Primitivní funkce, neurčitý integrál
Od rychlosti k množství
Petr Liška
Masarykova univerzita
20.03.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 1 / 14
Primitivní funkce
Definice
Nechť funkce f a F jsou definované na intervalu I. Jestliže platí
F′
(x) = f(x) pro všechna x ∈ I,
pak říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I.
Množinu všech primitivních funkcí k funkci f nazýváme neurčitý integrál
funkce f a označujeme
f(x) dx.
Z definice neurčitého integrálu plyne, že
f(x) dx
′
= f(x), F′
(x) dx = F(x) + c,
tj. operace derivování a integrování jsou navzájem komplementární.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 2 / 14
Věta
Je-li funkce F primitivní k funkci f na intervalu I, pak každá jiná primitivní
funkce k funkci f má tvar F + c, kde c ∈ R.
Věta
Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak k ní na tomto intervalu existuje
primitivní funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 3 / 14
Pravidla a vzorce
Věta
Nechť na intervalu I existují neurčité integrály f(x) dx a g(x) dx a
nechť α ̸= 0. Pak na I existuje neurčitý integrál funkce f + g a neurčitý
integrál funkce αf a platí
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (1)
αf(x) dx = α f(x)dx. (2)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 4 / 14
(1) 1 dx = x + c,
(2) xn dx = xn+1
n+1 + c, n ̸= −1,
(3) 1
x dx = ln |x| + c,
(4) ex dx = ex + c,
(5) ax dx = ax
ln a + c, a > 0, a ̸= 1,
(6) sin x dx = − cos x + c,
(7) cos x dx = sin x + c,
(8) 1
x2+1
dx = arctg x + c,
(9) 1
(x−x0)2+a2 dx = 1
a arctg x−x0
a + c,
(10) 1√
a2−x2
dx = arcsin x
a + c,
(11) 1√
x2+a
dx = ln |x +
√
x2 + a| + c,
(12) 1
cos2 x
dx = tg x + c,
(13) 1
sin2 x
dx = −cotg x + c,
(14) f′(x)
f(x) dx = ln |f(x)| + c,
(15) f(x) dx = F(x) + c =⇒ f(ax + b) dx = 1
aF(ax + b) + c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 5 / 14
Příklad
Vypočtěte neurčité integrály
a) 3x2 + 2ex + 1 dx, b) 1
x2 +
√
x dx,
c) 1
3x+2 dx, d) 2x2
x3−1
dx,
e) (2x + 1)5 dx, f) e2x dx,
g) 1
x2+4
dx, h) 1√
4−x2
dx,
i) 4
8x2+2
dx, j) 1
x2−2x+3
dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 6 / 14
Spotřeba přírodních zdrojů
Odhaduje se, že světová spotřeba stříbra (v tisíci tunách) se řídí funkcí
f(t) = 21,4e0,01t, kde t značí počet let, které uběhnou od současnosti.
Celkové zásoby stříbra se odhaduji na 400 000 tun. Odhadněte, kdy
tyto zásoby stříbra dojdou.
Řešení: Celkovou spotřebu C(t) získáme integrací funkce f
C(t) = 21,4e0,01t
dt = 21,4 e0,01t
dt = 21,4
1
0,01
e0,01t
+c = 2140e0,01t
+c
Musíme ještě určit integrační konstantu c. Celková spotřeba za prvních
nula let musí být nula, tedy víme, že C(0) = 0.
0 = C(0) = 2140e0
+ c = 2140 + c =⇒ c = −2140
Pro celkovou spotřebu tak dostaneme vztah
C(t) = 2140e0,01t
− 2140 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 7 / 14
Abychom předpověděli, kdy rezervy ve výši 400 tisíc tun dojdou,
musíme vyřešit následující rovnici
2140e0,01t
− 2140 = 400.
Odtud
2140e0,01t
= 2540
e0,01t
=
2540
2140
≈ 1,187
ln e0,01t
= ln 1,187
0,01t = 0,171
t = 17,1 let
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 8 / 14
Věta (Metoda per partes)
Nechť funkce u(x) a v(x) mají spojité derivace na intervalu I. Pak platí
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x) − u′
(x)v(x) dx.
Příklad
Vypočtěte
a) x2 sin x dx, b) x ln x dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 9 / 14
Věta (Substituční metoda)
Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F, funkce t = φ(x)
má spojitou derivaci na intervalu I a φ(x) ∈ J pro x ∈ I. Pak má
složená funkce f(φ(x))φ′(x) primitivní funkci na intervalu I a platí
f(φ(x))φ′
(x) dx = F(φ(x)) + c.
Podobně lze použít substituci opačnou, tj. x = ψ(t). Tuto substituční
metodu můžeme zapsat ve tvaru
f(x) dx =
x = ψ(t)
dx = ψ′(t) dt
= f ψ(t) ψ′
(t) dt.
Příklad
Vypočtěte neurčité integrály
a) 5xex2
dx, b) 1−
√
x
1+
√
x
dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 10 / 14
Diferenciální rovnice
Ponziho schéma
Předpokládejme, že máme na začátku 10 investorů, přičemž každý vloží
do fondu 100 000 Kč a je mu slíbena 20 % návratnost investice každý
měsíc. Z vloženého milionu tak vyplatíme každému investorovi 20 000
Kč a zbylých 800 000 Kč si necháme. Označme y počet investorů, které
potřebujeme, abychom mohli investory nadále vyplácet a přitom si pokaždé
nechat částku 800 000 Kč.
Řešení: Budeme-li částky uvažovat v tisících, pak máme
příjem = 100
dy
dt
výdej = 20y + 800.
100
dy
dt
= 20y + 800.
dy
dt
= 0,2y + 8.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 11 / 14
Logistický růst
Předpokládejme, že rychlost růstu nějaké populace je přímo úměrná
její velikosti. Je-li t čas a P je počet jedinců v populaci v čase t, dostaneme
pro rychlost růstu populace
dP
dt
= kP, k > 0.
Mnoho populací se začne rozrůstat exponenciálně, ale jakmile se počet
jedinců přiblíží nosné kapacitě K prostředí růst se zpomalí, případně
velikost populace začne klesat, pokud její velikost tuto hodnotu překročí.
Pro tento model máme tedy následující předpoklady:
dP
dt ≈ kP pro malá P, tj. ze začátku populace roste přímo úměrně
svojí velikosti,
dP
dt < 0, jestliže P > K, tj. velikost populace se zmenšuje, jestliže
počet jedinců přesáhne kapacitu prostředí.
Řešení:
dP
dt
= kP 1 −
P
K
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 12 / 14
Definice
Nechť G ∈ R2, f : G → R, pak obyčejnou diferenciální rovnicí prvního
řádu nazveme rovnici ve tvaru:
y′
= f(x, y), (3)
kde y vystupuje jako závislá proměnná a f je funkce dvou proměnných.
Řešením této rovnice pak rozumíme každou funkci φ, která je diferencovatelná
na nějakém otevřeném intervalu I a pro kterou platí:
y′
= f(x, φ(x)) pro x ∈ I (4)
Nechť je dán bod [x0, y0] ∈ G. Pak úlohu najít řešení diferenciální rovnice,
pro kterou platí:
φ(x0) = y0, (5)
nazveme počáteční úlohou.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 13 / 14
Rovnice se separovanými proměnnými
Jde o rovnici tvaru
y′
= f(x)g(y),
kde f a g jsou spojité funkce.
Vyjádříme-li y′ = dy
dx, tak dostaneme
dy
dx
= f(x)g(y).
Nejprve si všimněme, že konstantní funkce určené g(y) = 0 jsou řešením
Za předpokladu g(y) ̸= 0 separujeme proměnné
dy
g(y)
= f(x) dx
a tuto rovnost integrujeme
dy
g(y)
= f(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Primitivní funkce, neurčitý integrál 20.03.2024 14 / 14