Lineární algebra
Determinanty a vlastní čísla
Petr Liška
Masarykova univerzita
24.04.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 1 / 25
Determinant
Definice
Determinant |A| čtvercové matice A ∈ R1×1 je číslo
|A| = |a11| = a11 .
Determinant |A| čtvercové matice A ∈ Rn×n, n ≥ 2 je číslo
|A| = a11|A11| − a12|A12| + · · · + (−1)n+1
a1n|A1n| =
n
j=1
(−1)j+1
a1j|A1j|,
kde A1j značí matici, která vznikla z matice A odebráním prvního
řádku a j-tého sloupce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 2 / 25
Křížové pravidlo
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
Sarrusovo pravidlo
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23
a32 a33
− a12
a21 a23
a31 a33
+ a13
a21 a22
a31 a32
= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31
− a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11
Pro výpočet determinantů vyšších řádů můžeme využít i následujícího
vztahu:
|A| =
n
k=1
(−1)l+k
alk|Alk|, l ∈ N, 1 ≤ l ≤ n,
ve kterém Alk je matice, která vznikne z matice A vypuštěním l-tého
řádku a k-tého sloupce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 3 / 25
Příklad
3 −1 4
−1 3 −2
2 4 1
Řešení:
3 −1 4
−1 3 −2
2 4 1
= 3 · 3 · 1 + (−1) · 4 · 4 + 2 · (−1) · (−2)
− 4 · 3 · 2 − (−2) · 4 · 3 − 1 · (−1) · (−1) =
= 9 − 16 + 4 − 24 + 24 − 1 = −4
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 4 / 25
Příklad
|A| =
3 −2 1 −2
0 0 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
Řešení:
|A| = 0 · (−1)2+1
−2 1 −2
1 −2 −4
0 3 1
+ 0 · (−1)2+2
3 1 −2
2 −2 −4
−1 3 1
+2 · (−1)2+3
3 −2 −2
2 1 −4
−1 0 1
+ 0 · (−1)2+4
3 −2 1
2 1 −2
−1 0 3
= −2 · [3 · 1 · 1 + 2 · 0 · (−2) + (−1) · (−2) · (−4)
−(−2) · 1 · (−1) − (−4) · 0 · 3 − 1 · (−2) · 2] = 6
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 5 / 25
V „realitě“ se na to musí jinak
Příklad
1 2 −1
0 5 1
0 0 4
= 1 · 5 · 4 = 20
Věta
Determinant, který má pod hlavní diagonálou samé nuly, je roven součinu
prvků v této diagonále.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 6 / 25
Věta
1. Vynásobíme-li libovolný řádek (sloupec) matice číslem k, determinant
matice bude k-násobkem determinantu matice původní.
2. Zaměníme-li pořadí dvou řádků (sloupců) matice, determinant výsledné
matice bude mít opačné znaménko než determinant matice
původní.
3. Přičtením k-násobku libovolného řádku (sloupce) k jinému řádku
(sloupci) se determinant matice nezmění.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 7 / 25
Příklad s úpravou
Vypočtěte determinant
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
Řešení:
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
=
1 −2 7 0
−3 −5 2 0
−4 5 −4 0
−1 0 3 1
=
= 1 · (−1)8
1 −2 7
−3 −5 2
−4 5 −4
= −195
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 8 / 25
Inverzní matice a soustavy rovnic
Definice
Nechť A ∈ Rn×n je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová
matice A−1 řádu n splňující vztahy
A−1
A = I = AA−1
,
nazýváme matici A−1 inverzní maticí k matici A.
Věta
Nechť A ∈ Rn×n je čtvercová matice řádu n taková, že k ní existuje
A−1. Potom systém lineárních rovnic A⃗x = ⃗b má právě jedno řešení
⃗x = A−1⃗b pro libovolné ⃗b ∈ Rn.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 9 / 25
Jak inverzní matici najít?
Věta
Nechť A je čtvercová matice. Jestli sekvence elementárních řádkových
úprav převede matici A na jednotkovou, pak stejná sekvence elementárních
řádkových úprav převede jednotkovou matici na A−1.
Příklad
A =


3 2 0
5 4 1
1 2 5

 A−1
= ?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 10 / 25
Řešení:


3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0
1 2 5 0 0 1

 ∼


1 2 5 0 0 1
3 2 0 1 0 0
5 4 1 0 1 0

 ∼
∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 −6 −24 0 1 −5

 ∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 −6 −6 4 −2

 ∼
∼


1 2 5 0 0 1
0 −4 −15 1 0 −3
0 0 3 3 −2 1

 ∼


3 6 0 −15 10 −2
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1

 ∼
∼


12 0 0 36 −20 4
0 −4 0 16 −10 2
0 0 3 3 −2 1

 ∼


1 0 0 3 −5
3
1
3
0 1 0 −4 5
2 −1
2
0 0 1 1 −2
3
1
3


Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 11 / 25
Souvislosti
Věta
Nechť A ∈ Rn×n, pak následující výroky jsou ekvivalentní:
1. Řádky matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory.
2. Sloupce matice A jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory.
3. K matici A existuje invezní matice A−1.
4. |A| ̸= 0
5. Soustava lineárních rovnic AX = B má pro libovolnou pravou
stranu B jediné řešení.
6. Homogenní soustava rovnic AX = 0 má pouze nulové řešení.
7. Každý vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených
řádky (sloupci) matice A a to jednoznačně (až na pořadí).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 12 / 25
Vlastní vektory a vlastní čísla
Definice
Nechť A je čtvercová matice, λ je komplexní číslo a ⃗x je nenulový vektor,
který je řešením rovnice
A⃗x = λ⃗x. (1)
Pak se komplexní číslo λ nazývá vlastní číslo matice A a vektor ⃗x se
nazývá vlastní vektor matice A (příslušný vlastnímu číslu λ).
A⃗x − λ⃗x = ⃗o =⇒ (A − λI) ⃗x = ⃗o
Věta
Vlastní čísla matice A jsou řešením tzv. charakteristické rovnice s neznámou
λ
|A − λI| = 0 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 13 / 25
Příklad
Vypočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice
1 2
3 2
Řešení:
1 − λ 2
3 2 − λ
= 0
λ2
− 3λ − 4 = 0 =⇒ λ1 = 4, λ2 = −1
−3 2 0
3 −2 0
=⇒ x2 = 3t, x1 = 2t =⇒ (2, 3)
2 2 0
3 3 0
=⇒ x2 = t, x1 = −t =⇒ (−1, 1)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 14 / 25
Příklad
Vypočtěte vlastní čísla matice


4 0 0
5 3 2
2 0 2


Řešení:
4 − λ 0 0
5 3 − λ 2
2 0 2 − λ
= 0
(4 − λ)(3 − λ)(2 − λ) = 0 =⇒ λ1 = 4, λ2 = 3, λ3 = 2
Věta (Perron)
Je-li P čtvercová matice taková, že všechny její koeficienty jsou kladná
čísla, pak matice A má kladné reálné vlastní číslo λ1 a jemu odpovídající
vlastní vektor má všechny složky kladné. Navíc je-li λ jiné vlastní
číslo, pak |λ| ≤ λ1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 15 / 25
Stěhování - naposledy
Předpokládejme, že populace se stěhuje mezi dvěma regiony, např. venkovem
a městem podle následujícího schématu. Každý rok se 50% obyvatel
venkova přestěhuje do měst a 25% obyvatel měst se přestěhuje na
venkov. Jestli tento vzor migrace bude pokračovat vyprázdní se venkov
nebo se situace stabilizuje?
Řešení:
vk+1
mk+1
=
0,5 0,25
0,5 0,75
·
vk
mk
0,5 − λ 0,25
0,5 0,75 − λ
= 0 =⇒ λ2
−1,25λ+0,25 = 0 =⇒ λ1 = 1, λ2 = 0,25
−0,5 0,25
0,5 −0,25
·
x1
x2
=
0
0
=⇒ v =
1
3
, m =
2
3
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 16 / 25
Sociální sítě
Kdo je nejvýznamnější postavou v této síti vztahů?
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2512
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
15
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 17 / 25
Metrika, která měří i kvalitu kontaktů v tom smyslu, že lepší jsou
kontakty, které mají hodně kontaktů, se nazývá centralita měřená
koeficientem vlastního vektoru (eigenvector centrality). Máme-li graf s n
vrcholy, definujeme hodnotu pro vrchol xv jako
xv =
1
λ
n
t=1
avtxt,
kde avt je příslušný koeficient z matice sousednosti. Přepisem definice
do vektorů a matic dostaneme definici vlastního vektoru. Vlastních čísel
a tím pádem i vlastních vektorů je více, ale jediný vlastní vektor, pro
který je zaručeno, že všechny složky jsou kladné, je podle Perronovy
věty vlastní vektor příslušný největší vlastní hodnotě.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 18 / 25
„Jak funguje Google?“
A
B
C
D
E
P =






A B C D E
A 0 1
2
1
3 1 0
B 1 0 1
3 0 1
3
C 0 1
2 0 0 1
3
D 0 0 0 0 1
3
E 0 0 1
3 0 0






P2
=








1
2
1
6
1
6
0 11
18
0 2
3
4
9
1 1
9
1
2
0 5
18
1
9
0
0 0 1
9
0 0
0 1
6
1 0 1
9








, · · · , P32
=








0,293 0,293 0,293 0,293 0,293
0,390 0,390 0,390 0,390 0,390
0,220 0,220 0,220 0,220 0,220
0,024 0,024 0,024 0,024 0,024
0,073 0,073 0,073 0,073 0,073








πT
= (0,293; 0,390; 0,220; 0,024; 0,073)
P · π = π.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 19 / 25












































0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0












































Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 20 / 25
λ25
− 60λ23
− 33λ22
+ 1418λ21
+ 1201λ20
− 17690λ19
− 17820λ18
+ 130270λ17
+ 140616λ16
− 596765λ15
− 645895λ14
+ 1744968λ13
+ 1781922λ12
− 3289284λ11
− 2952158λ10
+ 3956100λ9
+ 2846182λ8
− 2892728λ7
− 1481747λ6
+ 1131223λ5
+ 364297λ4
−
172595λ3
− 37618λ2
+ 5588λ + 1064 = 0
λmax = 5,391148524748294
(1, 1,396, 1,084, 0,920, 1,306, 1,181, 0,742, 0,479, 0,562,
1,724, 0,829, 1,493, 1,291, 1,084, 1,409, 0,774, 1,326,
1,067, 0,659, 0,899, 1,261, 1,069, 0,808, 1,254, 0,908)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 21 / 25
Leslieho model
Příklad
Uvažujme například populaci hmyzu rozdělenou na tři životní etapy:
mláďata, mladistvé a dospělé jedince, přičemž každá životní etapa trvá
jeden rok. Pravděpodobnost přežití mláďat je 50 % a nerozmnožují se.
Mladiství mají pravděpodobnost přežití 25 % a každý z nich má průměrně
čtyři mláďata. Dospělí jedinci mají pravděpodobnost přežití 0 %
a každý z nich má průměrně tři mláďata. Předpokládejme, že máme
100 samiček, přičemž 40 jsou mláďata, 40 jsou mladiství a 20 dospělí.
Jak se bude taková populace samiček vyvíjet v čase?
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 22 / 25
Po jednom roce bude počet mláďat
40 · 4 + 20 · 3 = 220.
Počet mladistvých bude počet mláďat, která přežijí, tj.
40 · 0,5 = 20
a podobně pro dospělé
40 · 0,25 = 10.
Všechny tyto výpočty můžeme snadno zapsat jednou maticovou rovnicí
L · x0 =


0 4 3
0,5 0 0
0 0,25 0

 ·


40
40
20

 =


220
20
10

 = x1 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 23 / 25
t
P
1000
2000
3000
4000
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t
P[%]
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
5 10 15
Věta
Každá Lesliho matice má právě jedno kladné vlastní číslo. Tomuto číslu
odpovídá vlastní vektor, jehož všechny složky jsou kladné.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 24 / 25
−λ 4 3
0,5 −λ 0
0 0,25 −λ
= 0
−λ3
+ 2λ + 0,375 = 0 =⇒ λ = 1,5


−1,5 4 3 0
0,5 −1,5 0 0
0 0,25 −1,5 0

 ∼


1 0 −18 0
0 1 −6 0
0 0 0 0

 =⇒ (18t, 6t, t)
72 %, 24 %, 4 %
Petr Liška (Masarykova univerzita) Lineární algebra 24.04.2024 25 / 25