Kapitola 5.: Úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech
z normálních rozložení
5.1. Motivace
V tomto případě je naším úkolem porovnat střední hodnoty či rozptyly dvou normálních
rozložení na základě znalosti dvou nezávislých náhodných výběrů pořízených z těchto
rozložení. Zpravidla konstruujeme intervaly spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot nebo
podíl rozptylů respektive hodnotíme shodu středních hodnot pomocí dvouvýběrového t-testu a
shodu rozptylů pomocí F-testu.
5.2. Rozložení statistik odvozených z výběrových průměru a výběrových
rozptylu
Nechť 1n11 1
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(1, 1
2
) a 2n12 2
X,,X K je na něm
nezávislý náhodný výběr z rozložení N(2, 2
2
), přičemž n1  2 a n2  2. Označme M1, M2
výběrové průměry a S1
2
, S2
2
výběrové rozptyly. Pak platí:
a) Statistiky M1 ­ M2 a
2
*S =
2nn
S)1n(S)1n(
21
2
22
2
11
-+
-+-
jsou stochasticky nezávislé.
b) M1 ­ M2 ~ N(1 ­ 2,
2
2
2
1
2
1
nn

+

), tedy U =
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2121
nn
MM

+

---
~ N(0, 1).
(Pivotová statistika U slouží k řešení úloh o 1- 2, když 1
2
a 2
2
známe.)
c) Jestliže 1
2
= 2
2
=: 2
, pak K = 2
2
*21 S)2nn(

-+
~ 2
(n1 + n2 - 2).
(Pivotová statistika K slouží k řešení úloh o neznámém společném rozptylu 2
.)
d) Jestliže 1
2
= 2
2
=: 2
, pak T =
( ) ( )
21
*
2121
n
1
n
1
S
MM
+
---
~ t(n1 + n2 ­ 2).
(Pivotová statistika T slouží k řešení úloh o 1- 2, když 1
2
a 2
2
neznáme, ale víme, že
jsou shodné.)
e) F = 2
2
2
1
2
2
2
1
/
S/S

~ F(n1 ­ 1, n2 ­ 1).
(Pivotová statistika F slouží k řešení úloh o 1
2
/ 2
2
.)
5.2.1. Příklad
Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry, první pochází z rozložení N(2, 1,5) a
má rozsah 10, druhý pochází z rozložení N(3, 4) a má rozsah 5. Jaká je pravděpodobnost, že
výběrový průměr 1. výběru bude menší než výběrový průměr 2. výběru?
Řešení: P(M1 < M2) = P(M1 - M2 < 0) =
.8475,0)026,1()026,1U(P
5
4
10
5,1
32
UP
nn
)(0
nn
)()MM(
P
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
2121
==<=












+
+-
<=















+

--
<

+

---
S pravděpodobností přibližně 84,8% je výběrový průměr 1. výběru menší než výběrový
průměr 2. výběru.
5.3. Intervaly spolehlivosti pro parametrické funkce 1 - 2 , 1
2
/ 2
2
Budeme zabývat speciálními případy, kdy za parametrickou funkci h() považujeme
rozdíl středních hodnot 1- 2 nebo podíl rozptylů 1
2
/ 2
2
dvou normálních rozložení. Při
konstrukci intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot buď rozptyly známe nebo
neznáme a víme, že jsou shodné či nikoliv. Shodu rozptylů ověřujeme pomocí F-testu.
Uvedeme jen přehled vzorců pro meze 100(1-)% empirických intervalů spolehlivosti pro
parametrické funkce 1 - 2 , 1
2
/ 2
2
.
5.3.1. Přehled vzorců
a) Interval spolehlivosti pro 1 - 2, když 1
2
, 2
2
známe
(využití pivotové statistiky U =
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2121
nn
MM

+

---
~ N(0, 1))
Oboustranný: (d, h) = (m1 ­ m2 ­
2
2
2
1
2
1
nn

+

u1-/2, m1 ­ m2 +
2
2
2
1
2
1
nn

+

u1-/2)
Levostranný: (d, ) = (m1 ­ m2 ­
2
2
2
1
2
1
nn

+

u1-, )
Pravostranný: (-, h) = (-,m1 ­ m2 +
2
2
2
1
2
1
nn

+

u1-)
b) Interval spolehlivosti pro 1 - 2, když 1
2
, 2
2
neznáme, ale víme, že jsou shodné
(využití pivotové statistiky T =
( ) ( )
21
*
2121
n
1
n
1
S
MM
+
---
~ t(n1 + n2 ­ 2))
Oboustranný:
(d, h) = (m1 ­ m2 ­
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2), m1 ­ m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2))
Levostranný: (d, ) = (m1 ­ m2 ­
21
*
n
1
n
1
s + t1-(n1+n2-2), )
Pravostranný: (-, h) = (-, m1 ­ m2 +
21
*
n
1
n
1
s + t1-(n1+n2-2))
c) Interval spolehlivosti pro společný neznámý rozptyl 2
(využití pivotové statistiky K = 2
2
*21 S)2nn(

-+
~ 2
(n1 + n2 - 2))
Oboustranný: (d, h) =








-+
-+
-+
-+
- )2nn(
s)2nn(
,
)2nn(
s)2nn(
212/
2
2
*21
212/1
2
2
*21
Levostranný: (d, ) =









-+
-+
-
,
)2nn(
s)2nn(
211
2
2
*21
Pravostranný: (-, h) =








-+
-+
-
 )2nn(
s)2nn(
,
21
2
2
*21
d) Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů 2
2
2
1


(využití pivotové statistiky F = 2
2
2
1
2
2
2
1
/
S/S

~ F(n1 ­ 1, n2 ­ 1))
Oboustranný: (d, h) =








----  )1n,1n(F
s/s
,
)1n,1n(F
s/s
21/2
2
2
2
1
21/2-1
2
2
2
1
Levostranný: (d, ) =









--
,
)1n,1n(F
s/s
21-1
2
2
2
1
Pravostranný: (-, h) =








--
-
 )1n,1n(F
s/s
,
21
2
2
2
1
Upozornění: Není-li v 5.3.1. (b) splněn předpoklad o shodě rozptylů, lze sestrojit aspoň
přibližný 100(1-)% interval spolehlivosti pro 1-2. V tomto případě má statistika T přibližně
rozložení t( ), kde počet stupňů volnosti  =
( )
( ) ( )
1n
n/s
1n
n/s
n/sn/s
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
-
+
-
+
. Není-li
 celé číslo, použijeme v tabulkách kvantilů Studentova rozložení lineární interpolaci.
5.3.2. Příklad
Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru (v g/l). Z první nádrže bylo odebráno 25
vzorků, z druhé nádrže 10 vzorků. Byly vypočteny realizace výběrových průměrů a rozptylů:
m1 = 34,48, m2 = 35,59, s1
2
= 1,7482, s2
2
= 1,7121. Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků
považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(1, 2
) a
N(2, 2
). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot 1 - 2.
Řešení:
Úloha vede na vzorec 5.3.1. (b). Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů a najdeme
odpovídající kvantily Studentova rozložení:
2
*s = 7384,1
33
7121,197482,124
2nn
s)1n(s)1n(
21
2
22
2
11
=
+
=
-+
-+-
, t0,975(33) = 2,035.
Dosadíme do vzorců pro dolní a horní mez intervalu spolehlivosti:
d = m1­m2­
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2) = 34,48­35,59 - 035,2
10
1
25
1
7384,1 + = -2,114
h = m1­m2+
21
*
n
1
n
1
s + t1-/2(n1+n2-2) = 34,48­35,59 + 035,2
10
1
25
1
7384,1 + = -0,106
Zjistili jsme, že -2,114 g/l < 1 - 2 < -0,106 g/l s pravděpodobností aspoň 0,95.
5.3.3. Příklad
V příklad 5.3.2. nyní předpokládáme, že dané dva náhodné výběry pocházejí z rozložení
N(1, 1
2
) a N(2, 2
2
). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl rozptylů.
Řešení:
Úloha vede na vzorec 5.3.1. (d).
d = 28,0
6142,3
7121,1/7482,1
)9,24(F
7121,1/7482,1
)1n,1n(F
s/s
975,021/2-1
2
2
2
1
===
--
h = 76,2
7027,2/1
7121,1/7482,1
)24,9(F/1
7121,1/7482,1
)9,24(F
7121,1/7482,1
)1n,1n(F
s/s
975,0025,021/2
2
2
2
1
====
--
Dostáváme, že 0,28 < 2
2
2
1


< 2,76 s pravděpodobností aspoň 0,95.
5.4. Testování hypotéz o parametrických funkcích 1 - 2 , 1
2
/ 2
2
5.4.1. Přehled testů
a) Nechť 1n11 1
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(1, 1
2
) a 2n12 2
X,,X K je na něm
nezávislý náhodný výběr z rozložení N(2, 2
2
), přičemž n1  2, n2  2 a 1
2
, 2
2
známe.
Nechť
c je konstanta. Test H0: 1 ­ 2 = c proti H1: 1 ­ 2  c se nazývá dvouvýběrový z-test.
b) Nechť 1n11 1
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(1, 2
) a 2n12 2
X,,X K je na něm
nezávislý náhodný výběr rozložení N(2, 2
), přičemž n1  2 a n2  2 a 2
neznáme. Nechť c
je konstanta. Test H0: 1 ­ 2 = c proti H1: 1 ­ 2  c se nazývá dvouvýběrový t-test.
c) Nechť 1n11 1
X,,X K je náhodný výběr z rozložení N(1, 1
2
) a 2n12 2
X,,X K je na něm
nezávislý náhodný výběr rozložení N(2, 2
2
), přičemž n1  2 a n2  2. Test H0: 2
2
2
1


= 1 proti
H1: 2
2
2
1


 1 se nazývá F-test.
5.4.2. Provedení testů o parametrickcýh funkcích 1 - 2 , 1
2
/ 2
2
pomocí kritického
oboru
a) Provedení dvouvýběrového z-testu
Hypotézu H0: 1 ­ 2 = c proti H1: 1 ­ 2  c (resp. H1: 1 ­ 2 < c resp. H1: 1 ­ 2 > c )
zamítáme na hladině významnosti , jestliže 2/1
2
2
2
1
2
1
21
u
nn
cmm
-

+

--
(resp. --

+

--
1
2
2
2
1
2
1
21
u
nn
cmm
resp. -

+

--
1
2
2
2
1
2
1
21
u
nn
cmm
).
b) Provedení dvouvýběrového t-testu
Hypotézu H0: 1 ­ 2 = c proti H1: 1 ­ 2  c (resp. H1: 1 ­ 2 < c resp. H1: 1 ­ 2 > c )
zamítáme na hladině významnosti , jestliže )2nn(t
n
1
n
1
s
cmm
212/1
21
*
21
-+
+
--
-
(resp. )2nn(t
n
1
n
1
s
cmm
211
21
*
21
-+-
+
--
- resp. )2nn(t
n
1
n
1
s
cmm
211
21
*
21
-+
+
--
- )
.
c) Provedení F-testu
Hypotézu H0: 2
2
2
1


= 1 proti H1: 2
2
2
1


 1 (resp. H1: 2
2
2
1


< 1 resp. H1: 2
2
2
1


> 1) zamítáme
na hladině významnosti , jestliže 2
2
2
1
s
s
F/2(n1+n2-2) nebo 2
2
2
1
s
s
F1-/2(n1+n2-2)
(resp. 2
2
2
1
s
s
F(n1+n2-2) resp. 2
2
2
1
s
s
F1-(n1+n2-2)).
Podobně jako v kapitole 4 musíme ověřit normalitu dat. Pokud výběry menších rozsahů
(pod 30) vykazují výraznější odchylky od normality, doporučuje se místo dvouvýběrového t-
testu použít neparametrický dvouvýběrový Wilcoxonů test (viz kapitola 7).
Před provedením dvouvýběrového t-testu bychom se měli F-testem přesvědčit o shodě
rozptylů. Zamítne-li F-test na dané hladině významnosti hypotézu o shodě rozptylů, musíme
pro testování hypotézy o shodě středních hodnot použít speciální variantu dvouvýběrového t-
testu, tzv. dvouvýběrový t-test se separovanými odhdy rozptylů.
Musíme si být vědomi rozdílu mezi dvouvýběrovým t-testem a párovým t-testem.
Dvouvýběrový t-test je založen na předpokladu nezávislosti daných dvou výběrů. Pokud
v situaci, která vede na párový test, použijeme dvouvýběrový t-test, můžeme dostat
nepravdivé výsledky. Naopak, mají-li dva nezávislé výběry stejný rozsah a my použijeme
párový t-test místo dvouvýběrového t-testu, nedopustíme se hrubé chyby, pouze méně
efektivně využijeme informaci obsaženou v datech.
5.4.3. Příklad
Výrobce limonád chtěl zjistit, zda změna technologie výroby se projeví v prodeji
limonád. Proto sledoval po 14 náhodně vybraných dnů před zavedením nových limonád tržby
v určitém regionu a zjistil, že za den utržil v průměru 39 600 Kč se směrodatnou odchylkou
5 060 Kč. Po zavedení nových limonád prověřil stejným způsobem tržby v 11 náhodně
vybraných dnech v témž regionu a zjistil průměrný příjem 41 200 Kč se směrodatnou
odchylkou 4 310 Kč. Předpokládejte, že tržby za starý typ limonád se řídí rozložením N(1,
1
2
) a tržby za nový typ limonád se řídí rozložením N(2, 2
2
).
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: 2
2
2
1


= 1 proti H1: 2
2
2
1


 1.
b) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: 1 ­ 2 = 0 proti H1: 1 ­ 2  0.
Řešení:
ad a) Úloha vede na F-test. Vypočteme realizaci testového kritéria:
,3783,1
4310
5060
s
s
2
2
2
2
2
1
== dále najdeme příslušné kvantily:
( ) ( ) ( ) ( ) 5832,310,13F1n,1nF,3077,010,13F1n,1nF 975,021/21025,021/2 ==--==-- - .
Protože testové kritérium 2
2
2
1
s
s
= 1,3783 se nerealizuje v kritickém oboru
W = )(  ;5832,30,3077;0 , nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu o
shodě rozptylů.
ad b) Úloha vede na dvouvýběrový t-test. Protože jsme na hladině významnosti 0,05 nezamítli
hypotézu o shodě rozptylů, můžeme rozptyly 1
2
, 2
2
považovat za shodné a za jejich odhad
vezmeme vážený průměr výběrových rozptylů
217,22548165
23
431010506013
s
22
2
* =
+
= .
Vypočteme realizaci testového kritéria:
0687,2)23(t)2nn(t,8363,0
11
1
14
1
217,22548165
4120039600
n
1
n
1
s
cmm
975,021/2-1
21
*
21
==-+-=
+
-
=
+
--

Protože testové kritérium -0,8363 se nerealizuje v kritickém oboru
W = )( - ;0687,22,0687-; , na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu
o shodě středních hodnot.
Kontrolní otázky
1. Které pivotové statistiky používáme při řešení úloh o rozdílu středních hodnot a podílu
rozptylů dvou normálních rozložení?
2. Jaké meze má 100(1-)% empirický interval spolehlivosti pro podíl směrodatných
odchylek dvou normálních rozložení?
3. V čem spočívá rozdíl mezi dvouvýběrovým z-testem a dvouvýběrovým t-testem?
4. V jakých situacích používáme dvouvýběrový t-test a v jakých a párový t-test?
5. K čemu slouží F-test?
Příklady
1. Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene. Šesti z nich byla předepsána
výkrmná dieta č. 1 a zbylým pěti výkrmná dieta č. 2. Průměrné denní přírůstky v Dg za dobu
půl roku jsou následující:
dieta č. 1: 62, 54, 55, 60, 53, 58
dieta č. 2: 52, 56, 49, 50, 51.
Zjištěné hodnoty považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů pocházejících
z rozložení N(1, 1
2
) a N(2, 2
2
). Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro podíl
rozptylů a 95% empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot 1 - 2.
Výsledek:
0,1872 Dg2
< 2
2
2
1


< 12,9541 Dg2
s pravděpodobností aspoň 0,95.
0,99 Dg < 1 - 2 < 9,81 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
2. Pro údaje z příkladu 1. testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě výkrmné
diety mají stejný vliv na hmotnostní přírůstky selat.
Výsledek:
Testujeme hypotézu H0: 1 - 2 = 0 proti H1: 1 - 2  0
1. způsob ­ pomocí intervalu spolehlivosti. 95% empirický interval spolehlivosti pro 1 - 2 je
interval (0,99; 9,81). Neobsahuje nulu, proto H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
2. způsob ­ pomocí kritického oboru. Protože testové kritérium se realizuje hodnotou 2,771,
která patří do kritického oboru ( )-- ;2622,22622,2; , H0 zamítáme na hladině
významnosti 0,05.
3. Máme k dispozici relaizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozložení N(1, 2
) a
N(2, 2
) o rozsazích n1 = 10, n2 = 15. Výběrové průměry se realizovaly hodnotami m1 =
120,56, m2 = 124,13, výběrové rozptyly hodnotami s1
2
= 9,14, s2
2
= 8,95. Lze na základě
těchto výsledků zamítnout na hladině významnosti 0,1 nulovou hypotézu H0: 1 - 2 = 0 ve
prospěch oboustranné alternativy H1: 1 - 2  0?
Výsledek: Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,1.
4. (S) V restauraci "U bílého koníčka" měřili ve 20 případech čas obsluhy zákazníka.
Výsledky v minutách: 6, 8, 11, 4, 7, 6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5.
V restauraci "Zlatý lev" bylo dané pozorování uskutečněno v 15 případech s těmito výsledky:
9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8, 7.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty doby obsluhy jsou v obou
restauracích stejné. Uveďte hodnotu testové statistiky, počet stupňů volnosti, p-hodnotu a
rozhodnutí o nulové hypotéze.
Výsledek:
Vzhled diagnostických grafů svědčí o normalitě dat v obou výběrech.
Nejprve je zapotřebí pomocí F-testu ověřit shodu rozptylů. Realizace testového kritéria =
1,493, počet stupňů volnosti = 19 a 14, odpovídající p-hodnota = 0,41044, hypotézu o shodě
rozptylů tedy nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Shodu středních hodnot otestujeme pomocí dvouvýběrového t-testu. Realizace testového
kritéria = 0,1237, počet stupňů volnosti = 33, odpovídající p-hodnota = 0,9023, hypotézu o
shodě středních hodnot tedy nezamítáme na hladině významnosti 0,05.