ZÁKLADY MATEMATIKY I

Katedra aplikované matematiky a informatiky

Ekonomicko-správní fakulta MU v Brně Email: vesely@econ.muni.cz http: // math. muni. cz/ ˜ vesely

OBSAH

1. Úvod • Základy výrokového počtu.

• Základy teorie množin.

• Číselné obory.

2. Algebraické struktury • Relace.

• Uspořádané množiny.

• Ekvivalence a rozklady.

• Základní algebraické struktury (grupoid, pologrupa, grupa, okruh, obor integrity, těleso).

• Homomorfizmy algebraických struktur.

3. Lineární algebra

• Vektorové (lineární) prostory. Lineární závislost a nezávislost. Báze a dimenze.

• Metrické a normované lineární prostory. Prostory s vnitřním součinem.

• Matice, operace s maticemi, hodnost matice.

• Permutace a determinant.

• Lineární zobrazení (lineární operátory). Ortogonální projekce.

• Pojem inverzní a pseudoinverzní matice (operátoru).

Date: 16. prosinec 2004.

• Systémy lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, eliminační metody. Frobeniova věta.

• Popis množiny všech řešení pro homogenní i nehomogenní systémy.

• Transformace souřadnic a diagonalizace matic.

Literatura ke studiu Základní:

[KaSk] Karásek J., Skula L.: Algebra a geometrie, PC-DIR Real s.r.o., Brno 2002 (skripta VUT Brno, Fakulta strojního inženýrství)

[Šik] Šik F.: Lineární algebra zaměřená na numerickou ana-

lýzu, PřF MU Brno, 1998 (skripta)

[Ho] Horák P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I.,

PřF MU Brno, 2002 (sbírka řešených i neřešených úloh)

• Pracovní texty vytvořené přednášejícím, které jsou ke stažení v elektronické podobě na: https://www.econ.muni.cz/stud/verejne/verejne/predmety/ Podzim%202004/PMZMI/

Doplňující:

[Mi] Minorskij V.P.: Sbírka úloh z vyšší matematiky, SNTL

Praha, 1964

[FaSo] Faddejev A.K.,Sominskij J.S.: Zbierka úloh z vyššej al-

gebry, ALFA Bratislava, 1968

Poznámka: V tomto textu jsou úseky látky (definice, věty, důkazy a pod.) z hlediska požadavků u zkoušky rozlišeny ve třech úrovních změnou sazby příslušného klíčového slova takto:

1. Minimální znalosti: podtrženě velkými písmeny (např. \underline{VĚTA} ) jsou vyznačeny podstatné partie, jejichž znalost je nezbytná pro získání hodnocení alespoň D–E.

2. Průměrné znalosti: velkými písmeny (např. VĚTA), jejichž znalost nad rámec 1. je třeba pro získání hodnocení B–C.

3. Nadprůměrné znalosti: jsou vysázeny obyčejně (např. Věta). Jejich

znalost nad rámec 1. a 2. je třeba k hodnocení A.

U důkazů stačí vyložit podstatné myšlenky (postup) vlastními slovy.

1. Úvod

1.1. ZÁKLADY VÝROKOVÉHO POČTU. Teorie: [KaSk: s.7-9] Příklady: [Ho:řešené č.1; s.5-6], [Ho:neřešené §1; s.39-42]

Matematické vyjadřování:

• Stručnost: užívání symbolů (viz přílohu C)

• Přesnost: definice, tvrzení, pomocné tvrzení (lemma), věta (teorém), poznámka, seznam označení: s := v nebo v =: s interpretujeme jako označení výrazu v symbolem s.

Účelem definice je přesné vymezení významu nově zaváděného matematického pojmu. Účelem tvrzení, mezi něž patří lemmata i věty (důležitá tvrzení), je vyvodit z výchozích předpokladů přesné logické závěry postupnou aplikací logických pravidel. Tomuto postupu říkáme důkaz. Univerzální předpoklady matematických teorií se nazývají axiomy: vyjadřují předem dané skutečnosti, které považujeme za univerzálně platné.

Výroky: při užití logických pravidel vystupuje jeden ze základních pojmů logiky — pojem výroku. Výrokem rozumíme libovolné sdělení (tvrzení), o kterém má smysl říci, jestli je pravdivé nebo nepravdivé. Říkáme také, že výrok platí nebo neplatí. Logická hodnota 1 značí výrok, který je vždy pravdivý a podobně logická hodnota 0 značí výrok, který je vždy nepravdivý. Výroky v dalším budeme označovat symbolicky, například V. Pokud výrok závisí na dalších proměnných (obvykle opět výrocích) A, B, …, píšeme V (A), V (A, B) a podobně.

Výrokový počet: kalkulus s výroky, kdy pomocí logických operací v tzv. výrokových formulích konstruujeme složené výroky ze zadaných elementárních výroků vystupujících v roli operandů. Základní operace jsou popsány pomocí pravdivostních (0–1) tabulek, které každé kombinaci pravdivostních hodnot elementárních výroků přiřazují pravdivostní hodnotu výsledného složeného výroku:

Operace negace: ^{¬}, ′

\begin{matrix}A & ^{¬}A \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: A neplatí

Operace implikace: ⇒

\begin{matrix}A & B & A ⇒ B \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: A implikuje B; B plyne z A; B je důsledkem A; A je postačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A; jestliže platí A, pak platí B.

Operace ekvivalence: ⇔, ≡

\begin{matrix}A & B & A ⇔ B \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: A je ekvivalentní s B; A je nutná a postačující podmínka pro B; B je nutná a postačující podmínka pro A; A platí právě když B platí; A platí tehdy a jen tehdy, když platí B. Výrok V (A, B, …) ≡ 1 (vždy pravdivý) se nazývá tautologie.

Operace ‘A’ neboli logický součin neboli konjunkce: &,∧

\begin{matrix}A & B & A ∧ B = min(A, B) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: platí A i B; platí A a B.

Operace ‘NEBO’ neboli logický součet neboli disjunkce: ∨

\begin{matrix}A & B & A ∨ B = max(A, B) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: platí A nebo B.

Operace ‘BUĎ A NEBO’: xor

\begin{matrix}A & B & xor(A, B) \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}

\underline{Slovní vyjádření}: platí buď A nebo B.

Univerzální kvantifikátor: ∀ ∀x s vlastností U : V (x) \underline{Slovní vyjádření}: pro každé x s vlastností U platí V (x).

Existenční kvantifikátor: ∃ ∃x s vlastností U : V (x) \underline{Slovní vyjádření}: existuje x s vlastností U splňující V (x).

\underline{VĚTA} 1.1. Platí následující ekvivalence výroků:

(1) A′′ ≡ A.

(2) A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∨ B ≡ B ∨ A.

(3) DeMorganova pravidla:

(A ∧ B)′ ≡ A′ ∨ B′, (A ∨ B)′ ≡ A′ ∧ B′.

(4) (A ⇒ B) ≡ (A′ ∨ B), (A ⇒ B) ≡ (B′ ⇒ A′).

(5) (A ⇏ B) ≡ (A ∧ B′), (A ⇏ B) ≡ (B′ ⇏ A′).

(6) (A ⇔ B) ≡ (A ⇒ B)∧(B ⇒ A), (A ⇔ B) ≡ (A′ ⇔ B′).

(7) (A ⇎ B) ≡ (A ⇏ B)∨(B ⇏ A), (A ⇎ B) ≡ (A′ ⇎ B′).

(8) Asociativní zákony:

A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C, A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C.

(9) Distributivní zákony:

A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).

(10) (∀ x s vlastností U : V (x))′ ≡ (∃ x s vlastností U : V (x)′)

(11) (∃ x s vlastností U : V (x))′ ≡ (∀ x s vlastností U : V (x)′) \underline{Poznámka:} A ⇏ B := (A ⇒ B)′, A ⇎ B := (A ⇔ B)′.

\underline{DŮKAZ}. CVIČENÍ □

Důkazové techniky: Matematické věty většinou vyjadřují slovně implikace výroků A ⇒ B (A nazýváme předpokladem věty a B tvrzením věty) nebo ekvivalence výroků A ≡ B.

\underline{Přímý důkaz implikace A ⇒ B} : konstruujeme posloupnost pravdivých výroků: A ⇒ A_{1}, A_{1} ⇒ A_{2}, …, A_{n−1} ⇒ A_{n}, A_{n} ⇒ B, tj. dokazujeme, že je pravdivý výrok (A ⇒ A_{1}) ∧ (A_{1} ⇒ A_{2}) ∧ ⋯ ∧ (A_{n−1} ⇒ A_{n}) ∧ (A_{n} ⇒ B).

\underline{Důkaz implikace A ⇒ B sporem} : provádíme přímý důkaz ekvivalentní implikace B′ ⇒ A′, která pak vede ke sporu s platností předpokladu A, pokud by za jeho platnosti tvrzení B neplatilo.

\underline{Důkaz ekvivalence A ⇔ B} : dokazujeme platnost ekvivalentního výroku (A⇒ B)∧(B ⇒ A) ve dvou krocích: samostatně dokazujeme platnost obou implikací A ⇒ B a B ⇒ A.

\underline{Důkaz platnosti následujícího výroku matematickou indukcí} : ∀ n ≥ n_{0} : V (n), kde n, n_{0} jsou přirozená čísla. Nekonečný přímý důkaz tvaru V (n_{0}) ∧ (V (n_{0}) ⇒ V (n_{0} + 1) ⇒ V (n_{0} + 2), …) nahradíme ověřením platnosti ekvivalentního výroku: ∀ n > n_{0} : (V (n_{0}) ∧ V (n_{0} + 1) ∧ ⋯ ∧ V (n − 1)) ⇒ V (n). Důkaz tak probíhá ve dvou krocích:

• Počáteční krok: ověření platnosti výroku V (n_{0})

• Indukční krok: pro každé n > n_{0} ověříme platnost implikace (V (n_{0}) ∧ V (n_{0} + 1) ∧ ⋯ ∧ V (n − 1)) ⇒ V (n).

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE VÝROKOVÉHO POČTU definice ♦ definition tvrzení ♦ statement, proposition věta ♦ theorem poznámka ♦ remark označení ♦ notation důkaz ♦ proof axiom ♦ axiom výrok ♦ sentence, proposition pravdivý, nepravdivý ♦ true, false negace ♦ negation implikace ♦ implication A implikuje B ♦ A implies B B plyne z A ♦ B follows from A B je důsledkem A ♦ B is a consequence of A A je postačující podmínka pro B ♦ A is a sufficient condition for B B je nutná podmínka pro A ♦ B is a necessary condition for A jestliže platí A, pak platí B ♦ if A holds then B holds tvrzení platí ♦ the statement holds A je ekvivalentní s B ♦ A is equivalent with B A je nutná a postačující podmínka pro B ♦ A is a necessary and sufficient condition for B A platí právě když (tehdy a jen tehdy když) B platí ♦ A holds if and only if (iff) B holds logický součin: A ♦ logical AND logický součet: NEBO ♦ (logical) OR BUĎ … A NEBO ♦ logical EXCLUSIVE OR, EITHER … OR univerzální kvantifikátor ♦ universal quantifier pro každé x s vlastností U platí V (x) ♦ V (x) is true for all x having property U existenční kvantifikátor ♦ existential quantifier existuje x s vlastností U splňující V (x) ♦ there exists x having property U such that V (x) is true 1.2. ZÁKLADY TEORIE MNOŽIN. Teorie a příklady: [KaSk: s.9-25,37-43] Příklady: [Ho:řešené č.2-4,7-10; s.6-12], [Ho:neřešené kap.1§2§5; s.42-45,51-54]

\underline{DEFINICE} 1.2 (Naivní pojetí teorie množin: Cantor 1849–1918). Množinou rozumíme soubor libovolných objektů, které nazýváme prvky této množiny. Množina se nazývá konečná, resp. nekonečná, jestliže má konečně, resp. nekonečně mnoho prvků. \underline{Zapisujeme:} a ∈ A, A ∋ a … a je prvkem A. a ∉ A, A ∌ a … a není prvkem A. A := {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}} … specifikace konečné množiny výčtem prvků. A := {x | x má vlastnost V} … specifikace množiny s prvky majícími vlastnost V, například ℝ^{+} := {x | x ∈ ℝ, x ≥ 0} značí množinu všech nezáporných reálných čísel. ∅ := {} … prázdná množina neobsahuje žádný prvek.

Výše uvedená definice je příliš široká a vede proto k logickým paradoxům. Nejznámější je Russelův paradox: Definujeme-li M := {X | X je množina: X ∉ X}, pak pro M mohou nastat jen dvě možnosti, obě vedoucí k logickému sporu:

(1) M ∈ M, což z definice implikuje M ∉ M, nebo

(2) M ∉ M, což z definice implikuje M ∈ M.

MNOŽINOVÉ INKLUZE A = B … množiny A a B jsou si rovny, mají-li tytéž prvky. A ≠ B … množiny A a B jsou různé, nemají-li tytéž prvky. A ⊆ B, B ⊇ A … A je podmnožinou B nebo též B je nadmnožinou A, jestliže každý prvek A je také prvkem B. A ⊂ B, B ⊃ A … A je vlastní podmnožinou B, jestliže A ⊆ B a současně A ≠ B, tj. kromě všech prvků z A, existuje v B ještě alespoň jeden další prvek. \underline{Příklad:} ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

\underline{VĚTA} 1.3. Platí A = B tehdy a jen tehdy, když A ⊆ B a B ⊆ A.

\underline{Označení} (Intervaly). Nechť a, b ∈ ℝ jsou daná reálná čísla. Pak intervalem reálných čísel nazýváme kteroukoli z níže uvedených podmnožin v ℝ: [a, b] := {x | x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}… uzavřený interval; (a, b) := {x | x ∈ ℝ : a < x < b}… otevřený interval; [a, b) := {x | x ∈ ℝ : a ≤ x < b}… interval zleva uzavřený a zprava otevřený; (a, b] := {x | x ∈ ℝ : a < x ≤ b}… interval zleva otevřený a zprava uzavřený; (−∞, ∞) := ℝ; (−∞, b) := {x | x ∈ ℝ : x < b}; (−∞, b] := {x | x ∈ ℝ : x ≤ b}; (a, ∞) := {x | x ∈ ℝ : a < x}; [a, ∞) := {x | x ∈ ℝ : a ≤ x}.

\underline{ZOBRAZENÍ}

\underline{DEFINICE} 1.4. Buďte A, B množiny. Pravidlo f, které každému prvku a ∈ A přiřazuje právě jeden prvek b ∈ B, se nazývá zobrazení množiny A do množiny B. Píšeme b = f(a) nebo a ↦ f(b). Prvek b se nazývá obraz a v zobrazení f. Zobrazení f se nazývá prosté nebo také injektivní, když platí: a_{1}, a_{2} ∈ A, a_{1} ≠ a_{2} ⇒ f(a_{1}) ≠ f(a_{2}) (nebo ekvivalentně: f(a_{1}) = f(a_{2}) ⇒ a_{1} = a_{2}). Zobrazení f se nazývá A na B nebo také surjektivní, když ke každému b ∈ B existuje a ∈ A tak, že b = f(a). Je-li f prosté zobrazení A na B, nazývá se bijekce nebo také jednojednoznačná korespondence mezi A a B. Bijekce A na A se nazývá permutace množiny A.

\underline{Zápisy:} f : A → B … zobrazení f z A do B. f : A ↣ B … prosté zobrazení f z A do B. f : A ↠ B … zobrazení f z A na B. f : A ↣ → B … bijekce f z A na B.

Dvě zobrazení f : A → B a g : C → D jsou stejná právě když A = C, B = D a f(x) = g(x) pro každé x ∈ A.

\underline{DEFINICE} 1.5. Je-li f : A → B, C ⊆ A, D ⊆ B, pak definujeme: f(C) := {f(a) | a ∈ C} … obraz množiny C v zobrazení f. f|_{C} : C → B definované vztahem f|_{C}(c) := f(c) pro každé c ∈ C nazýváme restrikcí zobrazení f na množinu C. f^{−1}(D) := {a | a ∈ A : f(a) ∈ D} … úplný vzor množiny D v zobrazení f. Je-li f bijekce A na B, pak f^{−1}({f(a)}) = {a} pro každé a ∈ A a f(f^{−1}({b})) = {b} pro každé b ∈ B. V takovém případě píšeme zjednodušeně f^{−1}(f(a)) = a a f(f^{−1}(b)) = b a takto získané (bijektivní) zobrazení f^{−1} : B ↣ → A nazýváme inverzní zobrazení k f. Zřejmě platí: f^{−1}(b) = a ⇔ b = f(a). Zobrazení I_{A} : A → A definované vztahem I_{A}(a) := a pro každé a ∈ A je zřejmě bijekce. Nazývá se identické zobrazení na A. Je-li B ⊆ A, pak zobrazení 1_{B} : A → {0, 1} definované vztahem

1_{B}(a) := \begin{cases}1 & pro a ∈ B \\ 0 & pro a ∉ B \end{cases} nazýváme charakteristickou funkcí pod-

množiny B (v množině A).

\underline{DEFINICE} 1.6. Zobrazení f : I → A, kde I ⊆ ℤ, nazýváme posloupností prvků z A a zapisujeme jej ve tvaru {a_{n}}_{n∈I}, kde a_{n} := f(n). Pokud I = ℕ, resp. I = ℤ, píšeme také {a_{n}}_{n=1}^{∞} , resp. {a_{n}}_{n=−∞}^{∞} .

\underline{DEFINICE} 1.7. Nechť f : A → B a g : B → C jsou dvě zobrazení, pak zobrazení h : A → C definované vztahem h(a) := g(f(a)) pro každé a ∈ A, nazýváme složením zobrazení f a g a píšeme h = gf.

\underline{PŘÍKLAD} 1.8. Uvažujme funkční předpis f(x) := x^{2}, pak f : ℝ → ℝ není ani prosté ani surjektivní, f : ℝ → ℝ^{+} je surjektivní, ale není prosté, f : ℝ^{+} → ℝ^{+} je prosté i surjektivní, tj. je bijekcí.

MNOŽINOVÉ OPERACE Nechť dále A_{i}, i ∈ I značí nějaký systém množin indexovaný prvky i z indexové množiny I.

\underline{DEFINICE} 1.9 (Sjednocení množin).

A ∪ B := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
A ∪ B ∪ C := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C)}
A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{n} := {x | ∃ i ∈ {1, 2, …, n} : x ∈ A_{i}}
⋮
⋃_{i∈I} A_{i} := {x | ∃ i ∈ I : x ∈ A_{i}}

\underline{DEFINICE} 1.10 (Průnik množin).

A ∩ B := {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B ∩ C := {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)}
A_{1} ∩ A_{2} ∩ ⋯ ∩ A_{n} := {x | ∀ i ∈ {1, 2, …, n} : x ∈ A_{i}}
⋮
⋂_{i∈I} A_{i} := {x | ∀ i ∈ I : x ∈ A_{i}}

Jestliže A ∩ B = ∅, říkáme, že množiny A a B jsou disjunktní.

\underline{DEFINICE} 1.11 (Rozdíl množin).

A − B := {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)}

\underline{Příklad:} ℝ − ℚ (resp. šířeji ℂ − ℚ) … množina všech iracionálních čísel.

\underline{DEFINICE} 1.12 (Doplněk (komplement) množiny). Jestliže všechny uvažované množiny jsou podmnožinami jisté pevně zvolené univerzální množiny (prostoru) X, pak množinu X − A nazýváme doplňkem nebo také komplementem množiny A (v X) a píšeme A′ nebo A^{c}.

\underline{DEFINICE} 1.13 (Symetrická diference).

A ÷ B := (A − B) ∪ (B − A)

\underline{DEFINICE} 1.14 (Kartézský součin množin).

A × B := {[a, b] | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}
A × B × C := {[a, b, c] | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B) ∧ (c ∈ C)}
A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n} := {[a_{1}, a_{2}, …, a_{n}] | ∀ i ∈ {1, 2, …, n} : a_{i} ∈ A_{i}}
⋮
∏_{i∈I} A_{i} := X_{i∈I}A_{i} := {φ | φ : I → ⋃_{i∈I} A_{i}, kde φ(i) ∈ A_{i} ∀ i ∈ I },

kde [a, b], [a, b, c],…,[a_{1}, a_{2}, …, a_{n}] značí uspořádané dvojice, trojice atd. až n-tice: i-tou složku uspořádané n-tice lze považovat za obraz čísla i ∈ {1, 2, …, n} v nějakém zobrazení φ : {1, 2, …, n} → ⋃_{i=1}^{n} A_{i}, kde a_{i} := φ(i) ∈ A_{i}. Odtud pramení zobecnění definice kartézského součinu na libovolný systém množin, kde každá složka koresponduje s indexem i ∈ I z libovolné indexové množiny I.

Jsou-li všechny množiny v kartézském součinu identické, pak značí: A^{2} := A × A (kartézský čtverec množiny A),

A^{3} := A × A × A, …, A^{n} := \underbrace{A × A × ⋯ × A}_{n×} a obecně A^{I} := X_{i∈I}A.

Zejména tedy A^{I} := {φ | φ : I → A} označuje množinu všech zobrazeni I do A.

\underline{PŘÍKLAD} 1.15.

(1) Nechť A := {a, b, c, d} a B := {c, d, e, f}, pak A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}, A ∩ B = {c, d}, A − B = {a, b}, B − A = {e, f} a A ÷ B = {a, b, e, f}.

(2) ℝ^{2} … koresponduje s množinou všech bodů roviny, ℝ^{3} … s množinou všech bodů 3-rozměrného prostoru, ℝ^{n} … s množinou všech bodů n-rozměrného prostoru a ℝ^{ℕ}, resp. ℝ^{ℤ} s množinou všech posloupností reálných čísel.

MNOŽINOVÉ IDENTITY

\underline{VĚTA} 1.16.

(1) Komutativita: A ∪ B = B ∪ A

(2) Asociativita: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C

(3) Obecná asociativita a komutativita: Všechna možná sjednocení vytvořená všemi možnými uzávorkováními posloupnosti množin A_{1}, A_{2}, …, A_{n} v libovolném pořadí jsou rovna jedinému prvku A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{n}.

(4) A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A

(5) A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C pro libovolné C

(6) A ⊆ A ∪ B pro libovolné B

(7) A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B

Důkaz. CVIČENÍ □

\underline{VĚTA} 1.17.

(1) Komutativita: A ∩ B = B ∩ A

(2) Asociativita: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

(3) Obecná asociativita a komutativita: Všechny možné průniky vytvořené všemi možnými uzávorkováními posloupnosti množin A_{1}, A_{2}, …, A_{n} v libovolném pořadí jsou rovny jedinému prvku A_{1} ∩ A_{2} ∩ ⋯ ∩ A_{n}.

(4) A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅

(5) A ⊆ B ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C pro libovolné C (6) A ∩ B ⊆ A pro libovolné B

(7) A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B

Důkaz. CVIČENÍ □

\underline{VĚTA} 1.18 (Distributivní zákon).

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)

Důkaz. CVIČENÍ □

Věta 1.19 (Obecný distributivní zákon [TM1:V1.1.5 s.4]). Nechť I je indexová množina a J_{i} jsou indexové množiny pro každé i ∈ I. Nechť ke každé uspořádané dvojici indexů [i, j], i ∈ I, j ∈ J_{i}, je přiřazena množina A_{ij}. Pak platí:

⋂_{i∈I} ⋃_{j∈J_{i}} A_{ij} = ⋃_{γ∈K} ⋂_{i∈I} A_{iγ(i)}
⋃_{i∈I} ⋂_{j∈J_{i}} A_{ij} = ⋂_{γ∈K} ⋃_{i∈I} A_{iγ(i)},

kde K := X_{i∈I}J_{i}.

\underline{Poznámka} 1.20. Distributivní zákon A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) z věty 1.18 je speciálním případem 1.19 (analogicky po vzájemné záměně operací průniku a sjednocení): Jestliže provedeme přeznačení množin A_{11} := A, A_{21} := B a A_{22} := C a zavedeme indexové množiny I := {1, 2}, J_{1} := {1} a J_{2} := {1, 2}, pak K := J_{1}×J_{2} = {[1, 1], [1, 2]}, takže dostáváme: A_{11} ∩ (A_{21} ∪ A_{22} ) = (A_{11} ∩ A_{21} ) ∪ (A_{11} ∩ A_{22} ). Výše uvedený postup můžeme zobecnit do následujícího důsledku věty 1.19. Ten ilustruje skutečnost, že obecný distributivní zákon pro průniky a sjednocení funguje analogicky jako při roznásobování součinu součtů čísel.

\underline{DŮSLEDEK} 1.21.

(A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} …) ∩ (B_{1} ∪ B_{2} ∪ B_{3} …) ∩ (C_{1} ∪ C_{2} ∪ C_{3} …) ∩ ⋯ =

= ⋃_{[j,k,l,...]}(A_{j} ∩ B_{k} ∩ C_{l} …)

(A_{1} ∩ A_{2} ∩ A_{3} …) ∪ (B_{1} ∩ B_{2} ∩ B_{3} …) ∪ (C_{1} ∩ C_{2} ∩ C_{3} …) ∪ ⋯ =

= ⋂_{[j,k,l,...]}(A_{j} ∪ B_{k} ∪ C_{l} …)

\underline{PŘÍKLAD} 1.22 (CVIČENÍ). (A ∪ B ∪ C) ∩ (D ∪ E) ∩ (F ∪ G ∪ H) =?.

\underline{LEMMA} 1.23.

A − B = A ∩ B′,

kde komplement B uvažujeme v nějaké množině obsahující A i B.

\underline{VĚTA} 1.24 (DeMorganova pravidla [TM1:V1.1.6 s.5]). Nechť A je množina a {A_{i}}_{i∈I} systém množin. Pak platí:

A − ⋂_{i∈I} A_{i} = ⋃_{i∈I}(A − A_{i})
A − ⋃_{i∈I} A_{i} = ⋂_{i∈I}(A − A_{i})

\underline{DŮSLEDEK} 1.25. [KaSk:Věta 1.4 s.15]

(⋂_{i∈I} A_{i})′ = ⋃_{i∈I} A′_{i}
(⋃_{i∈I} A_{i})′ = ⋂_{i∈I} A′_{i},

kde komplementy uvažujeme v nějaké množině obsahující všechny množiny A_{i}, i ∈ I, neboli obsahující jejich sjednocení.

VĚTA 1.26 (Vlastnosti symetrické diference [TM1:V1.1.8 s.6]). Platí

(1) Komutativita: A ÷ B = B ÷ A

(2) Asociativita: (A ÷ B) ÷ C = A ÷ (B ÷ C)

(3) Distributivita s průnikem: A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C)

(4) A ÷ A = ∅, A ÷ ∅ = ∅ ÷ A = A

DEFINICE 1.27. Nechť {A_{n}}_{n=1}^{∞} je posloupnost množin. Pak definujeme: lim sup A_{n} (limes superior) jako množinu všech prvků, které leží v nekonečně mnoha množinách A_{n} a lim inf A_{n} (limes inferior) jako množinu všech prvků, které leží ve skoro všech množinách A_{n} (tj. ve všech s výjimkou konečného počtu). Zřejmě platí lim inf A_{n} ⊆ lim sup A_{n}. Platí-li lim inf A_{n} = lim sup A_{n} =: A, pravíme, že posloupnost množin {A_{n}}_{n=1}^{∞} je konvergentní a píšeme A = lim A_{n}.

VĚTA 1.28. [TM1:V1.1.7 s.6] Platí

lim inf A_{n} = ⋃_{k=1}^{∞} ⋂_{n=k}^{∞} A_{n}

lim sup A_{n} = ⋂_{k=1}^{∞} ⋃_{n=k}^{∞} A_{n}

DŮSLEDEK 1.29. Monotonní posloupnost je konvergentní. Přitom

(1) je-li posloupnost neklesající: A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ A_{3} ⊆ …, pak

lim A_{n} = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} =: A a píšeme A_{n} ↑ A.
(2) je-li posloupnost nerostoucí: A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ A_{3} ⊇ …, pak
lim A_{n} = ⋂_{n=1}^{∞} A_{n} =: A a píšeme A_{n} ↓ A.

MOHUTNOSTI MNOŽIN A KARDINÁLNÍ ČÍSLA

\underline{DEFINICE} 1.30. Množiny A a B se nazývají ekvivalentní, píšeme A ∼ B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme také, že A a B mají stejnou mohutnost a píšeme card A = card B. Symbol a := card A pak nazýváme mohutností nebo kardinálním číslem množiny A. Jestliže existuje injekce A do B (neboli A je ekvivalentní s nějakou podmnožinou B), píšeme card A ≤ card B. Pokud přitom A a B nemají stejnou mohutnost, tj. card A ≠ card B, píšeme card A < card B.

\underline{DEFINICE} 1.31. Každá množina ekvivalentní s množinou všech přirozených čísel ℕ se nazývá spočetná.

\underline{DEFINICE} 1.32. Nekonečná množina, která není spočetná se nazývá nespočetná.

\underline{VĚTA} 1.33 ([TM1:V1.3.17 s.18] viz také dále 1.34 a 1.35). Interval [0, 1] je nespočetný.

\underline{DEFINICE} 1.34. Říkáme, že množina M je množina o mohutnosti kontinua, je-li M ∼ [0, 1].

\underline{VĚTA} 1.35 ([TM1:V1.3.18 s.18] viz také dále 1.59(2)). Každý netriviální interval (tj. interval obsahující více jak jeden prvek) má mohutnost kontinua.

\underline{Poznámka} 1.36.

(1) Pro množiny, které nejsou nekonečné, udává mohutnost počet jejich prvků:

card ∅ =: 0

card {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}} =: n

(2) Pro zápis mohutnosti nekonečných množin je používán symbol ℵ (čteme alef : písmeno A hebrejské abecedy):

A spočetná: card A =: ℵ_{0}

A o mohutnosti kontinua: card A =: ℵ.

(3) Pro zápis mohutnosti disjunktního sjednocení množin je používán symbol + nebo ∑: card (⋃_{i∈I} A_{i}) =: ∑_{i∈I} card A_{i} card (A_{1} ∪ A_{2} ∪ ⋯ ∪ A_{n}) =: card A_{1} + card A_{1} + ⋯ + card A_{n}.

(4) Pro zápis mohutnosti kartézského součinu množin je používán symbol · nebo ∏:

card ( X_{i∈I}A_{i}) =: ∏_{i∈I} card A_{i}, resp. card (A^{I}) =: (card A)^{card I},

Speciálně card (A^{∅}) =: (card A)^{0} =: 1, tj. množina všech zobrazení z prázdné množiny do A se považuje za jednoprvkovou množinu obsahující tzv. prázdné zobrazení.

card (A_{1} × A_{2} × ⋯ × A_{n}) =: card A_{1} · card A_{1} ⋯ card A_{n}, resp. card (A^{n}) =: (card A)^{n}.

VĚTA 1.37. [TM1:V1.3.2 s.14] Buď I indexová množina a {A_{i}}_{i∈I} a {B_{i}}_{i∈I} dva systémy množin takové, že A_{i} ∼ B_{i} pro každé i ∈ I. Pak platí:

(1) X_{i∈I}A_{i} ∼ X_{i∈I}B_{i}

(2) Jsou-li množiny A_{i} po dvou disjunktní a rovněž množiny B_{i} po dvou disjunktní, platí také ⋃_{i∈I} A_{i} ∼ ⋃_{i∈I} B_{i}.

DŮSLEDEK 1.38. A_{1} ∼ B_{1}, A_{2} ∼ B_{2} ⇒ A_{1} × A_{2} ∼ B_{1} × B_{2}. Jsou-li navíc jak A_{1}, A_{2} tak B_{1}, B_{2} disjunktní, platí navíc A_{1} ∪ A_{2} ∼ B_{1} ∪ B_{2}.

VĚTA 1.39. [TM1:V1.3.3 s.14] Buď dán systém množin {A_{i}}_{i∈I}, kde množiny A_{i} jsou po dvou disjunktní a A_{i} ∼ A pro každé i ∈ I. Pak ⋃_{i∈I} A_{i} ∼ I × A a ∑_{i∈I}(card A_{i}) = card I · card A.

VĚTA 1.40 ([KaSk:V4.6 s.39],[TM1:1.3.24 s.21]). Nechť A_{2} ⊆ A_{1} ⊆ A a nechť A_{2} ∼ A. Pak také A_{1} ∼ A. Neboli card A_{2} ≤ card A_{1} ≤ card A ⇒ card A_{1} = card A.

DŮSLEDEK 1.41. Nechť A, B jsou dvě množiny, z nichž každá je ekvivalentní s podmnožinou druhé. Pak A ∼ B. Zejména tedy platí: (card A ≤ card B) ∧ (card B ≤ card A) ⇔ (card A = card B).

Zejména tedy pro žádné dvě množiny A a B nemůže současně platit card A < card B a card B < card A.

Věta 1.42 (Komut. zákon pro kartézský součin [TM1:V1.3.4 s.14]). Nechť je dán systém množin {A_{i}}_{i∈I}, a_{i} := card A_{i}, a I ∼ J, kde f

je bijekce J na I. Pak X_{i∈I}A_{i} ∼ X_{j∈J}A_{f(j)} a ∏_{i∈I} a_{i} = ∏_{j∈J} a_{f(j)}.

DŮSLEDEK 1.43.

(1) Je-li f permutace množiny I, pak platí X_{i∈I}A_{i} ∼ X_{i∈I}A_{f(i)} a

∏_{i∈I} a_{i} = ∏_{i∈I} a_{f(i)}.

(2) A × B ∼ B × A a card A · card B = card B · card A.

Věta 1.44 (Asoc. zákon pro kartézský součin [TM1:V1.3.5 s.15]). Nechť je dán systém množin {A_{i}}_{i∈I}, a_{i} := card A_{i}, a I = ⋃_{k∈K} I_{k}, kde množiny I_{k} jsou po dvou disjunktní. Pak platí X_{i∈I}A_{i} ∼ X_{k∈K}( X_{i∈I_{k}}A_{i}),

∏_{i∈I} a_{i} = ∏_{k∈K}(∏_{i∈I_{k}} a_{i}).

DŮSLEDEK 1.45.

(1) Platí A × (B × C) ∼ (A × B) × C ∼ A × B × C, a·(b·c) = (a·b)·c = a·b·c, kde a, b, c značí po řadě mohutnosti množin A, B, C.

(2) Nechť I = ⋃_{k∈K} I_{k}, kde I_{k} jsou po dvou disjunktní. Pak platí A^{I} ∼ X_{k∈K}A^{I_{k}} a

(card A)^{∑_{k∈K} card I_{k}} = ∏_{k∈K}(card A)^{card I_{k}}. Zejména A^{I_{1} ∪I_{2}} ∼ A^{I_{1}} × A^{I_{2}} a card A^{card I_{1} +card I_{2}} = card A^{card I_{1}} · card A^{card I_{2}} , jsou-li I_{1} a I_{2} disjunktní.

(3) Nechť M je množina, m := card M, a nechť je dán systém množin {A_{i}}_{i∈I}, a_{i} := card A_{i}. Pak platí

( X_{i∈I}A_{i})^{M} ∼ X_{i∈I}A_{i}^{M}, (∏_{i∈I} a_{i})^{m} = ∏_{i∈I} a_{i}^{m}.

Zejména (A × B)^{M} ∼ A^{M} × B^{M}, (a · b)^{m} = a^{m} · b^{m}, kde a, b jsou po řadě mohutnosti množin A, B.

(4) Pro libovolné množiny A, M, N a jejich mohutnosti a, m, n platí A^{M×N} ∼ (A^{M})^{N}, a^{m·n} = a^{m} · a^{n}.

Věta 1.46 (Distr. zákony pro kartézský součin [TM1:V1.3.6 s.15]). Nechť I je indexová množina a J_{i} jsou indexové množiny pro každé i ∈ I. Nechť ke každé uspořádané dvojici indexů [i, j] je přiřazena množina A_{ij}. Pak platí:

X_{i∈I} ⋃_{j∈J_{i}} A_{ij} = ⋃_{γ∈K} X_{i∈I}A_{iγ(i)}
X_{i∈I} ⋂_{j∈J_{i}} A_{ij} = ⋂_{γ∈K} X_{i∈I}A_{iγ(i)}

kde K := X_{i∈I}J_{i}.

DŮSLEDEK 1.47. Platí

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

\underline{VĚTA} 1.48. [TM1:1.3.7 s.16] Buď M množina a B množina obsahující dva prvky. Označme P(M) množinu všech podmnožin množiny M (někdy se také značí poněkud nepřesně jako 2^{M}). Pak P(M) ∼ B^{M} a card (P(M)) = 2^{card M}.

\underline{VĚTA} 1.49 (Cantorova věta [KaSk:V4.14-15 s.41]). Pro každé kardinální číslo a platí 2^{a} > a.

\underline{VĚTA} 1.50. [TM1:V1.3.8 s.16] Množina A je spočetná tehdy a jen tehdy, když její prvky lze očíslovat přirozenými čísly, tj. když ji lze psát ve tvaru posloupnosti: A := {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … } = {a_{n}}_{n=1}^{∞} .

\underline{PŘÍKLAD} 1.51. Příklady spočetných množin:

• ℕ := {1, 2, 3, …, n, … } … množina přirozených čísel • {2, 4, 6, …, 2n, … } … množina sudých přirozených čísel • {1, 3, 5, …, 2n − 1, … } … množina lichých přirozených čísel • {1, 4, 9, …, n^{2}, … } … množina kvadrátů přirozených čísel • \{1, \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , …, \frac{1}{n} , … \} … množina převrácených hodnot přiro-

zených čísel

\underline{VĚTA} 1.52 (Vlastnosti spočetných množin).

(1) Každá nekonečná množina obsahuje (vlastní) spočetnou podmnožinu.

(2) Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny je spočetná.

(3) Rozdíl spočetné množiny a konečné množiny je spočetná množina (ℵ_{0} − n = ℵ_{0} pro každé n ∈ ℕ).

(4) Sjednocení spočetné množiny a konečné množiny je spočetná množina (ℵ_{0} + n = ℵ_{0} pro každé n ∈ ℕ).

(5) Sjednocení konečného počtu spočetných množin je spočetná množina (n · ℵ_{0} = ℵ_{0} pro každé n ∈ ℕ).

(6) Sjednocení spočetné množiny neprázdných po dvou disjunktních konečných množin je spočetná množina (ℵ_{0} · n = ℵ_{0} pro každé n ∈ ℕ).

(7) Kartézský součin konečného počtu spočetných množin je spočetná množina (ℵ_{0}^{n} = ℵ_{0} pro každé n ∈ ℕ).

Důkaz. [TM1:V1.3.9-V1.3.14 s.16-17]. □

\underline{DŮSLEDEK} 1.53. [TM1: s.17-18]

(1) Sjednocení spočetné množiny spočetných množin je spočetná množina.

(2) Množina všech celých i racionálních čísel je spočetná.

(3) Množina všech racionálních čísel netriviálního intervalu reálných čísel je spočetná.

(4) Množina všech bodů v rovině (v prostoru) s racionálními souřadnicemi je spočetná.

(5) Množina všech komplexních čísel s racionální reálnou i imaginární částí je spočetná.

(6) Množina všech polynomů s celými (racionálními) koeficienty je spočetná.

(7) Množina všech algebraických čísel je spočetná (algebraickým číslem rozumíme reálné číslo, které je kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty).

\underline{VĚTA} 1.54. [TM1:V1.3.15 s.18] Je-li M nekonečná a A nejvýše spočetná množina (tj. konečná nebo spočetná), pak M ∪ A ∼ M (neboli M ∪ A má stejnou mohutnost jako M).

\underline{DŮSLEDEK} 1.55. [TM1:V1.3.24 s.20] Nechť M je spočetná množina, pak P(M) má mohutnost kontinua a platí 2^{ℵ_{0}} = ℵ > ℵ_{0}.

\underline{VĚTA} 1.56. [TM1:V1.3.16 s.18] Buď M nespočetná množina a A její nejvýše spočetná podmnožina. Pak M − A ∼ M. Je-li A konečná, platí tvrzení i pro spočetnou množinu M dle 1.52(3).

\underline{DŮSLEDEK} 1.57. Množina M je nekonečná právě když obsahuje vlastní podmnožinu stejné mohutnosti jako M.

\underline{VĚTA} 1.58 (Vlastnosti množin o mohutnosti kontinua).

(1) Každá množina o mohutnosti kontinua obsahuje vlastní podmnožinu o mohutnosti kontinua [plyne z 1.57].

(2) Rozdíl množiny o mohutnosti kontinua a nejvýše spočetné množiny má mohutnost kontinua (ℵ − n = ℵ − ℵ_{0} = ℵ pro každé n ∈ ℕ) [plyne z 1.56].

(3) Sjednocení množiny o mohutnosti kontinua a nejvýše spočetné množiny je množina o mohutnosti kontinua (ℵ + n = ℵ + ℵ_{0} = ℵ pro každé n ∈ ℕ) [plyne z 1.54].

(4) Sjednocení nejvýše spočetné množiny po dvou disjunktních množin o mohutnosti kontinua má mohutnost kontinua (n·ℵ = ℵ_{0} ·ℵ = ℵ pro každé n ∈ ℕ) [TM1:V1.3.19-20 s.19].

(5) Kartézský součin spočetně mnoha dvouprvkových množin má mohutnost kontinua (ℵ = 2^{ℵ_{0}} > ℵ_{0}) [plyne z 1.55 a z 1.48].

(6) Množina všech posloupností přirozených čísel má mohutnost kontinua (ℵ_{0}^{ℵ_{0}} = ℵ) [TM1:V1.3.21 s.19].

(7) Kartézský součin nejvýše spočetně mnoha množin o mohutnosti kontinua má mohutnost kontinua (ℵ^{n} = ℵ^{ℵ_{0}} = ℵ pro každé n ∈ ℕ) [TM1:V1.3.22-23 s.20].

\underline{DŮSLEDEK} 1.59.

(1) Sjednocení nejvýše spočetné množiny množin o mohutnosti kontinua má mohutnost kontinua [plyne z 1.58(4) užitím 1.40].

(2) Každý netriviální interval i jeho nejvýše spočetná mocnina mají mohutnost kontinua [viz 1.54, 1.56 a 1.58(4)(7)]. Zejména ℝ^{n} pro každé n ∈ ℕ i ℝ^{ℕ} mají mohutnost kontinua.

(3) Množina všech iracionálních čísel má mohutnost kontinua [plyne ze (2) a z 1.58(2)] .

(4) Množina všech transcendentních čísel má mohutnost kontinua (transcendentním číslem nazýváme každé reálné číslo, které není algebraické) [plyne ze 1.53(7) a z 1.58(2)].

(5) Množina všech bodů v rovině má mohutnost kontinua [plyne ze (2)]. Zejména ℂ má také mohutnost kontinua.

(6) Buď dán systém množin {A_{i}}_{i∈I}, kde množiny A_{i} jsou po dvou disjunktní a každá z nich má mohutnost kontinua stejně jako indexová množina I. Pak ⋃_{i∈I} A_{i} má rovněž mohutnost kontinua [plyne z 1.58(7) spolu s 1.39].

(7) Kartézský součin spočetně mnoha nejvýše spočetných množin o alespoň dvou prvcích má mohutnost kontinua (n^{ℵ_{0}} = ℵ_{0}^{ℵ_{0}} = ℵ pro každé n ∈ ℕ, n ≥ 2) [plyne z 1.58(5)(6) užitím 1.40].

1.3. Číselné obory. V této kapitole shrneme základní poznatky o číselných oborech, které se nejčastěji vyskytují v matematice.

MNOŽINA PŘIROZENÝCH ČÍSEL ℕ ℕ := {1, 2, …, n, … }. Operace: sečítání +, násobení . a z něj odvozené umocňování:

n^{k} := \underbrace{n × n × ⋯ × n}_{k×}, k ∈ ℕ, n^{0} := 1.

Význačné prvky: jednotkový prvek 1 (1.n = n.1 = n ∀n ∈ ℕ) Mohutnost: card ℕ = ℵ_{0} dle 1.31 a 1.36(2).

MNOŽINA CELÝCH ČÍSEL ℤ Příklady: [Ho:neřešené §3; s.45-47] ℤ := {…, −2, −1, 0, 1, 2, …, n, … } = {−n | n ∈ ℕ} ∪ {0} ∪ ℕ. Operace: sečítání +, odečítání −, násobení . a z něj odvozené umocňování: n^{k} := \underbrace{n × n × ⋯ × n}_{k×}, k ∈ ℕ, n^{0} := 1 pro n ≠ 0.

Význačné prvky:

• jednotkový prvek 1 (1.n = n.1 = n ∀n ∈ ℤ)

• nulový prvek 0 (0 + n = n + 0 = n ∀n ∈ ℤ) Mohutnost: card ℤ = ℵ_{0} dle 1.53(2).

MNOŽINA CELÝCH ČÍSEL MODULO N: ℤ_{N} ℤ_{N} := {0, 1, …, N − 1} pro každé N ∈ ℕ. Jelikož každé celé číslo n ∈ ℤ lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru n = q.N +r (q je celá část podílu a r ∈ ℤ_{N} zbytek po dělení), můžeme zavést surjektivní zobrazení ⟨·⟩_{N} : ℤ ↠ ℤ_{N} přiřazující každému celému číslu n jeho zbytek po dělení číslem N: tzv. operace modulo. Pomocí této operace zavedeme tzv. modulární aritmetiku na ℤ_{N}. Operace:

• sečítání modulo N: a ⊕ b := a + b mod N := ⟨a + b⟩_{N},

• odečítání modulo N: a ⊖ b := a − b mod N := ⟨a − b⟩_{N},

• násobení modulo N: a ⊙ b := a.b mod N := ⟨a.b⟩_{N} a z něj odvozené umocňování modulo N:

n^{k} mod N := ⟨n^{k}⟩_{N}, k ∈ ℕ, n^{0} mod N := 1 pro n ≠ 0. Význačné prvky:

• jednotkový prvek 1 při N > 1 (1 ⊙ n = n ⊙ 1 = n ∀n ∈ ℤ_{N})

• nulový prvek 0 (0 ⊕ n = n ⊕ 0 = n ∀n ∈ ℤ_{N}) Mohutnost: card ℤ_{N} = N dle 1.36(1).

MNOŽINA RACIONÁLNÍCH ČÍSEL ℚ ℚ := \{ \frac{p}{q} | \frac{p}{q} je hodnota zlomku s čit. p a jmenov. q , p, q ∈ ℤ, q ≠ 0\}. Je-li q = 1, pak \frac{p}{q} = p a tedy ℤ ⊂ ℚ. Operace: sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení . a z něj odvozené umocňování:

r^{k} := \underbrace{r × r × ⋯ × r}_{k×}, k ∈ ℕ;

pro r ≠ 0 definujeme r^{0} := 1 a r^{−k} := (1/r)^{k}. Význačné prvky:

• jednotkový prvek 1 (1.r = r.1 = r ∀r ∈ ℚ)

• nulový prvek 0 (0 + r = r + 0 = r ∀r ∈ ℚ) Mohutnost: card ℚ = ℵ_{0} dle 1.53(2).

MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL ℝ ℝ := {r | r = d_{k} d_{k−1} … d_{0}, d_{−1} d_{−2} … je desetinné vyjádření čísla r }. Tedy r = ∑_{j=−∞}^{k} d_{j}10^{j}, k ∈ ℤ, k ≥ 0, kde d_{j} ∈ ℤ_{10} , jsou dekadické cifry vyjádření čísla r v soustavě o základu 10, tj. pro k ∈ ℕ je d_{k−1} k-tá cifra před desetinnou čárkou a d_{−k} k-tá cifra za desetinnou čárkou. Každé reálné číslo lze vyjádřit v libovolné soustavě o základu N ∈ ℕ, N ≥ 2, kdy r = ∑_{j=−∞}^{k} d_{j}N^{j}, k ∈ ℤ, k ≥ 0, kde d_{j} ∈ ℤ_{N}. V paměti počítačů se užívají soustavy o základu N = 2 (dvojková, binární, dyadická), kde cifry d_{j} ∈ {0, 1}; N = 8 (osmičková, oktalová) nebo N = 16 (šestnáctková, hexadecimální), kde cifry d_{j} ≥ 10 obvykle nahrazujeme písmeny: 10 =: A, 11 =: B, 12 =: C, 13 =: D, 14 =: E, 15 =: F.

Množina ℝ představuje zúplnění množiny ℚ v tom smyslu, že každé reálné číslo je ’limitou’ nějaké posloupnosti racionálních čísel. Například stačí vzít useknuté desetinné rozvoje ∑_{j=−m}^{k} d_{j}10^{j} = d_{k} d_{k−1} … d_{0}, d_{−1} d_{−2} … d_{−m} postupně s m = 1, 2, … místy za desetinnou čárkou, které představují racionální čísla blížící se pro m → ∞ k číslu r. Operace: sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení . a z něj odvozené umocňování

r^{k} := \underbrace{r × r × ⋯ × r}_{k×}, kde r ∈ ℝ a k ∈ ℕ;

pro r ≠ 0 definujeme r^{0} := 1 a r^{−k} := (1/r)^{k}. Pokud r > 0, lze umocňování dále rozšířit na r^{s} i pro reálný exponent s ∈ ℝ, přičemž platí r^{−s} := (1/r)^{s}. Význačné prvky:

• jednotkový prvek 1 (1.r = r.1 = r ∀r ∈ ℝ)

• nulový prvek 0 (0 + r = r + 0 = r ∀r ∈ ℝ) Mohutnost: card ℝ = ℵ dle 1.59(2).

MNOŽINA IRACIONÁLNÍCH ČÍSEL 𝕀 𝕀 := ℝ − ℚ. Mohutnost: card 𝕀 = ℵ dle 1.59(3).

MNOŽINA ALGEBRAICKÝCH ČÍSEL 𝔸 Dle 1.53(7) algebraickým číslem rozumíme každé reálné číslo a ∈ ℝ, které je kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty, tj. platí P (a) = 0, pro nějaký polynom P (x) = p_{0} + p_{1}x + ⋯ + p_{n}x^{n} stupně n ∈ ℕ, kde p_{i} ∈ ℤ ∀ i ∈ ℤ, p_{n} ≠ 0. Je ℚ ⊂ 𝔸, neboť každé racionální číslo \frac{p}{q}, q ≠ 0, je řešením lineární rovnice q.x − p = 0. Existují však další algebraická čísla: například \sqrt[n]{m} pro libovolné m, n ∈ ℕ, n > 1, je řešením rovnice x^{n} − m = 0. Zejména \sqrt{2} je algebraické číslo, které není racionální. Mohutnost: card 𝔸 = ℵ_{0} dle 1.53(7).

MNOŽINA TRANSCENDENTNÍCH ČÍSEL 𝕋 Dle 1.59(4) definujeme 𝕋 := ℝ − 𝔸 ⊂ ℝ − ℚ = 𝕀. Nejznámějšími příklady transcendentních čísel jsou čísla e := 2.718281828459 … základ tzv. přirozeného logaritmu ln a π := 3.1415926535897 … Ludolfovo číslo=délka kružnice o průměru 1. Mohutnost: card 𝕋 = ℵ dle 1.59(4).

MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL ℂ Motivací pro zavedení komplexních čísel je skutečnost, že některé polynomické rovnice P (x) = 0 s reálnými koeficienty nemají reálný kořen. Například x^{2} + 1 > 0 pro každé x ∈ ℝ. Jestliže označíme speciálním symbolem i := \sqrt{−1} nazývaným imaginární jednotka, pak i^{2} = −1 můžeme považovat za řešení odpovídající rovnice x^{2} + 1 = 0 (někdy místo i se používá symbol j). Zavedeme-li množinu tzv. komplexních čísel jako množinu formálních součtů reálných čísel s reálnými násobky imaginární jednotky, tj. ℂ := {a + i.b | a ∈ ℝ, b ∈ ℝ}, pak se dá ukázat, že uvedený problém bude odstraněn: každý polynom stupně n s komplexními koeficienty bude mít právě n kořenů. To odpovídá zkušenosti z reálného oboru s rovnicí x^{2} − 1, která má dva kořeny −1 a 1. V rozšířeném oboru komplexních čísel ℂ pak podobně rovnice x^{2} + 1 má dva kořeny −i a i. Značení: Je-li c = a + i.b komplexní číslo, pak značí Re c := a … reálnou část c Im c := b … imaginární část c |c| := \sqrt{a^{2} + b^{2}} … velikost (absolutní hodnotu, modul) c α := arctan( \frac{b}{a}), 0 ≤ α < 2π … argument c \overline{c} := a − i.b … číslo komplexně sdružené k c (zřejmě c.\overline{c} = |c|^{2}).

Zřejmě ℂ ∼ {[a, b] | a ∈ ℝ, b ∈ ℝ} = ℝ^{2}, takže každé komplexní číslo a + i.b můžeme znázornit jako bod v kartézské rovině o souřadnicích a, b. Tato rovina se pak nazývá komplexní rovina.

Dostáváme tak tři základní tvary pro vyjádření komplexního čísla:

• kartézský: c = a + i.b

• goniometrický: c = A(cos α + i sin α), který odpovídá přechodu k polárním souřadnicím: a = A cos α, b = A sin α.

• Eulerův: c := Ae^{iα}, kde e^{iα} := cos α + i sin α je komplexní číslo na jednotkové kružnici v komplexní rovině. ℝ = {c ∈ ℂ | Im c = 0} ⊂ ℂ, přičemž operace z ℝ rozšíříme formálně na ℂ za užití vlastnosti i^{2} = −1 při operacích násobení a dělení. Operace sečítání (odečítání) se provádí po složkách jako s vektory v rovině. Tyto výpočty pak formálně usnadňuje Eulerův zápis. Odtud dostáváme s uvážením \frac{1}{i} = \frac{i}{i.i} = −i:

i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = −1, i^{3} = −i, i^{4} = 1, obecně: i^{4n+k} = i^{k} ∀n, k ∈ ℤ.

Operace (podrobněji viz přílohu A): sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení . a z něj odvozené umocňování (resp. odmocňování)

c^{k} := \underbrace{c × c × ⋯ × c}_{k×}, kde c ∈ ℂ a k ∈ ℕ;

pro c ≠ 0 lze umocňování dále rozšířit na c^{s} i pro komplexní exponent s ∈ ℂ, přičemž platí c^{−s} := (1/c)^{s}. Význačné prvky:

• jednotkový prvek 1 := 1 + i.0 (1.c = c.1 = c ∀c ∈ ℂ)

• nulový prvek 0 := 0 + i.0 (0 + c = c + 0 = c ∀r ∈ ℝ). Mohutnost: card ℂ = ℵ dle 1.59(5).

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE TEORIE MNOŽIN množina, prázdná množina ♦ set, empty set (vlastní) podmnožina, nadmnožina ♦ (proper) subset, superset zobrazení, prosté, inverzní ♦ mapping, injective, inverse surjektivní (na), bijektivní ♦ surjective (onto), bijective permutace ♦ permutation obraz, úplný vzor ♦ image, preimage (inverse image) posloupnost ♦ sequence sjednocení, průnik ♦ union, intersection (kartézský) součin, mocnina ♦ (cartesian) product, power disjunktní, po dvou disjunktní ♦ disjoint, pairwise disjoint rozdíl, symetrická diference ♦ difference, symmetric difference monotonní, konvergentní ♦ monotone, convergent mohutnost, kardinální číslo ♦ cardinality, cardinal number spočetný, nespočetný ♦ countable, uncountable mohutnost kontinua ♦ continuum power konečný, nekonečný ♦ finite, infinite množina všech podmnožin ♦ power set číslo, reálné, komplexní♦ mumber, real, complex celé, racionální, iracionální ♦ integer, rational, irrational algebraické, transcendentní ♦ algebraic, transcendental komplexně sdružené číslo ♦ complex conjugate number \underline{MATLAB} logical … transformace čísla na logický typ: a ≠ 0 ⇒ logical(a)=true (platí), logical(0)=false (neplatí) mod … operace modulo: mod(n,N) = ⟨n⟩_{N}. i,j … imaginární jednotka. Logické operátory: ∼A (negace A), A & B (konjunkce), A | B (disjunkce), xor(A,B)… buď a nebo. Ostatní logické operátory se z nich složí pomocí ekvivalentních logických formulí (viz 1.1). Zápisy množin: například {a1,a2,a3} nebo [a1,a2,a3] … řádková verze. Jako oddělovač lze užít i středník (sloupcová verze). Množinové operace: ismember(A,B) … testuje příslušnost prvků z A v B unique(A) … odstraní z A duplicitní prvky union(A,B) … sjednocení množin A a B intersect(A,B) … průnik množin A a B setdiff(A,B) … rozdíl množin A a B setxor(A,B) … symetrická diference množin A a B Ostatní operace lze vytvořit (simulovat) pomocí vhodných složených výrazů.

2. Algebraické struktury

Teorie a příklady: [KaSk: s.26-36,44-53] Příklady: [Ho:řešené č.5,6,11-15; s.8,9,13-16], [Ho:neřešené kap.1,§4-7,kap.2 s.47-80]

\underline{MOTIVACE} V reálném světě se objekty zařazované do množin často vyznačují specifickými vlastnostmi: můžeme je dávat do nejrůznějších souvislostí (relací) – např. je porovnávat, vybírat mezi nimi jisté význačné prvky se specifickou rolí, provádět různé operace, měřit velikost či vzdálenost, nebo u některých podmnožin jejich délku, plochu, objem, hmotnost apod. Nejnázornějším motivačním příkladem může sloužit v tomto směru množina reálných čísel ℝ. Její prvky lze porovnávat (relace uspořádání), sečítat či násobit, roli význačných prvků hraje 0 a 1, velikost a vzdálenost měříme absolutní hodnotou, intervaly jsou specifické podmnožiny, jimž lze přiřadit délku apod. Algebraické struktury představují abstraktní konstrukci umožňující přenášet vybrané strukturní vlastnosti reálné přímky i na množiny sice s jinými prvky ale podobného charakteru. Nepřeneseme-li vlastnosti všechny, ale jen některé, část strukturních rysů reálné přímky ztratíme, některé však zůstanou zachovány. Cílem této (ale i následující) kapitoly je podat přehled nejčastěji používaných matematických struktur a jejich základních vlastností.

\underline{DEFINICE} 2.1. V širším smyslu (algebraickou) strukturou rozumíme uspořádanou dvojici (N, S), kde N ≠ ∅ je samotná množina, tzv. nosič algebraické struktury, a S systém množin popisující její strukturu (množina relací, operací, význačných prvků, specifických podmnožin apod.). Jestliže například S = {+, ∘, 1}, píšeme také (N, +, ∘, 1) místo (N, {+, ∘, 1}).

\underline{DEFINICE} 2.2. Jsou-li (N_{1}, S_{1}) a (N_{2}, S_{2}) dvě algebraické struktury téhož typu^{1} a f : N_{1} → N_{2} zobrazení přenášející konzistentně^{1} strukturu S_{1} do S_{2}, pak říkáme, že zobrazení f zachovává strukturu na (N_{1}, S_{1}) a f nazýváme homomorfizmem (N_{1}, S_{1}) do (N_{2}, S_{2}); píšeme f : (N_{1}, S_{1}) → (N_{2}, S_{2}). Homomorfizmus (N, S) do (N, S) se nazývá endomorfizmus struktury (N, S). Bijektivní homomorfizmus se nazývá izomorfizmus, jestliže f^{−1} : (N_{2}, S_{2}) → (N_{1}, S_{1}) je rovněž homomorfizmem. V takovém případě píšeme (N_{1}, S_{1}) ≃ (N_{2}, S_{2}).

2.1. RELACE A OPERACE.

\underline{DEFINICE} 2.3. Buďte M_{1}, M_{2}, …, M_{n}, n ∈ ℕ, neprázdné množiny, pak každou podmnožinu ρ ⊆ M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n} nazýváme n-ární relací mezi množinami M_{1}, M_{2}, …, M_{n} (pro n = 1 unární, pro n = 2 binární, pro n = 3 ternární atd.). Je-li M_{1} = M_{2} = … M_{n} =: M, pak ρ ⊆ M^{n} nazýváme n-ární relací na množině M. Řekneme pak, že (M, ρ) je množina s relací. V případě binární relace se obvykle místo [x, y] ∈ ρ píše x ρ y a říká se, že prvek x je v relaci ρ s prvkem y. Podobně píšeme x \overline{ρ} y nebo x nonρ y, jestliže tomu tak není.

\underline{DEFINICE} 2.4. Buďte M a M_{1}, M_{2}, …, M_{n}, n ∈ \{0\} ∪ ℕ, neprázdné množiny, pak zobrazení f : M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n} → M nazýváme funkcí n proměnných na M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n}. Je-li M_{1} = M_{2} = … M_{n} =: M, pak f : M^{n} → M nazýváme n-ární operací na množině M (pro n = 0 nulární, pro n = 1 unární, pro n = 2 binární, pro n = 3 ternární atd.). Řekneme pak, že (M, f) je množina s operací. Píšeme obvykle místo f([x_{1}, …, x_{n}]) zjednodušeně f(x_{1}, …, x_{n}). V případě binární operace se obvykle místo y = f(x_{1}, x_{2}) píše y = x f y, pokud f reprezentuje vhodný operátor (např. + pro operaci sečítání).

1Přesný význam určuje každá konkrétní struktura — viz dále

\underline{Poznámka} 2.5. Někdy také relaci ztotožňujeme s její charakteristickou funkcí (viz 1.5) a v souladu s 2.4 píšeme ρ(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 1, resp. ρ(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = 0, jestliže prvky x_{i} ∈ M_{i} (i = 1, 2, …, n) jsou, resp. nejsou v relaci ρ. Každá unární relace na M koresponduje s nějakou podmnožinou v M. Relační struktury představují základní aparát konstrukce tzv. relačních databázových systémů, kde jsou dle potřeby do vzájemného vztahu dávány informace uložené v databázi.

\underline{Poznámka} 2.6.

(1) Pro danou funkci n proměnných můžeme zavést (n + 1)-ární relaci ρ_{f} ⊆ M_{1} × ⋯ × M_{n} × M takto: ρ_{f} (x_{1}, …, x_{n}, y) = 1 právě když y = f(x_{1}, …, x_{n}). Zřejmě ρ_{f} pak můžeme považovat za graf funkce f. Obvykle však neděláme rozdíl mezi funkcí a jejím grafem. Z definice zobrazení naopak plyne, že daná (n+1)-ární relace ρ ⊆ M_{1} × ⋯ × M_{n} × M může být grafem nejaké funkce n proměnných M_{1} × M_{2} × ⋯ × M_{n} do M právě když má tuto vlastnost: pro každou uspořádanou n-tici x_{1} ∈ M_{1}, …, x_{n} ∈ M_{n} existuje jediné y ∈ M : ρ(x_{1}, …, x_{n}, y) = 1. Funkční hodnotou je pak právě tento prvek y.

(2) Zvláštní roli hraje nulární operace na M. Podle 1.36(4) ji totiž můžeme považovat za zobrazení M^{∅} → M, tj. za zobrazení, které prázdnému zobrazení přiřazuje nějaký význačný prvek z M. Opět nerozlišujeme mezi význačným prvkem a nulární operací, která jej vybrala: strukturu s jedním význačným prvkem pak zapisujeme například takto: (ℝ, 1).

Pokud nebude řečeno jinak, budeme nadále ve zbytku této kapitoly uvažovat algebraické struktury (M, S), kde S obsahuje pouze relace a operace.

\underline{DEFINICE} 2.7. Binární relace na M se nazývá:

a) reflexivní, když a ρ a pro každé a ∈ M;

b) areflexivní, když a \overline{ρ} a pro každé a ∈ M;

c) symetrická, když a ρ b ⇒ b ρ a pro libovolné a, b ∈ M;

d) asymetrická, když a ρ b ⇒ b \overline{ρ} a pro libovolné a, b ∈ M;

e) antisymetrická, když a ρ b, b ρ a ⇒ a = b pro libovolné a, b ∈ M;

f) tranzitivní, když a ρ b, b ρ c ⇒ a ρ c pro libovolné a, b, c ∈ M;

g) atranzitivní a ρ b, b ρ c ⇒ a \overline{ρ} c pro libovolné a, b, c ∈ M;

h) antitranzitivní, když a ρ b, b ρ c, a ρ c ⇒ (a = b) ∨ (b = c) ∨ (a = c) pro libovolné a, b, c ∈ M;

i) úplná, když pro každé a, b ∈ M platí a ρ b nebo b ρ a.

\underline{DEFINICE} 2.8. Binární operace ∘ na M se nazývá:

a) asociativní, když a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c pro libovolné a, b, c ∈ M;

b) komutativní, když a ∘ b = b ∘ a pro libovolné a, b ∈ M; Význačný prvek e ∈ M se nazývá neutrálním prvkem binární operace ∘, jestliže a ∘ e = e ∘ a = a pro každé a ∈ M;

Definice 2.9. Řekneme, že dvě algebraické struktury (M_{1}, S_{1}) a (M_{2}, S_{2}) jsou téhož typu, jestliže existuje bijekce S_{1} na S_{2} přiřazující každé relaci (operaci) z S_{1} odpovídající relaci (operaci) v S_{2} téže arity.

Definice 2.10. Pro dvě algebraické struktury (M_{1}, S_{1}) a (M_{2}, S_{2}) téhož typu považujeme ve smyslu definice 2.2 za homomorfizmus (M_{1}, S_{1}) do (M_{2}, S_{2}) každé zobrazení f : M_{1} → M_{2} s těmito vlastnostmi:

(1) pro každou relaci ρ_{1} ∈ S_{1} a odpovídající relaci ρ_{2} ∈ S_{2} téže arity n platí: ρ_{1}(x_{1}, …, x_{n}) = 1 ⇒ ρ_{2}(f(x_{1}), …, f(x_{n})) = 1;

(2) pro každou operaci ω_{1} ∈ S_{1} a odpovídající operaci ω_{2} ∈ S_{2} téže arity n platí: f(ω_{1}(x_{1}, …, x_{n})) = ω_{2}(f(x_{1}), …, f(x_{n})).

Zejména f zobrazí každý význačný prvek v (M_{1}, S_{1}) na odpovídající význačný prvek v (M_{2}, S_{2}). Zřejmě složení dvou homomorfizmů je opět homomorfizmus (viz též dále konec poznámky 2.61).

Definice 2.11 (Přímý součin algebraických struktur). Nechť {(M_{i}, S_{i})}_{i∈I} je systém algebraických struktur téhož typu: S_{i} = {ρ_{ij}}_{j∈J}, kde ρ_{ij} je pro každé i ∈ I buď operace nebo relace téže arity n_{j}. Algebraickou strukturu (M, S) nazveme přímým součinem algebraických struktur (M_{i}, S_{i}), jestliže M = X_{i∈I}M_{i}, kde

S := {ρ_{j}}_{j∈J} obsahuje relace (operace) definované po složkách: nechť φ, φ_{k} ∈ M pro k = 1, …, n_{j} a j ∈ J, pak

(1) jsou-li ρ_{ij} relace pro každé i ∈ I, definujeme j-tou relaci takto: ρ_{j}(φ_{1}, …, φ_{n_{j}}) = 1 právě když ρ_{ij}(φ_{1}(i), …, φ_{n_{j}} (i)) = 1 pro všechna i ∈ I;

(2) jsou-li ρ_{ij} operace pro každé i ∈ I, definujeme j-tou operaci takto: ρ_{j}(φ_{1}, …, φ_{n_{j}})(i) := ρ_{ij}(φ_{1}(i), …, φ_{n_{j}} (i)) pro každé i ∈ I.

Značíme také S =: X_{i∈I}S_{i}, případně (M, S) =: X_{i∈I}(M_{i}, S_{i}).

Je-li I konečná, například I = {1, 2, …, q}, pak také explicitně: S =: S_{1}×S_{2}×⋯×S_{q} a (M, S) =: (M_{1}, S_{1})×(M_{2}, S_{2})×⋯×(M_{q}, S_{q}).

Definice 2.12 (Algebraické podstruktury). Nechť (M, S) a (M′, S′) jsou algebraické struktury téhož typu: S = {ρ_{j}}_{j∈J} a S′ = {ρ′_{j}}_{j∈J}, kde ρ_{j} a ρ′_{j} jsou pro každé j ∈ J buď operacemi nebo relacemi téže arity n_{j}. Řekneme, že (M′, S′) je algebraickou podstrukturou algebraické struktury (M, S), jestliže M′ ⊆ M a pro každé j ∈ J a x_{1}, …, x_{n_{j}} ∈ M′ platí:

(1) jsou-li ρ_{j} a ρ′_{j} relace, pak ρ′_{j}(x_{1}, …, x_{n_{j}}) = 1 právě když ρ_{j}(x_{1}, …, x_{n_{j}}) = 1, neboli

ρ′_{j} = M^{′n_{j}} ∩ ρ_{j};
(2) jsou-li ρ_{j} a ρ′_{j} operace, pak
x := ρ_{j}(x_{1}, …, x_{n_{j}}) ∈ M′ a ρ′_{j}(x_{1}, …, x_{n_{j}}) = x.

Říkáme také, že podmnožina M′ ⊆ M je uzavřená vzhledem ke struktuře S a píšeme (M′, S′) ⊆ (M, S) nebo jen M′ ⊆ M. Zejména M′ musí obsahovat všechny význačné prvky z M.

Definice 2.13 (Generátory). Nechť (M, S) je algebraická struktura a G ⊆ M nějaká její podmnožina. Jestliže existuje nejmenší^{2} podmnožina M^{∗} ⊆ M obsahující G (tj. G ⊆ M^{∗}) taková, že (M^{∗}, S) je podstrukturou v (M, S), pak G nazýváme množinou generátorů struktury (M^{∗}, S) nebo také říkáme, že struktura (M^{∗}, S) je generována svou podmnožinou G a píšeme M^{∗} = S(G) (zde S vystupuje spíše v roli symbolu pro struktury téhož typu).

Příklad 2.14. (ℕ, +) je algebraická podstruktura v (ℤ, +) generovaná jednoprvkovou podmnožinou G = {1} ⊆ ℤ.

\underline{Poznámka} 2.15. Binární relace či operace na konečných množinách nevelkého rozsahu lze zadat tabulkou (viz [KaSk:obr.8,15 s.26,45]). Binární relace je také možno znázornit graficky ([KaSk:obr.9 s.27]). V dalších odstavcích této kapitoly se již zaměříme na speciální případy jednoduchých struktur, které spolu s příklady budou dobře ilustrovat obecnou koncepci, kterou jsme zavedli v tomto odstavci.

2.2. USPOŘÁDANÉ MNOŽINY.

\underline{DEFINICE} 2.16. Binární relace ρ na M se nazývá (částečné) uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Nazývá se úplné uspořádání nebo také lineární uspořádání, je-li navíc úplná. Algebraická struktura (M, ρ) se pak nazývá (částečně, příp. lineárně) uspořádaná množina. Relace uspořádání se obvykle značí symbolem ≤ nebo ⪯ a pod. Píšeme pak (M, ≤) nebo (M, ⪯) a pod.

2(M′, S) ⊆ (M, S), G ⊆ M′ ⇒ (M^{∗}, S) ⊆ (M′, S) … viz dále 2.20

\underline{PŘÍKLAD} 2.17. Lineárně uspořádané množiny: (ℕ, ≤), (ℤ, ≤), (ℚ, ≤) a (ℝ, ≤) s obvyklým uspořádáním. Částečně uspořádané množiny, které nejsou lineárně uspořádány: (ℕ, |), kde n|m značí, že n je dělitelem m; (𝒫(M), ⊆);

\underline{Poznámka} 2.18. Uspořádané množiny lze graficky znázornit pomocí tzv. Hasseova diagramu (viz [KaSk:obr.11,12 s.28-29]).

\underline{VĚTA} 2.19. [TM1:V1.2.1 s.9] Nechť ≤ je uspořádání na M. Definujme na M relaci < takto: a < b ⇔ (a ≤ b) ∧ (a ≠ b). Pak < je relace areflexivní a tranzitivní. Naopak, je-li < areflexivní a tranzitivní relace na M a definujeme-li a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b), pak ≤ je uspořádání na M.

\underline{DEFINICE} 2.20. Buď (M, ≤) uspořádaná množina. Prvek a ∈ M se nazývá nejmenší, resp. největší prvek v M, platí-li x ≥ a, resp. x ≤ a pro každé x ∈ M. Prvek a ∈ M se nazývá minimální, resp. maximální prvek v M, jestliže pro žádné x ∈ M neplatí x < a, resp. x > a.

Definice 2.21. Nechť (M, ≤) je uspořádaná množina. Pro prvky a, b ∈ M řekneme, že b pokrývá a, jestliže a < b a neexistuje c ∈ M tak, že a < c < b.

Věta 2.22. [TM1: s.9] Nechť (M, ≤) je konečná uspořádaná množina. Pak platí a < b ⇔ existuje konečný počet prvků a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = b tak, že t_{i} pokrývá t_{i−1} pro každé i = 1, …, n.

\underline{VĚTA} 2.23. [KaSk:V3.1 s.28]

(1) Libovolná uspořádaná množina má nejvýše jeden nejmenší a nejvýše jeden největší prvek.

(2) Má-li uspořádaná množina nejmenší, resp. největší prvek, pak tento prvek je zároveň jejím jediným minimálním, resp. maximálním prvkem.

(3) V úplně uspořádané množině existuje nejvýše jeden minimální, resp. maximální prvek, který je zároveň jejím nejmenším, resp. největším prvkem.

(4) Každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden minimální a alespoň jeden maximální prvek.

\underline{DEFINICE} 2.24. Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N ⊆ M. Prvek a ∈ M se nazývá dolní, resp. horní závora (hranice) podmnožiny N (v M), platí-li x ≥ a, resp. x ≤ a pro každé x ∈ N.

\underline{DEFINICE} 2.25. Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N ⊆ M. Prvek a ∈ M se nazývá největší dolní závora, resp. nejmenší horní závora neboli infimum, resp. supremum množiny N (v M), platí-li:

(1) a je dolní, resp. horní závora N,

(2) pro každou dolní, resp. horní závoru t množiny N platí t ≤ a,

resp. t ≥ a. Pak píšeme a = inf N, resp. a = sup M.

DEFINICE 2.26 (srov. s 1.27 a s 1.28). Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N := {a_{n}}_{n=1}^{∞} posloupnost jejích prvků. Pokud existuje b_{k}^{−} := inf{a_{n}}_{n=k}^{∞} pro každé k ∈ ℕ i a^{−} := sup_{k∈ℕ} b_{k}^{−}, pak a^{−} nazýváme limes inferior posloupnosti {a_{n}} a píšeme a^{−} = lim inf a_{n}. Analogicky duálně: pokud existuje b_{k}^{+} := sup{a_{n}}_{n=k}^{∞} pro každé k ∈ ℕ i a^{+} := inf_{k∈ℕ} b_{k}^{+} , pak a^{+} nazýváme limes superior posloupnosti {a_{n}} a píšeme a^{+} = lim sup a_{n}. Pokud existuje a^{−} i a^{+} , pak platí lim inf a_{n} ≤ lim sup a_{n} (CVIČENÍ). Platí-li rovnost, pak jejich společnou hodnotu a := a^{−} = a^{+} nazýváme limitou posloupnosti {a_{n}}_{n∈ℕ} a píšeme a = lim a_{n}. Říkáme také, že posloupnost {a_{n}}_{n=1}^{∞} konverguje k a.

VĚTA 2.27.

(1) Je-li posloupnost neklesající, a_{1} ≤ a_{2} ≤ a_{3} ≤ …, a existuje

a := sup a_{n}, pak lim a_{n} = a a píšeme také a_{n} ↑ a.

(2) je-li posloupnost nerostoucí, a_{1} ≥ a_{2} ≥ a_{3} ≥ …, a existuje

a := inf a_{n}, pak lim a_{n} = a a píšeme také a_{n} ↓ a.

\underline{DEFINICE} 2.28 (viz 2.2). Buďte (M, ≤) a (N, ⪯) uspořádané množiny. Zobrazení f : M → N se nazývá homomorfizmus nebo také monotonní zobrazení, jestliže pro libovolné prvky x, y ∈ M, x ≤ y, platí f(x) ⪯ f(y). V souladu s 2.2 píšeme f : (M, ≤) → (N, ⪯). Zobrazení f se nazývá izomorfismus, jestliže navíc rovněž f^{−1} : N → M je homomorfizmem, neboli pro libovolné prvky x, y ∈ M platí x ≤ y ⇔ f(x) ⪯ f(y).

Věta 2.29 ([TM1:V1.2.4 s.10]). Buďte (M, ≤) a (N, ⪯) uspořádané množiny a f : (M, ≤) → (N, ⪯) izomorfizmus. Nechť P ⊆ M je nějaká podmnožina. Pak inf P, resp. sup P existuje v M právě když existuje inf f(P), resp. sup f(P) v N. V takovém případě platí f(inf P) = inf f(P), resp. f(sup P) = sup f(P).

Důsledek 2.30. Nechť v předchozí větě P = {a_{n}}_{n=1}^{∞} je posloupnost. Pak lim inf a_{n}, resp. lim sup a_{n} existuje v M právě když existuje lim inf f(a_{n}), resp. lim sup f(a_{n}) v N. V takovém případě platí f(lim inf a_{n}) = lim inf f(a_{n}), resp. f(lim sup a_{n}) = lim sup f(a_{n}).

\underline{VĚTA} 2.31 (Přímý součin uspořádaných množin – viz 2.11(1)). Nechť (M, ≤) a (N, ≤) jsou dvě uspořádané množiny a (M × N, ≤) jejich přímý součin. Buďte [m_{1}, n_{1}], [m_{2}, n_{2}] ∈ M × N dva prvky, pak [m_{1}, n_{1}] ≤ [m_{2}, n_{2}] ⇔ (m_{1} ≤ m_{2}) ∧ (n_{1} ≤ n_{2}). Analogicky (po složkách) uspořádáme prvky přímého součinu konečně mnoha uspořádaných množin či libovolného systému takových množin.

2.3. EKVIVALENCE A KONGRUENCE.

\underline{DEFINICE} 2.32. Binární relace ρ na množině M se nazývá ekvivalencí na této množině, jestliže je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obvykle se značí symboly ∼, ≡ nebo ≃ a pod. Píšeme pak (M, ∼),(M, ≡) nebo (M, ≃) a pod. Množinu všech ekvivalencí na M budeme dále značit E(M). Tato množina je uspořádána inkluzí ⊆ neboli pro ekvivalence ρ, σ ∈ E(M) je ρ ⊆ σ ⇔ [xρy ⇒ xσy].

\underline{DEFINICE} 2.33. Buď M neprázdná množina. Rozkladem \overline{M} na množině M rozumíme neprázdný systém po dvou disjunktních neprázdných podmnožin \overline{M} := \{M_{i}\}_{i∈I} množiny M, jejichž sjednocením je celá množina M. Prvky \overline{M} se nazývají třídy tohoto rozkladu. Vybereme-li z každé třídy M_{i} nějaký prvek m_{i}, pak m_{i} se nazývá reprezentantem třídy M_{i} a množina všech reprezentantů {m_{i} | i ∈ I} se nazývá systém reprezentantů rozkladu \overline{M}. Přiřadíme-li každému prvku m ∈ M (jednoznačně určenou) třídu rozkladu \overline{m}, do níž m patří, pak toto zobrazení (pruh nahoře) je surjekcí M na \overline{M} a nazývá se kanonickým zobrazením rozkladu \overline{M}. Jeho restrikce na systém reprezenantů je pak bijekce na \overline{M}.

\underline{VĚTA} 2.34 ([KaSk:V3.2 s.31]). Buď \overline{M} rozklad na množině M. Definujme relaci ρ na M takto: xρy ⇔ existuje třída \overline{m} ∈ \overline{M} tak, že x ∈ \overline{m}, y ∈ \overline{m}. Pak ρ je ekvivalence na M.

\underline{VĚTA} 2.35 ([KaSk:V3.3 s.31]). Buď ρ ekvivalence na množině M. Pak existuje jediný rozklad \overline{M}na M takový, že pro x, y ∈ M platí xρy ⇔ existuje třída \overline{m} ∈ \overline{M} tak, že x ∈ \overline{m}, y ∈ \overline{m}.

\underline{DEFINICE} 2.36. Rozklad \overline{M} příslušný k ekvivalenci ρ na M popsaný v předchozí větě značíme \overline{M} =: M/ρ. Označme R(M) množinu všech rozkladů na množině M.

Definice 2.37. Buďte \overline{M}, M̃ ∈ R(M). Pravíme, že \overline{M} je jemnější než M̃, neboli M̃ je hrubší než \overline{M}, když ke každé třídě \overline{m} ∈ \overline{M} existuje třída m̃ ∈ M̃ tak, že m̃ ⊆ \overline{m}. Píšeme \overline{M} ≤ M̃. Snadno nahlédneme, že ≤ je uspořádání na R(M).

Věta 2.38. Buď M neprázdná množina a pro libovolné Θ ∈ E(M) položme f(Θ) := M/Θ. Pak f je izomorfismus (E(M), ⊆) na (R(M), ≤).

\underline{VĚTA} 2.39. Nechť M, N jsou neprázdné množiny a f : M → N zobrazení. Definujme na M relaci ∼^{f} takto: x ∼^{f} y ⇔ f(x) = f(y). Pak ∼^{f} je ekvivalence na M a třídy rozkladu M/∼^{f} jsou právě úplné vzory všech prvků z f(M), tj. M/∼^{f} = {f^{−1}({n}) | n ∈ f(M)}. Zejména dostáváme bijekci (jednojednoznačnou korespondenci) mezi třídami rozkladu, jejich reprezentanty a obrazem f(M) množiny M v N.

\underline{DEFINICE} 2.40. Rozklad M/∼^{f} z předchozí věty se nazývá kanonický rozklad příslušný k zobrazení f.

Důsledek 2.41. Nechť M, N, P jsou neprázdné množiny a f : M → N a g : N → P dvě zobrazení. Označíme-li gf : M → P složené zobrazení, pak ∼^{f}⊆∼^{gf} a tedy kanonický rozklad příslušný k f je vždy jemnější než kanonický rozklad příslušný ke složenému zobrazení gf.

DEFINICE 2.42. Buď dána algebraická struktura (M, S) a nějaká ekvivalence ∼ na M. Řekneme, že ∼ je kongruencí na struktuře (M, S), jestliže pro každou n-ární operaci ω na M, ω ∈ S, platí:

(1) a_{1} ∼ b_{1}, …, a_{n} ∼ b_{n} ⇒ ω(a_{1}, …, a_{n}) ∼ ω(b_{1}, …, b_{n}). Na \overline{M} := M/∼ lze pak zavést strukturu \overline{S} stejného typu jako S takto:

(i) pro každou relaci ρ ∈ S n-ární definujeme \overline{ρ} ∈ \overline{S} téže arity: \overline{ρ}(\overline{a}_{1}, …, \overline{a}_{n}) := 1 právě když pro nějaký výběr reprezentantů a_{1}, …, a_{n} je ρ(a_{1}, …, a_{n}) = 1;

(ii) pro každou operaci ω ∈ S n-ární definujeme \overline{ω} ∈ \overline{S} téže arity takto:

a) n = 0: význačným prvkem \overline{ω} je třída obsahující význačný prvek ω,

b) n > 0: \overline{ω}(\overline{a}_{1}, …, \overline{a}_{n}) := \overline{ω(a_{1}, …, a_{n})} pro nějaký výběr reprezentantů a_{1}, …, a_{n} (dle (1) na výběru nezáleží).

Strukturu (\overline{M}, \overline{S}) pak značíme (M, S)/∼ a nazýváme ji faktorovou (podílovou) strukturou struktury (M, S) vzhledem ke kongruenci ∼.

VĚTA 2.43. Buď dána algebraická struktura (M, S) a nějaká kongruence ∼ na M. Pak příslušné kanonické zobrazení je homomorfizmus (M, S) na (\overline{M}, \overline{S}). Je-li naopak f : (M, S) → (N, S′) nějaký homomorfizmus, pak ∼^{f} v příslušném kanonickém rozkladu \overline{M} := M/∼^{f} je kongruence na (M, S). Přitom (f(M), S′) je podstruktura v (N, S′) izomorfní s (\overline{M}, \overline{S}).

2.4. STRUKTURY S JEDNOU BINÁRNÍ OPERACÍ.

\underline{DEFINICE} 2.44. Algebraická struktura (M, ∘) s jednou binární operací ∘ se nazývá grupoid. Grupoid (M, ∘), v němž platí asociativní zákon se nazývá pologrupa. Každá pologrupa, v níž existuje neutrální prvek e se nazývá monoid — píšeme (M, ∘, e). Je-li operace ∘ multiplikativního typu (například ·, ∗), pak hovoříme o multiplikativním grupoidu (pologrupě, monoidu). Je-li aditivního typu (například +, −), hovoříme o aditivním grupoidu (pologrupě, monoidu). Neutrální prvek e multiplikativního, resp. aditivního grupoidu se obvykle nazývá jeho jednotkovým, resp. nulovým prvkem a místo e se značí 1, resp. 0. Grupoid (pologrupa, monoid) se nazývá komutativní, jestliže operace ∘ je komutativní.

\underline{PŘÍKLAD} 2.45. Nechť S je množina nějakých symbolů, například 26 malých písmen abecedy spolu se znakem nahrazujícím mezeru: S = {a, b, …, z, }. Označme S^{∗} množinu všech konečných řetězců (posloupností) znaků z S včetně prázdného řetězce, tj. S^{∗} = {′s_{1}s_{2} … s_{n}′ | s_{i} ∈ S pro i = 1, …, n; n ∈ ℕ} ∪ {′′}. Nechť (S^{∗}, ∘,′′) je algebraická struktura, kde ∘ je operace skládání řetězců (konkatenace), tj. například definujeme ’auto ’∘’jede’:=’auto jede’. Pak (S^{∗}, ∘,′′) je zřejmě nekomutativní monoid, jehož neutrálním prvkem je prázdný řetězec ′′.

\underline{VĚTA} 2.46 (Obecný asoc. zákon [AG1: s.12],[KaSk:V5.1 s.46]). Nechť (M, ∘) je pologrupa a a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ M. Potom všechny možné součiny vytvořené všemi možnými uzávorkováními posloupnosti {a_{i}}_{i=1}^{n} jsou rovny jednomu a témuž prvku.

\underline{VĚTA} 2.47 ([AG1: s.12]). Každý grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.

\underline{DEFINICE} 2.48. Nechť (M, ∘) je grupoid s neutrálním prvkem e. Nechť dále a ∈ M a nechť pro jisté b ∈ M platí a ∘ b = b ∘ a = e. Potom b se nazývá inverzní prvek k a a značí se a^{−1}. V aditivním grupoidu se obvykle nazývá prvkem opačným k a a značí se −a.

\underline{DEFINICE} 2.49. Nechť grupoid (M, ∘) má tyto vlastnosti: (1) Operace ∘ je asociativní (neboli (M, ∘) je pologrupa).

(2) Existuje jednotkový prvek e (neboli (M, ∘) je dokonce monoid).

(3) Ke každému prvku a ∈ M existuje inverzní prvek a^{−1}. Potom algebraická struktura (M, ∘, e)^{3} se nazývá grupa: multiplikativní, resp. aditivní dle typu operace. Je-li operace ∘ navíc komutativní, pak grupa (M, ∘, e) se nazývá komutativní grupa nebo také abelovská grupa.

\underline{VĚTA} 2.50 ([AG1: s.12],[KaSk:V5.11 s.50]). Nechť (M, ∘, e) je grupa. Potom pro každé a je a^{−1} určeno jednoznačně, tj. každý prvek má právě jeden inverzní prvek.

PŘÍKLAD 2.51.

a) Množina komplexních čísel ℂ s obvyklými operacemi +, ·, − tvoří grupoidy (ℂ, +), (ℂ, ·), (ℂ, −). Obvyklé dělení / na množině ℂ není operace, neboť není definován např. prvek 2/0. Dělení / je ale operace na množině ℂ^{∗} všech nenulových komplexních čísel. (ℂ^{∗}, /) je tedy nekomutativní grupoid. Navíc (ℂ, +, 0) je abelovská grupa, zatímco (ℂ, ·, 1) je jen komutativním monoidem a (ℂ, −, 0) pouze nekomutativním grupoidem, neboť odečítání není ani asociativní ani komutativní. Nenulová čísla (ℂ^{∗}, ·, 1) však již tvoří abelovskou grupu vzhledem k násobení, ne tak (ℂ^{∗}, /, 1) vzhledem k dělení přestože každý prvek má inverzní (jelikož a/a = 1, je dokonce každý prvek inverzní sám k sobě). Dělení totiž není podobně jako odečítání ani asociativní ani komutativní operací.

3Přesněji bychom měli psát (M, ∘,^{−1} , e), neboť grupa je strukturou s jednou binární operací ∘, jednou unární operací ^{−1} a jedním neutrálním prvkem e.

b) Analogicky jako v a) nechť +, ·, − mají obvyklý význam. Pak (ℝ, +), (ℝ, ·), (ℝ, −), (ℚ, +), (ℚ, ·), (ℚ, −), (ℤ, +), (ℤ, ·), (ℤ, −), jsou grupoidy s obdobnými vlastnostmi jako v a). Je-li / obvyklé dělení na množinách ℝ^{∗} = R − {0}, ℚ^{∗} = Q − {0}, jsou (ℝ^{∗}, /), (ℚ^{∗}, /) grupoidy. Naproti tomu / není operace na množině celých nenulových čísel, neboť např. 2/3 není celé nenulové číslo. Podobně také (ℤ_{N}, ⊕, 0) je abelovská grupa, (ℤ_{N}, ⊙, 1) je komutativní monoid a (ℤ_{N}, ⊖, 0) nekomutativní grupoid s operacemi sečítání ⊕, odečítání ⊖ a násobení ⊙ modulo N (viz 1.3).

c) Operace + a · jsou také operace na množině ℕ, tedy (ℕ, +), (ℕ, ·) jsou komutativní grupoidy. Naproti tomu − a / nejsou operace na ℕ.

d) Je-li X libovolná množina, pak průnik množin ∩, sjednocení množin ∪, rozdíl množin (−) a symetrická diference množin (÷) jsou operace na množině všech podmnožin 2^{X}. Jsou tedy: (2^{X}, ∩), (2^{X}, ∪), (2^{X}, −) a (2^{X}, ÷) grupoidy. Navíc (2^{X}, ÷, ∅) je abelovská grupa dle věty 1.26, kde každý prvek je opačný sám k sobě, (2^{X}, ∪, ∅) i (2^{X}, ∩, X) jsou pouze komutativní monoidy, zatímco (2^{X}, −) pouze nekomutativní grupoid, neboť rozdíl množin není ani komutativní ani asociativní. Naproti tomu kartézský součin × není obecně operace na množině 2^{X}. e) Nechť X je libovolná neprázdná množina. Symbol X^{X} označuje systém všech zobrazení množiny X do X. Pro f ∈ X^{X}, g ∈ X^{X} je složené zobrazení g ∘ f opět prvkem množiny X^{X}. Tedy ∘ je operace na množině X^{X} a (X^{X}, ∘) je (obecně nekomutativní) pologrupa. Označíme-li I_{X} : X → X identické zobrazení (I_{X}(x) = x pro každé x ∈ X), pak (X^{X}, ∘, I_{X}) je dokonce monoid. Prvek f ∈ X^{X} má inverzní prvek v monoidu (X^{X}, ∘, I) právě když f je bijekce. Inverzní prvek k f je pak roven inverznímu zobrazení f^{−1} k zobrazení f.

\underline{VĚTA} 2.52 ([KaSk:V5.8 s.48]). Nechť (M, ∘, e) je monoid. Nechť a, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ M mají inverzní prvky v (M, ∘). Pak platí:

(a) e^{−1} = e,

(b) (a^{−1})^{−1} = a,
(c) (a_{1} ∘ a_{2} ∘ … ∘ a_{n})^{−1} = a_{n}^{−1} ∘ a_{n−1}^{−1} ∘ … ∘ a_{1}^{−1},

(d) pro b ∈ M jsou prvky x = a^{−1} ∘ b, y = b ∘ a^{−1} jediná řešení

rovnic a ∘ x = b, y ∘ a = b v grupoidu (M, ∘).

Definice 2.53. Nechť (M, ∘) je grupoid. Jestliže pro každou dvojici prvků a, b ∈ M existuje jediný prvek x tak, že a ∘ x = b, pak říkáme, že v grupoidu platí levý zákon o jednoznačném dělení (resp. odečítání v aditivním případě). Jestliže pro každou dvojici prvků a, b ∈ M existuje jediný prvek y tak, že y ∘ a = b, pak říkáme, že v grupoidu platí pravý zákon o jednoznačném dělení (resp. odečítání v aditivním případě).

Věta 2.54 ([AG1: s.13-14]). Pologrupa (M, ∘) je grupou právě když v ní platí levý i pravý zákon o jednoznačném dělení.

\underline{DEFINICE} 2.55. Nechť (M, ∘) je grupoid. Jestliže pro každou trojici prvků a, x, y ∈ M platí implikace a ∘ x = a ∘ y ⇒ x = y, pak říkáme, že v grupoidu platí levý zákon o krácení (resp. rušení v aditivním případě). Jestliže obdobně x ∘ a = y ∘ a ⇒ x = y, pak říkáme, že v grupoidu platí pravý zákon o krácení (resp. rušení v aditivním případě). Říkáme take, že v (M, ∘) lze krátit zleva, případně zprava.

\underline{VĚTA} 2.56 ([KaSk:V5.13 s.51]). V každé grupě lze krátit zleva i zprava.

\underline{Označení} . Nechť (G, ∘) je pologrupa a nechť a ∈ G. Pro přirozené číslo n položíme:

a^{n} := \underbrace{a ∘ a ∘ … ∘ a}_{n prvků a} .

Má-li grupoid (G, ∘) jedničku e, položíme:

a^{0} := e.

Nechť (G, ∘) má jedničku a prvek a nechť má inverzní prvek a^{−1} v grupoidu (G, ∘). Pak položíme:

a^{−n} := (a^{−1})^{n} := \underbrace{a^{−1} ∘ a^{−1} ∘ … ∘ a^{−1}}_{n prvků a^{−1}}.

Pro takto zavedené umocňování platí známá pravidla: a^{m} ∘ a^{n} = a^{m+n} a (a^{m})^{n} = a^{mn} (viz [KaSk:V5.9 s.49]). V aditivním grupoidu a − b := a + (−b) a dále píšeme na místo a^{n} a −na místo a^{−n}, takže výše uvedená pravidla pak přepíšeme takto: ma + na = (m + n)a a n(ma) = (nm)a = (mn)a.

\underline{DEFINICE} 2.57. Algebraickou podstrukturu grupoidu (pologrupy, monoidu, grupy) nazýváme jeho/jejím podgrupoidem (podpologrupou, podmonoidem, podgrupou).

\underline{POZNÁMKA} 2.58. Nechť (M, ∘) je grupoid a N ⊆ M, N ≠ ∅. Uvažme následující vlastnosti podmnožiny N:

(1) x, y ∈ N ⇒ x ∘ y ∈ N (uzavřenost k binární operaci ∘);

(2) je-li e neutrální prvek v (M, ∘), pak e ∈ N (uzavřenost k nulární operaci vybírající neutrální prvek);

(3) je-li x ∈ N a x^{−1} k němu inverzní prvek v (M, ∘), pak x^{−1} ∈ N (uzavřenost k unární operaci ^{−1}).

Podle definice 2.12 je tedy

a) (N, ∘) podgrupoidem (podpologrupou) grupoidu (pologrupy) (M, ∘) právě když má vlastnost (1);

b) (N, ∘, e) je podmonoidem monoidu (M, ∘, e) právě když má vlastnosti (1) a (2);

c) (N, ∘, e) je podgrupou grupy (M, ∘, e) právě když má vlast-

nosti (1) a (3) [pak má zřejmě i vlastnost (2)]. Každý monoid (každá grupa) (M, ∘, e) má alespoň dva podmonoidy (dvě podgrupy): (M, ∘, e) a triviální podmonoid (podgrupu) ({e}, ∘, e).

Věta 2.59 ([AG1: s.15]). Nechť (M, ∘, e) je grupa a N ⊆ M, N ≠ ∅. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(1) (N, ∘, e) je podgrupa v (M, ∘, e),

(2) x, y ∈ N ⇒ x ∘ y^{−1} ∈ N,
(3) x, y ∈ N ⇒ x^{−1} ∘ y ∈ N.

PŘÍKLAD 2.60. Podpologrupy:

• (ℕ, +) ⊂ (ℤ, +),

• množina všech bijekcí X ↣ → X z příkladu 2.51e) je grupou, která je podmonoidem v (X^{X}, ∘, I_{X}). \underline{Podgrupy:}

• (ℤ, +, 0) ⊂ (ℚ, +, 0) ⊂ (ℝ, +, 0) ⊂ (ℂ, +, 0);

• (ℝ^{+} − {0}, ·, 1) ⊂ (ℝ^{∗}, ·, 1) … viz příklad 2.51b);

• Naopak (ℤ_{N}, ⊕) není ani podgrupoid v (ℤ, +).

\underline{POZNÁMKA} 2.61. Nechť (M, ∘) a (N, ·) jsou grupoidy a f : M → N zobrazení. Uvažme následující vlastnosti zobrazení f:

(1) x, y ∈ M ⇒ f(x ∘ y) = f(x) · f(y);

(2) jsou-li e, E neutrální prvky po řadě v (M, ∘) a (N, ·), pak f(e) = E;

(3) je-li a ∈ M a a^{−1} k němu inverzní prvek v (M, ∘), pak f(a^{−1}) je inverzní k f(a) v (N, ·), neboli f(a^{−1}) = f(a)^{−1}.

Podle definice 2.10 tedy platí:

a) f : (M, ∘) → (N, ·) je homomorfizmus grupoidů právě když má vlastnost (1);

b) f : (M, ∘, e) → (N, ·, E) je homomorfizmus monoidů právě když má vlastnost (1) a (2);

c) f : (M, ∘, e) → (N, ·, E) je grupový homomorfizmus právě když má vlastnosti (1) a (3) [pak má zřejmě i vlastnost (2)] nebo vlastnosti (1) a (2) [pak má zřejmě i vlastnost (3) uvážíme-li větu 2.50];

Kterýkoli z výše uvedených homomorfizmů je izomorfizmem právě když f je bijekce. Snadno se totiž ověří, že f^{−1} : N → M je rovněž homomorfizmus z (N, ·) do (M, ∘): f^{−1}(E) = f^{−1}(f(e)) = e, f^{−1}(f(a) · f(b)) = f^{−1}(f(a ∘ b)) = a ∘ b = f^{−1}(f(a)) ∘ f^{−1}(f(b)). Tento homomorfizmus je ovšem také izomorfizmem. Poznamenejme, že obdobnou vlastnost mají nejen struktury s jednou binární operací, ale každá struktura obsahující pouze operace a žádnou relaci: každý bijektivní homomorfizmus je pak také automaticky izomorfizmem.

PŘÍKLAD 2.62.

(1) Nechť (S^{∗}, ∘,′′) je monoid z příkladu 2.45 a d : S^{∗} → ℤ zobrazení přiřazující každému řetězci jeho délku. Pak d je homomorfizmus nekomutativního monoidu (S^{∗}, ∘,′′) do abelovské grupy (ℤ, +, 0).

(2) Zobrazení modulo f:=⟨·⟩_{N} z odst. 1.3 je grupovým homomorfizmem (ℤ, +, 0) na (ℤ_{N}, ⊕, 0). Pak ∼^{f} je grupovou kongruencí příslušného kanonického rozkladu (věta 2.43) a platí: a ∼^{f} b právě když N je dělitelem b − a.

2.5. STRUKTURY SE DVĚMA BINÁRNÍMI OPERACEMI.

Tyto struktury již zachycují všechny podstatné vlastnosti běžných číselných oborů.

\underline{DEFINICE} 2.63. Algebraická struktura (M, +, ·, 0) s dvěma binárními operacemi + (aditivní) a · (multiplikativní) se nazývá okruh, jestliže jsou splněny následující podmínky:

(1) (M, +, 0) je abelovská grupa;

(2) (M, ·) je pologrupa;

(3) Pro libovolnou trojici prvků a, b, c ∈ M platí distributivní zákony:

(a + b) · c = a · c + b · c
c · (a + b) = c · a + c · b.

Okruh (M, +, ·, 0) se nazývá okruhem s jednotkou, jestliže existuje neutrální prvek 1 ∈ M takový, že (M, ·, 1) je monoid. Pak píšeme (M, +, ·, 0, 1). Okruh (M, +, ·, 0) se nazývá komutativní, jestliže (M, ·) je komutatitvní pologrupa.

\underline{DEFINICE} 2.64. Algebraickou podstrukturu okruhu nazýváme jeho podokruhem.

\underline{POZNÁMKA} 2.65. Nechť (M, +, ·, 0) je okruh a N ⊆ M, N ≠ ∅. Podle definice 2.12 a s uvážením poznámky 2.58 tedy vidíme, že (N, +, ·, 0) je podokruhem v (M, +, ·, 0) právě když platí:

(1) x, y ∈ N ⇒ x + y ∈ N;

(2) x, y ∈ N ⇒ x · y ∈ N;

(3) je-li x ∈ N, pak −x ∈ N.

(4) je-li 1 jednotka okruhu (M, +, ·, 0, 1), pak 1 ∈ N; Podle poznámky 2.58 je tedy (N, +, ·, 0) podokruhem okruhu (M, +, ·, 0, 1) právě když (N, +, 0) je podgrupou v (M, +, 0) a současně (N, ·) je podpologrupou v (M, ·), případně (N, ·, 1) je podmonoidem v (M, ·, 1).

\underline{VĚTA} 2.66 ([AG1: s.16]). V každém okruhu (M, +, ·, 0) platí pro jeho libovolné prvky a, b, c ∈ M následující identity:

(a − b) · c = a · c − b · c
c · (a − b) = c · a − c · b
a · 0 = 0 · a = 0.

Definice 2.67. Nenulový prvek a okruhu (M, +, ·, 0) se nazývá dělitelem nuly tohoto okruhu, když v M existuje b ≠ 0 takové, že a · b = 0 nebo b · a = 0.

Definice 2.68. Komutativní okruh s jednotkou, který nemá dělitele nuly se nazývá obor integrity.

Věta 2.69 ([AG1: s.16]). V každém oboru integrity (M, +, ·, 0, 1) lze krátit (vzhledem ke komutativitě zleva i zprava) nenulovým prvkem: a, b, c ∈ M, a ≠ 0, a · b = a · c ⇒ b = c

Důsledek 2.70. Je-li (M, +, ·, 0, 1) obor integrity, pak (M − {0}, ·) je komutativní grupoid, v němž platí levý i pravý zákon o krácení.

Definice 2.71 (Charakteristika oboru integrity). Nechť (M, +, ·, 0, 1) je obor integrity. Jestliže existuje přirozené číslo n tak, že n1 = 0, potom řekneme, že obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má konečnou charakteristiku. Nejmenší přirozené číslo s touto vlastností se nazývá charakteristikou tohoto oboru integrity. V opačném případě říkáme, že obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má nekonečnou charakteristiku nebo též charakteristiku nula.

Věta 2.72 ([AG1: s.17]). Nechť obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má konečnou charakteristiku n, pak n je prvočíslo.

\underline{DEFINICE} 2.73. Okruh s jednotkou (M, +, ·, 0, 1), v němž (M − {0}, ·, 1) je grupa se nazývá těleso. Je-li tato grupa komutativní, potom (M, +, ·, 0, 1) se nazývá komutativní těleso nebo také pole.

Věta 2.74 ([AG1: s.17]). Pole je oborem integrity.

Věta 2.75 ([AG1: s.17]). Každý konečný obor integrity je polem.

Příklad 2.76 (viz 2.51).

• (ℕ, +, ·, 0, 1) ⊂ (ℤ, +, ·, 0, 1) ⊂ (ℚ, +, ·, 0, 1) ⊂ (ℝ, +, ·, 0, 1) ⊂ ⊂ (ℂ, +, ·, 0, 1) jsou do sebe vnořené obory integrity, z nichž poslední tři jsou dokonce pole nekonečné charakteristiky.

• (ℤ_{N}, ⊕, ⊙, 0, 1) je komutativním okruhem s jednotkou, který není podokruhem žádného z výše uvedených okruhů. (ℤ_{N}, ⊕, ⊙, 0, 1) je oborem integrity jen když N je prvočíslo. V takovém případě je dokonce polem dle věty 2.75.

• Množina všech polynomů s koeficienty například z ℂ tvoří rovněž obor integrity vzhledem k obvyklému sečítání a násobení polynomů.

• (2^{X}, ÷, ∩, ∅, X) je dle věty 1.26 komutativním okruhem s jednotkou X (totiž A∩X = A pro každou podmnožinu A ⊆ X), který není oborem integrity, pokud X má více jak jeden prvek (pak totiž lze vždy najít dvě různé neprázdné podmnožiny s prázdným průnikem).

\underline{POZNÁMKA} 2.77. Nechť (M, +, ∘, 0) a (N, ⊕, ·, 0) jsou okruhy (tělesa) a f : M → N zobrazení. Uvážíme-li 2.61b)c), potom f je homomorfizmem těchto struktur ve smyslu 2.10 právě když jak f : (M, +, 0) → (M, ⊕, 0) tak i f : (M, ∘) → (N, ·) jsou homomorfizmy, tj. právě když f má následující vlastnosti:

(1) a, b ∈ M ⇒ f(a + b) = f(a) ⊕ f(b),

(2) a, b ∈ M ⇒ f(a ∘ b) = f(a) · f(b),

(3) f(0) = 0 a f(1) = 1, pokud oba okruhy mají jednotku.

Poznamenejme ještě, že ve (3) lze podmínku f(0) = 0 nahradit podmínkou a ∈ M ⇒ f(−a) = −f(a), a v případě těles i podmínku f(1) = 1 podmínkou 0 ≠ a ∈ M ⇒ f(a^{−1}) = f(a)^{−1}.

PŘÍKLAD 2.78. Grupový homomorfizmus f:=⟨·⟩_{N} z příkladu 2.62(2) je i okruhovým homomorfizmem (ℤ, +, ·, 0, 1) na (ℤ_{N}, ⊕, ⊙, 0, 1), přičemž ∼^{f} je pak také okruhová kongruence.

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE ALGEBRAICKÝCH STRUKTUR algebraická (pod)struktura ♦ algebraic (sub)structure homomorfizmus, endomorfizmus ♦ homomorphism, endomorphism izomorfizmus, relace, operace ♦ isomorphism, relation, operation nulární, unární, binární, n-ární ♦ nullary, unary, binary, n-ary význačný, neutrální ♦ singular, neutral reflexivní, symetrická, úplná ♦ reflexive, symmetric, complete antisymetrická, tranzitivní ♦ antisymmetric, transitive asociativní, komutativní ♦ associative, commutative generátor, generovaný podmnožinou ♦ generator, generated by a set přímý součin, uspořádaná množina ♦ direct product, ordered set částečně (lineárně) uspořádaná ♦ partially (linearly) ordered menší (větší) nebo roven než ♦ less (greater) than or equal to nejmenší (největší) ♦ least (greatest) minimální (maximální) ♦ minimal (maximal) dolní (horní) závora ♦ lower (upper) bound infimum (supremum) ♦ infimum (supremum) limes inferior (limes superior) ♦ inferior limit (superior limit) ekvivalence, kongruence ♦ equivalence, congruence rozklad na třídy, kanonický ♦ partition into classes, canonical faktorová struktura ♦ factor structure (pod)grupoid, (pod)pologrupa ♦ (sub)groupoid, (sub)semigroup (pod)monoid, pod(grupa) ♦ (sub)monoid, (sub)group abelovská grupa ♦ abelian group opačný (inverzní) prvek ♦ negated (inverse) element nulový (jednotkový) prvek ♦ zero, null (unit) element (levý, pravý) zákon o krácení ♦ (left, right) cancellation law zákon o jednoznačném dělení ♦ unique division law okruh, obor integrity ♦ ring, domain of integrity dělitel nuly, charakteristika ♦ divisor of zero, characteristic těleso, pole ♦ division ring, field

3. Lineární algebra

Teorie a příklady: [KaSk: s.54-129], [Šik: s.1-131] Příklady: [Ho:řešené č.16-36; s.17-37], [Ho:neřešené kap.3-7 s.81-167]

3.1. VEKTOROVÉ PROSTORY.

\underline{DEFINICE} 3.1. Nechť (𝔽, +, ·, 0, 1), 0 ≠ 1 je pole (tzv. pole skalárů), jehož prvky budeme nazývat skaláry. Nechť (V, +, 0, S_{𝔽}) je algebraická struktura s jednou binární operací +, nulovým prvkem 0 a zobrazením S_{𝔽} : 𝔽 × V → V určujícím pro každý skalár α ∈ 𝔽 jednu unární operaci {α} × V → V zapisovanou ve tvaru S_{𝔽}(α, x) =: αx a nazývanou násobení skalárem. Nechť (V, +, 0) je abelovská grupa a pro každé α, β ∈ 𝔽 a x, y ∈ V nechť platí:

(L1) Distributivní zákon vzhledem k sečítání vektorů:

α(x + y) = αx + αy (L2) Distributivní zákon vzhledem k sečítání skalárů:

(α + β)x = αx + βx (L3) Asociativní zákon vzhledem k násobení skaláry:

α(βx) = (αβ)x (L4) 1x = x.

Pak algebraická struktura (V, +, 0, S_{𝔽}) se nazývá vektorový (lineární) prostor nad polem 𝔽, prvky množiny V se nazývají vektory a operace x ↦ αx se nazývá násobení vektoru x skalárem α. Vektorový prostor se nazývá reálný (resp. komplexní), jestliže 𝔽 = ℝ (resp. 𝔽 = ℂ).

\underline{Poznámka} 3.2.

(1) Jestliže nerozlišujeme mezi skalárem a odpovídající unární operací, pak v souladu s 2.1 můžeme vektorový prostor považovat za algebraickou strukturu (V, L_{𝔽}), kde L_{F} = {+, (−), 0} ∪ 𝔽 představuje popis operací lineární struktury (symbol (−) značí unární operaci výběru opačného prvku v aditivní grupě).

(2) Bude-li pole skalárů zřejmé z kontextu, budeme psát též stručně L místo L_{𝔽}. V dalším budeme často pracovat s reálným nebo komplexním vektorovým prostorem, kde L := L_{ℝ} nebo L := L_{ℂ}.

(3) Pojem vektorového prostoru lze zavést i nad nekomutativním tělesem 𝔽. V takovém případě je nutno rozlišovat mezi násobením skaláry zleva a zprava a zavést tzv. levý (resp. pravý) vektorový prostor nad 𝔽. Je-li 𝔽 pouze okruh s 1 ≠ 0, pak se toto pojetí dále zobecňuje a zavádí se tzv. levý (resp. pravý) modul nad 𝔽 (nebo též 𝔽-modul).

\underline{VĚTA} 3.3 ([Šik:V3.6 s.25]). Nechť V je vektorový prostor nad 𝔽 a α, β, α_{i} ∈ 𝔽; x, y, x_{j} ∈ V. Pak platí:

(L5) αx = 0 ⇔ α = 0 nebo x = 0 (L6) −αx = α(−x) = (−α)x (L7) α(x − y) = αx − αy (L8) (α − β)x = αx − βx (L9) α(x_{1} + ⋯ + x_{n}) = αx_{1} + ⋯ + αx_{n} (L10) (α_{1} + ⋯ + α_{m})x = α_{1}x + ⋯ + α_{m}x (L11) ∑_{i=1}^{m} α_{i} ∑_{j=1}^{n} x_{j} = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} α_{i}x_{j} = ∑_{j=1}^{n} (∑_{i=1}^{m} α_{i})x_{j}

\underline{PŘÍKLAD} 3.4 ([Šik:Př.3.5 s.25]).

(1) (𝔽, L_{𝔽}) je vektorový prostor nad polem 𝔽. Vlastnosti (L1) a (L2) jsou důsledkem okruhových distributivních zákonů, (L3) plyne z asociativity okruhového násobení a (L4) rovněž platí, neboť 1 je jednotkou okruhového násobení. Zejména (ℝ, L_{ℝ}), resp. (ℂ, L_{ℂ}) je reálný, resp. komplexní vektorový prostor.

(2) Užitím přímého součinu z definice 2.11 lze konstruovat další (vícerozměrné) vektorové prostory (n ∈ ℕ, n > 1):

(𝔽^{n}, L_{𝔽}) := \underbrace{(𝔽, L_{𝔽}) × ⋯ × (𝔽, L_{𝔽})}_{n×} … n-tice skalárů z 𝔽.

Zejména (ℝ^{n}, L_{ℝ}) (resp. (ℂ^{n}, L_{ℂ})) je reálný (resp. komplexní) vektorový prostor n-tic reálných (resp. komplexních) čísel. V těchto prostorech jsou tedy dle 2.11 všechny operace definovány po složkách: [x_{1}, …, x_{n}] + [y_{1}, …, y_{n}] := [x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}] 0 := [0, …, 0] … nulový vektor −[x_{1}, …, x_{n}] := [−x_{1}, …, −x_{n}] … opačný vektor α[x_{1}, …, x_{n}] := [αx_{1}, …, αx_{n}] … skalární násobek

(3) Analogicky:

(ℝ^{ℕ}, L_{ℝ}) := X_{n∈ℕ}(ℝ, L_{ℝ}) a (ℂ^{n}, L_{ℂ}) := X_{n∈ℕ}(ℂ, L_{ℂ})

jsou po řadě vektorové prostory všech reálných, resp. komplexních posloupností s operacemi po složkách jako ve (2).

(4) Analogicky:

(ℝ^{I}, L_{ℝ}) := X_{n∈I}(ℝ, L_{ℝ}) a (ℂ^{n}, L_{ℂ}) := X_{n∈I}(ℂ, L_{ℂ})

jsou po řadě vektorové prostory všech reálných, resp. komplexních funkcí definovaných na množině I (tj. funkcí z I do ℝ, resp. z I do ℂ) opět s operacemi po složkách. Tedy definujeme pro každé i ∈ I: (f + g)(i) := f(i) + g(i), (−f)(i) := −f(i), f ≡ 0 ⇔ f(i) = 0 pro každé i ∈ I, (αf)(i) := αf(i).

(5) Označme po řadě ℝ[t], resp. ℂ[z] množinu všech polynomů jedné proměnné t ∈ ℝ, resp. z ∈ ℂ s koeficienty z ℝ, resp. z ℂ. Pak tyto množiny tvoří vzhledem k obvyklému sečítání a násobení skalárem reálný, resp. komplexní vektorový prostor, který lze ztotožnit s reálnými, resp. komplexními posloupnostmi koeficientů (viz (3)) tvaru {a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, …, 0, … } pro libovolné n ∈ ℕ. Omezíme-li se na pevné n, dostaneme vektorové prostory ℝ_{n}[t], resp. ℂ_{n}[z] všech polynomů s reálnými, resp. komplexními koeficienty stupně nejvýše n.

\underline{DEFINICE} 3.5. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor, x_{1}, …, x_{n} ∈ V a α_{1}, …, α_{n} ∈ 𝔽. Pokud x ∈ V lze vyjádřit ve tvaru x = α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n}, pak řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x_{1}, …, x_{n}.

3.2. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, GENERÁTORY.

\underline{DEFINICE} 3.6. Algebraickou podstrukturu (definice 2.12) vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) nazýváme jeho vektorovým (lineárním) podprostorem.

\underline{VĚTA} 3.7. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a ∅ ≠ W ⊆ V jeho podmnožina. Pak (W, L_{𝔽}) je vektorovým podprostorem prostoru (V, L_{𝔽}) (píšeme (W, L_{𝔽}) ⊆ (V, L_{𝔽})) právě když má následující vlastnosti:

(1) x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W (uzavřenost vzhledem ke grupovému sečítání)

(2) x ∈ W, α ∈ 𝔽 ⇒ αx ∈ W (uzavřenost vzhledem ke skalárnímu násobení).

\underline{DŮSLEDEK} 3.8. Každý vektorový podprostor (W, L_{𝔽}) prostoru (V, L_{𝔽}) je uzavřený k libovolným lineárním kombinacím svých prvků, tj. platí: x_{i} ∈ W, α_{i} ∈ 𝔽 pro i = 1, …, n ⇒ α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n} ∈ W.

\underline{Poznámka} 3.9. V každém vektorovém prostoru (V, L_{𝔽}) existuje nejmenší vektorový podprostor ({0}, L_{𝔽}) nazývaný také nulový podprostor a největší podprostor totožný s celým prostorem (V, L_{𝔽}).

\underline{VĚTA} 3.10. Nechť \{(W_{i}, L_{𝔽})\}_{i∈I} je systém vektorových podprostorů prostoru (V, L_{𝔽}). Pak jejich průnik ⋂_{i∈I} W_{i} je rovněž vektorový podprostor ve V.

\underline{DEFINICE} 3.11. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a G ⊆ V jeho podmnožina. Pak v souladu s definicí 2.13 nejmenší vektorový podprostor ve V obsahující G nazveme podprostorem generovaným množinou G nebo také lineárním obalem množiny G ve V. Značíme jej L_{𝔽}(G) nebo stručněji L(G). Prvky množiny G nazýváme generátory tohoto podprostoru.

\underline{VĚTA} 3.12. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a G ⊆ V jeho podmnožina. Pak L(G) vždy existuje a platí:

(1) L(G) = ⋂{W | (W, L_{𝔽}) ⊆ (V, L_{𝔽}) : G ⊆ W } (neboli L(G) je průnikem podprostorů ve V obsahujících G)

(2) Je-li G ≠ ∅, pak L(G) = {∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i} | α_{i} ∈ 𝔽, x_{i} ∈ G pro i = 1, …, n; n ∈ ℕ} (neboli L(G) tvoří všechny lineární kombinace vektorů z G).

Zejména L(∅) = {0} je nulový podprostor.

\underline{Poznámka} 3.13. Podle 3.12(2) tedy zápis x ∈ L(G) vyjadřuje fakt, že x je nějakou lineární kombinací vektorů z množiny G.

\underline{VĚTA} 3.14 (Vlastnosti generátorů). Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor, W jeho podprostor a M, N, G podmnožiny ve V. Pak platí:

(1) 0 ∈ L(G) pro každé G ⊆ V

(2) M ⊆ L(G) ⇒ L(M) ⊆ L(G)

(3) M ⊆ N ⇒ L(M) ⊆ L(N)

(4) W = L(W) a zejména L(M) = L(L(M))

(5) je-li nějaký generátor lineární kombinací ostatních generátorů, pak jej lze vynechat: x ∈ G, x ∈ L(G − {x}) ⇒ L(G − {x}) = L(G).

(6) každý generátor lze zaměnit za jeho nenulový skalární násobek: x ∈ G, 0 ≠ α ∈ 𝔽 ⇒ L((G − {x}) ∪ {αx}) = L(G).

(7) ke každému generátoru lze přičíst libovolnou lineární kombinaci ostatních generátorů: x ∈ G, y ∈ L(G − {x}) ⇒ L((G − {x}) ∪ {x + y}) = L(G).

Úpravy uvedené v (5) až (7) se nazývají elementární úpravy množiny generátorů.

3.3. ZÁVISLOST, NEZÁVISLOST, BÁZE, DIMENZE.

\underline{DEFINICE} 3.15. Minimální podmnožina ve V generující vektorový prostor (V, L_{𝔽}) se nazývá báze tohoto prostoru, neboli platí implikace: G báze ve V, M ⊆ G systém generátorů prostoru V ⇒ M = G. Zejména za bázi nulového prostoru tedy můžeme považovat prázdnou množinu.

\underline{DEFINICE} 3.16. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a M := {x_{1}, …, x_{n}} ⊆ V jeho nějaká neprázdná konečná podmnožina navzájem různých vektorů. Řekneme, že M je (resp. vektory x_{1}, …, x_{n} jsou) lineárně nezávislá(é), jestliže nulový vektor nelze vyjádřit jako netriviální lineární kombinaci těchto vektorů, tj.:

α_{i} ∈ 𝔽, i = 1, …, n; α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n} = 0 ⇒ α_{1} = ⋯ = α_{n} = 0.

Nekonečná podmnožina ve V se nazývá lineárně nezávislá, jestliže každá její konečná podmnožina je lineárně nezávislá. Podmnožina (resp. vektory) vektorového prostoru V se nazývá (nazývají) lineárně závislá(é), jestliže není (nejsou) lineárně nezávislá(é).

\underline{VĚTA} 3.17. Jestliže M je lineárně nezávislá množina nějakého vektorového prostoru, pak platí:

(1) Každá neprázdná podmnožina v M je lineárně nezávislá;

(2) 0 ∉ M;

(3) Je-li M =: {x_{1}, …, x_{n}} konečná, x ∈ L(M) a x = ∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i} = ∑_{i=1}^{n} β_{i}x_{i}, pak α_{i} = β_{i} pro i = 1, …, n.

(4) Každý vektor 0 ≠ x ∈ L(M) má až na pořadí sčítanců jediné vyjádření ve tvaru lineární kombinace s nenulovými koeficienty a navzájem různými vektory z M.

\underline{VĚTA} 3.18. Neprázdná podmnožina M vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) je lineárně závislá právě když existuje vektor x ∈ M, který je lineární kombinací některých dalších vektorů z M, tj. x ∈ L(M − {x}).

\underline{VĚTA} 3.19 ([Šik:V3.18,V3.25 s.27-29]). Nechť ∅ ≠ G ⊆ V je podmnožina nenulového vektorového prostoru (V, L_{𝔽}). Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(1) G je báze ve V.

(2) G je maximální lineárně nezávislá podmnožina ve V.

(3) G je lineárně nezávislá a generuje V, tj. L(G) = V.

\underline{DŮSLEDEK} 3.20 ([Šik:V3.22 s.28]). Z každé množiny generátorů G nenulového vektorového prostoru V lze vybrat bázi prostoru V jako maximální nezávislou podmnožinu v G. Dokonce to lze udělat tak, aby obsahovala jakoukoli předem danou nezávislou podmnožinu v G.

VĚTA 3.21 (Steinitzova věta o výměně, [Šik:V3.23 s.28],[AG1: s.28]). Nechť M, N jsou konečné podmnožiny vektorového prostoru (V, L_{𝔽}), M ⊆ L(N) lineárně nezávislá. Potom v N existuje podmnožina N′ s těmito vlastnostmi:

(1) N′ má týž počet prvků jako M,

(2) L((N − N′) ∪ M) = L(N).

\underline{DŮSLEDEK} 3.22 ([Šik:3.26 s.29]). Má-li nenulový vektorový prostor (V, L_{𝔽}) konečný systém generátorů, pak ve V existuje konečná báze a všechny báze mají týž (konečný) počet prvků.

\underline{DEFINICE} 3.23. Má-li vektorový prostor (V, L_{𝔽}) konečnou bázi o n prvcích. Pak (jednoznačně určené) číslo n nazýváme dimenzí tohoto prostoru a píšeme dim V = n. Prostor V pak nazýváme n-rozměr-ným (n-dimenzionálním) vektorovým prostorem nebo také konečně rozměrným (konečně dimenzionálním) vektorovým prostorem. Zejména s uvážením definice 3.15 má každý nulový prostor dimenzi 0 (jeho báze je totiž prázdná množina). Vektorový prostor V, v němž neexistuje konečný systém generátorů se nazývá nekonečně rozměrný (nekonečně dimenzionální), píšeme dim V = ∞.

\underline{DŮSLEDEK} 3.24 (Další důsledky Steinitzovy věty. [Šik:V3.31-2 s.30]).

(1) Pro každou lineárně nezávislou množinu vektorů x_{1}, …, x_{k} vektorového prostoru V platí k ≤ dim V, přičemž každou takovou množinu lze doplnit (rozšířit) na bázi prostoru V.

(2) Každý vektorový prostor má bázi.

(3) Pro každý lineární podprostor W vektorového prostoru V platí dim W ≤ dim V. Přitom každou bázi ve W lze rozšířit na bázi ve V. Je-li dim V < ∞ a W ≠ V, pak dim W < dim V.

(4) Nechť V je vektorový prostor, dim V = n, 0 < n < ∞, a G jeho podmnožina. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(i) G je báze ve V. (ii) G je n-prvková a lineárně nezávislá. (iii) G je n-prvková a generuje V.

\underline{PŘÍKLAD} 3.25. Pro vektorové prostory z příkladu 3.4 platí:

(1) pro každé n ∈ ℕ: (ℚ^{n}, L_{ℚ}) ⊆ (ℝ^{n}, L_{ℚ}), (ℝ^{n}, L_{ℝ}) ⊆ (ℂ^{n}, L_{ℝ}), (ℝ_{n}[t], L_{ℝ}) ⊆ (ℝ[t], L_{ℝ}), (ℂ_{n}[z], L_{ℂ}) ⊆ (ℂ[z], L_{ℂ}).

(2) pro každé n ∈ ℕ:

(ℚ^{n}, L_{ℝ}) ⊈ (ℝ^{n}, L_{ℝ}), (ℝ^{n}, L_{ℂ}) ⊈ (ℂ^{n}, L_{ℂ}), (ℝ^{n}, L_{ℝ}) ⊈ (ℂ^{n}, L_{ℂ}), (ℝ[z], L_{ℂ}) ⊈ (ℂ[z], L_{ℂ}), (ℝ[z], L_{ℝ}) ⊈ (ℂ[z], L_{ℂ}).

(3) {1} je báze v (𝔽, L_{𝔽}) a tedy dim 𝔽 = 1. Zejména dim ℝ = dim ℂ = 1. Podle věty 3.14(6) je bází také každá jednoprvková podmnožina {a}, a ≠ 0.

(4) E_{n} := {[1, 0, …, 0], [0, 1, …, 0], …, [0, 0, …, 1]} je tzv. přirozená báze v (𝔽^{n}, L_{𝔽}). Pro každé i = 1, …, n bude nadále ε_{i} := [0, …, 1_{i^{↑}}, …, 0] značit i-tý prvek této báze. Zejména

tedy dim ℝ^{n} = dim ℂ^{n} = n. Opět podle věty 3.14(6) a s uvážením 3.24(4) je bází také každá podmnožina {a_{1}ε_{1}, …, a_{n}ε_{n}}, kde a_{i} ≠ 0 pro i = 1, …, n.

(5) Podle 3.4(5) lze každý polynom a_{0} + a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n} z ℝ_{n}[t], resp. z ℂ_{n}[t] ztotožnit s jeho vektorem n + 1 koeficientů [a_{0}, a_{1}, …, a_{n}], takže roli přirozené báze v ℝ_{n}[t], resp. v ℂ_{n}[t] hrají homogenní polynomy t^{0} ≡ 1, t^{1}, …, t^{n} a platí tedy dim ℝ_{n}[t] = dim ℂ_{n}[t] = n + 1.

(6) Pokud I je nekonečná množina, pak prostory (ℝ^{I}, L_{ℝ}) i (ℂ^{I}, L_{ℂ}) mají nekonečnou dimenzi. Zejména tedy mají nekonečnou dimenzi také prostory posloupností (ℝ^{ℕ}, L_{ℝ}) a (ℂ^{ℕ}, L_{ℂ}) stejně jako prostory polynomů ℝ[t] a ℂ[z].

3.4. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ.

\underline{DEFINICE} 3.26. Nechť (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}) jsou dva vektorové prostory. Pak zobrazení T : V_{1} → V_{2}, které je homomorfizmem (definice 2.10) nazýváme lineárním zobrazením (lineárním operátorem) z vektorového prostoru (V_{1}, L_{𝔽}) do vektorového prostoru (V_{2}, L_{𝔽}) a píšeme T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽})^{4}. Speciálně lineární zobrazení T : (V, L_{𝔽}) → (𝔽, L_{𝔽}) se nazývá lineární funkcionál na V (viz též 3.4(1)). Lineární zobrazení se nazývá izomorfizmem vektorových prostorů (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}), jestliže je bijekcí V_{1} na V_{2} (viz úvahu na konci poznámky 2.61). Je-li T pouze prosté lineární zobrazení, nazývá se izomorfní vnoření prostoru (V_{1}, L_{𝔽}) do (V_{2}, L_{𝔽}). Existuje-li alespoň jeden izomorfizmus (V_{1}, L_{𝔽}) na (V_{2}, L_{𝔽}), říkáme, že vektorové prostory (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}) jsou izomorfní a píšeme (V_{1}, L_{𝔽}) ≃ (V_{2}, L_{𝔽}) nebo jen stručně V_{1} ≃ V_{2}. Existuje-li pouze izomorfní vnoření, píšeme (V_{1}, L_{𝔽}) ≾ (V_{2}, L_{𝔽}) nebo V_{1} ≾ V_{2}.

\underline{VĚTA} 3.27. Nechť (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}) jsou dva vektorové prostory. Pak zobrazení T : V_{1} → V_{2} je lineární právě když má následující vlastnosti:

(1) x, y ∈ V_{1} ⇒ T (x + y) = T (x) + T (y) (vlastnost zachování grupového sečítání)

(2) x ∈ V_{1}, α ∈ 𝔽 ⇒ T (αx) = αT (x)

(vlastnost zachování skalárního násobení). Je-li T izomorfizmus, pak T^{−1} je rovněž lineární zobrazení (a tedy izomorfizmus) z (V_{2}, L_{𝔽}) na (V_{1}, L_{𝔽}). Zřejmě složení dvou lineárních zobrazení je rovněž lineární zobrazení.

\underline{DŮSLEDEK} 3.28. Každé lineární zobrazení T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) zachovává libovolné lineární kombinace vektorů, tj. pro α_{i} ∈ 𝔽 a x_{i} ∈ V_{1}, i = 1, …, n, platí: T (α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n}) = α_{1}T (x_{1}) + ⋯ + α_{n}T (x_{n}).

4místo y = T (x) píšeme stručněji také y = T x

\underline{VĚTA} 3.29. Nechť T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) je lineární operátor, pak N (T) := {x ∈ V_{1} | T x = 0} je vektorový podprostor v (V_{1}, L_{𝔽}) nazývaný jádro (nulový podprostor) operátoru T. Podobně R(T) := {y ∈ V_{2} | ∃ x ∈ V_{1} : y = T x} je vektorový podprostor ve (V_{2}, L_{𝔽}) nazývaný obor hodnot operátoru T.

DŮSLEDEK 3.30. Nechť T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) je lineární operátor. Pak

(1) T je izomorfní vnoření právě když N (T) = {0}.

(2) T je izomorfizmus právě když N (T) = {0} a R(T) = V_{2}.

(3) T je izomorfní vnoření právě když obraz každé neprázdné konečné množiny lineárně nezávislé ve V_{1} je také lineárně nezávislá množina ve V_{2} s týmž počtem prvků.

(4) T je izomorfizmus právě když obraz každé báze ve V_{1} je také báze ve V_{2} téže mohutnosti.

\underline{DEFINICE} 3.31. Nechť (V, L_{𝔽}) je n-rozměrný vektorový prostor a E := {e_{1}, …, e_{n}} jeho báze. Definujme zobrazení [·]_{E} : V → 𝔽^{n}, které každému vektoru x ∈ V přiřazuje vektor jeho souřadnic v bázi E, tj. [x]_{E} := [ξ_{1}, …, ξ_{n}] je ona dle 3.17(3) jednoznačně určená n-tice skalárů taková, že x = ξ_{1}e_{1} + ⋯ + ξ_{n}e_{n}. Pokud báze E ve V bude pevně dána, budeme též psát stručně [x] místo [x]_{E}.

\underline{VĚTA} 3.32. Zobrazení [·]_{E} : V → 𝔽^{n} z předchozí definice je izomorfizmus vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) na (𝔽^{n}, L_{𝔽}).

DŮSLEDEK 3.33.

(1) Dva konečně rozměrné vektorové prostory V_{1} a V_{2} nad týmž polem 𝔽 mají stejnou dimenzi právě když (V_{1}, L_{𝔽}) ≃ (V_{2}, L_{𝔽}).

(2) Pro dva konečně rozměrné vektorové prostory (V_{1}, L_{𝔽}), (V_{2}, L_{𝔽}) platí dim V_{1} ≤ dim V_{2} právě když (V_{1}, L_{𝔽}) ≾ (V_{2}, L_{𝔽}).

\underline{POZNÁMKA} 3.34. Každý lineární operátor T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}), V_{1} = L(E_{1}), je dle 3.28 jednoznačně určen jen svými hodnotami T (E_{1}) = {T e}_{e∈E_{1}} na generátorech. Je-li x ∈ V_{1} libovolný vektor a x = ξ_{1}e_{1} + ⋯ + ξ_{n}e_{n} nějaké jeho vyjádření jako lineární kombinace generátorů e_{i} ∈ E_{1}, i = 1, …, n (viz 3.13), pak totiž T x = ξ_{1}T (e_{1}) + ⋯ + ξ_{n}T (e_{n}) dle 3.28. Poznamenejme, že zatímco toto vyjádření nemusí být jediné možné (je tomu tak jen když E_{1} je báze), obraz T x je vždy jediný bez ohledu na volbu tohoto vyjádření.

\underline{DEFINICE} 3.35. Nechť T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) je lineární operátor, E_{1} n-prvková báze ve V_{1} a E_{2} m-prvková báze ve V_{2}. Pak dle předchozí poznámky a s ohledem na 3.32 je T jednoznačně určen vektory souřadnic [T e]_{E_{2}} pro e ∈ E_{1}. Systém n vektorů (každý délky m) značený [T]_{E_{1} ,E_{2}} := {[T e]_{E_{2}} }_{e∈E_{1}} pak nazýváme souřadnicovou reprezentací operátoru T v bázích E_{1} a E_{2}. Jsou-li obě báze pevně dány, píšeme opět stručně [T] místo [T]_{E_{1} ,E_{2}} .

VĚTA 3.36. Nechť T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) je lineární operátor, V_{1} = L(E_{1}). Pak platí:

(1) T (E_{1}) generuje R(T).

(2) T (E_{1}) generuje V_{2} právě když T je surjekce.

(3) Je-li T izomorfní vnoření a E_{1} báze, pak T (E_{1}) je báze v R(T).

(4) Je-li T izomorfní vnoření a E_{1} báze, pak T (E_{1}) je nezávislá podmnožina ve V_{2}.

(5) Je-li T izomorfizmus a E_{1} báze, pak T (E_{1}) je báze ve V_{2}.

(6) Každé zobrazení f báze E_{1} do prostoru V_{2} se dá jednoznačně rozšířit na lineární operátor V_{1} do V_{2}. Je-li f prosté zobrazení do nějaké báze E_{2} ve V_{2} (resp. bijekce na E_{2}), pak toto rozšíření je izomorfní vnoření (resp. izomorfizmus).

\underline{PŘÍKLAD} 3.37. Uvážíme-li 3.25(5), pak zobrazení φ(a_{0} + a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n}) := [a_{0}, a_{1}, …, a_{n}] definuje izomorfizmus z (ℝ_{n}[t], L_{ℝ}) na (ℝ^{n+1} , L_{ℝ}), resp. z (ℂ_{n}[z], L_{ℂ}) na (ℂ^{n+1} , L_{ℂ}). Analogicky ψ(a_{0} + a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n}) := {a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, … } definuje izomorfní vnoření z (ℝ_{n}[t], L_{ℝ}) do (ℝ^{ℕ}, L_{ℝ}), resp. z (ℂ_{n}[t], L_{ℂ}) do (ℂ^{ℕ}, L_{ℂ}).

VĚTA 3.38. Nechť (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}) jsou dva vektorové prostory. Nechť L(V_{1}, V_{2}) značí množinu všech lineárních operátorů z V_{1} do V_{2} s operacemi z L_{𝔽} definovanými po složkách jako v 3.4(4), tj. pro T, T_{1}, T_{2} ∈ L(V_{1}, V_{2}) a každé x ∈ V_{1} klademe: (T_{1} + T_{2})(x) := T_{1}(x) + T_{2}(x), (−T)(x) := −T (x), T ≡ 0 ⇔ T (x) = 0, (αT)(x) := αT (x). Pak L(V_{1}, V_{2}) je vektorový prostor nad 𝔽.

3.5. FAKTOR PROSTORY A PŘÍMÝ SOUČET.

Věta 3.39. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a ∼ nějaká relace ekvivalence na V a \overline{V} := V/∼ příslušný rozklad na V. Pak relace ∼ je kongruence na (V, L_{𝔽}) ve smyslu definice 2.42 právě když pro x, x_{1}, x_{2}, x′, x′_{1}, x′_{2} ∈ V platí implikace:

(1) x_{1} ∼ x′_{1}, x_{2} ∼ x′_{2} ⇒ x_{1} + x_{2} ∼ x′_{1} + x′_{2},

(2) α ∈ 𝔽, x ∼ x′ ⇒ αx ∼ αx′.

V takovém případě třída \overline{0} ∈ \overline{V} obsahující nulový prvek je vektorovým podprostorem ve V.

Důsledek 3.40. Každý vektorový podprostor W vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) určuje kongruenci ∼^{W} na V s vlastností W = \overline{0} a naopak dle 3.39. Příslušný faktor prostor (\overline{V} , L_{𝔽}) tvořený odpovídajícími třídami rozkladu pak značíme jako V/W a nazýváme jej faktor prostorem V modulo (podle) W. Každá jeho třída obsahující vektor x je jednoznačně určena podprostorem W ve tvaru \overline{x} = \{x + w | w ∈ W \}. Místo \overline{x} pak píšeme x + W. Zejména samotný podprostor W = 0 + W tvoří třídu obsahující nulový vektor 0. Přitom platí x ∼^{W} y ⇔ y − x ∈ W. V takovém případě říkáme, že vektory x a y jsou kongruentní modulo W. Pro příslušné kanonické lineární zobrazení V → V/W z věty 2.43, x ↦ x + W, pak tedy platí: (x+ y) + W = (x+ W) + (y + W), (−x) + W = −(x+ W), 0 ↦ W, (αx) + W = α(x + W) pro každé α ∈ 𝔽.

Důsledek 3.41. Je-li T : (V_{1}, L_{𝔽}) → (V_{2}, L_{𝔽}) lineární zobrazení a V_{1}/∼^{T} příslušný kanonický rozklad dle definice 2.40, pak V_{1}/∼^{T} = V_{1}/N (T).

\underline{Poznámka} 3.42. Podobně každá faktor grupa V/W grupy (V, +, 0) je určena nějakou podgrupou W ve V. Stačí vlastnost (2) ve větě 3.39 nahradit vlastností: x ∼ x′ ⇒ −x ∼ −x′. Příkladem je grupa (ℤ_{N}, ⊕, 0), která je izomorfní s faktor grupou grupy (ℤ, +, 0) podle podgrupy Nℤ := {Nk | k ∈ ℤ}. Píšeme pak ℤ_{N} ≃ ℤ/Nℤ. Pak

a ∼^{Nℤ} b ⇔ b−a ∈ Nℤ ⇔ b−a = Nk pro nějaké k ∈ ℤ ⇔ N|(b−a),

což přesně odpovídá kongruenci z příkladu 2.62(2).

DEFINICE 3.43. Nechť {(W_{i}, L_{𝔽})}_{i∈I} je systém vektorových podprostorů vektorového prostoru (V, L_{𝔽}). Pak podprostor W := L(⋃_{i∈I} W_{i}) nazýváme součtem vektorových podprostorů W_{i}, i ∈ I a píšeme W = ∑_{i∈I} W_{i}. Jestliže navíc platí W_{i} ∩ L(⋃_{j∈I,j≠i} W_{j}) = {0} pro každé i ∈ I, pak součet nazýváme přímým součtem vektorových podprostorů

W_{i}, i ∈ I a píšeme W = ∑^{▪}_{i∈I}W_{i}.

Speciálně v případě součtu dvou, resp. konečného počtu (n ≥ 2) podprostorů píšeme W = W_{1} + W_{2}, resp. W = W_{1} + ⋯ + W_{n}. Podobně v případě přímého součtu dvou^{5}, resp. konečného počtu (n ≥ 2) podprostorů píšeme W = W_{1} ∔ W_{2}, resp. W = W_{1} ∔ ⋯ ∔ W_{n}.

\underline{Poznámka} 3.44. Součet ani přímý součet podprostorů zřejmě nezávisí na pořadí a uzávorkování sčítanců a jsou to tedy komutativní a asociativní operace.

VĚTA 3.45. Pro podprostory z předchozí definice platí:

(1) W = ∑_{i∈I} W_{i} právě když

W = {x ∈ V | x = ∑_{j∈J} x_{j}, x_{j} ∈ W_{j}, J ⊆ I, card J < ∞}.

(2) W = W_{1} + ⋯ + W_{n} právě když

W = {x_{1} + ⋯ + x_{n} | x_{i} ∈ W_{i}, i = 1, …, n}.

(3) W = ∑^{▪}_{i∈I}W_{i} právě když

W = {x ∈ V | x = ∑_{j∈J} x_{j}, x_{j} ∈ W_{j}, J ⊆ I, card J < ∞}, kde vyjádření každého vektoru x ∈ W ve tvaru součtu x = ∑_{j∈J} x_{j} je jediné až na pořadí a počet nulových sčítanců x_{j}.

(4) W = W_{1} ∔ ⋯ ∔ W_{n} právě když W = {x_{1} + ⋯ + x_{n} | x_{i} ∈ W_{i}, i = 1, …, n}, kde vyjádření x_{1} +⋯+x_{n} každého vektoru je až na pořadí sčítanců jediné.

DŮSLEDEK 3.46. W = W_{1} ∔ ⋯ ∔ W_{n} právě když W ≃ W_{1} × ⋯ × W_{n}.

VĚTA 3.47 ([Šik:V3.43 s.32]). Ke každému podprostoru W vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) existuje (obecně ne jediný) podprostor W′ ve V tak, že V = W ∔ W′ a dim V = dim W +dim W′. Podprostor W′ se nazývá přímý doplněk W ve V.

Věta 3.48 ([Šik:V3.44 s.33]). Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a V = W_{1} ∔W_{2}, pak V/W_{1} ≃ W_{2} a každá třída rozkladu V/W_{1} obsahuje právě jeden prvek z W_{2} (podobně po záměně role W_{1} a W_{2}).

5dodatečná podmínka je v tomto případě tvaru W_{1} ∩ W_{2} = {0}.

VĚTA 3.49 ([Šik:V3.45 s.33]). Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a V = W_{1} ∔ W_{2}, pak dim V = dim(W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2}.

VĚTA 3.50 ([Šik:V3.46 s.33]). Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a W_{1} a W_{2} jeho podprostory, pak dim(W_{1} ∩ W_{2}) + dim(W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2}.

PŘÍKLAD 3.51.

(1) Nechť 0 ≠ u ∈ ℝ^{2} je nějaký vektor, pak W := L({u}) = {ξu| ξ ∈ ℝ} je jednorozměrný vektorový podprostor v (ℝ^{2}, L_{ℝ}) generovaný vektorem u. Tento podprostor je v Euklidovské rovině s pevně zvoleným počátkem reprezentován přímkou procházející tímto počátkem ve směru vektoru u. Pak rozklad ℝ^{2}/W dle 3.40 je tvořen všemi přímkami rovnoběžnými s W.

(2) Nechť W_{1} a W_{2} jsou dva různé jednorozměrné vektorové podprostory jako v (1) reprezentované dvěma přímkami procházejícími počátkem v různých směrech u_{1} a u_{2}. Pak ℝ^{2} = W_{1} ∔ W_{2}, neboť W_{1} ∩ W_{2} = {[0, 0]} a ℝ^{2} = L(W_{1} ∪ W_{2}) = L({u_{1}, u_{2}}), neboť u_{1}, u_{2} jsou zřejmě nezávislé a tudíž tvoří bázi v ℝ^{2}. Dle 3.49 podle očekávání platí 2 = dim ℝ^{2} = dim W_{1} + dim W_{2} = 1 + 1.

(3) Nechť W_{1} a W_{2} jsou dva různé dvourozměrné podprostory v (ℝ^{3}, L_{ℝ}) reprezentované různými rovinami procházejícími počátkem Eukleidovského prostoru ℝ^{3}. Zřejmě ℝ^{3} = W_{1}+W_{2} a dle 3.50 platí dim(W_{1} ∩W_{2}) = dim W_{1} +dim W_{2} −dim ℝ^{3} = 2 + 2 − 3 = 1. Podle očekávání je tedy průnikem těchto rovin nějaká přímka procházející počátkem a součet ℝ^{3} = W_{1} +W_{2} tedy nemůže být přímým součtem. Toho lze dosáhnout jen když W_{1} je přímka a W_{2} rovina (nebo naopak), kdy dim(W_{1} ∩ W_{2}) = 1 + 2 − 3 = 0, tj. W_{1} ∩ W_{2} = {[0, 0, 0]}.

DEFINICE 3.52. Nechť W je vektorový podprostor vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) a P : V ↠ W lineární operátor s vlastností: P x = x pro každé x ∈ W. Pak P se nazývá projekční. P je zřejmě surjektivní a P^{2} = P, tj. P (P x) = P x pro každé x ∈ V (tzv. vlastnost idempotence).

VĚTA 3.53. Nechť (V, L_{𝔽}) je vektorový prostor a V = W_{1} ∔W_{2}. Definujme zobrazení P_{1} : V → W_{1} takto: P_{1}(x) := x_{1} je onen dle věty 3.45(4) jednoznačně určený prvek z vyjádření x = x_{1} + x_{2}, x_{1} ∈ W_{1}, x_{2} ∈ W_{2}. Pak P_{1} je projekční operátor nazývaný operátorem rovnoběžné^{6} projekce na podprostor W_{1}, přičemž N (P_{1}) = W_{2} a

V/∼^{P_{1}}= V/W_{2}.

3.6. PROSTORY S NORMOU A SKALÁRNÍM SOUČINEM.

Všude v tomto odstavci uvažujeme pouze reálné nebo komplexní vektorové prostory, tj. 𝔽 ⊆ ℂ, zpravidla 𝔽 = ℝ nebo 𝔽 = ℂ.

\underline{DEFINICE} 3.54. Nechť V je (reálný nebo komplexní) vektorový prostor. Normou na V rozumíme funkci^{7} ∥·∥ : V → ℝ^{+} s těmito vlastnostmi:

(N1) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ pro každé x, y ∈ V

(trojúhelníková nerovnost). (N2) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ pro každé x ∈ V a α ∈ 𝔽. (N3) Pro každé x ∈ V platí ∥x∥ ≥ 0, přičemž ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0.

Vektorový prostor V pak nazýváme normovaným lineárním (vektorovým) prostorem, zkráceně NL-prostorem a píšeme (V, L_{𝔽}, ∥·∥).

\underline{VĚTA} 3.55. (Vlastnosti normy) Z axiomů (N1) až (N3) bezprostředně vyplývají některé další užitečné vlastnosti normy, například:

(N4) | ∥x∥ − ∥y∥ | ≤ ∥x ± y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ pro každé x, y ∈ V.

6rozumí se rovnoběžně s podprostorem W_{2}

7někdy také budeme psát ∥·∥_{V} místo ∥·∥, abychom zdůraznili příslušnost normy k prostoru V.

\underline{PŘÍKLAD} 3.56.

(1) Absolutní hodnota |·| je normou v (𝔽, L_{𝔽}).

(2) Podobně pro x =: [x_{1}, …, x_{n}] ∈ 𝔽^{n}, n ∈ ℕ, definuje vztah ∥x∥_{1} := |x_{1}| + ⋯ + |x_{n}| tzv. 1-normu v (𝔽^{n}, L_{𝔽}).

(3) Dá se ukázat, že pro libovolné p ∈ ℕ je rovněž ∥x∥_{p} := \sqrt[p]{|x_{1}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p}} tzv. p-norma v (𝔽^{n}, L_{𝔽}). V limitě pro p → ∞ dostaneme normu ∥x∥_{∞} := max(|x_{1}|, …, |x_{n}|).

\underline{POZNÁMKA} 3.57. Norma představuje míru pro velikost vektorů ve vektorovém prostoru. Norma ∥x∥_{2} z předchozího příkladu je běžně užívaná Euklidovská norma.

\underline{DEFINICE} 3.58. Nechť V je (reálný nebo komplexní) vektorový prostor. Skalárním (vnitřním) součinem na V rozumíme funkci^{8} ⟨·, ·⟩ : V × V → 𝔽 s těmito vlastnostmi:

(S1) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ pro každé x, y, z ∈ V.

(S2) ⟨αx, y⟩ = α ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V a α ∈ 𝔽.

(S3) ⟨y, x⟩ = \overline{⟨x, y⟩} pro každé x, y ∈ V, zejména tedy ⟨x, x⟩ ∈ ℝ. (S4) Pro každé x ∈ V platí ⟨x, x⟩ ≥ 0, přičemž ⟨x, x⟩ = 0 ⇔

x = 0. Vektorový prostor V pak nazýváme lineárním (vektorovým) prostorem s vnitřním součinem, zkráceně VS-prostorem a píšeme (V, L_{𝔽}, ⟨·, ·⟩).

\underline{VĚTA} 3.59. (Vlastnosti skalárního součinu) Z axiomů (S1) až (S4) vyplývají některé další užitečné vlastnosti skalárního součinu, například:

(S5) ⟨x, y + z⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩ pro každé x, y, z ∈ V.

(S6) ⟨x, αy⟩ = \overline{α} ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V a α ∈ 𝔽.

(S7) ⟨0, x⟩ = ⟨x, 0⟩ = 0 pro každé x ∈ V.

8někdy také budeme psát ⟨·, ·⟩_{V} místo ⟨·, ·⟩, abychom zdůraznili příslušnost skalárního součinu k prostoru V.

\underline{POZNÁMKA} 3.60. Je-li V reálný vektorový prostor (𝔽 = ℝ), pak (S3) a (S6) jsou tvaru:

(S3’) ⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V (symetrie).

(S6’) ⟨x, αy⟩ = α ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V a α ∈ ℝ. Vlastnosti (S1), (S2), (S5) a (S6’), resp. (S6), znamenají, že ⟨·, ·⟩ je tzv. bilineární forma na V. Vlastnost (S3’) znamená, že ⟨·, ·⟩ je dokonce symetrická bilineární forma. Vzhledem k vlastnostem bilinearity můžeme dále s výhodou provádět následující úpravy (ξ_{i}, η_{j} ∈ 𝔽, x_{i}, y_{j} ∈ V):

⟨∑_{i=1}^{n}ξ_{i}x_{i}, ∑_{j=1}^{m}η_{j}y_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}ξ_{i}⟨x_{i}, ∑_{j=1}^{m}η_{j}y_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n}ξ_{i} ∑_{j=1}^{m} \overline{η}_{j}⟨x_{i}, y_{j}⟩ =

= ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m}ξ_{i}\overline{η}_{j}⟨x_{i}, y_{j}⟩.  (3.1)

\underline{VĚTA} 3.61 ((Cauchy-)Schwarzova nerovnost, [KaSk:V11.5 s.105]).

(S8) |⟨x, y⟩| ≤ \sqrt{⟨x, x⟩} \sqrt{⟨y, y⟩} =^{(S9)} ∥x∥ ∥y∥ pro každé x, y ∈ V,

přičemž rovnost nastane jen v případě, že x, y jsou lineárně závislé, tj. jen když jeden z nich je skalárním násobkem druhého (viz větu 3.18).

\underline{DŮSLEDEK} 3.62.

(S9) ∥x∥ := \sqrt{⟨x, x⟩} je norma na V nazývaná normou odvozenou ze skalárního součinu ⟨·, ·⟩ nebo také normou indukovanou skalárním součinem ⟨·, ·⟩.

Věta 3.63. V NL-prostoru V s normou ∥·∥ lze zavést vnitřní součin ⟨·, ·⟩ indukující tuto normu dle (S9) právě když platí tzv. rovnoběžníkový zákon: (S10) ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}) pro každé x, y ∈ V.

\underline{PŘÍKLAD} 3.64.

• (ℂ^{n}, L_{ℂ}), n ∈ ℕ, je VS-prostorem s vnitřním součinem ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y}_{i}.

• (ℝ^{n}, L_{ℝ}), n ∈ ℕ, je VS-prostorem s vnitřním součinem ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}.

• Indukovanou normou je v obou případech euklidovská norma, neboť ⟨x, x⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{x}_{i} = ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2} = ∥x∥_{2}^{2}.

• Protože každé dva nenulové reálné vektory x, y generují nejvýše dvourozměrný podprostor v (ℝ^{n}, L_{ℝ}), který je dle 3.32 izomorfní s (ℝ^{2}, L_{ℝ}) můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že x, y ∈ ℝ^{2}. Pak užitím Pythagorovy věty dostáváme (α a β jsou úhly, které po řadě vektory x a y svírají s osou x):

⟨x, y⟩ = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} =
= (∥x∥ cos α) (∥y∥ cos β) + (∥x∥ sin α) (∥y∥ sin β) =
= ∥x∥ ∥y∥(cos α cos β + sin α sin β) =
= ∥x∥∥y∥ cos(β − α).

Pak φ := β − α je úhel mezi směrově orientovanými vektory x a y a můžeme psát:

−1 ≤ cos φ := \frac{⟨x, y⟩}{∥x∥∥y∥} ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ π,  (3.2a)

což poskytuje geometrickou interpretaci Schwarzovy nerovnosti. V komplexním případě je ⟨x, y⟩ obecně komplexní číslo, takže úhel můžeme zavést jen jako úhel mezi neorientovanými vektory:

0 ≤ cos φ := \frac{|⟨x, y⟩|}{∥x∥∥y∥} ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2},  (3.2b)

Skalární součin tedy prostřednictvím Schwarzovy nerovnosti umožňuje zavést úhlovou geometrii do libovolného abstraktního vektorového prostoru se skalárním součinem dle následující definice.

\underline{DEFINICE} 3.65. Nechť V je reálný (resp. komplexní) vektorový prostor a x, y ∈ V jeho dva nenulové vektory. Pak úhlem mezi x a y (svíraným vektory x a y) rozumíme úhel φ určený svým kosinem dle (3.2a) (resp. dle (3.2b)). Je-li x = 0 nebo y = 0, klademe definitoricky φ = \frac{π}{2}.

• Řekneme, že vektory x a y jsou ortogonální, jestliže ⟨x, y⟩ = 0 (tj. když svírají pravý úhel), píšeme x ⊥ y. Zřejmě nulový vektor 0 je dle (S7) kolmý na každý vektor x ∈ V a dle (S4) je to současně jediný vektor, který je kolmý sám na sebe.

• Podobně podmnožiny M, N ⊆ V se nazývají k sobě ortogonální, jestliže x ⊥ y pro každou dvojici x ∈ M a y ∈ N. Píšeme opět M ⊥ N (místo {x} ⊥ N píšeme stručně x ⊥ N).

• Řekneme, že množina M ⊆ V je ortogonální, jestliže x ⊥ y pro každou dvojici x, y ∈ M, x ≠ y. Ortogonální množina M se nazývá ortonormální^{9}, jestliže navíc ∥x∥ = 1 pro každé x ∈ M.

\underline{VĚTA} 3.66 ([KaSk:V11.8 s.106]). Nechť E := \{e_{1}, …, e_{n}\} je ortogonální množina VS-prostoru V. Pak platí:

(a) množina {α_{1}e_{1}, …, α_{n}e_{n}} je ortogonální pro libovolná čísla α_{1}, …, α_{n} ∈ 𝔽,

(b) pokud E neobsahuje nulové vektory, pak E lze normalizovat: množina \{ \frac{1}{∥e_{1} ∥} e_{1}, …, \frac{1}{∥e_{n}∥} e_{n}\} je ortonormální.

\underline{VĚTA} 3.67 (Pythagorova věta, [KaSk:V11.9 s.106]). (S11) ∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} pro každé x, y ∈ V, x ⊥ y. Je-li E = {e_{1}, …, e_{n}}, n ∈ ℕ, ortogonální množina vektorového prostoru V. Pak platí (S11’) ∥e_{1} + e_{2} + ⋯ + e_{n}∥^{2} = ∥e_{1}∥^{2} + ∥e_{2}∥^{2} + ⋯ + ∥e_{n}∥^{2}.

\underline{VĚTA} 3.68. Nechť E je ortogonální množina VS-prostoru V neobsahující nulové prvky. Pak E je lineárně nezávislá. Zejména tedy každá ortonormální množina E ⊆ V je lineárně nezávislá. Jestliže taková množina E generuje celý prostor V (viz 3.19(3)), nazývá se ortogonální, resp. ortonormální báze prostoru V (zkráceně OB, resp. ONB).

9Na rozdíl od ortogonální množiny nemůže dle (N3) ortonormální množina obsahovat nulové prvky.

\underline{DŮSLEDEK} 3.69. Nechť E je ONB VS-prostoru V, pak každý vektor x ∈ V má jediné vyjádření ve tvaru x = ∑_{e∈E}⟨x, e⟩e, kde suma má nejvýše konečně mnoho nenulových sčítanců, neboť card {e ∈ E | ⟨x, e⟩ ≠ 0} < ∞. Je-li V konečně rozměrný a E = {e_{1}, …, e_{n}}, pak x má v této bázi vektor souřadnic^{10} [x]_{E} = [⟨x, e_{1}⟩, …, ⟨x, e_{n}⟩].

\underline{DŮSLEDEK} 3.70 (Souřadnicové vyjádření skalárního součinu v ONB). Nechť E je ONB VS-prostoru V, x, y ∈ V, pak skalární součin lze vyjádřit ve tvaru ⟨x, y⟩ = ∑_{e∈E}⟨x, e⟩\overline{⟨y, e⟩}, kde suma má nejvýše konečně mnoho nenulových sčítanců. Zejména v případě x = y platí ∥x∥ = \sqrt{∑_{e∈E}|⟨x, e⟩|^{2}}. Je-li V konečně rozměrný a E = \{e_{1}, …, e_{n}\}, pak ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}\overline{η}_{i} a ∥x∥ = \sqrt{∑_{i=1}^{n} |ξ_{i}|^{2}}, kde [x]_{E} =: [ξ_{1}, …, ξ_{n}], [y]_{E} =: [η_{1}, …, η_{n}], ξ_{i} = ⟨x, e_{i}⟩ a η_{i} = ⟨y, e_{i}⟩ pro i = 1, …, n.

Věta 3.71. Nechť ∅ ≠ M ⊆ V je podmnožina VS-prostoru V. Pak množina M^{⊥} := {x ∈ V | x ⊥ M} je vektorový podprostor ve V a platí L(M)^{⊥} = M^{⊥}. Množina M^{⊥} se nazývá ortogonální doplněk (komplement) množiny M ve V.

\underline{POZNÁMKA} 3.72. Z předchozí věty vyplývá důležitý fakt: k tomu, aby nějaký vektor x ∈ V byl kolmý na nějaký podprostor W ve V stačí, aby byl kolmý na nějakou obvykle podstatně menší množinu jeho generátorů (konečná množina, pokud dim W < ∞).

VĚTA 3.73. Nechť {(W_{i}, L_{𝔽})}_{i∈I} je systém navzájem kolmých VS–podprostorů VS-prostoru (V, L_{𝔽}), W_{i} ⊥ W_{j} pro i ≠ j. Pak jejich součet W := ∑_{i∈I} W_{i} je přímý a nazývá se ortogonální součet pod-

10viz definici 3.31

prostorů {W_{i}}_{i∈I}. Místo W = ∑^{▪}_{i∈I}W_{i} v takovém případě píšeme W = ⨁_{i∈I} W_{i}. Speciálně v případě ortogonálního součtu dvou, resp. konečného počtu (n ≥ 2) podprostorů píšeme W = W_{1} ⊕ W_{2}, resp. W = W_{1} ⊕ ⋯ ⊕ W_{n}.

\underline{VĚTA} 3.74. Nechť (V, L_{𝔽}) je VS-prostor a V = W ⊕ W′. Pak W′ = W^{⊥} je jediný přímý doplněk ortogonální k W. V tomto případě operátor rovnoběžné projekce V na W zavedený ve větě 3.53 nazýváme operátorem ortogonální projekce a značíme jej P_{W}. Každý vektor x ∈ V lze pak jednoznačně rozložit na součet x = x̂ + x^{⊥}, kde x̂ := P_{W} x ∈ W je ortogonální projekce x na W a x^{⊥} ∈ W^{⊥} je jednoznačně určená reziduální složka vektoru x, x^{⊥} ⊥ W.

\underline{DŮSLEDEK} 3.75. I − P_{W} je operátor ortogonální projekce V na W^{⊥} a platí W^{⊥⊥} = W.

\underline{VĚTA} 3.76 (Některé vlastnosti operátoru ortogonální projekce). Nechť W_{1} a W_{2} jsou vektorové podprostory VS-prostoru V a P_{W_{1}} a P_{W_{2}} operátory ortogonální projekce prostoru V po řadě na W_{1} a W_{2}. Pak platí:

(1) x ∈ W_{1} ⇔ P_{W_{1}} x = x.

(2) x ∈ W_{1}^{⊥} ⇔ P_{W_{1}} x = 0.
(3) W_{2} ⊆ W_{1} ⇔ P_{W_{2}} (P_{W_{1}} x) = P_{W_{2}} x pro každé x ∈ V.

\underline{VĚTA} 3.77 (Věta o ortogonální projekci). Nechť (V, L_{𝔽}) je VS-prostor, V = W ⊕ W^{⊥} a x̂ = P_{W} x pro nějaký vektor x ∈ V. Pak ∥x − x̂∥ = inf_{y∈W} ∥x − y∥ a x̂ je jediný prvek ve W s takovou vlastností. Je-li W = L(E), pak x̂ = β_{1}e_{1} + ⋯ + β_{n}e_{n} pro vhodné^{11} vektory e_{i} ∈ E a β_{i} ∈ 𝔽, i = 1, …, n, n ∈ ℕ. Vektor x̂ proto také nazýváme nejlepší lineární aproximací x pomocí vektorů z E podle normy ∥·∥. Je-li E ONB ve W, pak β_{i} = ⟨x̂, e_{i}⟩ = ⟨x, e_{i}⟩ pro i = 1, …, n.

11zatímco x̂ je určen jednoznačně, jeho lineární reprezentace pomocí β_{j} a e_{j} ∈ E je jediná jen v případě, že E je báze.

\underline{VĚTA} 3.78 (Gram-Schmidtova ortogonalizace, [KaSk:V11.11 s.107]). Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem ⟨·, ·⟩ a nechť v_{1}, …, v_{n} (n ∈ ℕ) je báze^{12} vektorového podprostoru W vektorového prostoru V. Položme W_{k} := L({v_{1}, …, v_{k}}) pro každé k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ n a definujme rekurentně vektory e_{1}, …, e_{n} ∈ V takto:

e_{1} = v_{1},
e_{k} = v_{k} − P_{W_{k−1}} v_{k} = v_{k} − ∑_{j=1}^{k−1} \frac{⟨v_{k}, e_{j}⟩}{∥e_{j}∥^{2}}e_{j} pro každé k = 2, …, n.

Pak L({e_{1}, …, e_{k}}) = W_{k} pro každé k = 1, …, n, přičemž vektory e_{1}, …, e_{k} tvoří ortogonální bázi ve W_{k}. Zejména tedy vektory e_{1}, …, e_{n} tvoří ortogonální bázi ve W = W_{n}.

\underline{DŮSLEDEK} 3.79 ([KaSk:V11.12 s.107]). Každý VS-prostor V konečné dimenze má ortogonální i ortonormální bázi. Přitom každou jeho ortogonální množinu bez nulových prvků lze doplnit na OB ve V a každou jeho ortonormální množinu lze doplnit na ONB ve V.

\underline{VĚTA} 3.80. Pro každý konečně rozměrný podprostor W vektorového prostoru (V, L_{𝔽}) platí V = W ⊕W^{⊥} a tedy v takovém případě lze vždy použít větu o ortogonální projekci.

Důsledek 3.81. Nechť ∅ ≠ M ⊆ V je podmnožina VS-prostoru V generující ve V podprostor L(M) konečné dimenze. Pak M^{⊥⊥} = L(M).

VĚTA 3.82. Nechť (V_{1}, L_{𝔽}) a (V_{2}, L_{𝔽}) jsou dva VS-prostory a T : V_{1} → V_{2} lineární operátor. Jestliže existuje zobrazení T^{∗} : V_{2} → V_{1} takové, že ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ platí pro každé x ∈ V_{1} a y ∈ V_{2}, pak T^{∗} je jediné takové a určuje lineární operátor nazývaný operátorem adjungovaným k T. Je-li V_{1} = V_{2} a T = T^{∗}, pak T se nazývá samoadjungovaný operátor.

12algoritmus lze po modifikaci užít i v případě, že v_{1} , …, v_{n} pouze generují V: v rekurzi pro e_{k} sčítáme jen přes ta j, pro něž e_{j} ≠ 0; bázi pak tvoří jen nenulové vektory e_{j}.

Věta 3.83. Je-li T lineární operátor jako v 3.82 a dim R(T) =: n < ∞ pak T^{∗} existuje a zkonstruuje se takto:

(1) V R(T) vybereme nějakou n-prvkovou ortonormální bázi E′ a b_{1}, …, b_{n} ∈ V_{1} takové, že E′ = {T (b_{1}), …, T (b_{n})}.

(2) Pak B := {b_{1}, …, b_{n}} je lineárně nezávislá ve V_{1} a tedy generuje ve V_{1} podprostor W := L(B) rovněž dimenze n.

(3) Nechť E =: {e_{1}, …, e_{n}} je ONB ve W získaná Gram-Schmidt-ovou ortogonalizací báze B dle 3.78.

(4) Pro každé y ∈ V_{2} položíme T^{∗}y := ∑_{j=1}^{n} ⟨y, T e_{j}⟩e_{j}.

\underline{POZNÁMKA} 3.84. Každý lineární operátor V_{1} → V_{2} určuje vztahem ⟨T x, y⟩ bilineární formu V_{1}×V_{2} → 𝔽 (srov. 3.60), kterou lze vzhledem k linearitě T opět upravovat podle vztahů analogických k (3.1):

⟨T (∑_{i=1}^{n}ξ_{i}x_{i}), ∑_{j=1}^{m}η_{j}y_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m}ξ_{i}\overline{η}_{j}⟨T x_{i}, y_{j}⟩.  (3.3)

Je-li V := V_{1} = V_{2}, pak zobrazení V → V definované vztahem ⟨T x, x⟩ nazýváme kvadratickou formou. Pokud navíc platí T = T^{∗} , pak tato forma nabývá pouze reálných hodnot, neboť

⟨T x, x⟩ = ⟨x, T x⟩ =^{(S3)} \overline{⟨T x, x⟩}.

Samoadjungovaný operátor T se nazývá (striktně) pozitivní, jestliže ⟨T x, x⟩ ≥ 0 pro každé x ∈ V (⟨T x, x⟩ > 0 pro každé x ≠ 0), neboli když jím určená kvadratická forma nabývá pouze nezáporných hodnot (kladných hodnot pro nenulová x). Píšeme T ≥ 0 (T > 0).

VĚTA 3.85 (Vlastnosti adjungovaných operátorů). Nechť (V_{1}, L_{𝔽}), (V_{2}, L_{𝔽}) a (V_{3}, L_{𝔽}) jsou VS-prostory, T : V_{1} → V_{2} a U : V_{2} → V_{3} lineární operátory a T^{∗} : V_{2} → V_{1} a U^{∗} : V_{3} → V_{2} operátory k nim adjungované. Pak platí (1) T je operátor adjungovaný k T^{∗}, tj. platí T^{∗}^{∗} = T.

(2) T^{∗}U^{∗} je operátor adjungovaný ke složenému operátoru UT : V_{1} → V_{3}, tj. platí (UT)^{∗} = T^{∗}U^{∗}.

(3) Identický operátor I : V_{1} → V_{1} je samoadjungovaný, tj. I^{∗} = I.

(4) T T^{∗} i T^{∗}T jsou pozitivní operátory a tedy také samoadjungované.

VĚTA 3.86 (Charakterizace operátoru ortogonální projekce). Nechť (V, L_{𝔽}) je VS-prostor a P surjektivní zobrazení V na nějaký jeho podprostor W. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(1) P = P_{W}, tj. P je operátor ortogonální projekce V na W.

(2) Pro každé x ∈ V platí x − P x ⊥ W.

(3) P je lineární operátor s vlastnostmi: P^{2} = P (tj. P je projekční) a P = P^{∗} (tj. P je samoadjungovaný).

Důsledek 3.87. Každý operátor ortogonální projekce je pozitivní.

Věta 3.88. Nechť (V_{1}, L_{𝔽}), (V_{2}, L_{𝔽}) jsou VS-prostory, T : V_{1} → V_{2} lineární operátor a T^{∗} : V_{2} → V_{1} operátor k němu adjungovaný. Pak platí:

(1) N (T) = R(T^{∗})^{⊥} a N (T^{∗}) = R(T)^{⊥}.

(2) T = T^{∗} ⇒ N (T) = R(T)^{⊥}.

(3) N (T^{∗}T) = N (T) a N (T T^{∗}) = N (T^{∗}).

(4) T izomorfizmus ⇒ T^{∗} je izomorfní vnoření.

(5) Jestliže dim R(T) < ∞ nebo dim R(T^{∗}) < ∞, pak (i) V_{1} = R(T^{∗}) ⊕ N (T), V_{2} = R(T) ⊕ N (T^{∗}), (ii) N (T)^{⊥} = R(T^{∗}), N (T^{∗})^{⊥} = R(T), (iii) R(T^{∗}T) = R(T^{∗}) a R(T T^{∗}) = R(T). (iv) T^{∗}|_{R(T)} : R(T) → R(T^{∗}) i T |_{R(T^{∗})} : R(T^{∗}) → R(T) jsou izomorfizmy a tedy dim R(T) = dim R(T^{∗}) =: n.

(v) dim V_{1} = n + dim N (T) a dim V_{2} = n + dim N (T^{∗}). (vi) T izomorfizmus ⇒ T^{∗} je izomorfizmus, (T^{−1})^{∗} existuje

a platí (T^{−1})^{∗} = (T^{∗})^{−1}.

\underline{DEFINICE} 3.89. Lineární operátor z VS-prostoru V_{1} do VS-prostoru V_{2} se nazývá unitární (ortogonální^{13}), jestliže zobrazuje nějakou ONB ve V_{1} na ONB ve V_{2} o stejné mohutnosti. Každý unitární operátor je dle 3.36(6) izomorfizmem, nazývá se proto také unitárním izomorfizmem prostorů V_{1} a V_{2}. Jestliže existuje unitární operátor V_{1} na V_{2}, pak říkáme, že prostory V_{1} a V_{2} jsou unitárně izomorfní a píšeme (V_{1}, L_{𝔽}) ≃^{U} (V_{2}, L_{𝔽}). Jestliže V_{1} je unitárně izomorfní pouze s nějakým podprostorem ve V_{2}, pak pí-

šeme (V_{1}, L_{𝔽}) ≾^{U} (V_{2}, L_{𝔽}) a každý unitární operátor V_{1} na R(V_{1}) ⊆ V_{2} nazýváme unitárně izomorfním vnořením V_{1} do V_{2}.

VĚTA 3.90 (Charakterizace unitárních operátorů). Nechť (V_{1}, L_{𝔽}), (V_{2}, L_{𝔽}) jsou VS-prostory a existuje ONB ve V_{1}. Nechť dále T : V_{1} → V_{2} je lineární operátor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(1) T je unitární.

(2) T zobrazuje každou ONB ve V_{1} na ONB ve V_{2} o stejné mohutnosti.

(3) T je surjekce zachovávající skalární součin: ⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V_{1}.

(4) T je surjekce zachovávající normu (tzv. izometrie):

∥T x∥ = ∥x∥ pro každé x ∈ V_{1}.

(5) T^{∗} existuje a platí T^{∗} = T^{−1}.

(6) T^{∗} existuje a T^{∗}T i T T^{∗} jsou identické operátory. V takovém případě T^{−1} = T^{∗} je rovněž unitární operátor z V_{2} na V_{1}.

DŮSLEDEK 3.91 (Charakterizace unitárně izomorfních vnoření). Za předpokladů předchozí věty jsou ekvivalentní následující výroky:

(1’) T je unitárně izomorfní vnoření.

(2’) T zobrazuje každou ONB ve V_{1} na ortonormální množinu ve V_{2} o stejné mohutnosti.

13Termín ortogonální se obvykle užívá v případě reálných prostorů (𝔽 = ℝ).

(3’) T zachovává skalární součin:

⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩ pro každé x, y ∈ V_{1}. (4’) T zachovává normu: ∥T x∥ = ∥x∥ pro každé x ∈ V_{1}. (5’) T^{∗} : R(T) → V_{1} existuje a platí T^{∗} = T^{−1} na R(T). (6’) T^{∗} existuje a T^{∗}T je identický operátor.

V takovém případě T^{−1} = T^{∗} je unitární operátor z R(T) na V_{1}.

DŮSLEDEK 3.92. Je-li (V, L_{𝔽}) VS-prostor konečné dimenze n, a E jeho ONB, pak izomorfizmus [·]_{E} : V → 𝔽^{n} z věty 3.32 je dokonce unitární izomorfizmus (V, L_{𝔽}) na (𝔽^{n}, L_{𝔽}).

DŮSLEDEK 3.93.

(1) Dva konečně rozměrné reálné (komplexní) VS-prostory V_{1} a

V_{2} mají stejnou dimenzi právě když (V_{1}, L_{𝔽}) ≃^{U} (V_{2}, L_{𝔽}).

(2) Pro dva konečně rozměrné reálné (komplexní) VS-prostory (V_{1}, L_{𝔽}), (V_{2}, L_{𝔽}) platí dim V_{1} ≤ dim V_{2} právě když

(V_{1}, L_{𝔽}) ≾^{U} (V_{2}, L_{𝔽}).

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY skalár ♦ scalar skalární součin ♦ dot product vektor ♦ vector vektorový (lineární) prostor ♦ vector (linear) space podprostor ♦ subspace lineární kombinace ♦ linear combination lineární obal ♦ linear span (lineárně) generovaný (čím) ♦ spanned by báze ♦ basis lineárně (ne)závislý ♦ linearly (in)dependent dimenze ♦ dimension n-dimenzionální ♦ n-dimensional vícerozměrný ♦ multivariate lineární zobrazení (operátor) ♦ linear mapping (operator) vnoření ♦ embedding nulový podprostor (jádro) operátoru ♦ null space prostor hodnot operátoru ♦ range space souřadnice ♦ co-ordinates faktor prostor ♦ factor space kongruentní modulo ♦ congruent modulo (přimý) součet ♦ (direct) sum přímý doplněk ♦ direct complement projekční operátor ♦ projection operator norma ♦ norm normovaný prostor ♦ normed space vnitřní (skalární) součin ♦ inner (scalar) product prostor s vnitřním součinem ♦ inner product space bilineární forma ♦ bilinear form kvadratická forma ♦ quadratic form Pythagorova věta ♦ Pythagorean theorem rovnoběžníkový zákon ♦ parallelogram law úhel mezi ♦ angle between kolmý, ortogonální ♦ perpendicular, orthogonal ortonormální ♦ orthonormal ortogonální doplněk ♦ orthogonal complement ortogonální součet ♦ orthogonal sum ortogonální projekce ♦ orthogonal projection nejlepší lineární aproximace ♦ best linear approximation ortogonalizace ♦ orthogonalization (samo)adjungovaný ♦ (self-)adjoint (striktně) pozitivní ♦ (strictly) positive unitární operátor ♦ unitary operator unitárně izomorfní ♦ unitary isomorphic

4. Teorie matic

Teorie a příklady: [KaSk: s.63-129], [Šik: s.1-23] Příklady: [Ho:řešené č.16-36; s.17-37], [Ho:neřešené kap.4, 5 s.100-137]

Teorie matic představuje formální kalkulus pro manipulaci s vektory a lineárními zobrazeními ve VS-prostoru (𝔽^{n}, L_{𝔽}). Prostřednictvím unitárního izomorfizmu z 3.92 lze tento aparát užít i pro jakýkoli abstraktní vektorový prostor (V, L_{𝔽}) konečné dimenze.

Numerické výpočetní prostředí MATLAB používá matice nad komplexními čísly (𝔽 = ℂ) jako základní proměnné a je tedy ideálním výpočetním prostředím pro řešení úloh lineárního charakteru. Má však daleko širší záběr i nad tento lineární rámec.

Název systému je odvozen z angličtiny: MATLAB=MATrix LABoratory. Systém produkuje americká společnost MathWorks, Inc. (http://www.mathworks.com) a jejím výhradním distributorem pro Českou republiku je pražská firma Humusoft, s.r.o. (http://www.humusoft.cz). Obecně lze systém MATLAB charakterizovat jako maticově orientované výpočetní prostředí s vlastním programovacím jazykem vhodným pro efektivní implementaci, provádění a vizualizaci numerických výpočtů vyžadujících náročný aparát z nejrůznějších oblastí matematiky. Je dostupný na všech běžných platformách (WINDOWS, LINUX, UNIX, atd.) při zachování takřka stoprocentní přenositelnosti vytvořených programů a datových souborů.

Vzhledem ke svému snadnému a intuitivnímu ovládání bude proto MATLAB nadále využíván k demonstracím i ve cvičeních.

Cvičení v MATLABu: tmcv1, tmcv2, tmcv3, tmcv4 4.1. MATICE A JEJICH ZÁKLADNÍ DRUHY.

\underline{DEFINICE} 4.1. Nechť I a J jsou konečné lineárně uspořádané množiny (m := card I, n := card J), pak každé zobrazení A : I × J → 𝔽 nazýváme maticí nad 𝔽 typu m/n (rozměru m × n). Pro každé i ∈ I a j ∈ J značíme hodnotu tohoto zobrazení jako a_{ij} := A(i, j) (a_{ij} ∈ 𝔽) a nazýváme prvkem matice A v i-tém řádku a j-tém sloupci nebo také (i, j)-tým prvkem matice A. Množina I, resp. J se nazývá množinou řádkových, resp. sloupcových indexů matice A. V dalším se bez újmy na obecnosti můžeme omezit na standardně užívané indexové množiny I = {1, 2, …, m} a J = {1, 2, …, n}. Matici A pak zapisujeme jako podrobný výčet všech jejích prvků uspořádaný do tabulky:

A = [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix}] .  (4.1)

Pokud a_{ij} nepředstavují konkrétní hodnoty, vystačíme se zjednodušeným symbolickým zápisem A = [a_{ij}]. Speciální případy:

• m = n:  A nazýváme čtvercovou maticí řádu m.
• m = 1:  A nazýváme řádkovým vektorem délky n.
• n = 1:  A nazýváme sloupcovým vektorem délky m.
• m = n = 1: A ztotožňujeme s jejím jediným prvkem, tj. [a] = a.
• m = 0:  A nazýváme prázdným řád. vektorem délky n.
• n = 0:  A nazýváme prázdným sloup. vektorem délky m.
• m = n = 0: A nazýváme prázdnou maticí typu 0/0.

Je-li m = 0 nebo n = 0, pak A se nazývá prázdná matice^{14}. Píšeme A = [ ].

14Prázdná matice koresponduje s prázdným zobrazením zavedeným v poznámce 1.36(4).

\underline{DEFINICE} 4.2 (Submatice). Matici B =: [b_{kl}] nazveme submaticí matice A =: [a_{ij}], jestliže existují řádkové indexy 1 ≤ i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{p} ≤ m a sloupcové indexy 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{q} ≤ n tak, že b_{kl} = a_{i_{k}j_{l}} pro každé k = 1, …, p a l = 1, …, q. Píšeme B = A([i_{1}, …, i_{p}], [j_{1}, …, j_{q}]). Speciální případy:

• p = m (vybrány všechny řádky):  B =: A(:, [j_{1}, …, j_{q}]),
• q = n (vybrány všechny sloupce):  B =: A([i_{1}, …, i_{p}],:),
• p = 1 (vybrán jeden řádek i := i_{1}):  B =: A(i, [j_{1}, …, j_{q}]),
• q = 1 (vybrán jeden sloupec j := j_{1}): B =: A([i_{1}, …, i_{p}], j),
• i-tý řádek matice A:  B =: A(i,:),
• j-tý sloupec matice A:  B =: A(:, j).

\underline{Poznámka} 4.3.

(1) Matice lze sestavovat i po blocích ve tvaru (4.1), kde a_{ij} mohou být nahrazeny submaticemi A_{ij} kompatibilních rozměrů. Při sestavování matice pomocí bloků skládaných vedle sebe (pod sebe) budeme v souladu se syntaxí jazyka MATLAB v zápisech užívat jako oddělovače čárku (středník). Například matici A ze (4.1) můžeme pomocí jejích sloupců s_{j} := A(:, j), resp. řádků r_{i} := A(i,:) zapsat také takto: A = [s_{1}, …, s_{n}], resp. A = [r_{1}; …; r_{m}].

(2) Ztotožníme-li řádkové, resp. sloupcové vektory délky n s prvky vektorového prostoru 𝔽^{n}, můžeme matici A typu m/n interpretovat dvojím způsobem:

a) jako uspořádaný systém m řádkových vektorů z 𝔽^{n},

b) jako uspořádaný systém n sloupcových vektorů z 𝔽^{m}. Takový systém může v příslušném prostoru hrát roli systému generátorů nějakého podprostoru, jeho báze apod.

\underline{Označení} . ℳ_{m,n} := ℳ_{m,n}(𝔽) … množina všech matic nad 𝔽 typu m/n,

δ_{ij} = \begin{cases}1 pro i = j \\ 0 pro i ≠ j \end{cases} … Kroneckerův symbol δ. x ∈ 𝔽^{n} … sloupcový vektor (pokud nebude řečeno jinak). ε_{i} := [δ_{1,i}; δ_{2,i}; …; δ_{n,i}] … i-tý prvek přirozené báze E dle 3.25(4). I_{n} := [δ_{i,j}] … jednotková matice řádu n: I_{n}(i,:) = I_{n}(:, i) = ε_{i}; její i-tý řádek (sloupec) je právě ε_{i}.

0_{m,n} … nulová matice typu m/n: všechny prvky jsou nuly. 1_{m,n} … matice jedniček typu m/n: všechny prvky jsou jedničky. E_{ij} ∈ ℳ_{m,n} … matice, kde E_{ij}(i, j) = 1 a ostatní prvky jsou nuly. diag(A) =: [a_{11} , a_{22} , …] … hlavní diagonála matice A. [a_{1n}, a_{2,n−1} , a_{3,n−2} , …] … vedlejší diagonála matice A.

\underline{Poznámka} 4.4. Je-li x = [x_{1}; …; x_{n}], pak zřejmě x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}ε_{i} a tedy složky x_{i} jsou dle 3.31 přímo souřadnicemi x v přirozené bázi. Tudíž x = [x]_{E} a zobrazení [·]_{E} : 𝔽^{n} → 𝔽^{n} je identita.

\underline{DEFINICE} 4.5 (Matice se speciální strukturou). \underline{Konstantní matice:} A = [a_{ij}], kde a_{ij} = a ∀ i, j, neboli matice, jejíž všechny prvky jsou stejné, například 0_{m,n} a 1_{m,n}. \underline{Diagonální matice:} D = [d_{ij}], d_{ij} = 0 pro ∀ i ≠ j, neboli matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. diag(d), diag(d_{1}, …, d_{n}) … čtvercová diagonální matice řádu n s hlavní diagonálou d = [d_{1}, …, d_{n}]. \underline{Symetrická matice:} A = [a_{ij}], a_{ij} = a_{ji} ∀ i, j, neboli matice se stejnými řádky a sloupci: A(i,:) = A(:, i) ∀ i (symetrie vzhledem k hlavní diagonále). \underline{Antisymetrická matice:} A = [a_{ij}], a_{ij} = −a_{ji} ∀ i, j, neboli matice, kde řádky a sloupce mají opačné znaménko: A(i,:) = −A(:, i) ∀ i (antisymetrie vzhledem k hlavní diagonále). Jelikož a_{ii} = −a_{ii}, tak každá antisymetrická matice má nulovou hlavní diagonálu. \underline{Hermitovsky symetrická matice (𝔽 ⊆ ℂ):} A = [a_{ij}], a_{ij} = \overline{a}_{ji} ∀ i, j, neboli matice, kde řádky a sloupce jsou vůči sobě komplexně sdružené: A(i,:) = \overline{A(:, i)} ∀ i (hermitovská symetrie vzhledem k hlavní diagonále). Jelikož a_{ii} = \overline{a}_{ii}, tak každá hermitovsky symetrická matice má na hlavní diagonále reálná čísla.

Je-li a_{ij} ∈ ℝ ∀ i, j, pak hermitovská symetrie je zřejmě ekvivalentní se symetrií. \underline{Hermitovsky antisymetrická matice (𝔽 ⊆ ℂ):} A = [a_{ij}], a_{ij} = −\overline{a}_{ji} ∀ i, j (tj. Re a_{ij} = −Re a_{ji} a Im a_{ij} = Im a_{ji}), neboli matice, kde řádky a sloupce se liší znaménkem v reálné části: A(i,:) = −\overline{A(:, i)} ∀ i (hermitovská antisymetrie vzhledem k hlavní diagonále). Jelikož a_{ii} = −\overline{a}_{ii}, tak každá hermitovsky antisymetrická matice má na hlavní diagonále ryze imaginární čísla nebo nuly. Je-li a_{ij} ∈ ℝ ∀ i, j, pak hermitovská antisymetrie je zřejmě ekvivalentní s antisymetrií. \underline{Horní trojúhelníková matice:} U = [u_{ij}], u_{ij} = 0 pro ∀ i > j, neboli matice, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové. \underline{Dolní trojúhelníková matice:} L = [l_{ij}], l_{ij} = 0 pro ∀ i < j, neboli matice, která má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové. \underline{Schodovitá matice:} S = [s_{ij}] matice m × n, která je buď nulová nebo existují přirozená čísla k ≤ m a 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{k} ≤ n s těmito vlastnostmi:

(a) s_{ij_{i}} ≠ 0 pro 1 ≤ i ≤ k,

(b) s_{ir} = 0 pro 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ r < j_{i},
(c) s_{ij} = 0 pro k < i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Snadno jako cvičení se dokáže následující věta.

\underline{VĚTA} 4.6. Nechť S je nenulová schodovitá matice jako v definici 4.5, pak S([1, …, k], [j_{1}, …, j_{k}]) je její horní trojúhelníková submatice s nenulovými prvky s_{ij_{i}} na hlavní diagonále.

4.2. ZÁKLADNÍ MATICOVÉ OPERACE.

V hranaté závorce za názvem operace uvádíme její syntaxi v MATLABu.

\underline{DEFINICE} 4.7 (LINEÁRNÍ OPERACE). Operace sečítání matic téhož typu, výběru opačné matice a násobení matice skalárem definujeme po složkách: Sečítání [X = A + B]:

X_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := A(i, j) + B(i, j) ∀i, j.

Opačná matice [X = -A]:

X_{m×n} = − A_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := −A(i, j) ∀i, j.

Násobení matice skalárem a ∈ 𝔽 [X = a*A]:

X_{m×n} = a A_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := aA(i, j) ∀i, j.

\underline{DEFINICE} 4.8 (TRANSFORMACE MATICE NA VEKTOR). Operátor vec : ℳ_{mn} → 𝔽^{mn} [A(:)]:

vec A_{m×n} := [A(:, 1); A(:, 2); …; A(:, n)].

Tento operátor skládá tedy sloupce matice A pod sebe do sloupcového vektoru.

Věta 4.9. Stejně jako v příkladu 3.4(4) tvoří množina všech matic ℳ_{m,n} opatřená výše uvedenými operacemi vektorový prostor (ℳ_{m,n}, L_{𝔽}) s nulovou maticí 0_{m,n} jako nulovým prvkem. Operátor vec je zřejmě lineární a dokonce izomorfizmus vektorových prostorů (ℳ_{m,n}, L_{𝔽}) a (𝔽^{mn}, L_{𝔽}). Uvážíme-li 3.33 a 3.25(4), pak dim ℳ_{m,n} = mn, přičemž roli přirozené báze v ℳ_{m,n} hraje systém matic E_{ij} (i = 1, …, m; j = 1 …, n).

\underline{DEFINICE} 4.10 (TRANSPOZICE MATIC). Transponovaná matice [X = A.’]:

X_{n×m} = A^{T}_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := A(j, i) ∀i, j.

Tento operátor zaměňuje sloupce a řádky, tj.: X(i,:) = A(:, i) nebo ekvivalentně X(:, i) = A(i,:) ∀ i.

Hermitovsky (konjugovaně) transponovaná matice (𝔽 ⊆ ℂ) [X = A’]:

X_{n×m} = A^{∗}_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := \overline{A}(j, i) ∀i, j.

Tento operátor zaměňuje řádky (resp. sloupce) za komplexně sdružené sloupce (resp. řádky): X(i,:) = \overline{A}(:, i), resp. ekvivalentně X(:, i) = \overline{A}(i,:) ∀ i.

Transpoziční operátory mají zřejmě následující vlastnosti:

\underline{VĚTA} 4.11 (Vlastnosti (hermitovské) transpozice).

(1) (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}, (A + B) ^{∗} = A^{∗} + B^{∗}.

(2) (aA)^{T} = aA^{T}, (aA)^{∗} = \overline{a}A^{∗} ∀ a ∈ 𝔽.

(3) 0_{m,n}^{∗} = 0_{m,n}^{T} = 0_{n,m}, 1_{m,n}^{∗} = 1_{m,n}^{T} = 1_{n,m}, E_{ij}^{∗} = E_{ij}^{T} = E_{ji} ∀ i, j.

(4) (A^{T})^{T} = A, (A^{∗})^{∗} = A.

(5) A reálná ⇒ A^{∗} = A^{T}.

(6) A je symetrická ⇔ A^{T} = A, A je hermitovsky symetrická ⇔ A^{∗} = A.

(7) D diagonální ⇒ D^{T} = D, zejména platí I_{n}^{∗} = I_{n}^{T} = I_{n}.

(8) A horní (dolní) trojúhelníková ⇒ A^{∗} i A^{T} jsou dolní (horní) trojúhelníkové matice.

(9) a(A + A^{T}), resp. a(A − A^{T}) je symetrická, resp. antisymetrická matice pro každou čtvercovou matici A a každé a ∈ 𝔽.

(10) a(A+ A^{∗}), resp. a(A− A^{∗}) je hermitovsky symetrická, resp. hermitovsky antisymetrická matice pro každou čtvercovou matici A a každé a ∈ ℝ.

(11) Každou čtvercovou matici A lze rozložit na její (hermitovsky) symetrickou a antisymetrickou část: A = \frac{1}{2} (A+A^{T})+ \frac{1}{2} (A−A^{T}), A = \frac{1}{2} (A+A^{∗})+ \frac{1}{2} (A−A^{∗}).

\underline{Poznámka} 4.12. Jelikož transpozice transformuje sloupcový (řádkový) vektor na řádkový (sloupcový), platí zejména [x_{1}; …; x_{n}] = [x_{1}, …, x_{n}]^{T}. V dalším budeme pro zápis sloupcových vektorů přednostně užívat tvar [x_{1}, …, x_{n}]^{T}, který je v matematice standardní (užívání středníku je totiž motivováno pouze syntaxí jazyka MATLAB).

\underline{DEFINICE} 4.13 (MULTIPLIKATIVNÍ OPERACE). Maticové násobení [X = A * B]:

X_{m×p} = A_{m×n}. B_{n×p} ≡^{def.} X(i, j) := ∑_{k=1}^{n} A(i, k).B(k, j) ∀i, j.

Výše uvedené lze ekvivalentně vyjádřit dvojím způsobem:

a) X(:, j) = ∑_{k=1}^{n} A(:, k).B(k, j) ∀ j … j-tý sloupec X je lineární kombinací sloupců matice A pomocí koeficientů z j-ho sloupce matice B, nebo ekvivalentně: X(:, j) = A.B(:, j).

b) X(i,:) = ∑_{k=1}^{n} A(i, k).B(k,:) ∀ i … i-tý řádek X je lineární kombinací řádků matice B pomocí koeficientů z i-ho řádku matice A, nebo ekvivalentně: X(i,:) = A(i,:).B.

Hadamardův součin matic [X = A .* B]:

X_{m×n} = A_{m×n} ∘ B_{m×n} ≡^{def.} X(i, j) := A(i, j).B(i, j) ∀i, j.

Hadamardův součin je tedy operace součinu pro matice téhož typu zavedená po složkách podobně jako v případě sečítání.

Kroneckerův (přímý) součin matic [X = kron(A,B)]:

X_{mm′×nn′} = A_{m×n} ⊗ B_{m′×n′} ≡^{def.} X = [A(i, j)B] ∀i, j.

X je tedy matice sestavená z m × n bloků (submatic) A(i, j)B o rozměru m′ × n′.

Věta 4.14 (Vlastnosti multiplikativních operací).

(1)

Asociativita:

(A.B).C = A.(B.C), (A ∘ B) ∘ C = A ∘ (B ∘ C), (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C).

(2)

Distributivita zprava: A.(B + C) = A.B + A.C, A∘ (B + C) = A∘ B + A∘ C, A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C.

(3)

Distributivita zleva: (A+ B).C = A.C + B.C, (A+ B) ∘ C = A∘ C + B ∘ C, (A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C.

(4)

Komutativita: A ∘ B = B ∘ A. Maticový součin ani Kroneckerův součin nejsou obecně komutativní operace.

(5)

Jednotkový prvek: I_{m}.A = A.I_{n} = A, 1_{m,n} ∘ A = A ∘ 1_{m,n} = A, 1_{1,1} ⊗ A = A ⊗ 1_{1,1} = A, I_{n} ⊗ I_{m} = I_{mn}.

(6)

(Hermitovská) transpozice součinu: (A.B)^{T} = B^{T} .A^{T}, (A.B)^{∗} = B^{∗}.A^{∗}, (A ∘ B)^{T} = A^{T} ∘ B^{T}, (A ∘ B)^{∗} = A^{∗} ∘ B^{∗}, (A ⊗ B)^{T} = A^{T} ⊗ B^{T}, (A ⊗ B)^{∗} = A^{∗} ⊗ B^{∗}.

(7)

Pravidlo smíšeného součinu: (A ⊗ B).(C ⊗ D) = A.C ⊗ B.D pro matice kompatibilních rozměrů:

A je m × n, C je n × p ⇒ A.C je m × p,
B je m′ × n′, D je n′ × p′ ⇒ B.D je m′ × p′,

Odtud: A ⊗ B je (mm′ × nn′) a C ⊗ D je (nn′ × pp′), takže (A ⊗ B).(C ⊗ D) má rozměr (mm′ × pp′), který je stejný jako rozměr matice A.C ⊗ B.D.

(8)

Maticový součin dvou vektorů:

a) součin řádkového vektoru se sloupcovým: x = [x_{1}; …; x_{n}], y = [y_{1}; …; y_{n}] ⇒ x^{T} y = y^{T} x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}.

b) součin sloupcového vektoru s řádkovým: x = [x_{1}; …; x_{m}], y = [y_{1}; …; y_{n}] ⇒ xy^{T} = [x_{i}y_{j}] ∈ ℳ_{m,n} .

(9)

Skalární součiny pomocí maticového násobení (𝔽 ⊆ ℂ): x = [x_{1}; …; x_{n}], y = [y_{1}; …; y_{n}] ⇒ y^{∗}x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y}_{i} = ⟨x, y⟩ , X = [x_{ij}] ∈ ℳ_{n,p}, Y = [y_{ij}] ∈ ℳ_{n,m} ⇒ Y ^{∗}X =: Z ∈ ℳ_{m,p},

kde Z =: [z_{ij}], z_{ij} = ⟨X(:, j), Y (:, i)⟩ =^{(S3)} \overline{⟨Y (:, i), X(:, j)⟩} ∀i, j.

Tedy z_{ij} je skalární součin j-ho sloupce matice X s i-tým sloupcem matice Y . Speciálně pro X = Y ∈ ℳ_{n,m} je X^{∗}X =: Z ∈ ℳ_{m,m}, kde

Z =: [z_{ij}], z_{ij} = ⟨X(:, j), X(:, i)⟩ =^{(S3)} \overline{⟨X(:, i), X(:, j)⟩} ∀i, j.

Matice X^{∗}X je tzv. Gramova matice.

(10) \underline{Součin s diagonální maticí:} Nechť D = diag(d_{1}, …, d_{m}). Pak A =: [r_{1}; …; r_{m}] ⇒ DA = [d_{1}r_{1}; …; d_{m}r_{m}] a podobně A =: [s_{1}, …, s_{m}] ⇒ AD = [d_{1}s_{1}, …, d_{m}s_{m}]. Tedy vynásobení diagonální čtvercovou maticí zleva (zprava) vede k vynásobení řádků (sloupců) odpovídajícími diagonálními prvky.

(11)

Provedení permutace pomocí maticového násobení: Nechť σ : J → J je permutace transformující přirozeně uspořádanou množinu indexů J := {1, …, m} na permutovanou množinu {σ(1), …, σ(m)} a nechť P_{σ} je matice, která vznikne z jednotkové matice I_{n} stejnou permutací jejích řádků (řádek σ(i) se přesune na i-tou pozici), tj. P_{σ} := [δ_{σ(i),j}]. Pak A = [r_{1}; …; r_{m}] ⇒ P_{σ}.A = [r_{σ(1)} ; …; r_{σ(m)}] a podobně A = [s_{1}, …, s_{m}] ⇒ A.P _{σ}^{T} = [s_{σ(1)} , …, s_{σ(m)}]. Tedy permutace řádků (sloupců) nějaké matice dosáhneme jejím vynásobením zleva (zprava) maticí, která vznikne z jednotkové matice provedením stejné permutace s jejími řádky (sloupci). Je-li A = D = diag(d_{1}, …, d_{m}) diagonální, pak složení téže řádkové a sloupcové permutace zřejmě stejným způsobem permutuje diagonálu v D: P_{σ}DP _{σ}^{T} = diag(d_{σ(1)} , …, d_{σ(m)}).

(12)

Maticový součin dvou trojúhelníkových (diagonálních) matic: Výsledkem maticového součinu dvou dolních (horních) trojúhelníkových matic je opět dolní (horní) trojúhelníková matice. Na diagonále jsou přitom součiny odpovídajích diagonálních prvků. Analogicky pro diagonální matice.

Důkaz. S výjimkou (7) jsou všechny vlastnosti bezprostředním důsledkem definic příslušných operací. □

4.3. MATICE JAKO OPERÁTOR A HODNOST MATICE.

\underline{Označení} . V konečně rozměrných vektorových prostorech lze báze vždy považovat za množiny lineárně uspořádané svými indexy. Vektory souřadnicového vyjádření operátoru T : V_{1} → V_{2} z definice 3.35 (dim V_{1} = n, dim V_{2} = m, E_{1} báze ve V_{1}, E_{2} báze ve V_{2}) pak rovněž můžeme uspořádat jako sloupce v matici, tj. [T]_{E_{1} ,E_{1}} =: [[T e_{1}]_{E_{2}} , …, [T e_{n}]_{E_{2}} ] je pak maticí rozměru m × n nazývanou maticovou reprezentací operátoru T. Nadále ve všech uvažovaných vektorových prostorech předpokládáme souřadnicové vyjádření v pevně zvolených a lineárně uspořádaných bázích, zejména pak v (𝔽^{n}, ℒ_{𝔽}) jimi budou přirozené báze ℰ, pokud nebude řečeno jinak. V souladu s definicemi 3.31 a 3.35 tedy budou vynechávány indexy jak ve vyjádření vektorů tak i operátorů: píšeme stručně [x] a [T] = [[T e_{1}], …, [T e_{n}]].

\underline{VĚTA} 4.15. Každá matice T ∈ ℳ_{m,n} určuje předpisem x ↦ T.x (x ∈ 𝔽^{n}) tzv. maticový lineární operátor T : (𝔽^{n}, ℒ_{𝔽}) → (𝔽^{m}, ℒ_{𝔽}). Přitom platí:

(1) Je-li M =: [x_{1}, …, x_{k}] systém vektorů z 𝔽^{n} uspořádaný do sloupců matice, pak jeho obraz v operátoru T je matice

T (M) = [T.x_{1}, …, T.x_{k}] =^{4.13a)} T.M.

(2) [T] = [[T ε_{1}], …, [T ε_{n}]] = T.

(3) R(T) := R(T) = L(s_{1}, …, s_{n}) a R(T^{T}) = L(r_{1}, …, r_{m}), kde r_{i} jsou řádky a s_{j} sloupce matice T.

(4) Součinu dvou matic odpovídá složení příslušných maticových operátorů.

(5) Identická matice určuje identický operátor. Jestliže 𝔽 ⊆ ℂ, pak navíc platí:

(6) Každá hermitovsky transponovaná matice T^{∗} určuje operátor adjungovaný k operátoru určenému maticí T, přičemž R(T^{∗}) = L(\overline{r}_{1}, …, \overline{r}_{m}). V případě reálné matice T hraje tutéž roli transponovaná matice T^{T}.

(7) Operátor určený maticí T je samoadjungovaný právě když matice T je hermitovsky symetrická. V případě reálné matice T hraje tutéž roli symetrická matice.

(8) Matice T určuje unitárně izomorfní vnoření právě když její sloupce tvoří ortnormální množinu . Je-li T v takovém případě navíc čtvercová, pak určuje unitární operátor a nazývá se proto unitární maticí (resp. ortogonální maticí v případě 𝔽 ⊆ ℝ).

\underline{DŮKAZ}. K důkazu linearity stačí ověřit vlastnosti (1) a (2) z věty 3.27: T.(x + y) = T.x + T.y je důsledkem distributivity 4.14(2). T.(αx) = αT.x plyne přímo z definice 4.13 maticového násobení: ∑_{k=1}^{n} T (i, k)αx_{k} = α ∑_{k=1}^{n} T (i, k)x_{k}.

(1) je opět přímým důsledkem maticového násobení dle 4.13a): totiž j-tý sloupec T (M) je lineární kombinací sloupců T pomocí j-tého sloupce M(:, j) = x_{j}, což je totéž jako T.x_{j}.

(2) [T] = [[T ε_{1}], …, [T ε_{n}]] =^{4.4} [T ε_{1}, …, T ε_{n}] =^{(1)} T.I_{n} =^{4.14(5)} T.

(3) Podle 4.13a) je T.x lineární kombinací sloupců T pomocí

koeficientů vektoru x ∈ 𝔽^{n}. Pak R(T) = {T.x| x ∈ 𝔽} =^{3.12(2)} L(s_{1}, …, s_{n}). Podobně pro R(T^{T}) a R(T^{∗}) v (6).

(4) je přímým důsledkem asociativity maticového násobení:

(U.T).x =^{4.14(1)} U.(T.x).

(5) dle 4.14(5) platí I_{n}.x = x pro každé x ∈ 𝔽^{n}.

(6) ⟨T.x, y⟩ =^{4.14(9)} y^{∗}.(T.x) =^{4.14(1)} (y^{∗}.T).x =^{4.11(4)} (y^{∗}.T^{∗}^{∗}).x =

=^{4.14(6)} (T^{∗}.y)^{∗}.x =^{4.14(9)} ⟨x, T^{∗}.y⟩.

Je-li T reálná, pak T^{∗} = T^{T} dle 4.11(5).

(7) T určuje samoadjungovaný operátor ⇔^{(6)} T = T^{∗} ⇔^{4.11(6)} T je hermitovsky symetrická.

(8) • Nechť sloupce T jsou ortonormální. Podle (2) jsou obrazem ONB ℰ a jelikož generují podprostor R(T) v 𝔽^{m}, tak matice T určuje unitárně izomorfní vnoření dle 3.89.

• Nechť naopak matice T určuje unitárně izomorfní vnoření. Pak její sloupce musí být jakožto obraz ONB ℰ také ortonormální dle 3.91(2’).

• Je-li T čtvercová, pak počet jejích sloupců je roven jejich délce m, která je dimenzí celého prostoru 𝔽^{m}. Sloupce pak tvoří jeho bázi dle 3.24(4)(ii). T tedy určuje unitární operátor opět dle 3.89.

□

\underline{Poznámka} 4.16. Podle věty 4.15 není tedy nadále třeba rozlišovat mezi maticí T, příslušným lineárním operátorem T a jeho maticovou reprezentací [T] v přirozené bázi. Poznamenejme však, že týž operátor může mít v jiné než přirozené bázi jinou maticovou reprezentaci. Naopak táž matice může v různých bázích reprezentovat různé operátory. Jak je ukázáno ve větě B.1 z přílohy B, mohou v tomto smyslu matice dokonce reprezentovat i lineární operátory mezi libovolnými abstraktními vektorovými prostory konečné dimenze.

\underline{DEFINICE} 4.17 (HODNOST MATICE). Sloupcovou (řádkovou) hodností matice A ∈ ℳ_{m,n}, nazýváme dimenzi vektorového podprostoru R(A) v 𝔽^{m} (R(A^{T}) v 𝔽^{n}), což je dle 4.15(3) právě podprostor generovaný sloupci (řádky) matice A. Podle níže dokázané věty 4.23 je sloupcová i řádková hodnost stejná, nazývá se hodností matice A a značí se r(A). Matice A se nazývá maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti, jestliže r(A) = n (r(A) = m). Matice A se nazývá regulární^{15}, je-li současně řádkově i sloupcově plné hodnosti. Čtvercová matice, která není regulární se nazývá singulární.

15Regulární matice musí být čtvercová, neboť počet lineárně nezávislých sloupců n nemůže přesáhnout dimenzi prostoru 𝔽^{m}, tj. musí platit n ≤ m.

Analogicky z lineární nezávislosti řádků dostáváme m ≤ n.

\underline{Poznámka} 4.18. S ohledem na větu 3.19 a její důsledek 3.20 udává sloupcová (řádková) hodnost matice počet prvků libovolné báze (neboli maximální lineárně nezávislé podmnožiny) vybrané z generující množiny všech jejích sloupců (řádků). Zejména tedy:

a) Matice je sloupcově (řádkově) plné hodnosti právě když všechny její sloupce (řádky) jsou lineárně nezávislé.

b) Matice je regulární právě když je čtvercová a má lineárně

nezávislé všechny řádky i sloupce^{15}. V dalším se zaměříme na důkaz tvrzení o shodnosti sloupcové a řádkové hodnosti matice. Zde budou klíčovou roli hrát takové transformace dané matice, které zachovají beze změny její sloupcovou i řádkovou hodnost. Dále budeme psát A ∼ B, pokud matice A a B mají shodné sloupcové i řádkové hodnosti. Takto zavedená relace je zřejmě ekvivalencí na množině všech matic nad týmž skalárním polem 𝔽.

\underline{VĚTA} 4.19.

(1) Každá regulární matice má stejnou sloupcovou a řádkovou hodnost.

(2) A je regulární právě když A^{T} je regulární.

(3) Nechť A([i_{1}, …, i_{r}], [j_{1}, …, j_{r}]) je regulární submatice řádu r matice A typu m/n. Pak sloupce A(:, j_{1}), …, A(:, j_{r}) i řádky A(i_{1},:), …, A(i_{r},:) jsou lineárně nezávislé.

(4) Jednotková matice je regulární.

\underline{DŮKAZ}.

(1) Dle 4.18b) má regulární matice stejný počet řádků (=řádková hodnost) i sloupců (=sloupcová hodnost).

(2) Tvrzení je opět důsledkem 4.18b), neboť A^{T} vznikne z A záměnou řádků za sloupce a naopak.

(3) ∑_{k=1}^{r} α_{k}A(:, j_{k}) = 0_{m,1} ⇒ ∑_{k=1}^{r} α_{k}A([i_{1}, …, i_{r}], j_{k}) = 0_{r,1} ⇒ α_{1} = 0, …, α_{r} = 0 dle 4.18b). Nezávislost řádků se dokáže podobně.

(4) Řádky i sloupce jednotkové matice jsou prvky přirozené báze a tudíž jsou lineárně nezávislé.

□

\underline{VĚTA} 4.20.

(1) Matice A je sloupcově plné hodnosti právě když příslušný maticový operátor je izomorfní vnoření.

(2) Matice A je řádkově plné hodnosti právě když příslušný maticový operátor je surjektivní.

(3) Matice A je regulární právě když příslušný maticový operátor je izomorfizmus.

\underline{DŮKAZ}.

(1) Matice A typu m/n je sloupcově plné hodnosti ⇔^{4.18a)} její

sloupce jsou lineárně nezávislé ⇔^{4.13a)} [A.x = 0 ⇒ x = 0]

⇔ N (A) = {0} ⇔^{3.30(1)} A určuje izomorfní vnoření.

(2) Ukážeme ekvivalenci negovaných výroků (viz 1.1(6)): Matice A typu m/n není řádkově plné hodnosti ⇔ A^{T} nemá lineárně nezávislé sloupce ⇔ A^{∗} nemá lineárně nezávislé sloupce (srov. důkaz 4.23) ⇔ matice A^{∗} typu n/m není

sloupcově plné hodnosti ⇔^{(1)} maticový operátor příslušný k A^{∗} není izomorfní vnoření ⇔^{3.30(1)} ∃ 0 ≠ y ∈ 𝔽^{m} : A^{∗}y = 0

⇔^{3.58(S4)} ∃ 0 ≠ y ∈ 𝔽^{m} : ⟨A^{∗}y, A^{∗}y⟩ = 0 ⇔ ∃ 0 ≠ y ∈ 𝔽^{m}:

⟨Ax, y⟩ =^{3.82,4.15(6)} ⟨x, A^{∗}y⟩ = 0 ∀ x ∈ 𝔽^{n} ⇔ ∃ 0 ≠ y ∈ R(A)^{⊥}

⇔ ∃ z ∈ ℝ^{m} − R(A) : z = P_{R(A)}z + y (bez újmy na obecnosti lze za z zvolit rovnou 0 ≠ y ∈ R(A)^{⊥}) ⇔ maticový operátor příslušný k A není surjektivní.

(3) Matice A je regulární ⇔^{4.17} je současně sloupcově i řádkově

plné hodnosti ⇔^{(1),(2)} A určuje surjektivní izomorfní vnoření ⇔ A určuje izomorfizmus.

□

LEMMA 4.21. Sloupcová ani řádková hodnost matice se nemění při jejím násobení zleva (zprava) maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti.

DŮKAZ. Nechť R ∈ ℳ_{p,m} je matice sloupcově plné hodnosti m a A nějaká matice typu m/n. Pak

a) R(R.A) = {R.(A.x) | x ∈ 𝔽^{n}} = {R.y | y ∈ R(A)} ⇒^{4.20(1)}

R(R.A) je izomorfním obrazem podprostoru R(A) ⇒^{3.33} dim R(R.A) = dim R(A) ⇒ matice R.A a A mají stejnou sloupcovou hodnost.

b) R^{T} je řádkově plné hodnosti ⇒^{4.20(2)} R^{T} je surjekce ⇒

R((R.A)^{T}) =^{4.14(6)} R(A^{T} .R^{T}) = {A^{T} .(R^{T} .x) | x ∈ 𝔽^{p}} =

{A^{T} .y | y ∈ R(R^{T}) = 𝔽^{m}} = R(A^{T}) ⇒ dim R((R.A)^{T}) = dim R(A^{T}) ⇒^{4.17} matice R.A a A mají stejnou řádkovou hodnost.

Násobení zprava maticí řádkově plné hodnosti lze transpozicí převést na násobení zleva maticí sloupcově plné hodnosti: (A.R)^{T} = R^{T} .A^{T}. Dle předcházející části mají (A.R)^{T} a A^{T} stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost a tedy totéž musí platit i pro A.R a A. □

\underline{VĚTA} 4.22 (Skeletní rozklad matice). Nechť A je nenulová matice typu m/n sloupcové hodnosti r, pak existuje matice sloupcově plné hodnosti B typu m/r a matice řádkově plné hodnosti C typu r/n tak, že A = B.C. Přitom C má stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost r a platí R(A) = R(B), R(A^{T}) = R(C^{T}) a N (A) = N (C). Přitom C lze zvolit tak, aby I_{r} byla její submaticí.

DŮKAZ. Položme B := A(:, [j_{1}, …, j_{r}]) rovno submatici v A sestávající z vhodně vybraných sloupců tvořících bázi v R(A). Takový výběr je vždy možný dle 3.20. Tyto sloupce jsou lineárně nezávislé, takže B je dle 4.18a) sloupcově plné hodnosti a přitom R(A) = R(B). Každý sloupec matice A patří do R(A), takže musí být nějakou lineární kombinací bázových sloupců z B. Nechť C je matice, jejíž j-tý sloupec C(:, j) je příslušný vektor souřadnic j-tého sloupec matice A v bázi B. Na základě 4.13a) tedy můžeme psát A = B.C. Vektorem souřadnic k-tého bázového sloupce A(:, j_{k}) je ε_{k} (k = 1, …, r), což znamená, že jednotková matice I_{r} = C(:, [j_{1}, …, j_{r}]) je submaticí matice C. Jelikož I_{r} je dle 4.19(4) regulární, jsou podle 4.19(3) lineárně nezávislé jak všechny řádky matice C (tj. C je řádkově plné hodnosti), tak i sloupce C(:, j_{1}), …, C(:, j_{r}). Ty dokonce tvoří bázi v R(C) = 𝔽^{r}, neboť dim 𝔽^{r} = r (viz 3.24(4)(ii)). Tedy r je nejen řádková, ale i sloupcová hodnost matice C. V části b) důkazu lemmatu 4.21 jsme ukázali R(A^{T}) = R((B.C)^{T}) = R(C^{T}). Platí také N (A) = N (C): B určuje dle 4.20(1) izomorfní

vnoření, takže N (B) =^{3.30(1)} {0} a platí x ∈ N (A) ⇔ 0 = A.x = B.(C.x) ⇔ C.x ∈ N (B) = {0} ⇔ 0 = C.x ⇔ x ∈ N (C). □

\underline{VĚTA} 4.23 (Tvrzení o shodě řádkové a sloupcové hodnosti). Každá matice A má stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost, neboli dim R(A) = dim R(A^{T}). Zejména platí r(A) = r(A^{T}). V případě 𝔽 ⊆ ℂ platí také r(A) = r(A^{∗}).

DŮKAZ. Nechť A = B.C je skeletní rozklad matice A. Pak A ∼ C dle 4.21. Tedy matice A má stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost jako C. Ta má však obě hodnosti stejné, takže totéž musí platit pro A. V případě 𝔽 ⊆ ℂ rovnost h := r(A) = r(A^{∗}) plyne z 3.88(5)(iv). Dá se ale dokázat i přímo jako důsledek faktu, že operace komplexního sdružení zachovává lineární nezávislost: totiž značí-li r_{i} například řádky matice A pak \overline{r}_{i} jsou sloupce matice A^{∗}. Přitom ∑_{j=1}^{k} α_{j}r_{i_{j}} = 0 = \overline{0} = ∑_{j=1}^{k} \overline{α}_{j} \overline{r}_{i_{j}}, kde α_{j} = 0 ⇔ \overline{α}_{j} = 0. V důsledku toho je r_{i_{1}} , …, r_{i_{h}} maximální lineárně nezávislá mezi všemi řádky A právě když \overline{r}_{i_{1}} , …, \overline{r}_{i_{h}} je maximální lineárně nezávislá mezi všemi komplexně sdruženými řádky matice A, tj. mezi všemi sloupci matice A^{∗}. □ \underline{VĚTA} 4.24 (Řádkové/sloupcové úpravy zachovávající hodnost).

(1) Hodnost matice se nemění při jejím násobení zleva (zprava) maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti.

(2) Součin dvou matic sloupcově (řádkově) plné hodnosti je opět matice sloupcově (řádkově) plné hodnosti.

(3) Hodnost matice se nemění při jejím násobení zleva nebo zprava regulární maticí.

(4) Součin regulárních matic je regulární matice.

(5) Hodnost matice se nemění permutací jejích sloupců nebo řádků.

(6) Hodnost matice se nemění vynecháním sloupce (řádku), který je lineární kombinací ostatních sloupců (řádků).

(7) Hodnost matice se nemění vynásobením některého sloupce nebo řádku nenulovým skalárem.

(8) Hodnost matice se nemění přičtením skalárního násobku některých sloupců (řádků) k jinému sloupci (řádku).

(9) Hodnost matice se nemění vynecháním nulových sloupců nebo řádků.

\underline{DŮKAZ}. Vzhledem k 4.23 všechny úvahy prováděné dále se sloupci platí i pro řádky a naopak. Tvrzení (1) již bylo dokázáno v lemmatu 4.21. Tvrzení (2) je speciálním případem (1) stejně jako (3), neboť regulární matice má plnou sloupcovou i řádkovou hodnost. Podobně (4) je důsledkem (3). Tvrzení (2) a (4) lze jinou úvahou odvodit také z věty 4.20: totiž součinu matic sloupcově (řádkově) plné hodnosti, resp. regulárních, odpovídá dle 4.15(4) složení dvou izomorfních vnoření (surjektivních lineárních zobrazení), resp. izomorfizmů, což je opět lineární zobrazení téhož typu. Tvrzení (5) je zřejmé, neboť prostor generovaný řádky nebo sloupci (a tedy ani jeho dimenze) nezávisí na uspořádání množiny generátorů. Tvrzení (6)–(8) jsou elementární úpravy z věty 3.14, které rovněž nemění generovaný podprostor a tedy ani jeho dimenzi. Tvrzení (9) je speciálním případem (6), neboť každý nulový sloupec či řádek lze považovat za nulovou lineární kombinaci ostatních sloupců (řádků). □ \underline{VĚTA} 4.25. Čtvercová matice A řádu n je regulární právě když existují čtvercové matice A_{1}, A_{2} řádu n takové, že A_{1}.A = A.A_{2} = I_{n}. V takovém případě A_{1} = A_{2} =: A^{−1} je jediná, je regulární a určuje maticový operátor inverzní k operátoru určenému maticí A. Matici A^{−1} nazýváme maticí inverzní k A [v MATLABu: inv(A)].

DŮKAZ. A je regulární ⇔^{4.20(3)} A určuje izomorfizmus.

• Jestliže A určuje izomorfizmus, nechť A^{−1} je maticová reprezenatce inverzního operátoru. Pak A^{−1}.A = A.A^{−1} = I_{n} dle 4.15(4)(5).

• Nechť platí A_{1}.A = A.A_{2} = I_{n}. Protože identický operátor I_{n} je prosté a surjektivní zobrazení, platí: A.x = A.y ⇒ A_{1}.A.x = A_{1}.A.y ⇒ I_{n}.x = I_{n}.y ⇒ x = y ⇒ A je prosté. Podobně pro každé y máme y = I_{n}.y = A.A_{2}.y ∈ R(A) ⇒ A je také surjektivní. Celkem A je tedy izomorfizmus. Přitom A_{2} = I_{n}.A_{2} = A_{1}.A.A_{2} = A_{1}.I_{n} = A_{1}. Po záměně role A a A^{−1} vidíme, že A^{−1} je rovněž regulární a určuje izomorfizmus inverzní k izomorfizmu určenému maticí A. □

\underline{VĚTA} 4.26. Každá permutační matice P_{σ} je regulární a v případě 𝔽 ⊆ ℂ je dokonce unitární.

\underline{DŮKAZ}. P_{σ} řádu n je regulární na základě věty 4.24(5), neboť je dle 4.14(11) permutací řádků jednotkové matice I_{n}, která je regulární dle 4.19(4). V případě 𝔽 ⊆ ℂ unitárnost matice P_{σ} pak plyne z 3.90(3):

⟨P_{σ}.x, P_{σ}.y⟩ =^{4.14(9)} ∑_{i=1}^{n} x_{σ(i)} \overline{y}_{σ(i)} = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y}_{i} =^{4.14(9)} ⟨x, y⟩, neboť

sečítání je komutativní a nezávisí tedy na permutaci sčítanců. □

\underline{VĚTA} 4.27. Čtvercová trojúhelníková (diagonální) matice je regulární právě když všechny její prvky na hlavní diagonále jsou nenulové.

Důkaz. Vzhledem k 4.19(2) a 4.11(8) stačí tvrzení ověřit například pro horní trojúhelníkovou matici A řádu n.

• Nechť a_{ii} ≠ 0 pro každé i = 1, …, n. Dle 4.18b) a 4.23 stačí ukázat například jen lineární nezávislost řádků. Z rovnosti [0, …, 0] = ∑_{i=1}^{n} α_{i}A(i,:) postupně dostáváme: 0 = α_{1}a_{11} , 0 = α_{1}a_{12} + α_{2}a_{22} , …, 0 = ∑_{k}^{n−1} α_{k}a_{kn} + α_{n}a_{nn}. Z 1. rovnice a_{11} ≠ 0 ⇒ α_{1} = 0, po dosazení do 2. rovnice analogicky a_{22} ≠ 0 ⇒ α_{2} = 0, atd. až z poslední rovnice a_{nn} ≠ 0 ⇒ α_{n} = 0.

• Předpokládejme, že a_{ii} = 0 pro nějaké i. Vezměme nejmenší takové i. Je-li i = 1, pak 1. sloupec je nulový a A tedy není regulární. Je-li i > 1, pak A([1, …, i−1], [1, …, i−1]) je horní trojúhelníková submatice řádu i − 1 s nenulovou diagonálou a tudíž regulární dle předchozí části. Dle 4.19(3) jsou nezávislé celé sloupce A(:, 1), …, A(:, i − 1) a protože A([i, …, n], [1, …, i]) je nulová submatice v důsledku a_{ii} = 0, je sloupec A(:, i) lineární kombinací prvých i − 1 sloupců, tj. sloupce A jsou závislé a A opět nemůže být regulární. Diagonální matice je speciálním případem trojúhelníkové matice. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.28 (Vlastnosti inverzních matic). Nechť A, B jsou dvě čtvercové matice řádu n. Pak

(1) A je regulární právě když A^{T} je regulární. V takovém případě platí (A^{T})^{−1} = (A^{−1})^{T}.

(1’) V případě 𝔽 ⊆ ℂ je obdobně A regulární právě když A^{∗} je

regulární. V takovém případě platí (A^{∗})^{−1} = (A^{−1})^{∗}.

(2) A, B regulární ⇒ (A.B)^{−1} = B^{−1}.A^{−1}.

(3) Je-li P_{σ} permutační matice určená permutací σ dle 4.14(11), pak P_{σ^{−1}} = P _{σ}^{−1} = P _{σ}^{T}.

(4) Je-li A =: [a_{ij}] regulární dolní (horní) trojúhelníková matice řádu n, pak A^{−1} je rovněž dolní (horní) trojúhelníková matice s prvky a_{11}^{−1}, …, a_{nn}^{−1} na hlavní diagonále. Je-li A dokonce diagonální, pak A^{−1} je rovněž diagonální.

Důkaz.

(1) A^{T} regulární ⇔^{4.19(2)} A je regulární ⇔^{4.25} A^{−1}.A = A.A^{−1} =

I_{n} ⇔^{4.14(6)} A^{T} .(A^{−1})^{T} = (A^{−1})^{T} .A^{T} = I_{n}^{T} =^{4.11(7)} I_{n} ⇔^{4.25}

(A^{T})^{−1} = (A^{−1})^{T}.

(1’) Pro A^{∗} se ukáže podobně. S ohledem na 4.15(6) plyne také

přímo z 3.88(5)(vi).

(2) Plyne z toho, že inverzní zobrazení se skládají v opačném pořadí. Jiné odvození se opět může opírat o větu 4.25: B^{−1}.A^{−1}.A.B = B^{−1}.B = I_{n} a analogicky A.B.B^{−1}.A^{−1} = A.A^{−1} = I_{n}.

(3) Dle 4.14(11): P_{σ} = [δ_{σ(i),j}] ⇒ P _{σ}^{T} = [δ_{j,σ(i)}] = [δ_{σ^{−1} (j),i}], neboť j = σ(i) právě když σ^{−1}(j) = σ^{−1}(σ(i)) = i. Matice P _{σ}^{T} tedy reprezentuje operátor inverzní permutace σ^{−1}, tj. P_{σ^{−1}} = P _{σ}^{T}. Vezmeme-li v 4.14(11) za diagonální matici jednotkovou matici D = I_{n}, pak D se nezmění při permutaci samých jedniček na diagonále. Platí tedy P_{σ}.P _{σ}^{T} = P_{σ}.I_{n}.P _{σ}^{T} = I_{n} a po záměně σ za σ^{−1} si matice P a P^{T} rovněž zamění roli, takže také platí P _{σ}^{T} .P_{σ} = I_{n} a P _{σ}^{−1} =^{4.25} P _{σ}^{T}.

(4) Nechť A =: [a_{ij}] je například dolní trojúhelníková regulární matice řádu n. Dle 4.27 jsou a_{ii} ≠ 0 pro i = 1, …, n. Podle 4.25 musí pro matici X =: [x_{j,k}] inverzní k A platit I_{n} = A.X . Srovnáváním naddiagonálových prvků v i-tém řádku a k-tém sloupci na levé a pravé straně této rovnice dostáváme postupně pro i = 1, …, n a k ≥ i: δ_{1k} = ∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{jk} = a_{11} x_{1k} ⇒ 1 = a_{11} x_{11} a 0 = a_{11} x_{1k} pro k > 1 ⇒ x_{11} = a_{11}^{−1} a x_{1k} = 0 pro k > 1. Analogicky pro i = 2: δ_{2k} = ∑_{j=1}^{n} a_{2j}x_{jk} = a_{21} x_{1k} + a_{22} x_{2k} = a_{22} x_{2k} ⇒ x_{22} = a_{22}^{−1} a x_{2k} = 0 pro k > 2, atd. Případ horní trojúhelníkové matice převedeme na předchozí situaci transpozicí užitím 4.11(8) a 4.14(6): Podle 4.25 musí také platit I_{n} = X.A, odtud I_{n} = I_{n}^{T} = (X.A)^{T} = A^{T} .X^{T}, kde A^{T} je dolní trojúhelníková, takže dle předchozí části je také X^{T} dolní trojúhelníková a tedy X horní trojúhelníková. Diagonálové prvky se transpozicí také nemění. Matice A je diagonální právě když je současně horní i dolní trojúhelníková, takže její inverze musí také mít obě vlastnosti, tj. musí být diagonální.

□

\underline{VĚTA} 4.29 (Zjišťování hodnosti). Nechť A je matice typu m/n a B typu n/p. Pak platí:

(1) r(A) ≤ min(m, n).

(2) r(A.B) ≤ min(r(A), r(B)). Je-li A sloupcově plné hodnosti, resp. B řádkově plné hodnosti, pak nastane rovnost a r(A.B) = r(B), resp. r(A.B) = r(A).

(3) Hodnost nenulové matice A je rovna největšímu řádu nějaké její regulární submatice.

(4) r(A) = n − dim N (A).

(5) V případě 𝔽 ⊆ ℂ platí r(A.A^{∗}) = r(A^{∗}.A) = r(A) = r(A^{∗}) a speciálně je-li A sloupcově, resp. řádkově plné hodnosti, pak A^{∗}.A, resp. A.A^{∗} je regulární.

(5’) V případě 𝔽 ⊆ ℝ platí r(A.A^{T}) = r(A^{T} .A) = r(A) = r(A^{T}) a speciálně je-li A sloupcově, resp. řádkově plné hodnosti, pak A^{T} .A, resp. A.A^{T} je regulární.

Důkaz.

(1) Hodnost matice odpovídá maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců (řádků) matice a nemůže proto přesáhnout dimenzi prostoru, do něhož náleží, tj. musí platit r(A) ≤ m a současně r(A) ≤ n.

(2) R(A.B) ⊆ R(A) ⇒^{3.24(3)} dim R(A.B) ≤ dim R(A) ⇒^{4.17}

⇒ r(A.B) ≤ r(A). Užitím této nerovnosti na transpozici součinu dostaneme i druhou nerovnost:

r(A.B) =^{4.23} r((A.B)^{T}) = r(B^{T} .A^{T}) ≤ r(B^{T}) =^{4.23} r(B).

Je-li B řádkově plné hodnosti, pak r(A.B) =^{4.24(1)} r(A) = min(r(A), r(B)), neboť dle (1) je r(A) ≤ min(m, n) ≤ n = r(B). Analogicky pro A sloupcově plné hodnosti:

r(A.B) =^{4.24(1)} r(B) = min(r(A), r(B)), neboť dle (1) máme r(B) ≤ min(n, p) ≤ n = r(A).

(3) A nenulová ⇒ existuje alespoň jeden nenulový prvek a_{ij} určující regulární submatici [a_{ij}] řádu 1. Označíme-li r největší řád nějaké regulární submatice, pak tedy r ≥ 1 a dle 4.19(3) lze v matici vybrat r nezávislých řádků (resp. sloupců), které lze doplnit na bázi o h := r(A) prvcích. Platí tedy h ≥ r. Naopak z matice A hodnosti h lze vybrat submatici B o h lineárně nezávislých sloupcích (sloupcová báze), která má sloupcovou plnou hodnost h. Dle 4.23 je i řádková hodnost matice B rovna h, takže z B lze vybrat h nezávislých řádků. Výsledná submatice řádu h má rovněž h nezávislých řádků (a tedy i sloupců) a je proto regulární. Protože r udává největší řád takové submatice, platí i opačná nerovnost h ≤ r a celkem tedy h = r. Takto zkonstruovaná submatice má pak největší možný řád h.

(4) Nechť A = B.C je skeletní rozklad podle věty 4.22, r := r(A) . Nechť Q je vhodná permutační matice (viz 4.14(11)), kterou přeuspořádáme sloupce C tak, aby jednotková matice I_{r} obsažená v C byla jejím prvním blokem: C.Q =: [I_{r}, C′]. Stejným způsobem přeuspořádáme vektory x ∈ 𝔽^{n}: Q^{T} .x =: [y; t], kde výsledný vektor rozdělíme na dva sloupcové bloky y ∈ 𝔽^{r} a t ∈ 𝔽^{n−r}. Pak dostáváme:

x ∈ N (A) =^{4.22} N (C) ⇔ C.x = 0 ⇔^{4.28(3)} C.Q.Q^{T} .x = 0

⇔ [I_{r}, C′].[y; t] = 0 ⇔ I_{r}.y + C′.t = 0 ⇔ y = −C′.t

⇔ [y; t] = \underbrace{[−C′; I_{n−r}]}_{=:C′′}.t ⇔ x = Q.[y; t] ∈ R(Q.C′′).

Tedy N (A) = R(Q.C′′) ⇒ dim N (A) = dim R(Q.C′′) =

r(Q.C′′) =^{4.24(5)} r(C′′) =^{(3)} n − r, neboť C′′ obsahuje regulární submatici I_{n−r}, která je maximálního možného řádu, protože n − r je sloupcový rozměr matice C′′.

(5) Rovnost hodností plyne z 3.88(5)(iii),(iv). A sloupcově plné hodnosti ⇒ r(A) = n ⇒ A^{∗}.A je řádu n o hodnosti n a tedy regulární. Podobně A řádkově plné hodnosti ⇒ A^{∗} má sloupcově plnou hodnost m. Pak dle předchozí části po záměně role A a A^{∗} dostáváme: r(A.A^{∗}) = r(A^{∗}^{∗}.A^{∗}) = r(A^{∗}) = m. Matice A.A^{∗} je řádu m a tedy regulární.

(5’) Je důsledkem (5), neboť v případě reálné matice je A^{∗} = A^{T} dle 4.11(5).

□

\underline{DŮSLEDEK} 4.30. Hodnost schodovité matice je rovna počtu jejích nenulových řádků (tzv. schodů).

Důkaz. Pro nulovou matici je tvrzení zřejmé. Nechť S typu m/n je schodovitá matice s k nenulovými řádky, k ≥ 1. Vynecháme-li m − k nulových řádků, dostaneme dle 4.24(9) matici S′ typu k/n stejné hodnosti: r(S) = r(S′). Podle 4.6 matice S′ obsahuje horní trojúhelníkovou submatici řádu k s nenulovou diagonálou, která je regulární dle 4.27. Jelikož řádkový rozměr matice S′ je k, je tato submatice maximální taková a tedy celkem r(S) = r(S′) =^{4.29(3)} k. □

PŘÍKLAD 4.31. Vlastnost (5’) neplatí obecně pro matice s prvky z nereálného skalárního pole 𝔽. Jednoduchý protipříklad najdeme již v případě komplexních matic (𝔽 = ℂ): Uvažujme matici

A = [\begin{matrix}1 & i \\ −i & 1 \end{matrix}] , kde [−i, 1] = −i[1, i] ⇒ r(A) = 1.

Totiž za sloupcovou (řádkovou) bázi (maximální lineárně nezávislou podmnožinu) matice A lze v tomto případě zvolit jednoprvkovou množinu tvořenou libovolným sloupcem (řádkem), neboť každá jednoprvková množina obsahující nenulový vektor je triviálně lineárně nezávislá dle 3.3(L5). Pak dostáváme

A.A^{T} = [\begin{matrix}1 & i \\ −i & 1 \end{matrix}] . [\begin{matrix}1 & −i \\ i & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ⟹ r(A.A^{T}) = 0.
A^{T} .A = [\begin{matrix}1 & −i \\ i & 1 \end{matrix}] . [\begin{matrix}1 & i \\ −i & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ⟹ r(A^{T} .A) = 0.

Podstata problému tkví v tom, že prvky například matice A^{T} .A jsou sice konstruovány podobně jako u Gramovy matice v 4.14(9), tj. jsou ve tvaru výrazů x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}, kde x a y jsou vybrány ze sloupců A. Tyto výrazy jsou skalárními součiny v ℝ, nikoliv avšak v ℂ, kde ztrácíme platnost axiomu (S3) a tím i ortogonalitu: například pro sloupce A máme ⟨[1, −i], [i, 1]⟩ = 1.\overline{i} + (−i).\overline{1} = 1.(−i) + (−i).1 = −2.i ≠ 0, i když 1.i+(−i).1 = 0. Vzhledem k 3.68 tak nemáme garantovánu ani lineární nezávislost, kterou jsme v tomto příkladu skutečně ztratili. Ztratili jsme takto dokonce i vlastnost ortogonálního rozkladu dle 3.88(5)(i), přestože 3.88(5)(v) platí dle 4.29(4): dim N (A) = dim ℂ^{2} − r(A) = 2 − 1 = 1. Totiž ℂ^{2} nemůže být ortogonálním součtem podprostorů R(A^{T}) a N (A), neboť není ani jejich přímým součtem:

1. sloupec v A.A^{T} je roven A.[1, i]^{T} = [0, 0]^{T} ⇒ [1, i]^{T} ∈ N (A). Současně ale také A^{T} .[1, 0]^{T} = [1, i]^{T} ⇒ [1, i]^{T} ∈ R(A^{T}) a tedy

0 ≠ [1, 0]^{T} ∈ R(A^{T}) ∩ N (A) ⇒^{3.43} R(A^{T}) + N (A) ≠ R(A^{T}) ∔ N (A).

\underline{POZNÁMKA} 4.32 (Maticový zápis bilineární a kvadratické formy). Nechť A =: [a_{ij}] je čtvercová matice řádu n a x =: [x_{1}; …; x_{n}], y =: [y_{1}; …; y_{n}] vektory z 𝔽^{n}. Bilineární forma určená maticí A je funkce 𝔽^{n}×𝔽^{n} → 𝔽 definovaná vztahem:

y^{T} .A.x = ∑_{i=1}^{n}(∑_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})y_{i} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}a_{ij}y_{i}x_{j},

kde výraz v závorce je i-tá složka vektoru A.x. Pro x = y bilineární forma přejde v zobrazení 𝔽^{n} → 𝔽 a nazývá se kvadratickou formou určenou maticí A:

x^{T} .A.x = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}.

V případě 𝔽 ⊆ ℝ je můžeme vzhledem k 4.14(9) a 4.15(6) vyjádřit také pomocí skalárního součinu: y^{T} .A.x = ⟨A.x, y⟩, resp. x^{T} .A.x = ⟨A.x, x⟩, což je v souladu s poznámkou 3.84. V komplexním případě 𝔽 ⊆ ℂ užijeme A^{∗} místo A^{T}, takže dostáváme vyjádření:

⟨A.x, y⟩ = y^{∗}.A.x = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}a_{ij} \overline{y}_{i}x_{j},

⟨A.x, x⟩ = x^{∗}.A.x = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n}a_{ij} \overline{x}_{i}x_{j}.

Matice A se nazývá pozitivně semidefinitní (pozitivně definitní), jestliže určuje operátor, který je pozitivní (striktně pozitivní) ve smyslu poznámky 3.84. V takovém případě kvadratická forma nabývá pouze reálných nezáporných hodnot (kladných hodnot pro x ≠ 0) a A je hermitovsky symetrická matice.

4.4. PŘEVOD NA SCHODOVITÝ TVAR A LU-ROZKLAD.

Věta 4.29 sice uvádí některé užitečné vlastnosti hodnosti matic umožňující její zjištění v některých speciálních případech, nikoliv však obecně pro libovolnou zadanou matici A, řekněme typu m/n. V tomto odstavci odvodíme univerzální algoritmus tzv. Gaussovy eliminace, který požadovanou úlohu beze zbytku řeší a navíc dává konstrukci báze obou prostorů svázaných s maticí (operátorem) A, tj. jak oboru hodnot R(A), tak jádra N (A). Jako jeho důsledek obdržíme navíc tzv. LU-rozklad matice A, který představuje jeden z mnoha možných skeletních rozkladů. Na rozdíl od důkazu věty 4.22, který byl nekonstruktivní, Gaussova eliminace poskytuje (nikoliv obecně jednoznačnou) konstrukci takového rozkladu. Princip Gaussovy eliminace spočívá v postupném provádění elementárních řádkových úprav^{16}, které nemění hodnost matice. V zásadě vystačíme pouze s úpravami typu (5) a (8) z věty 4.24 a to dokonce ve zjednodušené podobě: záměna dvou řádků a přičtení skalárního násobku nějakého řádku k jinému řádku. V dalším zkonstruujeme speciální regulární transformační matice, kterými budeme danou matici postupně násobit zleva — viz též 4.24(3). Výsledkem bude převod zadané matice A na schodovitý tvar, jehož hodnost (shodná s r(A)) se snadno zjistí podle 4.30.

\underline{DEFINICE} 4.33 (Transformační matice pro některé řádkové úpravy).

Nechť m je řádkový rozměr transformované matice A.

(1) \underline{Záměna i-ho a j-ho řádku} : Nechť σ := σ_{ij} značí permutaci provádějící záměnu indexu i a j. Pak zřejmě σ = σ^{−1}. Označíme-li P_{i,j} := P_{σ} odpovídající permutační

matici řádu m, pak P_{i,j} = P _{i,j}^{−1} =^{4.28(3)} P _{i,j}^{T} a tedy při násobení touto maticí zleva (zprava) dochází k záměně i-tého a j-tého řádku (sloupce) — viz 4.14(11). V případě i = j je P_{ii} = I_{m} identita.

16Obdobně je možno provádět sloupcové úpravy. Jelikož je lze transpozicí matice vždy převést na řádkové úpravy, upřednostňujeme nadále tento případ.

(2) \underline{Přičtení α-násobku j-ho řádku k i-tému (i ≠ j)} : Nechť pro α ∈ 𝔽 značí R_{ij}^{(α)} := I_{m} + αE_{ij} čtvercovou matici řádu m. Tato matice je trojúhelníková s jednotkovou diagonálou, prvkem α v i-tém řádku a j-tém sloupci a nulami všude jinde. Zřejmě platí R_{ij}^{(α)T} = R_{ji}^{(α)} , přičemž při násobení maticí R_{ij}^{(α)} zleva (maticí R_{ji}^{(α)} zprava) dochází k přičtení α-násobku j-tého řádku (sloupce) k i-tému řádku (sloupci).

(3) \underline{Vynásobení i-ho řádku skalárem α ≠ 0} : Podle 4.14(10) je příslušnou transformační maticí diagonální matice D_{i}^{(α)} := diag(1, …, 1, α, 1, …, 1), kde α je i-tým prvkem na jinak jednotkové diagonále.

Věta 4.34 (Vlastnosti transformačních matic P_{ij}, R_{ij}^{(α)} a D_{i}^{(α)} ). Všechny uvedené matice jsou regulární a platí pro ně:

(1) Nechť index j je pevný a α_{i} ∈ 𝔽 je m skalárů (i = 1, …, m), kde α_{j} = 0. Pak R_{j}^{(α)} := R_{1j}^{(α_{1} )} … R_{mj}^{(α_{m})} je jednotková matice, k jejímuž j-tému sloupci je přičten vektor α := [α_{1}, …, α_{m}]^{T}. Tato matice realizuje složení m řádkových úprav: k i-tému řádku je přičten α_{i}-násobek j-tého řádku pro i = 1, ..., m. Na pořadí provádění těchto úprav (tj. na pořadí násobení matic R_{ij}^{(α_{i})} ) přitom nezáleží. Zřejmě α = 0 ⇒ R_{j}^{(α)} = I_{m}.

(2) Výsledná matice R_{j}^{(α)} je regulární a pokud α_{i} = 0 pro i ≤ j (i ≥ j), pak je navíc dolní (horní) trojúhelníková. V takovém případě budeme obvykle psát L_{j}^{(α)} (U _{j}^{(α)} ) místo^{17} R_{j}^{(α)} . Inverzní matice je určena vztahem: (R_{j}^{(α)} )^{−1} = R_{j}^{(−α)} . Je tedy téhož typu, kde pouze skaláry mají obrácené znaménko. Zejména také dostáváme (R_{ij}^{(α)} )^{−1} = R_{ij}^{(−α)} , neboť R_{ij}^{(α)} je speciálním případem matice R_{j}^{(α)} , kde α_{i} = α a α_{k} = 0 pro k ≠ i.

17Značení je dáno zvyklostmi anglosaské odborné literatury: písmeno L, resp.

U je odvozeno od počátečních písmen slov Lower a Upper.

(3) Pro libovolné tři indexy i, j, k ∈ {1, …, m}, i ≠ j, k ≠ j platí P_{ik}.R_{j}^{(α)} = R_{j}^{(P_{ik}.α)} .P_{ik}. Tedy matice P_{ik} a R_{j}^{(α)} jsou při násobení záměnitelné až na pořadí skalárů ve vektoru α, kde dojde k záměně jeho složek α_{i} a α_{k}.

(4) L := L_{1}^{(α_{1} )}.L_{2}^{(α_{2} )} … L_{m}^{(α_{m})} a U := U _{m}^{(α_{m})} .U _{m−1}^{(α_{m−1} )} … U _{1}^{(α_{1} )} je po řadě regulární dolní a horní trojúhelníková matice s jednotkovou diagonálou, kde L(i, j) = α_{j}(i) a U(i, j) = α_{j}(i) pro každé i ≠ j, neboli sloupce v L, resp. U odpovídají po řadě příslušným sloupcům matic L_{j}^{(α_{j})} , resp. U _{j}^{(α_{j})} . Poznamenejme, že na rozdíl od (1) v tomto případě již záleží na pořadí provádění úprav (tj. na pořadí násobení matic L_{j}^{(α_{j})} ,

resp. U _{j}^{(α_{j})} ).

(5) D_{1}^{(α_{1} )}.D_{2}^{(α_{2} )} … D_{m}^{(α_{m})} = diag(α_{1}, α_{2}, …, α_{m}) je při všech nenulových α_{i} ≠ 0 regulární diagonální matice. Tato matice realizuje složení m řádkových úprav: i-tý řádek je vynásoben skalárem α_{i} pro i = 1, ..., m. Na pořadí provádění těchto úprav (tj. na pořadí násobení matic D_{i}^{(α_{i})} ) přitom nezáleží.

Důkaz. Pro větší názornost zobrazme nejprve strukturu matice R_{j}^{(α)} :

R_{j}^{(α)} = [\begin{matrix}1 & … & 0 & α_{1} & 0 & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 1 & α_{j−1} & 0 & … & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & α_{j+1} & 1 & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & α_{i} & 0 & … & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & α_{m} & 0 & … & 0 & … & 1 \end{matrix}] .

Všechny uvažované matice jsou buď trojúhelníkové nebo diagonální s jednotkovou diagonálou, případně jsou součinem takových matic. Podle 4.27 a případně i s ohledem na 4.24(4) jsou tedy regulární. Součin dolních (horních) trojúhelníkových matic je opět matice téhož typu dle 4.14(12). Strukturu matic ve tvaru součinu si čtenář snadno odvodí jako snadné cvičení provedením tohoto součinu, resp. příslušných řádkových úprav při postupném násobení zprava doleva. Při důkazu tvrzení (2) stačí podobně na základě věty 4.25 ověřit přímým vynásobením platnost identit: R_{j}^{(−α)} .R_{j}^{(α)} = R_{j}^{(α)} .R_{j}^{(−α)} = I_{m}. □

\underline{Poznámka} 4.35. Je-li A matice typu m/n, pak s uvážením 4.14(8)b) snadno nahlédneme, že R_{j}^{(α)} .A = A + α.A(j,:). Maticový výraz vpravo tak představuje alternativní způsob provedení stejných řádkových úprav v matici A, jaké odpovídají násobení maticí R_{j}^{(α)} zleva. V některých situacích může být tento druhý způsob z hlediska programové implementace efektivnější, neboť není třeba dopředu vytvářet a do paměti ukládat matici R_{j}^{(α)} , která je řídká (má velké množství nulových prvků), což může vést k plýtvání pamětí.

\underline{VĚTA} 4.36 (Převod matice na schodovitý tvar Gaussovou eliminací^{18}). Každá matice se dá konečným počtem řádkových elementárních transformací typu 4.33(1),(2) převést na matici ve schodovitém tvaru o stejné hodnosti.

\underline{DŮKAZ}. Důkaz této věty je konstruktivní, to znamená, že dává postup řešení této úlohy, který je možno použít v konkrétním případě. Tento postup bývá nazýván Gaussův algoritmus a spočívá v následujících krocích pro matici A =: [a_{ij}] typu m/n:

(G0) Jestliže matice A je nulová, již je ve schodovitém tvaru a

jsme hotovi. (G1) V opačném případě nechť j_{1} je index prvního nenulového

sloupce. Existuje tedy k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ m tak, že a_{kj_{1}} ≠ 0.

18 viz též skripta [KaSk:V9.3 s.80-81] nebo [Šik:V1.26 s.9-10]

Řádek k-tý vyměňme s prvním řádkem, pokud k ≠ 1. Tím dostaneme matici B =: [b_{uv}] typu m/n takovou, že sloupce 1, 2, …, j_{1} − 1 jsou nulové a b_{1j_{1}} ≠ 0.

(G2) V matici B ke každému u-tému řádku (2 ≤ u ≤ m) přičteme první řádek vynásobený číslem − \frac{b_{uj_{1}}}{b_{1j_{1}}} . Dostaneme matici C = [c_{uv}] typu m/n takovou, že sloupce 1, 2, …, j_{1} − 1 jsou nulové, c_{1j_{1}} ≠ 0 a c_{uj_{1}} = 0 pro každé 2 ≤ u ≤ m.

Tím je určen první řádek hledané schodovité matice. Není-li matice C ještě ve schodovitém tvaru, aplikujeme kroky (G1) a (G2) na submatici C([2, …, m],:). Po jejich provedení bude druhý řádek celé matice druhým řádkem hledané schodovité matice, atd. Tímto způsobem postupujeme tak dlouho, až obdržíme matici ve schodovitém tvaru, tj. jakmile buď byl proveden maximální možný počet kroků m a nebo všechny zbývající řádky jsou již nulové. □

Důsledek 4.37 (Maticový zápis Gaussovy eliminace). Nechť A je matice typu m/n, r(A) = r. Pak Gaussova eliminace rekurentně konstruuje posloupnost matic A =: A_{0} ∼ A_{1} ∼ ⋯ ∼ A_{r} =: S téže hodnosti, kde S =: [s_{ij}] je schodovitá matice s r nenulovými řádky (schody) a horní trojúhelníkovou submaticí řádu r s diagonálovými prvky s_{ij_{i}} ≠ 0, 1 ≤ j_{1} < ⋯ < j_{r} ≤ n (viz 4.6). Nechť pro i ∈ {1, …, r} byla již zkonstruována matice A_{i−1}. Pak A_{i} dostaneme ve dvou krocích takto:

(G1)

Záměna i-tého a k-ho řádku v matici A_{i−1}:

B_{i} := P_{i}.A_{i−1} =: [b_{uv}], kde P_{i} := P_{ik} pro vhodné i ≤ k ≤ m takové, že A_{i−1}(k, j_{i}) ≠ 0 (k závisí na i). Takto zajistíme b_{ij_{i}} ≠ 0.

(G2)

Eliminace koncové části j_{i}-tého sloupce v matici B_{i}:

A_{i} := L_{i}^{(β_{i})} .B_{i}, kde β_{i} = [\underbrace{0, …, 0}_{i×}, − \frac{b_{i+1j_{i}}}{b_{ij_{i}}} , …, − \frac{b_{mj_{i}}}{b_{ij_{i}}}]^{T}.

Sloučením obou kroků do jednoho dostáváme rekurentní vztah: A_{i} = L_{i}^{(β_{i})} .P_{i}.A_{i−1} pro i = 1, …, r.

Sloučením všech kroků, pak dostáváme: R.A = S, kde R := L_{r}^{(β_{r})} .P_{r} … L_{2}^{(β_{2} )}.P_{2}.L_{1}^{(β_{1} )}.P_{1} je regulární matice řádu m realizující provedení všech elementárních úprav převodu na schodovitý tvar.

Důkaz. Transformační vztahy jsou důsledkem 4.33(1) a 4.34(1)(2), kde transformační matice R_{i}^{(β_{i})} = L_{i}^{(β_{i})} je skutečně dolní trojúhelníková, neboť β_{i}(u) = 0 pro u ≤ i. Volba β_{i}(u) = − \frac{b_{uj_{i}}}{b_{ij_{i}}} pro i+1 ≤ u ≤ m pak zajistí požadovanou eliminaci koncové části j_{i}-tého sloupce, neboť přičtením β_{i}(j)-tého násobku i-tého řádku matice B_{i} k jejímu u-tému řádku dostáváme:

a) \underline{j_{i}-tý sloupec:}

A_{i}(u, j_{i}) = b_{uj_{i}} + β_{i}(u)b_{ij_{i}} = b_{uj_{i}} + (− \frac{b_{uj_{i}}}{b_{ij_{i}}})b_{ij_{i}} = 0.

b) \underline{Úvodní sloupce pro 1 ≤ v < j_{i}:} A_{i}(u, v) = b_{uv} + β_{i}(u)b_{iv} = 0 zůstávají nulové, neboť b_{uv} = b_{iv} = 0 byly nulové již z předchozích kroků.

Regularita výsledné transformační matice R je důsledkem 4.24(4) a regularity všech zúčastněných matic. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.38 (LU-rozklad matice). Platí L.S = P.A, kde L =: [l_{ui}] je čtvercová dolní trojúhelníková matice řádu m s jednotkovou diagonálou (l_{ii} = 1 pro i = 1, …, m) a pod

hlavní diagonálou s prvky l_{ui} = \begin{cases}\frac{b′_{uj_{i}}}{b′_{ij_{i}}} & pro i = 1, …, r \\ 0 & pro i = r + 1, …, m \end{cases} , kde

u = i+1, …, m a b′_{uj_{i}} jsou prvky z j_{i}-tého sloupce matice B′_{i} := A_{i−1} ze všech r kroků (G1) provedených během Gaussovy eliminace předem permutované matice P.A, přičemž P = P_{r} … P_{2}.P_{1} je matice permutace vzniklé složením všech r řádkových záměn provedených v krocích (G1) během Gaussovy eliminace původní nepermutované matice A.

• Označíme-li L′ := L(:, [1, …, r]) a S′ = S([1, …, r],:) submatice po řadě v L, resp. S tvořené jejich prvými r sloupci, resp. řádky, dostáváme modifikovaný rozklad L′.S′ = P.A.

• Je-li speciálně A čtvercová a regulární, pak L′ = L a S′ = S =: U, kde U je horní trojúhelníková matice s nenulovou diagonálou, takže dostáváme rozklad L.U = P.A, který je obvykle nazýván LU-rozkladem matice A. V dalším takto budeme nazývat i kterýkoli z výše uvedených obecnějších rozkladů L.S = P.A nebo L′.S′ = P.A, které jsou platné pro libovolnou matici A.

Důkaz. Matice L má tuto strukturu:

L = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ \frac{b′_{2j_{1}}}{b′_{1j_{1}}} & 1 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{b′_{rj_{1}}}{b′_{1j_{1}}} & \frac{b′_{rj_{2}}}{b′_{2j_{2}}} & … & 1 & 0 & … & 0 \\ \frac{b′_{r+1j_{1}}}{b′_{1j_{1}}} & \frac{b′_{r+1j_{2}}}{b′_{2j_{2}}} & … & \frac{b′_{r+1jr}}{b′_{r}j_{r}} & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{b′_{mj_{1}}}{b′_{1j_{1}}} & \frac{b′_{mj_{2}}}{b′_{2j_{2}}} & … & \frac{b′_{mjr}}{b′_{r}j_{r}} & 0 & … & 1 \end{matrix}] .

• \underline{Konstrukce rozkladu L.S = P.A} : Dle 4.37 platí S = R.A, kde R := L_{r}^{(β_{r})} .P_{r} … L_{2}^{(β_{2} )}.P_{2}.L_{1}^{(β_{1} )}.P_{1}. Užijme opakovaně 4.34(3) pro postupné provádění záměn: P_{2}.L_{1}^{(β_{1} )} = L_{1}^{(P_{2} .β_{1} )}.P_{2}, P_{3}.L_{2}^{(β_{2} )} = L_{2}^{(P_{3} .β_{2} )}.P_{3}, P_{3}.L_{1}^{(P_{2} .β_{1} )} = L_{1}^{(P_{3} .P_{2} .β_{1} )}.P_{3}, atd. Po jejich provedení obdržíme:

S = L_{r}^{(β_{r})} .L_{r−1}^{(P_{r}.β_{r−1} )} … L_{2}^{(P_{r}...P_{3} .β_{2} )}.L_{1}^{(P_{r}...P_{2} .β_{1} )}. \underbrace{P_{r} … P_{1}}_{P}.A.

Odtud: (L_{r}^{(β_{r})} .L_{r−1}^{(P_{r}.β_{r−1} )} … L_{2}^{(P_{r}...P_{3} .β_{2} )}.L_{1}^{(P_{r}...P_{2} .β_{1} )})^{−1}.S = P.A.

Stačí jen upravit inverzi ze součinu matic vlevo, kterou označíme L:

L := (L_{r}^{(β_{r})} .L_{r−1}^{(P_{r}.β_{r−1} )} … L_{2}^{(P_{r}...P_{3} .β_{2} )}.L_{1}^{(P_{r}...P_{2} .β_{1} )})^{−1} =^{4.28(2)}

(L_{1}^{(P_{r}...P_{2} .β_{1} )})^{−1}.(L_{2}^{(P_{r}...P_{3} .β_{2} )})^{−1} … (L_{r−1}^{(P_{r}.β_{r−1} )})^{−1}.(L_{r}^{(β_{r})} )^{−1} =^{4.34(2)}

L_{1}^{(−P_{r}...P_{2} .β_{1} )}.L_{2}^{(−P_{r}...P_{3} .β_{2} )} … L_{r−1}^{(−P_{r}.β_{r−1} )}.L_{r}^{(−β_{r})} . \underbrace{L_{r+1}^{(0)} … L_{m}^{(0)}}_{=I_{m}}.

Matice L má dle 4.34(4) požadovanou strukturu. K tomu stačí jen uvážit, že permutace P_{r} … P_{i+1} prováděné s vektory koeficientů β_{i} z úpravy matice A přesně odpovídají nepermutovaným vektorům β′_{i} koeficientů z úpravy předem permutované matice P.A, kdy krok (G1) vynecháváme, neboť pro každé i = 1, …, r již máme předem zajištěno A_{i−1}(i, j_{i}) ≠ 0, tj. P_{i} = I_{m} a tedy B′_{i} := A_{i−1} pro každé i = 1, …, m.

• \underline{L′.S′ = L.S} : Stačí uvážit, že posledních m − r řádků schodovité matice S je nulových, takže při násobení maticí L zleva na jejích hodnotách v posledních m − r sloupcích nezáleží (jsou během součinu násobeny nulami).

• \underline{Případ regulární čtvercové matice A} : V tomto případě m = r, takže L = L′ a S = S′. Navíc také n = r, takže S je čtvercová řádu r a dle 4.6 současně obsahuje regulární horní trojúhelníkovou submatici U téhož řádu r. To může nastat, jen když S = U. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.39 (Konstrukce báze prostoru R(A)). Nechť A je matice typu m/n a A = L.S = L′.S′ je její LU-rozklad, kde U = S′(:, [j_{1}, …, j_{r}]) je regulární horní trojúhelníková submatice v S′. Pak sloupce matice L′ tvoří bázi prostoru R(A) a rovněž A(:, j_{1}), …, A(:, j_{r}) tvoří jeho sloupcovou bázi.

\underline{DŮKAZ}. Sloupce L′ jsou lineárně nezávislé, neboť jsou vybrány z nezávislé množiny sloupců regulární matice L, tvoří tak bázi v R(L′) a současně L′ je sloupcově plné hodnosti. Dále

A(:, [j_{1}, …, j_{r}]) = L′.S′(:, [j_{1}, …, j_{r}]) = L′.U ⇒^{4.24(1)}

r(A(:, [j_{1}, …, j_{r}])) = r(S) = r =^{4.36} r(A) ⇒ sloupce A(:, j_{1}), …, A(:, j_{r})

jsou lineárně nezávislé a tvoří proto podle 3.24(4)(ii) bázi prostoru R(A), neboť dim R(A) = r . Z vyjádření A = L′.S′ současně plyne (viz 4.13a)), že každý sloupec matice A (tj. každý z generátorů prostoru R(A)) je lineární kombinací sloupců L′, tj. patří do R(L′). Pak A(:, j_{1}), …, A(:, j_{r}) musí také tvořit bázi v R(L′) a oba prostory jsou proto stejné. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.40 (Konstrukce báze prostoru N (A)). Nechť A je matice typu m/n a A = L′.S′ je její LU-rozklad, kde U = S′(:, [j_{1}, …, j_{r}]) je regulární horní trojúhelníková submatice v S′. Nechť S′′ je submatice v S′ tvořená zbývajícími n − r sloupci nezařazenými do matice U. Buď Q vhodná permutační matice, kterou přeuspořádáme sloupce S′′ tak, aby U byla prvním blokem a S′′ druhým blokem: S′.Q = [U, S′′]. Pak n − r sloupců blokově sestavené matice N =: Q.[−U^{−1}.S′′; I_{n−r}] ∈ ℳ_{n,n−r} tvoří bázi prostoru N (A).

\underline{DŮKAZ}. Všech n − r sloupců matice N je zřejmě lineárně nezávislých, neboť N obsahuje regulární submatici maximálního možného řádu n − r (viz 4.29(3)). Podle téže věty dim N (A) =^{4.29(4)} n − r, takže stačí ukázat, že každý sloupec matice N patří do N (A). Podle 4.15(1) je tedy třeba ověřit, že A.N je nulová matice: A.N = L′.S′Q.Q^{T} .N = L′.[U, S′′].Q^{T} .Q.[−U^{−1}.S′′; I_{n−r}] = L′.[U, S′′].[−U^{−1}.S′′; I_{n−r}] = L′.(−U.U^{−1}.S′′ + S′′.I_{n−r}) = L′.(−S′′ + S′′) = 0_{n,n−r}. □

\underline{Poznámka} 4.41.

(1) Při konstrukci báze prostoru N (A) dle 4.40 se inverzní matice U^{−1} snadno spočte postupem naznačeným v důkazu 4.28(4). V rovnici I_{r} = X.U postupně počítáme neznámé prvky matice X := U^{−1} srovnáváním prvého sloupce vlevo a vpravo (tím spočteme prvý sloupec X), pak prvého řádku vlevo a vpravo (tím dopočteme prvý řádek X), pak podobně pro druhý sloupec a řádek, atd. Alternativně můžeme také řešit maticovou rovnici U.X = −S′′ postupně pro jednotlivé sloupce: U.X(:, j) = −S′′(:, j), což je vzhledem k trojúhelníkové struktuře matice U snadné (podrobněji bude probráno později v odstavci věnovaném řešení systémům lineárních rovnic). Obdržíme tak matici X = −U^{−1}.S′′, což je právě horní blok ve vyjádření řádkově permutované matice N.

(2) LU-rozklad A = L′.S′ není nic jiného než speciální případ skeletního rozkladu 4.22, kde L′ hraje roli matice B a S′ hraje roli matice C. Porovnání obou rozkladů ukazuje, že se liší ve dvou aspektech:

• Roli regulární jednotkové submatice řádu r v B nyní hraje horní trojúhelníková submatice U řádu r v S′. Konstrukce prostoru N (A) popsaná v důkazu tvrzení 4.29(4) koresponduje s konstrukcí ze 4.40: jestliže U nahradíme jednotkovou maticí I_{r}, tak horní blok −U^{−1}.S′′ ve vyjádření N přejde v matici −I_{n}^{−1}.S′′ = −S′′, která koresponduje s maticí −C′. Nevýhodou je nutnost vypočítat −U^{−1}.S′′, což dle (1) odpovídá řešení maticové rovnice U.X = −S′′.

• Konstrukce LU-rozkladu je konstruktivní, zatímco důkaz 4.22 nikoliv: u konkrétní matice totiž obvykle není snadné určit její sloupcovou bázi pro konstrukci B. Teoreticky bychom mohli sice využít 4.39. Mnoho bychom si však nepomohli, protože nalezení C by vyžadovalo řešit vzhledem k C maticovou rovnici A = B.C, což opět není snadné, neboť B nemá obecně žádnou speciální strukturu, která by toto usnadnila. Tyto komplikace zdaleka nejsou vyváženy výhodou snadného nalezení báze prostoru N (A), které nevyžaduje řešení žádné inverzní úlohy.

(3) LU-rozklad není jediným užitečným rozkladem skeletního typu. Další hojně využívaný (jen pro 𝔽 ⊆ ℂ) je tzv. QR-rozklad:

A = Q.R. Jeho výhodou je, že sloupce matice Q tvoří ortonormální bázi prostoru R(A), matice R je horní trojúhelníková a dle 4.13a) její sloupce opět představují vektory souřadnic sloupců matice A v ONB dané maticí Q. Sloupce Q lze vždy doplnit na ONB celého prostoru 𝔽^{m} (viz 3.79) a matici R pak stejným počtem nulových řádků. Můžeme tedy bez újmy na obecnosti předpokladat, že Q je unitární matice: analogie s LU-rozkladem, kde regulární matici L můžeme považovat za doplnění sloupcové báze L′ prostoru R(A) na bázi celého prostoru 𝔽^{m}. QR-rozklad se s výhodou užívá místo Gram-Schmidtova algoritmu 3.78 k nalezení ONB prostoru R(A). Ten totiž trpí numerickou nestabilitou v situacích, kdy některý sloupcový vektor matice A je blízký lineární kombinaci ostatních. Při numerických výpočtech se proto doporučuje dávat přednost QR-algoritmu. Teoretické odvození QR-rozkladu jde nad rámec tohoto kurzu. Čtenář jej může najít například ve skriptech [Šik : odst. 13.2 s.105 − 110] .

(4) Jordanova eliminace je modifikací Gaussovy eliminace, kdy v matici A eliminujeme postupně nejen pod diagonálou, ale i nad diagonálou. Regulární horní trojúhelníková submatice S([1, …, r], [j_{1}, …, j_{r}]), ve schodovitém tvaru se tak stane diagonální maticí s nenulovou diagonálou (r = r(A)). Můžeme také postupovat tak, že eliminujeme horní části sloupců S([1, …, i + 1], j_{i}), i = 1, …, r ve schodovitém tvaru S až dodatečně. Jestliže každý řádek takto získané diagonální submatice S([1, …, r], [j_{1}, …, j_{r}]) navíc vydělíme nenulovým diagonálním prvkem s_{ij_{i}}, i = 1, …, r (neboli násobíme S zleva postupně regulárními transformačními maticemi D_{i}^{(1/s_{ij_{i}})} pro i = 1, …, r), přejde S([1, …, r], [j_{1}, …, j_{r}]) dokonce v jednotkovou matici I_{r}. Výše uvedeným postupem lze tedy každou regulární matici A převést na jednotkovu matici I_{n}, neboť v tomto případě r = n. Na závěr poznamenejme, že příslušná transformační matice R realizující Jordanovu eliminaci na diagonální tvar (ať obecný či s jednotkovou diagonálou) sice zůstane regulární, ztratí však svůj dolní trojúhelníkový tvar. Podobně v příslušném LU-rozkladu již ani matice L nebude dolní trojúhelníková, ale jen regulární.

Relevantní procedury v MATLABu: rref … převod matice na schodovitý tvar a určení sloupcové báze (rref=reduced row echelon form) lu … nalezení LU-rozkladu matice qr … nalezení QR-rozkladu matice orth … nalezení ONB prostoru R(A) užitím QR-rozkladu null … nalezení ONB prostoru N (A).

4.5. PERMUTACE, DETERMINANT A STOPA MATICE.

V tomto odstavci zavedeme dvě z nejdůležitějších skalárních veličin přiřazovaných k matici: determinant matice a stopu matice.

Pojem determinantu patří mezi základní pojmy lineární algebry. V tomto odstavci uvedeme některé jeho základní vlastnosti a metody jeho výpočtu. Poznamenejme, že v dnešní době je praktické použití determinantů na ústupu vzhledem k existenci efektivnějších algoritmů pro řešení úloh, v nichž se tradičně používaly (řešení systému lineárních rovnic, inverze matice aj.) Nicméně pro teoretickou oblast lineární algebry, vyjadřování různých algebraických i geometrických vlastností je pojem determinantu stále nezbytný. Pojem determinantu se vztahuje ke čtvercovým maticím následovně: Každé čtvercové matici A = [a_{ij}] řádu n je podle přesně uvedeného pravidla (viz dále 4.44) přiřazen skalár z 𝔽 (obvykle reálné nebo komplexní číslo) nazývané determinantem matice A a označované symboly

det A  nebo  |\begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix}| =: |A|.

I když je det A skalár, užíváme pro determinant názvy týkající se matic a rozumíme jimi názvy pojmů matice A. Tak například mluvíme o řádku determinantu, sloupci, hlavní diagonále determinantu a pod. Ke přesné definici determinantu je nezbytné nejprve zavést pojem parity permutace.

\underline{DEFINICE} 4.42 (Parita permutace [Šik:odst.2.1 s.12]). Nechť σ je permutace nějaké n-prvkové úplně uspořádané množiny J. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat J = {1, 2, …, n}. Jestliže označíme σ(i) := σ_{i}, pak pro permutaci σ budeme používat buď jednořádkový zápis

[σ] := [σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{n}]

nebo dvouřádkový zápis

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & … & n \\ σ_{1} & σ_{2} & … & σ_{n} \end{matrix}) nebo případně (\begin{matrix}i_{1} & i_{2} & … & i_{n} \\ j_{1} & j_{2} & … & j_{n} \end{matrix}) ,

kde i_{1}, i_{2}, …, i_{n} jsou prvky J uspořádané v jiném pořadí a j_{k} = σ(i_{k}) pro k = 1, 2, …, n. Říkáme, že σ_{i}, σ_{j} stojí v inverzi, jestliže i < j a σ_{i} > σ_{j}. Permutace σ se pak nazývá sudá, resp. lichá, když (−1)^{p} = +1, resp. (−1)^{p} = −1, kde p je počet inverzí permutace σ (neboli když v permutaci σ je sudý, resp. lichý počet navzájem různých dvojic σ_{i}, σ_{j} stojících v inverzi). Číslo sgn σ := (−1)^{p} se pak nazývá paritou nebo také znaménkem permutace σ. Jestliže existuje k > 1 navzájem různých prvků K := {i_{1}, …, i_{k}} množiny J takových, že [σ_{i_{1}} , …, σ_{i_{k}}] představuje permutaci množiny K, pak tuto permutaci nazýváme cyklem permutace σ a číslo k délkou cyklu. Cyklům délky 2 se říká záměna prvků i_{1} a i_{2}.

\underline{VĚTA} 4.43 (Vlastnosti parity permutace).

(1) Identická permutace má sudou paritu.

(2) Inverzní permutace k permutaci σ má stejnou paritu: sgn σ^{−1} = sgn σ.

(3) Při skládání permutací se jejich parity násobí: sgn (σ_{1}σ_{2}) = sgn (σ_{2}σ_{1}) = sgn σ_{1}.sgn σ_{2}.

(4) Záměnou dvou různých prvků v jednořádkovém zápisu permutace dostaneme novou permutaci s opačnou paritou (znaménkem).

(5) Jsou-li [σ] a [σ′] jednořádkové zápisy dvou permutací, pak jeden z druhého se dá dostat posloupností záměn^{19} a obě permutace mají stejnou (různou) paritu právě když počet záměn je sudý (lichý).

(6) Počet všech permutací je n!, přičemž pro n > 1 je toto číslo sudé, jedna polovina permutací má sudou paritu a druhá polovina lichou paritu.

19dokonce se můžeme omezit jen na záměny sousedních prvků.

Důkaz.

(1) V identické permutaci nevystupuje žádná inverze ⇒ (−1)^{0} = 1 a parita je tedy sudá.

(2) σ_{i}, σ_{j} jsou v inverzi ⇔ i < j a k := σ_{i} > σ_{j} =: l ⇔ l < k a j = σ^{−1}(l) > σ^{−1}(k) = i ⇔ σ^{−1}(l), σ^{−1}(k) jsou v inverzi. Tedy σ i σ^{−1} mají stejný počet inverzí a tudíž i stejnou paritu.

(3) Nechť σ := σ_{2}σ_{1}, p_{1} je počet inverzí v σ_{1} a p_{2} počet inverzí v σ_{2}. Pak každá z p_{2} inverzí permutace σ_{2} buď zruší nějakou existující inverzi v σ_{1} nebo ji naopak přidá. Protože (−1)^{p_{1} +1} = (−1)^{p_{1} −1}, bude mít σ paritu (−1)^{p_{1} +p_{2}} = (−1)^{p_{1}} (−1)^{p_{2}} = (sgn σ_{1})(sgn σ_{2}). Pro σ_{1}σ_{2} analogicky záměnou role σ_{1} a σ_{2}.

(4) Nechť i < j a

[σ] = [σ_{1} … σ_{i} … σ_{j} … σ_{n}], [σ′] = [σ_{1} … σ_{j} … σ_{i} … σ_{n}].

Pokud i, j jsou sousední (j − i = 1), dojde ke změně inverze jen jednou a to u dvojice σ_{i}, σ_{j}. Tedy parita permutace se změní. Pokud j − i > 1, změní se navíc inverze ještě všech indexů k, kde i < k < j, a to jak vzhledem k σ_{i}, tak vzhledem σ_{j}. Takových indexů k je j − i − 1, takže celkový počet změn je liché číslo 2(j − i − 1) + 1 a tudíž i v tomto případě dojde ke změně parity permutace.

(5) [σ′] dostaneme ze [σ] následující posloupností záměn: Je-li σ_{i_{1}} = σ′_{1} a i_{1} ≠ 1, pak záměnou σ_{1} a σ_{i_{1}} dosáhneme správného umístění σ′_{1} na první pozici. Podobně pro σ_{i_{2}} = σ′_{2} a i_{2} ≠ 2 záměnou σ′_{2} a σ_{i_{2}} umístíme σ′_{2} správně na druhou pozici, atd. Každou záměnu na pozicích, které nejsou sousední přitom jistě můžeme nahradit posloupností záměn sousedních prvků.

(6) Pro n > 1 je n! = 1.2 … sudé číslo. Vyberme libovolně nějakou permutaci σ ∈ Σ(J). K [σ] můžeme dle (4) přiřadit permutaci [σ′] opačné parity záměnou prvých dvou prvků v [σ]. Ze zbylého sudého počtu n! − 2 permutací opět analogicky vytvoříme další obdobnou dvojici. Celkem dostaneme n!/2 takových dvojic, kde jeden člen má sudou a jeden lichou paritu.

□

\underline{DEFINICE} 4.44 (Determinant). Nechť A =: [a_{ij}] je čtvercová matice řádu n a Σ(J) množina všech permutací (card Σ(J) = n!) množiny jejích sloupcových indexů J = {1, 2, …, n}. Pak číslo (skalár)

det A := ∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{nσ_{n}}

nazýváme determinantem matice A. Součin a_{1σ_{1}} … a_{nσ_{n}} nazýváme členem determinantu a sgn σ jeho znaménkem.

\underline{Poznámka} 4.45. Z definice plyne, že každý člen determinantu se dostane jako součin prvků matice A vybraných přesně po jednom z každého jejího řádku. Podle věty 4.43(6) je počet všech členů n!, přičemž pro n > 1 jedna polovina z nich má kladné a druhá polovina záporné znaménko.

\underline{VĚTA} 4.46 (Základní vlastnosti determinantu [Šik:V2.6 s.14]). Nechť A =: [a_{ij}] =: [a_{1}; …; a_{n}] je matice řádu n a a_{1}, …, a_{n} její řádky. Pak platí

(1) Obsahuje-li A nulový řádek, pak det A = 0.

(2) Je-li b =: [b_{1}, …, b_{n}] řádkový vektor, pak pro matici získanou z A přičtením vektoru b k jejímu i-tému řádku a_{i} (i = 1, …, n) platí:

det [ a_{1} ; ⋮ ; a_{i−1} ; a_{i} + b ; a_{i+1} ; ⋮ ; a_{n} ] = det \underbrace{[ a_{1} ; ⋮ ; a_{i−1} ; a_{i} ; a_{i+1} ; ⋮ ; a_{n} ]}_{A}+ det [ a_{1} ; ⋮ ; a_{i−1} ; b ; a_{i+1} ; ⋮ ; a_{n} ] .

(3) Výměnou dvou různých řádků v matici A se změní znaménko jejího determinantu det A.

(3a) \underline{Důsledek 1}^{20}: Má-li A dva různé řádky stejné, pak det A = 0. (3b) \underline{Důsledek 2}: Je-li σ nějaká permutace množiny \{1, …, n\} a

P_{σ} příslušná permutační matice (viz 4.14(6)), pak det P_{σ} = sgn σ. Zejména det P_{i,j} = −1, kde P_{i,j} je permutační matice řádu n pro záměnu i-ho a j-tého řádku jako v definici 4.33(1).

(3c) \underline{Důsledek 3}: det(P_{σ}A) = det P_{σ}. det A = sgn σ. det A a podobně det(AP_{σ}) = det A. det P_{σ} = sgn σ. det A. Zejména det(P_{i,j}A) = det P_{i,j}. det A = − det A a podobně det(AP_{i,j}) = det A. det P_{i,j} = − det A.

(4) Determinant trojúhelníkové (diagonální) matice je roven součinu jejích prvků v hlavní diagonále.

(4a) det I_{n} = 1, kde I_{n} je jednotková matice řádu n.

(5) det A^{T} = det A. (5a) \underline{Důsledek:} Všechny výroky této věty týkající se řádků platí i

pro sloupce. (5b) \underline{Důsledek:} V případě 𝔽 ⊆ ℂ platí det A^{∗} = \overline{det A}.

20Toto tvrzení platí jen když pole skalárů 𝔽 nemá charakteristiku 2 (srov.

2.71), tedy například pro 𝔽 = ℝ nebo 𝔽 = ℂ, což jsou pole nekonečné charakteristiky (viz příklad 2.76).

(6) Nechť A′ je matice získaná z A vynásobením některého jejího řádku skalárem α, pak det A′ = α. det A.

(6a) \underline{Důsledek 1}: det D_{i}^{(α)} = α, kde D_{i}^{(α)} je transformační matice

řádu n jako v definici 4.33(3). (6b) \underline{Důsledek 2}: det(D_{i}^{(α)} A) = det D_{i}^{(α)} . det A = α. det A a po-

dobně det(AD_{i}^{(α)} ) = det A. det D_{i}^{(α)} = α. det A. (6c) \underline{Důsledek 3}: det(α.A) = α^{n}. det A.

(7) det A se nemění přičtením α-násobku j-ho řádku k i-tému (i ≠ j).

(7a) \underline{Důsledek 1}: det R_{ij}^{(α)} = 1, kde R_{ij}^{(α)} je transformační matice

řádu n jako v definici 4.33(2). (7b) \underline{Důsledek 2}: det(R_{ij}^{(α)} A) = det R_{ij}^{(α)} . det A = det A a po-

dobně det(AR_{ij}^{(α)} ) = det A. det R_{ij}^{(α)} = det A.

(8) Je-li R součin transformačních matice typu P_{ij}, R_{ij}^{(α)} nebo D_{i}^{(α)} pak det(RA) = det R. det A a det(AR) = det A. det R.

(8a) Je-li T trojúhelníková (diagonální) matice řádu n, pak

det(TA) = det T. det A a podobně det(AT) = det A. det T.

(9) \underline{Cauchyova věta o determinantu součinu matic:} Pro libovolnou čtvercovou matici B řádu n platí det(AB) = (det A).(det B).

(10) Matice A je regulární (neboli dle 4.18b) má lineárně nezávislé řádky, resp. sloupce) právě když det A ≠ 0.

(11) Nechť X je čtvercová matice, pro niž platí AX = I_{n} (resp. XA = I_{n}), pak platí také druhá identita XA = I_{n} (resp. AX = I_{n}) a tedy X = A^{−1} (viz též větu 4.25)^{21}.

(12) Když A^{−1} existuje, pak det A^{−1} = (det A)^{−1}.

Důkaz.

(1) Nechť a_{i} je nulový řádek. Pak det A := ∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{iσ_{i}} … a_{nσ_{n}} = 0, neboť a_{iσ_{i}} = 0 pro každou permutaci σ ∈ Σ(J).

21Toto tvrzení říká, že k definici inverzní matice stačí jen jeden z definičních vztahů AX = I_{n} nebo XA = I_{n}.

(2) Pro determinant na levé straně rovnosti platí vztah:

∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … (a_{iσ_{i}} + b_{σ_{i}}) … a_{nσ_{n}} =

∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{iσ_{i}} … a_{nσ_{n}}+

∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … b_{σ_{i}} … a_{nσ_{n}},

což je právě součet determinantů matic vpravo.

(3) Nechť B =: [b_{ij}] je matice vzniklá z A záměnou řádků a_{i} a a_{j}. Pak

det B = ∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)b_{1σ_{1}} … b_{iσ_{i}} … b_{jσ_{j}} … b_{nσ_{n}} =

∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{jσ_{i}} … a_{iσ_{j}} … a_{nσ_{n}} =

∑_{σ′∈Σ(J)} (−sgn σ′)a_{1σ′_{1}} … a_{iσ′_{i}} … a_{jσ′_{j}} … a_{nσ′_{n}} = − det A,

neboť [σ′] vznikla ze [σ] záměnou σ_{i} a σ_{j}, takže dle 4.43(4) sgn σ = −sgn σ′ ve všech členech determinantu.

(3a) Nechť a_{i} = a_{j} pro i ≠ j. Jejich záměnou se matice nezmění,

takže det A = det B =^{(3)} − det A. Odtud (2 det A) = 0 a tedy také det A = 0, pokud 𝔽 nemá charakteristiku 2.

(3b) Podle 4.43(5) se [σ] dá získat posloupností záměn z identické permutace. Pak dle 4.43(1)(4) sgn σ = (−1)^{p}, kde p je počet takových záměn. Tvrzení je pak důsledkem (3) a (4a): P_{σ} dostaneme z I_{n} pomocí p řádkových záměn, takže det P_{σ} =

(−1)^{p} det I_{n} =^{(4a)} (−1)^{p}.

(3c) P_{σ}A je matice získaná z A pomocí p řádkových záměn ur-

čujících σ jako ve (3b). Pak det(P_{σ}A) =^{(3)} (−1)^{p} det A =^{(3b)} det P_{σ}. det A.

(4) Člen determinantu dolní trojúhelníkové matice může být nenulový jen když do něj nevybíráme nulové prvky nad hlavní diagonálou. V 1. řádku jediný takový prvek je a_{11} , ve 2. řádku a_{21} již vybrat nelze, takže zbývá a_{22} , atd. až z posledního řádku zbude také jen možnost a_{nn}. Jediný člen který může být nenulový je tedy a_{11} … a_{nn}, který odpovídá identické permutaci sudé parity. V případě horní trojúhelníkové matice obdobně postupujeme odzdola nahoru.

(4a) Plyne ze (4), neboť jednotková matice je speciální případ di-

agonální matice.

(5) Označíme-li A^{T} =: [a′_{ij}], a′_{ij} := a_{ji} a a := a_{1σ_{1}} … a_{nσ_{n}} člen determinantu det A, pak a = a′_{σ_{1} 1} … a′_{σ_{n}n} = a_{1σ^{−1} (1)} … a_{nσ^{−1} (n)} je také členem determinantu det A^{T} odpovídajícímu permutaci σ^{−1}. Parita obou permutací je stejná dle 4.43(2), takže oba determinanty maji všechny členy stejné včetně znaménka.

(5a) Zřejmé užitím (5).

(5b) det A^{∗} =^{4.10} det \overline{A^{T}} =^{4.44} \overline{det A^{T}} =^{(5)} \overline{det A}.

(6) Z každého členu determinatu lze α vytknout a tedy jej lze vytknout i z det A, který je jejich součtem.

(6a) Matice det D_{i}^{(α)} vznikla z I_{n} vynásobením jejího i-ho řádku

číslem α. Pak tedy det D_{i}^{(α)} =^{(6)} α. det I_{n} =^{(4a)} α. (6b) Je důsledkem (6) a (6a). (6c) αA je matice, jejíž každý řádek byl vynásoben číslem α. Stačí

aplikovat (6) postupně pro každý z n řádků.

(7) Ve (2) položme b = αa_{j}. Užitím (6) pak poslední sčítanec bude ve tvaru součinu čísla α s determinantem matice, v níž je řádek a_{j} dvakrát. Podle (3a) je proto nulový a zůstane tak jen prvý sčítanec det A.

(7a) Plyne ze (4a), neboť R_{ij}^{(α)} vznikne z jednotkové matice přičtením α-násobku jejího j-tého řádku k i-tému. Tvrzení plyne také přímo ze (4), neboť R_{ij}^{(α)} je trojúhelníková matice s jednotkovou diagonálou.

(7b) Je důsledkem (7) a (7a).

(8) Dostane se opakovaným užitím (3c), (6b) nebo (7b). (8a) Nechť T =: [t_{ij}] je například horní trojúhelníková matice.

Snadno nahlédneme, že T = D_{n}^{(t_{nn})} … R_{2n}^{(t_{2n})} … R_{23}^{(t_{23} )}D_{2}^{(t_{22} )}R_{1n}^{(t_{1n})} … R_{12}^{(t_{12} )}D_{1}^{(t_{11} )}. Násobení těmito maticemi v pořadí zprava doleva postupně vytváří 1. řádek, pak 2. řádek, atd. až poslední řádek matice T. V případě dolní trojúhelníkové matice postupujeme obdobně od posledního řádku k prvnímu. Tvrzení je pak důsledkem (8).

(9) Nechť PA = LU je LU-rozklad matice A dle 4.38. Pak

det P. det(AB) =^{(3c)} det(PAB) = det(L(UB)) =^{(8a)}

(det L. det U). det B =^{(8a)} det(LU). det B = det(PA). det B =^{(3c)}

det P. det A. det B. Po zkrácení hodnotou det P =^{(3b)} ±1 dostáváme požadovaný vztah.

(10) Matice A řádu n je podle definice 4.17 regulární ⇔ r(A) = n ⇔^{4.37} po Gaussově eliminaci schodovitým tvarem matice A je horní trojúhelníková čtvercová matice S řádu n s nenulovou diagonálou ⇔ pro schodovitý tvar S =: [s_{ij}] matice A platí

0 ≠ s_{11} … s_{nn} =^{(4)} det S =^{(3),(7)} ± det A ⇔ det A ≠ 0.

(11) Platí-li AX = I_{n} pro čtvercové matice A a X, pak

1 =^{(4a)} det I_{n} = det(AX) =^{(9)} (det A)(det X). Tedy zejména det A ≠ 0 a tudíž podle (10) je matice A regulární a na základě 4.25 k ní existuje inverzní matice A^{−1}. Vynásobením rovnice AX = I_{n} = AA^{−1} zleva maticí A^{−1} obdržíme X = A^{−1}AX = A^{−1}AA^{−1} = A^{−1}.

(12) AA^{−1} = I_{n} ⇒ (det A)(det A^{−1}) =^{(9)} det I_{n} =^{(4a)} 1 a tedy det A^{−1} = (det A)^{−1}.

□

\underline{DEFINICE} 4.47 (Minory, adjunkt matice). Nechť A je matice rozměru m × n a B = A([i_{1}, …, i_{k}], [j_{1}, …, j_{k}]), 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{k} ≤ m, 1 ≤ j_{1} < ⋯ < j_{k} ≤ n její čtvercová submatice (viz též definici 4.2) řádu k ≤ min(m, n), pak det B nazýváme minorem (nebo též subdeterminantem) řádu k matice A. Tento minor budeme značit M := M_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}(A). Doplňkovým minorem (stručně doplňkem) minoru M ve čtvercové matici A řádu n při k < n rozumíme minor složený ze zbývajících řádků a sloupců matice A. Značíme jej C_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}(A) nebo jen stručně C. Algebraický doplněk minoru M je 𝒞_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}(A) := (−1)^{s}C_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}(A), kde s = i_{1} + ⋯ + i_{k} + j_{1} + ⋯ + j_{k}. Je-li minor složen z jediného prvku a_{ij} (tj. k = 1, i_{1} = i a j_{1} = j), pak jeho doplněk, resp. algebraický doplněk značíme C_{ij}(A), resp. 𝒞_{ij}(A). V tomto případě tedy platí 𝒞_{ij}(A) = (−1)^{i+j} C_{ij}(A). Matice A′ := [a′_{ij}], kde a′_{ij} = 𝒞_{ji}(A) se nazývá adjunktem k matici A a značí se adj A.

\underline{Poznámka} 4.48 (Značení). Pokud nebude hrozit nedorozumění (pevně daná matice A), budeme nadále minory matice A a jejich doplňky označovat zjednodušeně M_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}, C_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}, C_{ij}, 𝒞_{j_{1} ,...,j_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}} a 𝒞_{ij} nebo jen M, C a 𝒞, pokud rovněž výběrové indexy budou pevně dány. V dalším budeme v případě čtvercové matice A řádu n pracovat s následujícími výrazy :

R(i_{1}, …, i_{k}) := ∑_{t_{1} ,...,t_{k}} M_{t_{1} ,...,t_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}}𝒞_{t_{1} ,...,t_{k}}^{i_{1} ,...,i_{k}},
S(j_{1}, …, j_{k}) := ∑_{t_{1} ,...,t_{k}} M_{j_{1} ,...,j_{k}}^{t_{1} ,...,t_{k}}𝒞_{j_{1} ,...,j_{k}}^{t_{1} ,...,t_{k}},

kde t_{1}, …, t_{k} probíhají všechna přirozená čísla s vlastností 1 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ n. Počet sčítanců v každém z výrazů je tedy \binom{n}{k}.

\underline{VĚTA} 4.49 (Laplaceova věta o rozvoji determinantu). Předpokládejme označení z poznámky 4.48. Pak pro každý výběr řádkových indexů i_{1}, …, i_{k}, resp. sloupcových indexů j_{1}, …, j_{k} platí

R(i_{1}, …, i_{k}) = S(j_{1}, …, j_{k}) = det A.

Důkaz. Nechť M := M_{j_{1} ...j_{k}}^{i_{1} ...i_{k}} je nějaký minor matice A a 𝒞 = (−1)^{s}M′ jeho algebraický doplněk, kde s := ∑_{t=1}^{k} (i_{t} + j_{t}). Položme J := {j_{1}, …, j_{k}} a J′ := {1, …, n} − J_{1}.

1) Předpokládejme nejprve, že M leží vlevo nahoře (i_{t} = j_{t} = t), pak s := ∑_{t=1}^{k} (t + t) = 2(1 + 2 + ⋯ + k) je sudé číslo, takže jeden ze sčítanců M.𝒞 = M.M′ ve výrazu R(i_{1}, …, i_{k}) nabude tvaru

M.M′ =^{4.44} ( ∑_{σ∈Σ(J)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{kσ_{k}}).( ∑_{σ′∈Σ(J′)} (sgn σ′)a_{k+1,σ′_{1}} … a_{n,σ′_{n−k}})

= ∑_{σ∈Σ(J)} ∑_{σ′∈Σ(J′)} (sgn σ)a_{1σ_{1}} … a_{kσ_{k}}(sgn σ′)a_{k+1,σ′_{1}} … a_{n,σ′_{n−k}}

=^{4.43(3)} ∑_{σ∈Σ(J)} ∑_{σ′∈Σ(J′)} (sgn σσ′)a_{1σ_{1}} … a_{kσ_{k}}a_{k+1,σ_{k+1}} … a_{nσ_{n}},

kde [σσ′] = [σ_{1}, …, σ_{k}, σ_{k+1} , …, σ_{n}] je permutace množiny {1, …, n} získaná složením dvou cyklů [σ] =: [σ_{1}, …, σ_{k}] a [σ′] =: [σ′_{1}, …, σ′_{n−k}], kde σ′_{i} =: σ_{k+i} pro i = 1, …, n − k. Každý ze sčítanců je tedy jedním členem determinantu d := det A včetně správného znaménka.

2) Nechť nyní minor M je tvořen řádky a sloupci s obecnými indexy i_{1} < ⋯ < i_{k} a j_{1} < ⋯ < j_{k}. Přemístěme řádky a sloupce (sousedními výměnami) na prvních k pozic tak, aby se zachovalo jejich pořadí. Výměn řádků a sloupců bude celkem

(i_{1} −1)+⋯+(i_{k} −k)+(j_{1} −1)+⋯+(j_{k} −k) = s−2(1+2+⋯+k).

Výměnami přejde determinant d v nový determinant

d′ =^{4.46(3)} (−1)^{s−2(1+2+···+k)} d = (−1)^{s}d,

kde M se přesune do levého horního rohu a jeho doplněk M′ do pravého dolního rohu. Podle části 1) součin M.M′ bude roven součtu některých členů determinantu d′, opatřených znaménky, která jim přísluší v determinantu d′. Tato znaménka se liší od znamének členů determinantu d jen faktorem (−1)^{s}, takže M.𝒞 = M.(−1)^{s}M′ je součet některých členů determinantu d, která jim přísluší v d. Je patrné, že sčítanci v M.𝒞 jsou (formálně) různí a jejich počet je k!(n − k)!. Když uvážíme, že lze vybrat \binom{n}{k} minorů z (pevně) zvolených k řádků matice A, bude všech sčítanců k!(n−k)!\binom{n}{k} = k!(n−k)! \frac{n!}{k!(n−k)!} = n!, tj. celkem součet všech členů determinantu d včetně správných znamének. □

Užijeme-li k výpočtu determinantu matice A výrazu R(i_{1}, …, i_{k}) resp. S(j_{1}, …, j_{k}), pak řekneme, že jsme jej počítali Laplaceovým rozvojem podle řádků i_{1}, …, i_{k} resp. sloupců j_{1}, …, j_{k} nebo že jsme det A rozvinuli (Laplaceovým rozvojem) podle řádků i_{1}, …, i_{k} resp. sloupců j_{1}, …, j_{k}.

\underline{DŮSLEDEK} 4.50 (Laplaceův rozvoj podle jednoho řádku/sloupce).

Nechť i je nějaký řádkový, resp. j sloupcový index. Pak platí

∑_{t=1}^{n}a_{it}𝒞_{it} = ∑_{t=1}^{n}a_{tj}𝒞_{tj} = det A.

Lemma 4.51. Nechť A = [a_{ij}] je čtvercová matice řádu n a nechť i, j ∈ ℕ, 1 ≤ i, j ≤ n. Pak platí:

(1) ∑_{t=1}^{n} a_{it}𝒞_{jt}(A) = \begin{cases}0, & jestliže i ≠ j \\ det A, & jestliže i = j, \end{cases}

(2) ∑_{t=1}^{n} a_{tj}𝒞_{ti}(A) = \begin{cases}0, & jestliže i ≠ j \\ det A, & jestliže i = j. \end{cases}

Důkaz. Jestliže i = j, pak výraz (1) je dle 4.50 Laplaceův rozvoj det A podle i-tého řádku a obdobně výraz (2) Laplaceův rozvoj podle i-tého sloupce.

Jestliže i ≠ j, pak výraz (1) je dle 4.50 Laplaceův rozvoj podle j-tého řádku determinantu matice, kde j-tý řádek byl nahrazen i-tým řádkem. Obdobně výraz (2) představuje Laplaceův rozvoj podle i-tého sloupce determinantu matice, kde i-tý sloupec byl nahrazen j-tým sloupcem. Tyto determinanty jsou však podle 4.46(3a) nulové. □

\underline{VĚTA} 4.52. Pro čtvercovou matici A řádu n máme:

A(adj A) = (adj A)A = (det A).I_{n}

Důkaz. Tvrzení plyne z lemmatu 4.51 a z definice matice adj A ve 4.49. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.53. Pro regulární čtvercovou matici A platí

A^{−1} = \frac{1}{det A}adj A.

Důkaz. Podle 4.46(10) je det A ≠ 0. Rovnici ve 4.52 můžeme tedy tímto determinantem vydělit, takže dostáváme

A( \frac{1}{det A}adj A) = ( \frac{1}{det A}adj A)A = I_{n},

a tedy A^{−1} = \frac{1}{det A}adj A podle 4.25. □

\underline{DŮSLEDEK} 4.54 (Cramerovo pravidlo). Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n a b sloupcový vektor délky n. Pak

A^{−1}b = [ \begin{matrix}det & A & 1 \\ det & A \end{matrix} , …, \begin{matrix}det & A & n \\ det & A \end{matrix}]^{T} ,

kde A_{j} je matice získaná z A nahrazením jejího j-tého sloupce vektorem b (j = 1, …, n).

\underline{DŮKAZ}. Označme b =: [b_{t}] a položme y := [y_{j}] := (adj A)b. Pak y_{j} = ∑_{t=1}^{n} 𝒞_{tj}b_{t} = ∑_{t=1}^{n} b_{t}𝒞_{tj} představuje Laplaceův rozvoj podle j-tého sloupce determinantu matice A_{j}, tj. y_{j} = det A_{j} (j = 1, …, n). Tvrzení pak ihned dostáváme po vynásobení rovnice ve 4.53 zprava vektorem b. □

\underline{POZNÁMKA} 4.55 (Metody výpočtu determinantu).

• Přímý výpočet z definice 4.44: Je vhodný pouze pro matice nízkých řádů, obvykle nejvýše řádu 3: \underline{Řád 1:} Pro čtvercovou matici A = [a] řádu 1 je výpočet jednoduchý. Jedinou permutací jednoprvkové množiny je identická permutace sudé parity, takže dostáváme:

det A = det[a] = a.

\underline{Řád 2:} Jedinými permutacemi dvouprvkové mmnožiny je identická permutace [1, 2] sudé parity a [2, 1] liché parity. Dostáváme tak vztah:

det A = a_{11} a_{22} − a_{12} a_{21} .  (4.2a)

\underline{Řád 3:} Tříprvkovou mmnožinu lze uspořádat šesti způsoby (= 3!), přičemž dle 4.43(6) tři permutace mají sudou paritu (+) a tři lichou paritu (−): [1, 2, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2] s počtem inverzí po řadě 0, 2, 2 (+) [3, 2, 1], [2, 1, 3], [1, 3, 2] s počtem inverzí po řadě 3, 1, 1 (−). Dostáváme tak vztah:

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

− a_{13} a_{22} a_{31} − a_{12} a_{21} a_{33} − a_{11} a_{23} a_{32} . (4.2b)

Výše uvedené vztahy si lze snadno zapamatovat takto: trojice prvků vybíraná rovnoběžně s hlavní diagonálou dává příslušnému členu znaménko +, zatímco trojice prvků vybíraná rovnoběžně s vedlejší diagonálou dává znaménko −. Toto pravidlo je také známo jako tzv. Sarrusovo pravidlo.

• Rekurentní výpočet užitím Laplaceova rozvoje: Opakovaným používáním Laplaceova rozvoje postupně na zadaný determinant, pak na vybírané minory a jejich doplňky, atd. vede k postupnému snižování řádu determinantů až na úroveň, kde můžeme užít přímý výpočet. Indexy i_{1}, …, i_{k}, resp. j_{1}, …, j_{k} vybíráme tak, aby ve vybraných řádcích, resp. sloupcích bylo co nejvíce nulových prvků. Pak totiž mnoho minorů v rozvoji bude nulových a výpočet se zjednoduší. Můžeme také tomu napomoci prováděním vhodných elementárních transformací dle 4.46(7-7b), které nemění hodnotu počítaného determinantu. Obvykle se provádí rozvoj pouze podle jednoho řádku, resp. sloupce, z něhož nejprve eliminujeme co nejvíce nenulových prvků. Ideální je, když tam zůstane pouze jeden takový prvek, řekněme a_{ij}. Pak se rozvoj redukuje jen na jeden sčítanec det A = a_{ij}(−1)^{i+j} C_{ij}, kde C_{ij} je řádu n − 1. Na něj pak aplikujeme podobný postup, čímž se řád dále sníží na n − 2, atd.

• Užití Gaussovy eliminace, resp. LU-rozkladu: Při Gaussově eliminaci se matice A řádu n převede posloupností elementárních řádkových úprav 4.46(7) a řádkových záměn 4.46(3) na čtvercovou matici ve schodovitém tvaru S rovněž řádu n. Uvažme dále, že S je horní trojúhelníková matice. Zatímco řádkové úpravy 4.46(7) nemění hodnotu det A, tak každá řádková záměna 4.46(3) obrací její znaménko. Označíme-li p počet provedených řádkových záměn, dostáváme (−1)^{p} det A = det S =^{4.46(4)} s_{11} … s_{nn} a odtud hledaný vztah

det A = (−1)^{p}s_{11} … s_{nn}.  (4.3)

Obdobný vztah dostáváme z rovnice L.S = PA pro LU-rozklad dle 4.38. Totiž L je dolní trojúhelníková s jednotkovou diagonálou, takže det L = 1 dle 4.46(4). Matice P je permutační matice složená z výše zmíněných řádkových záměn, takže det P = (−1)^{p} dle 4.43(3) a 4.46(3b).

Kromě determinantu, další běžně užívanou skalární veličinou přiřazovanou čtvercové matici je stopa matice:

\underline{DEFINICE} 4.56 (Stopa matice). Stopou (angl. trace) čtvercové matice A =: [a_{ij}] řádu n nazýváme součet jejích prvků na hlavní diagonále. Píšeme trA := ∑_{i=1}^{n} a_{ii}.

V teorii polynomů hraje důležitou roli tzv. Vandermondova matice:

\underline{DEFINICE} 4.57 (Vandermondova matice). Vandermondovou maticí danou vektorem x := [x_{1}, …, x_{n}] ∈ 𝔽^{n} rozumíme následující čtvercovou matici řádu n:

V (x) := V (x_{1}, …, x_{n}) := [\begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ⋯ & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix} ] .  (4.4a)

V jejím i-tém řádku a j-tém sloupci se nachází prvek x_{i}^{j−1}, můžeme proto psát stručně^{22} V (x) = [x_{i}^{j−1}].

\underline{VĚTA} 4.58 (Vandermondův determinant). Determinant z Vandermondovy matice se nazývá Vandermondův determinant. Vandermondův determinant řádu n ≥ 2 se spočte z následujícího vztahu:

det V (x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}).  (4.4b)

DŮKAZ. Důkaz probíhá indukcí vzhledem k n.

1) \underline{n=2} : užitím (4.2a) ihned dostáváme

det V (x_{1}, x_{2}) = |\begin{matrix}1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} | = 1.x_{2} − x_{1}.1 = x_{2} − x_{1} = ∏_{1≤i<j≤2}(x_{j} − x_{i}).

2) \underline{n > 2 (indukční krok)}: Předpokládejme, že (4.4b) již bylo dokázáno pro n−1. Proveďme s maticí (4.4a) následující sloupcové úpravy neměnící hodnotu determinantu (viz 4.46(5a)(7)): Pro každé j = n, n − 1, …, 2 odečteme od j-tého sloupce x_{n}-násobek (j − 1)-ho sloupce. V posledním řádku zůstane v 1. sloupci jediný nenulový prvek 1, podle něhož determinant rozvineme: det V (x_{1}, …, x_{n}) = 1.(−1)^{n+1} det C, kde z každého řádku determinantu doplňkové matice C lze před něj vytknout rozdíl (x_{i} − x_{n}), i = 1, …, n − 1 (užijeme (n − 1)-krát vlastnost 4.46(6)). Pak

22pokud x_{i} = 0, pak v 1. sloupci neurčitý výraz 0^{0} nahradíme jedničkou.

det C = (x_{1} − x_{n}) … (x_{n−1} − x_{n}) det V (x_{1}, …, x_{n−1}) =^{I.P.}

(−1)^{n−1}(x_{n} − x_{1}) … (x_{n} − x_{n−1}) ∏_{1≤i<j≤n−1}(x_{j} − x_{i}) =

(−1)^{n−1} ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}).

Po dosazení do výše uvedeného vztahu dostáváme požadované: V (x_{1}, …, x_{n}) = (−1)^{2n} ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}) = ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}). □

\underline{DŮSLEDEK} 4.59. Vandermondova matice V (x_{1}, …, x_{n}) je regulární právě když skaláry x_{1}, …, x_{n} jsou navzájem různé.

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE TEORIE MATIC (prázdná, čtvercová) matice ♦ (empty, square) matrix (pl. matrices) rozměr (typ) matice ♦ size of a matrix prvek ♦ element dolní/horní index ♦ lower/upper subscript (index, pl. indices) řádek/sloupec ♦ row/column submatice ♦ submatrix jednotková matice ♦ identity matrix hlavní (vedlejší) diagonála ♦ main (secondary) diagonal hermitovská (anti)symetrie ♦ hermitian (anti)symmetry dolní/horní trojúhelníková ♦ lower/upper triangular schodovitý tvar ♦ reduced row echelon form (konjugovaná) transpozice ♦ (complex conjugate) transpose maticový součin ♦ matrix product pravidlo smíšeného součinu ♦ mixed-product rule hodnost ♦ rank singulární, regulární ♦ singular, nonsingular řádkově (sloupcově) plná hodnost ♦ full-row (full-column) rank skeletní rozklad ♦ rank factorization inverze matice ♦ matrix inverse pozitivně (semi)definitní ♦ positively (nonnegatively) definite LU-rozklad, QR-rozklad ♦ LU-factorization, QR-factorization Gaussian (Jordan) elimination ♦ Gaussian (Jordan) elimination permutace, záměna ♦ permutation, interchange parita, znaménko, cykl ♦ parity, sign, cycle determinant, subdeterminant ♦ determinant, subdeterminant (doplňkový) minor ♦ (complementary) minor adjunkt matice ♦ compound matrix Laplaceův rozvoj ♦ Laplace expansion Vandermondova matice ♦ Vandermonde matrix Cramerovo pravidlo ♦ Cramer rule stopa ♦ trace

5. Řešení systému lineárních rovnic

Teorie a příklady: [KaSk:odst.10 s.88-99], [Šik:kap.4 s.37-41] Příklady: [Ho:řešené č.24-35; s.24-36], [Ho:neřešené kap.5 s.126-137]

Formulace problému: Je dán systém m lineárních rovnic (SLR) o n neznámých x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ve tvaru:

a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1} … 1. rovnice
a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = b_{2} … 2. rovnice
⋮  ⋮  ⋯  ⋮  ⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m} … m-tá rov.

(5.1a)

Ekvivalentní maticový zápis systému (5.1a):

Ax = b,  (5.1b)

kde je

A := [a_{ij}]\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix} … matice SLR (5.1a) , a_{ij} ∈ 𝔽

b := [ b_{1} ; b_{2} ; ⋮ ; b_{m}]  … pravá strana SLR (5.1a) , b_{i} ∈ 𝔽

x := [x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n}]  … vektor neznámých SLR (5.1a) , x_{j} ∈ 𝔽.

Každý vektor x ∈ 𝔽 vyhovující všem rovnicím SLR (5.1a) nazýváme jeho řešením. Systém rovnic (5.1a) se nazývá homogenní, jestliže má nulovou pravou stranu: b = 0_{m,1}.

\underline{DEFINICE} 5.1. Nechť A je matice SLR (5.1b), pak matici Ã := [A, b] rozměru m × (n + 1) nazýváme rozšířenou maticí tohoto systému. Zřejmě každý SLR je jednoznačně popsán svou rozšířenou maticí soustavy Ã.

\underline{VĚTA} 5.2 (Věta o řešitelnosti SLR: Frobeniova věta^{23}). Systém lineárních rovnic (5.1b) je řešitelný právě když r(A) = r(Ã).

\underline{DŮKAZ}. Systém je řešitelný ⇔ b ∈ R(A) ⇔^{4.15(3)} b je lineární

kombinací sloupců matice A ⇔^{3.14(5)} přidáním b ke sloupcům matice A se nemění jimi generovaný prostor ⇔ R(A) = R(Ã) ⇔^{3.24(3)} dim R(A) = dim R(Ã) ⇔^{4.17} r(A) = r(Ã). □

\underline{DŮSLEDEK} 5.3 (Popis množiny všech řešení). Homogenní SLR s libovolnou maticí soustavy A je vždy řešitelný a množinou všech jeho řešení je jádro N (A). Je-li x^{(0)} nějaké řešení (řešitelného) systému (5.1b), pak x^{(0)} se nazývá jeho partikulárním řešením a x^{(0)} +N (A) = {x^{(0)} +u| u ∈ N (A)} udává množinu všech jeho řešení. Zejména platí:

(1) Systém má jediné řešení právě když r(A) = r(Ã) = n neboli právě když A je sloupcově plné hodnosti, ale Ã nikoliv. Zejména každý systém s regulární maticí soustavy (m = n) má vždy právě jedno řešení.

(2) Systém má nekonečně mnoho řešení právě když r := r(A) = r(Ã) a r < n. V tomto případě množina všech řešení je tvaru {x^{(0)} +t_{1}u^{(1)} +⋯+t_{n−r}u^{(n−r)} | t_{1}, …, t_{n−r} ∈ 𝔽}, kde u^{(1)} , …, u^{(n−r)} je nějaká báze v N (A) a t_{1}, …, t_{n−r} ∈ 𝔽 jsou tzv. volné parametry.

23nebo též Kronecker–Capelliho věta.

\underline{DŮKAZ}.

a) \underline{Homogenní systém:} x je řešení homogenního systému ⇔ Ax = 0

⇔^{3.29} x ∈ N (A).

b) \underline{Nehomogenní systém:} x je řešení homogenního systému ⇔ Ax = b = Ax^{(0)} ⇔ Ax − Ax^{(0)} = 0 ⇔ A(x − x^{(0)} ) = 0

⇔^{a)} x − x^{(0)} =: u ∈ N (A) ⇔ x = x^{(0)} + u, kde u ∈ N (A).

Poznamenejme, že výše uvedená úvaha koresponduje s teorií o faktor prostorech z odst. 3.5 (věta 3.39 a její důsledky). Totiž A : 𝔽^{n} → 𝔽^{m} určuje dle 4.15 lineární operátor, přičemž množina všech řešení je úplný vzor A^{−1}({b}), což je právě jedna ze tříd faktor prostoru 𝔽^{n}/N (A) (viz 3.41), která se dle 3.40 dá psát ve tvaru x^{(0)} +N (A) pro libovolný reprezentant x^{(0)} této třídy. Podle 4.29(4) je dim N (A) = n − r(A). Odtud ihned dostáváme:

(1) Řešitelný systém (podmínka r(A) = r(Ã) z věty 5.2) má tedy právě jedno řešení pouze v případě, že N (A) = {0}, tj. když 0 = dim N (A) = n − r(A), neboli když současně platí r(A) = n. Partikulární řešení x^{(0)} je pak tímto jediným řešením.

(2) V opačném případě (r := r(A) < n) má vždy nekonečně mnoho řešení vyjádřitelných ve tvaru součtu partikulárního řešení x^{(0)} se všemi prvky z jádra N (A), neboli se všemi možnými lineárními kombinacemi vhodně zvolených bázových vektorů u^{(1)} , …, u^{(n−r)} ∈ N (A).

□

\underline{DEFINICE} 5.4. Řekneme, že dva SLR Ax = b a A′x = b′ jsou ekvivalentní, jestliže oba systémy mají tytéž množiny řešení. V takovém případě píšeme Ã ∼ Ã′, kde Ã := [A, b] a Ã′ := [A′, b′] značí příslušné rozšířené matice těchto systémů (s týmž počtem sloupců).

\underline{Poznámka} 5.5 (Princip konstrukce množiny všech řešení SLR). Základní princip se opírá o nalezení ekvivalentního systému s podstatně jednodušší maticí soustavy, obvykle trojúhelníkové, nebo ještě lépe diagonální (viz dále). Zde hraje důležitou roli skeletní rozklad matice (věta 4.22). Nechť totiž A = BC je nějaký skeletní rozklad matice soustavy A typu m×n o hodnosti r. Doplňme zprava lineárně nezávislé sloupce B na bázi v 𝔽^{m}. To lze vždy udělat dle 3.24(1). Obdržíme tak čtvercovou regulární matici B′. Jestliže jako C′ označíme matici vzniklou z C přidáním m − r nulových řádků zdola, dostáváme A = BC = B′C′. Označíme-li T := B^{′−1}, pak TA = C′. Pak x je řešení SLR Ax = b ⇔ TAx = Tb ⇔ C′x = b′, kde b′ := Tb. Tedy [A, b] ∼ [C′, b′] určují ekvivalentní systémy, přičemž [C′, b′] = [TA, Tb] = T[A, b] = T Ã. Rozšířenou matici ekvivalentního systému tedy dostaneme vynásobením původní rozšířené matice Ã zleva regulární transformační maticí T. Typickými rozklady skeletního typu jsou LU-rozklad a QR-rozklad (viz 4.41(2),(3)), kde C′ vždy obsahuje regulární horní trojúhelníkovou submatici, která umožňuje snadné nalezení jak partikulárního řešení, tak i báze jádra N (C′), což umožňuje popsat všechna řešení na základě 5.3. Báze jádra se hledá analogicky jako v důkazu 4.29(4)— viz též 4.41(1). V případě LU-rozkladu PA = LS matice T = L^{−1}P odpovídá elementárním řádkovým úpravám převádějícím A na schodovitý tvar C′ =: S, resp. Ã na schodovitý tvar [S, b′]. V případě QR-rozkladu je B′ =: Q unitární matice (viz 4.15(8)) a C′ =: R, takže dle 3.90(5) roli T = Q^{−1} hraje (hermitovsky) transponovaná matice Q^{∗}. V dalším se soustředíme na metody konstrukce množiny všech řešení založené na LU-rozkladu. V případě QR-rozkladu se postupuje analogicky.

METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMU LINEÁRNÍCH ROVNIC

5.1. \underline{SLR s regulární trojúhelníkovou maticí A řádu n} .

Podle 4.27 má A na hlavní diagonále všechny prvky nenulové: a_{kk} ≠ 0 pro k = 1, 2, …, n.

(1) \underline{A dolní trojúhelníková: Algoritmus dopředného dosazování:}

\begin{aligned}x_{1} & = & b_{1}/a_{11} \\ x_{k} & = & (b_{k} − ∑_{j=1}^{k−1} a_{kj}x_{j})/a_{kk} pro k = 2, 3 …, n. \end{aligned}  (5.2a)

(2) \underline{A horní trojúhelníková: Algoritmus zpětného dosazování:}

\begin{aligned}x_{n} & = & b_{n}/a_{nn} \\ x_{k} & = & (b_{k} − ∑_{j=k+1}^{n} a_{kj}x_{j})/a_{kk} pro k = n − 1, n − 2, …, 1. \end{aligned} (5.2b)

5.6. Výpočetní složitost algoritmů (5.2a) a (5.2b). Označíme-li 𝒪(±) počet operací sečítání a odčítání (aditivní složitost) a 𝒪(∗, /) počet operací násobení a dělení (multiplikativní složitost), pak užitím známého vztahu pro součet členů aritmetické posloupnosti dostáváme pro algoritmy dopředného a zpětného dosazování kvadratickou aditivní i multiplikativní složitost:

Aditivní složitost:

𝒪(±) = 0 + 1 + … n − 1 = \frac{n(n − 1)}{2} = \frac{n^{2} − n}{2} .

Multiplikativní složitost:

𝒪(∗, /) = 1 + 2 + … n = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n^{2} + n}{2} .

Pokud matice A má jednotkovou diagonálu (a_{k,k} = 1 pro k = 1, 2, …, n), pak v každém kroku ušetříme jedno dělení a multiplikativní i aditivní složitost bude stejná:

𝒪(∗, /) = 0 + 1 + … n − 1 = 𝒪(±) = \frac{n^{2} − n}{2} .

5.2. \underline{SLR s libovolnou maticí soustavy A rozměru m × n} .

(1) \underline{Gaussova eliminace}

a) \underline{Převod Ã na schodovitý tvar algoritmem Gaussovy eliminace}

Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme rozšířenou matici soustavy Ã = [A, b] na schodovitý tvar jako v 4.37. Z hlediska numerické přesnosti se doporučuje tzv. pivotování, kdy pro přehození řádků vybíráme takový, který má v eliminovaném sloupci prvek co největší v absolutní hodnotě. Při eliminaci se totiž tímto prvkem dělí. Jeho malé (i když nenulové) hodnoty mohou vést k extrémně vysokým hodnotám podílů a tudíž ke ztrátě platných cifer při jejich ukládání v paměti počítače. Nechť R (=: T v poznámce 5.5) je regulární transformační matice realizující tento převod. Obdržíme: RÃ = [S, b′] =: S̃, kde S = RA a b′ = Rb. Podle poznámky 5.5 jsme takto obdrželi ekvivalentní SLR Sx = b′.

b) \underline{Rozhodnutí o řešitelnosti SLR Sx = b′} Podle Frobeniovy věty 5.2 je tento systém řešitelný právě když r(S) = r(S̃). Uvážíme-li, že S je schodovitý tvar původní matice A, tak systém bude řešitelný právě když S i S̃ mají shodný počet nenulových řádků, který pak udává jejich společnou hodnost r dle 4.30: sloupec b′ nepřináší schod navíc. Je-li systém řešitelný pokračujeme dalším krokem c). Přitom posledních m − r nulových řádků v S̃ můžeme vynechat, neboť reprezentují rovnice s nulovými koeficienty a nulovými pravými stranami, které jsou trviálně splněny. Položíme-li tedy S′ := S([1, …, r],:) a původní b′ nahradíme subvektorem b′ = [b_{1}, …, b_{r}] bez m − r koncových nul, pak S′x = b′ představuje rovněž SLR ekvivalentní k původnímu.

c) \underline{Nalezení partikulárního řešení x^{(0)} systému S′x = b′} V matici S′, která je rozměru r × n, vyberme sloupcové indexy 1 ≤ j_{1} < ⋯ < j_{r} ≤ n odpovídající sloupcům se schody (viz 4.37). Pak U := S′(:, [j_{1}, …, j_{r}]) je regulární horní trojúhelníková submatice. Nastanou dva případy

(i) \underline{r = n} , kdy U = S′ a systém Ux = b′ má tedy dle 5.3(2) jediné (partikulární) řešení x^{(0)} , které nalezneme algoritmem zpětného dosazování (5.2b). Vektor x^{(0)} je také jediným řešením Ax = b a jsme tedy u konce. (ii) \underline{r < n}, kdy U je vlastní submatice S′.

Označme 1 ≤ k_{1} < ⋯ < k_{n−r} ≤ n zbývající sloupce v S′ a U′ matici jimi vytvořenou. Dále nechť y_{p} := x_{j_{p}} značí složky x odpovídající sloupcům U (tzv. vázané proměnné) a podobně t_{q} := x_{k_{q}} zbývající složky (tzv. volné proměnné). Pak

b′ = S′x = ∑_{j=1}^{n}S′(:, j)x_{j} = ∑_{p=1}^{r}S′(:, j_{p})y_{p} + ∑_{q=1}^{n−r}S′(:, k_{q})t_{q} =

= Uy + U′t a odtud

Uy = b′ − U′t.  (5.3)

Dosadíme-li za všechny volné proměnné nuly, pak t = 0 a (5.3) přejde v rovnici Uy = b′, z níž určíme vázané proměnné algoritmem zpětného dosazování jako v (i). Partikulární řešení x^{(0)} tak má složky

x_{j}^{(0)} = \begin{cases}y_{p} & jestliže j = j_{p} pro nějaké p a \\ 0 & jestliže j = k_{q} pro nějaké q . \end{cases}

Ve většině praktických úloh vystačíme s partikulárním řešením. V opačném případě pokračujeme krokem d).

Poznámka: Pomocí systému MATLAB lze partikulární řešení s nejméně n − r nulovými složkami snadno nalézt užitím operátoru (\) levého dělení: x^{(0)} = S′\b′. Pokud A není singulární čtvercová matice, lze jej aplikovat přímo na původní systém: x^{(0)} = A\b. V případě singulární čtvercové matice stačí k systému přidat jednu nulovou rovnici. Dostaneme ekvivalentní systém s obdélníkovou maticí soustavy, s níž už lze výše uvedený postup použít.

d) \underline{Nalezení báze N (S′) pro popis všech řešení systému S′x = b′} Řešíme (5.3) s b′ = 0 postupně pro n−r vektorů volných proměnných t = t^{(i)}, i = 1, …, n − r, kde t_{q}^{(i)} = δ_{i,q} (Kroneckerův symbol), neboli t_{i}^{(i)} = 1 a nula jinak. Rovnice (5.3) tak budou tvaru Uy = −U′(:, i) = −S′(:, k_{i}) a jejich řešením dostaneme n − r odpovídajících vektorů y^{(i)} vázaných proměnných určujících n − r řešení u^{(i)} homogenního systému S′u = 0 ze vztahů

u_{j}^{(i)} = \begin{cases}y_{p}^{(i)} & jestliže j = j_{p} pro nějaké p a \\ 1 & jestliže j = k_{q} pro q = i \\ 0 & jestliže j = k_{q} pro nějaké q ≠ i . \end{cases}

Tento systém je nezávislý, neboť matice z nich vytvořená obsahuje jednotkovou submatici řádu n − r, která je regulární (viz 4.19(3)(4)). Protože je u^{(i)} ∈ N (S′) a dim N (S′) = n − r(S′) = n − r, musí tvořit jeho bázi (viz též 3.24(4)(ii)). Množina všech řešení je pak určena dle 5.3(2) následujícími vztahy, kde t_{1}, …, t_{n−r} ∈ 𝔽 jsou libovolně zvolené volné proměnné:

\begin{aligned}x_{1} & = & x_{1}^{(0)} & + & t_{1}.u_{1}^{(1)} & + & ⋯ & + & t_{n−r}.u_{1}^{(n−r)} \\ x_{2} & = & x_{2}^{(0)} & + & t_{1}.u_{2}^{(1)} & + & ⋯ & + & t_{n−r}.u_{2}^{(n−r)} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & & ⋯ & & ⋮ \\ x_{n} & = & x_{n}^{(0)} & + & t_{1}.u_{n}^{(1)} & + & ⋯ & + & t_{n−r}.u_{n}^{(n−r)} \end{aligned}  (5.4)

Poznámka: Pomocí systému MATLAB lze (dokonce ortonormální) bázi jádra N (A) = N (S′) snadno nalézt užitím příkazu null(A).

(2) \underline{Jordanova eliminace}

Postupujeme analogicky jako při Gaussově eliminaci (1) s tím rozdílem, že v kroku a) provádíme převod na schodovitý tvar pomocí Jordanovy metody popsané v poznámce 4.41(4). Při této metodě je v každém kroku eliminována i část sloupce nad každým schodem. Za cenu většího počtu výpočetních operací tak získáme jednodušší schodovitý tvar S′, v němž regulární horní trojúhelníková submatice U se stane diagonální maticí, což výrazně zjednoduší výpočty v následných krocích c) a d). Rovnice (5.3) má diagonální matici soustavy, takže vázané proměnné partikulárního řešení určíme z rovnice Uy = b′ pouhým vydělením diagonálními prvky u_{jj} ≠ 0: y_{j} = \frac{b′_{j}}{u_{jj}} pro j = 1, …, r. Stejně snadno určíme v kroku d) vázané proměnné bázových vektorů u_{j}^{(i)} : y_{j}^{(i)} = \frac{−U′(j,i)}{u_{jj}} = \frac{−S′(j,k_{i})}{u_{jj}} pro j = 1, …, r a i = 1, …, n − r.

(3) \underline{Užití LU-rozkladu}

Nechť PA = LS je LU-rozklad matice A. Zřejmě platí: Ax = b ⇔ PAx = Pb ⇔ LSx = Pb ⇔ Lz = Pb, kde z := Sx. Celý postup hledání řešení tak sestává ze čtyř kroků:

a) \underline{Konstrukce matic L, U a P podle 4.38}

b) \underline{Provedení permutace pravé strany Pb}

c) \underline{Řešení soustavy Lz = Pb algoritmem dopřed. dosazování (5.2a)}

Matice L je dolní trojúhelníková a regulární, takže podle 5.3(1) existuje právě jedno řešení z. Matice L =: [l_{ij}] má dokonce jednotkovou diagonálu, takže při dopředném dosazování nemusíme v rovnicích (5.2a) dělit diagonálními prvky l_{ii} = 1.

d) \underline{Řešení soustavy Sx = z algoritmem zpětného dosazování (5.2b)} Rozhodneme o řešitelnosti a případně hledáme řešení stejně jako v krocích b) až d) Gaussovy eliminace (1). Pouze pravou stranu b′ zaměníme vektorem z.

5.7. Výpočetní složitost algoritmů (1) až (3). Všechny algoritmy mají stejnou kubickou aditivní i multiplikativní složitost:

Aditivní složitost:

𝒪(±) = \frac{n^{3} − n}{3} + \frac{n^{2} − n}{2}

Multiplikativní složitost:

𝒪(∗, /) = \frac{n^{3} − n}{3} + n^{2}

Z hlediska výpočtové složitosti jsou všechny algoritmy ekvivalentní. Vzhledem k tomu, že ve všech třech metodách má nejvyšší výpočetní nároky triangularizace (převod na horní trojúhelníkový tvar: faktor \frac{n^{3} −n}{3}), resp. diagonalizace u Jordanovy metody, bude algoritmus (3) výhodnější v případě, že řešíme systém opakovaně s různými pravými stranami b a stejnou maticí soustavy A. V takovém případě totiž stačí provést triangularizaci PA = LU jen jednou, neboť nezávisí na pravé straně, a pak opakovaně provádět kroky b) až d) pro jednotlivé pravé strany. Tohoto postupu lze využít při řešení maticových rovnic typu A.X = B, jehož speciálním případem je úloha nalezení inverze regulární čtvercové matice (viz dále odst. 5.5).

(4) \underline{Cramerovo pravidlo pro regulární čtvercovou matici soustavy A.}

Je-li A regulární čtvercová matice řádu n, pak x = A^{−1}b je zřejmě (jediné) hledané řešení soustavy Ax = b, neboť AA^{−1}b = b v důsledku rovnosti AA^{−1} = I_{n}. Toto řešení můžeme spočíst Cramerovým pravidlem 4.54. Metoda však vyžaduje spočtení n + 1 determinantů řádu n a je proto použitelná jen pro soustavy o malém počtu rovnic (n ≤ 3) a nebo ve speciálních případech, např. při vyjadřování řešení v symbolickém tvaru u rovnic, kde matice soustavy závisí na dalších parametrech. Pro numerické řešení větších soustav není vhodná také vzhledem k šíření numerických chyb při výpočtu (důsledek velkého počtu prováděných operací). Dochází tak ke ztrátě přesnosti, zejména v případech, kdy A se blíží k singulární matici (det A je nepřesně spočtené malé číslo, kterým se při Cramerově pravidlu dělí). Takovým maticím říkáme špatně podmíněné (podrobněji viz dále odst. 5.6).

5.3. \underline{SLR s pásovou (tridiagonální) maticí soustavy} .

Věta 5.8. Nechť Ax = b, kde A je regulární pásová tridiagonální matice (a_{ij} = 0 pro |i − j| > 1) rozměru n × n:

A = [\begin{matrix}a_{1} & c_{1} & 0 & … & 0 & 0 & 0 \\ b_{2} & a_{2} & c_{2} & … & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & b_{n−1} & a_{n−1} & c_{n−1} \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & b_{n} & a_{n} \end{matrix} ] .

Potom její LU-rozklad A = LU je tvaru

L = [\begin{matrix}1 & 0 & … & 0 & 0 \\ β_{2} & 1 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 & 0 \\ 0 & 0 & … & β_{n} & 1 \end{matrix}] , U = [\begin{matrix}α_{1} & c_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & α_{2} & c_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & c_{n−1} \\ 0 & 0 & 0 & … & α_{n} \end{matrix} ] ,

\begin{aligned}kde α_{1} & = a_{1} \\ β_{i} & = \frac{b_{i}}{α_{i−1}} \\ α_{i} & = a_{i} − β_{i}c_{i−1} pro i = 2, 3, …, n. \end{aligned}  (5.5a)

Důkaz. Vztahy pro neznámé α_{i} a β_{i} snadno nalezneme formálním porovnáním prvků matic na levé a pravé straně po roznásobení maticové rovnice A = LU: viz též poznámku 5.9(3). □

\underline{Poznámka} 5.9.

(1) Jinou variantu algoritmu (5.5a) lze odvodit pro

L = [\begin{matrix}α_{1} & 0 & … & 0 & 0 \\ b_{2} & α_{2} & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & α_{n−1} & 0 \\ 0 & 0 & … & b_{n} & α_{n} \end{matrix}] , U = [\begin{matrix}1 & γ_{1} & … & 0 & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 & γ_{n−1} \\ 0 & 0 & … & 0 & 1 \end{matrix}] ,

\begin{aligned}kde α_{1} & = a_{1}, γ_{1} = \frac{c_{1}}{α_{1}} \\ α_{i} & = a_{i} − b_{i}γ_{i−1} \\ γ_{i} & = \frac{c_{i}}{α_{i}}  pro i = 2, 3, …, n. \end{aligned}  (5.5b)

(2) Analogické algoritmy obdržíme pro blokově tridiagonální matice, kde a_{i}, b_{i}, c_{i}, α_{i}, β_{i} (resp. γ_{i}) jsou submatice kompatibilních rozměrů. Pak místo \frac{1}{α_{i−1}} násobíme inverzní maticí α_{i−1}^{−1} zprava v (5.5a) (resp. místo \frac{1}{α_{i}} maticí α_{i}^{−1} zleva v (5.5b)).

(3) V případě obecné regulární čtvercové matice A lze výše popsaný postup zobecnit pro přímý výpočet prvků matic L a U tak, že postupně sestavujeme rovnice pro prvky 1. řádku U, 1. sloupce L, 2. řádku U, 2. sloupce L, atd.

5.4. \underline{Přibližné řešení SLR metodou nejmenších čtverců} .

Pokud neexistuje řešení SLR Ax = b, je to důsledkem toho, že b ∉ R(A). V tomto případě má smysl hledat řešení x, které minimalizuje v nějakém smyslu chybu b−Ax. Chybu obvykle měříme vhodnou normou ∥b − Ax∥. Nejčastěji se pro tento účel užívají p-normy (viz 3.56). Pokud je norma odvozena^{24} z nějakého vnitřního součinu ⟨·, ·⟩, stačí nahradit pravou stranu b její ortogonální projekcí b̂ ∈ R(A) na R(A), což je dle věty o ortogonální projekci 3.77 vektor z R(A) minimalizující ∥b− b̂∥. Místo původní rovnice pak řešíme rovnici Ax = b̂ tzv. metodou nejmenších čtverců (MNČ) podle následující věty.

24viz 3.62(S9).

\underline{VĚTA} 5.10 (Metoda nejmenších čtverců ve (V, ℒ_{𝔽})). Nechť (V, ℒ_{𝔽}) je VS-prostor nad skalárním polem 𝔽 ⊆ ℂ a W := L(A) jeho vektorový podprostor generovaný konečnou množinou vektorů A := {a_{1}, …, a_{n}}. Pak β =: [β_{1}, …, β_{n}] ∈ 𝔽^{n} je ve smyslu věty 3.77 řešením úlohy ortogonální projekce P_{W} b =: b̂ = β_{1}a_{1} + ⋯ + β_{n}a_{n} vektoru b ∈ V na podprostor W právě když β je přesným řešením následujícího systému lineárních rovnic, který je vždy řešitelný:

\begin{aligned}⟨a_{1}, a_{1}⟩β_{1} & + & ⟨a_{2}, a_{1}⟩β_{2} & + & … & + & ⟨a_{n}, a_{1}⟩β_{n} & = & ⟨b, a_{1}⟩ \\ ⟨a_{1}, a_{2}⟩β_{1} & + & ⟨a_{2}, a_{2}⟩β_{2} & + & … & + & ⟨a_{n}, a_{2}⟩β_{n} & = & ⟨b, a_{2}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋯ & & ⋮ & & ⋮ \\ ⟨a_{1}, a_{n}⟩β_{1} & + & ⟨a_{2}, a_{n}⟩β_{2} & + & … & + & ⟨a_{n}, a_{n}⟩β_{n} & = & ⟨b, a_{n}⟩. \end{aligned} (5.6a)

\underline{DŮKAZ}. W je konečně rozměrný, takže podle 3.80 lze užít větu 3.77 o ortogonální projekci. Podle věty 3.86 je P_{W} b = b̂ ⇔ b − b̂ ⊥ W

⇔^{3.72} b − b̂ ⊥ a_{i} pro i = 1, …, n ⇔ ⟨b − ∑_{j=1}^{n} β_{j}a_{j}, a_{i}⟩ = 0

pro i = 1, …, n ⇔^{(3.1)} ⟨b, a_{i}⟩ − ∑_{j=1}^{n} β_{j}⟨a_{j}, a_{i}⟩ = 0 pro i = 1, …, n

⇔ ∑_{j=1}^{n} β_{j}⟨a_{j}, a_{i}⟩ = ⟨b, a_{i}⟩ pro i = 1, …, n ⇔ β je řešením (5.6a). Řešitelnost tohoto systému je garantována větou o ortogonální projekci. □

DŮSLEDEK 5.11 (Metoda nejmenších čtverců ve (𝔽^{m}, ℒ_{𝔽})). Nechť A =: [a_{1}, …, a_{n}] je matice typu m/n tvořená sloupcovými vektory a_{1}, …, a_{n} a b ∈ 𝔽^{m} libovolný vektor. Pak x ∈ 𝔽^{n} je řešením rovnice Ax = b̂ nad skalárním polem 𝔽 ⊆ ℂ právě když x je přesným řešením následujícího systému lineárních rovnic:

(A^{∗}A)x = A^{∗}b.  (5.6b)

Tento systém je vždy řešitelný a jeho maticí soustavy je Gramova matice A^{∗}A — viz 4.14(9).

DŮKAZ. Jestliže nahradíme β v předchozí větě vektorem x, pak b̂ = x_{1}a_{1} + ⋯ + x_{n}a_{n} =^{4.13} Ax. Vektor x je tedy řešením této úlohy právě když je řešením SLR (5.6a), kde β_{i} = x_{i}. Tomuto systému odpovídá dle 4.14(9) maticový zápis (5.6b). Jeho řešitelnost je dána předchozí větou nebo také přímo plyne ihned z toho, že jeho pravá strana

A^{∗}b ∈ R(A^{∗}) =^{3.88(5)(iii)} R(A^{∗}A). □

\underline{Poznámka} 5.12.

(1) Jestliže 𝔽 ⊆ ℝ, pak v (5.6b) je A^{∗} =^{4.11(5)} A^{T}.

(2) Je-li W nějaká pozitivně definitní matice řádu m (tzv. váhová matice), pak lze pomocí ní zavést v 𝔽^{m} vážený skalární

součin ⟨x, y⟩_{W} := ⟨Wx, y⟩ =^{4.14(9)} y^{∗}Wx (podrobnosti dále

v kapitole 6). Systém (5.6a) tak přejde v

(A^{∗}WA)x = A^{∗}Wb.  (5.6c)

Jeho řešení nazýváme řešením úlohy Ax = b̂ tzv. váženou metodu nejmenších čtverců s váhovou maticí W. Obvykle W je diagonální matice s kladnými diagonálními vahami w_{ii} > 0 (jinak W by totiž nebyla pozitivně definitní). Nechť r := b − Ax značí vektor odchylek řešení od pravé strany (tzv. reziduální vektor). Malá hodnota w_{ii} v odvozené normě ∥r∥_{W} = \sqrt{⟨Wr, r⟩_{W}} = \sqrt{r^{∗}Wr} = \sqrt{∑_{i=1}^{m} w_{ii}r_{i}\overline{r}_{i}} = \sqrt{∑_{i=1}^{m} w_{ii}|r_{i}|^{2}} snižuje vliv odchylky r_{i} na hodnotu normy a připouští tudíž větší odchylku i-té složky oproti j-té složce, kde w_{jj} > w_{ii}.

(3) Je-li b ∈ R(A), pak b̂ = P_{W} b =^{3.76(1)} b, takže každé řešení soustavy (5.6b) je současně přesným řešením původní rovnice Ax = b. V MATLABu pro nečtvercovou matici pomocí operátoru levého dělení x = A\b spočteme nějaké (partikulární)

MNČ-řešení systému (5.6b). Toto řešení je přesné, pokud je původní systém řešitelný — viz poznámku v 5.2(1)c).

5.5. \underline{Řešení maticové rovnice A.X = B a výpočet inverze A^{−1}} .

Nechť A typu m/n a B typu m/p jsou dané matice. Řešením maticové rovnice A.X = B rozumíme každou matici X kompatibilního typu n/p, která tuto rovnici splňuje. Protože A.X = B ⇔ A.X(:, k) = B(:, k) pro k = 1, …, p, vidíme, že sloupce X jsou po řadě řešení p systémů lineárních rovnic s pravými stranami tvořenými odpovídajícími sloupci matice B. Všechny tyto systémy mají přitom stejnou maticí soustavy A. V zásadě můžeme po drobné modifikaci užít metody (1) až (3) z odst. 5.2.

(1) \underline{Gaussova nebo Jordanova eliminace} V kroku a) převádíme na schodovitý tvar matici soustavy rozšířenou o všechny pravé strany, tj. matici Ã = [A, B]. Obdržíme [S, B′]. V kroku b) rozhodnutí o řešitelnosti maticové rovnice spočívá v rozhodnutí o řešitelnosti všech ekvivalentních soustav s měnícími se pravými stranami B′(:, k), k = 1, …, p. Snadno nahlédneme, že nutnou a postačující podmínkou je opět podmínka r(A) = r(Ã), tj. stejný počet nenulových řádků v maticích S a [S, B′]. V kroku c) pak (5.3) řešíme postupně s pravými stranami b′ = B′(:, k) pro k = 1, …, p. Krok d) zůstane beze změny, neboť nezávisí na pravé straně.

(2) \underline{Užití LU-rozkladu} Jak již bylo zmíněno v 5.7, stačí vlastní LU-rozklad z kroku a) provést pouze jednou, v kroku b) pak provedeme řádkovou permutaci PB celé matice B, což odpovídá řádkovým permutacím všech pravých stran. Nakonec pro každou pravou stranu (sloupce matice B) opakujeme kroky c)d), čímž postupně dostáváme jako řešení odpovídající sloupce neznámé matice X.

Analogicky jako v odst. 5.4 lze přibližné MNČ-řešení maticové rovnice A.X = B nalézt řešením maticové rovnice (A^{∗}A)X = A^{∗}B, která je vždy řešitelná.

Je-li A regulární čtvercová matice řádu n, pak k nalezení inverze X = A^{−1} stačí podle 4.46(11) řešit maticovou rovnici A.X = I_{n}. Tato úloha je tak speciálním případem maticové rovnice (m = n = p). Poznamenejme ještě, že v případě regulární matice, je A^{−1}B (jediným) řešením obecné maticové rovnice s libovolnou pravou stranou B. V případě regulární matice A nízkého řádu, můžeme pro výpočet její inverze užít také determinantovou metodu dle důsledku 4.53.

5.6. \underline{Problémy s numerickou nestabilitou při řešení SLR} .

Matice A se nazývá špatně podmíněná, jestliže malé změny pravé strany b mají za následek velké změny řešení x. Například pro čtvercovou matici A tato situace nastává v případech, kdy A je sice regulární, avšak s malou hodnotou determinantu, neboli říkáme, že je “skoro singulární”. Tato situace nastane, když některý sloupcový (řádkový) vektor v A svírá malý úhel s nadrovinou generovanou ostatními sloupci (řádky). Jako příklad uvažme následující systém dvou lineárních rovnic:

x + 2y = 2
2x + 3y = 3, 4

Přesné řešení x = 0, 8, y = 0, 6 aproximujme dosti nepřesně hodnotami x̃ = 1, ỹ = 0, 48. Po jejich dosazení do obou rovnic dostáváme po řadě 1, 96 místo 2 a 3, 44 místo 3, 4, což jsou malé odchylky řádově v setinách ve srovnání s chybou řešení, která je řádově v desetinách. Příčina tkví v tom, že hledáme průsečík dvou přímek, které svírají velmi malý úhel o směrnicích − \frac{1}{2} a − \frac{2}{3} . Řádky [1, 2] a [2, 3] matice soustavy v tomto případě totiž reprezentují souřadnice kolmic k oběma přímkám a svírají tedy stejný úhel jako přímky samotné.

Se zmenšujícím se úhlem se blížíme ke stavu lineární závislosti obou vektorů, tj. ke stavu, kdy matice soustavy je singulární. Podobně lze zkonstruovat situace, kdy při libovolně velké odchylce řešení lze dosáhnout libovolně malé odchylky od pravé strany.

ZÁVĚR: Nelze tedy hodnotit přesnost nalezeného řešení podle odchylek od pravé strany po jeho dosazení do rovnic!

Lze pouze hodnotit podmíněnost matice. Ta se měří číslem podmíněnosti, které se zpravidla počítá jako poměr největšího ku nejmenšímu singulárnímu číslu matice. Singulární čísla matice A jsou druhé odmocniny vlastních čísel symetrické matice A^{T} A — tedy v případě symetrické matice splývají s jejími vlastními čísly (podrobněji viz následující kapitolu). Toto číslo podmíněnosti v systému MATLAB počítá funkce cond. Čím větší číslo podmíněnosti má daná matice, tím je hůře podmíněná a více se blíží k singulární matici. Jinak počítané reciproké číslo podmíněnosti v intervalu [0, 1] vrací funkce rcond. V tomto případě špatnou podmíněnost indikují hodnoty blízké k nule.

5.7. Iterační metody pro řešení systému lineárních rovnic. \underline{Princip:} Rovnici Ax = b, kde A je čtvercová regulární matice řádu n, převedeme na rovnici tvaru x = Γ x + γ, kterou generujeme posloupnost iterací.

Obecný postup hledání Γ a γ: Matici A vhodně rozložíme do tvaru A = N −M, kde N je regulární matice. Pak platí

Ax = b ⇔ (N − M)x = b ⇔ Nx = Mx + b ⇔

x = \underbrace{N^{−1}M}_{Γ}x + \underbrace{N^{−1}b}_{γ}.

Iterační proces:

x^{(0)} … počáteční iterace
x^{(k+1)} = Γ x^{(k)} + γ pro k = 0, 1, …. (5.7)

DEFINICE 5.13 (Jacobiho prosté iterace). Položíme

N := diag(A) = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix}]
M := N − A = [\begin{matrix}0 & −a_{12} & … & −a_{1n} \\ −a_{21} & 0 & … & −a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −a_{n1} & −a_{n2} & … & 0 \end{matrix}] ,

pak

Γ = [\begin{matrix}0 & − \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & − \frac{a_{1n}}{a_{11}} \\ − \frac{a_{21}}{a_{22}} & 0 & … & − \frac{a_{2n}}{a_{22}} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ − \frac{a_{n1}}{a_{nn}} & − \frac{a_{n2}}{a_{nn}} & … & 0 \end{matrix} ] , γ = [ \frac{b_{1}}{a_{11}} ; \frac{b_{2}}{a_{22}} ; ⋮ ; \frac{b_{n}}{a_{nn}} ] .

Rozepsáním (5.7) do jednotlivých rovnic dostáváme Jacobiho iterační proces:

x_{1}^{(0)} , …, x_{n}^{(0)} … počáteční iterace
x_{j}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{jj}} (b_{j} − ∑n ; \begin{matrix}i=1 \\ i≠j \end{matrix} a_{ji} x_{i}^{(k)} ),
j = 1, …, n; k = 0, 1, ….

(5.8)

Vidíme, že vztah pro x_{j}^{(k+1)} odpovídá formálnímu vyřešení j-té rovnice vzhledem k proměnné x_{j}.

Jestliže nyní v (5.8) použijeme pro i < j již spočtenou iteraci x_{i}^{(k+1)} místo x_{i}^{(k)} , obdržíme následující zřejmě poněkud rychleji konvergující iterační proces.

DEFINICE 5.14 (Gauss-Seidelovy iterace). Položíme

N := [\begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ a_{21} & a_{22} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix}] ,

M := N − A = [\begin{matrix}0 & −a_{12} & … & −a_{1n} \\ 0 & 0 & … & −a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 \end{matrix}] ,

pak z Nx^{(k+1)} = Mx^{(k)} + b dostáváme ihned rovnice pro

Gauss-Seidelův iterační proces:

x_{1}^{(0)} , …, x_{n}^{(0)} … počáteční iterace
x_{j}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{jj}} (b_{j} − ∑_{i=1}^{j−1} a_{ji} x_{i}^{(k+1)} − ∑_{i=j+1}^{n} a_{ji} x_{i}^{(k)} ),
j = 1, …, n; k = 0, 1, ….

(5.9)

DEFINICE 5.15. Čtvercová matice A řádu n se nazývá striktně diagonálně dominantní, jestliže |a_{jj}| > ∑n ; \begin{matrix}i=1 \\ i≠j \end{matrix} |a_{ji}| pro j = 1, 2, …, n.

VĚTA 5.16 (Konvergence Jacobiho a Gauss-Seidelovy metody). Nechť A je striktně diagonálně dominantní matice. Potom systém lineárních rovnic Ax = b má jediné řešení a Jacobiho i Gauss-Seidelův iterační proces konverguje k tomuto řešení při libovolně zvolené počáteční aproximaci x^{(0)} .

\underline{POZNÁMKA} 5.17. Obecně z konvergence jedné z obou metod neplyne konvergence druhé. Pokud konvergují obě, pak Gauss-Seidelova metoda konverguje rychleji.

PŘÍKLAD 5.18. Jak ukazuje následující příklad, může pouhou změnou pořadí rovnic dojít ke ztrátě konvergence. Uvažme SLR

\begin{aligned}4x & − & y & + & z & = & 7 \\ 4x & − & 8y & + & z & = & −21 \\ −2x & + & y & + & 5z & = & 15 \end{aligned}

Jacobiho iterace tohoto SLR odstartované v počáteční aproximaci x^{(0)} = [1, 2, 2] konvergují k přesnému řešení x = [2, 4, 3], neboť matice soustavy je striktně diagonálně dominantní.

Jestliže zaměníme první a poslední rovnici, tak se tato vlastnost poruší a SLR

\begin{aligned}−2x & + & y & + & 5z & = & 15 \\ 4x & − & 8y & + & z & = & −21 \\ 4x & − & y & + & z & = & 7 \end{aligned}

při téže počáteční iteraci diverguje od přesného řešení.

\underline{Poznámka} 5.19. Iterační metody jsou vhodné zejména pro rozsáhlé systémy lineárních rovnic s řídkou maticí soustavy (malým počtem nenulových prvků), kde u Gaussovy eliminace bývají problémy s numerickou stabilitou (viz 5.6) a větší výpočetní nároky vzhledem k nemožnosti účelně využít případné řídkosti matice soustavy. Snažíme se vhodnou záměnou pořadí rovnic (řádkovou permutací rozšířené matice soustavy) a změnou pořadí nezávisle proměnných (sloupcová permutace matice soustavy) soustředit největší nenulové prvky kolem hlavní diagonály s cílem dosáhnout (pokud možno) striktně diagonální dominantnosti. To je zpravidla snazší u řídké matice, která se stane pásovou (nenulové prvky soustředěny kolem hlavní diagonály).

ANGLICKÁ TERMINOLOGIE PRO LINEÁRNÍ ROVNICE systém lineárních rovnic (SLR) ♦ system of linear equations (SLE) matice systému ♦ matrix of the system pravá strana ♦ right-hand side vektor neznámých ♦ vector of unknowns (ne)homogenní systém ♦ (non-)homogeneous system rozšířená matice SLR ♦ augmented matrix of a SLE množina řešení ♦ solution set partikulární řešení ♦ particular solution algoritmus dopředného dosazování ♦ forward-substitution algorithm algoritmus zpětného dosazování ♦ back-substitution algorithm SLR s dolní trojúhelníkovou maticí ♦ lower-triangular SLE SLR s horní trojúhelníkovou maticí ♦ upper-triangular SLE výpočetní složitost ♦ computational complexity tridiagonální matice ♦ tridiagonal matrix pásová matice ♦ band matrix přibližné řešení ♦ approximate solution metoda nejmenších čtverců (MNČ) ♦ least-squares (LSQ) solution vážená MNČ ♦ weighted LSQ method váhová matice ♦ weight matrix maticová rovnice ♦ matrix equation numerická (ne)stabilita ♦ numerical (in)stability špatně podmíněná matice ♦ badly-conditioned matrix dobře podmíněná matice ♦ well-conditioned matrix číslo podmíněnosti ♦ condition number iterační metoda ♦ iterative method

6. Transformace souřadnic a diagonalizace matic

Látka je předběžně zpracována v souborech TrSour.tif a DiagMat.tif, které jsou zkomprimovány v TrSour.zip a v DiagMat.zip na https://www.econ.muni.cz/stud/verejne/verejne/Predmety/Podzim% 202004/PMZMI/prednaska/.

Příloha A. Operace s komplexními čísly

Nechť dále značí a := a_{1} + ia_{2}, b := b_{1} + ib_{2} dvě komplexní čísla v kartézském tvaru a a = |a|(cos α + i sin α) = |a|e^{iα}, b = |b|(cos β + i sin β) = |b|e^{iβ} jejich vyjádření v goniometrickém, resp. Eulerově tvaru. Jelikož funkce kosinus je sudá (cos(−x) = cos(x)) a funkce sinus lichá (sin(−x) = − sin(x)), dostáváme:

\overline{e^{iα}} = e^{−iα} a tedy \overline{a} = |a|e^{−iα} a \overline{b} = |b|e^{−iβ}.

A.1. Sečítání, odčítání.

a + b := (a_{1} + b_{1}) + i(a_{2} + b_{2})
a − b := (a_{1} − b_{1}) + i(a_{2} − b_{2})

A.2. Násobení.

ab = (a_{1} + ia_{2})(b_{1} + ib_{2}) = (a_{1}b_{1} − a_{2}b_{2}) + i(a_{2}b_{1} + a_{1}b_{2}) nebo
ab = |a|e^{iα}|b|e^{iβ} = |a||b|e^{i(α+β)} = |a||b|(cos(α + β) + i sin(α + β)).

Zejména platí

a\overline{a} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = |a|^{2}.

A.3. Dělení. Nechť b ≠ 0, pak

\frac{a}{b} = \frac{a\overline{b}}{b\overline{b}} = \frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}} + i \frac{a_{2}b_{1} − a_{1}b_{2}}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}} nebo
\frac{a}{b} = \frac{|a|e^{iα}}{|b|e^{iβ}} = \frac{|a|}{|b|} e^{i(α−β)} = \frac{|a|}{|b|} (cos(α − β) + i sin(α − β)).

A.4. Umocňování.

\underline{Tvrzení} (Moivreova věta).

a^{n} = |a|^{n}(cos αn + i sin αn), kde n ∈ ℤ

Důkaz. Indukcí vzhledem k |n| užitím vztahu A.2 pro násobení při n > 0, resp. vztahu A.3 pro dělení komplexních čísel při n < 0. □

A.5. Odmocňování.

1. Druhá odmocnina v kartézských souřadnicích

\sqrt{a_{1} + ia_{2}} = ±(u_{1} + iu_{2}), kde
u_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}(|a| + a_{1})}
u_{2} = sgn(a_{2})\sqrt{\frac{1}{2}(|a| − a_{1})}, kde sgn(a_{2}) udává znaménko a_{2}.

2. n-tá odmocnina Uvažme, že vzhledem k periodicitě funkcí kosinus a sinus platí a = |a|(cos α+i sin α) = |a|(cos(α+2πk)+i sin(α+2πk)) = |a|e^{i(α+2πk)} pro každé k ∈ ℤ. Odtud dostaneme ihned vztah pro všechny n-té odmocniny z a:

\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{|a|}e^{i \frac{α+2πk}{n}} = \sqrt[n]{|a|}(cos \frac{α + 2πk}{n} + i sin \frac{α + 2πk}{n} )

pro k = 0, 1, …, n − 1.

3. n-tá odmocnina z 1 Z předchozího dostaneme volbou a = 1 všechny n-té odmocniny z 1:

\sqrt[n]{1} = e^{i \frac{2πk}{n}} = (cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} )

pro k = 0, 1, …, n − 1.

\underline{Tvrzení} (Vlastnosti).

(1) Všechny hodnoty n-té odmocniny z komplexního čísla a dostaneme vynásobením jedné z těchto hodnot všemi hodnotami n-té odmocniny z 1.

(2) Jsou-li ε_{1}, ε_{2} n-té odmocniny z 1, pak ε_{1}ε_{2} je rovněž n-tá odmocnina z 1.

(3) Je-li ε k-tá odmocnina z 1 a l = kq, pak ε je rovněž l-tá odmocnina z 1.

(4) Je-li ε n-tá odmocnina z 1, pak ε_{k} := ε^{k} je rovněž n-tá odmocnina z 1 pro k = 0, 1, …, n − 1.

(5) ε se nazývá primitivní n-tá odmocnina z 1, platí-li: (i) ε^{n} = 1 (ii) ε^{k} ≠ 1 pro k = 1, 2, …, n − 1.

(6) Je-li ε n-tá odmocnina z 1, pak ε je primitivní právě když hodnoty ε^{k} jsou pro k = 0, 1, …, n − 1 navzájem různé. Zejména ε := e^{\frac{i2π}{n}} je vždy primitivní, neboť ε^{k} = e^{\frac{i2πk}{n}} jsou pro k = 0, 1, …, n − 1 navzájem různá komplexní čísla.

(7) Nechť ε je primitivní n-tá odmocnina z 1. Pak ε^{k} je primitivní n-tá odmocnina z 1 právě když n a k jsou nesoudělné.

(8) Nechť p je prvočíslo, pak všechny p-té odmocniny z 1 různé od 1 jsou primitivní.

A.6. Goniometrické vzorce.

1. Vyjádření goniometrických funkcí sin nα, cos nα pomocí sin α, cos α Použitím Moivreovy věty a binomické věty dostáváme:

cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α)^{n} =

= ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} cos^{k} α (i)^{n−k} sin^{n−k} α.

Stačí pak porovnat reálné, popřípadě imaginární části výrazů vlevo a vpravo. Zejména pro n = 2 tak dostáváme známé vztahy pro dvojnásobný úhel:

cos 2α = cos^{2} α − sin^{2} α, sin 2α = 2 sin α cos α.

Ty jsou však speciálním případem obecnějších vztahů pro součet a rozdíl úhlů, získaných z A.2 volbou a_{1} = cos α, a_{2} = sin α a b_{1} = cos(±β) = cos β, b_{2} = sin(±β) = ± sin β. Jelikož |a| = |b| = 1, obdržíme:

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.

2. Vyjádření goniometrických funkcí sin^{n} α, cos^{n} α pomocí sin kα, cos kα Z Eulerova vztahu dostáváme vyjádření pro sin α a cos α :

sin α = \frac{e^{iα} − e^{−iα}}{2i}, cos α = \frac{e^{iα} + e^{−iα}}{2} .

Ty stačí umocnit na n-tou opět užitím binomické věty:

sin^{n} α = \frac{1}{2^{n}i^{n}} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}e^{ikα} (−1)^{n−k}e^{−i(n−k)α}

cos^{n} α = \frac{1}{2^{n}} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}e^{ikα} e^{−i(n−k)α}.

Například spočtěme

sin^{3} α = \frac{1}{2^{3}i^{3}} (e^{i3α} − 3e^{i2α}e^{−iα} + 3e^{iα}e^{−i2α} − e^{−i3α}) =

= \frac{1}{8i^{3}} (2i sin 3α − 3.2i sin α) = \frac{1}{4i^{2}} (sin 3α − 3 sin α) =

= \frac{1}{4}(3 sin α − sin 3α).

Příloha B. Maticová reprezentace abstraktních vektorových prostorů konečné dimenze

Věta B.1. Nechť (V_{1}, ℒ_{𝔽}), (V_{2}, ℒ_{𝔽}) a (V_{3}, ℒ_{𝔽}) jsou tři vektorové prostory konečných dimenzí dim V_{1} = n, dim V_{2} = m a dim V_{3} = p. Pak zobrazení T ↦ [T] (T ∈ L(V_{1}, V_{2})) je izomorfizmem vektorového prostoru L(V_{1}, V_{2}) všech lineárních operátorů z V_{1} do V_{2} (viz 3.38) na vektorový prostor všech matic ℳ_{m,n} (viz 4.9). Přitom platí:

(1) [T x] = [T].[x] pro každé x ∈ V_{1}.

(2) Složení dvou operátorů T : V_{1} → V_{2} a U : V_{2} → V_{3} odpovídá v souřadnicovém vyjádření součin matic: [UT] = [U].[T].

(3) Maticovou reprezentací identického operátoru I : V_{1} → V_{1} je jednotková matice: [I] = I_{n}.

(4) Operátor T je surjektivní právě když je reprezentován maticí řádkově plné hodnosti^{25}.

(5) Operátor T je izomorfní vnoření právě když je reprezentován maticí sloupcově plné hodnosti^{25}.

(6) Operátor T je izomorfizmus právě když je reprezentován regulární maticí^{25}. Přitom platí [T]^{−1} = [T^{−1}], kde [T]^{−1} je matice inverzní^{26} k [T].

V případě VS-prostorů (𝔽 ⊆ ℂ) navíc platí:

(7) Maticovou reprezentací operátoru adjungovaného k T je hermitovsky transponovaná matice: [T^{∗}] = [T]^{∗}. Zejména maticovou reprezentaci samoadjungovaného operátoru je hermitovsky symetrická matice.

(8) Operátor T je unitární právě když je reprezentován unitární maticí.

Důkaz. Nadále E = {e_{1}, …, e_{1}} je nějaká pevně zvolená báze ve V_{1}.

• \underline{Linearita zobrazení T ↦ [T]:} [T_{1} + T_{2}] = [[(T_{1} + T_{2})e_{1}], …, [(T_{1} + T_{2})e_{n}]] =

25Viz definici 4.17.

26Matice určující maticový operátor inverzní k operátoru určenému maticí [T] dle věty 4.25.

[[T_{1}e_{1} + T_{2}e_{1}], …, [T_{1}e_{n} + T_{2}e_{n}]] =^{3.92}

[[T_{1}e_{1}] + [T_{2}e_{1}], …, [T_{1}e_{n}] + [T_{2}e_{n}]] = [[T_{1}e_{1}], …, [T_{1}e_{n}]] + [[T_{2}e_{1}], …, [T_{2}e_{n}]] = [T_{1}] + [T_{2}].

[αT] = [[(αT)e_{1}], …, [(αT)e_{n}]] = [[α(T e_{1})], …, [α(T e_{n})]] =^{3.92}

[α[T e_{1}], …, α[T e_{n}]] = α[[T e_{1}], …, [T e_{n}]] = α[T].

• \underline{T ↦ [T] je prosté:}

T_{1} ≠ T_{2} ⇒^{3.35} ∃ i : T_{1}e_{i} ≠ T_{2}e_{i} ⇒^{3.92} ∃ i : [T_{1}e_{i}] ≠ [T_{2}e_{i}] ⇒

[[T_{1}e_{1}], …, [T_{1}e_{n}]] ≠ [[T_{2}e_{1}], …, [T_{2}e_{n}]] ⇒ [T_{1}] ≠ [T_{2}].

• \underline{T ↦ [T] je surjekce:} Buď A libovolná matice typu m/n. Dle 3.92 je [·] surjekce, takže ke každému sloupci A(:, j) existuje vektor v_{j} ∈ V_{2} tak, že [v_{j}] = A(:, j). Podle 3.36(6) lze zobrazení e_{j} ↦ v_{j} rozšířit na lineární operátor V_{1} → V_{2}, takže [T e_{j}] = [v_{j}] = A(:, j) ⇒ [T] = [[T e_{1}], …, [T e_{n}]] = [A(:, 1), …, A(:, n)] = A.

• \underline{Vlastnost (1):} Nechť x = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}e_{i}, tj. ξ = [x]. Pak [T x] = [T (∑_{i=1}^{n} ξ_{i}e_{i})] =

[∑_{i=1}^{n} ξ_{i}T e_{i}] =^{3.92} ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}[T e_{i}] =^{4.13a)} [[T e_{1}], …, [T e_{n}]].ξ = [T].[x].

• \underline{Vlastnost (2):}

[UT] = [[U(T e_{1})], …, [U(T e_{n})]] =^{(1)} [[U].[T e_{1}], …, [U].[T e_{n}]] =^{4.15(1)}

[U].[[T e_{1}], …, [U].[T e_{n}]] = [U].[T].

• \underline{Vlastnost (3):}

[I] = [[Ie_{1}], …, [Ie_{n}]] = [[e_{1}], …, [e_{n}]] = [ε_{1}, …, ε_{n}] = I_{n}.

• \underline{Vlastnosti (4)–(6),(8):} Označíme-li S_{1} : V_{1} → 𝔽^{n} a S_{2} : V_{2} → 𝔽^{m} unitární izomorfizmy přiřazení souřadnic (S_{i} zastupije zápis [·] ve 3.92), pak [T x] =^{(1)} [T].[x] lze psát ve tvaru S_{2}T x = [T].(S_{1}x) =^{4.15} [T]S_{1}x pro každé x ∈ 𝔽^{n}, což je ekvivalentní s rovností složených operátorů S_{2}T = [T]S_{1}. Aplikujeme-li na tuto rovnost S_{2}^{−1} zleva, resp. S_{1}^{−1} zprava, obdržíme vyjádření: T = S_{2}^{−1}[T]S_{1}, resp. [T] = S_{2}T S_{1}^{−1}. Složení tří izomorfních vnoření (surjekcí, izomorfizmů) je zřejmě opět izomorfní vnoření (surjekce, izomorfizmus). Jelikož S_{1} i S_{2} jsou izomorfizmy (surjektivní izomorfní vnoření), z výše uvedených vyjádření T a [T] vidíme, že T je izomorfní vnoření (surjekce, izomorfizmus) ⇔ [T] určuje izomorfní vnoření (surjekci, izomorfizmus), což je podle věty 4.20 ekvivalentní s dokazovanými tvrzeními o matici [T]. Protože S_{i} jsou unitární izomorfizmy a také složení tří unitárních izomorfizmů je rovněž unitární izomorfizmus, dostáváme podobně ekvivalenci s unitaritou maticového operátoru [T] a tedy i s maticí [T] (viz 4.15(8)). T izomorfizmus ⇒ T^{−1}T = I a T T^{−1} = I jsou identity na V_{1} a V_{2} ⇒^{(2),(3)} [T^{−1}].[T] = I_{n} a [T].[T^{−1}] = I_{m}, což podle věty 4.25 znamená, že [T^{−1}] = [T]^{−1}.

• \underline{Vlastnost (7):} Nechť x ∈ V_{1} a y ∈ V_{2} jsou libovolné. Protože [·] je unitární, dostáváme užitím 3.90(3):

⟨T x, y⟩ = ⟨[T x], [y]⟩ =^{(1)} ⟨[T].[x], [y]⟩ =^{4.15(6)} ⟨[x], [T]^{∗}.[y]⟩,

⟨x, T^{∗}y⟩ = ⟨[x], [T^{∗}y]⟩ =^{(1)} ⟨[x], [T^{∗}].[y]⟩.

Pak ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T^{∗}y⟩ ⇒ ⟨[x], [T]^{∗}.[y]⟩ = ⟨[x], [T^{∗}].[y]⟩, kde [x], resp. [y] probíhá všechny prvky 𝔽^{n}, resp. 𝔽^{m} (totiž [·] je izomorfizmus a tedy surjekce). Adjungovaný operátor je dle 3.82 určen jednoznačně, takže operátory určené maticemi [T]^{∗} a [T^{∗}] jsou stejné. Dle úvodní části důkazu této věty existuje jednojednoznačná korespondence mezi maticemi a příslušnými operátory, takže také [T]^{∗} = [T^{∗}]. □

Příloha C. Matematické symboly v systému L^{A}TEX MATHEMATICAL FONTS DEMO (mathfont.aml)

(definitions from the input file mathfont.tex assumed)

Math roman \mathrm:  ABCDEFGH.
Math roman bold \mathbf:  ABCDEFGH .
Math blackboard bold \mathbb or \Bbb  𝔸𝔹ℂ𝔻𝔼𝔽𝔾ℍ.
Math normal \mathnormal:  ABCDEF GH.
Math bold normal \bm:  ABCDEF GH .
Math italic \mathit:  ABCDEFGH .
Math sans serif \mathsf:  ABCDEFGH.
Math typewriter \mathtt:  ABCDEFGH .
Math script \mathcal or \cal:  ABCDEFGH.
Math bold script \bcal:  ABCDEFGH.
Euler script \matheu or \eu:  𝒜ℬ𝒞𝒟 ℰℱ𝒢ℋ .
Euler bold script \beu: 𝒜ℬ𝒞𝒟ℰℱ𝒢ℋ .
Math fraktur \mathfrak or \frak:  𝔄𝔅ℭ𝔇𝔈𝔉𝔊ℌ.
Math bold fraktur \bfrak: 𝔄𝔅ℭ𝔇𝔈𝔉𝔊ℌ .
The set of natural numbers \Nset:  ℕ
The set of integers \Zset:  ℤ
The set of integers modulo N \ZNset{N}: ℤ_{N}
The set of rational numbers \Qset:  ℚ
The set of real numbers \Rset:  ℝ
The set of complex numbers \Cset:  ℂ

GREEK CHARACTERS (greek.tex)

Type:  Print: Type:  Print: Type:  Print:
\alpha  α  \beta  β  \gamma γ
\digamma 𝟋  \delta  δ  \epsilon  ϵ
\varepsilon ε  \zeta  ζ  \eta  η
\theta  θ  \vartheta ϑ  \iota  ι
\kappa  κ  \varkappa κ  \lambda λ
\mu  μ  \nu  ν  \xi  ξ
\pi  π  \varpi  ϖ  \rho  ρ
\varrho  ϱ  \sigma  σ  \varsigma ς
\tau  τ  \upsilon  υ  \phi  ϕ
\varphi  φ  \chi  χ  \psi  ψ
\omega  ω
Type:  Print: Type:  Print:
\Gamma Γ  \varGamma Γ
\Delta  Δ  \varDelta  Δ
\Theta  Θ  \varTheta  Θ
\Lambda Λ  \varLambda Λ
\Xi  Ξ  \varXi  Ξ
\Pi  Π  \varPi  Π
\Sigma  Σ  \varSigma  Σ
\Upsilon Υ  \varUpsilon Υ
\Phi  Φ  \varPhi  Φ
\Psi  Ψ  \varPsi  Ψ
\Omega Ω  \varOmega Ω

HEBREW LETTERS (hebrew.tex)

Type: Print: Type: Print:
\aleph ℵ  \beth ℶ
\daleth ℸ  \gimel ℷ

BINARY OPERATIONS (binoper.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\pm  ±  \mp  ∓
\dotplus  ∔  \cdot  ·
\times  ×  \centerdot  ▪
\ltimes  ⋉  \rtimes  ⋊
\leftthreetimes ⋋  \rightthreetimes ⋌
\ast  ∗  \star  ⋆
\diamond  ⋄  \circ  ∘
\bullet  •  \div  ÷
\setminus  \  \smallsetminus  ∖
\cap  ∩  \cup  ∪
\Cap  ⋒  \Cup  ⋓
\sqcap  ⊓  \sqcup  ⊔
\wedge  ∧  \vee  ∨
\barwedge  ⊼  \doublebarwedge ⩞
\curlywedge  ⋏  \curlyvee  ⋎
\veebar  ⊻  \intercal  ⊺
\oplus  ⊕  \ominus  ⊖
\uplus  ⊎  \And  &
\otimes  ⊗  \oslash  ⊘
\odot  ⊙  \circleddash  ⊝
\circledast  ⊛  \circledcirc  ⊚
\boxminus  ⊟  \boxtimes  ⊠
\boxdot  ⊡  \boxplus  ⊞
\triangleleft  ◁  \triangleright  ▷
\lhd  ⊲  \rhd  ⊳
\unlhd  ⊴  \unrhd  ⊵
\bigtriangleup △  \bigtriangledown ▽
\dagger  †  \ddagger  ‡
\wr  ≀  \bigcirc  ◯
\amalg  ⨿  \divideontimes  ⋇

BIG OPERATORS (bigoper.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\prod {i=1}ˆ {n}  ∏_{i=1}^{n}  \coprod {i=1}ˆ {n}  ∐_{i=1}^{n}
\bigcap {i=1}ˆ {n}  ⋂_{i=1}^{n}  \bigcup {i=1}ˆ {n}  ⋃_{i=1}^{n}
\bigvee {i=1}ˆ {n}  ⋁_{i=1}^{n}  \bigwedge {i=1}ˆ {n} ⋀_{i=1}^{n}
\bigsqcup {i=1}ˆ {n} ⨆_{i=1}^{n}  \biguplus {i=1}ˆ {n} ⨄_{i=1}^{n}
\bigotimes {i=1}ˆ {n} ⨂_{i=1}^{n}  \bigoplus {i=1}ˆ {n} ⨁_{i=1}^{n}
\bigodot {i=1}ˆ {n}  ⨀_{i=1}^{n}  \sum {i=1}ˆ {n}  ∑_{i=1}^{n}
\int aˆ b  ∫_{a}^{b}  \oint aˆ b  ∮_{a}^{b}
\iint {E 2}  _{∫∫E_{2}}  \iiint {E 3}  _{∫∫∫E_{3}}
\iiiint {E 4}  _{∫∫∫∫E_{4}} \idotsint {E n}  ∫ ··· ∫_{E_{n}}

∏_{i=1}^{n} ∐_{i=1}^{n} ⋂_{i=1}^{n} ⋃_{i=1}^{n} ⋁_{i=1}^{n} ⋀_{i=1}^{n} ⨆_{i=1}^{n} ⨄_{i=1}^{n} ⨂_{i=1}^{n} ⨁_{i=1}^{n} ⨀_{i=1}^{n} ∑_{i=1}^{n}

∫_{a}^{b} ∮_{a}^{b} ∫∫_{E_{2}} ∫∫∫_{E_{3}} ∫∫∫∫_{E_{4}} ∫ ⋯ ∫_{E_{n}}

BINARY RELATIONS (binrel.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\leq  ≤  \geq  ≥
\leqslant  ⩽  \geqslant  ⩾
\eqslantless ⪕  \eqslantgtr  ⪖
\lesssim  ≲  \gtrsim  ≳
\lessapprox ⪅  \gtrapprox  ⪆
\approxeq  ≊
\lessdot  ⋖  \gtrdot  ⋗
\ll  ≪  \gg  ≫
\lll  ≪  \ggg  ≫
\lessgtr  ≶  \gtrless  ≷
\lesseqgtr  ⋚  \gtreqless  ⋛
\lesseqqgtr  ⪋  \gtreqqless  ⪌
\prec  ≺  \succ  ≻
\preceq  ⪯  \succeq  ⪰
\doteqdot  ≑  \eqcirc  ≖
\circeq  ≗  \fallingdotseq ≒
\risingdotseq ≓  \triangleq  ≜
\equiv  ≡  \sim  ∼
\simeq  ≃  \backsim  ∽
\thicksim  ∼  \backsimeq  ⋍
\approx  ≈  \thickapprox ≈
\preccurlyeq ≼  \succcurlyeq ≽
\curlyeqprec ⋞  \curlyeqsucc ⋟
\precsim  ≾  \succsim  ≿
\precapprox ≾  \succapprox ≿

Type:  Print: Type:  Print:
\subset  ⊂  \supset  ⊃
\subseteq  ⊆  \supseteq  ⊇
\subseteqq  ⫅  \supseteqq  ⫆
\Subset  ⋐  \Supset  ⋑
\sqsubset  ⊏  \sqsupset  ⊐
\sqsubseteq  ⊑  \sqsupseteq  ⊒
\vartriangleleft  ◁  \vartriangleright  ▷
\trianglelefteq  ⊴  \trianglerighteq  ⊵
\vdash  ⊢  \dashv  ⊣
\vDash  ⊨  \Vdash  ⊩
\Vvdash  ⊪  \models  ⊧
\smile  ⌣  \smallsmile  ⌣
\frown  ⌢  \smallfrown  ⌢
\mid  |  \shortmid  ∣
\parallel  ∥  \shortparallel  ∥
\asymp  ≍  \cong  ≅
\bumpeq  ≏  \Bumpeq  ≎
\between  ≬  \pitchfork  ⋔
\propto  ∝  \varpropto  ∝
\bowtie  ▷◁  \Join  ⋈
\in  ∈  \ni  ∋
\backepsilon  ϶  \doteq  ≐
\blacktriangleleft ◀  \blacktriangleright ▶
\therefore ∴ \because ∵
\perp  ⊥

NEGATED BINARY RELATIONS (nebinrel.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\ne  ≠  \notin  ∉
\nless  ≮  \ngtr  ≯
\nleq  ≰  \ngeq  ≱
\nleqslant  ⩽̸  \ngeqslant  ⩾̸
\nleqq  ≦̸  \ngeqq  ≧̸
\lneq  ⪇  \gneq  ⪈
\lneqq  ≨  \gneqq  ≩
\lvertneqq  ≨  \gvertneqq  ≩
\lnsim  ⋦  \gnsim  ⋧
\lnapprox  ⪉  \gnapprox  ⪊
\nprec  ⊀  \nsucc  ⊁
\npreceq  ⪯̸  \nsucceq  ⪰̸
\precneqq  ⪵  \succneqq  ⪶
\precnsim  ⋨  \succnsim  ⋩
\precnapprox  ⪹  \succnapprox  ⪺
\nsim  ≁  \ncong  ≇
\nshortmid  ∤  \nshortparallel  ∦
\nmid  ∤  \nparallel  ∦
\nvdash  ⊬  \nvDash  ⊭
\nVdash  ⊮  \nVDash  ⊯
\ntriangleleft  ⋪  \ntriangleright  ⋫
\ntrianglelefteq ⋬  \ntrianglerighteq ⋭

Type:  Print: Type:  Print:
\nsubseteq  ⊈  \nsupseteq  ⊉
\nsubseteqq  ⫅̸  \nsupseteqq  ⫆̸
\subsetneq  ⊊  \supsetneq  ⊋
\varsubsetneq ⊊  \varsupsetneq ⊋
\subsetneqq  ⫋  \supsetneqq  ⫌
\varsubsetneqq ⫋  \varsupsetneqq ⫌

To put a slash through a symbol type \not before it, e.g. \not= gives ≠.

ARROWS (arrows.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\leftarrow  ←  \rightarrow or \to →
\longleftarrow  ⟵  \longrightarrow  ⟶
\Leftarrow  ⇐  \Rightarrow  ⇒
\Longleftarrow  ⟸  \Longrightarrow  ⟹
\leftrightarrow  ↔  \longleftrightarrow ⟷
\Leftrightarrow  ⇔  \Longleftrightarrow ⟺
\leftleftarrows  ⇇  \rightrightarrows  ⇉
\leftrightarrows  ⇆  \rightleftarrows  ⇄
\Lleftarrow  ⇚  \Rrightarrow  ⇛
\twoheadleftarrow  ↞  \twoheadrightarrow ↠
\leftarrowtail  ↢  \rightarrowtail  ↣
\looparrowleft  ↫  \looparrowright  ↬
\uparrow  ↑  \downarrow  ↓
\Uparrow  ⇑  \Downarrow  ⇓
\upuparrows  ⇈  \downdownarrows  ⇊
\updownarrow  ↕  \Updownarrow  ⇕
\nearrow  ↗  \searrow  ↘
\swarrow  ↙  \nwarrow  ↖
\mapsto  ↦  \longmapsto  ⟼
\hookleftarrow  ↩  \hookrightarrow  ↪
\leftharpoonup  ↼  \rightharpoonup  ⇀
\leftharpoondown  ↽  \rightharpoondown ⇁
\upharpoonleft  ↿  \upharpoonright  ↾
\downharpoonleft  ⇃  \downharpoonright ⇂
\multimap  ⊸  \rightsquigarrow  ⇝
\leftrightsquigarrow ↭  \leadsto  ⇝
Type:  Print: Type:  Print:
\nleftarrow  ↚  \nrightarrow  ↛
\nLeftarrow  ⇍  \nRightarrow  ⇏
\nleftrightarrow ↮  \nLeftrightarrow ⇎

MISCELLANEOUS SYMBOLS (miscell.tex)

Type:  Print: Type:  Print:
\hbar  ℏ  \hslash  ℏ
\imath  ı  \jmath  ȷ
\ell  ℓ  \complement  ∁
\wp  ℘  \Re  Re
\Im  Im  \partial  ∂
\infty  ∞  \smallint  ∫
\P  ¶  \S  §
\prime  ′  \backprime  ‵
\emptyset  ∅  \varnothing  ∅
\Bbbk  𝕜  \backslash  \
\diagup  ⧸  \diagdown  ⧹
\triangle  △  \nabla  ∇
\vartriangle  △  \blacktriangle  ▲
\triangledown  ▽  \blacktriangledown ▼
\square  □  \lozenge  ♢
\Box  □  \Diamond  ◇
\blacksquare  ■  \blacklozenge  ♦
\forall  ∀  \exists  ∃
\nexists  ∄  \neg  ¬
\angle  ∠  \sphericalangle  ∢
\measuredangle ∡  \|  ∥
\surd  √  \Vert  ∥
\top  ⊤  \bot  ⊥
\dag  †  \ddag  ‡
\flat  ♭  \natural  ♮
\sharp  ♯
\clubsuit  ♣  \diamondsuit  ♢
\heartsuit  ♡  \spadesuit  ♠
\circledS  Ⓢ  \bigstar  ⋆
\mho  ℧  \eth  ð
\Finv  Ⅎ  \Game  ⅁

Additional symbols can be made by stacking one symbol on top of another with the \stackrel command, e.g. $A \stackrel{\alpha}{\rightarrow}

B$ gives A →^{α} B.