Teorie her 1
Rostislav Staněk February 16, 2014
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Podmínky ukončení předmětu
• Přednášky:
• Popis hry a způsoby nalezení rovnováhy
• Ekonomické aplikace
• V průběhu výkladu se ptejte
• Cvičení:
• Příklady založené na představených aplikacích
• Nesmíte být líní přemýšlet
Hodnocení
• Domácí úkoly 30%
• Průběžný test 20%
• Závěrečný test 50%
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Teorie her
• Způsob, jak modelovat situace, kdy dochází ke vzájemným interakcím mezi aktéry
• Aplikace
• Ekonomie: Konkurence firem, Aukce, Reputace a reklama, Vysvětlení sociálních norem
• Politologie a právo: Volby, Odpovědnost za škodu
• Biologie: Sexuální a predátorské chování
• Co teorie her umí?
• Vysvětlení chování jedinců ve vzájemných interakcích
• Predikce může být obtížná (preference, více rovnovah)
• Experimentální testování
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Teorie her I
Lze modelovat různé druhy interakcí
• Strategické a extenzivní hry
• Hry s dokonalými a nedokonalými informacemi
• Kooperativní a nekooperativní hry Historie
• John von Neumann, Oskar Morgenstern 1944
• John Nash 1950
• John C. Harsanyi, R. Selten, R. Aumann ...
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Hra a její řešení
Hra je popis strategické interakce, který specifikuje akce, které hráči mohou hrát, a jejich zájmy. Řešení hry specifikuje výsledky hry, které mohou nastat.
Strategická a hra se skládá z
• množiny hráčů
• množiny akcí každého hráče
• preferencí každého hráče definovaných nad množinou profilů akcí
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Značení
• a je profil akcí při němž každý hráč / hraje akci a,-; tj. a = (ai, a2,a„)
• (a(-, a_,-) je profil akcí při němž hráč / hraje akci a(- a každý hráč j kromě hráče / hraje aj (index —/ tedy znamená všichni kromě hráče /')
• uf(a) značí výplatu hráče / při profilu akcí a
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Racionalita a preference
Předpokládáme, že hráči jsou racionální.
• Hráči mají preference ohledně profilů akcí, tzn. umí srovnat jakékoliv dva výsledky hry (úplnost).
• Preference jsou tranzitivní, tzn.
{A y B) A {B y C) =>• {A y C)
• Preference můžeme definovat pomocí výplatní (užitkové funkce).
• A >- B >- C       U;{A) > U;{B) > U;{C)
• Výplatní funkce je ordinální
Racionální hráči si vybírají nejpreferovanější variantu z dostupných možností. Tzn. maximalizují svou výplatní funkci při daných omezeních.
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Vězňovo dilema
Hráči jsou dva podezřelí 1 a 2.
Každý hráč má na výběr akce zradit, spolupracovat zkráceně D,C
Preference podezřelého 1 jsou
(D, C) y (C, C) y (D, D) y (C, D), kde např. (D, C) znamená, že hráč 1 zradí zatímco hráč 2 spolupracuje. Preference podezřelého 2 jsou
(C, D) >- (C, C) >- (D, D) y (D, C).
	D	C
D	1,1	3,0
C	0,3	2,2
Table: Vězňovo dilema
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Bach nebo Stravinsky, Bitva pohlaví
	B S
B	2,1 0,0
S	0,0 1,2
Table: Bitva pohlaví
Rostislav Staněk
Lov jelena
	S	H
s	2,2	0,1
H	1,0	1,1
Table: Lov jelena
Rostislav Staněk
Hlava nebo orel
	T H
T	1,-1 -1,1
H	-1,1 1,-1
Table: Hlava nebo orel
Rostislav Staněk
Nashova rovnováha: definice
Profil akcí a* strategické hry je Nashovou rovnováhou, pokud pro každého hráče / a každou jeho akci a, platí u;{a*) > u;{a-na*_j).
Nashova rovnováha představuje situaci, kdy si žádný hráč nemůže polepšit jednostrannou změnou strategie.
Striktní Nashova rovnováha u-,{a*) > u-,{a-n a*_^)
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Nashova rovnováha: interpretace
• Každý hráč si volí akci, která mu přináší nejvyšší výplatu při daných přesvědčeních ohledně akcí ostatních hráčů.
• Přesvědčení každého hráče o akcích, které budou hrát ostatní jsou správná.
Dvě možné interpretace dle toho jak se tvoří očekávání o akcích ostatních hráčů
• Hráči se zvykem, opakováním, evolučním procesem dostali do Nashovy rovnováhy
• Hráči jsou neomezeně racionální
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Optimální odpověď
Jiný způsob nalezení Nashovy rovnováhy
Optimální odpověď hráče / označíme jako B; a definujeme jako
Bi(a-i) = {a,- G A; : u;(ah a_,-) ^ u,-(a), a_/)Vaf- G A'}
Profil akcí a* je Nashovou rovnováhou právě tehdy, když akce každého hráče je optimální odpovědí na akce ostatních hráčů. Tedy
aí G fi/(a*ř-),V/
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Optimální odpověď - příklad
	L	c	R
T	1,2*	2*,1	1*,0
M	2* ^*	0,1*	0,0
B	0,1	0,0	
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Dominované a dominující akce
Při hledání Nashovy rovnováhy si můžeme ulehčit situaci pomocí konceptu striktně dominovaných akcí.
Akce a j striktně dominuje akci a", pokud přináší vyšší výplatu bez
ohledu na to, jaké akce hrají ostatní hráči, tj.
u,(a(-, a_/) > u,(a(-, a_/), Va_,-. a(- je striktně dominovaná akce
Striktně dominovaná akce nemůže nikdy být optimální odpovědí a nemůže být v profilu akcí tvořící Nashovu rovnováhu. Pozor, neplatí pro slabě dominované akce. Přesto se někdy předpokládá, že hráči nehrají slabě dominované akce.
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Dominované a dominující akce - příklad: Beauty contest
Zvolte číslo od 0 do 100. Z vybraných čísel se spočítá průměr. Kdo bude nejblíže | průměru vyhrává.
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Dominované a dominující akce - příklad: Beauty contest
(b) Target = 2/3 mean
C »
O 22      35 50 100
Number choices
Ftgurr 5. /. Beauty contest rhmcti. Sources: Based on data from Nagel (1999) arid Camera, Ho, and Weigeli (unpublished).
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Symetrické hry
Symetrické hry slouží k modelování her identických hráčů
Strategická hra o dvou hráčích je symetrická, pokud množina akcí je stejná a preference hráčů jsou reprezentovány výplatní funkcí pro niž platí ui(ai,a2) = u2{a2,a-L), V(ai,a2)
	B	S
B	x,x	z,w
S	w,z	y.y
Table: Symetrická hra
Rostislav Staněk
Teorie her 1
Cournotův model oligopolu
• Stejný výrobek je vyráběn n firmami. Firmy mohou určovat vyráběné množství q,. Náklady dány funkcí C/(q,-)
• P(Q) inverzní poptávková funkce a cena je dána rovnicí
P{qi+q2 + - + qn)
• Zisk firmy / je 717 = q-,P(q\ + q2 + ••• + qn) - Q(<7/)
Jak vypadá řešení pro případ dvou firem s konstantními náklady a lineární inverzní poptávkovou funkcí P = a — Q?
Rostislav Staněk
Teorie her 1