Jak popsat změnu
Funkce více proměnných
Petr Liška
Masarykova univerzita
13.03.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 1 / 21
Wind-chill index
Typickým příkladem funkce více proměnných, se kterou se setkal
každý, je vztah mezi vnímanou a naměřenou teplotou, který je dále
ovlivněn rychlostí větru (v případě funkce dvou proměnných) nebo i
vlhkostí (funkce tří proměnných).
T/v 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80
5 4 3 2 1 1 0 -1 -1 -2 -2 -3
0 -2 -3 -4 -5 -6 -6 -7 -8 -9 -9 -10
-5 -7 -9 -11 -12 -12 -13 -14 -15 -16 -16 -17
-10 -13 -15 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -23 -24
-15 -19 -21 -23 -24 -25 -26 -27 -29 -30 -30 -31
-20 -24 -27 -29 -30 -32 -33 -34 -35 -36 -37 -38
-25 -30 -33 -35 -37 -38 -39 -41 -42 -43 -44 -45
-30 -36 -39 -41 -43 -44 -46 -48 -49 -50 -51 -52
W = 13,12 + 0,6215T − 11,37v0,16
+ 0,3965Tv0,16
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 2 / 21
Definice funkce dvou a více proměnných
Definice
Nechť D ⊆ R2, D ̸= ∅. Předpis f, který každému bodu roviny [x, y] ∈
D přiřazuje právě jedno z ∈ R, nazýváme funkcí dvou proměnných.
Tuto funkci označujeme
z = f(x, y).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f.
Definice
Nechť M ⊆ Rn, n ∈ N, M ̸= ∅. Předpis f, který každému bodu množiny
M přiřazuje právě jedno z ∈ R se nazývá (reálná) funkce n (reálných)
proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 3 / 21
Graf funkce
Definice
Nechť M ⊆ R2, f : M → R. Pak
G(f) = [x, y, z]; [x, y] ∈ R2
; z = f(x, y)
se nazývá graf funkce f.
Definice
Nechť M ⊆ R2, f : M → R, c ∈ R. Množinu
fc = {[x, y] ∈ M : f(x, y) = c}
nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 4 / 21
f(x, y) = sin(xy) f(x, y) = x−y
1+x2+y2
x
y
z
x
y
z
Cobb-Douglasova produkční funkce
Používá se k modelování výstupů firmy nebo státu. Je to například
funkce tvaru
P(L, K) = aLα
Kβ
, a > 0, 0 < α < 1, 0 < β < 1,
kde P značí celkovou produkci, L práci (obvykle měřenou v hodinách)
a K investovaný kapitál.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 5 / 21
Limita a spojitost
Pojem limity funkce dvou proměnných je opět založen na pojmu okolí
bodu. Zásadní rozdíl je v tom, jak vypadá okolí bodu na přímce (ose x)
a okolí bodu ve vyšší dimenzi. Okolím bodu [x0, y0] ležícího v rovině (tj.
v dvojrozměrném prostoru) je množina všech bodů [x, y], které mají od
tohoto bodu vzdálenost menší než nějaké číslo a. Vzdálenost neboli
metriku můžeme definovat různými způsoby. Podle výběru metriky
dostaneme tvar okolí. Například v euklidovské metrice je okolí bodu
A = [x0, y0] vnitřek kruhu se středem [x0, y0] a poloměrem a, tj.
(x − x0)2
+ (y − y0)2
< a2
.
Ryzím okolím bodu je pak okolí tohoto bodu bez bodu samotného.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 6 / 21
Definice
Řekneme, že funkce f : R2 → R má v bodě A ∈ R2 limitu L, L ∈ R,
jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje ryzí okolí O(A) bodu A
takové, že pro každý bod x ∈ O(A) ∩ D(f) platí f(x) ∈ O(L).
Definice
Nechť bod [x0, y0] je takový bod definičního oboru D(f) funkce
f : R2 → R, že jeho libovolné ryzí okolí obsahuje bod množiny D(f).
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě [x0, y0], jestliže má v tomto
bodě vlastní limitu a platí
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině D ⊆ R2, je-li spojitá
v každém bodě této množiny.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 7 / 21
Parciální derivace
x0
y0
P0
P
β
α
x
y
z
t1
t2
z = f(x, y)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 8 / 21
Parciální derivace
Definice
Nechť f : R2 → R a [x0, y0] je bod. Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x, y0) − f(x0, y0)
x − x0
= lim
h→0
f(x + h, y0) − f(x0, y0)
h
řekneme, že funkce f má v bodě [x0, y0] parciální derivaci podle x.
Tuto derivaci značíme
fx(x0, y0) =
∂f(x0, y0)
∂x
=
∂f
∂x
(x0, y0) = f′
x(x0, y0)
Analogicky definujeme a značíme derivaci podle y.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 9 / 21
Protože libovolná parciální derivace funkce je definovaná jako
„obyčejná“ derivace funkce jedné proměnné, platí pro počítání
parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. Při výpočtu
postupujeme tak, že všechny proměnné kromě té, podle které
derivujeme, považujeme za konstanty.
Příklad
Vypočtete parciální derivace funkce dvou proměnných:
a) f(x, y) = x4 + y4 − 4x2y2, b) f(x, y) = x+y
x−y ,
c) f(x, y) = xyey, d) f(x, y) = ln(x2 + y2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 10 / 21
Definice
Nechť [x0, y0] ∈ D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y)
podle proměnné x v bodě [x0, y0], nazýváme tuto derivaci parciální
derivací funkce 2. řádu podle x funkce f v bodě [x0, y0] a značíme ji
fxx(x0, y0) nebo ∂2f
∂x2 (x0, y0).
Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě
[x0, y0], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu
funkce f v bodě [x0, y0] a značíme ji fxy(x0, y0) nebo také ∂2f
∂x∂y (x0, y0).
Věta (Schwarz, Clairaut)
Nechť funkce f má v okolí bodu [x0, y0] parciální derivace fx, fy a smíšenou
parciální derivaci fxy, která je v bodě [x0, y0] spojitá. Pak existuje
také smíšená parciální derivace fyx(x0, y0) a platí
fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 11 / 21
Příklad
Nalezněte a interpretujte PK(200, 120) a PL(200, 120) pro CobbDouglasovu
funkci
P(K, L) = 20K0,4
L0,6
.
Řešení:
PK(K, L) = 20 · 0,4K−0,6
L0,6
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PK(200, 120) = 8 · 200−0,6
· 1200,6
≈ 5,9 .
Toto číslo se nazývá marginální produktivita kapitálu.
PL(K, L) = 20 · 0,6K0,4
L−0,4
.
Dosazením K = 200 a L = 120 dostaneme
PL(200, 120) = 12 · 2000,4
· 120−0,4
≈ 14,7
Toto číslo se nazývá marginální produktivita práce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 12 / 21
Soutěž a koluze
Představme si, že jsme producentem nějakého produktu, jehož nefixní
produkční náklady jsou minimální (např. minerální voda, mobilní data
atd.), a zároveň máme monopol, tj. jsme jediným producentem. Pro
konkrétnost uvažujme, že cena našeho produktu je
p = 6 − 0,01x, 0 ≤ x ≤ 600,
kde x značí množství prodaného produktu. Zisk je potom popsán funkcí
R(x) = x(6 − 0,01x) = 6x − 0,01x2
.
Náš maximální zisk najdeme položením první derivace nule, tj.
R′
(x) = 6 − 0,02x = 0 =⇒ x = 300 .
Že se jedná o maximum, bychom mohli ověřit např. pomocí druhé
derivace. Maximální zisk tak bude R(300) = 900 Kč při ceně 3 Kč za
jednotku.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 13 / 21
Co se stane, když budeme mít dalšího konkurenta, tj. půjde již o
duopol? Nová cenová funkce bude
p = 6 − 0,01x − 0,01y,
kde x značí množství produktu, který prodáme, a y značí množství,
které prodá náš konkurent. Náš zisk pak bude
R1(x, y) = px = 6x − 0,01x2
− 0,01xy
a zisk našeho konkurenta bude
R2(x, y) = py = 6y − 0,01xy − 0,01y2
.
Každý z nás se snaží maximalizovat svůj zisk, tj. položíme rovny nule
parciální derivace
(R1)x = 6 − 0,02x − 0,01y = 0
(R2)y = 6 − 0,01x − 0,02y = 0
Řešením této soustavy rovnic je x = 200, y = 200. Tedy my i náš
konkurent budeme prodávat při ceně p(200, 200) = 2 Kč a zisk každého
bude R1 = R2 = 400 Kč.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 14 / 21
Lokální extrémy
Definice
Řekneme, že funkce f : R2 → R nabývá v bodě [x0, y0] lokálního
maxima (minima), jestliže existuje okolí tohoto bodu takové, že pro
všechny body z tohoto okolí platí f(x, y) ≤ f(x0, y0), resp. f(x, y) ≥
f(x0, y0).
Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro [x, y] ̸= [x0, y0] ostré, mluvíme
o ostrých lokálních maximech a minimech.
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrně (ostré) lokální
extrémy.
Definice
Nechť f : R2 → R. Řekneme, že bod [x0, y0] je stacionární bod funkce
f, jestliže v bodě [x0, y0] existují obě parciální derivace prvního řádu
funkce f a platí
fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 15 / 21
Věta (Fermat)
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] lokální extrém. Pak všechny
parciální derivace prvního řádu funkce f, které v tomto bodě existují,
jsou rovny nule.
Věta
Nechť funkce f : R2 → R má v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité
parciální derivace druhého řádu a nechť [x0, y0] je její stacionární bod.
Jestliže
D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − [fxy(x0, y0)]2
> 0,
pak má funkce f v [x0, y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0, y0) > 0,
jde o minimum, je-li fxx(x0, y0) < 0, jde o maximum.
Jestliže D(x0, y0) < 0, pak v bodě [x0, y0] lokální extrém nenastává.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 16 / 21
Příklad
Určete lokální extrémy funkce
f(x, y) = x2
+ y2
+ x2
y + 4 .
Řešení:
fx = 2x + 2xy, fy = 2y + x2
.
2x(1 + y) = 0
2y + x2
= 0
Odtud S1 = [0, 0], S2 = [
√
2, −1], S3 = [−
√
2, −1].
fxx = 2 + 2y, fyy = 2, fxy = 2x .
D(x, y) = 2(2 + 2y) − (2x)2
= 4 + 4y − 4x2
.
D(0, 0) = 4, D(
√
2, −1) = −8, D(−
√
2, −1) = −8, fxx = 2. Tedy
v bodě [0, 0] je lokální minimum.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 17 / 21
Metoda nejmenších čtverců
Označme yk naměřené hodnoty v bodech xk, k = 1, . . . , n a f hledanou funkci, nejčastěji
polynom. Standartním kritériem nejlepšího přiblížení hledané funkce a naměřených hodnot
je požadavek, aby součet
S =
n
k=1
(f(xk) − yk)2
byl co nejmenší. Jedná se o součet obsahů čtverců, jejich strana má velikost rovnu rozdílu
naměřené hodnoty a hodnoty nalezené funkce v daném bodě. O takto získaných křivkách
říkáme, že byly nalezeny metodou nejmenších čtverců.
0
y
x
f
0
y
x
f
Jak vypadá rovnice přímky, která je proložena danými body touto metodou?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 18 / 21
Řešení: Označme [x1, y1], [x2, y2], . . . , [xn, yn] body v rovině, kterými
prokládáme přímku y = ax + b metodou nejmenších čtverců. Pak
hledáme minimum funkce
S(a, b) =
n
k=1
(axk + b − yk)2
.
Lokální extrém dané funkce může nastat jen ve stacionárním bodě.
Spočteme parciální derivace
S′
a = 2
n
k=1
(axk + b − yk)xk = 2 a
n
k=1
x2
k + b
n
k=1
xk −
n
k=1
xkyk ,
S′
b = 2
n
k=1
(axk + b − yk) = 2 a
n
k=1
xk + b
n
k=1
1 −
n
k=1
yk .
Jelikož n
k=1 1 = n, dostaneme pro stacionární body soustavu
a n
k=1 x2
k + b n
k=1 xk = n
k=1 xkyk
a n
k=1 xk + bn = n
k=1 yk .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 19 / 21
Předchozím příkladem jsme tak odvodily následující větu.
Věta
Nechť [x1, y1], [x2, y2], . . . , [xn, yn] jsou body v rovině, které prokládáme
přímkou y = ax + b metodou nejmenších čtverců, tj. hledáme minimum
funkce S(a, b) = n
k=1(axk + b − yk)2.
Pak pro koeficienty a, b platí:
a n
k=1 x2
k + b n
k=1 xk = n
k=1 xkyk
a n
k=1 xk + bn = n
k=1 yk.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 20 / 21
Absolutní extrémy
Definice
Nechť je dána množina M v rovině, bod [x0, y0] leží v této množině
a funkce f(x, y) je definovaná na této množině. Řekneme, že funkce
f(x, y) nabývá v bodě [x0, y0] absolutní maximum na množině M,
jestliže pro všechny body této množiny platí nerovnost
f(x, y) ≤ f(x0, y0).
Podobně definujeme absolutní minimum funkce na množině. Absolutní
maxima a minima souhrnně nazýváme absolutní extrémy.
Postup, jak hledáme absolutní extrémy:
1. Najdeme stacionární body funkce f(x, y) a vybereme ty, které jsou
uvnitř množiny M.
2. Vyšetříme danou funkci na hranici, tj. rovnici křivky, která tvoří
část hranice, dosadíme do funkce f(x, y) a vyšetřujeme absolutní
extrémy funkce jedné proměnné.
3. Vypočítáme funkční hodnoty ve všech nalezených bodech a určíme
extrémy.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 13.03.2024 21 / 21