KMMATA - Matematika A - úvodní informace i- Tento materiál je určen výhradně pro posluchačů předmětu Matematika A tútora R N Dr. Štěpána MIKOLÁŠE. Učební text Matematika A - distanční studijní opora (dále jen DSO), který můžete zakoupit v prodejně na Ekonomicko-správní fakultě je rozčleněn do šesti kapitol. První dvě jsou věnovány opakování středoškolské látky a jsou určeny výhradně k samostatnému studiu, nebudou proto - až na výjimky - probírány na tutoriálech. Další čtyři kapitoly se zabývají lineární algebrou a látka zde obsažená bude na tutoriálech vysvětlována. Následující text obsahuje zejména řešené příklady, které budou probírány na tutoriálech a vznikl proto, aby posluchači na tutoriálech nemuseli příliš mnoho psát a mohli se o to více soustředit na výklad. Nedílnou součástí kombinovaného studia je vypracování POTŮ (práce opravovaná tutorem). Zadání POTŮ bude zveřejněno v On-line studiu. Zde chci jenom upřesnit způsob odevzdávání vypracovaných POTŮ. Možností je několik: 1. Odevzdání na některém tutoriálu - tuto možnost preferuji. 2. Odevzdání paní Hračkové, sekretářce Katedry aplikované matematiky a informatiky ESF, Lipová 41a, Brno - 7. poschodí. Na obálku nebo první stránku POTu je pak třeba výrazně napsat Určeno pro tútora RNDr. Mikoláše. 3. Zaslat poštou na adresu: RNDr. Štěpán Mikoláš Katedra aplikované matematiky PřF MU Janáčkovo nám. 2a 602 00 BRNO 4. Zcela výjimečně a po předchozí dohodě zaslat v elektronické podobě emailem na adresu: mikolas@math.muni.cz Zde ovšem bývají problémy, protože universitní server příliš rozsáhlé maily odmítá. V žádném případě neodevzdávejte POTy prostřednicvím „odevzdávárny" v On-line studiu. Taje pro matematické texty zcela nevhodná a v loňském školním roce jsem z několika takto odevzdaných textů nedostal ani jediný. Odevzdané POTy se budu snažit do 2 - 3 týdnů opravit. V Informačním systému MU (dále jen IS) jsem u předmětu KMMATA vytvořil poznámkový blok POTy. Pokud např. odevzdáte POTÍ a bude buďto bez chyb nebo jen s drobnými chybičkami, jejichž opravu nebudu vyžadovat, napíši do poznámkového bloku jenom „POTÍ". Budou-li v POTu větší chyby, napíši např. „POTÍ - opravit př. 2a,3,5." Poznámkový blok najdete na adrese http://is.muni.cz/ , klepnete myší na Student a po zadání Vašeho login a password volíte předmět KMMATA a poznámkový blok POTy. Moje poštovní i emailová adresa je uvedena výše. Zde uvedu ještě telefonní čísla: Na pracoviště 549495864. Mobil: 732172039. KMMATA - Matematika A - informace o písemné části zkoušky -u- Informace o písemné části zkoušky. platí pro skupinu tútora RNDr. Mikoláše témata na písemku: - kvadratické nerovnice, nerovnice s absolutními hodnotami - operace s maticemi (např. 3A-B*C+DT ) - lineární závislost a nezávislost vektorů, báze a dimenze podprostoru W e Vn, hodnost matice - determinanty systémy lineárních rovnic - Cramerovo pravidlo inverzní matice - vlastní čísla a vlastní vektory Písemka bude trvat 90 minut a bude mít šest příkladů. Každý příklad bude hodnocen maximálně 10 body. Od bodového zisku se bude odvíjet návrh známky takto:________ <0,30) <30,35) <35,40) <40,45) <45,53) <53,60> D B A Ústní zkouškou je možno si navrženou klasifikaci zlepšit, ale i zhoršit. Zadání i vypracované vzorové řešení jedné písemné zkoušky je uvedeno na závěr tohoto textu KMMATA - Matematika A - řešené příklady - nerovnice__________________________- / - Řešené příklady z matematiky A. Nerovnice. Nerovnicí rozumíme vztah tvaru f(x) g(x)] nebo f(x) g(x) ]. Řešením nerovnice rozumíme každé číslo a, jehož dosazením do nerovnice dostaneme platnou nerovnost. Nerovnice nemusí mít žádné řešení, ale může mít i nekonečně mnoho řešení. Má proto smysl mluvit o množině řešení dané nerovnice. Dvě nerovnice, které mají stejné množiny řešení se nazývají ekvivalentní. Při řešení nerovnice používáme ekvivalentní úpravy, kterými ji převedeme na co nejjednodušší ekvivalentní nerovnici, jejíž řešení snadno určíme. Ekvivalentní úpravy jsou: přičtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice násobením obou stran nerovnice libovolným kladným výrazem Při násobení obou stran nerovnice záporným výrazem se znaménko nerovnice změní ve znaménko opačné. V dalším se budeme zabývat pouze kvadratickými nerovnicemi a nerovnicemi s absolutními hodnotami. Příklad 1. Řešte v R nerovnici x2-x-6>0 . Řešení: Kvadratický troj člen x2 - x - 6 rozložíme v kořenové činitele: x2-x-6 = (x + 2)(x-3) . (x + 2)(x - 3) > 0 X + 2 - + + x-3 - - + (x+2)(x-3) + - + -2 3 celkem x e (-°o,-2 > u < 3,°°) Celý tento postup lze zkrátit užitím následujícího tvrzení: Dva různé reálné kořeny kvadratického troj členu rozdělí číselnou osu na tři intervaly. V každém z nich nabývá tento troj člen pouze kladných [respektive pouze záporných] hodnot. Nabývá-li v jednom z intervalů kladných hodnot, nabývá v sousedních intervalech záporných hodnot a naopak. Stačí tedy při řešení kvadratické nerovnosti určit znaménko kvadratického trojčlenu v jediném vnitřním bodě jednoho z intervalů. Vrátíme-li se k Příkladu 1., dostáváme f(x)= (x + 2)(x-3) , f(0) = -6<0atedy (x+2)(x-3) + - + -2 3 KMMATA - Matematika A - řešené príklady - nerovnice -2- Příklad 2. Řešte v R nerovnici Řešení: x2-4x + 3> x + x-5 x-4x x-5 + + + + 0 a) Pro x g (-oo,0 > u < 4,5) dostaneme x2 -4x + 3>x2 -x + 5 3x<-2 Y < — 2/ x< 73 znázorněno graficky: -2/ O -------------------O X G (-co -2^ ) b) Pro x g (0,4) dostaneme: -x2 +4x-3>x2 -x + 5 2x2-5x + 2<0 2Íx-|\x-2)<0 2x2-5x + 2 2x2 -5x + 2<0 + + + + + O \ c) Pro xg<5,oo) dostaneme: x -4x + 3>x +X-5 5x<8 x<%=l,6 -o XG (K.2) Celkem x g (- «, - 2/)u (l/ 2) XG0 KMMATA - Matematika A - řešené příklady - berovnice -3- Příklad 3. Řešte v R nerovnici x + 2 x-1 >3 . Řešení: Definiční obor: R - {l} Celou nerovnici násobíme pro x ^ 1 výrazem |x -l| , který je kladný a dostaneme |x + 2|>3|x-l| x + 2 x-1 + + + a) Pro xe (-oo,-2) dostaneme: -x-2>-3x + 3 2x>5 x>5/ -o XG0 b) Pro x g < -2,1) dostaneme: x + 2 > -3x + 3 4x>l x>l/ c) Pro xe (l,°°) dostaneme: x + 2>3x-3 2x<5 x<5/ xe xe(i, y2 > KMMATA - Matematika A - řešené príklady - nerovnice -4- 4x-10 Příklad 4. Reste v R nerovnici---------L < 6 . x + 2 Řešení: Def. obor: R-{-2} 4x-10 x + 2 + + + a) Pro x g (- °°,-2) dostaneme: -4x + 10>6x + 12 lOx < -2 x<-l/ b) Pro x g (-2 , Y) ) -2 -o - 1/ X G (- oo-2) dostaneme ■4x + 10<6x + 12 lOx > -2 x>-l/ o- o- -o -1/ o- '2 -o XG (-1/ V) c) Pro x g < 5/ , oo ) dostaneme: -11 4x-10<6x + 12 2x > -22 x>-ll xe<% , oo) Celkem x g (- «>-2) U (- Vi , °° J. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -5- Matice. DSO str. 126- Buďte m, n g N. Soustava m • n čísel zapsaných následujícím způsobem do m řádků a n sloupců (*) A = an a12 a21 a22 Vaml am2 lln l2n mri J se nazývá matice typu (m,n). Čísla ay se nazývají prvky matice A, i je řádkový index, j je sloupcový index. Případně prvky matice značíme at. . Místo zápisu (*) často užíváme stručnější zápis A = (ay), 1 < i < m , 1 < j < n . Prvky an,a22,...,arr, kde r = min{m,n} tvoří hlavní diagonálu . Prvky ay , kde i + j = n + 1 tvoří vedlejší diagonálu . Matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule se nazývá nulová matice a značí se 0 . Je-li m = n , říkáme, že matice A je čtvercová matice řádu n. Čtvercová matice, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule se nazývá horní trojúhelníková matice . Pro i > j platí ay = 0 . Čtvercová matice, která má všechny prvky nad hlavní diagonálou rovny nule se nazývá dolní trojúhelníková matice . Pro i < j platí ay = 0 . Čtvercová matice, která má nenulové prvky pouze v hlavní diagonále se nazývá diagonální matice. Diagonální matice, která má všechny prvky v hlavní diagonále rovny jedné se nazývá jednotková matice a značí se E (případně En chceme-li vyjádřit, že se jedná o matici řádu n). Dvě matice A,B považujeme za sobě rovné a píšeme A = B právě když jsou téhož typu a když pro každé i = 1,2,...,m aj = 1,2,...,n platí ay=by . Matice typu A = (an a12 ... aln) typu(l,n) se nazývá řádkový vektor. První index většinou vynecháváme a vektor značíme malým písmenem, tedy a = (a1 a2 ... an) . íb } Podobně matice B = '21 V^miy typu (m,l) se nazývá sloupcový vektor . Druhy index íbA většinou vynecháváme a vektor značíme malým písmenem, tedy b v^m; Matice typu (m,n) je zřejmě tvořena m řádkovými a n sloupcovými vektory. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -6- Příklady. A = r i -2 3 3 ■2 7 3 5 5 2 O 1 2 O 3 ■5 1 2^ ■4 5 2 7 -1 6 A je matice typu (4,6). Hlavní diagonála je 1, 3, 2, -5 . Vedlejší diagonála je 2, -4, 3, 1 B = ío O O Ol 0 0 0 0 0 0 0 Oj c = D = F = G = E4 = í 1 2 3 0^ 2 3 -2 2 -3 1 1 -3 v 5 í3 5 1 4 -2 -6, 0 í] 0 -1 1 5 2 0 0 2 3 -8 0 0 0 0 9 vO 0 0 0 2y í 3 0 0 0 0^ 1 1 0 0 0 3 2 1 0 0 -5 0 2 1 0 _, T 0 3 0 3 -2 0 & V 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 3 0 v 0 (\ 0 0 0 0 0^ 0 5J 0 1 0 0 0 0 1 0 ,0 0 0 1; Bje nulová matice typu (3,4). Značí se též O . C je čtvercová matice řádu 4. D je horní trojúhelníková matice. F je dolní trojúhelníková matice G je diagonální matice řádu 5. E4 je jednotková matice řádu 4. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -7- Operace s maticemi. DSO str. 132-137. Definice. Nechť A je matice typu (m,n). Potom matici typu (n,m), jejíž i-tý řádek je roven i-tému sloupci matice A , i = 1,2,... ,m , nazýváme transponovanou maticí k matici A a značíme ji A T . Poznámka. Transponovaná matice AT vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce. Příklad. í 1 -3 (Ý\ f 1 2 -2 3] Nechť A = (1-3 0*) 2 1 7 -2 5 1 3 4 6 Potom A -3 1 5 4 0 7 16 J Definice. Nechť A,B jsou matice téhož typu (m,n). Součtem matice A a B rozumíme matici C typu (m,n), pro jejíž prvky cy , i = l,2,...,m , j = l,2,...,n , platí cy=ay+by . Píšeme pak C = A + B . Příklad. Nechť A = r 1 -1 -2 1 4 6 ■2 7 3 ■5^1 2 2 ,B = r-2 3 -6 4 2 -3 3 5 -1 ( 1-2 -1 + 4 -2 + 3 -5 + 3^ Potom C = A + B = ■2 + 3 1 + 2 4-6 6-3 7 + 5 3-1 2 + 2 2-2 J 3\ 2 2y (-\ 3 1 1 3 12 -2 3 2 -2^1 4 0 Definice. Nechť A je matice typu (m,n) a a je reálné číslo. Potom součinem čísla a a matice A rozumíme matici B, pro jejíž prvky platí by =ocay proi= l,2,...,m,j = 1,2,...,n. Píšeme B = a • A , případně pouze B = aA Příklad. T 1 -1 -2 -5^ f -3 3 Nechť A = -2172 4 6 3 2j , a = -3 . Potom a • A = -3A = 6 15^ 6 -3 -21 -6 ■12 -18 -9 -6 Definice. Nechť A,B jsou matice téhož typu (m,n). Rozdíl A - B definujeme jako matici A + (-1) • B KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -8- Příklad. r 1 -1 i -5> '-2 4 3 3^ Nechť A = -2 1 7 2 ,B = 3 2 5 2 .Pí í l _1 v 4 -2 6 -5N \ 5 2V '-2 4 3 v-6 3^ -3 -1 ' 1 -2y -1 -2 = -2 1 7 2 3 2 5 2 = -2 1 7 i { 4 6 ' 3 -5 3 -5 2y "81 ' v-6 -3 -1 -2, v 4 6 3 \ -5 -1 10 9 2 4 0 4J D< ífínice. Potom A - B = 5^ 2 + i o -J \ -3 6 -4 -2 3 -3 -5 1 Nechť A je matice typu (m,k) a B je matice typu (k,n). Potom součinem matic A a B (v tomto pořadí) je matice C typu (m,n), pro jejíž prvky cy , i = 1,2,...,m , j = 1,2,...,n platí Cy = au • bu + al2 • b2j +... + a* • bkj . Píšeme C = A.B , případně jenom C = AB . -3] -2 2 Poznámky. 1. Všimněme si, že počet sloupců matici A je stejný jako počet řádků v matici B. Jinak by součin nebyl definován. 2. Vztah pro výpočet prvku cy matice C lze zapsat s použitím sumační symboliky takto: k Cy =2-(air 'brj- r=l 3. Pro výpočet prvku Cy používáme i-tý řádek matice A a j-tý sloupec matice B Říkáme, že prvek cy je skalárním součinem řádkového vektoru (au ai2 at a sloupcového vektoru (b^ b2j b3j ...bkj)T . Poznámka. ■•aj Z definice součinu matice je zřejmé, že obecně matice AB není rovna matici BA . Může se dokonce stát, že matice AB existuje a matice BA neexistuje. Pokud pro nějaké matice A a B platí AB = BA, nazývají se matice A,B zaměnitelné . Poznámka. Pro operace s maticemi platí řada pravidel (viz DSO str. 140-141). Zde připomenu pouze: Jsou-li matice A,B,E,0 takové, že naznačené operace jsou proveditelné, platí: 1. (A-B)T=BT-AT 2. A E = A , E A = A 3. 0 A = 0 , A 0 = 0 KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -9- Příklad 1. r 3 2 A = 1-2 5 Řešení: ( 3 2 AB = v 2 5 ' 5 7] 4N , B = -3 4 », v 1 V í 5 7^ -4) / -3 4 = V l 1 2, v . Vypočítejte AB a BA . f3.5 + 2.(-3) + (-4).l 3J + 2A + (-4).2\_í 5 2f) (-2).5 + 5.(-3) + 8.1 (-2).7 + 5.4 + 8.2rl-17 22 BA = r 5 7^ -3 4 ' 3 2 v-2 5 1 2y ( 1 45 36^ -17 14 44 -1 12 12 ■4^ 8 ( 5.3 + 7.(-2) 5.2 + 7.5 5.(-4) + 7.8 ^ (-3).3 + 4.(-2) (-3).2 + 4.5 (-3).(-4) + 4.8 1.3 + 2.(-2) 1.2 + 2.5 l.(-4) + 2.8 J V tomto případě oba součiny AB i BA existují, ale nejsou si rovny. Matice A,B nejsou zaměnitelné. Příklad 2. fl f A v Řešení: 0 0 B f-í 0'] 1 0 Vypočítejte AB a BA AB f í íY-i o] f o o^ vo oy v 1 Oy v0 0y BA r-i o^ í1 ^ M _11 { i oj [o oy v i ij Součin dvou nenulových matice může být roven nulové matici. Příklad 3. Vypočtěte íl 2 1 1 2 1 Řešení: 0) -1 1 n 2 2 2 1 0 -1 1 0 2 ■2 1 -1 0 -1 0 f -1 3 1 (3 -1 0 3 2 2-2 2 4-10-1 -1 (0 1 1 1 -fl 1111-1 0 -4^ (-2 + ■2 ■4 12 10 ■1 -2- n i 2 2 -2 -2 2 2 -2 2 0-2 1 1 2^ -1 1 2 0 1 f -4] -4 -2 + + r-i o 0 1 1 1 f-\ 0 f 0 1 1 3 -3 1 3 5 3 l 7 1 V 3 3 7^ 3 5 1 = 1 3 2 KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -10- Příklad 4. r\ 2 -3 1 Je dána matice A = 2 1 0 -1 1 3 4 0 1 6 Určete matici B tak, aby součin AB existoval, součin BA neexistoval a vypočtěte AB. Řešení: Matice A je typu (3,5), matice B musí být typu (5,p), p ^ 3. Stačí např.volit libovolnou matici typu (5,2). Aby byl výpočet co nejjednodušší, volme ÍO 0^ nulovou matici tohoto typu, tedy B = 0 0 0 0 0 0 0 0 Pak skutečně BA neexistuje a AB = í° °1 0 0 1° oj J Příklad 5. Nechť A = 1 -2 7 4 2 8 -5 10 11 7 -9 8 0 ' 2 f| 2 , B = 7 2 -9 3 v 8 6, Určete matici C tak, aby součin ACB existoval a spočtěte tento součin. Řešení: Matice A je typu (3,5), matice B je typu (4,2). Matice C musí být typu (5,4) a výsledek bude typu (3,2). Aby výpočet byl co nejjednodušší, volme za C nulovou matici typu (5,4), tedy fo 0 0 Ol c = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J Pak je ACB = í° °1 0 0 lo oj Schodovitá matice. DSO str. 140 Definice. Nechť A je matice typu (m,n). Řekneme, že A je horní schodovitá matice, jestliže existuje takové přirozené číslo h < n, že ke každému i = 1,2,.. ..,h existuje nejmenší st tak, že ais #0a Sj r\ 0 0\ = 0 1 0 J v0 0 lj Tedy skutečně je B = A V -2 5^ 0 -3 -2 -2 Věta. Nechť je dána matice A a nechť k ní existuje inverzní matice A-1 . Potom platí a) Matice A a A-1 jsou čtvercové matice téhož řádu. b) Inverzní matice A-1 je určena jednoznačně. c) K matici A"1 existuje inverzní matice a je (A-1) =A . d) Jestliže A, B jsou čtvercové matice téhož řádu a když k nim existují inverzní matice A x , B x , potom k matici AB existuje inverzní matice a platí (AB) BA1 SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC DSO str. 141-146 Budeme se zabývat systémem m lineárních algebraických rovnic o n neznámých. ailXl + ai2X2 +-" + ainXn = fy a21Xl + a22X2 +-" + a2nXn = ^ 2 (1) ............................................... amlXl +am2X2 +••• +amnXn ~fy kde Xj ,x2 ,...,xn jsou neznámé, reálná čísla ay , 1 < i < m , 1 < j < n jsou koeficienty systému. Je-li aspoň jedno z čísel b: ,b2 ,...,bm různé od nuly, nazýváme systém (1) systémem lineárních nehomogenních rovnic . Jsou-li všechna čísla b: ,b2,...,bm rovna nula, mluvíme o systému lineárních homogenních rovnic . Přívlastek „algebraický" jsme vynechali, protože se jinými než algebraickými rovnicemi nebudeme zabývat. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - matice -13- Řešením systému (1) nazýváme každou n-tici reálných čísel A,1?A,2 ,...,A,n , po jejichž dosazení do systému (1) přejdou všechny rovnice v platné rovnosti. Označme A = Vam l12 a21 a22 Vaml am2 lm2 lln l2n , A lmn J l12 lln l2n > V aml a dále x = ■mj lm2 b = b^ lln l2n a h a mn u m J nebo (\\ vxny vbmy Matici A nazýváme maticí systému (1), matici A rozšířenou maticí systému (1), vektor b nazýváme vektorem pravých stran . Rozšířenou matici také značíme (A|b). Systém (1) lze zřejmě zapsat ve tvaru Ax = b . Mluvíme pak o zápisu v maticové notaci Příklad 7. Xj +2x2 + 4x3 3x, = Systém 3xj +5x2 + 6x3 - 4x4 = 1 4xj +5x2 2x3 + 3x4 = 18 3XÍ+8X.+24X3-19X4 =-29 zapište v maticovou notaci. Napište též rozšířenou matici tohoto systému. Řešení: 4 -3^ f -2) Matice systému je A n 3 4 3 6 -2 V Rozšířená matice systému je A = ■4 3 8 24 -19 ^12 4 3 5 6 4 5-2 v3 8 24 , vektor pravých stran je b 1 18 29 J -3 -4 3 -19 -2> 1 18 -29, . Označme dále x 'O Vx4y Zápis daného systému v maticové notaci je Ax = b. Věta. Nechť Ax = b je systém n rovnic o n neznámých a nechť k matici A existuje inverzní matice A"1 . Pak má systém Ax = b právě jedno řešení, dané vztahem x = A_1b . Poznámky. 1. Podrobněji se budeme systémy rovnic zabývat na příštích tutoriálech. 2. Místo systém rovnic používáme též pojem soustava rovnic . KMMATA - Matematika A - řešené příklady - vektorové prostory________________-14- Lineární prostor. DSO str. 155-205 Základní pojmy. DSOstr.155-162 Definice. Neprázdná množina P se nazývá vektorovým prostorem, jestliže pro každé a,be P a každé a e R je definován součet a+be P a násobek oca e P tak, že pro všechna a,b,c,x,ye P , a,ße R platí: a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c Existuje prvek 0 g P tak, že pro všechna x g P platí x + 0 = x . Ke každému x g P existuje prvek (- x) e P tak, že platí x + (- x) = 0 . lx = x a • (ß • x) = (aß) • x (a + ß)-x = a-x + ß-x oc-(x + y) = a-x + a-y Potom množinu P s takto zavedenými operacemi součtu dvou prvků a násobku prvku reálným číslem nazýváme lineárním prostorem nebo též vektorovým prostorem a značíme jej P . Prvek 0 nazýváme nulovým prvkem prostoru P . Věta. Nechť n g N a nechť Rn je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Nechť (x1,x2,...,xn)e Rn , (y1,y2,...,yn)G Rn , a g R. Definujeme (1) (x1,x2,...,xj+(y1,y2,...,yj = (x1 +yi,x2 +y2,...,xn +yj (2) a-(x1,x2,...,xn) = (a-x1,a-x2,...,a-xn) . Množina Rn s těmito operacemi sčítání dvou prvků a násobení prvku reálným číslem je vektorový prostor.. Nazýváme jej aritmetickým vektorovým prostorem a značíme Vn . Poznámka. Ze středoškolské matematiky a fyziky je znám pojem volného vektoru. Uvažujeme-li prostor U3 volných vektorů ve třírozměrném prostoru, je zřejmé, že mezi prostory U3 a V3 existuje vzájemně jednoznačné přiřazení. Není proto nutno mezi U3 a V3 striktně rozlišovat. Definice. Nechť P je vektorový prostor. Podmnožinu QcP nazýváme vektorovým podprostorem O vektorového prostoru P , jestliže pro každé a,b g Q a každé a g R je (a + b) e Q a a • a g Q. Říkáme též, že vektorový podprostor je uzavřený vzhledem k operacím součtu a násobku reálným číslem. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - vektorové prostory________________-15- Lineární nezávislost a závislost vektorů. DSO str. 164 Definice. Nechť x1,x2,...,xn g P jsou vektory, c1,c2,...,cn g R jsou čísla. Potom vektor x = c1x1+c2x2+... + cnxn nazýváme lineární kombinací vektorů x1,x2,...,xn. Čísla c1,c2,...,cn jsou koeficienty lineární kombinace . Definice. Řekneme, že vektory xl,x2,..., xn g P jsou lineárně nezávislé , jestliže c1x1+c2x2+... + cnxn =0 ^ Cl =c2 =... = cn =0. Nejsou-li vektory x1,x2,...,xn lineárně nezávislé, říkáme, že jsou lineárně závislé. Poznámka. Z předchozí definice vyplývá, že vektory x1,x2,...,xn jsou lineárně závislé právě tehdy, když existují čísla q, c2,..., cn , z nicž je alespoň jedno různé od nuly tak, že platí c1x1+c2x2+... + cnxn =0. Příklad 8. Na základě definice lineární nezávislosti vektorů rozhodněte, zda jsou dané vektory lineárně nezávislé či závislé. a) u = (1,1,-1,2), v = (-4,1,1,3), w = (2,-3,1,-1), t = (1,1,1,1) b) u = (1,1,1,2), v = (2,3,4,5), w = (1,0,1,0), t = (0,3,4,4). Řešení: vektory u , v , w , t jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když vztah au + bv + cw + dt = 0 je splněn pouze pro a = b = c = d = 0. ad a) z předchozího vztahu dostáváme a.(l,l,-l,2) + b.(-4,l,l,3) + c.(2,-3,l,-l) + d.(l,l,l,l) = (0,0,0,0) a po rozepsání do souřadnic a-4b + 2c +d = 0 Později se seznámíme s různými metodami řešení a+ b-3c +d = 0 takových soustav rovnic. Nyní se spokojíme s tím -a+b+c+d = 0 že od druhé rovnice odečteme první, ke třetí rovnici 2a + 3b - c + d = 0 přičteme první a od čtvrté rovnice odečteme dvojnásobek první. Dostaneme a-4b + 2c +d = 0 druhou rovnici dělíme 5 a poté přičteme její 5b - 5c =0 trojnásobek ke třetí rovnici a odečteme její - 3b + 3c + 2d = 0 jedenáctinásobek od čtvrté rovnice. Obdržíme llb-5c- d = 0 a-4b + 2c +d = 0 b- c =0 2d = 0 odtud ihned plyne d = 0, c = 0, b = 0, a =0 6c - d = 0 Vektory u , v , w , t jsou lineárně nezávislé. Všimněme si ještě, že souřadnice vektorů u , v , w , t tvoří sloupcové vektory koeficientů u jednotlivých neznámých. KMMATA - Matematika A - řešené příklady - vektorové prostory__________________-16 - ad b) u = (1,1,1,2), v = (2,3,4,5), w = (1,0,1,0), t = (0,3,4,4). Řešení: stejně jako v případě a) položíme au + bv + cw + dt = 0 z tohoto vztahu dostáváme a. (1,1,1,2) + b. (2,3,4,5) + c. (1,0,1,0) + d. (0,3,4,4) , rozepsáním do složek a + 2b+ c =0 a + 3b + 3d = 0 a + 4b+ c + 4d = 0 2a + 5b + 4d = 0 a obdobně jako v případě a) dostáváme postupně a + 2b+ c =0 a+2b+ c =0 a + 2b+ c =0 b-c + 3d = 0 b-c + 3d = 0 b-c + 3d = 0 2b + 4d = 0 2c-2d = 0 c- d = 0 b-2c + 4d = 0 -c+d = 0 0 = 0 odtud plyne, že jednu neznámou můžeme volit libovolně d = r a ostatní neznámé spočítáme: c = r, b = -2r, a = 3r, kde re R např. pro r = 1 dostaneme 3u -2v + w + t = 0 Vektory u,v,w,t jsou lineárně závislé. Po probrání látky o hodnosti matice budeme mít k disposici mnohem efektivnější metodu k rozhodování o lineární nezávislosti či závislosti vektorů. Vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když hodnost matice, jejímiž řádky [respektive sloupci] jsou dané vektory je rovna počtu těchto vektorů. KMMATA - Matematika A - řešené příklady -hodnost matice -17- Hodnost matice. DSO str. 176-184 Elementární řádkové transformace, které nemění hodnost matice jsou: libovolná změna pořadí řádků násobení kteréhokoliv řádku libovolným číslem různým od nuly přičtení libovolného násobku kteréhokoliv řádku k libovolnému nenulovému násobku kteréhokoliv jiného řádku - vypuštění nulového řádku Hodnost matice se nemění jejím transponováním. Elementárními transformacemi lze matici převést na schodovitý tvar. Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 9. Určete řádkovou hodnost matice X Řešení: Jedná se o pnklad 4.5., DSO str.179 kde napíšeme pro větší přehlednost jenom výsledky jednotlivých úprav. 3^ í° 1 3 2 31 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 [o 1 3 2 4J x = ÍO 1 3 2 3^ ^0132 0 2 6 4 1 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 1 0 13 2 4, ,0000 2 1 f0 1 0 o 3 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3^ 2 1 -5 f0 1 0 0 3 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3^ 2 1 0 h(X) = 3 Příklad 10. Určete hodnost matice a) A= Řešení: (2 -1 3 10 a)A= 4 12 n 3 0 -7 0 0 0 0 (2 -1 1 3 1 10 4 12 3 1 -1 1 -6 1 -4 3 5^ 4 6 14 J 3 1 -1 1 -6 1 -4 3 -1 1 5 -1 -3 0 -1 -1 0 -1 -2 n 2 1 4 j 4^ n o o vo 3 -1 1 -13 15 10 -6 1 6 12 -4 3 14 3-11 4^ -7 5 -1 -3 0 0-1-1 0 0 0-1, 5^ 4 6 14y b)B = 4^ íl 3 7 0 -1 5 -5 0 h(A) = 4 fo 4 10 1 4^ -3 2 -2 4 10 O 8 18 7 18 40 17 7 17 3 KMMATA - Matematika A - řešené příklady -hodnost matice -18- b)B = f O 4 10 lWl 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 J 1 17 O 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 3Wl 7 17 3 ^ O 4 10 1 O -20 -50 -5 O -52 -130 -13 J (\ 7 17 3^ O 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 h(B) = 2 Příklad 11. Rozhodněte, zda jsou dané vektory lineárně nezávislé či závislé. a) u = (1,1,-1,2), v = (-4,1,1,3), w = (2,-3,1,-1), t = (1,1,1,1) b) u = (1,1,1,2), v = (2,3,4,5), w = (1,0,1,0), t = (0,3,4,4). Řešení: Jedná se o Příklad 8 ze strany 15, který nyní budeme řešit pomocí hodnosti matice. Vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když hodnost matice, jejímiž řádky [respektive sloupci] jsou dané vektory je rovna počtu těchto vektorů. a) vytvoříme matici A a převedeme ji na schodovitý tvar f í 1 -1 2 Wl 1 -1 2^ fí 1 -1 A = -4 1 2 -3 1 1 1 3 1 -1 1 1 J 0 5 0 -5 0 0 -3 11 3 -5 2 -1 J i\ n 0 5 0 0 0 0 0 2 11 6 1 1 -1 2 ) 0 5 -3 11 0 0 2 -1 0 0 0 6 ) h (A) = 4 a vektory u , v ,w , t jsou lineárně nezávislé b) vytvoříme matici B a převedeme ji na schodovitý tvar B '1 1 1 2> ŕl 1 1 2^ a i i 2^ a l l 2 1 2 3 4 5 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 10 10 0 -1 0 -2 0 0 2 -1 0 0 2 -1 v0 3 4 Aj v0 3 4 4y vo 0 -2 i; v0 0 0 o, h(B = 3) a vektory u , v ,w , t jsou lineárně závislé KMMATA - Matematika A - řešené příklady -19- Báze a dimenze vektorového prostoru. DSO str. 184-188 Příklad 12. Rozhodněte, zda vektory u = (1,0,1,1), v = (2,1,-1,-2), w = (0,-1,2,3), t = (3,0,2,2) tvoří bázi ve V4 . Řešení: ve V4 tvoří bázi každé 4 lineárně nezávislé vektory. Stačí tedy vyšetřit lineární nezávislost daných vektorů, vytvoříme matici A a převedeme ji na schodovitý tvar (\ o 1 1 Wi o 1 1 Ui o 1 1 Wi o 1 \\ 1 -1 -2 -12 3 3 0 J 1 -3 -4 -12 3 v0 0 -1 -1, 0 1-3-4 0 0-1-1 v0 0 -1 -1, 0 1-3-4 0 0-1-1 0 0 0 0 J h (A) = 3, vektory jsou lineárně závislé, netvoří tedy bázi. Generují však podprostor WcV4 ,dimW = 3. Příklad 13. Ve vektorovém prostoru V4Je podprostor W vytvořen jako lineární obal vektorů u = (1,0,0,0), v = (1,1,0,1), w = (2,-1,0,0), t = (1,0,0,-1). Určete jeho bázi a dimenzi. Rozhodněte, zda vektory a = (1,-3,0,-5) a b = (0,0,1,1) patří do pod-prostoru W. Řešení: nejprve zjistíme, zda vektory u , v , w , t jsou lineárně závislé či nezávislé A = 1 0 0 0^ r\ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 -1 0 0 0 -1 0 1 0 0 -h ,0 0 0 o) 1 o -1 (\ 0 0 0) 0 1 o 0 0 0 0 0 0 íl o o Ol 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0 Oj h (A) = 3, dim W = 3 a bázi W tvoří např. vektory u , v , w nebo vektory (1,0,0,0), (0,1,0,1),(0,0,0,1). Vektor a g W [respektive b g W ] právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů báze, tedy když vektory báze a vektor a [respektive b ] jsou lineárně závislé. f\ 0 0 0^ r\ 0 0 0^ r\ 0 0 0^ r\ 0 0 0^ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 1 2 -1 0 0 0 -1 0 0 000 1 0 0 0 1 vl -3 0 "5, v0 -3 0 -h vo 0 0 -2, vo 0 0 oy vektory u , v , w , a jsou lineárně závislé, tedy a g W. (\ 0 0 Ol (\ 0 0 Qi) B = 0 10 1 0 0 0 1 0 0 11 J 0 10 1 0 0 11 0 0 0 1 h(B) = 4, J h (A) = 3 vektory (1,0,0,0), (0,1,0,1),(0,0,0,1), b jsou lineárně nezávislé, tedy be W. KMMATA - Matematika A - řešené příklady -20- Determinanty. DSO str.208-238 Sarrusovo pravidlo platí pro výpočet determinantu matice řádu 3. Jeho použití pro determinanty řádu vyššího než 3 je hrubá chyba. — ä11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 ^13^22^31 ^11^23^32 ^12^21^33 vhodná pomůcka pro výpočet podle Sarrusova pravidla je napsat vedle determinantu znovu 1. a 2. sloupec: au a12 ai3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 >- \ \/ 0/ y 23 y^"^ "22 i31 u32 u33 l31 "32 bez nároku na striktní matematické vyjadřování lze říct,že sečteme součiny prvků v hlavní diagonále a v diagonálách s ní rovnoběžných a od tohoto součtu odečteme součiny prvků ve vedlejší diagonále a v diagonálách s ní rovnoběžných Příklad 14. Spočtěte užitím Sarrusova pravidla D = (Al, je-li A= Řešení: f 1 0 V"1 2 5 3 3^ 2 1 1 2 3 0 5 2 -1 3 1 1 2 0 5a počítáme -1 3 D = 1.5.1 + 2.2.(-l) + 3.0.3 - 3.5.(-l) - 1.2.3 - 2.0.1 = 5 - 4 + 15 -6 = 10 Uvažujme čtvercovou matici A. Pro její determinant platí: determinant z horní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků v její hlavní diagonále má-li matice A dva řádky [ respektive sloupce] stejné, potom |A| = 0 - jestliže v některém řádku [respektive sloupci] matice jsou samé nuly, pak |A| = 0 - jestliže jeden řádek [respektive jeden sloupec] matice A vynásobíme číslem a, potom determinant takto vzniklé matice je roven a. | A| vzájemnou výměnou dvou různých řádků [respektive sloupců] matice A se hodnota jejího determinantu změní v opačnou hodnotu - jestliže k libovolnému řádku [respektive sloupci] přičteme a-násobek jiného řádku [respektive sloupce], hodnota determinantu se nezmění transponováním matice se hodnota determinantu nemění Užitím výše uvedených úprav buďto převedeme matici na horní trojúhelníkový tvar, nebo upravíme matici tak, aby některý sloupec [respektive řádek] obsahoval jediný nenulový prvek a rozvojem determinantu podle tohoto sloupce [respektive řádku] snížíme řád determinantu. KMMATA - Matematika A - řešené příklady -21- Příklad 15. Spočtěte determinant matice A = Řešení: Jedná se o příklad 5.12., DSO str. 232. Ve skriptech je determinant spočten převedením matice na horní trojúhelníkový tvar.Zde ho spočteme postupným snižováním jeho řádu. '1 2 4 °1 2 1 4 5 8 2 4 3 .1 2 0 4J 12 4 0 2 14 5 8 2 4 3 12 0 4 = (-l)1+2.(-4). 12 4 0 0 -3 -4 5 0 -14 -28 3 0 0-4 4 32 (-1) .1 -3 -4 -14 -28 0 -4 5 3 ■3 7 3 4 5 0 -32 0 -1 7 3 -1 4.(-7 + 96) = 356 Příklad 16. Vypočtěte hodnotu determinantu 2 6 -3 -14 1 5 1 4 2 7 11 8 ■2 4 1 3 Řešení: 2 6 4 3 -14 2 1 5 7 1 11 8 -2 4 1 3 1 ■3 2 1 5 7 ■14 2 6 4 11 8 1 f 4 -2 3 v 7 23 n 0 -4 -10 -4 -(-ť+1)l 1 23 7 -4 -10 -4 6 1 2 1 23 7 0 82 24 0 -137 -40 =-(-l)1+1.l 82 ■137 24 ■40 = -[82.(-40) - 24.C-137)] = 3280-3288 = -8 Příklad 17. Vypočtěte determinant : 35 59 71 26 35 59 71 52 42 70 77 54 43 68 72 52 29 49 65 50 = -2. -6 1 8 35 -10 1 9 59 = 2. -6 0 1 71 42 70 77 27 43 68 72 26 29 49 65 25 = 2. 35 7 8 59 11 9 71 6 1 26 0 -1 0 0 26 = -2. -6 1 8 35 -4 0 1 24 -6 -10 -6 6 -1 = -2. -6 7 8 35 0 1 71 0 0 26 = -2.(-ir+i.i -4 -6 1 1 24 71 = 2.(-l) .1. -2 -1 47 26 = -2.(-52 + 47) = 10 -10 11 9 59 -1 0 26 -6 6 1 71 -1 1 0 26 = 2. -4 -2 1 0 24 47 KMMATA - Matematika A — řešené příklady -22- Příklad 18. Vypočtěte determinant 0 7 0 5 5 0 0 2 1 8 1 10 2 0 -1 6 3 -4 3 0 0 7 0 -2 -2 1 8 0 5 5 0 0 2 0 7 3 0 2 0 -1 6 3 -4 1 10 -2 7 0 -2 0 8 5 ■40 2 7 3 0 -2 -2 0 7 -16 6 10 3 -4 -2 1 10 0 -(-1)1+1.1 = 2. 7 1 36 0 -19 0 19 0 -2(-l)1+3.l 5 -2 -40 -16 2 3 7 10 83 -34 - 20 -23 33 1 0 5 -2 7 -4 -85 0 6 -4 10 7 10 -2 0 7 1 -40 -16 2 3 5 -2 0 0 6 10 = 2. 4 -2 0 7 7 1 ■20 -8 2 3 5 -2 = 2-(-l)1+2-l' 36 ■19 19 83 ■34 20 = -2. -2 -19 19 15 34 20 10 0 3 5 -4 -2 0 7 = -2. -2 -23 33 15 1 -4 0 -85 0 -2[-23.(-85) - (-4).33] = -2.(1955 +132) = -2.2087 = -4174 Cramerovo pravidlo. DSO str.240 Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a x je hledaný n-rozměrný sloupcový vektor. Označme Bi matici, která vznikne z matice A tak, že její i-tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran b. Potom systém lineárních rovnic A.x = b má právě jedno řešení x a platí X; B; pro i = 1,2,...,n. 2xj -2x2 + x3 + x4 = 6 0 2xj +3x2+ x3 + x4 Příklad 19 . Reste systém rovnic užitím Cramerova pravidla. 5xj +6x2 +3x3 +2x4 =3 Řešení: 2 -2 1 1 2 3 1 1 5 6 3 2 1 9 4 2 2 0 1 -2 1 1 5 0 0 10 1 0 13 2 0 7xí +9x2 +4x3 +2x4 =3 (-1)1+4.1 0 5 0 1 10 1 3 13 2 -(-l)1+2.5 1 1 3 2 5.(2-3) = -5 KMMATA - Matematika A - řešené příklady -23- J_ IÄÍ <-ir+M. 6-211 O 3 11 3 6 3 2 3 9 4 2 -6 5 9 -7 6-211 -6 5 0 0 -9 10 1 O -9 13 2 O 3 5 5 -1.(42-45) 5 --•(-l)1+4-l- ■6 5 0 9 10 1 9 13 2 -6 5 0 -9 10 1 9 -7 0 X3 = 2 -2 5 7 ■(-1)2+1-1- 2 6 1 3 O 1 6 3 2 9 3 2 5 -6 17 18 6 5 -2 6 1 5-6 0 10 -9 O 13 -9 O 5 -1 ■17 ■(-1)1+4.1. 0 5- 1 10 -3 13 - --•(15-17 5 12 T 0 5 -6 1 10 -9 0 -17 18 J_ 1ÄÍ 2 1 6 3 1 0 1 6 3 3 5 9 4 3 2 6 1 3 1 0 6 3 3 3 1 0 = O , neboť druhý a čtvrtý řádek jsou stejné. Celkem x, =— , x, =—, x, =—,x,=0 . 5 5 5 3x-y+ z = 10 Příklad 20. Řešte systém rovnic 5x + y + 2z = 29 užitím Cramerova pravidla. - 4x + y + 2z = 2 Řešení: x = y = - j_ 1ÄÍ -i i 1 2 1 2 10 -1 1 1 10 29 2 -1 3 8 -1 -1 1 O 3 O 3 (-ir -(-i) 3 3 29 2 3 5 -4 3 5 -4 2 10 1 29 1 2 27 J_ '27* J_ "27 10 -1 1 39 O 3 12 O 3 3 10 -1 9 0 -10 -18 O 10 -1 1 8 O 39 -1 O 12 27 8 -1 (-l)1+2-(-l) 24 + 3 = 27 1+3 27 27 (-I)1"-! 39 : 12 : -l -10 1 13 1 =----3-3- 27 4 1 = 1.9 = 3 3 9 ■18 9_ 27 -1 -10 = -•12 = 4 3 (-1) 1+2 8 39 3 8 13 (-!)• -1 12 27 -1 4 45 9 KMMATA - Matematika A - řešené příklady -24- Inverzní matice. DSO str.244 NechťA=(aiJ) pro i= 1,2,...,n ,j = l,2,..n je regulární čtvercová matice. Potom k ní existuje právě jedna inverzní matice A"1 = B = (bt ) , kde i = 1,2,... ,n , j = 1,2,... ,n a pro její prvky platí bi, = (- l)1+J • j.i Příklad 21. Určete matici inverzní k matici A Řešení: 5 3 9 |A| = 3 1 2 3 2 4 -4 0 3 3 1 2 -3 0 0 (-l)3+1(-3) (5 3 9] 3 1 2 b 2 V 0 3 1 2 -3.(-3) = 9 Au = A - 2.1 _ A - 3,1 _ 1 2 2 4 3 9 2 4 3 9 1 2 = 0 = -6 = -3 A - 1,2 _ A - A2,2 _ A - A3,2 _ 3 2 3 4 5 9 3 4 5 9 3 2 = 6 = -7 = -17 A - 1,3 _ A - A2,3 _ A - A3,3 _ = 3 5 3 3 2 5 3 3 1 = 1 = -4 f 0 6 -6 -7 3 -1 -3^1 17 -4y Příklad 22. Určete matici inverzní k matici A = Řešení: ^2 1 0 °1 3 2 0 0 1 1 3 4 .2 -1 2 3J A = 1 0 0 2 0 0 1 3 4 -1 2 3 0 -1 -1 4 1 0 0 2 0 0 1 3 4 1 2 3 (-1)1+2.1. -10 0 3 4 -13 4 - 2 3 4 2 3 = 1 KMMATA - Matematika A - řešené příklady -25- ii,i Ai o — ll,3 2 1 -1 3 1 0 O 3 4 2 3 2 O 1 4 2- 3 4 2 3 3 0 0 3 4 A = 1 3 4 = 3- 2 2 3 2 3 l2,l Ato — l2,3 2-13 1 O O 1 3 4 -12 3 2 1 2 -1 7 0 6 3 0 7 2-13 -31 A - 1.4 2 O 1 3 -1 2 O 4 O 5 -1 2 = 23 1 O 1 4 O 3 O 7 -1 3 2 0 0 3 4 A = 1 3 4 = ?.• 2 2 3 2 3 -19 A - 2 1 O 1 1 3 2-12 4 O 3 O 2-12 = 14 1 0 0 0 0 A = 2 0 0 = 1 -12 3 2 3 2 0 0 0 0 A = 3 0 0 = ?.• 2 2 3 2 3 Aoo --- l3,3 2 1 0 ?, 1 2 1 0 ?, 1 3 2 0 = 3. 3 2 = 3 , A -3>4 _ 3 2 0 = 2. 3 2 2 -1 3 2 -1 2 = 2 1 0 0 0 0 A = 2 0 0 = 1 1 3 4 3 4 2 0 0 0 0 A = 3 0 0 = ?.• 1 3 4 3 4 A, o --- M,3 2 1 0 ?, 1 2 1 0 ?, 1 3 2 0 = 4. 3 2 = 4 , A -A4,4 _ 3 2 0 = 3. 3 2 1 1 4 1 1 3 = 3 A-: = 2 -3 31 v-23 -1 2 ■19 14 0 0 3 -2 0^ 0 ■4 3 KMMATA - Matematika A - řešené příklady -26- 2x + z + z = 4 Příklad 23. Pomocí inverzní matice řešte systém rovnic x + 2y + z = 1 x + y + 2z = 3 Řešení: A = (2 1 1> '4> 'Xl 1 2 1 , b = 1 , x = y li 1 h v3y VZJ A.x = b A_1-A-x = A_1-b x = A_1-b Nejprve najdeme matici inverzní k matici A. 2 1 1 A | = 1 2 1 1 1 2 = 2 1 1 -1 -3 1 1 Ü - 1 -1 3 -1 Ü = 4 i.i 2 1 1 2 3 A 1 1 1 2 1 A 1 2 1 1 -1 l2,l 1 1 1 2 1 , A 2,2 2 1 1 2 l2,3 2 1 1 1 A - 3,1 _ 1 1 2 1 = -1 A - A3,2 _ 2 1 1 1 = 1 A - r*3,3 _ 2 1 1 2 = 3 A"1- r 3 -i -i) -1 3 -1 -1 -1 3y x = A-1-b=--4 ' 3 -1 _11 í4^ ' 21 -1 3 -1 1 = -1 v-1 -1 3J U v J KMMATA - Matematika A - řešené příklady -27- Systém lineárních rovnic. DSO str.250-264. Nechť jsou dány systém lineárních rovic Ax = b a Cx=d. Řekneme, že tyto dva systémy jsou ekvivalentní, jestliže každé řešení systému prvního systému je i řešením druhého systému a naopak také každé řešení druhého systému je řešením prvního systému. Matici A nazýváme nazýváme maticí systému, matici (A|b) rozšířenou maticí systému. Podle Frobeniovy věty má systém řešení právě tehdy když hodnost matice systému a hodnost rozšířené matice jsou si rovny. Je-li h společná hodnota obou hodností a n počet neznámých, potom platí: Je-li h = n , má systém právě jedno řešení, je-li h < n, má systém nekonečně mnoho řešení, závislých na (n-h) parametrech. Jestliže matice (C|d) vznikne z matice (A|b) elementárními řádkovými transformacemi, potom systémy Ax = b a Cx=d jsou ekvivalentní. Příklad 24. Převedením rozšířené matice systému na schodovitý tvar řešte systém rovnic: 3xt + x2 2x3 + x4 x5=l 2x, x2 +7x3 3x4 + 5x5 = 2 Xj + 3x2 - 2x3 +5x4 -7x5=3 3xj-2x2 +7x3 -5x4 -8x5=3 Řešení: napíšeme rozšířenou matici systému a elementárními řádkovými transformacemi ji převedeme na horní schodovitý tvar. Pokud to lze, do prvního řádku napíšeme koeficienty rovnice, která má u neznámé Xj koeficient 1 . 3 2 3 3 -2 1 -2 -1 7 -3 -2 7 -5 -2 5 -7 -1 60 -6 90 -9 (\ 3 0 -1 0 0 vo o 5 -7 1 -1 5 8 -7 1 12 18 3^ (\ 1 2 J -4 24 38 3-2 5-7 0-8 4 -14 20 0 -7 11 -13 19 0 -11 13 -20 29 3-2 5-7 0 -1 -7 -1 1 0 0 10 -1 2 0 0 90 -9 18 3^ (\ 3^ r -8 -4 -«; v 3^ -4 4 38y 1 0 0 0 (\ o o o 3 -1 -7 -11 3 -1 0 0 -2 -7 11 13 -2 -7 10 -1 0 0 5 -1 -13 -20 5 -7 -1 1 2 0 -7 1 19 29 3^ -4 -4 -6 3^ ■4 4 2 y h (A) = 3 , h (A|b) = 4, tedy systém rovnic nemá řešeni KMMATA - Matematika A - řešené příklady -28- Příklad 25. Převedením rozšířené matice systému na schodovitý tvar řešte systém rovnic: 3xj + 2x2 x3 + x4 + x5= 0 2x, + x3 + 2x4 2x5 = A. i Á* A. o ^A. o " A. a 4xj - 2x2 - 2x3 + 3x4 - x, + 2x- x3 + -2 16 -18 x5= -4 Řešení: ( 1 3 -2 4 1 '1 0 0 0 o 1 o o o o -2 2 -1 -2 2 -2 -1 8 6 4 -2 -1 0 2 -1 1 -2 -1 2 1 -7 -10 -3 2 1 1 -1 1 0 0 0 o 2 3 1 -1 0 4 7 2 -1 0 0 4 -2 23 -13 -2 0 1 1 -2 -1 -1 1 0 -2 -5 -2 1 16^ f 0 -2 ~ -18 "4; v 16^ f 6 -48 ~ -82 -20, v 16^ f 6 0 ~ -46 4V v -2 8 -5 6 -4 -2 -1 0 0 0 -2 2 -1 1 0 1 2 -7 5 -10 -3 2 1 1 -4 1 -1 4 0 7 2 -1 0 4 7 2 -1 0 4 1 -2 0 -5 -2 1 0 -2 -5 -2 16> -48 30 -82 -20y 16> 6 0 -46 4V 0 0-1 0 0 0 1 161 0 6 2 0 0 2 3 °J Tato horní trojúhelníková matice je maticí systému, který je ekvivalentní se zadaným systémem. Její hodnost je 5, rozšířená matice systému má také hodnost 5 a počet neznámých je rovněž 5. Systém má tedy právě jedno řešení. Napišme takto získaný ekvivalentní systém rovnic. 2x2 + 2x3 - x4 + X5 = 16 —x2 + x3 = 6 x3 + 4x4 - 2x5 = 0 -x4 = 2 - 13x5 = 0 ze kterého snadno vypočítáme x5=0,x4=-2,x3 a přepsáno vektorově x = (2,2,8,-2,0) :8 , x, Poznamenejme, že tato metoda řešení systému n lineárních rovnic o n neznámých, který má regulární matici převedením matice systému na horní trojúhelníkovou matici se nazývá Gaussova eliminační metoda, (viz DSO 264) KMMATA - Matematika A - řešené příklady -29- Pokud matici systému převedeme na diagonální matici, jedná se o Jordánovu eliminační metodu (viz DSO 266). Příklad 26. Předchozí příklad nyní vyřešíme Jordánovou eliminační metodou. Řešení: vyjdeme z horní trojúhelníkové matice, získané při řešení předchozího příkladu a budeme ji dále upravovat. 0 0 0 o o o o -2 2 -1 1 0 1 0 0 o o -2 2 -1 1 0 1 o o o o -1 o 4 -1 0 o o o o o o -1 o 0 1 1 16^ f 0 6 -2 0 ~ 0 2 -13 °y v -2 -1 0 14> f 6 8 ~ 2 °y v 0 o o o -2 0 -1 0 0 1 0 0 o o -1 o 4 -1 0 o o o o o o -1 o 0 1 1 16^ f 0 6 -2 0 ~ 0 2 1 °y v -2 -1 0 -i> f -2 8 ~ 2 °y v 0 o o o o o -1 o 0 1 o o o o -1 o o o 4 0 -1 o 0 1 o o o o o o -1 o 0 1 16> 6 0 2 0 J 2^ -2 8 2 Tato rozšířená matice je maticí systému Xj =2 -x2 =-2 = 8 -x4 = 2 x5 = 0 ze kterého ihned dostáváme vektor řešení x = (2,2,8,-2,0) Příklad 27. Převedením rozšířené matice systému na schodovitý tvar řešte systém rovnic: 7 3xj + 5x2 + 6x3 - 4x4 Xj + 2x2 + 4x3 3x4 = 2 4xj + 5x2 2x3 + 3x4 =11 3xt + 8x2 + 24x3 -19x4 Řešení: (\ 2 3 8 4 -3 2^ f 6 -4 7 -2 3 11 24 -19 4V v 2 -1 -3 2 4 -6 -18 -3 5 15 12 -10 1 3 -2 2^ n o J 2 4 1 6 0 0 0 0 0 0 -3 21 -5 -1 0 0 0 °J h(A) = h(A|b) = 2, počet neznámých n = 4 Systém má nekonečně mnoho řešení, závislých na 4-2 = 2 parametrech. Budeme tedy řešit následující ekvivalentní systém rovnic: KMMATA - Matematika A - řešené příklady -30- Xj + 2x2 + 4x3 - 3x4 x2 + 6x3 5x4 =-1 Neznámé x3 a x4 volíme za parametry, položíme tedy Xq — Ci ä x, — Co ä dosazením do systému rovnic dostaneme x1+2x2 = 2-40^+3c2 x2 = -1-óCj +5c2 Odtud vypočteme xx =2-4cj +3c2 +2 + 12cj -10c2 = 4 + 8cj -7c2 tedy celkem Xj = 4+ 8Cj - 7c2 x2 = -1- 6cj + 5c2 Xq — Ci , kde C[,c2g R a ve vektorové notaci x= (4,-1,0,0)T + Cl (8,-6,1,0)T + c2 (-7,5,0,1 )T Homogenní systém lineárních rovnic. Pokud vektor pravých stran systému lineárních rovnic je nulový, mluvíme o homogenním systému. Je to tedy systém Ax = 0 . Hodnost jeho matice systému a rozšířené matice jsou vždy stejné, homogenní systém má proto vždy řešení. Při převodu matice systému na schodovitý tvar nepíšeme vektor pravých stran, protože přidáním sloupce nul k matici se její hodnost nemění. rl -4 5 3^ Příklad 28. Řešte systém rovnic Ax = 0 , kde A = 3 -6 4 2 v4 -8 17 11, Řešení: '2-4 5 3^ r-\ 2 1 1> r-\ 2 1 0 r-\ 2 1 1 3-642 ~ 3-642 ~ 0 0 7 5 ~ 0 0 7 5 v4 -8 17 11, v 4 -8 17 11, v 0 0 21 15, v 0 0 0 0 Za parametry volí] tne - neznámé x4 = 7Cj a X2 = = C2 í i odtud sp< )čteme x3 = -5cj axj= 2c! + 2c2, ve vektorové notaci: x=Cl(2,0,-5,7)T+c2(2,1,0,0)T KMMATA - Matematika A - řešené příklady -31- Jordanova metoda výpočtu inverzní matice DSO str.268 Nechť A je regulární matice. Matici A převedeme elementárními řádkovými úpravami na jednotkovou matici E. Tytéž úpravy převedou jednotkovou matici E na matici A"1. Symbolicky zapsáno: (a|e) ~... ~ (eIa-1) . Příklad 29. Jordánovou metodou najděte matici inverzní k matici A '1 2 3 41 2 3 1 2 1 1 1 -1 .1 0 -2 -6 Řešení: (\ 2 2 3 1 1 3 1 1 10-2-6 (\ 0 0 v° (\ 1 0 1 o o vo o (\ 1 0 1 1 1 1 -1 ■1 -3 1 -1 2 5 4 5 1 -1 2 5 -1 -0 10 0 0^ 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 o 1 o 1 1 2 3 1 3 1 1 0^ 1 0 10-2-6 ( 0 1-20 -3 1 2 ■1 0 0 0 o 1 o ■1 1 1 o] ■1 o 1 1 1 -1 0 1 2 5 0 0 -3 -1 0 0 -1 0 10-21 ■11-10 v (\ 1 J 0 1 0 0-1 0 0 10^ 10 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 o 1 o -1 1 1 o 0 o 1 o 1 0^ -1 o -1 o -2 1 1 -1 2 5 0 0 0-1 0 0 0 1 o 0 1 o o o o 0 0 0 0 1 0 0 -1 4 19 1 -4 22 -17 1 -4 -1 -4 5 24 0 -2 1 5 0 0 ^ n i 15 1 6 5 0 1 26 17 20 -13 -2 1 5 -3 j 0 1 0 o 0 10 0 0 0-10 0 0 0-1 10 0 0 0 10 0 0 0 10 vo 0 0 1 1 0 -2 4 1 5 5 -17 1 -4 22 -17 -1 J 0^ 0 1 3y -1 -6 5 20 0 -2 1 5 6 5 0 4^ ■13 1 4 -1 26 171 20 -13 2 -1 -5 V A"1 ( 22 -17 -1 4 -6 5 0 -1 26 20 2 -5 17^ -13 -1 3, KMMATA - Matematika A - řešené příklady -32- (3 1-2^ Příklad 30. Jordánovou metodou najděte matici inverzní k matici A = 2 -1 Řešení: ^3 1 -2 2 -1 1 0 0^ í 0 1 0 ~ 0 0 \j v -1 -1 -3 1 -1 0^ í 4 2 1 0 1 0 ~ 3 -1 5 0 0 1, v -1 -1 -3 0 -2 -11 0 -4 -4 1 -1 0^ 4-3 0 3 -3 1, M -1 -3 0 -2 -11 0 0 18 f 1 -1 0^ 4 -3 0 ~ -5 3 !, v 1 -1 0 0 -2 0 0 0 18 2 2 0 0 -2 0 0 0 18 -1/ 17/ 1 -1/ '18 -5 21/ 11/ 718 718 3 1 f 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v 11/ -3/ /36 /36 -17/ 21/ '36 736 36 11/ 18 18 36 '18 A"1 36 ( 11 -3 5^ -17 21 -11 -10 6 2 17/ 18 -5 -1/ 1/^ /2 /6 21/ 11/ /l 8 /l 8 3 1 2 0 0 0 -2 0 0 0 18 11/ '18 17/ '18 -5 21/ '18 3 J 718 11/ '18 1 / Vlastní čísla a vlastní vektory matice. DSO str.284 Nechť A je čtvercová matice řádu n a M množina všech sloupcových vektorů o n složkách. Je-li x g M, je též Ax g M. Říkáme, že matice A zobrazuje množinu M do sebe. Naskýtá se otázka, zda existuje vektor x g M, který se maticí A zobrazí na vektor Xx pro nějaké Á g R , tedy zda platí Ax = Ax. Číslo X , vyhovující této podmínce se nazývá vlastním číslem matice A a vektor x pro který platí Ax = Ax vlastním vektorem,příslušným k vlastnímu číslu X. Vztah Ax = Ax upravíme na tvar (A - AE)x = 0 . Tento homogenní systém rovnic má nenulové řešení právě když je jeho determinant roven 0. KMMATA - Matematika A - řešené príklady -33- Rovnice det(A - AE) = 0 , kde A je obecně komplexní proměnná , se nazývá charakteristickou rovnicí matice A . Číslo Aje vlastním číslem matice A, právě když je kořenem charakteristické rovnice. Každý vektor x vyhovující systému lineárních rovnic (A - Ae)x = 0 je vlastním vektorem matice A, příslušným k vlastnímu číslu X . Příklad 31. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A = Řešení: charakteristická rovnice je r o -i 2 3 3^ 8 6 -14 -10 -A 3 -1 8-A 2 -14 -A 3 -1 8-A 2 -14 3 6 ■10-A 3 6 ■10-A = 0 .Výpočtem determinantu dostáváme: -1 8-A -A 3 2 -14 6 3 ■10-A 8-A 6 A2-8A + 3 3-6A 2-2A 2-A A2-8A + 3 3-6A 2-2A 2-A (a2 -8A + 3)(2-A)-(3-6A)(2-2A) =-A3 +8A2 -3A + 2A2 -16A + 6-12A2 +6A + 12A-6 = ~=-A3-2A2-A = -A(a + 1)2 Řešením rovnice -a(a + 1) =0 dostáváme vlastní číslaXx =0 a A2 =-1. Nyní vypočítáme jim odpovídající vlastní vektory. Pro Aj = 0 dostáváme homogenní systém rovnic o matici ( 0 3 3W-1 8 6^ f-\ 8 6^ f-\ 8 6^ ■1 8 2 -14 -10y systém rovnic je -Xj +8x2 +6x3= 0 0 3 3 2 -14 -10y 0 1 1 0 2 2j 0 1 1 0 0 Oj příslušný ekvivalentní x2 + x3 zde volíme x3 =cx a vypočteme x2 =-cx , x: =-8Cj +6Cj =-2cj Vlastnímu číslu Xx = 0 odpovídají vlastní vektory cx (- 2,-l,l) Pro A2 = -1 dostáváme homogenní systém rovnic o matici T 1 3 3] (\ 3 í\ (\ 3 3\ (\ 3 3\ -1 2 9 14 12 20 9 ■15 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 0 0 příslušný ekvivalentní system rovnice je x, +3xt +3xo = 0 4x2 +3x3 0 zde volíme x3 = 4c2 a vypočteme x2 = -3c2 a Xj =9c2 -12c2 =-3c. Vlastnímu číslu A2 =-1 odpovídají vlastní vektory c2(-3,-3,4) . KMMATA - Matematika A - řešené příklady -34- Příklad 32. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A = Řešení: charakteristická rovnice je 1-A, 2 3 4-A, ~ A2-4A-?i + 4-6 = 0 X2-5X-2 = 0 íl 2) v3 4y . 5±V25 + 8 5^VŠ3 1,2 2 2 2 Pro A,, = —H-----dostáváme homogenní systém rovnic 2 2 3 VŠ3^ 2 2 v z z y + 2x2 =0 3xj + 3 VŠ3 2 2 vz z y x2 = 0 první rovnici násobíme výrazem 3 VŠ3 2 2 vz z y a dos tan erne ------------Xj +(3-v33)x2 =0 ,tedy 6xj +(3-v33jx2 =0,což je dvojnásobek druhé rovnice, volíme Xj = (3 — V33jej a vypočteme odtud x2 = -6cj Pro A,2 =----------dostáváme homogenní systém rovnic ( \ 3 a/33 2 2 v z z y + 2x, =0 r 3xj + N 3 V33 2 2 vz z y r x2 = 0 první rovnici násobíme výrazem N 3 V33 2 2 vz z y a dos tan erne ------1-----Xj +(3 + V33)x2 =0 tedy 6xj+(3 +v33jx2 =0,což je dvojnásobek druhé rovnice, volíme Xj = (3 + V33 je2 a vypočteme odtud x2 = -6c 2 Vlastnímu číslu A,, 5 a/33 odpovídají vlastní vektory ^(3-733,-6) , c rvi í __ \t Vlastnímu číslu X2 =----------odpovídají vlastní vektory c2(3 + V33,-6J . 2 2 5_VŠ 2 2 KMMATA - Matematika A - řešené příklady________________________________-35- Poznámka k systémům lineárních rovnice. Nechť je dán systém m lineárních rovnic o n neznámých (S) Ax =b . S tímto systémem uvažujme i homogenní systém (S*) Ax = 0 . Každé řešení v systému (S) lze zapsat ve tvaru v=p+u , kde p je libovolné řešení systému (S), tzv. partikulární řešení a u je obecné řešení přidruženého systému (S*). Vraťme se k příkladu 27na str. 29, to je k příkladu Převedením rozšířené matice systému na schodovitý tvar řešte systém rovnic: 3xj + 5x2 + 6x3 - 4x4 = 7 Xj + 2x2 + 4x3 - 3x4 = 2 4xj + 5x2 - 2x3 + 3x4 =11 3xt + 8x2 + 24x3 -19x4 = 4 Tento příklad má řešení x=(4,-1,0,0)T + Cl (8,-6,1,0)T + c2 (-7,5,0,1 )T vektor p = (4,-l,0,0) je partikulární řešení nehomogenního systému, každý z vektorů ux = (8,-6,1,0) a u2 =(-7,5,0,1)T je řešením přidruženého homogenního systému a vektor u = cx (8,-6,1,0) +c2 (-7,5,0,1) je obecné řešení přidruženého systému. Stabilita řešení systémů lineárních rovnic. Nechť je dán systém lineárních rovnic Ax = b . Řešení systému budeme považovat za stabilní, když malá změna dat na vstupu (to je malá změna prvků matice A nebo malá změna pravé strany b ) povede k malé změně dat na výstupu, to je k malé změně řešení x. V opačném případě řekneme, že řešení je nestabilní. Má-li soustava nestabilní řešení, říkáme také že soustava, respektive její matice je špatně podmíněná. Příklad 33. V jistém podniku jsou dvě oddělení. V prvním pracuje 101 žen a 10 mužů, ve druhém 10 žen a 1 muž. První oddělení dostane za časovou jednotku 111 kč, druhé oddělení 11 Kč. Ptáme se, jaká je mzda ženy a jaká je mzda muže za časovou jednotku. Označíme-li mzdu ženy x a mzdu muže y, vede úloha na systém rovnic 101x + 10y=lll 10x+ y= 11 který má zřejmě řešení x = 1 , y = 1 . KMMATA - Matematika A - řešené příklady________________________________-36- Vedoucí se rozhodl druhému oddělení přidat a zvýšil částku na 11,10 Kč. Systém rovnic je nyní tvaru 101x+10y=lll 10x+ y= 11,1 a má zřejmě řešení x = 0, y =11,1. Malá změna pravé strany vedla k velké změně řešení. Jedná se o špatně podmíněnou soustavu. Příklad 34. Uvažujme nyní soustavu 2x + y = 2 (r:) 2x+l,001y=l,8 (r2) Tato soustava má zřejmě jediné řešení x = 101 , y = -200 . Zmenšením koeficientu u y ve druhé rovnici o 0,002 tj. o méně než 0,2% dostaneme soustavu 2x + y = 2 2x + 0,999y = l,8 , Tato soustava má jediné řešení x = -99, y =200 , které se naprosto liší od řešení původní soustavy. Řešení je tedy nestabilní a soustava je špatně podmíněná. Příklad 35. Nahraďme nyní soustavu (^), (r2) z příkladu 34ekvivalentní soustavou 3010^ -3000r2 -996 Tj + 1000 r2 . Dostaneme soustavu 20x + 7y= 620 8x + 5y = -192, která má řešení x = 101 , y = -200. Zmenšíme-li koeficient u y ve druhé rovnici o 0,1, tj, o 0,2%, dostaneme soustavu 20x+ 7y= 620 8x + 4,9y = -192. Ta má řešení x= 104,3 , y = -209,5 , které je stabilnější, než řešení původní soustavy. KMMTA - Matematika A - vzorová písemka -37- Vzorová písemná část zkoušky z matematiky A. „ x-2 1. Řešte v R nerovnici x + 1 <3. 2. Vypočtěte ^30 -1 -2) f-\ 1 0] f\ -1 1 2 _11 r\ - -1 0 1 r -1 3 2 3 2 0 1 1 -1 2 1 1 2 0 1 1 1 -2 + 2 3 1 4 1 1 -1 1 - -2 0 1 -1; 0 1 1 -1 2 3 1 1 -3 v 0 2 1, v J vi 1 2 -1 0y ,-1 1 3 0, Podprostor W ve V4 je generován vektory u = (1,2,4,-3), v = (2,3,2,-1) a w = (1,0,-8,7). Určete jeho dimenzi a některou z jeho bází. Rozhodněte, zda vektor t = (3,8,24,-9) patří do podprostoru W. 4. Spočítejte determinant 2 2 2 -1 1 1 1 3 1 2 -1 5 -1 -2 -1 -1 -2 2 1 -2 -1 3 -1 1 1 5. Gaussovou eliminační metodou řešte systém rovnic Xj + 3x2 +4x3 + 3x4 2xj + 5x2 +5x3 + 8x, 0 -1 -1 3xj + 8x2 + 9x3+llx4 =-1 4xj +llx2 +13x3 +14x4 6. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A í3 0 °1 1 1 0 l2 1 V KMMATA - Matematika A - vzorová písemka -řešení -38- Rešení písemné části zkoušky z matematiky A (KMMATA) 1. Řešte v R nerovnici x-2 x + 1 Řešení: podmínka: x ^ -1 x-2 • x+1 >0 <3 x+1 |x-2|<3-|x + l x-2 x+1 + + + -1 a)x<-l: -x + 2 <-3x + -3 ^> 2x <-5 x< -5 -5/ --------------• xe(-oo;—> 2 b)-l 4x >-!<=> x>- 1 -1 -I xe<-I;2) c) x>2: x-2<3x + 3 <=> 2x>-5 <=> x>-: x£< 2;oo) 2 •- Závěr: xe(-°o;—>u<—;°°) 2 4 KMMATA - Matematika A - vzorová písemka -řešení -39- 2. Vypočtěte f-1 1 0*) 2 0 1 1 1 -1 0 2 1 (\ -10 1 2 0 11 n vl -2 0 1 -1, (\ 1 0 -1 1 2 -1 2 1 1 1 -1 1 2 -1 Řešení: (\ 1 1 0 x, = 0 , x3 = c , x2 = -c 2x +x2 +x3 =0 = 0 Pro X3 = 2 : xx -x2 = 0 2xj +x2 = 0 Xj = 0 , x2 =0 ,. x3 =c Vlastnímu číslu Xj = 3 přísluší vlastní vektor (2,1,5)T , vlastnímu číslu X2 = 1 přísluší vlastní vektor (0,-l,l)T , vlastnímu číslu X3 = 2 přísluší vlastní vektor (0,0,1)T .