Jak popsat změnu
Funkce, limita, derivace
Petr Liška
Masarykova univerzita
28.02.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 1 / 25
Funkce
Definice
Nechť jsou dány neprázdné množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f, který
každému x ∈ D přiřazuje právě jedno y ∈ H, nazýváme funkcí jedné
proměnné. Tuto funkci označujeme
y = f(x).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), množina
H se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H(f).
Definice
Grafem funkce f : D(f) → R je množina bodů
G = {(x, f(x)) ∈ R2
: x ∈ D(f)}.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 2 / 25
Typické (netypické) funkce v ekonomii
Logistická funkce (saturační proces)
y =
a
1 + be−cx
a, b, c > 0
0
y
x
a
1+b
a
Trendová funkce s periodickými fluktuacemi
y = a + bx + c sin dx
a, b, c, d ∈ R
0
y
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 3 / 25
Typické (netypické) funkce v ekonomii a sociologii
„Zásobovací“ funkce
y = iS −
S
T
x
(i − 1)T ≤ x ≤ iT
S, T > 0, i = 1, 2, . . .
0
y
x
S
T 2T 3T
Gaussova funkce
y = ae−
(x−b)2
2c2
a, b, c ∈ R, c ̸= 0
0
y
x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 4 / 25
Vlastnosti funkcí
Definice
Nechť x0, δ ∈ R, δ > 0. Pak interval O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) nazveme
okolím bodu x0, interval [x0, x0 + δ) pravým okolím bodu x0 a interval
(x0 − δ, x0] levým okolím bodu x0. Množina O(x0) \ {x0} se nazývá ryzí
okolí bodu x0. Buď a ∈ R. Pak interval O(+∞) = (a, +∞) nazveme
okolím bodu +∞ a interval O(−∞) = (−∞, a) nazveme okolím bodu
−∞.
Definice
Řekneme, že funkce f je rostoucí v bodě x0, jestliže existuje okolí
O(x0) = (x0 − δ, x0 + δ) tak, že pro x0 − δ < x < x0 je f(x) < f(x0) a
pro x0 < x < x0 + δ je f(x) > f(x0).
Analogicky se definuje funkce klesající v bodě, neklesající v bodě a
nerostoucí v bodě. Společný název pro tyto čtyři vlastnosti je funkce
monotonní v bodě, resp. pro první dvě funkce ryze monotonní v bodě.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 5 / 25
Definice
Nechť je dána funkce f : D(f) → R a interval I ⊆ D(f). Pak funkci
f nazveme rostoucí na intervalu I, jestliže pro každá dvě x1, x2 ∈ I
taková, že x1 < x2, je f(x1) < f(x2).
Funkci f nazveme klesající na intervalu I, jestliže pro každá dvě
x1, x2 ∈ I taková, že x1 < x2, je f(x1) > f(x2).
Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní.
Definice
Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1, x2 ∈ D(f) platí:
je-li x1 ̸= x2, pak f(x1) ̸= f(x2).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 6 / 25
Nové funkce ze starých
Definice
Nechť u: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná
předpisem y = f(u(x)) se nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá
vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Definice
Inverzní funkcí k prosté funkci f je funkce f−1, pro kterou platí, že
D(f−1) = H(f) a ke každému y ∈ D(f−1) je přiřazeno právě jedno
x ∈ D(f) takové, že f(x) = y.
Věta
Inverzní funkcí k funkci f rostoucí (klesající) na množině D(f) je rostoucí
(klesající) funkce na množině H(f).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 7 / 25
Pro připomenutí
Definice
Buď a ∈ R, a > 0 a c ∈ R. Pro a > 1 definujme
ac
= sup {ax
: x ∈ Q, x ≤ c} .
Pro a = 1 položmě ac = 1c = 1 a pro 0 < a < 1 definujme ac = 1
a
−c
.
Definice
Buď a ∈ R, a > 0. Funkci f určenou předpisem f(x) = ax nazveme
exponenciální funkcí o základu a.
Věta
Exponenciální funkce f(x) = ax má tyto vlastnosti:
1. D(f) = R a H(f) = (0, +∞) pro a ̸= 1, H(f) = {1} pro a = 1.
2. Funkce f je rostoucí v R pro a > 1, klesající v R pro a < 1 a
konstantní v R pro a = 1.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 8 / 25
Definice
Buď a ∈ R, a > 0, a ̸= 1. Funkce inverzní k funkci y = ax se nazývá
logaritmická funkce o základu a, značí se y = loga x.
Věta
Logaritmická funkce f(x) = loga x má tyto vlastnosti:
1. D(f) = (0, +∞), H(f) = (−∞, +∞).
2. Funkce f je rostoucí na (0, +∞) pro a > 1 a klesající na (0, +∞)
pro a < 1.
3. Pro x, y ∈ (0, +∞) a z ∈ R platí
loga(xy) = loga x+loga y, loga
x
y
= loga x−loga y, loga xz
= z loga x.
4. Pro a, b ∈ R, a > 0, b > 0, a ̸= 1, b ̸= 1 a x ∈ (0, +∞) platí
loga x =
logb x
logb a
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 9 / 25
Cyklometrické funkce
Definice
Inverzní funkce k funkci sin x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arcsin x.
Inverzní funkce k funkci cos x definované na [0, π] se označuje arccos x.
Inverzní funkce k funkci tg x definované na −π
2 , π
2 se označuje
arctg x.
Inverzní funkce k funkci cotg x definované na (0, π) se označuje
arccotg x.
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x nazýváme cyklometrické
funkce.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 10 / 25
0 1 π
2
−1− π
2
1
π
2
−1
− π
2
x
y = arcsin x
y = sin x
0 1 π
2
π
−1
π
π
2
−1
x
y = arccos x
y = cos x
0 π
2− π
2
π
2
− π
2
y
x
y = arctg x
y = tg x
0 π
π
π
2
π
2
y
x
y = arccotg x
y = cotg x
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 11 / 25
Limita a spojitost
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 12 / 25
„Naivní“ definice
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme
libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě x0, ale
různé od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = L.
Funkce y = f(x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞, jestliže hodnoty funkce f(x) můžeme
udělat libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně blízké hodnotě x0, ale různé
od x0. Zapisujeme
lim
x→x0
f(x) = ∞
a říkáme, že funkce má ve vlastním bodě nevlastní limitu.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu L, jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme
libovolně přiblížit číslu L tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = L.
Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě vlastní limitu.
Funkce y = f(x) má v bodě ∞ limitu ∞, jestliže hodnoty funkce f(x) můžeme udělat
libovolně velké tak, že vezmeme hodnoty x dostatečně velké. Zapisujeme
lim
x→∞
f(x) = ∞.
Říkáme, že funkce má v nevlastním bodě nevlastní limitu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 13 / 25
Věta
Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 limitu zleva rovnu L, píšeme
lim
x→x−
0
f(x) = L,
jestliže se s hodnotami funkce f(x) můžeme libovolně přiblížit číslu L
tak, že vezmeme hodnoty x menší než x0 a dostatečně blízké hodnotě
x0. Analogicky definujeme i limitu zprava a nevlastní limity.
Věta
lim
x→x0
f(x) = L ⇐⇒ lim
x→x−
0
f(x) = lim
x→x+
0
f(x) = L .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 14 / 25
Věta
Nechť existují vlastní limity limx→x0 f(x) = L1 , limx→x0 g(x) = L2.
Pak platí:
a) limx→x0 (f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
b) limx→x0 (f(x) · g(x)) = L1 · L2,
c) Je-li L2 ̸= 0, pak limx→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
,
d) limx→x0 |f(x)| = | limx→x0 f(x)|.
Platí
∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞,
1
±∞
= 0,
1
+0
= +∞,
1
−0
= −∞.
Nevíme
∞ − ∞,
∞
∞
,
0
0
, 0 · ∞, 00
, ∞0
, 1∞
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 15 / 25
Spojitost funkce
Definice
Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže je
limita funkce v tomto bodě rovna funkční hodnotě v tomto bodě, tj.
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Analogicky se definuje spojitost zprava/zleva.
Definice
Nechť f je funkce a I ⊆ D(f) je interval. Řekneme, že funkce f je
spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto
intervalu. Patří-li navíc levý (pravý) koncový bod do I, je v něm
funkce spojitá zprava (zleva).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 16 / 25
Vlastnosti spojitých funkcí
Věta (Weierstrassova věta)
Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak je na tomto intervalu
ohraničená a nabývá zde své největší a nejmenší hodnoty.
Věta (Bolzanova věta)
Nechť f je spojitá na intervalu I = [a, b]. Pak na tomto intervalu nabývá
všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou.
Důsledek
Je-li funkce f spojitá na intervalu I = [a, b] a f(a)f(b) < 0, pak existuje
bod c ∈ (a, b) takový, že f(c) = 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 17 / 25
Spojité (tam, kde jsou definované) jsou všechny tzv. elementární
funkce, tj.
polynomy
exponenciální a logaritmické funkce
goniometrické a cyklometrické funkce
mocninné funkce
a funkce, které z nich vzniknou konečným počtem sčítání, odčítání,
násobení, dělení a skládání.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 18 / 25
Derivace funkce
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 19 / 25
0
f(x) − f(x0)
x − x0
ϕs ϕt
y
xx0 x
f(x0)
f(x) y = f(x)
t
s
T
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 20 / 25
„Naivní“ definice
Derivace f′(x0) funkce f v bodě x0 je směrnice tečny ke grafu funkce f
v bodě [x0, f(x0)].
Definice
Buď f funkce a bod x0 ∈ D(f). Existuje-li vlastní limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
,
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f′(x0)
nebo df
dx (x0).
Položíme-li h = x − x0, lze derivaci zapsat ve tvaru
f′
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 21 / 25
Věta
Pro derivace elementárních funkcí platí:
c′
= 0, (xa
)′
= axa−1
,
(ex
)′
= ex
, (ln x)′
=
1
x
,
(sin x)′
= cos x, (cos x)′
= − sin x,
(tg x)′
=
1
cos2 x
, (cotg x)′
= −
1
sin2
x
,
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, (arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
,
(arctg x)′
=
1
x2 + 1
, (arccotg x)′
= −
1
x2 + 1
,
(ax
)′
= ax
· ln a , loga x
′
=
1
x ln a
,
kde a ∈ R a c ∈ R. Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné
funkce definovány.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 22 / 25
Věta
Nechť mají funkce f, g derivaci na množině M. Pak platí:
a) cf(x)
′
= cf′(x), c ∈ R,
b) f(x) + g(x)
′
= f′(x) + g′(x),
c) f(x) · g(x)
′
= f′(x)g(x) + f(x)g′(x),
d) je-li g(x) ̸= 0, pak
f(x)
g(x)
′
=
f′(x)g(x) − f(x)g′(x)
g2(x)
.
Věta
Nechť funkce u = g(x) má derivaci g′(x), funkce y = f(u) má derivaci
f′(u) a nechť platí D(f) ⊇ H(g). Pak složená funkce y = F(x) =
f[g(x)] má derivaci a platí:
F′
(x) = f′
[g(x)] · g′
(x).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 23 / 25
Příklad
Vypočtěte derivace funkcí
y = 3x3
+ x + 2, y = xex
, y =
1 − x2
1 + x2
,
y = 2x2 + x, y = ln2
sin x
Z geometrického významu derivace plyne, že funkce f má v bodě x0
derivaci právě tehdy, když její graf má v bodě (x0, f(x0)) tečnu se
směrnicí f′(x0). Rovnice této tečny je
y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 24 / 25
Věta
Nechť f má derivaci na otevřeném intervalu I.
a) Je-li f′(x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I.
b) Je-li f′(x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I.
Věta
Nechť funkce f, g mají derivace v každém bodě otevřeného intervalu I.
Jestliže pro všechna x ∈ I platí f′(x) = g′(x), pak se funkce f, g liší
o konstantu, tj. existuje c ∈ R takové, že f(x) = g(x) + c.
Zejména jestliže f′(x) = 0 na I, pak je f na I konstantní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Jak popsat změnu 28.02.2024 25 / 25