1   Domácí úkol 1, Termín odevzdání: 14. dubna 2017
Domácí úkol můžete odevzdat
1. v papírové podobě
2. v elektronické podobě do odevzdávárny předmětu ve formátu .pdf;.odt;.doc;.ps (Domácí úkol neodevzdávejte jako sken nebo fotografii ručně psaného řešení)
Pokud odevzdáte domácí úkol po termínu, pak Vám bude za každý den zpoždění strženo 10 % bodů. Problémy k řešení
1. (3 body) Cournotův oligopol s firmami maximalizujícími podíl na trhu. Najděte Nashovu rovnováhu Cournotovy hry s lineární inverzní poptávkou a konstantními průměrnými náklady v případě, kdy jedna z firem nemaximalizuje zisk, ale snaží se o maximalizaci tržního podílu tak, aby nedosahovala ztráty. Co se stane, pokud obě firmy maximalizují tržní podíl?
2. (3 body) Dva kandidáti A a B kandidují ve volbách. Z n voličů jich k podporuje kandidáta A a to = n — k podporuje kandidáta B. Hlasování je pro voliče nákladné, náklady jsou ve výši —c, kde 0 < c < 1. Pokud vyhraje preferovaný kandidát obdrží volič výplatu 2, pokud skončí volby remízou obdrží výplatu 1 (pokud jde zároveň hráč volit, je třeba odečíst c). Předpokládejme, že k íí to. Ukažte, že existuje p e [0,1] takové, že hra má Nashovu rovnováhu v níž jde volič kandidáta A volit s pravděpodobností p, k voličů kandidáta B jde volit vždy a zbývajících to — k voličů B nevolí. Ukažte, jak p závisí na c.
3. (3 body) Každý ze dvou lidí má jednu jednotku zdroje. Rozhodují se kolik z této jedné jednotky vydají na boj s druhým hráčem (můžete si to představit jako zdroje vydané na kriminální činnost a ochraně proti ní) a kolik investují do produktivního použití. Pokud oba hráči investují y i do boje, pak jejich společný produkt bude f(yi ,y2) =2 — yi—y2 (všimněte si, že čím více investují do kriminální činnosti, tím méně vyrobí). Z tohoto produktu získá hráč i podíl Pí daný následovně:
(tj. kdo dá víc na kriminální činnost sebere druhému veškerou jeho produkci). Najděte Nashovy rovnováhy v čistých strategiích.
4. (3 body) Uvažujte hru kupování hlasů (viz průvodce k učebnici), ve které je k prosazení zákona potřeba výraznější většiny. Konkrétně předpokládejme 7 zákonodárců, přičemž ke schválení návrhu je potřeba hlasu 5 z nich. Skupina X si návrhu x cení na Vx = 750, skupina Y si svého návrhu cení na Vy = 400. Pokud není schválen ani návrh x ani y, pak zůstává v platnosti dosavadní zákon, který si obě skupiny cení na 0. Skupina X uplácí první, poté uplácí skupina Y. Najděte SPE. Jsou na tom skupiny v rovnováze lépe než kdyby ke schválení stačila jen prostá většina 4 zákonodárců?
5. (3 body) Truel. Každá ze tří osob A,B a C má revolver s jednou kulkou. Každá z osob, pokud je živá, může vystřelit na další osobu. První střílí osoba A, pak B a nakonec C. Každá z osob se trefí a zabije svůj cíl s určitou pravděpodobností p a, Pb a pc, které jsou různé. Každá z osob se snaží maximalizovat pravděpodobnost, že přežije a snížit nebezpečí, které mu hrozí od dalších (Předpokládejte, že hráč vystřelí i v případě, kdy mu nehrozí nebezpečí. Poslední kulka bude tedy rovněž po někom vystřelena. Hráči se v této situaci snaží zabít nebezpečnějšího soupeře.) Modelujte situaci jako extenzivní hru s exogénni nejistotou a najděte SPE. Ukažte, že pro hráče C, je lepší, pokud je horší střelec než B. Dále uvažujte, že hráči mohou vystřelit do vzduchu a najděte SPE pro případ pa < Pb-
0
1
1
2
pokud yt < yj pokud yl = yj pokud y, > y j