BPM_MATE
Šesté cvičení
Neurčitý integrál II
Příklad 1: Pomocí metody per partes vypočtěte integrály
a) (x + 1)ex
dx
b) x2
ln x dx
Příklad 2: Pomocí metody substituce vypočtěte integrály
a) 3x2
(x3
+ 1)7
dx
b) 2x
(x2+4)3 dx
Příklad 3: Řešte následující rovnice, resp. počáteční problémy:
a) y′
= 2xy, b) y′
= 4y−1
x
,
c) x + yy′
= 0, y(0) = 2, d) (x + 1)y′
= xy, y(0) = 1.
Příklad 4: Sbírka umění byla pořízena za cenu 400 000 Kč a předpokládá se, že její hodnota poroste
každý rok o 5 %. Jak vypadá diferenciální rovnice, která modeluje hodnotu sbírky v čase? Jaká bude
hodnota sbírky za 10 let?
Příklad 5: Spalování fosilních paliv je zodpovědné za zvyšení množství oxidu uhličitého, který je
pravděpodobně jednou z příčin zvyšení globální teploty. V současnosti je v atmosféře přibližně 3200
miliard tun oxidu uhličitého a jeho množství roste každoročně o 50 miliard tun, přičemž pouze 1 %
z akumulovaného množství se každoročně odstraní přírodními procesy. Namodelujte množství oxidu
uhličitého v čase pomocí diferenciální rovnice a určete, kdy bude v atmosféře 4000 miliard tun oxidu
uhličitého (jedná se o množství, při kterém by mělo dojít ke zvýšení teploty o dva stupně Celsia).
Jaké bude dlouhodobé množství oxidu uhličitého v atmosféře?
Příklad 6: Předpokládejme, že návrh zákona při hlasování v Senátu, získává podporu přímo uměrně
tomu, kolik hlasů již má a zároveň i přímo úměrně tomu, kolik hlasů mu chybí. Jak vypadá rovnice,
která modeluje tento proces?