Posloupnosti a řady
Petr Liška
Masarykova univerzita v Brně
22.02.2024
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 1 / 22
1, 2, 3, 4, 5, . . .
7, 14, 21, 28, . . .
1
3
,
1
9
,
1
27
,
1
81
,
1
243
, . . .
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
P0(1 + r), P0(1 + r)2
, P0(1 + r)3
, . . .
R
1 + i
,
R
(1 + i)2
,
R
(1 + i)3
, . . .
󰂏, ♥, •, 󰂏, ♥, •, . . .
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 2 / 22
Posloupnost a jak ji zadat
Definice
Posloupnost je předpis a, který každému prvku n množiny N přiřadí
právě jedno číslo an z R. Hodnotu an nazýváme n-tý člen posloupnosti
a celou posloupnost pak zapisujeme {an}∞
n=1 nebo zkráceně {an}.
Posloupnost obvykle zadáváme
vzorcem pro n-tý člen;
rekurentně;
(výčtem členů).
Je možné mít i konečnou posloupnost, pokud v předchozí definici
uvážíme místo množiny N její podmnožinu D, která obsahuje všechna
přirozená čísla menší nebo rovno nějaké pevně dané číslo.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 3 / 22
Základní vlastnosti posloupností
Posloupnost {an} se nazývá
rostoucí, jestliže an < an+1 pro každé n ∈ N;
klesající, jestliže an > an+1 pro každé n ∈ N;
nerostoucí, jestliže an ≥ an+1 pro každé n ∈ N;
neklesající, jestliže an ≤ an+1 pro každé n ∈ N;
shora ohraničená, jestliže existuje U ∈ R takové, že an ≤ U pro
každé n ∈ N;
zdola ohraničená, jestliže existuje L ∈ R takové, že an ≥ U pro
každé n ∈ N;
ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 4 / 22
Aritmetická posloupnost
Definice
Posloupnost {an}∞
n=1 se nazývá aritmetická, jestliže ∃d ∈ R takové, že
∀n ∈ N platí
an+1 = an + d.
Číslo d se nazývá diference.
Pro n-tý člen platí
an = a1 + (n − 1)d.
Pro libovolná r, s ∈ N platí
as = ar + (s − r)d.
Značí-li sn součet prvních n členů posloupnosti, potom
sn =
n
2
(a1 + an).
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 5 / 22
Vzoreček není žádné kouzlo (možná trochu)
sn = a1 + a2 + · · · + ak+1 + · · · + an−1 + an
sn = an + an−1 + · · · + an−k + · · · + a2 + a1
Chytře sečteme a seskupíme
2sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + · · · + (ak+1 + an−k) + · · · + (an + a1)
a ještě chytřeji vyjádříme
ak+1 = a1+kd , an−k = a1+(n−k−1)d = a1+(n−1)d−kd = an−kd.
A pak už je jasné, že
sn =
n
2
(a1 + an)
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 6 / 22
Příklad
a1 = 12, a3 = 16, d =?, a10 =?, s10 =?
Řešení. d = 2, a10 = 30, s10 = 210.
Příklad
Zakázník si koupil zboží za 24 000 Kč a zavázal se jej splatit ve 12 měsíčních
splátkách po 2 000 Kč plus 1,5 % z nesplacené částky. Jaká je
např. desátá splátka a kolik zaplatí celkem?
Řešení.
První splátka: 2 000 + 0,015 · 24 000 = 2 360 Kč
Druhá splátka: 2 000 + 0,015 · 22 000 = 2 330 Kč
Třetí splátka: 2 000 + 0,015 · 20 000 = 2 300 Kč
d = −30 Kč. Tedy desátá splátka
a10 = a1 + (10 − 1)d = 2 360 + 9(−30) = 2 090 Kč
s12 =
12
2
(2 360 + 2 030) = 26 340 Kč.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 7 / 22
Geometrická posloupnost
Definice
Posloupnost {an}∞
n=1 se nazývá geometrická, jestliže ∃q ∈ R takové, že
∀n ∈ N platí
an+1 = an · q.
Číslo q se nazývá kvocient.
Pro n-tý člen platí
an = a1 · qn−1
.
Pro libovolná r, s ∈ N platí
as = ar · qs−r
.
Značí-li sn součet prvních n členů posloupnosti, potom
sn = a1
1 − qn
1 − q
, q ∕= 1,
sn = n · a1, q = 1.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 8 / 22
Ještě jedno odvození
sn = a1 + a1q + · · · + a1qn−1
qsn = a1q + a1q2
+ · · · + a1qn
Odečtením dostaneme
sn(1 − q) = a1(1 − qn
)
sn = a1
1 − qn
1 − q
, q ∕= 1
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 9 / 22
Present value
Příklad
Jak velké množství peněz je nutné investovat, abychom za čtyři roky
získali 12 000 Kč, je-li roční úroková míra 10 %?
Řešení. Je-li
Pn = P0(1 + i)n
,
pak
P0 =
Pn
(1 + i)n
.
Pro naše konkrétní hodnoty dostáváme
P0 =
12 000
(1 + 0,1)4
= 8 196,16 Kč.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 10 / 22
Příklad
Je výhodná investice 75 000 Kč, pokud příštích 5 let získáme každý rok
20 000 Kč a roční úroková míra je 12 %?
Řešení.
PV 20 000 Kč za první rok je 20 000
1,12 = 17 857,1 Kč
PV 20 000 Kč za dva roky je 20 000
(1,12)2 = 15 943,9 Kč
PV 20 000 Kč za tři roky je 20 000
(1,12)3 = 14 235,6 Kč
PV 20 000 Kč za čtyři roky je 20 000
(1,12)4 = 12 710,4 Kč
PV 20 000 Kč za pět let je 20 000
(1,12)5 = 11 348,5 Kč
Současná hodnota projektu je tedy
17 857,1 + 15 943,9 + 14 235,6 + 12 710,4 + 11 348,5 = 72 095,5 Kč
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 11 / 22
Zobecnění
PV =
R
1 + i
+
R
(1 + i)2
+ · · · +
R
(1 + i)n
=
=
R
1+i
󰁫
1 −
󰀓
1
1+i
󰀔n 󰁬
1 − 1
1+i
=
R
󰁫
1 − 1
(1+i)n
󰁬
1 + i − 1
=
=
R [1 − (1 + i)−n]
i
.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 12 / 22
Prazvláštní číslo
Uvažme, že máme částku P0 a roční úrokovou míru i ∈ (0, 1].
po jednom roce dostaneme
P1 = P0 + iP0 = P0(1 + i)
po dvou letech dostaneme
P2 = P1 + iP1 = P1(1 + i) = P0(1 + i)(1 + i) = P0(1 + i)2
a podobně po n letech
Pn = P0(1 + i)n
Co se stane, když dostaneme čtvrtinu úroku každého čtvrt roku?
P1
4
= P0
󰀕
1 +
i
4
󰀖
, . . . , P1 = P0
󰀕
1 +
i
4
󰀖4
, . . . , Pn = P0
󰀕
1 +
i
4
󰀖4n
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 13 / 22
Prazvláštní číslo
Pro jednoduchost uvažme, že i = 1 a n = 1. Co se stane, když budeme
úročit každý měsíc, týden, hodinu, minutu...?
m
󰀃
1 + 1
m
󰀄m
částka
1
󰀃
1 + 1
1
󰀄1
2P0
4
󰀃
1 + 1
4
󰀄4
2,44141P0
12
󰀃
1 + 1
12
󰀄12
2,61304P0
365
󰀃
1 + 1
365
󰀄365
2,71457P0
8760
󰀃
1 + 1
8760
󰀄8760
2,71813P0
525600
󰀃
1 + 1
525600
󰀄525600
2,71828P0
Pn = P0
󰀕
1 +
1
m
i
󰀖m
i
it
= P0
󰀥 󰀕
1 +
1
k
󰀖k
󰀦in
=
k→∞
P0ein
.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 14 / 22
Limita posloupnosti
Definice
Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost
{an} má limitu A, jestliže se k číslu A můžeme s členy posloupnosti
přiblížit libovolně blízko tím, že vezmeme hodnoty n dostatečně
velké.
Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme
lim
n→∞
an = A, případně an → A pro n → ∞.
Řekneme, že posloupnost {an} má limitu +∞, jestliže členy posloupnosti
můžeme udělat libovolně velké tím, že vezmeme dostatečně velké
n. Značíme lim
n→∞
an = +∞. Podobně definujeme lim
n→∞
an = −∞.
Pokud má posloupnost {an} limitu +∞ nebo −∞, říkáme, že posloupnost
diverguje.
Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 15 / 22
1
2
3
n
an =
󰀕
1 +
1
n
󰀖n
−1
1
n
an =
(−1)n+1
n
5
10
15
20
25
30
n
an = 2n−1
−1
1
n
an = (−1)n
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 16 / 22
Co je to vlastně to nekonečno?
Definice
Množinu R 󰂏 = R ∪ {+∞, −∞}, která je uspořádaná tak, že pro libovolné
x ∈ R platí −∞ < x < +∞, nazýváme rozšířenou množinou
reálných čísel.
Je-li c ∈ R, 0 < k < +∞, −∞ < z < 0 zavádíme
1.
c + (±∞) = (±∞) + c = ±∞,
+∞ + (+∞) = +∞, −∞ + (−∞) = −∞
2.
k · (±∞) = ±∞, z · (±∞) = ∓∞
+∞ · (+∞) = +∞, −∞ · (−∞) = +∞, +∞ · (−∞) = −∞
3.
c
±∞
= 0
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 17 / 22
Příklad
Pokud utratíme peníze za zboží a služby, tak ti, kteří je obdrží, část z
nich opět utratí. Ti, kteří obdrží dvakrát utracené peníze, z nich část
opět utratí atd.
Uvažme, že vláda zahájí tento proces tím, že utratí částku D Kč.
Každý příjemce pak utratí 100c % a uspoří 100s %, přičemž c + s = 1.
a) Jak velké jsou celkové výdaje Sn po n krocích?
b) Jaký je význam lim
n→∞
Sn?
Řešení. a)
Sn = D + cD + c(cD) + · · · + cn−1
D = D
1 − cn
1 − c
.
b)
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
D
1 − cn
1 − c
=
D
1 − c
=
D
s
Je-li např. c = 0,8, pak lim
n→∞
Sn = 5D.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 18 / 22
Zápis pomocí sumy
1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100 =
100󰁛
n=1
n
PV =
R
1 + i
+
R
(1 + i)2
+ · · · +
R
(1 + i)n
=
n󰁛
k=1
R
(1 + i)k
Sn = D + cD + c(cD) + · · · + cn−1
D =
n−1󰁛
i=0
ci
D
Pravidla
n󰁛
i=1
(ai + bi) =
n󰁛
i=1
ai +
n󰁛
i=1
bi
n󰁛
i=1
cai = c
n󰁛
i=1
ai
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 19 / 22
Nekonečná řada
Definice
Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol
∞󰁛
n=1
an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞
n=1, kde
s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . ,
nazýváme posloupnost částečných součtů této řady.
Existuje-li vlastní limita lim
n→∞
sn = s, řekneme, že řada
󰁓∞
n=1 an konverguje
a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim
n→∞
sn, řekneme, že
řada
󰁓∞
n=1 an diverguje.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 20 / 22
Věta (Nutná podmínka konvergence)
Nechť
󰁓∞
n=1 an konverguje. Pak lim
n→∞
an = 0.
Příklad
∞󰁛
n=1
1
n2
=
π2
6
lim
n→∞
1
n2
= 0
∞󰁛
n=1
1
n
diverguje lim
n→∞
1
n
= 0
∞󰁛
n=1
n diverguje lim
n→∞
n = ∞
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 21 / 22
Geometrická řada
∞󰁛
n=1
a1qn−1
= ?
Řešení. Nechť q = 1, lim
n→∞
sn = lim
n→∞
na1 = ±∞. Nechť q = −1, pak
řada je a1 + (−a1) + · · · a platí
sn =
󰀫
0 pro sudé n
a1 pro liché n
tedy lim
n→∞
sn neexistuje. Pro |q| ∕= 1
sn = a1
1 − qn
1 − q
.
Pro q > 1 je lim
n→∞
sn = ∞, pro q < −1 tato limita neexistuje a pro
|q| < 1
lim
n→∞
sn =
a1
1 − q
.
Petr Liška (MUNI) Posloupnosti a řady 22.02.2024 22 / 22