BPM_MATE
Třetí cvičení
Limity a derivace
Příklad 1: Ze znalosti grafu nebo pomocí úvah určete limity:
a) lim
x→+∞
(x2
− x), b) lim
x→+∞
sin x,
c) lim
x→+∞
1
x3 , d) lim
x→0
1
x3 ,
e) lim
x→0
1
x2 , f) lim
x→+∞
4
1+e−x .
Příklad 2: Určete limity
lim
x→+∞
1
2x + 4
, lim
x→−∞
1
2x + 4
, lim
x→−2+
1
2x + 4
, lim
x→−2−
1
2x + 4
.
Co na základě těchto hodnot můžeme říci o grafu funkce f : y = 1
2x+4
?
Příklad 3: Určete limity
lim
x→+∞
1
1 − ex
, lim
x→−∞
1
1 − ex
, lim
x→0+
1
1 − ex
, lim
x→0−
1
1 − ex
.
Co na základě těchto hodnot můžeme říci o grafu funkce f : y = 1
1−ex ?
Příklad 4: Vypočítejte limity
a) lim
x→+∞
3x3−2x+1
4x3+x2+1
, b) lim
x→+∞
6x2+2x−3
x3−x2+x
,
c) lim
x→+∞
4x4−3x3+1
2x2+x+1
, d) lim
x→+∞
√
2x2+1
3x−5
,
Příklad 5: Vypočtěte derivace následujících funkcí (proměnná je vždy x, a > 0, b > 0)
a) y = x5
− x + 2, b) y = x2
+ 1
x2 ,
c) y = ax + b, d) y = x 3
√
x − x(x2
+ 1),
e) y = x4
ex
, f) y = x ln x,
g) y = 3x2
sin x, h) y = x2+1
x−1
,
i) y = 2x
x2+2
, j) y = ax
x+b
,
k) y = x2
ex , l) y = e3x
,
m) y = ln(ex
+ e−x
), n) y = (xa
+ b)3
,
o) y = ex
ln(x2
+ 1), p) y = ln 1−x
1+x
,
q) y = ln(1 +
√
1 + e−x), r) y = (1 + 2(ax2
+ b)3
)4
.
BPM_MATE
Příklad 5: Vypočtěte druhou derivaci funkcí
a) y = x5
+ 4x3
+ 2x2
, b) y = x3
+ 1
x3 ,
c) y = xe−x
, d) y = x3
x2−1
.
Příklad 6: Uvažte funkci π(Q) = QP(Q) − cQ, kde P je diferencovatelná funkce. Vypočtěte dπ
dQ
.
Příklad 7: Uvažme tzv. nákladovou funkci
C(x) = 8
4
√
x3 + 300,
která vyjadřuje náklady na produkci x výrobků v stovkách korun. Spočtěte derivaci C′
(x) a interpretujte
tento výsledek.
Příklad 8: Roční zisk firmy x let od dnešního dne se předpokládá ve výši
P(x) = 5x − 0,4x2
miliónů korun (0 ≤ x ≤ 8). Vypočtěte P(3), P′
(3) a P′′
(3) a interpretujte tyto výsledky.