Extenzivní hry II Rostislav Staněk
March 17, 2014
Extenzivní hry
• Hráči se rozhodují v jasně daném pořadí
• Nashova rovnováha umožňuje tvořit nekredibilní sliby
• Subgame perfect equilibrium
• SPE lze nalézt pomocí zpětné indukce
Rostislav Staněk
hry II
< □ ►   < flP ►   4 -E *   4 -E >
Stacklebergův model oligopolu
• Hráči: Firmy 1 a 2
• Konečné historie: Množina sekvencí (qi,q2), kde q, je produkce firmy /
• Hráčská funkce: P(0) = 1, P(qi) = 2
• Preference: Výplatní funkce firmy / je dána jejím ziskem, tj. qiP{qi + 92) - Ci(qi), kde P{q\ + 92) je tržní cena, pokud je na trh dodáno množství q\ + «72- Q(<7/) jsou náklady firmy při výrobě množství q,.
Rostislav Staněk
hry II
Stacklebergův model oligopolu
Figuře: Stacklbergův duopol
4 □ ►   4 flP ►   4 :
►   4 š ►
1 'OQ.O
Rostislav Staněk
Extenzivní hry se současnými tahy
Extenzivní hra s dokonalými informacemi a současnými akcemi
• množiny hráčů
• množiny konečných historií
• hráčské funkce, která každé sekvenci, která je vlastní podhistorií, připisuje určitého hráče
• množiny akcí A,(ti) definovaných pro každou vlastní podhistorii h nějaké konečné historie a pro každého hráče, který je připsán hráčskou funkcí podhistorii h
• preferencí definovaných nad množinou konečných historií
Rostislav Staněk
hry II
Řešení extenzivní hry se současnými tahy
Víme, že SPE odpovídá Nashově rovnováze v každé podhře.
SPE najdeme zpětnou indukcí, když najdeme Nashovu rovnováhu pro každou podhru.
Rostislav Staněk
Extenzivní hry se současnými tahy
2,2 B S
3,1	0,0
0,0	1,3
Figure: Příklad
Rostislav Staněk
hry II
Vstup do monopolního odvětví
• Hráči: stávající firma 1 (monopolista) a firma 2 (vyzyvatel)
• Konečné historie: (In, (q\, 92)), (Out,qi)
• Hráčská funkce: P(0) = 2, P(ln) = 1,2, P(Ouŕ) = 1
• Akce: /42(0) = In, Out,
Atiln) = At{Out) = A2{ln) = {q\q ^ 0}
• Preference: jsou dány ziskem, ľli = q\D(q\ + q2) — Q(<7i) a vyzyvatele je n2 = q2D(qi + q2) - C2(q2) - f
Rostislav Staněk
hry II
Vstup do monopolního odvětví II
• Nashova rovnováha podhry: obě firmy vyrábí množství \{a - c)
• SPE
• Pokud f > §(a - cf, pak SPE je (Out, \{a - c))
• Pokud f < |(a - c)2, pak SPE je (In, (|(a - c), |(a - c))
Rostislav Staněk
hry II
Odchod z odvětví
Ghemawat, Nalebuff (1985) řeší otázku jak odcházejí firmy z odvětví s klesající poptávkou.
• Hráči: Firma 1 a 2
• Konečné historie: (X1, ...Xř), kde Xs = (S, S) a Xř = (E, E) nebo Xs = (S, E) pro nějaké s a Xř = (E, S). Nekonečná sekvence (X1, X2,...), kde Xs = (S, S)
• Hráčská funkce: P (h) = 1,2
• Akce: /4f- = S, E, pokud je firma na tahu
• Preference jsou dány celkovým součtem zisků
1 -O0.O
Rostislav Staněk
Odchod z odvětví II
• Pt{Q) je tržní cena v období t, Pt{Q) < Pt-i{Q)
• firma vyrábí fixní výstup q, s náklady cq-,
• qi > q2
• Označme t, maximální t pro něž platí Pt{qi) > c
Rostislav Staněk
hry II
Bertrandův model s volbou kapacit
Kreps, Scheinkman (1984) řeší otázku, jak se změní rovnováha Bertrandova modelu, pokud jsou firmy omezeny kapacitami.
• Konečné historie: sekvence ((qi, q2), (pi, P2)), kde q; jsou kapacity firmy / a p-, je cena firmy /
. P(0) = {1,2} a P(qi,q2) = {l,2}
• Množina akcí: A-,{0) = q,, A,{qi,q2) = p/,
• Preference jsou dány ziskovou funkcí p;x; — cq-,,
min{qi, D(p,-)} pokud pf- < p/
m//7{q/, D(pf)/2} pokud pf- = p/ m//7{q/, D(pi) - qj}    pokud pf- > pj
Rostislav Staněk
Extenzivní hra s exogénni nejistotou
• hráčská funkce připisuje historiím nejen hráče hry ale také "náhodu"
• pravděpodobnosti, které náhoda připisuje jednotlivým historiím, jsou přesně specifikovány
• preference hráčů jsou definovány nad loteriemi složených z konečných historií
Rostislav Staněk
Třesoucí se ruka
Extenzivní hry s nejistotu nám umožňují modelovat situace ve kterých dělají hráči chyby.
To nám umožňuje diskriminovat mezi některými Nashovými rovnováhami (Selten 1975).
	A	B
A	1,1	2,0
B	0,2	2,2
Table: Příklad
Rostislav Staněk
< □ ►   < flP ►   4 -E t   4 -E >
Třesoucí se ruka
• Hráči 1 a 2
• Konečné historie: Všechny sekvence ((W, X)Y, Z), kde W,X,Y a Z jsou buď akce A nebo B. W a X značí akce, které si zvolil hráč 1 a 2. Y a Z jsou akce, které hráčům přidělila náhoda.
• Hráčská funkce: P(0) = 1,2, P(W,X) = c, P((W,X),Y) = c
• Akce: A, B
• Pravděpodobnosti dané náhodou: Po historii (W,X) zvolí náhoda W s pravděpodobností 1 — pi a opačnou akci hráče 1 s pravděpodobností p\. Po historii ((W,X), Y) zvolí náhoda X s pravděpodobností 1 — p2 a opačnou akci hráče 2 s pravděpodobností p2.
• Preference jsou dány očekávanou hodnotou.
Rostislav Staněk