C.
Význam předpokladů v analýze rozptylu
a) Nezávislost jednotlivých náhodných výběrů – velmi důležitý předpoklad, musí být splněn, jinak dostaneme nesmyslné
výsledky.
b) Normalita – ANOVA není příliš citlivá na porušení normality, zvlášť pokud mají všechny výběry rozsah nad 20
(důsledek centrální limitní věty). Při výraznějším porušení normality se doporučuje Kruskalův – Wallisův test.
c) Shoda rozptylů – mírné porušení nevadí, při větším se doporučuje Kruskalův – Wallisův test. Test shody rozptylů má
smysl provádět až po ověření předpokladu normality.
Neparametrické testy o mediánech
Motivace: Při aplikaci t-testů či analýzy rozptylu by měly být splněny určité předpoklady:
- normalita dat (pro výběry větších rozsahů (n ≥ 30) nemá mírné porušení normality závažný dopad na výsledky)
- homogenita rozptylů
- intervalový či poměrový charakter dat
Pokud nejsou tyto předpoklady splněny, použijeme tzv. neparametrické testy, které nevyžadují předpoklad o konkrétním
typu rozložení (např. normálním), stačí např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení, z něhož náhodný výběr pochází,
je spojitá.
Nevýhoda - ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou neparametrické testy slabší, tzn., že nepravdivou hypotézu
zamítají s menší pravděpodobností než testy parametrické.
V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy, které se týkají mediánů.
Jednovýběrové testy (Jde o neparametrické obdoby jednovýběrového t-testu a párového t-testu.)
Znaménkový test a jeho asymptotická varianta
Nechť n1 X,,X  je náhodný výběr ze spojitého rozložení. Nechť 50,0x je mediánem tohoto rozložení a c je reálná konstanta.
Testujeme hypotézu cx:H 50,00  proti oboustranné alternativě cx:H 50,01  (resp. proti levostranné alternativě
cx:H 50,01  resp. proti pravostranné alternativě cx:H 50,01  ).
Znaménkový test se nejčastěji používá jako párový test, kdy máme náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení












n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
 a testujeme hypotézu o rozdílu mediánů, tj. cyx:H 50,050,00  proti cyx:H 50,050,01  (resp. proti jednostranným
alternativám). Přejdeme k rozdílům nnn111 YXZ,,YXZ   a testujeme hypotézu o mediánu těchto rozdílů, tj.
cz:H 50,00  .
a) Utvoříme rozdíly cXD ii  pro jednovýběrový test resp. cZD ii  pro párový test, n,,1i  . (Jsou-li některé rozdíly nulové,
pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.)
b) Zavedeme statistiku 
ZS , která udává počet těch rozdílů Di, které jsou kladné. 
ZS je součtem náhodných veličin
s alternativním rozložením (i-tá veličina nabývá hodnoty 1, když i-tý rozdíl je kladný a hodnoty 0, když je záporný). Platí-li
H0, pak pravděpodobnost kladného i záporného rozdílu je stejná, tedy 
ZS ~  2
1
,nBi . Z vlastností binomického rozložení
plyne, že   2
n
ZSE 

,   4
n
ZSD 

.
c) Stanovíme kritický obor.
Pro oboustrannou alternativu: n,kk,0W 21  , pro levostrannou alternativu: 1k,0W  , pro pravostrannou alternativu:
n,kW 2 .
(Nezáporná celá čísla k1, k2 pro oboustranný test i pro jednostranné testy lze najít v tabulkové příloze. Pozor – čísla k1, k2
pro oboustrannou alternativu jsou jiná než pro jednostranné alternativy! )
d) H0 zamítáme na hladině významnosti  , když WSZ 
.
Asymptotická varianta testu
Pro velká n (prakticky 20n  ) lze využít asymptotické normality statistiky 
ZS .
Testová statistika
 
  4
n
2
n
Z
Z
ZZ
0
S
SD
SES
U







má za platnosti H0 asymptoticky rozložení  1,0N .
Kritický obor pro oboustranný test:    ,uu,W 2/12/1 .
Kritický obor pro levostranný test:   1u,W .
Kritický obor pro pravostranný test:   ,uW 1 .
Aproximace rozložením  1,0N se zlepší, když použijeme tzv. korekci na nespojitost. Testová statistika pak má
tvar
4
n
2
1
2
n
Z
0
S
U



, přičemž 2
1
přičteme, když 2
n
ZS 

a odečteme v opačném případě.
Příklad
U 9 náhodně vybraných manželských párů byl zjištěn průměrný roční příjem (v tisících Kč).
číslo páru 1 2 3 4 5 6 7 8 9
příjem manžela 216 336 384 432 456 528 552 600 1872
příjem manželky 336 240 192 336 384 288 960 312 576
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že mediány příjmů manželů a manželek jsou stejné.
Řešení:
Jedná se o párový test. Vypočteme rozdíly mezi příjmy manželů a manželek, čímž úlohu převedeme na jednovýběrový test.
Testujeme 0z:H 50,00  proti oboustranné alternativě 0z:H 50,01  , kde 50,0z je medián rozložení, z něhož pochází rozdílový
náhodný výběr 999111 YXZ,,YXZ   .
Vypočtené rozdíly ii yx  : -120 96 192 96 72 240 -408 288 1296
Testová statistika 
ZS = 7.
Ve statistických tabulkách najdeme pro 9n  a 05,0 kritické hodnoty 1k1  , 8k2  .
Protože kritický obor 9,81,0W  neobsahuje hodnotu 7, nemůžeme H0 zamítnout na hladině významnosti 0,05.
Neprokázaly se tedy významné rozdíly v mediánech příjmů manželů a manželek.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 9 případy. Do proměnné X napíšeme příjmy manželů, do proměnné
Y příjmy manželek.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných X, 2. seznam
proměnných Y – OK – Znaménkový test.
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & Y 9 22,222221,333333 0,182422
Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 2,22 %, tj. 2. Hodnota testové statistiky 729SZ 

.
Asymptotická testová statistika 0U (zde označená jako Z) se realizuje hodnotou 3,1 . Odpovídající asymptotická p-hodnota je
0,1824, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že mediány příjmů manželů a manželek jsou
stejné.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky 
ZS , tj. 20n  . Je tedy
vhodnější najít v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro n = 9 a α = 0,05 jsou kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8.
Protože kritický obor 9,81,0W  neobsahuje hodnotu 7, nezamítáme H0
na hladině významnosti 0,05. Dostáváme týž
výsledek jako při použití asymptotického testu.
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta
Frank Wilcoxon (1892 – 1965): Americký statistik a chemik
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou φ(x), která je symetrická kolem mediánu x0,50, tj.
φ(x0,50 + x) = φ(x0,50 - x). Nechť c je reálná konstanta.
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = c
proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ c nebo
proti levostranné alternativě H1: x0,50 < c nebo
proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c.
Postup provedení testu:
a) Utvoříme rozdíly Di = Xi – c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme jen počet nenulových hodnot.)
b) Absolutní hodnoty │Di│uspořádáme vzestupně podle velikosti a spočteme pořadí Ri.
c) Zavedeme statistiky



0D
iW
i
RS , což je součet pořadí přes kladné hodnoty Di,



0D
iW
i
RS , což je součet pořadí přes záporné hodnoty Di.
Přitom platí, že součet SW
+
+ SW
=
n(n+1)/2.
Je-li H0 pravdivá, pak E(SW
+
) = n(n+1)/4 a D(SW
+
) = n(n+1)(2n+1)/24.
d) Testová statistika = min(SW
+
, SW
)
pro oboustrannou alternativu,
= SW
+
pro levostrannou alternativu,
= SW
pro
pravostrannou alternativu.
e) H0 zamítáme na hladině významnosti α, když testová statistika je menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě.
Asymptotická varianta jednovýběrového Wilcoxonova testu:
Pro n ≥ 30 lze využít asymptotické normality statistiky SW
+
.
Platí-li H0, pak
 
  24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
W
W
WW
0
S
SD
SES
U







 ≈ N(0,1).
Kritický obor:
pro oboustrannou alternativu W =    ,uu, 2/12/1 ,
pro levostrannou alternativu W =   1u, ,
pro pravostrannou alternativu W =  ,u1
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když WU0  .
Předpoklady použití jednovýběrového Wilcoxonova testu:
- rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází, je spojité
- hustota tohoto rozložení je symetrická kolem mediánu
- sledovaná veličina X má aspoň ordinální charakter
(Není-li splněn předpoklad o symetrii hustoty kolem mediánu, lze použít např. znaménkový test.)
Příklad: U 12 náhodně vybraných zemí bylo zjištěno procento populace starší 60 let:
4,9 6,0 6,9 17,6 4,5 12,3 5,7 5,3 9,6 13,5 15,7 7,7.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že medián procenta populace starší 60 let je 12 proti oboustranné alternativě.
Řešení:
Testujeme hypotézu H0: x0,50 = 12 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 12.
Vypočteme rozdíly pozorovaných hodnot od čísla 12: -7,1 -6,0 -5,1 5,6 -7,5 0,3 -6,3 -6,7 -2,4 1,5 3,7 -4,3.
Absolutní hodnoty těchto rozdílů uspořádáme vzestupně podle velikosti. Kladné rozdíly přitom označíme červeně:
usp. │ xi – 12│ 0,3 1,5 2,4 3,7 4,3 5,1 5,6 6 6,3 6,7 7,1 7,5
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SW
+
= 1 + 2 + 4 + 7 =14,
SW
=
3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 64,
n = 12, α = 0,05, tabelovaná kritická hodnota pro n = 12 a α = 0,05 je 13,
testová statistika = min(SW
+
, SW
)
= min(14,64) = 14.
Protože 14 > 13, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že na hladině významnosti 0,05 se nepodařilo
prokázat, že aspoň v polovině zemí by se podíl populace nad 60 let odlišoval od 12 %.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 12 případy. Do proměnné procento napíšeme zjištěné hodnoty a do
proměnné konst uložíme číslo 12.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných rozdil, Druhý
seznam proměnných konst – OK – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (populace_nad_60)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
procento & konst 12 14,00000 1,961161 0,049861
Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW+
(zde označena T), hodnotu asymptotické testové statistiky U0 a phodnotu
pro U0. V tomto případě je p-hodnota 0,049861, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině
významnosti 0,05. Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému jsme dospěli při přesném výpočtu. Je to způsobeno
tím, že není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky SW+
, tj. n ≥ 30.
Dvouvýběrové testy (Jedná se o neparametrickou obdobu dvouvýběrového t-testu)
Dvouvýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta
Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se
mohou lišit pouze posunutím. Označme x0,50 medián prvního rozložení a y0,50 medián druhého rozložení. Na hladině
významnosti 0,05 testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné neboli mediány jsou shodné proti
alternativě, že jsou rozdílné, tj.
H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
Postup provedení testu:
a) Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme vzestupně podle velikosti.
b) Zjistíme součet pořadí hodnot X1, ..., Xn a označíme ho T1.
Součet pořadí hodnot Y1, ..., Ym označíme T2.
c) Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 – T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2.
Přitom platí U1 + U2 = mn.
d) Pokud min(U1,U2) ≤ tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy výběrů m, n a dané α), pak nulovou hypotézu o
totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme na hladině významnosti α. V tabulkách: n = min{m,n} a m = max{m,n}.
Asymptotická varianta dvouvýběrového Wilcoxonova testu:
Pro velká n, m (n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky U1.
Platí-li H0, pak
12
)1nm(mn
2
mn
1
0
U
U


 ≈ N(0,1), kde U1 = min(U1
,U2
).
Kritický obor:
pro oboustrannou alternativu W =    ,uu, 2/12/1 ,
pro levostrannou alternativu W =   1u, ,
pro pravostrannou alternativu W =  ,u1
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když WU0  .
Předpoklady použití dvouvýběrového Wilcoxonova testu:
- dané dva náhodné výběry jsou nezávislé
- rozložení, z nichž dané dva náhodné výběry pocházejí, jsou spojitá
- distribuční funkce těchto rozložení se mohou lišit pouze posunutím
- sledovaná veličina má aspoň ordinální charakter
(Není-li splněn předpoklad, že distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím, lze použít např. dvouvýběrový
Kolmogorovův – Smirnovův test.)
Příklad:
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení, zbylých šest bylo ošetřeno starým
způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový výnos. Je třeba zjistit, zda nový způsob hnojení má týž vliv na
průměrné hektarové výnosy pšenice jako starý způsob hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50
Test proveďte na hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
usp. hodnoty 44 45 48 49 50 51 52 53 54 55
pořadí x-ových hodnot 4 6 7 10
pořadí y-ových hodnot 1 2 3 5 8 9
T1 = 4 + 6 + 7 + 10 = 27, T2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 28
U1
= 4.6 + 4.5/2 - 27 = 7, U2
= 4.6 + 6.7/2 - 28 = 17
Kritická hodnota pro α = 0,05, min(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je 2. Protože min(7,17) = 7 > 2, nemůžeme na hladině
významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že nový způsob hnojení má na hektarové výnosy pšenice stejný vliv jako starý
způsob.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 10 případy. Do proměnné vynos napíšeme zjištěné hodnoty a do
proměnné hnojeni napíšeme 4x číslo 1 pro nový způsob hnojení a 6x číslo 2 pro starý způsob hnojení.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK – Proměnné – Seznam závislých
proměnných vynos, Nezáv. (grupov.) proměnná hnojeni – OK – M-W U test.
Upozornění: Ve STATISTICE je dvouvýběrový Wilcoxonův test uveden pod názvem Mannův – Whitneyův test.
Mann-Whitneyův U test (vynos)
Dle proměn.hnojeni
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
skup. 1
Sčt poř.
skup. 2
U Z Úroveň p Z
upravené
Úroveň p N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
2*1str.
přesné p
vynos 27,0000028,000007,0000001,066004 0,286423 1,066004 0,286423 4 6 0,352381
Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky
min(U1, U2) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z), asymptotická p-hodnota pro U0 a přesná
p-hodnota (ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,352381,
tedy H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná:vynos
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2
hnojeni
42
44
46
48
50
52
54
56
vynos
Je zřejmé, že výnosy při novém způsobu hnojení jsou vesměs nižší než při starém způsobu a také vykazují mnohem větší
variabilitu.
Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
Nechť n1 X,,X  a m1 Y,,Y  jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení, jejichž distribuční funkce se mohou
lišit nejenom posunutím, ale také tvarem. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné, tj., že
všech mn  veličin pochází z téhož rozložení proti alternativě, že distribuční funkce jsou rozdílné.
Nechť )x(F1 je výběrová distribuční funkce 1. výběru a )y(F2 je výběrová distribuční funkce 2. výběru. Jako testová statistika
slouží )x(F)x(FmaxD 21
x


. H0 zamítáme na hladině významnosti , když   m,nDD , kde  m,nD je tabelovaná kritická
hodnota. Pro větší rozsahy m,n lze kritickou hodnotu aproximovat vzorcem

 2
ln
nm2
mn
.
Příklad: Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je různými technologiemi.
Rozhodující je procentní obsah určité látky.
1. technologie: 1,52 1,57 1,71 1,34 1,68
2. technologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,72 1,79 1,64 1,55
Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového K-S testu, zda je oprávněný předpoklad, že obě technologie
poskytují stejné procento účinné látky.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Utvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 13 případy. Do proměnné X napíšeme zjištěné hodnoty a do proměnné
ID napíšeme 5x číslo 1 pro první technologii a 8x číslo 2 pro starý druhou technologii.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK – Proměnné – Seznam závislých proměnných
X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID – OK – Kolmogorov-Smirnovův 2-výběrový test.
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
Úroveň p Průměr
skup. 1
Průměr
skup. 2
Sm.odch.
skup. 1
Sm.odch.
skup. 2
N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
obsah -0,400000 0,025000 p > .10 1,5640001,667500 0,147411 0,085147 5 8
Ve výstupní tabulce pro dvouvýběrový K-S test dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami
obou výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry, směrodatné odchylky a rozsahy
obou výběrů. Jelikož p-hodnota převyšuje hladinu významnosti 0,05, na této hladině nelze nulovou hypotézu zamítnout.
Kruskalův - Wallisův test
William Kruskal (1919 – 2005):
Americký matematik
Wilson Allen Wallis (1912 – 1988):
Americký matematik
Nechť je dáno r ≥ 3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n1, ... , nr
. Předpokládáme, že tyto výběry pocházejí ze
spojitých rozložení. Označme n = n1
+ ... + nr
. Na asymptotické hladině významnosti α chceme testovat hypotézu, že
všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení.
Postup testu:
a) Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti.
b) Určíme pořadí každé hodnoty v tomto sdruženém výběru.
c) Označme Tj součet pořadí těch hodnot, které patří do j-tého výběru, j = 1, ..., r (kontrola: musí platit T1
+ ... + Tr
=
n(n+1)/2).
d) Testová statistika má tvar: 




r
1j j
2
j
)1n(3
n
T
)1n(n
12
Q . Platí-li H0, má statistika Q asymptoticky rozložení χ2
(r-1).
e) Kritický obor:     ,1rW 1
2
.
f) H0 zamítneme na asymptotické hladině významnosti α, když Q ≥ χ1-α
2
(r-1).
Příklad: V roce 1980 byly získány tři nezávislé výběry obsahující údaje o průměrných ročních příjmech (v tisících dolarů)
čtyř sociálních skupin ve třech různých oblastech USA.
jižní oblast: 6 10 15 29
pacifická oblast: 11 13 17 131
severovýchodní oblast: 7 14 28 25
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že příjmy v těchto oblastech se neliší.
Řešení:
Výpočty uspořádáme do tabulky
Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131
Pořadí 1.výběru 1 3 7 11
Pořadí 2.výběru 4 5 8 12
Pořadí 3.výběru 2 6 9 10
T1 = 1 + 3 + 7 + 11 = 22,
T2 = 4 + 5 + 8 + 12 = 29,
T3 = 2 + 6 + 9 + 10 = 27 ,





r
1j j
2
j
)1n(3
n
T
)1n(n
12
Q 5,0133
4
27
4
29
4
22
1312
12 222








 ,
        ,991,5,2,1rW 95,0
2
1
2
Protože Q < 5,991, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Rozdíly mezi průměrnými ročními příjmy v uvedených třech oblastech se neprokázaly.
Mediánový test
Výchozí situace je stejná jako u K-W testu
Postup testu:
a) Všech n hodnot uspořádáme do rostoucí posloupnosti.
b) Najdeme medián x0,50 těchto n hodnot.
c) Označme Pj počet hodnot v j-tém výběru, které jsou větší nebo rovny mediánu x0,50.
d) Testová statistika má tvar 


r
1j j
2
j
M n
n
P
4Q . Platí-li H0, má statistika QM asymptoticky rozložení χ2
(r-1).
d) Kritický obor:     ,1rW 1
2
.
e) H0
zamítneme na asymptotické hladině významnosti α, když QM ≥ χ1-α
2
(r-1).
Příklad:
Pro data o průměrných ročních příjmech proveďte mediánový test. Hladinu významnosti volte 0,05.
Řešení:
Usp. hodnoty 6 7 10 11 13 14 15 17 25 28 29 131
Medián je průměr 6. a 7. uspořádané hodnoty: 5,14
2
1514
x 50,0 

 .
V prvním výběru existují 2 hodnoty, které jsou větší nebo rovny 14,5, stejně tak i ve druhém a třetím výběru,
tedy P1 = P2 = P3 = 2.
Testová statistika: 


r
1j j
2
j
M n
n
P
4Q   012222
4
1
4 222





Kritický obor:         ,991,5,2,1rW 95,0
2
1
2
Protože QM < 5,991, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Metody mnohonásobného porovnávání
Zamítneme-li hypotézu, že všechny náhodné výběry pocházejí z téhož rozložení, zajímá nás, které dvojice náhodných
výběrů se liší na zvolené hladině významnosti. Testujeme H0: k-tý a l-tý náhodný výběr pocházejí z téhož rozložení, k, l = 1,
.., r, k ≠ l proti H1: aspoň jedna dvojice výběrů pochází z různých rozložení.
a) Neményiho metoda (Peter Neményi 1927 – 2002: Americký matematik maďarského původu)
- Všechny výběry mají týž rozsah p (třídění je vyvážené).
- Vypočteme │Tl - Tk│.
- V tabulkách najdeme kritickou hodnotu (pro dané p, r, α ).
- Pokud│Tl - Tk│≥ tabelovaná kritická hodnota, pak na hladině významnosti α zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr
pocházejí z téhož rozložení.
b) Obecná metoda mnohonásobného porovnávání
- Vypočteme
k
k
l
l
n
T
n
T
 .
- Ve speciálních statistických tabulkách najdeme kritickou hodnotu hKW(α ). Při větších rozsazích výběrů je možno ji
nahradit kvantilem χ1-α
2
(r-1).
- Jestliže )(h)1n(n
n
1
n
1
12
1
n
T
n
T
KW
klk
k
l
l






 , pak na hladině významnosti α zamítáme hypotézu, že l-tý a k-tý výběr
pocházejí z téhož rozložení.
Příklad:
Čtyři laboranti provedli analytické stanovení procenta niklu v oceli. Každý hodnotil pět vzorků.
Laborant A: 4,15 4,26 4,10 4,30 4,25
Laborant B: 4,38 4,40 4,29 4,39 4,45
Laborant C: 4,23 4,16 4,20 4,24 4,27
Laborant D: 4,41 4,31 4,42 4,37 4,43
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že všechny čtyři náhodné výběry pocházejí ze stejného
rozložení. Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice výběrů se liší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o dvou proměnných a 20 případech. Do proměnné nikl napíšeme změřené hodnoty, do
proměnné laborant napíšeme 5x1 pro 1. laboranta atd. až 5x4 pro 4. laboranta.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků - OK – Seznam závislých proměnných nikl,
Nezáv. (grupovací) proměnná laborant – OK – Summary: Kruskal-Wallis ANOVA & Median test. Ve dvou výstupních
tabulkách se objeví výsledky K-W testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.;nikl (nikl v oceli)
Nezávislá (grupovací) proměnná :laborant
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 20) =13,77714 p =,0032
Závislá:
nikl
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1
2
3
4
1 5 29,00000
2 5 75,00000
3 5 27,00000
4 5 79,00000
Mediánový test, celk. medián = 4,29500;nikl (nikl v oceli)
Nezávislá (grupovací) proměnná :laborant
Chi-Kvadr. = 13,60000 sv = 3 p = ,0035Závislá:
nikl 1 2 3 4 Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
4,00000 1,00000 5,00000 0,0000010,00000
2,50000 2,50000 2,50000 2,50000
1,50000 -1,50000 2,50000 -2,50000
1,00000 4,00000 0,00000 5,0000010,00000
2,50000 2,50000 2,50000 2,50000
-1,50000 1,50000 -2,50000 2,50000
5,00000 5,00000 5,00000 5,0000020,00000
Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice laborantů se liší. Zvolíme Vícenás. porovnání
průměrného pořadí pro vš. skupiny.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.);nikl (nikl v oceli)
Nezávislá (grupovací) proměnná :laborant
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 20) =13,77714 p =,0032
Závislá:
nikl
1
R:5,8000
2
R:15,000
3
R:5,4000
4
R:15,800
1
2
3
4
0,0836411,0000000,045158
0,083641 0,0617791,000000
1,0000000,061779 0,032664
0,0451581,0000000,032664
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro porovnání dvojic skupin. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší laboranti A, D a
laboranti C, D.
Grafické znázornění výsledků
Krabicový graf dle skupin
Proměnná:nikl
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2 3 4
laborant
4,05
4,10
4,15
4,20
4,25
4,30
4,35
4,40
4,45
4,50
nikl
Hodnocení kontingenčních tabulek
Motivace
Při zpracování dat se velmi často setkáme s úkolem zjistit, zda dvě náhodné veličiny nominálního typu jsou stochasticky nezávislé.
Např. nás může zajímat, zda ve sledované populaci je barva očí a barva vlasů nezávislá.
Zpravidla chceme také zjistit intenzitu případné závislosti sledovaných dvou veličin. K tomuto účelu byly zkonstruovány
různé koeficienty, které nabývají hodnot od 0 do 1. Čím je takový koeficient bližší 1, tím je závislost mezi danými dvěma
veličinami silnější a čím je bližší 0, tím je slabší.
Kontingenční tabulky
Nechť X,Y jsou dvě nominální náhodné veličiny (tj. obsahová interpretace je možná jenom u relace rovnosti). Nechť X nabývá
variant x[1], ..., x[r] a Y nabývá variant y[1], ..., y[s].
Označme:
    kjjk yYxXP  … simultánní pravděpodobnost dvojice variant (x[j], y[k])
  j.j xXP  … marginální pravděpodobnost varianty x[j]
  kk. yYP  … marginální pravděpodobnost varianty y[k]
Simultánní a marginální pravděpodobnosti zapíšeme do kontingenční tabulky:
y
x πjk
y[1] ... y[s] πj.
x[1] π11 ... π1s π1.
... ... ... ... ...
x[r] πr1 ... πrs πr.
π.k π.1 ... π.s 1
Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) rozsahu n z rozložení, kterým se řídí dvourozměrný diskrétní
náhodný vektor (X, Y). Zjištěné absolutní simultánní četnosti njk dvojice variant (x[j], y[k]) uspořádáme do kontingenční ta-
bulky:
y
x njk
y[1] ... y[s] nj.
x[1] n11 ... n1s n1.
... ... ... ... ...
x[r] nr1 ... nrs nr.
n.k n.1 ... n.s n
nj. = nj1 + ... + njs je marginální absolutní četnost varianty x[j]
n.k = n1k + ... + nrk je marginální absolutní četnost varianty y[k]
Simultánní pravděpodobnost πjk odhadneme pomocí simultánní relativní četnosti
n
n
p
jk
jk  , marginální pravděpodobnosti πj.
a π.k odhadneme pomocí marginálních relativních četností
n
n
p
.j
.j  a
n
n
p k.
k.  .
Testování hypotézy o nezávislosti
Testujeme nulovou hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti alternativě H1: X, Y nejsou
stochasticky nezávislé náhodné veličiny.
Kdyby náhodné veličiny X, Y byly stochasticky nezávislé, pak by platil multiplikativní vztah
r,,1j  , s,,1k  : πjk = πj. π.k neboli
n
n
n
n
n
n k..jjk
 , tj.
n
nn
n
k..j
jk  . Číslo
n
nn
m
k..j
jk  se nazývá teoretická četnost
dvojice variant (x[j], y[k]).
Testová statistika:  








r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K .
Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)).
Kritický obor:       ,1s1rW 1
2
.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
Podmínky dobré aproximace
Rozložení statistiky K lze aproximovat rozložením χ2
((r-1)(s-1)), pokud teoretické četnosti
n
nn k..j
aspoň v 80% případů
nabývají hodnoty větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20% neklesnou pod 2. Není-li splněna podmínka dobré aproximace,
doporučuje se slučování některých variant.
Měření síly závislosti
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V

 , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot mezi 0 a 1. Čím blíže je k 1, tím je
závislost mezi X a Y těsnější, čím blíže je k 0, tím je tato závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
Carl Harald Cramér (1893 – 1985): Švédský matematik
Příklad
V sociologickém průzkumu byl z uchazečů o studium na vysokých školách pořízen náhodný výběr rozsahu 360. Mimo jiné
se zjišťovala sociální skupina, ze které uchazeč pochází (veličina X) a typ školy, na kterou se hlásí (veličina Y). Výsledky
jsou zaznamenány v kontingenční tabulce:
Typ školySociální skupina
univerzitní technický ekonomický
nj.
I 50 30 10 90
II 30 50 20 100
III 10 20 30 60
IV 50 10 50 110
n.k 140 110 110 360
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny. Vypočtěte Cramérův
koeficient.
Řešení:
Nejprve vypočteme všech 12 teoretických četností:
Typ školySociální skupina
univerzitní technický ekonomický
nj.
I 50 30 10 90
II 30 50 20 100
III 10 20 30 60
IV 50 10 50 110
n.k 140 110 110 360
,5,27
360
11090
n
nn
,5,27
360
11090
n
nn
,35
360
14090
n
nn 3..12..11..1







,6,30
360
110100
n
nn
,6,30
360
110100
n
nn
,9,38
360
140100
n
nn 3..22..21..2







,3,18
360
11060
n
nn
,3,18
360
11060
n
nn
,3,23
360
14060
n
nn 3..32..31..3







6,33
360
110110
n
nn
,6,33
360
110110
n
nn
,8,42
360
140110
n
nn 3..42..41..4







Vidíme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny, všechny teoretické četnosti převyšují číslo 5.
Dosadíme do vzorce pro testovou statistiku K:
      84,76
6,33
6,3350
5,27
5,2730
35
3550
K
222






  .
Dále stanovíme kritický obor:
               ,6,12,6,1314,11 95,0
2
95,0
2
1
2
  srW
Protože K  W, hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Vypočteme Cramérův koeficient: 3267,0
2360
4,76
V 

 .
Hodnota Cramérova koeficientu svědčí o tom, že mezi veličinami X a Y existuje středně silná závislost.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných (X - sociální skupina, Y – typ školy, četnost) a 12 případech:
1
X
2
Y
3
četnost
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I univerzitní 50
I technický 30
I ekonomický 10
II univerzitní 30
II technický 50
II ekonomický 20
III univerzitní 10
III technický 20
III ekonomický 30
IV univerzitní 50
IV technický 10
IV ekonomický 50
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – OK – Specif. Tabulky – List 1 X, List 2 Y – OK, zapneme proměnnou vah četnost
– OK, Výpočet – na záložce Možnosti zaškrtneme Očekávané četnosti. Dostaneme kontingenční tabulku teoretických čet-
ností:
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (typ skoly)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 76,8359, sv=6, p=,000000
X Y
univerzitní
Y
technický
Y
ekonomický
Řádk.
součty
I 35,0000 27,5000 27,5000 90,0000
II 38,8889 30,5556 30,5556 100,0000
III 23,3333 18,3333 18,3333 60,0000
IV 42,7778 33,6111 33,6111 110,0000
Vš.skup. 140,0000 110,0000 110,0000360,0000
Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5, podmínky dobré aproximace jsou splněny. V záhlaví tabulky je uvedena hodnota
testové statistiky K = 76,8359, počet stupňů volnosti 6 a odpovídající p-hodnota. Je velmi blízká 0, tedy na asymptotické
hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny.
Hodnotu testové statistiky a Cramérův koeficient dostaneme také tak, že na na záložce Možnosti zaškrtneme Pearsonův &
M-V chí kvadrát a Cramérovo V, na záložce Detailní výsledky vybereme Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
76,83589 df=6 p=,00000
84,53528 df=6 p=,00000
,4619881
,4193947
,3266749
Čtyřpolní tabulky
Nechť r = s = 2. Pak hovoříme o čtyřpolní kontingenční tabulce a používáme označení: n11 = a, n12 = b, n21 = c, n22 = d.
YX
y[1] y[2]
nj.
x[1] a b a+b
x[2] c d c+d
n.k a+c b+d n
Test nezávislosti ve čtyřpolní tabulce
Testovou statistiku pro čtyřpolní kontingenční tabulku lze zjednodušit do tvaru:
 
    dbcadcba
bcadn
K
2


 .
Platí-li hypotéza o nezávislosti veličin X, Y, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
(1).
Kritický obor:     ,1W 1
2
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když KW.
Povšimněte si, že za platnosti hypotézy o nezávislosti ad = bc.
Pro čtyřpolní tabulku navrhl R. A. Fisher přesný (exaktní) test nezávislosti známý jako Fisherův faktoriálový test.
Sir Ronald Aylmer Fisher (1890 – 1962): Britský statistik a genetik.
(Fisherův přesný test je popsán např. v knize K. Zvára: Biostatistika, Karolinum, Praha 1998. Princip spočívá v tom, že
pomocí kombinatorických úvah se vypočítají pravděpodobnosti toho, že při daných marginálních četnostech dostaneme
tabulky, které se od nulové hypotézy odchylují aspoň tak, jako daná tabulka.)
Upozornění: STATISTICA poskytuje p-hodnotu pro Fisherův přesný test. Jestliže vyjde p ≤ α, pak hypotézu o nezávislosti
zamítáme na hladině významnosti α.
Příklad: V náhodném výběru 50 obézních dětí ve věku 6 – 14 let byla zjišťována obezita rodičů. Veličina X – obezita matky,
veličina Y – obezita otce. Výsledky průzkumu jsou uvedeny v kontingenční tabulce:
YX
ano ne
nj.
ano 15 9 24
ne 7 19 26
n.k 22 28 50
Pomocí Fisherova exaktního testu ověřte, zda lze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu o nezávislosti náhodných
veličin X a Y.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o třech proměnných X, Y (varianty 0 – neobézní, 1 – obézní) a četnost a čtyřech případech:
1
X
2
Y
3
četnost
1
2
3
4
obézní obézní 15
obézní neobézní 9
neobézní obézní 7
neobézní neobézní 19
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – OK – Specif. Tabulky – List 1 X, List 2 Y – OK, zapneme proměnnou vah četnost
– OK, Výpočet – na záložce Možnosti zaškrtneme Fisher exakt., Yates, McNemar (2x2). Dostaneme výstupní tabulku:
Statist. : X(2) x Y(2) (obezita rodicu)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
6,410777df=1 p=,01134
6,548348df=1 p=,01050
5,048207df=1 p=,02465
p=,01188
p=,02163
,2647059df=1 p=,60691
,0625000df=1 p=,80259
Vidíme, že p-hodnota pro Fisherův exaktní oboustranný test je 0,02163, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu, že obezita matky a otce spolu nesouvisí.
Podíl šancí ve čtyřpolní kontingenční tabulce
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR  , která se nazývá výběrový podíl šancí (odds ratio). Považujeme
ho za odhad neznámého teoretického podílu šancí
1221
2211


 . Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích
různých okolností a může skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je
c
a
, za druhých okolností je
d
b
. Podíl šancí je tedy
bc
ad
OR  .
Jsou-li veličiny Y,X nezávislé, pak k..jjk  , tudíž teoretický podíl šancí 1 . Závislost veličin Y,X bude tím silnější,
čím více se bude lišit od 1. Avšak  ,0 , tedy hodnoty  jsou kolem 1 rozmístěny nesymetricky. Z tohoto důvodu
raději používáme logaritmus teoretického či výběrového podílu šancí.
Testování nezávislosti ve čtyřpolních tabulkách pomocí podílu šancí
Na asymptotické hladině významnosti  testujeme hypotézu H0: Y,X jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj.
0ln  ) proti alternativě H1: Y,X nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. 0ln  ).
Testová statistika
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln
T0

 se asymptoticky řídí rozložením  1,0N , když nulová hypotéza platí.
Kritický obor:    ,uu,W 2/12/1 .
Nulovou hypotézu tedy zamítáme na asymtotické hladině významnosti , když se testová statistika realizuje v kritickém
oboru W.
Testování nezávislosti lze provést též pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí
, který je dán vzorcem:
  







  2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnh,d
Jestliže interval spolehlivosti neobsahuje 0, pak hypotézu o nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině významnosti .
Příklad (testování nezávislosti pomocí podílu šancí a pomocí statistiky K):
U 135 uchazečů o studium na jistou fakultu byl hodnocen dojem, jakým zapůsobili na komisi u ústní přijímací zkoušky. Na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že přijetí na fakultu nezávisí na dojmu u přijímací zkoušky.
dojempřijetí
dobrý špatný
nj.
ano 17 11 28
ne 39 58 97
n.k 56 69 125
Řešení:
a) Testování pomocí podílu šancí:
298,2
3911
5817
bc
ad
OR 


 . Podíl šancí nám říká, že uchazeč, který zapůsobil na komisi dobrým dojmem, má asi 2,3 x větší
šanci na přijetí než uchazeč, který zapůsobil špatným dojmem.
Provedeme další pomocné výpočty:
96,1u,439,0
58
1
39
1
11
1
17
1
d
1
c
1
b
1
a
1
0,832,ORln
0,975 

Dosadíme do vzorců pro meze asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí:
692,196,1439,0832,0u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnhln,028,096,1439,0832,0u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlndln 2/12/1  
Protože interval (-0,028; 1,692) obsahuje číslo 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti
dojmu u přijímací zkoušky a přijetí na fakultu.
b) Testování pomocí statistiky K:
dojempřijetí
dobrý špatný
nj.
ano 17 11 28
ne 39 58 97
n.k 56 69 125
Ověříme splnění podmínek dobré aproximace:
544,12
125
5628
n
nn 1..1


 , 456,15
125
6928
n
nn 2..1


 ,
456,43
125
5697
n
nn 1..2


 , 544,53
125
6997
n
nn 2..2



Podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Dosadíme do zjednodušeného vzorce pro testovou statistiku K:
 
    
  6953,3
69569728
39115817125
dbcadcba
bcadn
K
22







Kritický obor:     ,841,3,1W 95,0
2
.
Protože testová statistika se nerealizuje k kritickém oboru, nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti
0,05.
Vypočteme ještě Cramérův koeficient: 1719,0
)12(125
6953,3
)1m(n
K
V 




Vidíme, že mezi dojmem u přijímací zkoušky a přijetím na fakultu je pouze slabá závislost.
Jednoduchá korelační analýza
Motivace
Uvažme náhodné veličiny X, Y, které jsou aspoň ordinálního typu. Tyto náhodné veličiny mohou mít různý vztah:
- Deterministická (funkční) závislost: jedna náhodná veličina je spjata s druhou náhodnou veličinou funkční závislostí vyjádřenou
předpisem Y = g(X), např. X – poloměr náhodně vybrané sériově vyráběné kuličky do kuličkových ložisek, Y =
3
X
3
4
 - objem této kuličky. Každé realizaci náhodné veličiny X (vysvětlující proměnná) je přiřazena právě jedna realizace
náhodné veličiny Y (vysvětlovaná proměnná).
funkční závislost
0
10
20
0 2 4 6 8 10
vysvětlující proměnná
výsvětlovaná
proměnná
- Stochastická závislost: jedna náhodná veličina ovlivňuje v různé míře druhou náhodnou veličinu, např. X – věk pracovníka
v letech, Y – počet dnů absence za rok. Každé realizaci náhodné veličiny X může být přiřazeno více realizací náhodné
veličiny Y. Závislost může být jednostranná i oboustranná.
stochastická závislost
0
10
20
0 2 4 6 8 10
vysvětlující proměnná
výsvětlovaná
proměnná
- Stochastická nezávislost: náhodné veličiny se navzájem neovlivňují, např. házíme-li naráz dvěma kostkami a označíme X
– počet ok padlých na jedné kostce, Y – počet ok padlých na druhé kostce, pak náhodné veličiny X, Y jsou stochasticky
nezávislé.
nezávislost
0
2,5
5
7,5
10
0 2 4 6 8 10
vysvětlující proměnná
výsvětlovaná
proměnná
X a Y jsou stochasticky nezávislé, když platí:        yxy,x:Ry,x 21
2

X a Y jsou nekorelované, když platí C(X, Y) = 0 (tj. mezi X a Y není žádný lineární vztah).
Ze stochastické nezávislosti vyplývá nekorelovanost, avšak z nekorelovanosti nevyplývá stochastická nezávislost.
Korelační analýza:
 zkoumá, zda existuje závislost mezi dvěma náhodnými veličinami X, Y, které jsou buď ordinálního nebo intervalového
či poměrového typu. Důležité – nelze se spokojit s formálním matematickým popisem závislosti, závislost musí být
logicky zdůvodnitelná!
 pomocí Pearsonova či Spearmanova koeficientu korelace měří těsnost této závislosti
 pro náhodné veličiny intervalového a poměrového typu je založena na předpokladu, že dvourozměrný náhodný vektor






Y
X
se řídí dvourozměrným normálním rozložením N2


























2
221
21
2
1
2
1
, , kde
μ1 = E(X), μ2 = E(Y), σ1
2
= D(X), σ2
2
= D(Y), ρ = R(X,Y)
 při výraznějším porušení předpokladu dvourozměrné normality doporučuje použití metod, které jsou určeny pro náhodné
veličiny ordinálního typu
Spearmanův koeficient pořadové korelace
Charles Edward Spearman (1863 – 1945): Britský psycholog a statistik, zakladatel faktorové analýzy
Nechť X,Y jsou náhodné veličiny ordinálního typu (tj. obsahová interpretace je možná jenom u relace rovnosti a relace
uspořádání).
Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) z rozložení, jímž se řídí náhodný vektor (X, Y). Označíme Ri
pořadí náhodné veličiny Xi a Qi pořadí náhodné veličiny Yi, i = 1, ..., n.
Spearmanův koeficient pořadové korelace:
   




n
1i
2
ii2S QR
1nn
6
1r .
Tento koeficient nabývá hodnot mezi –1 a 1. Čím je bližší 1, tím je silnější přímá pořadová závislost mezi veličinami X a Y,
čím je bližší –1, tím je silnější nepřímá pořadová závislost mezi veličinami X a Y. Teoretická hodnota Spearmanova
koeficientu se značí ρS.
Vlastnosti Spearmanova koeficientu pořadové korelace
Pro Spearmanův koeficient pořadové korelace platí 1r1 S  . Čím je bližší 1, tím je silnější přímá pořadová závislost mezi
veličinami X a Y, čím je bližší –1, tím je silnější nepřímá pořadová závislost mezi veličinami X a Y.
Je-li 1rS  resp. 1rS  , pak realizace   n,,1i,y,x ii  daného náhodného výběru leží na nějaké rostoucí resp. klesající funk-
ci.
Hodnoty rS se nezmění, když provedeme vzestupnou transformaci původních dat.
Hodnoty rS se vynásobí -1, když provedeme sestupnou transformaci původních dat.
Koeficient je symetrický.
Koeficient je rezistentní vůči odlehlým hodnotám.
Význam absolutní hodnoty Spearmanova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná pořadová závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá pořadová závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední pořadová závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná pořadová závislost.
Spearmanův koeficient pořadové korelace se používá v situacích, kdy
- zkoumaná data mají ordinální charakter
- nelze předpokládat, že vztah mezi veličinami X, Y je lineární
- náhodný výběr nepochází z dvourozměrného normálního rozložení
Testování nezávislosti ordinálních veličin
Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné veličiny proti
- oboustranné alternativě H1: X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny
- levostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje nepřímá pořadová závislost
- pravostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje přímá pořadová závislost).
Jako testová statistika slouží Spearmanův koeficient pořadové korelace rS.
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α ve prospěch
- oboustranné alternativy, když │rS│≥ rS,1-α/2(n)
- levostranné alternativy, když rS ≤ - rS,1-α(n)
- pravostranné alternativy, když rS ≥ rS,1-α(n),
kde rS,1-α(n) je kritická hodnota, kterou pro α = 0,05 nebo 0,01 a n ≤ 30 najdeme v tabulkách.
Asymptotické varianty testu
Pro n > 20 lze použít testovou statistiku 2
S
S
0
r1
2nr
T


 , která se v případě platnosti nulové hypotézy asymptoticky řídí
rozložením t(n-2).
Kritický obor pro oboustrannou alternativu:        ,2nt2nt,W 2/12/1
Kritický obor pro levostrannou alternativu:
  2nt,W 1  
Kritický obor pro pravostrannou alternativu:
    ,2ntW 1 .
Hypotézu o pořadové nezávislosti náhodných veličin X, Y zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když t0  W.
Upozornění: Systém STATISTICA používá tuto variantu testu pořadové nezávislosti bez ohledu na rozsah náhodného
výběru.
Pro n > 30 lze použít testovou statistiku 1nrs  . Platí-li H0, pak 1nrs  ≈ N(0, 1). Nulovou hypotézu tedy zamítáme na
asymptotické hladině významnosti α ve prospěch
oboustranné alternativy, když    ,uu,1nr 2/12/1S ,
levostranné alternativy, když   1S u,1nr ,
pravostranné alternativy, když   ,u1nr 1S
Příklad na testování pořadové nezávislosti (jsou známa pořadí):
Dva lékaři hodnotili stav sedmi pacientů po témž chirurgickém zákroku. Postupovali tak, že nejvyšší pořadí dostal nejtěžší
případ.
Číslo pacienta 1 2 3 4 5 6 7
Hodnocení 1. lékaře 4 1 6 5 3 2 7
Hodnocení 2. lékaře 4 2 5 6 1 3 7
Vypočtěte Spearmanův koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že hodnocení obou lékařů jsou pořadově
nezávislá.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné veličiny proti oboustranné alternativě H1:
X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny. V tomto příkladě přímo známe pořadí Ri (tj. hodnocení 1. lékaře) a pořadí Qi
(tj. hodnocení 2. lékaře). Vypočteme
                857,077321365562144
177
6
1r 2222222
2S 

 .
Kritická hodnota: rS,0,95(7) = 0,745. Protože 0,857 ≥ 0,745, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X (hodnocení 1. lékaře), Y (hodnocení 2. lékaře) a sedmi případech. Do
proměnných X a Y zapíšeme zjištěná hodnocení.
1
X
2
Y
1
2
3
4
5
6
7
4 4
1 2
6 5
5 6
3 1
2 3
7 7
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report - Proměnné X, Y – OK –
Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (dva lekari.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 7 0,8571433,721042 0,013697
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,857, testová statistika se realizuje hodnotou 3,721, odpovídající
p-hodnota je 0,0137, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení
dvou lékařů ve prospěch oboustranné alternativy.
Příklad na testování pořadové nezávislosti (pořadí musíme stanovit):
Jsou dány realizace náhodného výběru z dvourozměrného rozložení, kterým se řídí náhodný vektor (X,Y): (2,5 13,4), (3,4
15,2), (1,3 11,8), (5,8 13,1), (3,6 14,5). Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že náhodné veličiny jsou pořadově
nezávislé proti oboustranné alternativě.
Řešení:
xi 2,5 3,4 1,3 5,8 3,6
yi 13,4 15,2 11,8 13,1 14,5
Ri 2 3 1 5 4
Qi 3 5 1 2 4
(Ri-Qi)2
1 4 0 9 0
Testová statistika:
 
  3,014
245
6
1QR
1nn
6
1r
n
1i
2
ii2S 



 
Kritická hodnota: pro n = 5 a α = 0,05 je kritická hodnota 0,9. Protože testová statistika se realizuje hodnotou 0,3, hypotézu
o pořadové nezávislosti veličin X a Y nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Postupujeme úplně stejně jako v předešlém případě. Výstupní tabulka má tvar:
Spearmanovy korelace (poradova korelace.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 5 0,3000000,544705 0,623838
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,3, testová statistika se realizuje hodnotou 0,5447, odpovídající
p-hodnota je 0,6238, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti veličin
X, Y.
Pearsonův koeficient korelace
Karl Pearson (1857 – 1936): Britský statistik
Číslo
 
 
jinak0
0)Y(D)X(Dpro
)Y(D)X(D
YX,C
)Y(D
)Y(EY
)X(D
)X(EX
E
Y,XR













 



se nazývá Pearsonův koeficient korelace.
(Pro výpočet Pearsonova koeficentu korelace musíme znát simultánní distribuční funkci Φ(x,y) v obecném případě resp.
simultánní hustotu pravděpodobnosti φ(x,y) ve spojitém případě resp. simultánní pravděpodobnostní funkci π(x,y)
v diskrétním případě.)
Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace
a) R(a1, Y) = R(X, a2) = R(a1, a2) = 0
b) R(a1 + b1X, a2 + b2Y) = sgn(b1b2) R(X, Y) =
 
 




0bbproY,XR
0bbproY,XR
21
21
c) R(X, X) = 1 pro D(X) ≠ 0, R(X, X) = 0 jinak
d) R(X, Y) = R(Y, X)
e) 1)Y,X(R  a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, když mezi veličinami X, Y existuje s pravděpodobností 1 úplná lineární
závislost, tj. existují konstanty a, b tak, že pravděpodobnost P(Y = a + bX) = 1. Přitom R(X, Y) = 1, když b > 0 a R(X, Y)
= -1, když b < 0. (Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova – Schwarzova – Buňakovského nerovnost.)
Z vlastností Pearsonova koeficientu korelace vyplývá, že se hodí pouze k měření těsnosti lineárního vztahu veličin X a Y.
Při složitějších závislostech může dojít k paradoxní situaci, že Pearsonův koeficient korelace je nulový.
Ilustrace:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Definice nekorelovanosti
Je-li R(X, Y) = 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou nekorelované. (Znamená to, že mezi X a Y neexistuje žádná
lineární závislost. Jsou-li náhodné veličiny X,Y stochasticky nezávislé, pak jsou samozřejmě i nekorelované.)
Je-li R(X, Y) > 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou kladně korelované. (Znamená to, že s růstem hodnot veličiny X
rostou hodnoty veličiny Y a s poklesem hodnot veličiny X klesají hodnoty veličiny Y.)
Je-li R(X, Y) < 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou záporně korelované. (Znamená to, že s růstem hodnot veličiny X
klesají hodnoty veličiny Y a s poklesem hodnot veličiny X rostou hodnoty veličiny Y.)
Výběrový koeficient korelace
Nechť (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) náhodný výběr rozsahu n z dvourozměrného rozložení daného distribuční funkcí Φ(x,y).
Z tohoto dvourozměrného náhodného výběru můžeme stanovit:
výběrové průměry 


n
1i
i1 X
n
1
M , 


n
1i
i2 Y
n
1
M ,
výběrové rozptyly  




n
1i
2
1i
2
1 MX
1n
1
S ,  




n
1i
2
2i
2
2 MY
1n
1
S ,
výběrovou kovarianci   




n
1i
2i1i12 MYMX
1n
1
S a s jejich pomocí zavedeme
výběrový koeficient korelace











jinak0
0SSpro
SS
S
S
MY
S
MX
1n
1
R
21
21
12
n
1i 2
2
1
1
12 . Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace se
přenášejí i na výběrový koeficient korelace.
(Spearmanův koeficient pořadové korelace odpovídá Pearsonovu koeficientu korelace aplikovanému na pořadí.)
Pearsonův koeficient korelace dvourozměrného normálního rozložení
Jak bylo uvedeno v motivaci, korelační analýza předpokládá, že daný náhodný výběr pochází z dvourozměrného normálního
rozložení. Proč je tento předpoklad tak důležitý? Odpověď poskytne následující věta.
Nechť náhodný vektor (X, Y) má dvourozměrné normální rozložení s hustotou
    
































2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
yyx
2
x
12
1
2
21
e
12
1
y,x , přičemž μ1 = E(X), μ2 = E(Y), σ1
2
= D(X), σ2
2
= D(Y), ρ = R(X,Y).
Marginální hustoty jsou:    
 
2
1
2
1
2
x
1
1 e
2
1
...dyy,xx 


 
  ,    
 
2
2
2
2
2
y
2
2 e
2
1
...dxy,xy 


 
  .
Je-li ρ = 0, pak pro        yxy,x:Ry,x 21
2
 , tedy náhodné veličiny X, Y jsou stochasticky nezávislé. Jinými slovy:
stochastická nezávislost složek X, Y normálně rozloženého náhodného vektoru je ekvivalentní jejich nekorelovanosti. Pro
jiná dvourozměrná rozložení to neplatí!
Upozornění: nadále budeme předpokládat, že (X1, Y1), ..., (Xn, Yn) je náhodný výběr rozsahu n z dvourozměrného
normálního rozložení N2


























2
221
21
2
1
2
1
, .
Předpoklad dvourozměrné normality lze orientačně ověřit pomocí dvourozměrného tečkového diagramu: tečky by měly
zhruba rovnoměrně vyplnit vnitřek elipsovitého obrazce. Vrstevnice hustoty dvourozměrného normálního rozložení jsou
totiž elipsy:
Graf hustoty a vrstevnice dvourozměrného normálního rozložení s parametry μ1 = 0, μ2 = 0, σ1
2
= 1, σ2
2
= 1, ρ = -0,75:
Do dvourozměrného tečkového diagramu můžeme ještě zakreslit 100(1-α)% elipsu konstantní hustoty pravděpodobnosti.
Bude-li více než 100α% teček ležet vně této elipsy, svědčí to o porušení dvourozměrné normality. Bude-li mít hlavní osa
elipsy kladnou resp. zápornou směrnici, znamená to, že mezi veličinami X a Y existuje určitý stupeň přímé resp. nepřímé
lineární závislosti.
Testování hypotézy o nezávislosti
Na hladině významnosti α testujeme H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. ρ = 0) proti
- oboustranné alternativě H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. ρ ≠ 0)
- levostranné alternativě H1: X, Y jsou záporně korelované náhodné veličiny (tj. ρ < 0)
- pravostranné alternativě H1: X, Y jsou kladně korelované náhodné veličiny (tj. ρ > 0).
Testová statistika má tvar: 2
12
12
0
R1
2nR
T


 .
Platí-li nulová hypotéza, pak T0 ~ t(n-2).
Kritický obor pro test H0 proti
- oboustranné alternativě:       ,2nt2nt,W 2/12/1 ,
- levostranné alternativě:   2nt,W 1   ,
- pravostranné alternativě:     ,2ntW 1 .
H0 zamítáme na hladině významnosti α, když Wt0  .
Příklad: Testování hypotézy o nezávislosti proti oboustranné alternativě
V dílně pracuje 15 dělníků. Byl u nich zjištěn počet směn odpracovaných za měsíc (náhodná veličina X) a počet
zhotovených výrobků (náhodná veličina Y):
X 20 21 18 17 20 18 19 21 20 14 16 19 21 15 15
Y 92 93 83 80 91 85 82 98 90 60 73 86 96 64 81.
Předpokládejte, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení. Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X
a Y a na hladině 0,01 testujte hypotézu o nezávislosti X a Y proti oboustranné alternativě.
Řešení:
Vypočteme realizace
výběrových průměrů: m1 = 
n
1i
ix
n
1
= 18,267, m2 = 
n
1i
iy
n
1
= 83,6,
výběrových rozptylů: s1
2
=  


n
1i
2
1i mx
1n
1
= 5,6381, s2
2
=  


n
1i
2
2i my
1n
1
= 121,4,
výběrové kovariance: s12 =   


n
1i
2i1i mymx
1n
1
= 24,2571,
výběrového koeficientu korelace:
21
12
12
ss
s
r  = 0,927.
Realizace testové statistiky: 2
12
12
0
r1
2nr
t


 = 8,912,
kritický obor        ,012,3012,3,,13t13t,W 995,0995,0 .
Protože Wt0  , hypotézu o nezávislosti veličin X a Y zamítáme na hladině významnosti 0,01. S rizikem omylu nejvýše 1%
jsme tedy prokázali, že mezi počtem směn odpracovaných za měsíc a počtem zhotovených výrobků existuje závislost.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X, Y a 15 případech. Dvourozměrnou normalitu dat ověříme pomocí dvourozměrného
tečkového diagramu: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, Y – OK – odškrtneme Typ proložení Lineární – na
záložce Detaily zaškrtneme Elipsa Normální - OK.
10 15 20 25 30
x
50
60
70
80
90
100
110
120
y
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti
vybereme Zobrazit detailní tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (smeny a vyrobky.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
X
X
Y
Y
X
Y
Y
18,26667 2,37447
18,26667 2,37447 1,000000 1,000000 15 0,000000 1,000000 0,000000 1,000000
18,26667 2,37447
83,60000 11,01817 0,927180 0,859663 8,923795 0,000001 15 5,010135 4,302365 1,562407 0,199812
83,60000 11,01817
18,26667 2,37447 0,927180 0,859663 8,923795 0,000001 15 1,562407 0,199812 5,010135 4,302365
83,60000 11,01817
83,60000 11,01817 1,000000 1,000000 15 0,000000 1,000000 0,000000 1,000000
Výběrový koeficient korelace se realizoval hodnotou 0,92718, testová statistika nabyla hodnoty 8,924, odpovídající phodnota
je 0,000001, tedy na hladině významnosti 0,01 zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X, Y.