Chapter 1
Východiska modelu
• Dva agenti - domácnosti a firmy.
• Agenti optimalizují, jsou racionální, trhy se čistí.
Domácnosti:
• Maximalizují užitek daný užitkovou funkcí, obecně U(ct, l—k) při daném rozpočtovém omezení (všechny veličiny jsou v reálném vyjádření).
• Domácnosti volí ct (spotřeba, poptávka po zboží), /f (nabídka práce), A;f (nabídka kapitálu; domácnosti spoří formou nákupu kapitálu).
• Tvoří poptávkovou stranu na trhu zboží a nabídkovou stranu na trzích práce a kapitálu.
Firmy:
• Maximalizují zisk při daném omezení zdrojů - kapitálu, práce a půdy (uvažujeme jako konstantu).
• Tvoří nabídkovou stranu na trhu zboží (yt) a poptávkovou stranu na trzích práce (/f) a kapitálu (fcf).
V ekonomice jsou tedy tři trhy:
• Trh zboží: yt = ct.
• Trh práce: if = /f.
• Trh práce: kf = kf.
• Trhy jsou vždy v rovnováze    v DSGE modelech se těžko hledá kauzalita.
1
Chapter 2 Odvození modelu
2.1 Domácnosti
Domácnosti maximalizují očekávanou hodnotu součtu očekávaných diskontovaných užitků daných užitkovou funkcí
oo
maxEo      (?U{ct, 1 - lt) (2.1)
í=0
při rozpočtovém omezení, které lze vyjádřit jako "aktiva+příjmy = pasiva+výdaje":
ltwt + Rtkt-i + h-i + U + i^t-i = ct + kt + ftí_i (2.2)
kde wt je reálná mzda. Dále Rt je nominální (tady si nejsem jistý - jde o nominální úrokovou míru, která je díky absenci inflace zároveň rovna reálné?) úroková míra, tt jsou čisté vládní transfery, o kterých budeme dále předpokládat, že jsou nulové. Zisky plynoucí domácnostem vyjadřuje výraz nt_i (v dokonalé konkurenci jsou zisky nulové) a ô je parametr depreciace kapitálu. Rozpočtové omezení lze tedy zapsat:
ltwt + (1 + Rt- 5)kt-i = (k + kt. (2.3)
Potřebujeme ještě počáteční podmínky k0 > 0, ct, kt > OVí.
2.1.1 Užitkové funkce
2.1.2 Řešení problému domácností
Domácnosti řeší lagrangián:
oo
Lt(ct, lt, kt) = EQY,Pt [U(ct, l-lt) + Xt (ltwt + {l + Rt- S)kt-i - q - kt)} (2.4)
í=0
2
2.1. DOMÁCNOSTI
CHAPTER 2. ODVOZENÍ MODELU
Podmínky optimality:
B T
1    Uct + At = 0 (2.5)
Bct dLt
-Uh + Xtwt = 0 (2.6)
dLt dkt
dlt
-Xt + Et[Xt+1(l + Rt-S)] = 0 (2.7) BT
—t=0^BC. (2.8)
d\t
Kombinací 2.5 s 2.7, tedy podmínek optimality pro spotřebu a kapitál, můžeme získat Eulerovu rovnici, která určuje optimální výši spotřeby. Nejprve přepíšeme 2.7 do tvaru
-=^— = (l + Rt-S) (2.9) a kombinací rovnice 2.5 v čase t a t + 1 získáme
At Ut
Ct
EtXt+i l3EtUCt+1 Kombinací předchozího získáme Eulerovu rovnici
(2.10)
(l + Rt-S) = -r^— (2.11)
Tato rovnice popisuje rovnováhu na trhu statků. Předpokládejme, že užitková funkce domácností má tvar
U(ct, l-lt) = logCí + i) log(l - lt). (2.12)
Parametr ip lze interpretovat jako Frischovu elasticitu nabídky práce. Eulerovu rovnici tedy zapíšeme jako
(l + Rt-5) = ^^. (2.13)
Dále nás zajímá rovnováha na trhu práce. Nabídku práce lze získat kombinací podmínek optimality pro spotřebu a práci 2.5 a 2.6
ii-r^j-   =  wt (2.14)
lt  = (2.15)
wt
3
2.2. FIRMY
CHAPTER 2. ODVOZENÍ MODELU
2.2 Firmy
Firmy maximalizují zisk daný výrazem
nt = yt- Rtkt-x - ltwt (2.16) při omezení daném Cobb-Douglasovou produkční funkcí
Yt = atkt:?lf. (2.17)
Parametr a označuje podíl výrobního faktoru práce na příjmu z produktu a at je exogénne daná úroveň technologie, jejíž logaritmus následuje AR(1) proces. Firmy volí množství práce a kapitálu, které chtějí poptávat. Analogicky jako u domácností lze odvodit optimality k problému firem:
(1 - a)atkt°$; = Rt (2.18)
aatktlfl?-1 = wt (2.19)
Tyto rovnice udávají poptávku firem po výrobních faktorech. Dosazením obou podmínek optimality do výrazu pro zisk firmy můžeme ověřit, že zisk je nulový.
2.3 Rovnováha
Rovnováha je definována jako stav, ve kterém
• Domácnosti maximalizují užitek při daných at, nt.
• Firmy maximalizují zisk při daných at, nt.
• Všechny trhy se čistí.
2.3.1   Trh práce
Rovnici popisující rovnováhu na trhu práce získáme kombinací 2.19 a 2.14:
wt  =  wt (2.20)
ÍJj^   =  aatkl^ir1 (2.21)
4
2.3. ROVNOVÁHA
CHAPTER 2. ODVOZENÍ MODELU
2.3.2 Trh kapitálu
Rovnici popisující rovnováhu na trhu kapitálu získáme dosazením do rozpočtového omezení domácností za ceny (mezní produkty) výrobních faktoru z 2.18 a 2.19:
Itaatktlfl?-1 + kt-iil - a^tk^l? + (1 - ô)kt-i   =  Ct + h (2.22) ayt + (1 - a)yt + (1 - =  ct + kt (2.23)
Vt = (k + kt - (1 - ô) Vi (2.24) yt  =  ct + it (2.25)
Rovnice 2.24 popisuje akumulaci kapitálu.
2.3.3 Trh zboží
Rovnováhu trhu zboží popisuje Eulerova rovnice 2.13, do které dosadíme za Rt z rovnice 2.18.
2.3.4 Dynamická rovnováha
V modelu máme šest proměnných: q, lt, kt, at, yt, Rt. Tady nerozumím tomu, proč tu není zařazena i mzda wt - stejně jako Rt je i mzda určena jako mezní produkt, tedy pro jejich určení se používají ty samé veličiny a pokud do Eulerovi rovnice dosadíme, nepotřebujeme Rt vlastně vůbec. Dynamickou rovnováhu popisuje těchto šest rovnic:
(l + Rt-6)  = (2.26)
=  otatkl-X'1 (2-27)
Vt =  ct + kt-(l-ô)kt^ (2.28)
yt =  atkl^lf (2.29)
log at = p log at-i + e (2.30)
Rt = (l- a)atkt^lt (2.31)
Tedy Eulerova rovnice, rovnice trhu práce, proces akumulace kapitálu, produkční funkce, exogénni proces pro technologii a výraz pro úrokovou míru.
5
Chapter 3
Vyřešení modelu
Nyní potřebujeme model vyřešit. Budeme chtít získat tzv. log-linearizované řešení. Postup bude takovýto:
1. Najdeme steady state (dlouhodobou rovnováhu), tj. vyjádříme proměnné jako funkce strukturálních parametrů. Model má steady state právě tehdy když je stacionární.
2. Log-linearizujeme model kolem steady státu pomocí Taylorova rozvoje prvního stupně.
3. Vyřešíme systém racionálních očekávání, čímž získáme tzv. kanonickou reprezentaci DSGE modelu.
4. Přepíšeme model do stavové reprezentace.
3.1   Hledání steady státu
Pro nalezení steady státu odstraníme časové indexy, vezmeme expektace (tady nerozumím, co přesně znamená vzít expektace - znamená to, že prostě budeme brát očekávání jako 100% přesná?) a řešíme proměnné jako funkce strukturálních parametrů. Z Eulerovi rovnice můžeme vyjádřit steady statovou hodnotu Rt. Položíme
Etct+1 = ct = c (3.1)
a tím získáme
13(1 +R- 5) (3.2)
1 + R-Ô (3.3)
í+i-l. (3.4)
6
c
c 1
R* =
3.2. LOG-LINEARIZACE
CHAPTER 3. VYŘEŠENÍ MODELU
Z exogenního procesu pro at při absenci exogenních šoků plyne
log a = p log a. (3.5) Pro p < 1 je řešením této rovnice a = 1.
Steady stateové hodnoty dalších parametrů jsem sice spočítal, ale nejsem si jistý, jestli správně. Pokud je to správně, tak sem přidám ještě i postup, jak jsem se k nim dobral. S využitím toho, že R* už známe, a že a* = 1 je
k*
R*
1>
R*
1>
/*   = (l-a)-ä.
(R
(S-
\ — ď
i,
(R
*\2
V(l-a) í + Äíi + f)
3.2 Log-linearizace
Využijeme vzorce pro Taylorův rozvoj l.řádu se středem v bodě x*
f(x) = f(x*) + f(x*)(x-x*)
Dále využijeme "zkratku"
9f(x) df(x)
x
d log x dx
a zkusíme zlog-linearizovat rovnici popisující akumulaci kapitálu
yt = ct + kt - (1 - 8)h-i-Nejprve zlog-linearizujeme levou stranu rovnice. Upravíme na
y*
a poté použijeme Taylorův rozvoj se středem v y*:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
yt9äy*+(y*el0^-l0Zy*)
(\ogyt - logy*) =y*+ y*yt = y*(l + yt) (3.10)
yt=y
3.2. LOG-LINEARIZACE
CHAPTER 3. VYŘEŠENÍ MODELU
kde výraz
Vt = log Vt ~ logž/* (3-11)
je relativní odchylka yt od steady statové hodnoty y*. Tím jsme zlog-linearizovali levou stranu rovnice.
Pravá strana rovnice je funkcí tří proměnných, ct, kt a h-i- Upravíme na
Ct
+ kt-(l- 5)kt-i = c*elogCt-logc* + £;*elogfct-logfc* - (1 - <J)Jfc*elogfct-1-Iogfc* (3.12)
Opět použijeme Taylorův rozvoj se středem v [c*, k*, k*], kde provedeme tři parciální derivace:
ct + h - (1 - 5)kt-i   =  c* + k* - (1 - 5)k* + c*elogCt-logc*
(log kt - log k*
(logCí-logc*p.l3)
ct=c*
_|_^*glog fct-logfc*
kt=k*
-(1 - í)A;*elogfct-1-logfc*
(logfct-i - log £*)
=  c* + jfc* - (1 - 5)jfc* + c*q + k*kt - (1 - í)fc*Vi y*(l+ž/t)   =  c*(l + ^) + í;*(l + 4)-(l-í)(l + ^-i)
Dále víme, že ve steady státu rovnice platí, takže můžeme psát
y*(l+ýt)  =  c*(l + Čt) + k*(l + kt)-(l-ô)(l + k*kt-i) y*yt  =  ^ + ^-(1-5)^-!
r* 1c* -s 1c* -s
y      y y Obdobně můžeme zloglinearizovat Eulerovu rovnici. Přepíšeme ji do tvaru
1
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
c*glog ct+i-logc* _
-=13 + /3R*elosRt-losR* - S/3
c*glog ct—loge
a začneme s levou stranou. Provedeme Taylorův rozvoj l.řádu se středem v [c*, c*]:
1 C* c*glogct+i-logc*
(3.21)
c*glog ct+i-logc*
c*glogct-logc*
c* g*glogct-logc* c*glog ct+i-logc*
(logcí+1-loge*) (3.22)
g*glogct-logc* 1 + Čí+1 - q.
Ct=C* ,Ct + l=C*
(loge* - log q)
Ct=C*,Ct+l=C*
(3.23)
(3.24)
8
3.2. LOG-LINEARIZACE
CHAPTER 3. VYŘEŠENÍ MODELU
Pravou stranu aproximuje stejným způsobem se středem v R*:
P + PR*elosR*-losR* -5/3  ^  /3 + PR*elosRt-losR* -
-ÔP + PR*elosRt-losR* /3 + /3R* -Ô/3 + /3R*Řt
Rt=R*
(3.25)
(\ogRt-\ogR*) (3.26) (3.27)
Rovnici nyní můžeme napsat v aproximovaném tvaru a odečíst od ní rovnici ve steady sta téových proměnných, o které víme, že platí jako rovnost. Tím dostaneme finální tvar log-linearizované Eulerovi rovnice.
1 + Čt+1-Čt  = /3 + I3R* -Sl3 + l3R*Řt (3.28) 1  = f3 + f3R*-S/3 (3.29)
ct+i-ct  = PR*Rt (3.30)
Na příkladu produkční funkce můžeme ukázat postup, který lze aplikovat v příkladě, kdy jsoiu obě strany rovnice v součinu. Princip spočívá v tom, že celou rovnici zlogar-itmujeme a vyhodnotíme nejprve v původním čase a poté ve steady státu. Dvě vzniklé rovnice potom od sebe odečteme a dostaneme výsledný tvar:
\ogyt   =   logat + (1 - a) logfc^i + alog/í (3.31)
log y*   =   log a* + (1 - a) log k* + (3.32)
log yt - log y*   =   log at - log a* + (1 - a) log Vi - (1 - a) log /c* + (3.33)
+a log lt-a log /* (3.34)
ýt  =  át + (l- aOš/t-i + alt (3.35)
Stejným způsobem můžeme log-linearizovat vztah pro úrokovou míru:
\ogRt  =  log(l — a) — akt_i + alt (3.36)
log i?*   =  log(l - a) - ak* + al* (3.37)
Řt  =  alt — akt-i (3.38)
Dál nevím, jestli mám log-linearizovat i exogénni proces pro technologii. Mohl bych od obou stran odečíst loga* a získal bych tak AR(1) proces pro odchylky at od SS. Je to správně?
Poslední rovnice, kterou zbývá log-linearizovat, je rovnováha na trhu práce. Začneme levou stranou
9
3.2. LOG-LINEARIZACE
CHAPTER 3. VYŘEŠENÍ MODELU
ct c* logelogCt~logc*
^T^Tt = ^(i_z*)eiog(i-io-iog(i-i*) (339) - ^YZ-F + ^YZ^(logc*-logc*)- (3-4°)
-^^-(logíl - k) - log(l - ľ)) (3.41) =  ^^(l + Q-í^) (3.42)
Tady nevím, jestli jsem správně označil, co je odchylka u práce - zda je to 1 — lt nebo 1 — lt nebo zda jsou si tyto výrazy rovny. Pravou stranu upravíme stejně:
aatkllfl?-1   =  acrk*1'^*01-1^ + ät + (1-a)kt-! +(a-1)1-lt) (3.43) Nyní máme aproximovánu celou rovnici:
Í)--r(l + ct-l-lt) = aďk^ľ^il + ät + (1 - a)kt-! + (a- 1)1 - lt) (3.44)
1 — í*
a můžeme využít toho, že ve steady státu rovnice platí. Vydělíme tedy rovnici na obou stranách stejným číslem rovným hodnotě obou jednotlivých stran rovnice ve steady státu, čímž nám rovnice přejde do tvaru:
ct - ľ^lt = ät + (1 - a)kt-i + (<*- l)í^lt (3-45)
Pro log-linearizaci této rovnice by bylo lepší využít jednodušší metodu nastíněnou výše, která by vedla je stejnému výsledku podstatně rychleji.
10