Extenzivní hry s exogenní nejistotou Morální hazard
Rostislav Staněk March 24, 2014
Extenzivní hra s exogénni nejistotou
• hráčská funkce připisuje historiím nejen hráče hry ale také "náhodu"
• pravděpodobnosti, které náhoda připisuje jednotlivým historiím, jsou přesně specifikovány
• preference hráčů jsou definovány nad loteriemi složených z konečných historií
Rostislav Staněk
Třesoucí se ruka
Extenzivní hry s nejistotu nám umožňují modelovat situace ve kterých dělají hráči chyby.
To nám umožňuje diskriminovat mezi některými Nashovými rovnováhami (Selten 1975).
	A	B
A	1,1	2,0
B	0,2	2,2
Table: Příklad
Rostislav Staněk
Třesoucí se ruka
• Hráči 1 a 2
• Konečné historie: Všechny sekvence ((W, X)Y, Z), kde W,X,Y a Z jsou buď akce A nebo B. W a X značí akce, které si zvolil hráč 1 a 2. Y a Z jsou akce, které hráčům přidělila náhoda.
• Hráčská funkce: P(0) = 1,2, P(W,X) = c, P((W,X),Y) = c
• Akce: A, B
• Pravděpodobnosti dané náhodou: Po historii (W,X) zvolí náhoda W s pravděpodobností 1 — pi a opačnou akci hráče 1 s pravděpodobností pi. Po historii ((W,X), Y) zvolí náhoda X s pravděpodobností 1 — p2 a opačnou akci hráče 2 s pravděpodobností p2.
• Preference jsou dány očekávanou hodnotou.
Rostislav Staněk
Morální hazard
• Vztah mezi principálem a agentem. Agent vykonává činnost pro principála.
• Podstatou morálního hazardu je tzv. skrytá akce. Principál nezná akci agenta.
• Hledáme optimální kontrakt. Např: managerské kontrakty, finanční kontrakty, organizace firem, pojištění, efektivnostní mzdy
Rostislav Staněk
Morální hazard
• 2 hráči: principál P a agent A
• Konečné historie (w(q),X,e,q(e)), kde w je mzda, kterou principál nabídne agentovi, X značí přijmutí nebo odmítnutí kontraktu, e je snaha, kterou agent vyvine a q(e) je finální produkce.
• Hráčská funkce: P(0) = P, P(w) = A, P(w,X) = A, P(w,X,e) = N
• Výplaty jsou v případě uzavření kontraktu
UP(w, q) = S(q) - w(q), UA(w, q) = u(w(q)) - C(e).
V případě odmítnutí kontraktu obdrží agent rezervační užitek
0, normalizovaný na hodnotu 0.
Rostislav Staněk
Morální hazard
• Snaha je nízká N nebo vysoká V
• Produkce je vysoká q nebo nízká q
• Mzda může být vysoká w nebo nízká w v závislosti na produkci
• Pokud e = V, pak q = q s pravděpodobností pv- Pokud e = N, pak q = q s pravděpodobností p/v, kde pv > Pn
• Principálův zisk z vyšší snahy je (pv — Pn){Š — S)
• Vyšší úsilí je optimální pokud (pv — Pn){S — S) > u_1(C)
Rostislav Staněk
Morální hazard
Principálův problém max„,w E(S(q) — w(q)) Motivační omezení:
pv(u(w)-č)+(l-pv)(u(w)-č) > Pn{u{w)-C_)+(1-pn)(u(w)-C_) Participační omezení:
pv{u{w) - Č) + (1 - pv){u{w) ~ Č) > 0
<g> <|> <|>     = -oq^o
Rostislav Staněk
Vztah k riziku
Výsledky modelu závisí na vztahu agenta k riziku
• Agent je rizikově averzní, pokud je Bernoulliho výplatní funkce konkávni
• Agent je rizikově neutrální, pokud je Bernoulliho výplatní funkce lineární
• Agent vyhledává riziko, pokud je Bernoulliho výplatní funkce konvexní
Rostislav Staněk
Morální hazard s rizikově neutrálním agentem
Optimální kontrakt
PnČ w =--
Pv - Pn
_ (1-P/vK w =-
Pv - Pn
Očekávané náklady principála jsou pyw + (1 — pv)w_ = Č. Náklady jsou stejné jako kdyby bylo úsilí pozorovatelné. Kontrakt je
možné implementovat jako w = S — T a w = S_ — T, kde T je rozdíl mezi očekávaným ziskem a rezervačním užitkem.
Rostislav Staněk
Morální hazard s rizikově averzním agentem
Označme u = u(w) a u_ = u(u) Motivační omezení:
pv{D - Č) + (1 - pv){u) -Č)> pN{D - C) + (1 - pN){u - C) Participační omezení:
pv{u- Č) + {1- pv){u- Č) >0
Rostislav Staněk
Morální hazard s rizikově averzním agentem
Optimální kontrakt je charakterizován následujícími podmínkami
-if PnČ w = u   (--)
Pv - Pn
_! (1-Pa^Č
Pv - Pn
Z participačního omezení víme, že
pvu{w) + (1 - Pv)u{w) = Č Z konkávnosti výplatní funkce víme, že
Pvu(w) + (1 - Pv)u{w) < u{pvw + (1 - Pv)w)
Očekávané náklady CSB = pyw + (1 — py)w_ jsou proto vyšší než nejnižší možné náklady CFB = u~1(C)
Rostislav Staněk
Morální hazard s rizikově averzním agentem
• Motivační omezení vyžaduje, aby agent nesl část riziky
• Rizikově averzní agent požaduje za riziko určitou kompenzaci
• Náklady na vynucení vyšší snahy jsou proto vyšší
• Pokud (pv - Pn){Š - S) G {CFB, CSB), pak dochází ke ztrátě efektivnosti. Vyšší úsilí není realizováno, přestože by to bylo efektivní.
Rostislav Staněk
Omezené ručení
Omezené ručení
w > L
Optimální kontrakt
w = L
_     , Č
w = L H--
Pv - Pn
Agent získá informační rentu. Rozpor mezi efektivností a ziskem renty.
Rostislav Staněk
Finanční kontrakt
• Principál je banka. Agent je podnikatel žádající o půjčku.
• V a V_]e výnos projektu
• ž a z je splátka úvěru
• Přeformulujeme problém w = V — ž
Credit rationing: Podnikatelé, kteří by dostali půjčku při dokonalých informacích, ji při morálním hazardu nemusí dostat.
Rostislav Staněk
Efektivnostní mzda
• Principál je zaměstnavatel. Agent je zaměstnanec.
• Š a S je výnos zaměstnavatele
• w a w je mzda zaměstnance
Očekávaná mzda zaměstnance je vyšší než jeho rezervační mzda
L + C H--——C > C. Tzv. efektivnostní mzda, která vysvětluje
nevyčistení trhu práce.
Rostislav Staněk