Strategické hry s nedokonalými informacemi Rostislav Staněk
March 31, 2014
Rostislav Staněk
Nedokonalé informace
Hráči neví něco o hře, kterou hrají (neznají např. preference jiných hráčů) Hráči si jsou ovšem vědomi jaké jsou varianty hry, neumí je ovšem rozlišit.
• Stavy světa popisují možné alternativy hry
• Hráč neví v jakém stavu světa se nachází
• Každému stavu světa připisuje určitou pravděpodobnost
Rostislav Staněk
Definice hry
• Množina hráčů
• Množina stavů světa Q
• Množina akcí každého hráče
• Pro každého hráče množina možných signálů {ŕ,-} a signální funkce 77 : Q —> {ŕ/}, která stavu světa přiřazuje určitý signál
• Pro každého hráče a pro každý signál systém přesvědčení ohledně stavů světa konzistentní se signálem, tj. rozdělení pravděpodobností nad množinou stavů světa konzistentních se signálem
• Bernoulliho výplatní funkce nad množinou (a, oj), kde a je profil akcí a oj je stav světa
Rostislav Staněk
Přesvědčení hráčů
AP(lo) je apriorní pravděpodobnost, že nastane stav světa omega
Pokud je stav světa konzistentní se signálem ry, pak hráč upraví svá očekávání podle Bayesova vzorce
- AP^
Stavům světa, které nejsou konzistentní se signálem ry, připisuje hráč pravděpodobnost 0.
Předpokládáme, že hráči mají stejné apriorní pravděpodobnosti. (Harsanyiova doktrína)
Rostislav Staněk
Příklad - Bitva pohlaví
	B S
B	2,1 0,0
S	0,0 1,2
Table: potkat se	
	B S
B	2,0 0,2
S	0,1 1,0
Table: vyhnout se
Rostislav Staněk
Nashova rovnováha
Hráč může volit odlišnou akci pro každý signál, který obdrží. S každým hráčem různého typu budeme zacházet jako se samostatným hráčem.
• Hráči jsou dáni množinou (/', ry)
• Množina akcí hráče (/', ry) je množina akcí hráče / v Bayesiánské hře
• Bernoulliho výplatní funkce hráče (/', ry) je dána následovně:
Rostislav Staněk
Nashova rovnováhy v Bitvě pohlaví
	(B.B)	(B.S)	(S3)	(S,S)
B	2	2pi	2(1-Pi)	0
S	0	í-Pi	Pi	1
Table: Výplata hráče 1
Nashovou rovnováhou je (B, (B, S)), pokud pi ^ |.
Rostislav Staněk
Aukce se soukromým oceněním
• Hráči: l,...,n
Stavy světa: sekvence všech profilů (i/i,vn), kde y_ ^ v, ^ v
• Akce: Množina možných bidů, tj. kladných čísel
• Signály: 77(1/1,vn) = v,
• Přesvědčení: hráč / připisuje pravděpodobnost
F(i/i) x F(v2) x ... x F(vn) stavu, kdy ocenění každého hráče j je nanejvýš vj
• Výplatní funkce:
(vi-P(b))/m pokud bj ^ b; 0 pokud bj > b;
Rostislav Staněk
Second-price aukce
Nabídnout v,- je slabě dominantní akce
	b S bi	bi	< b < v j	b>Vj
b; < V;	ví — b	0		0
Vi	Vi — b	Vi	-b	0
	b S v,-	bi	>b>Vj	~b>bj
b; > v,	Vi — b	Vi	- b(< 0)	0
Vi	Vi — b	0		0
Rostislav Staněk
First-price aukce
Předpokládejme F(vj) má rovnoměrné rozdělení a v, G [0,1] Jak vypadá Nashova rovnováha? Předpokládejme, že ostatní nabízí b-\ = av--, Hrát řeší problém
maxp(b;)(v — b-,) =4> maxí—)A/_1(v — b-,)
b-, b-, ol
Rostislav Staněk
Teorém o stejné výnosnosti
Pokud jsou hráči rizikově neutrální, pak je očekávaná výplata ve first-price i second-price aukci při stejném počtu hráčů stejná. Je dána očekávaným druhým nejvyšším oceněním.
Rostislav Staněk
Aukce se společným oceněním
• Hráči: l,...,n
• Stavy světa: sekvence všech profilů (ri,r„),
• Akce: Množina možných bidů, tj. kladných čísel
• Signály: r/(ri,tn) = t;
• Přesvědčení: Signál každého hráče je nezávislý na signálech ostatních hráčů
• Výplatní funkce: u/(/>, (ri,r„)) =
n
.)) - P{b))/m    pokud bj ^ b} pokud bj > bj
Rostislav Staněk
Second-price aukce se společným oceněním
Předpokládejme, že
• Aukce účastní 2 hráči
• Signál ry G [0,1] má rovnoměrné rozdělení
• Ocenění je v, = at; + 7 ŕ/
Nashova rovnováha je (a + 7)ŕ/.
Rostislav Staněk
Second-price aukce se společným oceněním
• Pravděpodobností, že hráč 1 vyhraje:
a + 7
• Očekávaná cena, kterou hráč 1 zaplatí:
E{b2\b2 < tu) = ^b!
• Očekávaná hodnota signálu hráče 2 za předpokladu, že hráč 1 vyhraje:
a+ 7      2(a + 7j
<g> <|> <|>     = -oq^o
Rostislav Staněk
Prokletí vítěze
Hráč odhaduje hodnotu předmětu za předpokladu, že jeho odhad je nejvyšší. Pokud tak nečiní, pak trpí tzv. prokletím vítěze (winners curse).
V případě prokletí vítěze objekt získal hráč s nejvyšším odhad. Skutečná hodnota by ale vždy byla nižší a hráč by přeplatil.
Rostislav Staněk