Link: OLE-Object-Data

                                 Řešení písemné zkoušky 8. 1. 2006

   

   Příklad 1.: Je dán datový soubor 12   1,1   6,3  3,9  11  5,8  2,5  8  4,1  2  9,5  6,6  1,7 
   3,4  4,9  3  10,3  2,2  5,4 15,5. Stanovíme třídicí intervaly

   a)      Sestavte tabulku rozložení četností. (1,5 bodu)

   b)      Nakreslete histogram a graf intervalové empirické distribuční funkce. (1,5 bodu)

   c)      Stanovte medián datového souboru. (0,2 bodu)

   d)      Vypočtěte průměr datového souboru. (0,8 bodu)

   

   Řešení:

   ad a)

   +----------------------------------------------------+
   ||x[[j]|d[j |n[j |p[j      |N[j |F[j      |f[j       |
   |+-----+----+----+---------+----+---------+----------|
   ||]1,5 |]1  |]3  |]3/20=0,1|]3  |]3/20=0,1|]3/20=0,15|
   |+-----+----+----+---------+----+---------+----------|
   ||3    |2   |5   |5/20=0,25|8   |8/20=0,4 |5/40=0,125|
   |+-----+----+----+---------+----+---------+----------|
   ||5,5  |3   |6   |6/20=0,3 |14  |14/20=0,7|6/60=0,1  |
   |+-----+----+----+---------+----+---------+----------|
   ||9    |4   |4   |4/20=0,2 |18  |18/20=0,9|4/80=0,05 |
   |+-----+----+----+---------+----+---------+----------|
   ||13,5 |5   |2   |2/20=0,1 |20  |20/20=1  |2/100=0,02|
   +----------------------------------------------------+

   

   ad b)

   +------------------------------+
   |Histogram|Graf intervalové EDF|
   +------------------------------+

   

   ad c) Medián je průměr 10. a 11. uspořádané hodnoty, tedy x[0,50] = (4,9 + 5,4)/2 = 5,15

   nebo

   

   Příklad 2.: Provedeme tři nezávislé pokusy, v nichž sledujeme nastoupení úspěchu. V prvním
    pokusu nastává úspěch s pravděpodobností 0,5, ve druhém pokusu s pravděpodobností 0,2 a ve
   třetím pokusu s pravděpodobností 0,1.

   a)      Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, která udává počet úspěchů
   v těchto třech pokusech a nakreslete její graf (2 body)

   b)      Vypočtěte střední hodnotu náhodné veličiny X. (0,5 bodu)

   c)      Vypočtěte rozptyl náhodné veličiny X. (1 bod)

   d)      Jaká je pravděpodobnost, že nastane aspoň jeden úspěch? (0,5 bodu)

   

   Řešení:

   ad a) Označme X[i] počet úspěchů v i-tém pokusu, i = 1, 2, 3. X[i] nabývá hodnot 0,1.

   X nabývá hodnot 0, 1, 2, 3.

   Graf pravděpodobnostní funkce

   

   ad b) E(X) = 0.0,36 + 1.0,49 + 2.0,14 + 3.0,01 = 0,8

   D(X) = 0^2.0,36 + 1^2.0,49 + 2^2.0,14 + 3^2.0,01 -- 0,8^2 = 1,14 -- 0,64 = 0,5

   

   ad c) P(X >= 1) = 1 -- P(X = 0) = 1 - p(0) = 1 -- 0,36 = 0,64

   

   Příklad 3.: Při kontrole pěti balíčků cukru o deklarované hmotnosti 1000 g byly zjištěny tyto
   odchylky: -1, 2, -2, 3, 1. Považujeme je za realizace náhodného výběru rozsahu 5 z rozložení
   N(m, s^2).

   a)      Vypočtěte realizaci m výběrového průměru M a realizaci s^2 výběrového rozptylu S^2. (1
   bod)

   b)      Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu m. (1 bod)

   c)      Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro neznámou směrodatnou odchylku s. (1 bod)

   d)      Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnota odchylek je nulová
   proti oboustranné alternativě. (1 bod)

   

   Řešení:

   ad a) m = 0,6, s^2 = 4,3

   ad b) , h = 4,87

       -3,67 < m < 4,87 s pravděpodobností 0,99

   

   ad c)

      

       1,24 < s < 5,96 s pravděpodobností 0,95

   

   ad d) Protože 99% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu obsahuje 0, nulovou
   hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,01.