Analýza cenných papírů 2 Analýza dluhopisů Durace a konvexita dluhopisu G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 2 Durace a konvexita dluhopisu  Základní rizika dluhopisů  Durace dluhopisu  Konvexita dluhopisu 3 Základní rizika dluhopisů  S dluhopisy je spojeno především: - kreditní riziko měřené ukazatelem rating - úrokové riziko měřené ukazatelem durace G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 4 Dluhopisy a úrokové riziko  Změna ceny (kurzu) dluhopisu v důsledku změny úrokových sazeb, resp. výnosnosti do doby splatnosti YTM u dluhopisů, protože se očekává, že při změně úrokové míry na trhu se obdobným způsobem změní i požadavky investorů na výnosnost do doby splatnosti YTM u dluhopisů, čehož se docílí prostřednictvím změny cen těchto dluhopisů.  Pokud by výnosnosti do doby splatnosti YTM u dluhopisů na změnu úrokové míry na trhu nereagovaly, jejich ceny by se nezměnily. Nicméně se předpokládá, že výnosnosti do doby splatnosti YTM u dluhopisů na změny úrokových sazeb na trhu reagují. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 5 Úrokové riziko a durace  Klíčovým ukazatelem úrokového rizika je durace, která udává střední dobu splatnosti dluhopisu.  Durace se používá při hodnocení souvislostí mezi změnami v ceně dluhopisu v závislosti na změnách výnosnosti do doby splatnosti dluhopisu YTM.  Durace slouží investorovi pro odhad, o kolik se změní cena dluhopisu, změní-li se tržní úrokové sazby (resp. výnosnost do doby splatnosti YTM) o jednotku.  * „Duraci“ zavedl v r. 1938 F. R. Macaulay. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 6  Pro investora není při investičním rozhodování důležitý pouze výnos, kterého může při investici do dluhopisu dosáhnout, ale rovněž doba splatnosti dluhopisu, od které se mimo jiné odvíjí i riziko dluhopisu. Pokud investor zakoupil kupónový dluhopis, plynou mu z něj pravidelné kupónové platby, tzn., že k návratnosti vložených prostředků dojde před splatností dluhopisu. Tuto střední dobu splatnosti dluhopisu, resp. průměrnou dobu, za jakou se investorovi vrátí prostředky investované do dluhopisu (při zohlednění časové hodnoty peněz), stanovuje durace.  Obecně se durace dluhopisu vypočítá jako vážený aritmetický průměr jednotlivých dob do výplaty jednotlivých peněžních příjmů plynoucích z dluhopisu, kde vahami jsou současné hodnoty těchto peněžních toků. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 7  Durace hodnotí citlivost kurzu dluhopisu na změnu úrokových měr, resp. výnosnosti do doby splatnosti YTM dluhopisu. Čím vyšší je tato hodnota, tím vyšší je citlivost kurzu na změnu výnosnosti do doby splatnosti YTM dluhopisu, resp. úrokové míry, a tím je vyšší úrokové riziko. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 8 Výpočet Macaulayovydurace dluhopisu  Macaulayova durace dluhopisu se vypočítá dle vztahu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = + + + + × + + × = + + × = × = T t Tt t T t Tt t T t t t T t t t T t t r NH r KP r TNH r tKP r CF r tCF MD resp C tCFPV MD 1 1 1 1 1 11 11 1 )1( . )( G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 9 kde: MD = Macaulayova durace dluhopisu CFt = peněžní toky (příjmy, cash-flow) plynoucí z dluhopisu v jednotlivých obdobích PV (CFt) = současná hodnota peněžního toku (příjmu, cash-flow) plynoucího z dluhopisu t = doba do obdržení peněžního toku (příjmu, cash-flow) plynoucího z dluhopisu (v počtu úrokových období) T = celkový počet peněžních toků plynoucích z dluhopisu, resp. okamžiků jejich výplat, resp. doba do splatnosti dluhopisu (v počtu úrokových období) C = cena dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) za úrokové období, resp. tržní úroková sazba NH = nominální hodnota dluhopisu KPt = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH) plynoucí z dluhopisu v jednotlivých obdobích G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 10 * Hodnota durace vychází v počtu úrokových období, tzn. ve frekvenci vyplácení jednotlivých kupónových plateb. Pokud jsou kupónové platby vypláceny jednou za rok, úrokové období je roční a durace vychází v letech. Jsou-li kupónové platby vypláceny dvakrát do roka, úrokové období je pololetní a durace vychází v pololetích atd. ** Nicméně durace se obecně uvádí v časových jednotkách, nejčastěji v letech, proto pokud vychází ze vztahu v pololetích, čtvrtletích apod., převádí se na roky. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 11  Příklad: Určete Macaulayovu duraci šestiletého dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Tržní úroková míra je 10 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Určete, jak se hodnota Macaulayovy durace změní, když: a) tržní úroková míra bude 12 % p. a.. b) do splatnosti dluhopisu budou zbývat dva roky. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 12  Příklad: Určete Macaulayovu duraci dvouletého dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Tržní úroková míra je 8 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývají dva roky. Určete, jak se hodnota Macaulayovy durace změní, když: a) kupóny budou vypláceny dvakrát do roka. b) kupónová sazba bude 12 % p. a.. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 13 *** Durace kupónového dluhopisu je vždy nižší, než doba splatnosti tohoto dluhopisu. Investor totiž po celou dobu životnosti dluhopisu inkasuje kupónové platby a v době splatnosti dluhopisu pak obvykle i nominální hodnotu dluhopisu. Díky tomu nedojde ke splacení investovaných prostředků až v okamžiku vyplacení nominální hodnoty dluhopisu, ale díky obdrženým kupónovým platbám o něco (málo) dříve. Čím vyšší budou kupónové platby u kupónového dluhopisu (tj. čím vyšší bude kupónová sazba u dluhopisu), tím vyšší váhu budou mít tyto platby ve výpočtu a durace dluhopisu bude nižší. Naopak, čím nižší budou kupónové platby u kupónového dluhopisu (tj. čím nižší bude kupónová sazba) za jinak stejných podmínek, tím nižší budou mít tyto platby ve výpočtu váhu a durace bude vyšší a bude se čím dál tím více blížit době splatnosti dluhopisu. Klesnou-li kupónové platby na nulu, bude jediným příjmem z dluhopisu nominální hodnota vyplacená při splatnosti a durace bude rovna době do splatnosti dluhopisu (viz diskontovaný dluhopis). G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 14 Diskontovaný dluhopis a jeho durace MD = T Durace diskontovaného dluhopisu se rovná době do splatnosti dluhopisu, neboť jediným peněžním příjmem plynoucím z tohoto dluhopisu je jeho nominální hodnota, kterou investor obdrží při splatnosti dluhopisu, tzn., že vložené prostředky se vrátí až při splatnosti. !!! Durace dluhopisu nemůže být nikdy vyšší, než je doba do splatnosti dluhopisu, maximálně se jí může rovnat (viz diskontovaný dluhopis a jeho durace). !!! G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 15  Příklad: Určete Macaulayovu duraci šestiletého diskontovaného dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč. Tržní úroková míra je 10 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Uvažujte roční úrokové období. Určete, jak se hodnota Macaulayovy durace změní, když: a) tržní úroková míra bude 8 % p. a.. b) do splatnosti dluhopisu budou zbývat čtyři roky. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 16 Věčný dluhopis (konzola) a jeho durace Macaulayova durace věčného dluhopisu se vypočítá dle vztahu: * Vzhledem k tomu, že doba splatnosti věčného dluhopisu je nekonečno, hodnota durace je vždy nižší. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 r r MD + = 1 17  Příklad: Určete Macaulayovu duraci věčného dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Tržní úroková míra je 8 % p. a.. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 18 Vlastnosti durace  Pro hodnotu durace platí: - Čím delší je doba do splatnosti dluhopisu, tím vyšší je hodnota durace. Nikdy ovšem nemůže být durace vyšší než doba do splatnosti dluhopisu, maximálně si mohou být tyto proměnné rovny (případ diskontovaného dluhopisu). - Čím nižší je úročení dluhopisu, tím je za jinak stejných podmínek vyšší hodnota durace a naopak, tj. čím vyšší je úročení dluhopisu, tím je za jinak stejných podmínek nižší hodnota durace. - Čím vyšší je durace, tím vyšší je úrokové riziko a vyšší změna kurzu dluhopisu při změně výnosnosti do doby splatnosti YTM (resp. úrokové míry). G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 19 - Durace se počítá u kupónových dluhopisů s fixním úročením (vč. diskontovaných dluhopisů, na které nahlížíme jako na dluhopisy s fixním úročením, kde kupónová sazba je rovna nule), neboť u kupónových dluhopisů s variabilním úročením je výpočet durace s ohledem na neznalost kupónových plateb v budoucnosti velmi obtížně realizovatelný a především při změně tržních úrokových sazeb se může variabilně úročený dluhopis přizpůsobit nové situaci výší svého úročení a nemusí tak dojít k takové změně kurzu dluhopisu jako u fixně úročeného dluhopisu, který se může aktuálním tržním podmínkám u svého výnosu (resp. výnosnosti) přizpůsobit vždy pouze svým kurzem, resp. jeho změnou. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 20 Výpočet změny ceny (kurzu) dluhopisu s využitím Macaulayovy durace  Změna ceny (kurzu) dluhopisu se vypočítá dle vztahu: ( ) 0 1 C r r MDC × + ∆ ×−=∆ G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 21 kde: ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM za úrokové období, resp. tržní úroková míra Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 22  Příklad: Určete reakci, změnu ceny šestiletého dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a. na vzestup tržní úrokové míry o 2 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Dluhopis je v současné době obchodován za 10 000 Kč. Výchozí tržní úroková míra je 10 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Hodnota Macaulayovy durace je 4,790782 roku. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 23 * Čím má daný dluhopis nižší hodnotu durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb. Je to z toho důvodu, že se snižující se durací dluhopisu se investorovi dříve vrací kapitál investovaný do dluhopisu a roste tak možnost reinvestování průběžných příjmů plynoucích z tohoto dluhopisu. Změny v tržních úrokových sazbách se tak promítají do změny ceny (kurzu) dluhopisu v menší míře, protože jsou více zohledněny ve výnosech plynoucích z reinvestování průběžných kupónových plateb. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 24  Jednoduchou úpravou (převodem C0 na levou stranu rovnice) získáme vztah: G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 kde: ΔC/C0 = relativní (procentní) změna ceny dluhopisu ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM dluhopisu za úrokové období, resp. tržní úroková míra Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období ( )r r MD C C + ∆ ×−= ∆ 10 25  Příklad: Určete reakci, relativní (procentní) změnu ceny šestiletého dluhopisu z příkladu na sl. 22 (nominální hodnota 10 000 Kč, kupónová úroková sazba 10 % p. a., kupóny vypláceny jedenkrát za rok, aktuální cena 10 000 Kč, splatnost dluhopisu za šest let) na vzestup tržní úrokové míry o 2 % p. a., když víte, že hodnota Macaulayovy durace je 4,790782 roku a výchozí tržní úroková míra je 10 % p. a.. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 26 Další využití durace  Durace se využívá rovněž při řízení aktiv a pasiv (např. v bankách). Obecně platí, že aktiva a pasiva by měla být stejně citlivá na změnu úrokové míry, jinak daný subjekt podstupuje úrokové riziko, které se může projevit jako vyšší změna hodnoty aktiv ve srovnání se změnou hodnoty pasiv nebo naopak jako vyšší změna hodnoty pasiv ve srovnání se změnou hodnoty aktiv. Tato situace pak může danému subjektu přinést buď dodatečný zisk nebo ztrátu. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 27  Příklad: Jaké úrokové riziko podstupuje banka, která má následující strukturu aktiv a pasiv, jestliže se úroková míra zvýší o 0,5 procentního bodu? G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 Hodnota Durace Výnosnost Aktiva CA = 1 000 000 Kč MDA = 10 rA = 10 % p. a. Pasiva CP = 1 000 000 Kč MDP = 5 rP = 5 % p. a. 28 Modifikovaná durace  Modifikovaná durace dluhopisu je v podstatě upravená Macaulayova durace a vypočítá se dle vztahu: * Bývá uváděna v kurzovních lístcích. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 r MD D + = 1 mod kde: Dmod = modifikovaná durace dluhopisu MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM dluhopisu za úrokové období, resp. tržní úroková míra 29  Příklad: Určete modifikovanou duraci šestiletého dluhopisu z příkladu na sl. 22 (nominální hodnota 10 000 Kč, kupónová úroková sazba 10 % p. a., kupóny vypláceny jedenkrát za rok, aktuální cena 10 000 Kč, splatnost dluhopisu za šest let), když víte, že hodnota Macaulayovy durace je 4,790782 roku a výchozí tržní úroková míra je 10 % p. a.. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 30  Modifikovaná durace dluhopisu je součástí vztahu pro výpočet změny ceny dluhopisu při změně výnosnosti do doby splatnosti YTM dluhopisu (viz sl. 20): G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 ( ) 0 1 C r r MDC × + ∆ ×−=∆ kde: ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM dluhopisu za úrokové období, resp. tržní úroková míra Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období 31 Výpočet změny ceny (kurzu) dluhopisu s využitím modifikované durace  Změna ceny (kurzu) dluhopisu se vypočítá dle vztahu: 0mod CrDC ×∆×−=∆ G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 kde: ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry Dmod = modifikovaná durace dluhopisu Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období 32  Jednoduchou úpravou (převodem C0 na levou stranu rovnice) získáme vztah: rD C C ∆×−= ∆ mod 0 G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 kde: ΔC/C0 = relativní (procentní) změna ceny dluhopisu ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry Dmod = modifikovaná durace dluhopisu Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období 33  Příklad: Určete, jak se změní cena dluhopisu s hodnotou modifikované durace 2,5, jestliže se výnosnost do doby splatnosti u dluhopisu zvýší o 1 procentní bod. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 34 Použití modifikované durace  Modifikovaná durace umožňuje snadno a rychle kvantifikovat změnu ceny dluhopisu v závislosti na změně výnosnosti do doby splatnosti YTM u dluhopisu, a to bez složitého počítání.  Modifikovanou duraci lze rovněž využít při řízení aktiv a pasiv daného subjektu. Má-li daný subjekt (např. banka) stejnou modifikovanou duraci aktiv i pasiv, pak má portfolio zajištěné z pohledu úrokového rizika. Tzn., že případný pokles hodnoty aktiv v případě změny úrokové míry by byl kompenzován poklesem hodnoty pasiv ve stejné výši a naopak. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 35  Příklad: Určete reakci, změnu ceny šestiletého dluhopisu z příkladu na sl. 22 (nominální hodnota 10 000 Kč, kupónová úroková sazba 10 % p. a., kupóny vypláceny jedenkrát za rok, aktuální cena 10 000 Kč, splatnost dluhopisu za šest let) na vzestup tržní úrokové míry o 2 % p. a., když víte, že hodnota modifikované durace je dle kurzovního lístku 4,355256. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 36  Příklad: Určete hodnotu modifikované durace aktiv a modifikované durace pasiv u banky z příkladu na sl. 27 a zhodnoťte situaci banky z pohledu řízení jejích aktiv a pasiv, resp. z pohledu zajištění jejího portfolia proti úrokovému riziku. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 Hodnota Durace Výnosnost Aktiva CA = 1 000 000 Kč MDA = 10 rA = 10 % p. a. Pasiva CP = 1 000 000 Kč MDP = 5 rP = 5 % p. a. 37 Dolarová (korunová) durace  Součin modifikované durace a původní ceny dluhopisu, resp. první derivace ceny dluhopisu podle tržní úrokové míry.  Doralová durace dluhopisu se vypočítá dle vztahu:  Použití: hodnocení úrokového rizika G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 00mod 1 C r MD CDDD × + =×= kde: DD = dolarová durace dluhopisu Dmod = modifikovaná durace dluhopisu MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM dluhopisu za úrokové období, resp. tržní úroková míra C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry 38  Příklad: Určete dolarovou (korunovou) duraci šestiletého dluhopisu z příkladu na sl. 22 (nominální hodnota 10 000 Kč, kupónová úroková sazba 10 % p. a., kupóny vypláceny jedenkrát za rok, aktuální cena 10 000 Kč, splatnost dluhopisu za šest let), když víte, že hodnota Macaulayovy durace dluhopisu je 4,790782 roku a výchozí tržní úroková míra je 10 % p. a.. Výpočet dolarové (korunové) durace ověřte, víte-li, že hodnota modifikované durace tohoto dluhopisu je 4,355256. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 39 Výpočet změny ceny (kurzu) dluhopisu s využitím dolarové (korunové) durace  Změna ceny (kurzu) dluhopisu se vypočítá dle vztahu: rDDC ∆×−=∆ G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 kde: ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu DD = doralová (korunová) durace dluhopisu Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období 40  Příklad: Určete reakci, změnu ceny šestiletého dluhopisu z příkladu na sl. 22 (nominální hodnota 10 000 Kč, kupónová úroková sazba 10 % p. a., kupóny vypláceny jedenkrát za rok, aktuální cena 10 000 Kč, splatnost dluhopisu za šest let) na vzestup tržní úrokové míry o 2 % p. a., když víte, že hodnota dolarové (korunové) durace je dle kurzovního lístku 43 552,56 Kč. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 41 Konvexita dluhopisu  Konvexita představuje další, druhý stupeň měření úrokového rizika dluhopisu.  Měří zakřivení křivky, která vyjadřuje vztah mezi úrokovou mírou a cenou dluhopisu.  Je odvozena od druhé derivace ceny dluhopisu podle úrokové míry.  Umožňuje přesnější měření citlivosti ceny dluhopisu na pohyb úrokových měr než durace. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 42 Výpočet konvexity dluhopisu  Konvexita dluhopisu se vypočítá dle vztahu: ( ) ( ) ( )∑= + ×+× × + = T t t t onvexita r CFtt r C 1 2 1 1 1 1 G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 43 kde: Convexita = konvexita dluhopisu CFt = peněžní toky (příjmy, cash-flow) plynoucí z dluhopisu v jednotlivých obdobích t = doba do obdržení peněžního toku (příjmu, cash-flow) plynoucího z dluhopisu (v počtu úrokových období) T = celkový počet peněžních toků plynoucích z dluhopisu, resp. okamžiků jejich výplat, resp. doba do splatnosti dluhopisu (v počtu úrokových období) r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) za úrokové období, resp. tržní úroková sazba G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 44  Příklad: Určete konvexitu šestiletého dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Tržní úroková míra je 10 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 45 Výpočet změny ceny (kurzu) dluhopisu s využitím Macaulayovy durace a konvexity  Změna ceny (kurzu) dluhopisu se vypočítá dle vztahu: ( ) 2 0 2 1 1 rCC r r MDC onvexita ∆××+× + ∆ ×−=∆ G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 46 kde: ΔC = změna ceny (kurzu) dluhopisu C0 = výchozí cena (kurz) dluhopisu před změnou výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. úrokové míry MD = Macaulayova durace dluhopisu r = výnosnost do doby splatnosti YTM za úrokové období, resp. tržní úroková míra Δr = změna výnosnosti do doby splatnosti YTM, resp. tržní úrokové míry, za úrokové období Convexita = konvexita dluhopisu G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 47  Příklad: Určete pomocí konvexity reakci, změnu ceny šestiletého dluhopisu s nominální hodnotou 10 000 Kč a kupónovou úrokovou sazbou 10 % p. a. na vzestup tržní úrokové míry o 2 % p. a.. Kupóny jsou vypláceny v ročních intervalech. Dluhopis je v současné době obchodován za 10 000 Kč. Výchozí tržní úroková míra je 10 % p. a.. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 48 !!! Začleněním konvexity dluhopisu do výpočtu změny ceny dluhopisu dochází k podstatnému zpřesnění výpočtu. !!! !!! Rozdíl mezi výpočtem změny ceny dluhopisu v reakci na změnu úrokové sazby s využitím pouze durace a s využitím durace a konvexity je mnohem větší v situaci relativně velkých změn v tržní úrokové míře.!!! G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2 49 Literatura  Šoba, O., Širůček, M.: Finanční matematika v praxi. 2., aktualizované. a rozšířené vydání. Praha : Grada Publishing, 2017. ISBN 978-80-271- 0250-1. s. 249, 251 – 263.  Veselá, J.: Investování na kapitálových trzích. 2., rozšířené a aktualizované vydání. Praha : Wolters Kluwer ČR, 2011. ISBN 978- 80-7357-647-9. s. 617 – 626.  Radová, J., Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. 3., rozšířené vydání. Praha : Grada Publishing, 2001. ISBN 80-247-9015- 7. s. 211 – 214. G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2