Základní Nový Keynesiánský model
29. října 2020
Cílem tohoto textu je co nejpodrobněji vysvětlit odvození „kanonického“ Nového Keynesiánský modelu, tak jak
jej ve třetí kapitole své knihy představuje Galí (2015). Základní Nový Keynesiánský dynamický stochastický model
všeobecné rovnováhy (NK DSGE) se skládá z Eulerovy rovnice (či IS křivky) popisující chování domácností,
Nové Keynesiánské Phillipsovy křivky (NK PC) popisující chování firem, a Taylorova pravidla reprezentující
centrální banku. Nový keynesiánský model je také zmiňován proto, že se v posledních letech stal základním
stavebním kamenem modelů analyzujících například dopady hospodářských politik, fluktuace v rámci hospodářského
cyklu, či problematiku přerozdělování bohatství.
Oproti RBC modelům a klasickému monetárním modelu zavádí základní NK model dva zásadní předpoklady.
Za prvé, místo dokonalé konkurence na trhu statků nyní budeme předpokládat monopolistickou konkurenci a
existenci tržní síly (firma bude tedy stanovovat optimální cenu vzhledem k poptávce domácností). Za druhé,
zavedeme předpoklad strnulých cen za požití Calvo (1983)-Yun (1996) modelu - firmy budou moci stanovit
optimální cenu v daném časovém období pouze s určitou pravděpodobností.
Tyto dva předpoklady nám zaručí, že monetární šoky v modelu budou mít krátkodobý efekt i na reálnou
ekonomiku (oproti tomu v RBC modelech platí i krátkodobá neutralita peněz). Zájemcům pak doporučuji k
přečtení empirický článek od Galího (1999), ve kterém diskutuje problémy RBC modelů reprodukovat některá
stylizovaná fakta pro ekonomiky zemí G7, která jsou však konzistentní se základním NK modelem.
1 Reprezentativní domácnost
Odvození modelu začneme popisem problému domácnosti. Předpokládáme, že ekonomika je obývána velkým
počtem identických domácností. Reprezentativní domácnost maximalizuje následující objektivní funkci
E0
∞
t=0
βt
U(Ct, Nt; Zt) (1)
kde Ct je spotřební koš, Nt je množství odpracovaných hodin, Zt je exogenní šok do preferencí, a β ∈ (0, 1)
značí diskontní faktor. Oproti předcházejícím tématům zavádíme do modelu diferencované statky, jejich spotřebu
agregujeme do tzv. „spotřebního koše“. Motivací k tomuto zavedení je to, že se v reálu také rozhodujeme mezi
spotřebou a úspory na základě toho co spotřebováváme. Spotřební koš má podobu agregátoru s konstantní
elasticitou substituce
Ct ≡
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
(2)
kde Ct(i) označuje množství statku i spotřebovaného domácností v čase t; předpokládáme tedy kontinuum
statků reprezentovaných na intervalu [0, 1].1
Budeme uvažovat následující užitkovou funkci domácnosti
U(Ct, Nt; Zt) =
C1−σ
t − 1
1 − σ
−
N1+ϕ
t
1 + ϕ
Zt (3)
1Nenechte se zastrašit tím ošklivě vypadajícím integrálem. Koš (2) není ničím jiným než prostým součtem jednotlivých statků
Ct(i), které jsou vzájemně nedokonalými substituty, a s elasticitou substituce .
1
kde σ ≥ 0 a ϕ ≥ 0 jsou parametry a zt = log Zt je AR(1) exogenní proces
zt = ρzzt−1 + εz
t (4)
Reprezentativní domácnost maximalizuje svou objektivní funkci (1) vzhledem k rozpočtovému omezení
1
0
Pt(i)Ct(i)di + QtBt ≤ Bt−1 + WtNt + Dt (5)
kde Pt(i) je cena statku i, Wt je nominální mzda, Bt zastupuje nákupy dluhopisů splatných za jedno časové
období (s cenou Qt), a Dt jsou dividendy z vlastněných firem.2
Poznámka - CES funkce
Rozveďme motivaci využití volby spotřebního koše jako agregátoru s konstantní elasticitou substituce na příkladu
s konečným počtem statků. Už ze základního kurzu mikroekonomie víme, že agregátní spotřební funkce,
lze zapsat jako funkce obsahující jednotlivé typy statků (uvažujme N statků), například
c = c(c1, c2, . . . , cN ).
V této funkci zastupuje označení c1, c2 až cN jednotlivé statky (například film, večeře, ...). I v novokeynesiánském
pojetí musí tato funkce splňovat předpoklad, že je dvakrát diferencovatelná a platí δc(.)
δcj
> 0 a δ2
c(.)
δ2cj
< 0. Pro
konečné množství statků může naše spotřební funkce (funkce se nazývá Constant elasticity of substitution CES)
nabývat následující podobu
c = c(c1, c2, . . . , cN ) = c
−1
1 + c
−1
2 + · · · + c
−1
N
−1
,
kde je elasticita substituce mezi diferencovanými statky. V případě že zvolíme → ∞, pak lze ukázat, že
lim →∞ −1 = 1 a spotřební funkce získá následující tvar c = c1 + c2 + · · · + cN , což odpovídá spotřební funkci s
dokonalými substituty. My ovšem chceme pracovat s diferencovanými statky (ne dokonale substituovatelnými).
Toto nám zaručí volba parametru tak, aby platilo −1 > 1.
1.1 Optimální alokace spotřebních výdajů
Nyní budeme zkoumat rozhodování reprezentativní domácnosti o tom, jak optimálně alokovat své spotřební
výdaje mezi jednotlivé statky Ct(i). Výstupem této optimalizace bude množina poptávkových rovnic pro jednotlivé
statky Ct(i), a dále si odvodíme agregátní cenový index Pt.
Konkrétně tedy budeme zkoumat problém, kdy reprezentativní domácnost maximalizuje spotřebu Ct danou (2)
pro jakoukoliv úroveň výdajů Xt
Xt ≡
1
0
Pt(i)Ct(i)di (6)
Lagrangián pro tuto optimalizaci spotřebních výdajů má podobu
max
{Ct(i)}∞
t=0
L =
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
− λt
1
0
Pt(i)Ct(i)di − Xt
2Integrálu 1
0 Pt(i)Ct(i)di se opět nelekejte, je to jen součet výdajů na spotřební statky, jenž jsou indexovány na intervalu [0, 1].
2
Dostaneme následující podmínku prvního řádu
∂L
∂Ct(i)
=
− 1
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1 −1
− 1
Ct(i)
−1
−1
− λtPt(i) = 0
1
0
Ct(i)1− 1
di
1
−1
Ct(i)− 1
= λtPt(i)
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
1
Ct(i)− 1
= λtPt(i)
C
1
t Ct(i)− 1
= λtPt(i)
Tato rovnice platí pro všechny statky i ∈ [0, 1]. Pro každé dva statky (i, j) tedy máme
C
1
t Ct(i)− 1
Pt(i)
= λt (7)
C
1
t Ct(j)− 1
Pt(j)
= λt (8)
Rovnici (7) položíme rovnu (8) a dostaneme poptávkovou rovnici po statku i
Ct(i) = Ct(j)
Pt(i)
Pt(j)
−
Tento výraz dosadíme do spotřebních výdajů domácnosti (6), které slouží jako omezení naší optimalizační úlohy
Xt ≡
1
0
Pt(i)Ct(i)di =
1
0
Pt(i)Ct(j)
Pt(i)
Pt(j)
−
di = Ct(j)Pt(j)
1
0
Pt(i)1−
di (9)
Nyní z této rovnice vyjádříme Ct(j)
Ct(j) =
XtPt(j)−
1
0
Pt(i)1− di
Tento vztah platí pro každé (i, j); nyní uvažujme situaci kdy i = j, a dosadíme do definice agregátního spotřebního
indexu Ct (2)
Ct ≡
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
=


1
0
XtPt(i)−
1
0
Pt(i)1−
−1
di


−1
= Xt




1
0
Pt(i)1−
1
0
Pt(i)1−
−1 di




−1
= Xt


1
0
Pt(i)1−
di
1− −1


−1
= Xt


1
0
Pt(i)1−
di
1− −1


−1
= Xt
1
0
Pt(i)1−
di
1
−1
3
Tento vztah použijeme k definici Pt jako výdajů potřebných k zakoupení jedné jednotky Ct, tedy Pt ≡ Xt |Ct=1
Ct ≡ Xt
1
0
Pt(i)1−
di
1
−1
1 ≡ Pt
1
0
Pt(i)1−
di
1
−1
Pt ≡
1
0
Pt(i)1−
di
1
1−
(10)
Nyní si odvodíme výraz pro celkové spotřební výdaje jako funkci agregátních veličin. Použijeme k tomu vztah
vycházející z definice spotřebních výdajů (9)
Xt = Ct(j)Pt(j)
1
0
Pt(i)1−
di
Xt = Ct(j)Pt(j)
1
0
Pt(i)1−
di
1
1−
1−
Xt = Ct(j)Pt(j) P1−
t
Tento vztah platí opět pro všechna (i, j), a můžeme jej tedy přepsat jako
Ct(i) =
Pt(i)
Pt
−
Xt
Pt
(11)
Rovnici (11) dosadíme do definice spotřebního koše (2) a upravíme
Ct =
1
0
Ct(i)1− 1
di
−1
=


1
0
Pt(i)
Pt
−
Xt
Pt
−1
di


−1
= XtP −1
t
1
0
Pt(i)1−
di
1
1−
−
= XtP −1
t P−
t = XtP−1
t
Vidíme tedy, že
Xt ≡
1
0
Pt(i)Ct(i)di = PtCt (12)
což znamená, že celkové spotřební výdaje domácnosti mohou být vyjádřeny jako násobek cenového indexu a
spotřebního indexu.
A konečně dosazením (12) do (11) získáme poptávku domácnosti po jednotlivých spotřebních statcích
Ct(i) =
Pt(i)
Pt
−
Ct (13)
Vidíme, že poptávka je klesající funkcí relativní ceny, a rostoucí funkcí celkové spotřeby (která bude záviset na
důchodu).
1.2 Optimální celková spotřeba a nabídka práce
V této podkapitole budeme řešit standardní problém maximalizace užitku reprezentativní domácnosti. Cílem
domácnosti je maximalizovat objektivní funkci (1) vzhledem k omezení (5). Aby v rozpočtovém omezení vystupovaly
pouze agregátní veličiny, dosadíme do něj (12) a získáme
PtCt + QtBt ≤ Bt−1 + WtNt + Dt (14)
4
Lagrangián pro problém maximalizace užitku domácnosti pak bude mít následující podobu
max
{Ct,Nt,Bt}∞
t=0
L = E0
∞
t=0
βt
C1−σ
t −1
1−σ −
N1+ϕ
t
1+ϕ Zt
+λt [Bt−1 + WtNt + Dt − PtCt − QtBt]
(15)
Podmínky prvního řádu jsou
∂L
∂Ct
= βt
ZtC−σ
t − λtPt = 0
ZtC−σ
t
Pt
= λt (16)
∂L
∂Nt
= βt
{−ZtNϕ
t + λtWt} = 0
ZtNϕ
t
Wt
= λt (17)
∂L
∂Bt
= −βt
λtQt + βt+1
Etλt+1 = 0
λtQt = βEtλt+1 (18)
Rovnice (16) a (17) nám dají následující nabídku práce domácnosti (intratemporální podmínku optimality)
Wt
Pt
= Cσ
t Nϕ
t (19)
Kombinací rovnic (16) a (18) pak dostaneme Eulerovu rovnici (intertemporální podmínka optimality pro
úspory a spotřebu), kde Πt ≡ Pt
Pt−1
značí hrubou míru inflace
ZtC−σ
t
Pt
Qt = βEt
Zt+1C−σ
t+1
Pt+1
Qt = βEt
Ct+1
Ct
−σ
Zt+1
Zt
1
Πt+1
(20)
1.2.1 Log-linearizace
Log linearizaci intratemporální podmínky optimality domácnosti provedeme tzv. exaktní metodou - rovnici
vydělíme jejím ustáleným stavem a zlogaritmujeme3
Wt/ ¯W
Pt/ ¯P
= (Ct/ ¯C)σ
(Nt/ ¯N)ϕ
ˆwt − ˆpt = σˆct + ϕˆnt (21)
Eulerovu rovnici log-linearizujeme rovněž pomocí exaktní metody. V ustáleném stavu s nulovou inflací, který
ve své učebnici uvažuje Galí (2015), platí ¯Π = 1 a Eulerova rovnice se nám zredukuje na ¯Q = β. Označme si
krátkodobou nominální úrokovou míru jako it ≡ − log Qt a její ustálený stav ρ ≡ − log β = − log ¯Q. Vydělením
Eulerovy rovnice (20) jejím ustáleným stavem a zlogaritmováním dostaneme
ˆqt = −σ(Etˆct+1 − ˆct) + Et ˆzt+1 − ˆzt − Etˆπt+1
ˆct = Etˆct+1 −
1
σ
(ˆit − Etˆπt+1) +
1
σ
(ˆzt − Et ˆzt+1) (22)
3Budeme používat standardní značení kdy pro proměnnou Xt značí ¯X její ustálený stav, ˆxt = log Xt − log ¯X její log-odchylku
od ustáleného stavu, a xt = log Xt logaritmus dané proměnné.
5
Pokud dále použijeme skutečnost že log ¯Π = 0, odečteme ustálené stavy spotřeby a šoku do preferencí Zt (který
je v logaritmu taktéž nulový) a použijeme (4), dostaneme Galího (2015, s. 54) verzi Eulerovy rovnice
ct = Etct+1 −
1
σ
(it − Etπt+1 − ρ) +
1
σ
(1 − ρz)zt (23)
2 Reprezentativní firma
Nyní se budeme věnovat reprezentativní firmě. Předpokládáme, že ekonomika se skládá z kontinua firem indexovaných
na intervalu i ∈ [0, 1]. Každá firma produkuje diferencovaný statek, avšak všechny firmy používají
identickou technologii, popsanou následující produkční funkcí
Yt(i) = AtNt(i)1−α
(24)
At je exogenní technologický šok, který je specifikován jako stacionární AR(1) proces
log At ≡ at = ρaat−1 + εa
t (25)
Každá firma čelí poptávce (13), přičemž agregátní cenovou hladinu Pt a spotřební index Ct bere jako daný.
Zásadní změnou oproti RBC modelům bude zavedení předpokladu strnulých cest, který povede k narušení
neutrality peněz v krátkém období. V každém časovém období může každá firma změnit cenu svého produktu
pouze s pravděpodobností 1 − θ. V každém časovém období tedy 1 − θ firem změní svou cenu, zatímco θ firem
ponechá cenu produktu nezměněnou. Tento přístup poprvé použil Calvo (1983).
2.1 Agregátní cenová dynamika
Model strnulých cen dle Calva implikuje následující agregátní cenovou dynamiku. Agregátní cenový index nám
definuje rovnice (10)
Pt =
1
0
Pt(i)1−
di
1
1−
Calvo model nám říká, že každém časovém období t je 1 − θ firem náhodně vybráno, aby reoptimalizovaly svou
cenu na P(i)∗
t . θ náhodně vybraných firem pak cenu nezmění, a zvolí tedy cenu P(i)t−1. Cenový index tedy
můžeme přepsat jako
Pt =
θ
0
P(i)1−
t−1di +
1
θ
P(i)∗1−
t di
1
1−
Jelikož jsou všechny reoptimalizující firmy identické, zvolí vždy identickou cenu P∗
t . A jelikož reoptimalizující
firmy byly zvoleny náhodně, průměrná cena ne-reoptimalizujících firem odpovídá agregátní cenové hladině v
t − 1 s celkovou masou θ. Cenový index tedy můžeme přepsat jako
Pt = θP1−
t−1 + (1 − θ)P∗1−
t
1
1−
Definujme si hrubou míru inflace jako Π ≡ Pt/Pt−1. Obě strany agregátního indexu pak můžeme podělit Pt−1
a dostaneme
Π1−
t = θ + (1 − θ)
P∗
t
Pt−1
1−
(26)
6
2.1.1 Log-linearizace
Log-linearizaci rovnice (26) provedeme za použití triku Xt = ¯Xeˆxt
(a jako vždy uvažujeme ustálený stav s
nulovou inflací)
e(1− )ˆπt
= θ + (1 − θ)
e(1− )ˆp∗
t
e(1− )ˆpt−1
(1 − )ˆπt = (1 − θ)(1 − )(ˆp∗
t − ˆpt−1)
ˆπt = (1 − θ)(ˆp∗
t − ˆpt−1)
ˆp∗
t − ˆpt−1 =
1
1 − θ
ˆπt (27)
2.2 Optimální cena
Firma i reoptimalizující cenu v čase t zvolí cenu P∗
t . Tato cena je řešením následujícího problému maximalizace
současné tržní hodnoty zisku firmy
max
P ∗
t
∞
k=0
θk
Et Λt,t+k P∗
t Yt+k|t(i) − TCn
t+k(i) (28)
vzhledem k sekvenci následujících omezení (v podobě poptávkových funkcí (13))
Yt+k|t(i) =
P∗
t
Pt+k
−
Ct+k (29)
pro k = 0, 1, 2, ... kde Yt+k|t(i) je produkt v čase t + k pro firmu i reoptimalizující cenu v čase t, Λt,t+k ≡
βk Uc,t+k
Uc,t
= βk Ct+k
Ct
−σ
Zt+k
Zt
Pt
Pt+k
je stochastický diskontní faktor (viz. Eulerova rovnice (20)) a
TCn
t+k(i) jsou nominální náklady (které budou záviset na produktu Yt+k|t(i) ). Všimněte si, že θk
je pravděpodobnost
že cena P∗
t stanovená v čase t setrvá dalších k časových období.
Jelikož náš jednoduchý model neobsahuje kapitál ani žádné jiné vstupy do produkce, celkové náklady firmy
jsou jen mzdové náklady. S použitím produkční funkce (24) dostaneme
TCn
t+k(i) = Wt+kNt+k(i) = Wt+k
Yt+k|t(i)
At+k
1
1−α
(30)
Pro o trochu větší přehlednost dalších odvození si už nyní vyjádříme mezní náklady firmy a derivaci poptávky
(29) podle optimální ceny P∗
t
MCn
t+k(i) ≡
∂TCn
t+k(i)
∂Yt+k|t(i)
=
1
1 − α
Wt+k
Yt+k|t(i)
At+k
1
1−α −1
1
At+k
=
1
1 − α
Wt+kA
− 1
1−α
t+k Yt+k|t(i)
α
1−α (31)
∂Yt+k|t(i)
∂P∗
t
= −
P∗
t
Pt+k
− −1
Ct+k
Pt+k
= −
P∗
t
Pt+k
−
Ct+k
P∗
t
= −
P∗
t
Yt+k|t(i) (32)
Nyní získáme podmínku prvního řádu zderivováním cílové funkce (28) podle P∗
t
∞
k=0
θk
Et Λt,t+k Yt+k|t(i) + P∗
t
∂Yt+k|t(i)
∂P∗
t
− MCn
t+k(i)
∂Yt+k|t(i)
∂P∗
t
= 0
7
Dosadíme (32) a upravíme
∞
k=0
θk
Et Λt,t+k Yt+k|t(i) − Yt+k|t(i) + MCn
t+k(i)
P∗
t
Yt+k|t(i) = 0
∞
k=0
θk
Et Λt,t+kYt+k|t(i) 1 − + MCn
t+k(i)
P∗
t
= 0
∞
k=0
θk
Et Λt,t+kYt+k|t(i) P∗
t −
− 1
MCn
t+k(i) = 0
∞
k=0
θk
Et Λt,t+kYt+k|t(i) P∗
t − MMCn
t+k(i) = 0 (33)
kde M ≡ −1 . Z rovnice (33) tedy vidíme, že firma stanoví optimální cenu P∗
t jako přirážku M k očekávaným
mezním nákladům. Povšimněte si, že v limitním případě bez nominální cenové rigidity (kdy θ = 0) se nám
rovnice (33) zjednoduší na
P∗
t = MMCn
t (i).
Parametr M je interpretovatelný jako optimální přirážka při absenci nákladů přizpůsobení ceny. Z tohoto důvodu
je M časkto nazývána jako „přirozená“ nebo „bezfrikční“ přirážka. Odtud je M konstantní za předpokladu
časově invariatní elasticity substituce .
2.2.1 Log-linearizace optimální ceny
Nyní se budeme věnovat log-linearizaci rovnice (33). Tu si pro naše potřeby drobně upravíme do následujícího
tvaru
∞
k=0
θk
Et Λt,t+kYt+k|t(i)
P∗
t
Pt−1
− M
MCn
t+k(i)
Pt+k
Pt+k
Pt−1
= 0 (34)
Stejně jako v Galího (2015) učebnici budeme uvažovat ustálený stav s nulovou inflací (kde
P ∗
t
Pt−1
= Pt
Pt−k
= 1), a
ve kterém z definice diskontního faktoru platí ¯Λ = β.
Dále do (34) dosadíme definici diskontního faktoru, zavedeme definici reálných mezních nákladů MCr
t+k(i) ≡
MCn
t+k(i)
Pt+k
a rozdělíme nekonečnou sumu na dvě části
∞
k=0
(θβ)k
Et
Uc,t+k
Uc,t
Yt+k|t(i)
P∗
t
Pt−1
=
∞
k=0
(θβ)k
Et M
Uc,t+k
Uc,t
Yt+k|t(i)MCr
t+k(i)
Pt+k
Pt−1
(35)
V ustáleném stavu musí platit
1 = MMC
r
(i) (36)
Nyní provedeme log-linearizaci za použití triku Xt = ¯X Xt
¯X
= ¯Xeˆxt
a Taylorovy aproximace ˆxt kolem ustáleného
stavu ˆxt (tedy nuly). Jelikož
Uc,t+k
Uc,t
Yt+k|t(i) vystupují na obou stranách rovnice ve shodném multiplikativním
tvaru, po linearizaci se navzájem odečtou a tudíž je při log-linearizaci můžeme ignorovat
∞
k=0
(βθ)k
Et
Uc,t+k
Uc,t
Yt+k|t(i)
eˆp∗
t
eˆpt−1
=
∞
k=0
(βθ)k
Et
Uc,t+k
Uc,t
Yt+k|t(i)e ˆmcr
t+k(i) eˆpt+k
eˆpt−1
8
Po Taylorově aproximaci dostaneme
∞
k=0
(βθ)k
Et {ˆp∗
t − ˆpt−1} =
∞
k=0
(βθ)k
Et ˆmcr
t+k(i) + ˆpt+k − ˆpt−1
Nyní využijeme skutečnosti, že ˆp∗
t a ˆpt−1 na levé straně rovnice nezávisí na k a vzorec pro nekonečnou sumu,
jenž pro (βθ) < 0 říká
∞
k=0(βθ)k
= 1
1−βθ
ˆp∗
t − ˆpt−1 = (1 − βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et ˆmcr
t+k(i) + ˆpt+k − ˆpt−1 (37)
Tato rovnice je ekvivalentem rovnice (11) v Galím (2015, s. 57) - pro obdržení stejného tvaru stačí aplikovat
trik s nekonečnou sumou i na ˆpt−1 a pro log mcr
(i) = log(1/M) ≡ −µ a uvědomit si, že Galí provádí linearizaci
trochu odlišným způsobem (pouze v logaritmech, a ne v log odchylkách od ustáleného stavu). Tato rovnice říká,
že v případě, že existuje cenová strnulost (θ > 0), firmy nastavují cenu vpředhlednícně. Volí cenu (ˆp∗
t ), která
koresponduje s přirážkou okolo váženého průměru jejich aktuálních a očekávaných nominálních mezních nákladů
s vahou, která je proporcionální pravděpodobnosti (θk
), že stanovená cena zůstane efektivní v každém časovém
horizontu a je přenásobená kumulativním diskontním faktorem (βk
).
3 Rovnováha a Nová Keynesianská Phillipsova křivka
V rovnováze předpokládáme, že je nabídka rovna poptávce. Jelikož je v našem jednoduchém modelu spotřeba
jedinou složkou poptávky, musí v rovnováze platit Y (i) = C(i). Definujme agregátní produkt jako CES index
produkce jednotlivých firem i
Yt ≡
1
0
Yt(i)1− 1
di
−1
(38)
V rovnováze pak musí platit
Yt = Ct (39)
Agregátní spotřeba jako jediný zdroj poptávky v modelu je determinována Eulerovou rovnicí (22), která společně
s výše uvedenou podmínkou rovnováhy implikuje
ˆyt = Et ˆyt+1 −
1
σ
(ˆit − Etˆπt+1) +
1
σ
(ˆzt − Et ˆzt+1) (40)
Agregátní zaměstnanost je definována jako součet zaměstnanosti v jednotlivých firmách
Nt =
1
0
Nt(i)di
Dosadíme produkční funkci (24), poptávku (13) a podmínky rovnováhy Yt = Ct a Yt(i) = Ct(i)
Nt =
1
0
Yt(i)
At
1
1−α
=
1
0
Pt(i)
Pt
−
Yt
At
1
1−α
di
=
Yt
At
1
1−α 1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di =
Yt
At
1
1−α
∆t (41)
kde ∆t ≡
1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di je míra cenové disperse. Tuto rovnici log-linearizujeme pomocí exaktní metody a
dostaneme
ˆnt =
1
1 − α
(ˆyt − ˆat) + ∆t
9
Za okamžik si dokážeme, že cenová disperse ∆t je až do aproximace prvního řádu rovna jedné, a proto získáme
následující rovnici určující agregátní zaměstnanost pro daný produkt a technologii
ˆnt =
1
1 − α
(ˆyt − ˆat) (42)
3.1 Cenová disperse
Našim cílem je ukázat, že následující vztah platí až do aproximace prvního řádu
1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di = 1 (43)
Agregátní cenový index je definován jako
Pt =
1
0
Pt(i)1−
di
1
1−
(44)
Ten můžeme upravit
P1−
t =
1
0
Pt(i)1−
di
1 =
1
0
Pt(i)
Pt
1−
di
1 =
1
0
e(1− ) log Pt(i)
e(1− ) log Pt
di
1 =
1
0
e(1− )(pt(i)−pt)
di (45)
Taylorova aproximace druhého řádu (45) okolo pt(i) = pt je
1
1
0
1 + (1 − )(pt(i) − pt) +
1
2
(1 − )2
(pt(i) − pt)2
di
1 1 + (1 − )
1
0
(pt(i) − pt)di +
1
2
(1 − )2
1
0
(pt(i) − pt)2
di
0 −(1 − )pt + (1 − )
1
0
pt(i)di +
1
2
(1 − )2
1
0
(pt(i) − pt)2
di
pt
1
0
pt(i)di +
1
2
(1 − )
1
0
(pt(i) − pt)2
di (46)
Rovnice (46) ukazuje že až do aproximace prvního řádu je pt =
1
0
pt(i)di ≡ Ei[pt(i)] průřezový průměr (logaritmu)
cen. Taylorova aproximace druhého řádu (43) okolo pt(i) = pt je
1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di =
1
0
e− 1−α pt(i)
e1−α pt
di =
1
0
e− 1−α (pt(i)−pt)
di
1
0
1 −
1 − α
(pt(i) − pt) +
1
2 1 − α
2
(pt(i) − pt)2
di
= 1 −
1 − α
1
0
(pt(i) − pt)di +
1
2 1 − α
2 1
0
(pt(i) − pt)2
di
= 1 +
1 − α
pt −
1 − α
1
0
pt(i)di +
1
2 1 − α
2 1
0
(pt(i) − pt)2
di
10
Nyní dosadíme (46) za pt
1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di 1 +
1 − α
1
0
pt(i)di +
1
2
(1 − )
1
0
(pt(i) − pt)2
di
−
1 − α
1
0
pt(i)di +
1
2 1 − α
2 1
0
(pt(i) − pt)2
di
= 1 +
1
2 1 − α
1
0
(pt(i) − pt)2
di (1 − ) +
1 − α
= 1 +
1
2 1 − α
1 − α + α
1 − α
1
0
(pt(i) − pt)2
di
Za použití vztahu pt = Ei[pt(i)] z rovnice (46) a definice rozptylu vari[pt(i)] ≡
1
0
(pt(i) − Ei[pt(i)])2
di můžeme
psát
1
0
Pt(i)
Pt
− 1−α
di 1 +
1
2
(1 − α + α )
(1 − α)2
vari[pt(i)] (47)
Rovnice (47) tudíž ukazuje, že vztah (43) platí až do aproximace prvního řádu, což jsme chtěli dokázat.
3.2 Mezní náklady
Agregátní reálné celkové náklady můžeme definovat jako celkové mzdové náklady. S použitím (41) (a vynecháním
cenové disperse) máme
TCr
t+k ≡ Nt+k
Wt+k
Pt+k
=
Yt+k
At+k
1
1−α
Wt+k
Pt+k
Agregátní mezní náklady získáme parciální derivací celkových nákladů dle Yt+k
MCr
t+k =
1
1 − α
Wt+k
Pt+k
1
At+k
Yt+k
At+k
1
1−α −1
=
1
1 − α
Wt+k
Pt+k
A
− 1
1−α
t+k Y
α
1−α
t+k (48)
V kapitole 2.2 jsme si ukázali, že reálné mezní náklady individuální firmy i jsou rovny
MCr
t+k(i) =
1
1 − α
Wt+k
Pt+k
A
− 1
1−α
t+k Yt+k|t(i)
α
1−α
Nyní dosadíme poptávku (29), použijeme podmínku rovnováhy Yt = Ct, a upravíme
MCr
t+k(i) =
1
1 − α
Wt+k
Pt+k
A
− 1
1−α
t+k
P∗
t
Pt+k
−
Yt+k
α
1−α
=
1
1 − α
Wt+k
Pt+k
A
− 1
1−α
t+k Y
α
1−α
t+k
P∗
t
Pt+k
− α
1−α
Po dosazení (48) získáme mezi mezními náklady individuální firmy a agregátními mezními náklady
MCr
t+k(i) = MCr
t+k
P∗
t
Pt+k
− α
1−α
(49)
Rovnici individuálních mezních nákladů (49) log-linearizujeme pomocí exaktní metody a získáme
mc
r
t+k(i) = mc
r
t+k −
α
1 − α
(ˆp∗
t − ˆpt+k)
mc
r
t+k(i) = mc
r
t+k −
α
1 − α
(ˆp∗
t − ˆpt−1) +
α
1 − α
(ˆpt+k − ˆpt−1) (50)
11
3.3 Nová Keynesiánská Phillipsova křivka
Do rovnice (37) popisující volbu optimální ceny individuální firmou nyní dosadíme mezní náklady (50) a upravíme
za použití pravidla pro nekonečné sumy
∞
k=0(βθ)k
= 1
1−βθ
ˆp∗
t − ˆpt−1 = (1 − βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et mc
r
t+k −
α
1 − α
(ˆp∗
t − ˆpt−1) + 1 +
α
1 − α
(ˆpt+k − ˆpt−1)
1 +
α
1 − α
(ˆp∗
t − ˆpt−1) = (1 − βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et mc
r
t+k + 1 +
α
1 − α
(ˆpt+k − ˆpt−1)
ˆp∗
t − ˆpt−1 = (1 − βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et Θmc
r
t+k + ˆpt+k − ˆpt−1 (51)
kde Θ ≡ 1−α
1−α+ α .
V dalším kroku se několika úpravami zbavíme nekonečné sumy a rovnici (51) přepíšeme do rekurzivního tvaru.
Začneme tím, že rozdělíme nekonečnou sumu na dva členy
ˆp∗
t − ˆpt−1 =(1 − βθ)[Θmc
r
t + ˆpt − ˆpt−1]
+ (1 − βθ)
∞
k=1
(βθ)k
Et Θmc
r
t+k + ˆpt+k − ˆpt−1 (52)
Jelikož platí
(1 − βθ)
∞
k=1
(βθ)k
Et Θmc
r
t+k + ˆpt+k − ˆpt−1
= (1 − βθ)(βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et Θmc
r
t+1+k + ˆpt+1+k − ˆpt−1
můžeme (52) přepsat do následujícího tvaru (a odečíst a přičíst ˆpt v nekonečné sumě)
ˆp∗
t − ˆpt−1 =(1 − βθ)[Θmc
r
t + ˆpt − ˆpt−1]
+ (1 − βθ)(βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et Θmc
r
t+1+k + ˆpt+1+k − ˆpt
+ (1 − βθ)(βθ)
∞
k=0
(βθ)k
Et {ˆpt − ˆpt−1}
Nyní využijeme definice inflace ˆπt = ˆpt − ˆpt−1, na základě rovnice (51) si uvědomíme, že výraz na druhém řádku
odpovídá (βθ)(Et ˆp∗
t+1 − ˆpt), a na výraz na třetím řádku aplikujeme vzorec na nekonečnou sumu
ˆp∗
t − ˆpt−1 = (1 − βθ)(Θmc
r
t + ˆπt) + (βθ)(Et ˆp∗
t+1 − ˆpt) + (βθ) ˆπt
A na závěr už jen dosadíme (27) za ˆp∗
t − ˆpt−1 a Et ˆp∗
t+1 − ˆpt a upravíme
1
1 − θ
ˆπt = (1 − βθ)Θmc
r
t +
βθ
1 − θ
Etˆπt+1 + ˆπt
ˆπt = λmc
r
t + βEtˆπt+1 (53)
kde λ ≡ (1−βθ)(1−θ)
θ Θ. Rovnice (53) je již téměř hotová Nová Keynesianská Phillipsova křivka vyjadřující závislost
inflace na očekáváné inflaci a reálných mezních nákladech. V posledním kroku bychom rádi do Nové
12
Keynesianské Phillipsovy křivky rádi místo mezních nákladů dostali produkční mezeru ˜yt ≡ log Yt − log Y ∗
t , kde
Y ∗
t je tzv. přirozený produkt, který by byl produkován při flexibilních cenách.
Rovnice (48) nám říká, že agregátní reálné mezní náklady jsou
MCr
t =
1
1 − α
Wt
Pt
A
− 1
1−α
t Y
α
1−α
t
Dáme využijeme rovnici nabídky práce domácnosti (19) společně s podmínkou rovnováhy Yt = Ct
Wt
Pt
= Y σ
t Nϕ
t
Dále použijeme vztah mezi produktem a zaměstnaností (41)
Nt =
Yt
At
1
1−α
Kombinací těchto tří rovnic dostaneme
MCr
t =
1
1 − α
Y σ
t
Yt
At
ϕ
1−α
A
− 1
1−α
t Y
α
1−α
t =
1
1 − α
Y
σ+ ϕ+α
1−α
t A
− 1+ϕ
1−α
t
Log-linearizace exaktní metodou nám dá
mc
r
t = σ +
ϕ + α
1 − α
ˆyt −
1 + ϕ
1 − α
ˆat (54)
Mezní náklady pro ekonomiku s flexibilními cenami jsou v log-lineární formě dány jako
mc
r∗
t = σ +
ϕ + α
1 − α
ˆy∗
t −
1 + ϕ
1 − α
ˆat = 0 (55)
Jelikož jak uvádí Galí (2015, s. 62), mezní náklady v cenově flexibilní ekonomice jsou vždy konstanta a tedy
mc
r∗
t = 0, odečtením (54) od (55) dostaneme
mc
r
t = σ +
ϕ + α
1 − α
˜yt (56)
Dosazením (56) do (53) získáme Novou Keynesiánskou Phillipsovu křivku
ˆπt = βEtˆπt+1 + κ˜yt (57)
kde κ ≡ λ σ + ϕ+α
1−α , λ = (1−βθ)(1−θ)
θ Θ a Θ = 1−α
1−α+ α .
3.4 Dynamická IS křivka
Nyní se pokusíme přepsat Eulerovu rovnici (40) tak, aby také závisela na produkční mezeře ˜yt a nikoliv na
produktu ˆyt. Rovnici (55) proto přepíšeme jako
ˆy∗
t =
1 + ϕ
(1 − α)σ + ϕ + α
ˆat (58)
A k Eulerově rovnici (40) přičteme a odečteme ˆy∗
t a Et ˆy∗
t+1
ˆyt − ˆy∗
t = Et ˆyt+1 − Et ˆy∗
t+1 −
1
σ
(ˆit − Etˆπt+1 − σ[Et ˆy∗
t+1 − ˆy∗
t ]) +
1
σ
(ˆzt − Et ˆzt+1)
13
použijeme definici ˜yt a dostaneme dynamickou IS křivku
˜yt = Et ˜yt+1 −
1
σ
ˆit − Etˆπt+1 − σ Et ˆy∗
t+1 − ˆy∗
t +
1
σ
(ˆzt − Et ˆzt+1) (59)
kde z rovnice (58) máme
Et ˆy∗
t+1 − ˆy∗
t =
1 + ϕ
(1 − α)σ + ϕ + α
[Etˆat+1 − ˆat]
Dynamickou IS křivku (59) případně můžeme přepsat do tvaru, který uvádí Galí (2015, s. 23)
˜yt = Et ˜yt+1 −
1
σ
(it − Etˆπt+1 − rn
t ) (60)
a
rn
t = ρ − σ(1 − ρa)
1 + ϕ
(1 − α)σ + ϕ + α
ˆat + (1 − ρz)ˆzt
kde rn
t je přirozená úroková míra.
3.5 Taylorovo pravidlo
Model uzavřeme pomocí následujícího jednoduchého pravidla, které aproximuje reakci centrální banky na vývoj
produkční mezery a inflace
ˆit = φπ ˆπt + φ˜y ˜yt + υt (61)
kde φπ a φ˜y jsou reakční parametry, a υt je i.i.d. monetární šok.
4 Základní Nový Keynesiánský model
V tomto textu jsme si odvodili základní Nový Keynesiánský model, který se skládá ze tří hlavních rovnic:
Nové Keynesiánské Phillipsovy křivky
ˆπt = βEtˆπt+1 + κ˜yt
kde κ ≡ λ σ + ϕ+α
1−α , λ = (1−βθ)(1−θ)
θ Θ a Θ = 1−α
1−α+ α .
Dynamické IS křivky
˜yt = Et ˜yt+1 −
1
σ
ˆit − Etˆπt+1 − σ Et ˆy∗
t+1 − ˆy∗
t +
1
σ
(ˆzt − Et ˆzt+1)
Taylorova pravidla
ˆit = φπ ˆπt + φ˜y ˜yt + υt
a tří rovnic pro exogenní proměnné
ˆzt = ρz ˆzt−1 + εz
t
ˆat = ρaˆat−1 + εa
t
Et ˆy∗
t+1 − ˆy∗
t =
1 + ϕ
(1 − α)σ + ϕ + α
[Etˆat+1 − ˆat]
Tento systém šesti rovnic obsahuje soubor zakladni_NK.mod
14
Reference
Calvo, Guillermo A. (1983). Staggered prices in a utility-maximizing framework. Journal of Monetary Economics,
Vol. 12, No. 3, pp. 383-398.
Galí, Jordi (1999). Technology, Employment, and the Business Cycle: Do Technology Shocks Explain Aggregate
Fluctuations? American Economic Review, Vol. 89, No. 1 pp. 249-271.
Galí, Jordi (2015). Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle. An Introduction to the New Keynesian
Framework and Its Applications. Second Edition. Princeton: Princeton University Press. ISBN:
9780691164786.
Yun, Tack (1996). Nominal price rigidity, money supply endogeneity, and business cycles. Journal of monetary
Economics, Vol. 37, No. 2, pp. 345-370.
15