BPM_MATE
Osmé cvičení
Určitý integrál
Příklad 1: Vypočtěte následující integrály
a) 󰁝 3
1
1
x2
dx
b) 󰁝 1
0
x
x2 + 1
dx
c) 󰁝 2
0
e
1
2
x
dx
Příklad 2: Vypočtěte průměrnou hodnotu funkce f(x) =
√
x na intervalu [0, 4].
Příklad 3: Určete parametr b tak, aby průměrná hodnota funkce
f(x) = 2 + 6x − 3x2
na intervalu [0, b] byla 3.
Příklad 4: Určete obsah oblasti ohraničené grafy funkcí
a) y = 2 − x2
, y = x
b) y = x2
+ 2x, y = 4 − x2
Příklad 5: Kapitálová hodnota CV majetku (ropný vrt, důl apod.), který produkuje stálý příjem,
je součtem jeho současné hodnoty a všech budoucích příjmů z tohoto majetku. Proto je přirozené,
že tuto hodnotu můžeme spočítat jako
CV =
󰁝 T
0
r(t)e−it
dt,
kde r(t) značí roční příjem, i spojitou úrokovou míru a T je předpokládaná životnost v letech. Použijte
tento vztah a určete hodnotu ropného vrtu, u něhož se předpokládá, že bude generovat 240 000 dolarů
po příštích deset let a úrokové míře 6 %.
Příklad 6: Roční import země je I(t) = 30e0,2t
a její export je E(t) = 25e0,1t
, obojí v miliardách
dolarů. Čas t je měřen v letech a t = 0 odpovídá roku 2024. Jaký bude akumulovaný deficit
zahraničního obchodu této země za následujících deset let?
Příklad 7: Pro Spojené státy americké v roce 2018 byla Lorenzova křivka přibližně L(x) = x2,8
.
Vypočtěte Giniho index
GI = 2
󰁝 1
0
(x − L(x)) dx .
pro Spojené státy americké a rozhodněte, zda-li je tato země více nebo méně rovnostářská než Česká
republika (GI = 0,22).