1   Extenzivní hry s nedokonalými informacemi
1. Uvažujme následující hru o dvou hráčích. Na začátku dá každý hráč do banku 1 Kč. Pak si vytáhne kartu, která může být buď vysoká nebo nízká. Poté se hráč na kartu podívá. Následně může hráč 1 zvýšit nebo skončit. Pokud skončí, pak hráči porovnají své karty, ten který má vyšší kartu vyhrává. Pokud mají stejné karty, pak si každý bere svou 1 Kč zpět. Pokud zvýší, pak přidá do banku k Kč a hráč 2 může složit nebo srovnat. Pokud srovná, pak dá do banku k Kč a hráči porovnají své karty. Pokud složí, pak hráč 1 získá bank. Modelujte situaci jako extenzivní hru.
2. Najděte Nashovu rovnováhu předchozí hry pro 0 < k < 1 a pro k > 1. Jak souvisí ochota hráče 1 blufovat s k?
3. Seltenův kůň. Najděte slabé sekvenční rovnováhy hry Seltenův kůň.
1 C 2   c      , ,
D
R
L
R
3,3,2 0,0,0        4,4,0 0,0,1
Figuře 1: Seltenův kůň
4. Dva hrají níže uvedenou hru. Jak by vypadala rovnováha, kdyby hra byla hrána jako strategická? Jak by vypadalo SPE extenzivní hry s dokonalými informacemi, kdy hráč 1 hraje jako první? Jak vypadá WSE, níže uvedené hry (ve které hráč 2 nemůže dokonale pozorovat akci hráče 1, e je informační šum).
3,2 1,1 4,3 2,4
3,22 1,1 4,3 2,4
Figuře 2:
5. Uvažujete variantu vstupní hry, ve které jsou akce vyzyvatele rozděleny do dvou kroků. Nejprve se rozhoduje o vstupu a poté se rozhoduje o připravenosti. Preference jsou stejné jako v původní hře. Najděte WSE.
6. Hra Sira Philipa Sydneyho. Hladový rodič má jeden kus jídla, který může dát svému potomku nebo si jej nechat. Rodič je silnější a zajišťuje si vyšší šanci k reprodukci, pokud si nechá jídlo, normalizujme jeho sílu v tomto případě na 1. Pokud dá jídlo potomku, pak je jeho síla S < 1. Potomek může být hladový nebo ne. Pokud potomek nekřičí, pak je jeho síla 1, pokud dostane jídlo; V, pokud není hladový a nedostane jídlo a 0, pokud je hladový a nedostane jídlo. Pokud potomek křičí, pak je jeho síla násobená koeficientem 1 — t, kde t e [0,1]. Označme stupeň spřízněnosti potomka s rodičem r. Výplata každého hráče je dána součtem jeho síly a r násobkem síly spřízněného hráče. Najděte podmínky pro
r, S, V a t, pro které má hra separovanou WSE.
7. Vzdělání jako signál kvality. Každý člověk může mít vysoké schopnosti (H) nebo nízké schopnosti (L) a rozhoduje se o své úrovni vzdělání (e). Vzdělaní je nákladnější pro méně schopného (e/L) než pro schopnějšího (e/H). Každá firma nabízí cenu w. Na straně firem je dokonalá konkurence. Najděte rozsah e*s pro sjednocenou i separovanou rovnováhu této hry. Srovnejte je.
w1,w2
Figuře 3:
8. Oligopol s asymetrickou informací o nákladech. Firma 1 má s pravděpodobností \ konstantní mezní náklady 2 a s pravděpodobností \ má konstantní mezní náklady ve výši 4. Firma 2 má konstantní mezní náklady ve výši 3. V prvním období působí na trhu jen firma 1. Ve druhém období působí na trhu obě firmy a konkurují si Cornoutovským způsobem. Firma 2 nezná náklady firmy 1, ale ví jaké množství produkce vyrobila firma 1 v prvním období. Poptávka má tvar P = 10 — Q. Má tato signalizační hra separovanou rovnováhu? Má tato hra společnou rovnováhu?
9. Odbory proti vládě. Předpokládejme, že odbory se ve dvou po sobě jdoucích obdobích rozhodují, zda budou stávkovat. V případě stávky se vláda rozhoduje, zda odborům ustoupí. Pokud vláda ustoupí, získají odbory výplatu 1. Pokud vláda ustoupí, získají odbory výplatu -1. Pokud odbory nezahájí stávku, pak získají výplatu 0. Vláda může být tvou typů: tvrdá nebo měkká. Měkká vláda získá výplatu 0 když stávka nezačne; -2 když ustoupí; -3 když neustoupí. Tvrdá vláda získá výplatu 0 když stávka nezačne; -3 když ustoupí; -2 když neustoupí. Označme po apriorní pravděpodobnost, že vláda je měkká. Má tato hra separovanou rovnováhu? Má tato hra společnou rovnováhu?
10. Uvažujte variantu modelu o reportování informací ve které je výplatní funkce podřízeného — \y—(t+b) | a výplatní funkce nadřízeného je —\y — t\. Jak vypadá WSE této hry?
11. Královská poštovní společnost má monopol na doručování dopisů. Dopisy mohou být běžné (B) nebo urgentní (U). Užitek odesílatele dopisu je dán funkcí U(p, ť) = | — p, kde p je cena odeslání, t je doba doručení a 6 závisí na typu dopisu. Víme, že 6b = 1 a 9jj = 2. Rezervační užitek odesílatele při neposlání dopisu je roven 0. Zisk pošty z odeslání dopisu je následující II(p, ť) =p — ^.
• Předpokládejte, že pošta ví jaký typ dopisu chce odesílatel poslat. Jaké ceny stanoví?
• Předpokládejte, že pošta neví jaká typ dopisu chce odesílatel poslat. Pravděpodobnost, že odesílatel chce poslat urgentní dopis je 1/3 a běžný dopis 2/3. Jaké ceny stanoví?