Lineární algebra
Vektory a matice
Petr Liška
Mendelova univerzita
10.04.2024
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 1 / 37
Stěhování
Předpokládejme, že populace se stěhuje mezi dvěma regiony, např. venkovem
a městem, podle následujícího schématu. Každý rok se 50% obyvatel
venkova přestěhuje do měst a 25% obyvatel měst se přestěhuje na
venkov. Je-li například na začátku polovina obyvatel ve městě a tento
vzor migrace bude pokračovat, jak bude vypadat stav po dvou letech?
A jak bude rozdělení obyvatelstva vypadat z dlouhodobého hlediska?
Vyprázdní se venkov? Nebo se situace stabilizuje tak, že část obyvatel
bude žít ve městě a část na venkově?
V M
0,5
0,25
0,5 0,75
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 2 / 37
Leslieho model populace
Uvažujme například populaci hmyzu rozdělenou na tři životní etapy:
mláďata, mladistvé a dospělé jedince, přičemž každá životní etapa trvá
jeden rok. Pravděpodobnost přežití mláďat je 50 % a nerozmnožují se.
Mladiství mají pravděpodobnost přežití 25 % a každý z nich má průměrně
čtyři mláďata. Dospělí jedinci mají pravděpodobnost přežití 0 %
a každý z nich má průměrně tři mláďata. Předpokládejme, že máme
100 samiček, přičemž 40 jsou mláďata, 40 jsou mladiství a 20 dospělí.
Jak se bude taková populace samiček vyvíjet v čase?
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 3 / 37
Sociální sítě
Kdo je nejvýznamnější postavou v této síti vztahů?
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2512
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
15
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 4 / 37
Leontiefův model
Ekonomika regionu se skládá ze tří odvětví: průmysl, zemědělství a
služby. Každý sektor produkuje komodity a zdrojem jeho příjmů je
prodej těchto komodit, přičemž každý sektor potřebuje vstupní komodity
(od sebe i ostatních sektorů):
výstupy
Průmysl Zemědělství Služby
Průmysl 0,40 0,20 0,20
vstupy Zemědělství 0,20 0,40 0,20
Služby 0,20 0,10 0,40
Kromě toho existuje externí poptávka v hodnotě 30, 30 a 10 miliard na
průmysl, zemědělství a služby. Jak velká musí být produkce jednotlivých
odvětví?
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 5 / 37
Vektory a počítání s nimi
Vektor
Vektorem rozumíme libovolnou uspořádánou n-tici (x1, x2, . . . , xn).
Značíme
⃗x = (x1, x2, . . . , xn).
Jednotlivým prvkům x1, x2, . . . , xn říkáme složky vektoru, číslo n se
nazývá dimenze vektoru ⃗v.
Dva vektory ⃗x = (x1, x2, . . . , xn) a ⃗y = (y1, y2, . . . , yn) jsou si rovny,
jestliže se rovnají odpovídající si složky, tj.
⃗x = ⃗y ⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 6 / 37
Vektorový prostor Rn
Množina všech vektorů ⃗x = (x1, x2, . . . , xn), kde xi ∈ R společně s
operacemi sčítání vektorů
⃗x+⃗y = (x1, x2, . . . , xn)+(y1, y2, . . . , yn) = (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn)
a násobením vektoru číslem c ∈ R
c · (x1, x2, . . . , xn) = (c · x1, c · x2, . . . , c · xn)
se nazývá vektorový prostor Rn.
Vektor ⃗o = (0, 0, . . . , 0) se nazývá nulový vektor.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 7 / 37
Základní algebraické vlastnosti
Nechť ⃗u, ⃗v a ⃗w jsou libovolné vektory z Rn a c, d ∈ R, pak
1. ⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u
2. (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + (⃗v + ⃗w)
3. ⃗u + ⃗o = ⃗u
4. ⃗u + (−⃗u) = ⃗o
5. c(⃗u + ⃗v) = c⃗u + c⃗v
6. (c + d)⃗u = c⃗u + d⃗u
7. c(d⃗u) = (cd)⃗u
8. 1 · ⃗u = ⃗u
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 8 / 37
Skalární součin
Nechť ⃗x, ⃗y ∈ Rn. Potom skalární součin ⃗x · ⃗y je definován jako
⃗x·⃗y = (x1, x2, . . . , xn)·(y1, y2, . . . , yn) = x1y1+x2y2+· · ·+xnyn =
n
k=1
xkyk
(1, 2, −2) · (2, 3, −1) = 1 · 2 + 2 · 3 + (−2) · (−1) = 10
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 9 / 37
Skalární součin
Nechť ⃗x, ⃗y ∈ Rn. Potom skalární součin ⃗x · ⃗y je definován jako
⃗x·⃗y = (x1, x2, . . . , xn)·(y1, y2, . . . , yn) = x1y1+x2y2+· · ·+xnyn =
n
k=1
xkyk
Velikost (norma) vektoru
Velikostí vektoru ⃗x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn rozumíme nezáporné číslo
|⃗x| =
√
⃗x · ⃗x = x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n.
Ortogonální vektory
Vektory ⃗x a ⃗y nazveme ortogonální, právě když
⃗x · ⃗y = 0 .
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 10 / 37
Lineární kombinace, závislost a nezávislost vektorů
Lineární kombinace
Nechť ⃗x1, ⃗x2, . . . , ⃗xn je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru
V . Vektor ⃗x, pro který platí
⃗x = t1⃗x1 + t2⃗x2 + · · · + tn⃗xn,
kde t1, t2, . . . , tn jsou nějaká reálná čísla, se nazývá lineární kombinace
vektorů ⃗x1, ⃗x2, . . . , ⃗xn.
LZ a LN
Řekneme, že vektory ⃗x1, ⃗x2, . . . , ⃗xn jsou lineárně závislé, jestliže existují
reálná čísla t1, t2, . . . , tn, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková,
že platí
⃗o = t1⃗x1 + t2⃗x2 + · · · + tn⃗xn.
V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 11 / 37
Tedy například vektory
(1, 2, 1), (2, −3, 1), (4, 1, 3)
jsou lineárně závislé, protože
2 · (1, 2, 1) + (2, −3, 1) = (4, 1, 3).
Vektory
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
jsou zřejmě lineárně nezávislé.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 12 / 37
Matice
Definice
Maticí A rozumíme schéma
A = (aij) =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





kde aij pro i = 1, . . . , m a j = 1, . . . , n jsou reálná čísla nebo funkce.
Je-li tato matice (tabulka) sestavená z m řádků a n sloupců, říkáme,
že A je matice typu m × n. Je-li m = n nazývá se matice A čtvercová
matice, jinak obdélníková matice.
Je-li A čtvercová matice, říkáme, že prvky tvaru aii, tj. prvky, jejichž
řádkový a sloupcový index jsou stejné, tvoří hlavní diagonálu.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 13 / 37
Operace s maticemi
Nechť k ̸= 0 je reálné číslo. Výsledkem násobení matice A číslem k je
matice C, jejíž prvky jsou tvaru
cij = k · aij.
Příklad
4 ·
2 5 7
−1 0 4
=
8 20 24
−4 0 16
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 14 / 37
Nechť A, B jsou matice téhož typu m × n. Součtem matic A, B
nazýváme matici C, jejíž prvky jsou
cij = aij + bij.
Příklad
2 5 7
−1 0 4
+
1 −3 −2
0 2 1
=
3 2 5
−1 2 5
Nechť A je matice typu m × n a B je matice typu n × p. Součinem
matic A a B (v tomto pořadí) nazýváme matici C (typu m × p), jejíž
prvky jsou
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . ainbnj =
n
k=1
aikbkj.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 15 / 37
Příklad
Pro dané matice spočtěte A·B
A =
2 5 7
−1 0 4
B =


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2


Řešení:
A·B =
2 5 7
−1 0 4
·


3 2 1 7
−4 0 6 1
2 11 1 −2

 =
=
2·3 + 5·(−4) + 7·2 2·2 + 5·0 + 7·11 2·1 + 5·6 + 7·1 2·7 + 5·1 + 7·(−2)
−1·3 + 0·(−4) + 4·2 −1·2 + 0·0 + 4·11 −1·1 + 0·6 + 4·1 −1·7 + 0·1 + 4·(−2)
=
=
0 81 39 5
5 42 3 −15
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 16 / 37
Definice
Je-li A matice typu m × n, pak transponovaná matice AT je matice
typu n × m, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, tj.
i-tý sloupec matice AT je i-tý řádek matice A pro všechna i.
Příklad
3 5 4
−2 1 6
T
=


3 −2
5 1
4 6


Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 17 / 37
Definice
Diagonální matice je čtvercová matice, která má všechny prvky mimo
hlavní diagonálu rovny nule.
Definice
Jednotková matice je čtvercová matice, která má v hlavní diagonále
všechny prvky rovny jedné a všechny prvky mimo diagonálu rovny
nule. Tuto matici budeme značit I.
Příklad
3 0
0 6
,


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 18 / 37
Základní vlastnosti počítání s maticemi
Nechť matice A, B, C mají správné rozměry tak, aby se dali provést
naznačené operace a k ∈ R. Pak
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A(BC) = (AB)C
4. A(B + C) = AB + AC
5. (A + B)C = AC + BC
6. k(A + B) = kA + kB
7. k(AB) = (kA)B = A(kB)
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 19 / 37
Proč se to dělá zrovna takto?
f
x1
x2
=
ax1 + bx2
cx1 + dx2
g
x1
x2
=
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
f g
x1
x2
= f
Ax1 + Bx2
Cx1 + Dx2
=
(aA + bC)x1 + (aB + bD)x2
(cA + dC)x1 + (cB + dD)x2
F =
a b
c d
G =
A B
C D
H =
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
a b
c d
·
A B
C D
=
aA + bC aB + bD
cA + dC cB + dD
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 20 / 37
Některé aplikace matic
Grafem rozumíme konečnou množinu bodů (těm říkáme vrcholy) a
konečnou množinu hran, kdy každá z nich spojuje dva vrcholy (ne
nutně různé).
A B C D E
A
B D
E
C
Stejný graf můžeme ale také popsat pomocí tzv. matice sousednosti. Pro
graf o n vrcholech se jedná o čtvercovou matici n × n definovanou takto
aij =
1 je-li hrana mezi vrcholy i a j,
0 jinak.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 21 / 37
A B C D E
A
B D
E
C
Pro náš graf dostaneme matici
A =






0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0






Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 22 / 37
V mnoha aplikacích, které můžeme modelovat pomocí grafu, je mezi
vrcholy zároveň nějaký vztah, který vede k tomu, že hrana by měla být
orientovaná. Tímto dostaneme tzv. orientovaný graf.
A
B
C
D E
F
G
I pro orientovaný graf můžeme zavést matici sousednosti, kde pro
jednotlivé koeficienty platí
aij =
1 vede-li hrana z vrcholu i do vrcholu j,
0 jinak.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 23 / 37
A
B
C
D E
F
G
Pro náš graf dostaneme matici
A =










0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0










Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 24 / 37
Cestou v grafu rozumíme posloupnost hran, která nám umožní cestovat
z jednoho vrcholu do jiného. Její délka je pak číslo určující počet hran,
které obsahuje.
Uvažme matici
A2
= A · A =






3 0 2 2 1
0 2 1 0 2
2 1 3 1 2
2 0 1 2 0
1 2 2 0 3






Co reprezentují čísla v této matici? Z definice násobení matic víme, že
A2
13
= a11a13 + a12a23 + a13a33 + a14a43 + a15a53 .
Tento výraz bude nenulový, když alespoň jeden ze součinů a1kak3 bude
nenulový, což ale nastane jen tehdy, když oba členy a1k i ak3 budou
nenulové. To ale znamená, že existuje hrana mezi prvním a k-tým
vrcholem a taky hrana mezi k-tým a třetím vrcholem, tedy existuje
cesta délky 2, která spojuje první a třetí vrchol.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 25 / 37
Tyto myšlenky můžeme ilustrovat na celé řadě příkladů. Uvažme
například následující graf a příslušnou matici sousednosti, které
zobrazují přímé letecké spoje mezi Brnem, Edinburghem, Lisabonem,
Mnichovem a Paříží.
B
M
P
L
E
A =





B E L M P
B 0 0 0 1 1
E 0 0 0 1 1
L 0 0 0 1 1
M 1 1 1 0 1
P 1 1 1 1 0





Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 26 / 37
Nyní můžeme například snadno odpovědět na otázku, kolik existuje
různých letů z Brna do libovolného města s dvěma přestupy:
A + A2
+ A3
=






4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
4 4 4 9 9
9 9 9 10 11
9 9 9 11 10






Odpověď dává první řádek naší matice. Vidíme, že například z Brna do
Edinburghu existují čtyři různé cesty s dvěma přestupy a do Paříže je
jich už devět. Která z těchto cest by byla nejkratší nebo nejrychlejší je
již ale jiný příběh (i když stále z teorie grafů).
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 27 / 37
Představme si například pětici hráčů, kteří hrají turnaj ve stylu každý
s každým. Výsledky můžeme snadno zachytit pomocí grafu, kdy hranu
od prvního hráče k druhému vedeme tehdy, když první druhého porazí.
Dostaneme tak například následující graf a příslušnou matici
sousednosti
A
B
C D
E
A =






0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0






Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 28 / 37
Dejme tomu, že chceme seřadit hráče podle počtu jejich vítězství. Pro
tento účel nám stačí samozřejmě jen sečíst, kolik jedniček je v každém
řádku. Tento výpočet můžeme také nahradit následujícím násobením:
A · J =






0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0






·






1
1
1
1
1






=






3
3
2
1
1






Vidíme, že někteří hráči (A a B, C a D) mají stejný počet výher.
Pokud bychom chtěli rozhodnout, který z nich je lepší, můžeme
například použít kritérium nepřímých vítězství, tj. kolik hráčů porazili
hráči, které daný hráč porazil. Ve slovech matic (po předchozím
příkladu je snad jasné proč) dostaneme
(A + A2
) · J =






8
7
6
2
3






Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 29 / 37
Sociální sítě
Kdo je nejvýznamnější postavou v této síti vztahů?
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2512
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
15
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 30 / 37












































0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0












































Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 31 / 37
Leslieho model
Příklad
Uvažujme například populaci hmyzu rozdělenou na tři životní etapy:
mláďata, mladistvé a dospělé jedince, přičemž každá životní etapa trvá
jeden rok. Pravděpodobnost přežití mláďat je 50 % a nerozmnožují se.
Mladiství mají pravděpodobnost přežití 25 % a každý z nich má průměrně
čtyři mláďata. Dospělí jedinci mají pravděpodobnost přežití 0 %
a každý z nich má průměrně tři mláďata. Předpokládejme, že máme
100 samiček, přičemž 40 jsou mláďata, 40 jsou mladiství a 20 dospělí.
Jak se bude taková populace samiček vyvíjet v čase?
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 32 / 37
Po jednom roce bude počet mláďat
40 · 4 + 20 · 3 = 220.
Počet mladistvých bude počet mláďat, která přežijí, tj.
40 · 0,5 = 20
a podobně pro dospělé
40 · 0,25 = 10.
Všechny tyto výpočty můžeme snadno zapsat jednou maticovou rovnicí
L · x0 =


0 4 3
0,5 0 0
0 0,25 0

 ·


40
40
20

 =


220
20
10

 = x1 .
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 33 / 37
t
P
1000
2000
3000
4000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t
P[%]
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
5 10 15
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 34 / 37
Stěhování
Předpokládejme, že populace se stěhuje mezi dvěma regiony, např. venkovem
a městem, podle následujícího schématu. Každý rok se 50% obyvatel
venkova přestěhuje do měst a 25% obyvatel měst se přestěhuje na
venkov. Je-li například na začátku polovina obyvatel ve městě a tento
vzor migrace bude pokračovat, jak bude vypadat stav po dvou letech?
A jak bude rozdělení obyvatelstva vypadat z dlouhodobého hlediska?
Vyprázdní se venkov? Nebo se situace stabilizuje tak, že část obyvatel
bude žít ve městě a část na venkově?
V M
0,5
0,25
0,5 0,75
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 35 / 37
Řešení:
vk+1 = 0,5vk + 0,25mk
mk+1 = 0,5vk + 0,75mk
vk+1
mk+1
=
0,5 0,25
0,5 0,75
·
vk
mk
⃗pk+1 = T · ⃗pk
⃗pk+2 = T · ⃗pk+1 = T · (T · ⃗pk) = T2
· ⃗pk
⃗p2 = T2
· ⃗p0 =
0,375 0,3125
0,625 0,6875
·
0,5
0,5
=
0,34375
0,65625
⃗p = T · ⃗p
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 36 / 37
Markovův řetězec
Markovův řetězec je náhodný proces, který popisuje posloupnost možných
událostí. Pro tento proces platí, že pravděpodobnost přechodu
procesu do následujícího stavu závisí pouze na současném stavu.
Matice přechodu
Matici, která obsahuje v každém sloupci (řádku) pravděpodobnosti přechodu
od jednoho stavu k druhému, nazveme maticí přechodu daného
Markovova řetězce.
Stacionární distribuce
Je-li T matice přechodu daného Markovova řetězce a existuje-li vektor
⃗v takový, že
⃗v = T · ⃗v
nazveme vektor ⃗v stacionární distribucí (rovnovážným stavem) Markovova
řetězce.
Petr Liška (Mendelova univerzita) Lineární algebra 10.04.2024 37 / 37