BPM_MATE
Třetí cvičení
Limity a derivace
Výsledky (bez záruky)
Příklad 1: Ze znalosti grafu nebo pomocí úvah určete limity:
a) lim
x→+∞
(x2
− x) = +∞, b) lim
x→+∞
sin x neexistuje,
c) lim
x→+∞
1
x3 = 0, d) lim
x→0
1
x3 , neexistuje (zprava a zleva není stejná)
e) lim
x→0
1
x2 = +∞, f) lim
x→+∞
4
1+e−x = 4.
Příklad 4: Vypočítejte limity
a) lim
x→+∞
3x3−2x+1
4x3+x2+1
= 3
4
, b) lim
x→+∞
6x2+2x−3
x3−x2+x
= 0,
c) lim
x→+∞
4x4−3x3+1
2x2+x+1
= +∞, d) lim
x→+∞
√
2x2+1
3x−5
=
√
2
3
.
Příklad 5: Vypočtěte derivace následujících funkcí (proměnná je vždy x, a > 0, b > 0)
a) y′
= 5x4
− 1, b) y′
= 2x − 2
x3 ,
c) y′
= a, d) y′
= 4
3
3
√
x − 3x2
− 1,
e) y′
= (x4
+ 4x3
)ex
, f) y′
= ln x + 1,
g) y′
= 6x sin x + 3x2
cos x, h) y′
= x2−2x−1
(x−1)2 ,
i) y′
= 4−2x2
(x2+2)2 , j) y′
= ab
(x+b)2 ,
k) y′
= 2x−x2
ex , l) y′
= 3e3x
,
m) y′
= ex−e−x
ex+e−x , n) y′
= 3axa−1
(xa
+ b)2
,
o) y′
= ex
ln(x2
+ 1) + 2xex
x2+1
, p) y′
= −2
1−x2 ,
q) y′
= −e−x
2
√
1+e−x(1+
√
1+e−x)
, r) y′
= 48ax(1 + 2(ax2
+ b)3
)3
(ax2
+ b)2
.
Příklad 6: Vypočtěte druhou derivaci funkcí
a) y′
= 5x4
+ 12x2
+ 4x, y′′
= 20x3
+ 24x + 4, b) y′
= 3x2
− 3x−4
, y′′
= 6x + 12x−5
,
c) y′
= (1 − x)e−x
, y′′
= (x − 2)e−x
d) y′
= x4−3x2
(x2−1)2 , y′′
= 2x(x2+3)
(x2−1)3 .
BPM_MATE
Příklad 7: dπ
dQ
= P(Q) + QP′
(Q) − c.
Příklad 8: C′
(x) = 6
4√
x
. Jedná se o změnu nákladů při změně počtu výrobků (ekonomicky se jedná
o tzv. mezní náklady). Můžeme například říct, že číslo C′
(16) = 3 značí změnu nákladů při produkci
šestnáctého výrobku, tedy cenu sedmnáctého výrobku.
Příklad 9: P′
(x) = 5 − 0,8x, P′′
(x) = −0,8.
P(3) = 11,4 mil, P′
(3) = 2,6 mil/rok, P′′
(3) = −0,8 mil/rok2
.
Třetí rok ode dneška bude tedy zisk firmy 11,4 miliónu. Dá se očekávat, že tento zisk poroste (tj. v
dalším roce bude zisk větší), ale růst zisku zpomaluje.