Strategické hry a Nashova rovnováha: Ilustrace Rostislav Staněk
February 25, 2013
Rostislav Staněk
Připomenutí
• Hra: hráči, akce, preference
• Nashova rovnováha: definice, optimální odpovědi, dominované akce
• Nash ve filmu Čistá duše
Rostislav Staněk
Obsah
• Modely oligopolu
• Aukce
• Volby
• Stanovení odpovědnosti za škodu
Rostislav Staněk
Cournotův model
• Stejný výrobek je vyráběn n firmami. Firmy mohou určovat vyráběné množství q;. Náklady dány funkcí C;{q;)
• P(Q) inverzní poptávková funkce a cena je dána rovnicí P{qi + q2 + - + qn)
• Zisk firmy ;' je tt; = q;P(qi + g2 + ... + qn) - Q{q;)
Rostislav Staněk
Essssa&Bzsnmnľ
Ilustrace
Cournotův model
Jak vypadá řešení pro případ dvou firem s konstantními náklady a lineární poptávkovou funkcí?
Optimální odpovědi získáme
—— = a - 2qi - q2 - c = 0 dqi
—— = a - 2q2 - qi - c = 0 dq2
(1)
Nashova rovnováha je (gj, q%) = (|(o; — c), ^(a — c))
<g> <|> <|>     = -oq^o
Rostislav Staněk
Cournotův model s n firmami
Optimální odpovědi tvoří soustavu rovnic
a - 2qi - q2 - g3 - ... - qn a - gi - 2q2 - g3 - ... - qn
a - qi - g2 - g3 - ... - 2qn
Rostislav Staněk
Essssa&BzsnmnE
Ilustrace
Cournotův model s n firmami
Odečtením první rovnice od druhé získáme
-<7i + «72 = 0
Opakováním postupu zjistíme, že všechny firmy vyrábí stejné
množství, označme jej q*.
Každá rovnice se redukuje na tvar
a - c-(n + l)q* = 0
Nashova rovnováha je (^f, )
Rostislav Staněk
Bertrandův model
• Hráči: Firmy 1 a 2
• Množinou akcí: Ceny, které může firma stanovit. Ceny chápeme jako spojitou proměnou, tj. A; = R+
• Preference: Jsou reprezentovány ziskem, m je počet firem s nej nižší cenou.
pokud p; ^ pj, V/ pokud p; > pj
(3)
Rostislav Staněk
Bertrandův model pro 2 identické firmy
Nashovou rovnováhou je profil (p^p^) = (c, c)
Žádná další situace není Nashovou rovnováhou
• Pi < c, p2 < c zisk firmy, jejíž cena je nižší, je záporný
• Pi < c, p2 > c firma 1 může zvýšit svůj zisk, pokud stanoví cenu mezi c a P2.
• Pi > c, p2 > c a pi > p2. Firma 1 může zvýšit svůj zisk, pokud sníží cenu těsně pod p2.
Rostislav Staněk
Essssa&Bzsnmnľ
Ilustrace
Aukce
Způsob, jak alokovat nějaký objekt a zjistit jeho cenu.
• First-price aukce, Holandská aukce
• Second-price aukce, Anglická aukce
• All pay aukce
• Aukce s více objekty
• Diskriminační aukce
• Aukce s jednotnou cenou
• Vickrey aukce
Rostislav Staněk
Second-price aukce
• Hráči: n hráčů, kde n ^ 2. Hráč ; si cení dražený objekt na v;. Předpokládáme, že v\ > 1/2 > ... > vn V případě stejného bidu získá objekt hráč s nižším indexem.
• Množina akcí: možné nabídky každého hráče b;, b; ^ 0
• Preference: v, — b, pokud hráč ; nabídl nejvyšší nabídku, jinak 0
Rostislav Staněk
Second-price aukce: Slabě dominující akce
Nabídnout v, je slabě dominantní akce
	b^bi	b.	< b < v;	b>V,
b; < v;	v; — b	0		0
v;	V; — b	Vi	-~b	0
	b S ví	b,	> ~b > v;	b>bí
b; > v;	v; — b	Vi	- b(< 0)	0
v;	V; — b	0		0
Rostislav Staněk
ESZSľSaSDZSBBBľ
Ilustrace
First-price aukce
• Hráči: n hráčů, kde n ^ 2. Předpokládáme v\ > V2 > ... > vn
• Množina akcí: možné nabídky každého hráče b;, b; ^ 0
• Preference: v, — b;
Ve first-price aukci se všechny Nashovy rovnováhy vyznačují tím, že objekt obdrží hráč, který si jej cení nejvíce.
b; > b\ a b; > V2
© b; > b\ a b; S V2
Rostislav Staněk
First-price aukce
Pokud jsou ceny spojité, pak v každé Nashově rovnováze, hraje některý z hráčů slabě dominovanou akci.
O b; > v, je slabě dominovaná v,
@ b; = v\ je slabě dominovaná b; < v;
Q (61,62,...), kde 61 < v\ a 62 < 1/2 není Nashova rovnováha
Předpokládejme, že ceny jsou diskrétní. Profil
(1/2 — e, V2 — e, 63,bn) je Nashovou rovnováhou, kde žádný z
hráčů nehraje slabě dominovanou akci.
Rostislav Staněk
Essssa&Bzsnmnľ
Ilustrace
Hotellingův model
• Hráči: n politických stran
• Množina akcí: x; £ (0,1), x; je pozice strany.
• Preference: n vítězné straně; n — k straně, která se dělí o první místo s k soupeři; 0 straně, která nevyhrála.
Pozici mediánového voliče označíme m.
Rostislav Staněk
Hotellingův model: optimální odpovědi
Předpokládejme, že n = 2.
{{xi : X2 % x\ ^ 1 — X2} pokud m
{m} pokud X2 = m
{xi : 1 — X2 % xi ^ X2} pokud X2 ^ m
Í{x2 : xi ^ X2 % 1 — xi} pokud xi ^ m
{m} pokud xi = m
{x2 : 1 — xi ^ X2 ^ xi} pokud xi ^ m
(4)
Rostislav Staněk
Odpovědnost za škodu
• Hráči: škůdce 1 a poškozený 2
• Akce: Úsilí a; 6 R vynaložené na odvrácení škody
• Preference: ui(si, a2) = —a\ — p(ai, a2)L(a\, 32) U2{ai,a2) = -32 - (1 - p(ai, a2))L{ai,a2) p(ai> a2) stanovuje jakou část škody zaplatí škůdce a /.(ai, 32) je velikost škody, která je klesající v a\ a 32.
Budeme uvažovat následující pravidlo:
Rostislav Staněk
Essssa&Bzsnmnľ
Ilustrace
Odpovědnost za škodu
Chceme dosáhnou společensky optimálního výsledku (31,32), který max—ai — 32 — L(ai, 32). Jaké X\ a X2 máme stanovit?
Ukážeme, že při (X\,X2) = (31,32) je Nashova rovnováha efektivní. Tzn. ukážeme, že (31,32) tvoří Nashovu rovnováhu
Rostislav Staněk
Odpovědnost za škodu: škůdce
Předpokládejme ai = ai
ui{ai,a2) = <
ai — L(ai,á~2) pokud ái > a\ -a\ pokud a{ ^ a\
O Pokud a\ = ái, pak ui(ái, 32) = — ái
© Pokud ai > ái, pak 01(31,32) = — ai < —ái
© Pokud ai < ái, pak ui(si, £2) = —ai - L(ai, £2) < -ái, protože ái maximalizuje —a\ — £2 — L(ai, £2)
Rostislav Staněk
Odpovědnost za škodu: poškozený Předpokládejme a\ = a\
"2(31, 32) = -32 - L(ii, 32)
Víme, že 32 maximalizuje — ái — 32 — L(a{, 32) a tudíž i -32 - /.(ái,a2).
(31,32) je Nashova rovnováha
Rostislav Staněk
Odpovědnost za škodu
(ai> 32) Je jediná Nashova rovnováha Optimální odpověď škůdce je
3Í pokud 32 = 32
61(32) = { 0 pokud 32 < 32
3l G (0,3Í)      pokud 32 > 32
Jaká je optimální odpověď poškozeného pro a\ < si?
"2(^1, 32) =
32 — L(a\, 32)    pokud 32 < 32
32 pokud 32 ^ 32
Rostislav Staněk
Odpovědnost za škodu
O Poškozený nebude chtít hrát a2 > a2, protože v takovém případě u2{ai, a2) = —a2 < —a2
© V případě a2 < a2 obdrží hráč výplatu —a2 — L(ai, a2). Platí následující
-a2 - L(ai,a2) < -a2 - /.(si, a2) ^-a2 - L(ai,a2) S
Rostislav Staněk