BPM_MATE
Desáté cvičení
Determinanty a vlastní čísla
Příklad 1: Vypočtěte následující determinanty
a)
3 2
1 −4
b)
1 1 4
3 2 −1
3 0 2
c)
4 3 0
0 −1 2
1 0 3
d)
−2 3 1 0
1 −3 2 −1
0 1 2 0
−2 1 0 1
e)
2 −2 3 1
0 2 0 1
0 1 −1 0
2 1 2 2
Příklad 2: Určete vlastní čísla a vektory pro následující matice
a)
1 3
3 1
b)
5 −3
−4 4
c)
2 −1
0 −1
Příklad 3: Uvažujme, že společnost je definována jako seskupení lidí tří sociálních tříd: nižší (N),
střední (S) a vyšší (V ). Uvažujme, že pravděpodobnost začlenění osoby do dané třídy je závislá pouze
na třídě, ve které se vyskytoval její rodič. Na základě dlouhodobého pozorování byla shromážděna
následující data: je-li rodič ve třídě N, pak dítě bude ve třídě N s pravděpodobností 0,7, ve třídě S
s 0,2 a ve třídě V s 0,1. Je-li rodič ve třídě S, pravděpodobnosti přechodu jsou 0,3 (N), 0,5 (S) a 0,2
(V ). Pokud je rodič ve třídě V , pak jsou pravděpodobnosti pro zařazení jeho dítěte do jednotlivých
tříd 0,1 (N), 0,1 (S) a 0,8 (V ).
a) Pro takto definovaný proces sestrojte matici a graf přechodu.
b) Víte-li, že 40 % lidí patří do třídy N, 50 % do třídy S a 10 % do třídy V , určete, jak bude
vypadat rozložení společnosti po dvou generacích.
c) Určete, jak bude vypadat rozložení společnosti v dlouhodobém horizontu.
Nápověda: Při výpočtu v bodě c) využijte toho, že víte, že hledaný stav bude popsán vlastním
vektorem příslušným vlastnímu číslu λ = 1.