BPM_MATE
Páté cvičení
Funkce více proměnných
Výsledky (bez záruky)
Příklad 1:
a) fx = 3x2
+ 4xy + 3y2
+ 4, fy = 2x2
+ 6xy − 5 b) fx = ln y
2
√
x
, fy =
√
x
y
c) fx = y3−x2y
(x2+y2)2 , fy = x3−xy2
(x2+y2)2 , d) fx = 20(2x + 3y)9
, fy = 30(2x + 3y)9
,
e) fx = y ln(x + y) + xy
x+y
, fy = x ln(x + y) + xy
x+y
, f) fx = 2xex2+y2
, fy = 2yex2+y2
.
Příklad 2:
a) fx = 3x2
− 4y2
, fy = 3y2
− 8xy, fxx = 6x, fyy = 6y − 8x, fxy = −8y;
b) fx = 3y4
+ 3x2
y2
, fy = 12xy3
+ 2x3
y, fxx = 6xy2
, fyy = 36xy2
+ 2x3
, fxy = 12y3
+ 6x2
y;
c) fx = yey
, fy = xey
+ xyey
, fxx = 0, fyy = 2xey
xyey
, fxy = ey
+ yey
;
d) fx = −e−x−y
, fy = −e−x−y
, fxx = e−x−y
, fyy = e−x−y
, fxy = e−x−y
.
Příklad 3:
a) v bodě [7, −3] je lokální minimum hodnoty −19;
b) body −5
3
, 0 , [1, ±4] jsou stacionární body, kde není extrém, v bodě [0, 0] je lokální minimum
hodnoty 0;
c) v bodě [0, 0] je stacionární bod, kde není extrém, v bodech [1, 1] a [−1, −1] jsou lokální minima
hodnoty −1.
Příklad 4:
a) u′
x(x, y) > 0 a u′
y(x, y) < 0, s rostoucím bohatstvím stoupá spokojenost, s rostoucím znečištěním
klesá.
b) u′′
xy = ∂
∂y
u′
x, tedy u′′
xy popisuje změnu u′
x při změně y, je-li u′′
xy < 0 můžeme řici, že zvyšení
well-beingu společnosti získané zvýšením hrubého domácího produktu o pevnou hodnotu se
snižuje s rostoucí úrovní znečištění.
c) Podobně jako v bodě b) platí u′′
yx = ∂
∂x
u′
y, je-li opět u′′
yx < 0 tak zvýšení well-beingu díky
vystavení menšímu znečištění (což je zhruba −u′
y na jednotku) stoupá s velikostí x (tedy, že
tento předpoklad je v souladu s pozorováním, že chudí lidé tolerují znečištění snadněji).
Příklad 5: Můžeme si načrtnout vrstevnice, které jsou pro K > 0 a L > 0 hyperboly. Je-li K = 0
nebo L = 0, pak nabývá funkce svého minima 0 (celkem logicky). Svého globálního maxima nabývá
v bodě [1, 1, 1].