Jak popsat změnu
Derivace a její použití
Petr Liška
Masarykova univerzita
6.3.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 1 / 21
Derivace a její interpretace
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 2 / 21
Definice derivace - mezní „cokoliv“ (marginal „whatever“)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 3 / 21
Definice derivace - mezní „cokoliv“ (marginal „whatever“)
TC = f(Q), kde Q značí množství
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 3 / 21
Definice derivace - mezní „cokoliv“ (marginal „whatever“)
TC = f(Q), kde Q značí množství
MC =
∆TC
∆Q
=
TC2 − TC1
Q2 − Q1
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 3 / 21
Definice derivace - mezní „cokoliv“ (marginal „whatever“)
TC = f(Q), kde Q značí množství
MC =
∆TC
∆Q
=
TC2 − TC1
Q2 − Q1
MC =
dTC
dQ
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 3 / 21
Definice derivace - mezní „cokoliv“ (marginal „whatever“)
TC = f(Q), kde Q značí množství
MC =
∆TC
∆Q
=
TC2 − TC1
Q2 − Q1
MC =
dTC
dQ
Příklad
Nechť funkce C(x) popisuje náklady na snížení emisí CO2 v atmosféře
o x procent v miliardách dolarů. Jaký je význam C′(x) a jaký je význam
čísla C′(20) = 50?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 3 / 21
Příklad
Jsou-li celkové úspory v zemi dány funkcí S(Y ), kde Y je národní produkt,
potom S′(Y ) je tzv. mezní sklon ke spoření (marginal propensity
to save, MPS). Jaký je jeho význam? Je-li
S(Y ) = ¯S + sY,
jaký je S′(Y )?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 4 / 21
Příklad
Jsou-li celkové úspory v zemi dány funkcí S(Y ), kde Y je národní produkt,
potom S′(Y ) je tzv. mezní sklon ke spoření (marginal propensity
to save, MPS). Jaký je jeho význam? Je-li
S(Y ) = ¯S + sY,
jaký je S′(Y )?
Elasticita
Má-li f derivaci a f ̸= 0, potom elasticita f vzhledem k x je
Elxf(x) =
x
f(x)
f′
(x) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 4 / 21
Keynesianský multiplikátor
Jednoduchý makroekonomický model bez veřejných výdajů a zahraničního
obchodu je dán vztahy
Y = C + I
C = a + bY, a, b ∈ R
kde Y je národní důchod, C spotřeba a I investice. Jak musíme zvýšit
investice, abychom dostali předem dané zvýšení národního důchodu?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 5 / 21
Keynesianský multiplikátor
Jednoduchý makroekonomický model bez veřejných výdajů a zahraničního
obchodu je dán vztahy
Y = C + I
C = a + bY, a, b ∈ R
kde Y je národní důchod, C spotřeba a I investice. Jak musíme zvýšit
investice, abychom dostali předem dané zvýšení národního důchodu?
Řešení:
Y = a + bY + I =⇒ Y =
a + I
1 − b
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 5 / 21
Keynesianský multiplikátor
Jednoduchý makroekonomický model bez veřejných výdajů a zahraničního
obchodu je dán vztahy
Y = C + I
C = a + bY, a, b ∈ R
kde Y je národní důchod, C spotřeba a I investice. Jak musíme zvýšit
investice, abychom dostali předem dané zvýšení národního důchodu?
Řešení:
Y = a + bY + I =⇒ Y =
a + I
1 − b
.
dY
dt
=
1
1 − b
dI
dt
Uvažujme například, že a = 0, b = 0,75 a I = 250. Jak musíme zvýšit
investice, aby se národní důchod zvýšil o 200?
200 =
1
1 − 0,75
dI
dt
=⇒
dI
dt
= 50.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 5 / 21
...rate of increase of inflation is
decreasing.
Nixon, 1972
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 6 / 21
Derivace a extrémy funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 7 / 21
Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
a) lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≤ f(x0),
b) lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≥ f(x0),
c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) < f(x0),
d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) > f(x0).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 8 / 21
Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
a) lokální maximum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≤ f(x0),
b) lokální minimum, existuje-li okolí O(x0) tak, že pro každé x ∈
O(x0) je f(x) ≥ f(x0),
c) ostré lokální maximum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) < f(x0),
d) ostré lokální minimum, jestliže existuje okolí O(x0) tak, že pro
každé x ∈ O(x0) ∖ {x0} je f(x) > f(x0).
Věta (Fermatova)
Nechť má funkce f v bodě x0 lokální extrém a nechť existuje derivace
f′(x0). Pak f′(x0) = 0.
Bod x0 s vlastností f′(x0) = 0 se nazývá stacionární bod funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 8 / 21
Věta
Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko,
pak v něm funkce má lokální extrém.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 9 / 21
Věta
Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko,
pak v něm funkce má lokální extrém.
Definice
Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f′′ = (f′)′ a pro libovolné
n ≥ 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem
f(n) = (f(n−1))′.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 9 / 21
Věta
Mění-li derivace funkce při přechodu přes stacionární bod znaménko,
pak v něm funkce má lokální extrém.
Definice
Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f′′ = (f′)′ a pro libovolné
n ≥ 2 definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem
f(n) = (f(n−1))′.
Věta
Nechť f′(x0) = 0, tj. x0 je stacionární bod.
a) Je-li f′′(x0) > 0, pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální mini-
mum.
b) Je-li f′′(x0) < 0, pak má f v bodě x0 ostré lokální maximum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 9 / 21
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y = x4
− 4x3
+ 4x2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 10 / 21
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
y = x4
− 4x3
+ 4x2
Řešení:
y′
= 4x3
− 12x2
+ 8x .
y′
= 0 ⇐⇒ 4x(x − 1)(x − 2) = 0 .
interval (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)
f′ − + − +
f ↘ ↗ ↘ ↗
Lokální maximum v bodě [1, 1] a lokální minima v bodech [0, 0] a [2, 2].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 10 / 21
Definice
Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí
f(x) ≤ f(x0)
pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum
v bodě x0. Podobně definujeme absolutní minimum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 11 / 21
Definice
Buď funkce f definovaná na množině M. Jestliže x0 ∈ M a platí
f(x) ≤ f(x0)
pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f má na M absolutní maximum
v bodě x0. Podobně definujeme absolutní minimum.
Postup pro nalezení absolutních extrémů:
1. Najdeme v daném intervalu stacionární body a body, v nichž
neexistuje první derivace.
2. Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
3. Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud
patří do D(f)).
4. Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a
nejmenší. To bude absolutní maximum a minimum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 11 / 21
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 12 / 21
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
Řešení: f′(x) = 1 − 2x, f′(x) = 0 ⇐⇒ x = 1
2.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 12 / 21
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
Řešení: f′(x) = 1 − 2x, f′(x) = 0 ⇐⇒ x = 1
2.
f(0) = 0, f(1) = 0, f 1
2 = 1
4.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 12 / 21
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
Řešení: f′(x) = 1 − 2x, f′(x) = 0 ⇐⇒ x = 1
2.
f(0) = 0, f(1) = 0, f 1
2 = 1
4.
Funkce má jedno absolutní maximum 1
2, 1
4 a dvě absolutní minima
[0, 0] a [1, 1].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 12 / 21
Příklad
Najděte absolutní extrémy funkce:
f(x) = x − x2
, x ∈ [0, 1]
Řešení: f′(x) = 1 − 2x, f′(x) = 0 ⇐⇒ x = 1
2.
f(0) = 0, f(1) = 0, f 1
2 = 1
4.
Funkce má jedno absolutní maximum 1
2, 1
4 a dvě absolutní minima
[0, 0] a [1, 1].
Příklad
Farma může prodat 20 beden úrody týdně při ceně 400 Kč. Majitel
odhaduje, že při snížení ceny o 10 Kč prodá o dvě bedny více. Výrobní
náklady jsou 200 Kč na jednu bednu. Jaká je optimální cena bedny
úrody pro maximalizaci zisku a jak velký tento zisk bude?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 12 / 21
Optimální zdanění
Zvětšení zdanění zboží zvýší jeho cenu. To má za následek snížení
poptávky (celkový efekt změny bude záviset na elasticitě poptávky).
Toho, kdo daně vybírá, ovšem nejvíce zajímá, kolik daní vybere. Otázkou
tedy je, zda-li snížení poptávky nepřeváží zvýšení daní, tj. sníží se
celkový daňový výnos. Uvažujme, že poptávka se řídí vztahem
pd = a + bq
a nabídka vztahem
ps = c + dq,
kde pd a ps jsou jednotkové ceny v korunách, q značí množství a a, c,
d>0 a b<0. Jak bude vypadat optimální daň?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 13 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí:
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí:
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
q =
a − c − t
d − b
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí:
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
q =
a − c − t
d − b
.
Celkový daňový výnos y je určen množstvím prodaného zboží a daně, tj.
y = qt =
a − c − t
d − b
t.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí:
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
q =
a − c − t
d − b
.
Celkový daňový výnos y je určen množstvím prodaného zboží a daně, tj.
y = qt =
a − c − t
d − b
t.
y′
=
a − c − 2t
d − b
.
y′
= 0 =⇒ t =
a − c
2
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Řešení: Označíme-li t daň uvalenou na jeden kus zboží, pak nabídka se
bude řídit vztahem
ps = c + dq + t .
Při rovnováze na trhu platí:
pd = ps =⇒ c + dq + t = a + bq
q =
a − c − t
d − b
.
Celkový daňový výnos y je určen množstvím prodaného zboží a daně, tj.
y = qt =
a − c − t
d − b
t.
y′
=
a − c − 2t
d − b
.
y′
= 0 =⇒ t =
a − c
2
y′′
=
−2
d − b
< 0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 14 / 21
Jak derivace ovlivňuje tvar grafu?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 15 / 21
Konvexní a konkávní funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 16 / 21
Konvexní a konkávní funkce
Definice
Leží-li graf funkce f nad každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu
I, tj. platí-li
f(x) ≥ f(x0) + f′
(x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konvexní na intervalu I.
Leží-li graf funkce f pod každou svojí tečnou v libovolném bodě intervalu
I, tj. platí-li
f(x) ≤ f(x0) + f′
(x0)(x − x0) pro x, x0 ∈ I,
řekneme, že funkce je konkávní na intervalu I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 16 / 21
x
y
x
y
konvexní = nad tečnou konkávní = pod tečnou
Věta
Nechť I je otevřený interval a f má druhou derivaci na I.
a) Je-li f′′(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f konvexní na I.
b) Je-li f′′(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f konkávní na I.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 17 / 21
Definice
Řekneme, že x0 je inflexním bodem funkce f, jestliže je f v x0 spojitá,
a jestliže je vlevo od bodu x0 konkávní a vpravo od tohoto bodu
je konvexní, nebo naopak.
x
y
0
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 18 / 21
Věta
a) Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f′′(x0). Pak f′′(x0) = 0.
b) Nechť f′′(x0) = 0, v levém okolí bodu x0 platí f′′(x) < 0 a v pravém
okolí bodu x0 platí f′′(x) > 0, nebo naopak. Pak má funkce f
v bodě x0 inflexní bod.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 19 / 21
Věta
a) Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f′′(x0). Pak f′′(x0) = 0.
b) Nechť f′′(x0) = 0, v levém okolí bodu x0 platí f′′(x) < 0 a v pravém
okolí bodu x0 platí f′′(x) > 0, nebo naopak. Pak má funkce f
v bodě x0 inflexní bod.
Příklad
Určete intervaly, ve kterých je funkce
y =
x3
x2 − 1
konvexní/konkávní, případně určete její inflexní body.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 19 / 21
Užitečný nástroj - L’Hospitalovo
pravidlo
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 20 / 21
Věta
Buď x0 ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Nechť je splněna jedna z podmínek
i) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
ii) lim
x→x0
|f(x)| = lim
x→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim
x→x0
f′(x)
g′(x) , pak existuje také
lim
x→x0
f(x)
g(x) a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′(x)
g′(x)
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 21 / 21
Věta
Buď x0 ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Nechť je splněna jedna z podmínek
i) lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0,
ii) lim
x→x0
|f(x)| = lim
x→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim
x→x0
f′(x)
g′(x) , pak existuje také
lim
x→x0
f(x)
g(x) a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f′(x)
g′(x)
.
Využitím různých triků se na tyto dva případy dají převést i ostatní
tzv. neurčité výrazy
∞ − ∞, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 6.3.2024 21 / 21