BPM_MATE
Čtvrté cvičení
Aplikace derivace
Příklad 1: Určete lokální extrémy funkce
a) f(x) = x4
− 4x3
+ 4x2
,
b) f(x) = x2+1
x+1
c) f(x) = xe
1
x
Příklad 2: Určete absolutní extrémy funkce
a) f(x) = x − x3
, x ∈ [0, 1]
b) f(x) = x − ln x, x ∈ [1, e]
Příklad 3: Funkce vyjadřující velikost produkce firmy je dána vztahem
Q(L) = 12L2
−
1
20
L3
, L ∈ [0, 200],
kde L je počet pracovníků.
a) Jaká velikost pracovní síly maximalizuje velikost produkce?
b) Velikost produkce na pracovníka je dána vztahem Q(L)
L
. Kdy je tato veličina největší?
c) Je-li L⋆
hodnota, která maximalizuje veličinu Q(L)
L
z předchozího bodu, pak můžete ověřit, že
platí Q′
(L⋆
) = Q(L⋆)
L⋆ . Je to jen náhoda?
Příklad 4: Firma obdrží cenu p za každou jednotku svého výstupu, přičemž platí w za jednu
jednotku vstupů. Na nastavení procesu výroby je potřeba pevná částka F. Velikost výstupů při
použití x jednotek vstupů je dána funkcí f(x) =
√
x.
a) Jak vypadá vztah pro příjmy, výdaje a zisk?
b) Určete podmínky, kdy je zisk firmy maximální.
Příklad 5: Ve městě s 10 000 obyvateli je počet N lidí, kteří ví v daném čase t nějakou informaci,
roven
N(t) =
10000
1 + 9999e−t
,
kde t je čas měřený ve dnech a informace je rozšířena jedinou osobou, která ji měla v čase t = 0.
Určete, v kterém čase t je rychlost šíření informace největší.
Příklad 6: Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní a určete inflexní body,
pokud existují.
a) f(x) = 12 − 12x + x3
,
b) f(x) = 2x
1+x2