Jednoduchá lineární regrese
Motivace: Cíl regresní analýzy - popsat závislost hodnot veličiny Y na hodnotách veličiny X.
Nutnost vyřešení dvou problémů:
a) jaký typ funkce se použije k popisu dané závislosti;
b) jak se stanoví konkrétní parametry daného typu funkce?
ad a) Při určení typu funkce je třeba provést teoretický rozbor zkoumané závislosti. Teoretická analýza může upozornit například na
to, že
s růstem hodnot veličiny X budou mít hodnoty veličiny Y tendenci monotónně růst či klesat,
tato tendence má charakter zrychlujícího se či zpomalujícího se růstu či poklesu,
jde o závislost, kdy s růstem hodnot veličiny X dochází zpočátku k růstu hodnot veličiny Y, který je po dosažení určitého maxima
vystřídán poklesem,
apod.
Můžeme např. zkoumat závislost ceny ojetého auta (veličina Y) na jeho stáří (veličina X). Je zřejmé, že s rostoucím stářím bude klesat
cena, ale není jasné, zda lineárně, kvadraticky či dokonce exponenciálně.
Vždy se snažíme o to aby regresní model byl jednoduchý, tj. aby neobsahoval příliš mnoho parametrů. Připadá-li v úvahu více funkcí,
posuzujeme jejich vhodnost pomocí různých kritérií – viz dále.
Často však nemáme dostatek informací k provedení teoretického rozboru. Pak se snažíme odhadnout typ funkce pomocí dvourozměrného
tečkového diagramu.
Zde se omezíme na funkce, které závisejí lineárně na parametrech p10 ,,,   .
Zvláštní pozornost budeme věnovat polynomiální funkci 1. stupně y = β0 + β1x.
ad b) Odhady p10 b,,b,b  neznámých parametrů p10 ,,,   získáme na základě dvourozměrného datového souboru










nn
11
yx
yx
 metodou
nejmenších čtverců, tj. z podmínky, aby součet čtverců odchylek zjištěných a odhadnutých hodnot byl minimální.
Specifikace klasického modelu lineární regrese
   p10 ,,,;xmY  , kde
 p10 ,,,;xm   - teoretická regresní funkce, která lineárně závisí na neznámých regresních parametrech p10 ,,,   a
známých funkcích    xf,,xf p1  , které již neobsahují neznámé parametry, tj.    

p
0j
jjp10 xf,,,;xm  , přičemž   1xf0  .
Jde o deterministickou složku modelu.
Složka  - náhodná složka modelu. Je to náhodná odchylka od deterministické závislosti Y na X. Popisuje závislost
vysvětlované proměnné na neznámých nebo nepozorovaných proměnných a popisuje i vliv náhody. Nelze ji funkčně
vyjádřit.
Veličina Y - závisle proměnná (též vysvětlovaná) veličina.
Veličina X - nezávisle proměnná (též vysvětlující) veličina.
Pořídíme n dvojic pozorování    nn11 y,x,,y,x  , tj. dvourozměrný datový soubor










nn
11
yx
yx
 .
Pro i = 1, ..., n platí:   ip10ii ,,,;xmy   .
O náhodných odchylkách n1 ,,   předpokládáme, že
a)   0E i  (odchylky nejsou systematické)
b)   0D 2
i  (všechna pozorování jsou prováděna s touž přesností)
c)   0,C ji  pro ji  (mezi náhodnými odchylkami neexistuje žádný lineární vztah)
d) i ~  2
,0N  .
V tomto případě hovoříme o klasickém modelu lineární regrese.
Označení
p10 b,,b,b  - odhady regresních parametrů p10 ,,,   (nejčastěji je získáme metodou nejmenších čtverců, tj. z podmínky, že
výraz
 
2
n
1i
p
0j
ijji xfy  








 nabývá svého minima pro βj = bj, j = 0, 1, …, p)
 p0 b,,b;xmˆ  - empirická regresní funkce
   

p
0j
ijjp0ii xfbb,,b;xmˆyˆ  - regresní odhad i-té hodnoty veličiny Y (i-tá predikovaná hodnota veličiny Y)
iii yˆye  - i-té reziduum
 

n
1i
2
iiE yˆyS - reziduální součet čtverců
1pn
S
s E2

 - odhad rozptylu σ2
 

n
1i
2
2iR myˆS - regresní součet čtverců ( 

n
1i
i2 y
n
1
m )
 

n
1i
2
2iT myS - celkový součet čtverců ( ERT SSS  )
Význam jednotlivých typů součtů čtverců
Předpokládejme, že máme dvourozměrný datový soubor, v němž průměr hodnot závisle proměnné veličiny Y je 9 a
závislost veličiny Y na veličině X je popsána regresní přímkou y = 2x + 3. Dvourozměrný tečkový diagram obsahuje bod o
souřadnicích (5, 19), který pochází z datového souboru. Na regresní přímce leží bod o souřadnicích (5, 13).
Odchylka zjištěné hodnoty 19 od průměru 9 je v obrázku označena „Total deviation“ a po umocnění je to jedna ze složek
celkového součtu čtverců ST, tj. složka 2i my  .
Odchylka zjištěné hodnoty 19 od hodnoty 13 na regresní přímce je v obrázku označena „Unexplained deviation“ a po
umocnění je to jedna ze složek reziduálního součtu čtverců SE, tj. složka ii yˆy  .
Odchylka hodnoty 13 na regresní přímce od průměru 9 je v obrázku označena „Explained deviation“ a po umocnění je to
jedna ze složek regresního součtu čtverců SR, tj. složka 2i myˆ  .
Maticový zápis klasického modelu lineární regrese
εXβy  , kde
 '
n1 y,,y y - vektor pozorování závisle proměnné veličiny Y,
   
   










npn1
1p11
xfxf1
xfxf1



X - regresní matice
(předpokládáme, že h(X) = p+1 < n)
  '
p10 ,,,   - vektor regresních parametrů,
  '
n1 ,,   - vektor náhodných odchylek.
Podmínky (a) až (d) lze zkráceně zapsat ve tvaru  ~ Nn(0, σ2
I).
Maticově zapsaná metoda nejmenších čtverců vede na rovnice
X’Xβ = X’y - systém normálních rovnic
b = (X’X)-1
X’ y – odhad vektoru β získaný metodou nejmenších čtverců
yˆ = Xb – vektor regresních odhadů (vektor predikce)
e = y - yˆ - vektor reziduí
Vlastnosti odhadu b:
- odhad b je lineární, neboť je vytvořen lineární kombinací pozorování y1, …, yn s maticí vah   '1'
XXX

;
- odhad b je nestranný, neboť E(b) = β;
- odhad b má varianční matici var b = σ2
(X'X)
-1
;
- odhad b ~ Np+1(β, σ2
(X'X)-1) vzhledem k platnosti podmínky (d);
- pro odhad b platí Gaussova - Markovova věta: Odhad b = (X'X)
-1
X'y je nejlepší nestranný lineární odhad vektoru β.
Příklad
U šesti obchodníků byla zjišťována poptávka po určitém druhu zboží loni (veličina X - v kusech) a letos (veličina Y - v kusech).
číslo obchodníka 1 2 3 4 5 6
poptávka loni (X) 20 60 70 100 150 260
poptávka letos (Y) 50 60 60 120 230 320
Předpokládejte, že závislost letošní poptávky na loňské lze vystihnout regresní přímkou. Sestavte regresní matici, vypočtěte odhady regresních
parametrů a napište rovnici regresní přímky. Interpretujte parametry regresní přímky.
Řešení:
Sestavíme regresní matici.











n
1
x1
x1
X , tedy X =




















2601
1501
1001
701
601
201
.
Podle vzorce   yXXXb '1' 
 získáme odhady regresních parametrů.
Nejprve vypočítáme matici X’X = 





109000660
6606
a k ní inverzní matici (X’X)-1
= 







000027,0003022,0
003022,0499084,0
.
Dále získáme součin X’y = 





138500
840
a nakonec vektor odhadů regresních parametrů: b = 







000027,0003022,0
003022,0499084,0
. 





138500
840
= 





2665,1
6868,0
.
Regresní přímka má tedy rovnici
y = 0,6868 + 1,2665 x.
Znamená to, že při nulové loňské poptávce by letošní poptávka činila 0,6868 kusů a při zvýšení loňské poptávky o 10 kusů by se letošní poptávka
zvedla o 12,665 kusů.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými X a Y a 6 případy:
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnná X - OK – OK – Výpočet: Výsledky regrese.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Tabulka1)
R= ,97197702 R2= ,94473932 Upravené R2= ,93092415
F(1,4)=68,384 p<,00117 Směrod. chyba odhadu : 29,219
N=6
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(4) Úroveň p
Abs.člen
X
0,686813 20,64236 0,033272 0,975052
0,971977 0,117538 1,266484 0,15315 8,269474 0,001167
Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na řádku označeném Abs. člen, koeficient b1 ve sloupci B na řádku
označeném X.
Rovnice regresní přímky:
y = 0,686813 + 1,266484 x.
Znamená to, že při nulové loňské poptávce by letošní poptávka činila 0,6868 kusů a při zvýšení loňské poptávky o 10 kusů
by se letošní poptávka zvedla o 12,665 kusů.
Testování významnosti modelu jako celku (celkový F-test)
Na hladině významnosti α testujeme
H0:    


 0,,0,, p1  proti H1:    


 0,,0,, p1  .
(Nulová hypotéza říká, že dostačující je model konstanty.)
Testová statistika:
 1pnS
pS
F
E
R

 má rozložení F(p, n-p-1), pokud H0 platí.
Kritický obor:     ,1pn,pFW 1 .
WF H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Výsledky F-testu zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu:
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl statistika F
model SR p SR/p
 1pnS
pS
E
R

reziduální SE n-p-1 SE/(n-p-1) celkový
ST n-1 - -
Příklad:
Majitelé prodejny počítačových her nechali své prodavače absolvovat kurz prodejních dovedností. Poté zjišťovali po dobu
20 dnů, kolik osob navštíví během otevírací doby prodejnu (proměnná X) a jaká je v tento den tržba (proměnná Y, udává se
v tisících Kč a je zaokrouhlená).
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
xi 20 21 2 27 28 29 30 31 32 34 35 37 38 39 42 44 48 49 51 54
yi 5 6 7 7 8 9 10 11 12 13 13 14 14 15 16 15 15 14 13 13
Dvourozměrný tečkový diagram
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
x
4
6
8
10
12
14
16
18
y
Z grafu závislosti Y na X vyplývá, že s rostoucím počtem zákazníků se tržby zvyšují, avšak při denním počtu zákazníků asi
42 dosahují svého maxima a pak už zase klesají (vyšší počet zákazníků obsluha prodejny nezvládá a zákazníci odcházejí,
aniž by nakoupili). Zdá se tedy, že vhodným modelem závislosti tržeb na počtu zákazníků bude regresní parabola
 2
210 xxy .
Odhadněte parametry regresního modelu a proveďte celkový F-test.
Řešení:
Vytvoříme nový datový soubor se třemi proměnnými X, Xkv, Y a o 20 případech. Do proměnných X a Y napíšeme zjištěné
hodnoty a do Dlouhého jména proměnné Xkv napíšeme = X^2.
Získání odhadů b0, b1, b2:
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnné X, Xkv - OK – OK – Výpočet: Výsledky re-
grese.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : y (prodejna_software.sta)
R= ,95519276 R2= ,91239322 Upravené R2= ,90208653
F(2,17)=88,524 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 1,0623
N=20
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(17) p-hodn.
Abs.člen
x
xkv
-20,7723 3,373256 -6,15792 0,000011
4,52641 0,548220 1,5651 0,189559 8,25655 0,000000
-3,73838 0,548220 -0,0173 0,002535 -6,81912 0,000003
Regresní parabola má tedy tvar: y = -20,7723 + 1,5651x - 0,0173x2
.
Výsledky celkového F-testu jsou uvedeny v záhlaví výstupní tabulky. Testová statistika F nabývá hodnoty 88,524, odpovídající
p-hodnota je blízká 0, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že dostačující je model konstanty.
Podrobnější výsledky získáme v tabulce analýzy rozptylu:
Aktivujeme Výsledky–vícenásobná regrese – Detailní výsledky – ANOVA
Analýza rozptylu (prodejna_software.sta)
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F p-hodn.
Regres.
Rezid.
Celk.
199,8141 2 99,9070688,524450,000000
19,1859 17 1,12858
219,0000
Testování významnosti regresních parametrů (dílčí t-testy)
Na hladině významnosti α pro j = 0,1, ..., p testujeme hypotézu
H0: βj = 0 proti H1: βj ≠ 0.
Testová statistika:
jb
j
j
s
b
T  má rozložení t(n-p-1), pokud H0 platí.
Kritický obor:        ,1pnt1pnt,W 2/12/1 .
 WTj H0 zamítáme na hladině významnosti α.
Příklad:
V předešlém příkladě, kde byla modelována závislost tržby na počtu zákazníků regresní parabolou, proveďte dílčí t-testy o
nevýznamnosti jednotlivých regresních parametrů
Řešení:
Stačí interpretovat výstupní tabulku vícenásobné regrese:
Výsledky regrese se závislou proměnnou : y (prodejna_software.sta)
R= ,95519276 R2= ,91239322 Upravené R2= ,90208653
F(2,17)=88,524 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 1,0623
N=20
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(17) p-hodn.
Abs.člen
x
xkv
-20,7723 3,373256 -6,15792 0,000011
4,52641 0,548220 1,5651 0,189559 8,25655 0,000000
-3,73838 0,548220 -0,0173 0,002535 -6,81912 0,000003
Sloupec označený t(17) obsahuje realizace testových statistik a sloupec p-hodn. pak odpovídající p-hodnoty. Ve všech třech
případech jsou p-hodnoty menší než 0,05, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézy o nevýznamnosti regresních
parametrů β0, β1, β2.
Kritéria pro posouzení vhodnosti zvolené regresní funkce
a) Index determinace
T
E
T
R2
S
S
1
S
S
ID  - index determinace ( 1ID0 2
 )
 udává, jakou část variability závisle proměnné veličiny Y lze vysvětlit zvolenou regresní funkcí (často se udává v %);
 je zároveň mírou těsnosti závislosti proměnné Y na proměnné X;
 je to obecná míra, nezávislá na typu regresní funkce (lze použít i pro měření nelineární závislosti);
 je to míra, která nebere v úvahu počet parametrů regresní funkce. U regresních funkcí s více parametry vychází tedy
obvykle vyšší než u regresních funkcí s méně parametry;
 tato míra není symetrická.
Za vhodnější se považuje ta regresní funkce, pro niž je index determinace vyšší. V případě, že porovnáváme několik modelů
s rozdílným počtem parametrů, používáme adjustovaný index determinace:
 
1pn
pID1
IDID
2
22
adj


 - adjustovaný index determinace
V příkladu s prodejem software najdeme index determinace ve výstupní tabulce regrese:
Výsledky regrese se závislou proměnnou : y (prodejna_software.sta)
R= ,95519276 R2= ,91239322 Upravené R2= ,90208653
F(2,17)=88,524 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 1,0623
N=20
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(17) p-hodn.
Abs.člen
x
xkv
-20,7723 3,373256 -6,15792 0,000011
4,52641 0,548220 1,5651 0,189559 8,25655 0,000000
-3,73838 0,548220 -0,0173 0,002535 -6,81912 0,000003
Index determinace je zde označen jako R2, nabývá hodnoty 0,9124 a říká nám, že 91,24% variability tržeb je vysvětleno
regresní parabolou. Adjustovaný index determinace je označen Upravené R2.
b) Testové kritérium F
Za vhodnější je považována ta regresní funkce, u níž je hodnota testové statistiky
 1pnS
pS
F
E
R

 pro test významnosti
modelu jako celku vyšší.
Ve výstupní tabulce regrese je testová statistika F uvedena v záhlaví:
Výsledky regrese se závislou proměnnou : y (prodejna_software.sta)
R= ,95519276 R2= ,91239322 Upravené R2= ,90208653
F(2,17)=88,524 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 1,0623
N=20
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(17) p-hodn.
Abs.člen
x
xkv
-20,7723 3,373256 -6,15792 0,000011
4,52641 0,548220 1,5651 0,189559 8,25655 0,000000
-3,73838 0,548220 -0,0173 0,002535 -6,81912 0,000003
V našem příkladě je označena F(2,17) a nabývá hodnoty 88,524.
c) Reziduální součet čtverců a reziduální rozptyl
Reziduální součet čtverců:  

n
1i
2
iiE yˆyS
Za vhodnější považujeme funkci, která má reziduální součet čtverců nižší. Reziduální součet čtverců lze použít pouze tehdy,
když srovnáváme funkce se stejným počtem parametrů.
Reziduální rozptyl:
1pn
S
s E2


Za vhodnější považujeme tu funkci, která má reziduální rozptyl nižší. Reziduální rozptyl můžeme použít vždy, bez ohledu
na to, kolik parametrů mají srovnávané regresní funkce.
Obě charakteristiky najdeme v tabulce ANOVA:
Analýza rozptylu (prodejna_software.sta)
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F p-hodn.
Regres.
Rezid.
Celk.
199,8141 2 99,9070688,524450,000000
19,1859 17 1,12858
219,0000
Reziduální součet čtverců je 19,1859 a reziduální rozptyl je 1,12858.
d) Střední absolutní procentuální chyba predikce (MAPE)



n
1i i
ii
y
yˆy
n
1
MAPE
Za vhodnější považujeme tu funkci, která má MAPE nižší.
Systém STATISTICA MAPE neposkytuje, tuto chybu musíme vypočítat.
Statistiky – Vícerozměrná regrese – Závisle proměnná Y, nezávisle proměnné x, xkv - OK – OK – zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi
– Reziduální analýza – Uložit – Uložit rezidua & předpovědi – vybereme proměnnou y - OK.
K vzniklému datovému souboru přidáme jednu novou proměnnou, nazveme ji chyba a do jejího Dlouhého jména napíšeme
=100*abs((v1-v2)/v1)
Pomocí Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky zjistíme průměr proměnné chyba. V našem případě je
MAPE 9,31%.
e) Analýza reziduí
Rezidua považujeme za odhady náhodných odchylek a klademe na ně stejné požadavky jako na náhodné odchylky, tj.
mají být nezávislá,
mají být normálně rozložená,
mají mít nulovou střední hodnotu,
mají mít konstantní rozptyl (tj. jsou homoskedastická).
Nezávislost reziduí (autokorelaci) posuzujeme např. pomocí Durbinovy – Watsonovy statistiky, která by se měla nacházet
v intervalu 6,2;4,1 (to je ovšem pouze orientační vodítko, korektní postup spočívá v porovnání této statistiky s tabelovanou
kritickou hodnotou).
Normalitu reziduí ověřujeme pomocí testů normality (např. Lilieforsovou variantou Kolmogorovova – Smirnovova testu
nebo Shapirovým – Wilksovým testem) či graficky pomocí N-P plotu.
Testování nulovosti střední hodnoty reziduí provádíme pomocí jednovýběrového t-testu.
Homoskedasticitu reziduí posuzujeme pomocí grafu závislosti reziduí na predikovaných hodnotách. V tomto grafu by
rezidua měla být rovnoměrně rozptýlena.
Příklad: Proveďte analýzu reziduí pro příklad s modelováním závislosti tržby na počtu zákazníků.
Posouzení nezávislosti reziduí pomocí Durbinovy – Watsonovy statistiky:
Statistiky – Vícenásobná regrese – proměnná Závislá: y, nezávislá x, xkv – OK – na záložce Residua/předpoklady/předpovědi
vybereme Reziduální analýza - Detaily – Durbin-Watsonova statistika:
Durbin-
Watson.d
Sériové
korelace
Odhad 0,702506 0,599248
Hodnota této statistiky je nízká, svědčí o tom, že rezidua jsou kladně korelovaná.
Posouzení homoskedasticity reziduí
Reziduální analýza – Bodové grafy – Předpovědi vs. rezidua
Předpovězené hodnoty vs. rezidua
Závislá proměnná : y
2 4 6 8 10 12 14 16
Předpov. hodnoty
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Rezidua
0,95 Int.spol.
Je vidět, že rezidua nejsou kolem 0 rozmístěna náhodně. Model s regresní parabolou tedy není úplně vhodný.
Testování nulovosti střední hodnoty reziduí:
Pro proměnnou Rezidua z tabulky uložené pomocí Reziduální analýzy provedeme jednovýběrový t-test: Statistiky - Základní
statistiky/tabulky – t-test, samost. vzorek – OK – proměnné Rezidua – OK.
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
Rezidua -0,000000 1,00488020 0,224698 0,00 -0,000000 19 1,000000
Na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že střední hodnota reziduí je 0.
Posouzení normality reziduí:
Na záložce Pravděpodobnostní grafy zvolíme Normální pravděpodobnostní graf reziduí:
Normální p-graf z Rezidua
Tabulka1 9v*20c
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Pozorovaný kvantil
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Oček.normál.hodnoty
Rezidua : SW-W = 0,9601; p = 0,5453
Rezidua se řadí kolem ideální přímky, lze tedy soudit, že se řídí normálním rozložením.
Závěr: V neprospěch regresní paraboly hovoří hodnota Durbinovy – Watsonovy statistiky a graf závislosti reziduí na predikovaných
hodnotách.
Popis časových řad
Pojem časové řady: Časovou řadou rozumíme řadu hodnot n1 tt y,,y  určitého ukazatele uspořádanou podle přirozené
časové posloupnosti t1 < ... < tn. Jsou-li časové intervaly (t1, t2), ..., (tn-1, tn) stejně dlouhé (ekvidistantní), zjednodušeně
zapisujeme časovou řadu jako y1, ..., yn. Přitom ukazatel je veličina, která charakterizuje nějaký jev v určitém prostoru a
určitém čase (okamžiku či intervalu).
Druhy časových řad
a) Časová řada okamžiková: příslušný ukazatel udává, kolik jevů existuje v daném časovém okamžiku (např. počet
obyvatelstva k určitému dnu).
b) Časová řada intervalová: příslušný ukazatel udává, kolik jevů vzniklo či zaniklo v určitém časovém intervalu (např. počet
sňatků během roku). Nejsou-li jednotlivé časové intervaly ekvidistantní, musíme provést očištění časové řady od důsledků
kalendářních variací.
Příklad: Máme k dispozici údaje o tržbě obchodní organizace (v tis. Kč) v jednotlivých měsících roku 1995: 2400, 2134,
2407, 2445, 2894, 3354, 3515, 3515, 3225, 3063, 2694, 2600. Vypočtěte očištěné údaje.
Řešení: Průměrná délka měsíce je 365/12 dne. Očištěná hodnota
pro leden 84,2354
3112
365
2400y )o(
1 

 ,
pro únor 18,2318
2812
365
2134y )o(
2 

 .
Pro ostatní měsíce analogicky dostaneme
2361,71; 2478,96; 2839,54; 3400,58, 3448,86; 3448,86; 3269,79; 3005,36; 2731,42; 2551,08.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných: trzba, dm (délky jednotlivých měsíců) a ot (očištěná tržba) a 12
případech. Do proměnné trzba zapíšeme zjištěné hodnoty. Do proměnné dm vložíme délky jednotlivých měsíců, tj. 31, 28,
30, …, 31. Do Dlouhého jména proměnné ot napíšeme =trzba*365/(12*dm).
1
trzba
2
dm
3
ot
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2400 31 2354,839
2134 28 2318,185
2407 31 2361,707
2445 30 2478,958
2894 31 2839,543
3354 30 3400,583
3515 31 3448,858
3515 31 3448,858
3225 30 3269,792
3063 31 3005,363
2694 30 2731,417
2600 31 2551,075
Grafické znázornění okamžikové časové řady
Použijeme spojnicový diagram. Na vodorovnou osu vynášíme časové okamžiky t1, ..., tn, na svislou osu odpovídající
hodnoty y1, ..., yn. Dvojice bodů (ti, yi), i = 1, ..., n spojíme úsečkami.
Příklad: Časová řada obsahuje údaje o počtu zaměstnanců určité akciové společnosti v letech 1989 – 1996 vždy k 31.12.
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
622 627 631 635 641 641 632 625
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných nazvaných rok a pocet a 8 případech.
Grafy – Bodové grafy – odškrtneme Lineární proložení – Proměnné X – rok, Y – počet – OK – OK. 2x klikneme na pozadí
grafu – vybereme Graf: obecné – zaškrtneme Spojnice – OK.
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
620
622
624
626
628
630
632
634
636
638
640
642
pocet
Grafické znázornění intervalové časové řady
Použijeme sloupkový diagram. Je to soustava obdélníků, kde šířka obdélníku je rovna délce intervalu a výška odpovídá
hodnotě ukazatele v daném intervalu. Ke znázornění intervalové časové řady lze použít i spojnicový diagram, přičemž na
vodorovnou osu vynášíme středy příslušných intervalů.
Příklad: Máme k dispozici údaje o produkci určitého podniku (v tisících výrobků) v letech 1991-1996.
1991 1992 1993 1994 1995 1996
114 106 107 102 116 137
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných nazvaných rok a produkce a 6 případech.
Grafy – Bodové grafy – odškrtneme Lineární proložení – Proměnné X – rok, Y – produkce – OK – OK. 2x klikneme na
pozadí grafu – vybereme Graf: obecné – zaškrtneme Spojnice – Přidat nový graf – typ Sloupcový graf – OK. Do sloupců
označených jako Nový1, Nový2 okopírujeme hodnoty proměnných rok a produkce. Ve Všech možnostech: Sloupce
upravíme šířku sloupce na 1.
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
100
105
110
115
120
125
130
135
140
produkce
Průměr okamžikové časové řady
Nejprve vypočteme průměry pro jednotlivé dílčí intervaly (t1, t2), (t2, t3), ..., (tn-1, tn):
2
yy
,,
2
yy
,
2
yy n1n3221  
 . Jsou-li
všechny tyto intervaly stejně dlouhé, vypočteme prostý chronologický průměr okamžikové časové řady:
 
















n
2i
n
1n
2i
i
1i1i
2
y
y
2
y
1n
1
2
yy
1n
1
y .
Nemají-li intervaly stejnou délku, vypočteme di = ti – ti-1, i = 2, ..., n a použijeme vážený chronologický průměr okamžikové
časové řady:

 





n
2i
i
i1i
n
2i
i
d
2
yy
d
1
y .
Příklad: Časová řada vyjadřuje počet obyvatelstva ČSSR (v tisících) v letech 1965 až 1974 vždy ke dni 31.12.
Rok 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974
počet 14194 14271 14333 14387 14443 14345 14419 14576 14631 14738
Charakterizujte tuto časovou řadu chronologickým průměrem.
Řešení: 14430
2
14738
1463114271
2
14194
9
1
y 





  .
Průměr intervalové časové řady



n
1i
iy
n
1
y .
Příklad:Vypočtěte průměrnou hodnotu roční časové řady HDP ČR (v miliardách Kč) v letech 1994 až 2000.
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
1303,6 1381,1 1447,7 1432,8 1401,3 1390,6 1433,8
Řešení:   7,13988,14336,1303
7
1
y   .
Dynamické charakteristiky časových řad
Absolutní přírůstky
1. diference: n,,2i,yyy 1iii  
2. diference:  
n,,3i,yy2yyyy 2i1ii1iii
2
 
atd.
(Diferencování má velký význam při odhadu trendu časové řady regresními metodami.)
Průměrný absolutní přírůstek:
1n
yy
1n
y
1n
n
2i
i








Relativní přírůstek
n,,2i,
y
y
1i
i
i 



(Relativní přírůstek po vynásobení 100 udává, o kolik procent se změnila hodnota v čase ti oproti času ti-1.)
Koeficient růstu (tempo růstu)
n,,2i,
y
y
k
1i
i
i 

(Koeficient růstu po vynásobení 100 udává, na kolik procent hodnoty v čase ti-1 vzrostla či poklesla hodnota v čase ti.)
Průměrný koeficient růstu
1n
1
n1n
n32
y
y
kkkk   
Průměrný relativní přírůstek
1k 
Příklad: Pro časovou řadu HDP ČR v letech 1994 až 2000 (v miliardách Kč) vypočtěte základní charakteristiky dynamiky a
graficky znázorněte 1. diference a koeficienty růstu.
Řešení:
rok HDP Δyi ki δi
1994 1303,6 x x x
1995 1381,1 77,5 1,059 0,059
1996 1447,7 66,6 1,048 0,048
1997 1432,8 -14,7 0,990 -0,010
1998 1401,3 -31,5 0,978 -0,022
1999 1390,6 -10,7 0,992 -0,008
2000 1433,8 43,2 1,031 0,031
Průměrný absolutní přírůstek: 7,21
6
6,13038,1433


 , tzn., že v období 1994 – 2000 rostl HDP průměrně o 21,7 miliard Kč
ročně.
Průměrný koeficient růstu: 016,1
6,1303
8,1433
k 6  , tzn., že v období 1994 – 2000 rostl HDP průměrně o 1,6% ročně.
Graf 1. diferencí: Graf koeficientů růstu:
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
rok
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1.diference
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
rok
0.97
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
koeficientyrůstu
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné HDP – OK – OK (transformace,
autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Diferencování - OK (transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf.
Graf proměnné: HDP
D(-1)
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5
Čísla případů
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
HDP
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nové datové okno, kde v proměnné HDP_1 jsou
uloženy 1. diference.
HDP HDP_1
1 1303,600
2 1381,100 77,500
3 1447,700 66,600
4 1432,800 -14,900
5 1401,300 -31,500
6 1390,600 -10,700
7 1433,800 43,200
Výpočet relativních přírůstků:
1i
i
i
y
y


 pro i = 2,...,n
Vrátíme se do Transformace proměnných – označíme proměnnou, kterou chceme transformovat (HDP) – vybereme Posun –
OK, (Transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf.
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Tato transformovaná veličina se uloží do tabulky pod názvem
HDP_1 (proměnná s 1. diferencemi se přejmenuje na HDP_2). Přidáme novou proměnnou RP a do jejího Dlouhého jména
napíšeme vzorec =HDP_2/HDP_1.
Výpočet koeficientů růstu:
1i
i
i
y
y
k

 pro i = 2,...,n
Do tabulky přidáme proměnnou KR a do jejího Dlouhého jména napíšeme vzorec =HDP/HDP_1. Získáme tabulku
1
HDP
2
HDP_2
3
HDP_1
4
RP
5
KR
1
2
3
4
5
6
7
8
1303,600
1381,100 77,500 1303,6000,0594511,059451
1447,700 66,600 1381,1000,0482221,048222
1432,800 -14,900 1447,700 -0,01029 0,989708
1401,300 -31,500 1432,800 -0,02198 0,978015
1390,600 -10,700 1401,300 -0,00764 0,992364
1433,800 43,200 1390,6000,0310661,031066
1433,800
Pomocí Grafy - 2D Grafy – Spojnicové grafy (Proměnné) vykreslíme průběh relativních přírůstků a koeficientů růstu.
Průměrný absolutní přírůstek a průměrný koeficient růstu vypočteme na kalkulačce pomocí vzorců
7,21
6
6,13038,1433


 a 016,1
6,1303
8,1433
k 6  .
Aditivní model časové řady
Předpokládejme, že pro časovou řadu y1, ..., yn platí model
yt = f(t) + εt, t = 1, ..., n, kde
f(t) je neznámá trendová funkce (trend), kterou považujeme za systematickou (deterministickou) složku časové řady
(popisuje hlavní tendenci dlouhodobého vývoje časové řady),
εt je náhodná složka časové řady zahrnující odchylky od trendu. Náhodná složka splňuje předpoklady
E(εt) = 0,
D(εt) = σ2
,
C(εt, εt+h) = 0,
εt ~ N(0, σ2
) (říkáme, že εt je bílý šum).
Odhad trendu časové řady pomocí klouzavých průměrů
Podstata klouzavých průměrů
Předpokládáme, že časová řada se řídí aditivním modelem
yt = f(t) + εt, t = 1, ..., n.
Odhad trendu v bodě t získáme určitým zprůměrováním původních pozorování z jistého okolí uvažovaného časového
okamžiku t. Můžeme si představit, že podél dané časové řady klouže okénko, v jehož rámci se průměruje. Nechť toto
okénko zahrnuje d členů nalevo od bodu t a d členů napravo od bodu t. Hovoříme pak o vyhlazovacím okénku šířky h = 2d
+ 1. Prvních a posledních d hodnot trendu neodhadujeme, protože pro    n,,1dnd,,1t   není vyhlazovací okénko
symetrické. Odhad trendu ve středu vyhlazovacího okénka je dán vztahem:
  






d2
0k
kdtdt1dtdt y
1d2
1
yyy
1d2
1
)t(fˆ  , t = d+1, ..., n-d.
Šířka vyhlazovacího okénka
Velmi důležitou otázkou je stanovení šířky vyhlazovacího okénka. Je-li okénko příliš široké, bude se odhad trendu blížit
přímce (říkáme, že je přehlazen) a zároveň se ztratí velký počet členů na začátku a na konci časové řady. Je-li naopak
okénko úzké, bude se odhad trendu blížit původním hodnotám (říkáme, že odhad je podhlazen). Nejčastěji se volí šířka
okénka h = 3, 5, 7, pro čtvrtletní hodnoty pak 4.
Příklad: Časová řada 215, 219, 222, 235, 202, 207, 187, 204, 174, 172, 201, 272 udává roční objemy vývozu piva
(v miliónech litrů) z Československa v letech 1980 až 1991.
a) Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okénkem šířky 3 a poté 5.
b) Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým trendem.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor export_piva.sta o dvou proměnných ROK a VYVOZ a dvanácti případech.
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné Y – OK– OK (transformace,
autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Vyhlazování – zaškrtneme N-bod. klouzavý průměr, N = 3 – OK (Transformovat
vybrané řady) – vykreslí se graf, vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nový spreadsheet,
kde v proměnné VYVOZ_1 jsou uloženy klouzavé průměry pro N = 3. Totéž uděláme pro případ N = 5. Ve spreadsheetu se
proměnná VYVOZ_1 přepíše na VYVOZ_2 a nová proměnná se uloží jako VYVOZ_1. Nově vzniklé proměnné nazveme
KP3 a KP5. K datovému souboru přidáme proměnnou ROK, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme =1979+v0.
export_piva.sta
1
rok
2
VYVOZ
3
KP3
4
KP5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1980 215,000
1981 219,000 218,667
1982 222,000 225,333 218,600
1983 235,000 219,667 217,000
1984 202,000 214,667 210,600
1985 207,000 198,667 207,000
1986 187,000 199,333 194,800
1987 204,000 188,333 188,800
1988 174,000 183,333 187,600
1989 172,000 182,333 204,600
1990 201,000 215,000
1991 272,000
Grafické znázornění časové řady s odhadnutým trendem provedeme pomocí vícenásobných bodových grafů.
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
160
180
200
220
240
260
280
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
160
180
200
220
240
260
280
Porovnání empirického a teoretického rozložení
Motivace: Možnost použití statistických testů je podmíněna nějakými předpoklady o datech. Velmi často je to předpoklad o
typu rozložení, z něhož získaná data pocházejí. Mnoho testů je založeno na předpokladu normality. (Testování normality
bylo probráno ve 2. kapitole.) Opomíjení předpokladů o typu rozložení může v praxi vést i ke zcela zavádějícím výsledkům,
proto je nutné věnovat tomuto problému patřičnou pozornost.
V této kapitole se seznámíme s testem dobré shody, který je (po splnění určitých předpokladů) použitelný k ověření shody
empirického rozložení s jakýmkoliv teoretickým rozložením. Tato univerzálnost je ovšem provázena poněkud sníženou
silou testu. Proto byly pro některá rozložení vyvinuty speciální testy využívající charakteristických vlastností těchto
rozložení. Zde uvedeme tzv. jednoduché testy exponenciálního a Poissonova rozložení.
Testy dobré shody
Popis testu
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení s distribuční funkcí Φ(x).
Spojitý případ:
- data rozdělíme do r třídicích intervalů  1jj u,u  , j = 1, ..., r
- zjistíme absolutní četnost nj j-tého třídicího intervalu
- vypočteme pravděpodobnost pj, že náhodná veličina X s distribuční funkcí Φ(x) se bude realizovat v j-tém třídicím
intervalu. Platí-li nulová hypotéza, pak pj = Φ(uj+1) - Φ(uj).
Diskrétní případ:
- určíme varianty x[j], j = 1, …, r
- pro variantu x[j] zjistíme absolutní četnost nj
- vypočteme pravděpodobnost pj, že náhodná veličina X s distribuční funkcí Φ(x) se bude realizovat variantou x[j].
Platí-li nulová hypotéza, pak     
 
  j
xx
jj xXPxlimxp
j


.
Testová statistika:
 



r
1j j
2
jj
np
npn
K . Platí-li nulová hypotéza, pak K ≈ χ2
(r-1-p), kde p je počet odhadovaných parametrů
daného rozložení. (Např. pro normální rozložení p = 2, protože z dat odhadujeme střední hodnotu a rozptyl.) Pokud žádný
parametr nemusíme odhadovat, hovoříme o úplně specifikovaném problému. Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické
hladině významnosti α, když K ≥ χ2
1-α(r-1-p). Aproximace se považuje za vyhovující, když npj ≥ 5, j = 1, ..., r.
Upozornění: Při nesplnění podmínky npj ≥ 5, j = 1, ..., r je třeba některé intervaly resp. varianty slučovat, což vede ke ztrátě
informace. Ve spojitém případě je hodnota testové statistiky K silně závislá na volbě třídicích intervalů
Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při úplně specifikovaném problému)
Ze souboru rodin s pěti dětmi bylo náhodně vybráno 84 rodin a byl zjišťován počet chlapců:
Počet chlapců 0 1 2 3 4 5
Počet rodin 3 10 22 31 14 4
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení počtu chlapců se řídí binomickým rozložením Bi(5; 0,5).
Řešení: Počet chlapců v náhodně vybrané rodině s 5 dětmi je náhodná veličina s rozložením Bi(5; 0,5), její pravděpodobnostní funkce je
,50,1,j,
32
1
j
5
pj 





 .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 3 0,03125 84.0,03125=2,625
1 10 0,15625 84.0,15625=13,125
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25
4 14 0,15625 84.0,15625=13,125
5 4 0,03125 84.0,03125=2,625
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy první dvě varianty a poslední dvě varianty.
j nj pj npj
 
j
2
jj
np
npn 
0 a 1 13 0,1875 84.0,1875=15,75 0,480159
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25 0,688095
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25 0,859524
4 a 5 18 0,1875 84.0,1875=15,75 0,321429
Vypočteme realizaci testové statistiky: K = 0,48059 + 0,688095 + 0,859524 + 0,321429 = 2,3492, počet tříd r = 4, počet odhadovaných
parametrů p = 0, r – p - 1 = 3, kritický obor         ;8147,7,3,1prW 95,0
2
1
2
. Protože WK  , nulovou hypotézu
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor se dvěma proměnnými a čtyřmi případy. Proměnná nj obsahuje zjištěné četnosti (po sloučení
variant), proměnná npj pak teoretické četnosti.
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované vs. očekávané χ2 – OK – Proměnné – Pozorované četnosti nj,
očekávané četnosti npj – OK – Výpočet.
Pozorované vs. očekávané četnosti (T abulka1)
Chi-Kvadr. = 2,349206 sv = 3 p = ,503161
Případ
pozorov.
nj
očekáv.
npj
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
Sčt
13,0000015,75000 -2,75000 0,480159
22,0000026,25000 -4,25000 0,688095
31,0000026,25000 4,75000 0,859524
18,0000015,75000 2,25000 0,321429
84,0000084,00000 0,00000 2,349206
V záhlaví výstupní tabulky je uvedena hodnota testového kritéria (2,349206), počet stupňů volnosti = 3 a p-hodnota
(0,503161). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při neúplně specifikovaném problému – diskrétní případ)
V tabulce jsou roztříděny fotbalové zápasy určité soutěže podle počtu vstřelených branek.
Počet branek 0 1 2 3 4 a víc
Počet zápasů 19 30 17 10 8
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že jde o výběr z Poissonova rozložení.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor s dvěma proměnnými a 5 případy. Proměnná POCET obsahuje počet vstřelených branek,
proměnná CETNOST pak počet zápasů, v nichž bylo dosaženo zjištěného počtu branek.
Statistiky – Prokládání rozdělení – Diskrétní rozdělení – Poissonovo – OK – Proměnná POCET – klikneme na ikonu se
závažím – Proměnná vah CETNOST – Stav Zapnuto – OK – Výpočet.
Proměnná:POCET, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 1,500 (branky.sta)
Chí-kvadrát = 2,07051, sv = 3, p = 0,55790
Kategorie
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
< Nekonečno
19 19 22,61905 22,619018,74294 18,7429422,31302 22,3130 0,25706
30 49 35,71429 58,333328,11440 46,8573333,46952 55,7825 1,88560
17 66 20,23810 78,571421,08580 67,9431325,10214 80,8847 -4,08580
10 76 11,90476 90,476210,54290 78,4860312,55107 93,4358 -0,54290
8 84 9,52381 100,0000 5,51397 84,00000 6,56424 100,0000 2,48603
V tomto případě je parametr λ Poissonova rozložení neznámý, je odhadnut pomocí výběrového průměru a odhad činí 1,5.
Podmínky dobré aproximace jsou splněny, dokonce všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Dále je v záhlaví výstupní
tabulky uvedena hodnota testového kritéria (2,07051), počet stupňů volnosti r – p – 1 = 5 – 1 – 1 = 3 a p-hodnota (0,5578).
Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení diskrétních rozložení – Základní výsledky – Graf pozorovaného a očekávaného
rozdělení.
-1 0 1 2 3 4 5
Kategorie (horní meze)
0
5
10
15
20
25
30
35
Početpozorování
Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při neúplně specifikovaném problému – spojitý případ)
U 48 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška (v cm): 165 170 170 179 170 168 174 162 167 165 170
173 183 176 165 168 171 178 168 168 169 163 172 184 176 175 176 169 168 170
166 160 167162 162 166 170 168 155 162 169 166 160 169 165 163 168 163
Pomocí testu dobré shody testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí z normálního rozložení. Pomocí
histogramu posuďte vizuálně předpoklad normality.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky - Prokládání rozdělení – ponecháme implicitní nastavení na normální rozložení – OK – Proměnná X – OK – na
záložce Parametry změníme Počet kategorií na 7 (podle Sturgesova pravidla) – Výpočet.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální (vyska.sta)
Chí-kvadrát = 1,09280, sv = 1 (uprav.) , p = 0,29585
Horní
hranice
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 157,14286
162,28571
167,42857
172,57143
177,71429
182,85714
< Nekonečno
1 1 2,08333 2,0833 1,19706 1,19706 2,49387 2,4939 -0,19706
6 7 12,50000 14,5833 5,51484 6,7118911,48924 13,9831 0,48516
12 19 25,00000 39,583313,46220 20,1740928,04624 42,0293 -1,46220
19 38 39,58333 79,166715,89146 36,0655533,10721 75,1366 3,10854
6 44 12,50000 91,6667 9,07700 45,1425518,91042 94,0470 -3,07700
2 46 4,16667 95,8333 2,50365 47,64620 5,21594 99,2629 -0,50365
2 48 4,16667 100,0000 0,35380 48,00000 0,73708 100,0000 1,64620
Při tomto roztřídění dat do 7 intervalů nejsou splněny podmínky dobré aproximace, ve třech intervalech jsou teoretické
četnosti pod 5. Změníme tedy dolní mez na 159 a horní na 178.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální (vyska.sta)
Chí-kvadrát = 3,85268, sv = 4, p = 0,42631
Horní
hranice
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 161,71429
164,42857
167,14286
169,85714
172,57143
175,28571
< Nekonečno
3 3 6,25000 6,25005,722996 5,7230011,92291 11,9229 -2,72300
7 10 14,58333 20,83335,675946 11,3989411,82489 23,7478 1,32405
9 19 18,75000 39,58337,862633 19,2615716,38048 40,1283 1,13737
11 30 22,91667 62,50008,812455 28,0740318,35928 58,4876 2,18755
8 38 16,66667 79,16677,991516 36,0655516,64899 75,1366 0,00848
3 41 6,25000 85,41675,863558 41,9291012,21575 87,3523 -2,86356
7 48 14,58333 100,00006,070896 48,0000012,64770 100,0000 0,92910
V tomto případě jsou podmínky dobré aproximace splněny. Testová statistika se realizuje hodnotou 3,85268, p-hodnota je
0,42631, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě nezamítáme. Podívejme se ještě na
histogram s proloženou Gaussovou křivkou: Na záložce Základní výsledky zvolíme Graf pozorovaného a očekávaného
rozdělení.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální
Chí-kvadrát test = 3,85268, sv = 4, p = 0,42631
160,1429
162,8571
165,5714
168,2857
171,0000
173,7143
176,4286
179,1429
Kategorie (horní meze)
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
Jednoduchý test exponenciálního a Poissonova rozložení
Jednoduchý test exponenciálního rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního rozložení. Označme M výběrový
průměr a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme, že střední hodnota náhodné veličiny X ~ Ex(λ) je E(X) = 1/λ
a rozptyl je D(X) = 1/λ2
. Test založíme na statistice
 
2
2
M
S1n
K

 , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí
rozložením χ2
(n-1). Kritický obor:       ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
. Jestliže WK  , H0 zamítáme na asymptotické hladině
významnosti α.
Příklad
Byla zkoumána doba životnosti 45 součástek (v hodinách). Průměrná životnost byla m = 99,93 a rozptyl s2
= 7328,91. Na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází z exponenciálního rozložení.
Řešení:
Testovou statistiku K vypočteme podle vzorce
 
2
2
M
S1n
K

 . Kritický obor má tvar:       ;1n1n;0W 2/1
2
2/
2
.
V našem případě K = 32,2924, ,;202,64575,27;0W  H0 tedy nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Jednoduchý test Poissonova rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení. Označme M výběrový průměr
a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme, že střední hodnota náhodné veličiny X ~ Po(λ) je E(X) = λ a rozptyl
je D(X) = λ. Test založíme na statistice
 
M
S1n
K
2

 , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
χ2
(n-1). Kritický obor:       ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
. Jestliže WK  , H0 zamítáme na asymptotické hladině
významnosti α.
Příklad
Studujeme rozložení počtu pacientů, kteří během 75 dnů přijdou na pohotovost. Osmihodinovou pracovní dobu rozdělíme
do půlhodinových intervalů a v každém intervalu zjistíme počet příchozích pacientů:
Počet pacientů 0 1 2 3 4 4 6 7 8 9 10
Pozrovaná četnost 79 188 282 275 196 114 45 10 7 3 1
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází z Poissonova rozložení.
Řešení:
Celkový počet pacientů je n = 1200. Realizaci výběrového průměru M získáme jako vážený průměr počtu pacientů (m =
2,8033) a realizaci výběrového rozptylu S2
získáme jako vážený rozptyl počtu pacientů (s2
= 2,7086). Testovou statistiku
vypočteme podle vzorce
 
M
S1n
K
2

 , tedy K = 1158,5, kritický obor
         
.;86,129693,1104;0
,11991199,0,1n1n,0W 975,0
2
025,0
2
2/1
2
2/
2

 
Protože testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.