BPM_MATE
Druhé cvičení
Posloupnosti a řady
Výsledky (bez záruky)
Příklad 1:
a) 1; 3
5
; 1
2
; 5
11
; 3
7
,
b) 0,2; 0,04; 0,008; 0,0016; 0,00032, geometrická,
c) −1; 1
2
; −1
6
; 1
24
; − 1
120
,
d) 1; 4; 7; 10; 13, aritmetická.
Příklad 2:
a) an = 1
2
n
, geometrická,
b) an = 1
2n
,
c) an = −3 + 5n, aritmetická,
d) an = −2
2
n−1
, geometrická.
Příklad 3:
a) a1 = 5, a10 = 23, s10 = 5(5 + 23) = 140,
b) s10 = −1
2
1−(−1
2 )
10
1−(−1
2 )
= − 341
1024
,
c) s10 = 31−310
1−3
= 88572,
d) a1 = −3, a10 = −30, s10 = 5(−3 − 30) = −165.
Příklad 4: P5 = P0(1 + i)5
= 75 000 · (1,05)5
= 95 721,1 Kč
2P0 = P0(1, 05)n
=⇒ n = ln 2
ln 1,05
= 14,2, prakticky po 15 letech.
Příklad 5: P0 = Pn
(1+i)n = 10 000
(1,05)5 = 7 835,26 Kč, vlastně stejný úkol, tj. prakticky po 15 letech.
Příklad 6: PV = 4 600 + 4 600
1,06
+ 4 600
(1,06)2 + 4 600
(1,06)3 + 4 600
(1,06)4 = 20 539,5 Kč. Je tedy výhodnější si nechat
vyplatit rovnou 21 000 Kč.
Příklad 7: Vypočítejte, případně rozepište následující sumy:
a) 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ 52
= 55,
b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20,
c) 1
2
− 1
4
+ 1
8
− 1
16
= 5
16
,
d) 1
N
(x1 + x2 + x3 + · · · + xN ),
e) 1
1·2
+ 1
2·3
+ 1
3·4
+ · · · + 1
n(n+1)
,
f) a1ib + a2ib2
+ a3ib3
+ · · · + anibn
.
BPM_MATE
Příklad 9:
a) s = a1
1−q
= 1
1−1
3
= 3
2
,
b) diverguje,
c) s = a1
1−q
= 0,1
1−0,1
= 1
9
,
d) ∞
n=1
2·3n−2n
6n = 2 ∞
n=1
3
6
n
− ∞
n=1
2
6
= 2
1
2
1−1
2
−
1
3
1−1
3
= 3
2
.
Příklad 10: V obou variantách jde o nekonečnou geometrickou řadu
S1 =
10 000
1 − 0,8
= 50 000 Kč.
S2 =
5 000
1 − 0,9
= 50 000 Kč.
V obou variantách je tedy přínos stejný.
Příklad 11:
sn = 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
+
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
s = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
1 −
1
n + 1
= 1
Příklad 12: Ve všech případech není splněná nutná podmínka konvergence.
a) limn→∞
1
2
n
+ 3
2
n
= ∞ > 0,
b) limn→∞
n
√
2 = limn→∞ 2
1
n = 1 > 0,
c) limn→∞
n+1
2n−3
= 1
2
> 0.
Příklad 14:
a)
3
s=1
4
r=1
(r + 2s) =
3
s=1
[(1 + 2s) + (2 + 2s) + (3 + 2s) + (4 + 2s)] =
=
3
s=1
(8s + 10) = 18 + 26 + 34 = 78.
b)
3
i=1
4
j=1
i · 3j
=
3
i=1
(3i + 9i + 27i + 81i) =
3
i=1
= 120i
=120 + 240 + 360 = 720.