Početní základy finanční matematiky sylabus L přednášky (5.4) 19. 9. 2005 Matematické základy i Rady Poznámka: Je-li (a„)^i1 posloupnost čísel, pak z této posloupnosti lze vytvořit novou posloupnost (S'„)„=100, n následujícím rekurentním předpisem: s± + an , nebo též předpisem s„ := V^ afc fc=i 1.0.1 Posloupnost «„budeme nazývat posloupnost částečných součtů řady Jestliže posloupnost částečných součtů řady (a„)^=1 konverguje (tj. existuje vlastní limita posloupnosti s„), nazýváme řadu Ylk-i ak konvergentní „ —~°° 1.0.2 Definice: Buď (a„)n_1 posloupnost. Rada J2n=ian Je posloupnost (s„)^))£i í=l Pokud posloupnost na levé straně 1.1.0.2.1 konverguje, nazveme jej í limitu součet řady J2^Li an a píšeme oo Ea„ = lim y^Ui)) n—>oo ^—* n—1 i—li 1.0.3 Poznámka: Z historických důvodů se řada a její součet značí stejně, takže se symbol J2 nepoužívá a místo něj se používá symbol YJ. Nerozlišuje se tedy posloupnost částečných součtů (J2i=i(ai))j^i = (s«)n^i> (si = ai> «2 = «i + «2, • • •, Sn = «i + «2 + • • • + a„,...) a její limita, která však ne vždy existuje. Pokud existuje a je vlastní (e ffi) říká se o řadě, zeje konvergentní, nebo že konverguje. Pokud tato limita existuje a je nevlastní (= ±oo), říká se, že řada diverguje. Pokud tato limita neexistuje, říká se, že ona řada osciluje. 1 1 Mocninné řady a exponenciální funkce 1.1.1 Definice: oo . _ = 1 + 2 -|-----z1 -I-----ZA -I-------z4 -\------- n! 2 6 24 120 n=0 a odtud můžeme určit hodnotu eulerovy 00 e n! n—o 1.1.2 Vidíme, že exp' = exp. 1.1.3 Věta: (Cauchy) Nechť J2™=o a™ a 2^^1o ^n absolutně konvergují. Pak konverguje také řada J2™=o J2"k=o an-kt>k a platí 00 00 00 n 2J a„ 2J 6„ = 2J 2J an-kt>k n—0 n—0 n—0 k~0 114 Poznámka: (a0 + ai + «2 + «3 + • • • + an + • • •) (b0 + 61 + 62 + 63 ... + 6„ + ...) = a0 60 + a\ b0 + a2 60 + as b0 + + a0bx + a\ 61 + a2b1 + a3 b\ + = + a0 b2 + a\ 62 + a2 62 + a3 62 + + a0 63 + ai 63 + a2 63 + a3 63 + 1 1.1.1.5 Důsledek: exp(zi + z-2) = *S~] (zi + z2y oo ln oo > Z? v-^ Z. 7.1 V^- • V^- = exp(^i) • exp(z2) n=0 1.1.1.6 Předpokládejme x G M, i je imaginární jednotka. Pak > —j-l+i-x- - -xl - - ■i-xi + ^ n! 2 6 1.1.1.7 A definujeme ni *—' ni n—0 n—0 24 ' X + 120 '1' X 720 ' X 5040 ' *'X 1.1.1.8 1.1.1.9 Platí tedy :os(x) = 5R ( V4 I = 1 - i • x2 + — ■ x4 - — ■ x6 + y ' ^n 2 24 720 \n=0 / (x) = im ^-r \n—0 6 -X 5040 ale také odtud plyne: e11 = cos(x) + isin(x) i. ela: = (ela:) = (cos(x) + i sin(x))' = cos'(x) + i • sin'(x) i ■ e^ = «(cos(x) + i sin(x))' = i cos(x) — sin(x) = — sin(x) + i cos(x) cos = —sin sin' = cos Jako funkci k ní inverzní. Tedy 1.1.1.10 Definice: Funkce exp je na R prostá. Definujeme funkci logaritmus ln: M+ — In je na ffi+ jednoznačně definován těmito rovnicemi: ln o exp = Idu, tedy Vx G R: \rí(ex) = x exp o ln = Idffi+, tedy Vx G R+:elnW=x 1.1.1.11 Definujeme dále expz =ih exp(ln(z) • x) (tj. zx = zXn^'x) a logz = exp^1. Tedy exp = expe. 1.1.2 Pravidla pro počítání s logaritmem a mocninami 1.1.2.1 Platí 1115 exp(ln(x) + ln(j/)) ' = ' exp(ln(x) • exp(ln(j/)) = x • y = exp(ln(x • y)) a pokud na obě strany rovnice aplikujeme funkci ln dostaneme ln(x) + ln(y) = ln(x • y) ^.^:z:z Dále platí exp0(x) • expb(x) = exp(ln(a) • x) • exp(ln(6) • x) ' = ' exp(x(ln(a) +ln(6)) ' = ' = exp0.b(x) a tedy ax -bx = (a ■ b)x 1.1.2.3 Přímým dosazením do 1.1.1.1 dostaneme exp(O) = 1 a dále s použitím 1.1.1.5 exp(— x) + exp(x) = exp(O) = 1 => exp(—x) exp(x) a-x = e-x-log(a) 1 _ 1 ea:-log(a) ~~ ax a protože podle 1.1.2.2 platí -= l ax \a mame 1.1.2.4 Dále elnWr =zx 1-1±U exMz) a tedy pro každou kladnou konstantu y (y = ln(z)) máme v\x — pxV {eyf = e tento vztah platí ale i pro záporná y, protože 1 1.1.2.3 í\\~yx -y>0 ffl^~vS ayx 1.1^2.3 e-yx . g 1.1.2.3 / -,,\x (e-yy 1.1.2.5 Dále lnz(x) expJlogz(x) ■ logjz)) = (^°«»<*>) '"*v"' = z1^^ =x = expJlogJaO) a pokud obě strany rovnosti zobrazíme funkcí log^ dostaneme logz(x) -logw(z) =logM(x) a tedy logz(x) log^fo) = ln(x) logw(z) ln(z) nadto pro inverzní funkci platí (pokud označíme hr homotetii fci^r-x) exp„, = log"1 = (hlogvj(z) o logj-1 = In"1 o^öLw = exPz o/ll/iog„M protože h~x = /i!/,,, a tedy Za povšimnutí rovněž stojí, že iog0 H Wx = zlos»M . ln(z) ln(w) logw(z) 3 1.1.2.6 Cvičení: Ze vztahu 1.1.2.4 tj. (exp (a))6 = exp (a • 6) vyvodte: 1.1.2.7 Cvičení: Do j ednoho obrázku načrtněte grafy funkcí 1.1.2.7.1 1.1.2.7.2 1.1.2.7.3 1.1.2.7.4 1.1.2.7.5 1.1.2.7.6 1.1.2.7.7 1.1.2.7.8 1.1.2.7.9 1.1.2.7.10 1.1.2.7.11 1.1.2.7.12 • x I • x i • X I • X I • X I • X I • X I • X I • X I • X I • X I 2x,xi 2x,xi 2x,x 2x2H 3x,x 2~x log2(x),x 2x,x 1, X i—> —x , x i—> — 2X, x log30), xi- 4» ,2 log2 x,x i—> 4a:,x 2*,x 2a,x^2-ln2(x), x i-• . Grafy popište! x2 + 1, x 2x2 + 1, x i-> X (x + 2)2 ~2 ln i (x) 2 v y 4 ',ih — 2X, x ln3(x) ar 1.1.2.8 Cvičení: Naj děte všechna řešení rovnic 2 x+1 7,3 x+2 6,3-2* 2,log3(x)=5,log25(x) = i,2-=ln2. 1.1.2.9 Cvičení: idr Učete hodnotu funkce Iď o In old2 v bodě e. ln(a) 1.1.2.10 Příklad: Najděte všechny lokální extrémy funkce x i—> —^-4 a určete je. 1.1.2.11 Řešení: d /ln(x) d2 /ln(x) (ix2 0 > -e" ln(x) 0 <ž=> x (ix2 -3 + 2 ln(x) x3 ln(x) tj. zadaná funkce má v bodě e lokální maximum. Relativní a absolutní hodnota Učitel matematiky vyvolá kloučka v poslední lavici: „Abi, co jsou to čtyři procenta?'" Abi potřese hlavou: „No jo, pane učieli, co jsou to čtyři procenta!'?'" Josef Kalenský: Hrách v botě: Židovské anekdoty 1. vydání, Praha, Grafoprint-Neubert, 1993 ISBN 80-857885-12-9 4 Příklad Uvažujme tři různé obchodované komodity po dobu alespoň (0,5), kde čas je měřen v nějaké vhodné jednotce. i-tá komodita, i = 1,2,3 se obchoduje v okamžiku t = 1,2,3,4,5 v kurzu (i,í) 2r + 5i sin it tedy Okamžik Kurz komodity 1. 2. 3. 0 3 17 55 1 3,83 23,6 76,6 2 4,64 29,4 92,9 3 5,40 33,8 99,9 4 6,10 36,4 95,9 5 6,70 36,9 81,9 Kurz komodity je číslo, ale můžeme předpokládat, že to je veličina, která má rozměr -—i—X ~ t - • Množství se může ovšem u každé komodity měřit jinak (jednou objem, jednou hmotnost, jednou třeba počet zrnek), zatímco měna zůstává konstantní. Předpokládáme, že komodity jsou libovolně dělitelné a že zasobyjsou neomezené, tj. že můžeme nakoupit jakékoliv množství jakékoliv komoditz. Otázka je, kterou komoditu je v tom kterém okamžiku výhodné podržet. Znalost kursu nám v rozhodování nepomůže. Důležité je, jak se budou kurzy měnit. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy rostou, vyděláme. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy klesají, proděláme. Předpokládejme, že chceme vydělat co nejvíce. Spočítáme o kolik se změní kury každé komodity do následujícího okamžiku (tedy v okamžiku t určíme hodnotu k(í, t + 1) — k(í, í)) Okamžik Změna kurzu komodity za nejbližší období 1. 2. 3. 0 0,83 6,6 21,6 1 0,81 5,8 16,3 2 0,76 4,4 7,0 3 0,70 2,6 -4,0 4 0,60 ,5 -14,0 5 0,51 -1,7 -20,6 Stanovili jsme přírůstek kurzu na jednotku množství komodity, ale nás by spíš zajímal relativní přírůstek kurzu, přírůstek kurzu na jednotku investovaného kapitálu. «0", i + 1) - K(j, i) k(J, i) 5 Okamžik Relativní přírůstky kurzů 1. 2. 3. 0 0,276 0,388 0,393 1 0,211 0,246 0,213 2 0,164 0,150 0,0753 3 0,130 0,0799 -0,0400 4 0,100 0,0110 -0,149 5 0,0745 -0,0461 -0,248 Poslední tabulka je pro obchodovaní směrodatná. Předpokládejme, že máme v okamžiku 0 kapitál velikosti 100. Ten investujeme v každém okamžiku t = 1,2,3,4 do nějaké komodity a v následujícím okamžiku zase komoditu prodáme a tím kapitál zhodnotíme. Nejvýhodnější strategie je tato: 2.1.0.3.1 »v čase 0 kupujeme 1.81818181818 jednotek komodity číslo 3 a tak v čase 1 budeme mít kapitál velikosti 139.225725886. 2.1.0.3.2 »v čase 1 kupujeme 5.91345366510 jednotek komodity číslo 2 a tak v čase 2 budeme mít kapitál velikosti 173.662735874. 2.1.0.3.3 • v čase 2 kupueme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 3 budeme mít kapitál velikosti 202.175436134. 2.1.0.3.4 »v čase 3 kupujeme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 4 budeme mít kapitál velikosti 228.199572364. 2.1.0.3.5 • v čase 4 kupujeme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 5 budeme mít kapitál velikosti 251.013923705. V okamžicích 3 a 4 nemusíme chodit na trh, stačí stále držet komoditu číslo 1. Tedy nakoupíme komoditu číslo 3 tu prodáme v čase 1 a koupíme komoditu číslo 2, tu prodáme v čase 2 a koupíme komoditu číslo 1 a tu podržíme do okamžiku 5. 2.1.0.4 Poznámka: Kdybychom mohli obchodovat komodity v každém okamžiku, bylo by pro nás nej výhodnej ší nakoupit třetí a podržet ji až do okamžiku, který je řešením rovnice: K(2, t) di K(3, t) k(3, í) a to je okamžik TI := 0,705050758054. Pak je prodat a nakoupit druhou komoditu a tu podržet až do okamžiku, který je řešením rovnice (v Maple jej určíme příkazem f solve): T2 := fsolve &«(M) jk(x) = (x) jsou funkce ve tvaru i^:ih ex-c\ kde ci je nějaká konstanta. Jsou to funkce které mají v každém bodě — ve kterém existuje — stejný poměr derivace a hodnoty a tento poměr je 1, neboli jsou to funkce, které mají stejnou relativní hodnotu derivace vyjádřenou v hodnotách funkce jako v jednotkách (a to rovnu jedné). 3.1.1.2 Kdybychom hledali všechny funkce, které maj í konstantní poměr derivace a hodnoty (už by ta konstanta nemusela být 1), hledali bychom řešení rovnic: d — (x) = K(p(x) ax pro všechny konstanty K a ta jsou: 4>(x) = eKxc2 kde ci je libovolná konstanta. 3.1.1.3 Definice: Exponenciánífunkce nazveme každou funkci x>->AeBx, kde A a S jsou nějaké konstanty. 3.1.1.4 Definice: :Řekneme,ževeličinaf1závislánačasejevustálenémstavu(včase),pokudjejíhodnotajeexponenciální funkcí času. 3.1.1.5 Poznámka: Hodnoty exponenciálni funkce v ekvidistantních okamžicích, tj. čísla (xo), (xo + k), (x0 + 2fc), 4>(x0 + Sk),..., kde k > 0 tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti použijeme jako míru růstu 4>). 3.2 Míra růstu veličin v ustáleném stavu. Míra růstu inflace, jako příklad. 3.2.1 Reálná a nominální a hodnota Cynic is a man, who knows the price of everything and the value of nothing. Oscar Wilde Agregace je seskupení (z lat a- a grex, gen gregio =stádo). 3.2.1.1 Uvažujme zboží jako agregát a nějakou jeho míru objemu. Uvažujme nějakou měnu jako jednotku množství peňez. 3.2.1.2 Cena j ednotky množství zboží se mění v čase. 3.2.1.3 Index cen je cena jednotkového množství agregovaného zboží. Protože jednotka množství zboží není dobře definovaná veličina, na počátku našich úvah nějakou zvolíme, lze ji zvolit například tak, aby v počátku (v čase í = 0) byla cena jednotkového množství zboží 100, což se často dělá. 3.2.1.4 Pokudje inflace, cena zboží roste, a tedy cena peněz klesá. Peníze jsou ekvivalentem cen bohužel závislým na čase. Pomocí peněz lze porovnávat ceny platné pouze v tomtéž okamžiku. Pokud porovnáváme cenu zboží v jednom okamžiku s cenou jiného zboží v jiném okamžiku nejsou peníze vhodným ekvivalentem. 3.2.1.5 A pokudje jako ekvivalent cen použijeme, jsme v situaci krejčího, kterému se prodlužuje metr a který, když šije oblek, musí znát nejen míry zákazníka, ale i to, kdy je měřil, aby je mohl správně přepočítat. 3.2.1.6 Cena vyjádřená v jednotkách nějaké měny se nazývá jmenovitá, nebo nominální cena (hodnota). Cena vyjádřená v jednotkách nějakého množství agregovaného zboží se nazývá reálná cena (hodnota). 3.2.1.7 Nominální hodnota peněz je konstantní. Reálná hodnota peněz klesá, je-li inflace, roste je-li deflace. Ceny jsou nepřímo úměrné hodnotě peněz. 7 3 2 2 Inflace a její míra 3.2.2.1 Definice: Nechť agregované ceny zboží P mají v čase t hodnotu P (ť). Míra inflace i((t0,ti)) za dobu (í0,íi)) je relativní hodnota přírůstku ceny zboží P za tuto dobu, vyjádřená v jednotce P(t0), tedy ,((t t))-p(h)-P(to) t(<ío'íl>)-—PÖÖ)— 3.2.2.2 Můžeme rovněž vyjádřit míru inflace porovnáním ceny peněz. Cena zboží a cena peněz jsou nepřímo úměrné: Pokud je v čase t cena zboží P(t) a cena peněz X(ť) paltí: P(t0)X(t0) = P(íl)X(Í!) a tedy Pih) = X(t0) P(í0) X(ti) a platí (l. , M P(ti)-P(t0) P(tl) X(t0) X^-Xjh) a míra inflace za dobu (í0, íi)) je relativní hodnota přírůstku ceny peněz X za tuto dobu, vyjádřená v jednotce X{ti). 3.2.2.3 Poznámka: Je-li hodnota peněz konstatního množství (konstantní ceny) v čase í0 je X0 a v čase íi je X\. Je-li ío Xi jde o inflaci. Poměr ^ = k nezávisí na množství peněz X a číslo i = k — 1 je míra inflace. 3.2.2.4 Příklad: Je-li míra inflace i = 0 je X\ = X0. Je-li míra inflace i = 1 je Xi = \X0. Je-li míra inflace i = \ je X\ = 2,X(). 3.2.2.5 Míra infalce je bezrozměrné číslo, které udává jak se změnila reálná hodnota peněz. Jak se změnila za určitou dobu, v našem případě za dobu od okamžiku í0 do okamžiku íi. 3.2.2.6 Reálná hodnota peněz v čase íi (jejichž hodnota v čase í0 byla X0) je Xx = ^-. Tento vztah je vztahem reálné hodnoty v čase í0 a íi jakéhokoliv množství peněz. 3.2.2.7 Pro agregopvané ceny P platí tento vztah: P1 = P0 ■ (1 + l) 3.2.2.8 Poznámka: Pokud j sou ceny v ustáleném stavu (tj rostou exponenciálně viz. (3.1.1.4)) na něj akém intervalu času, míra inflace v tomto intervalu závisí jen na délce času a nikoliv na jeho počátečním okamžiku. 3.2.2.9 Zvolme něj akou j ednotku času a předpokládejme, že míra inflace j e i a že ceny j sou v ustáleném stavu, to znamená, že za každou dobu jednotkové délky (bez ohledu na to, kde v čase začíná) je poměr reálné hodnoty na počátku a na konci týž a sice 1 + i. 3.2.2.9.1 • Jaká je míra inflace za dvě taková období? 3.2.2.9.2 • Jaká je míra inflace za polovinu této doby. 3.2.2.9.3 • Obecně: Jakáje míra inflace za období délky Aí? Označme i (1) = i a označme t1/2 a í2 časové okamžiky splňující: t1/2 = ŕ"+ŕl a í2 = 2íi - í0. V čase í2 je reálná hodnota X-2 = j^jt) = (-14f(%2 amy ve 3.2.2.9.1 hledáme takové/. (2), aby 1_j^?2) = (í+^ill2 ^m<^ t(2) = (l + t(l))2-l. 3.2.2.10 Podobně 3.2.2.9.2: hledáme takové t (|), aby -j- ^0 — ^0 (l+'(i))a 1+t« tQ) = (i+t(u)i/2-i. 3.2.2.11 Tuto úvahu můžeme opakovat pro libovolné racionální číslo. Dostaneme t(^=(l + t(l)f/«-l. a pokud má být funkce i spojitá, je podle Heineho věty (protože racionální čísla jsou hustá v množině reálných čísel) t(Aí) = (l + t(l))Aí-l. Tedy 3.2.2.12 Lemma: Jsou-li ceny v ustáleném stavu, je míra jejich inflace exponenciální funkcí délky času, za nějž se inflace počítá. A vztah mezi reálnou hodnotou kapitálu téže nominální hodnoty v čase 0 a v čase t je kde i je míra inflace za dobu 1. 32 3 Průměrná inflace 3.2.3.1 Připomeňme, že průměr n čísel, je funkce neklesající v žádném z těchto čísel, jejíž hodnotaje mezi nejmenším a největším z nich. 3.2.3.2 Definice: Průměrná inflace za dobu (ío, íi) je taková inflace cen v ustáleném stavu, která má stejnou míru za dobu (ío, íi) jako inflace těch cen, jejímž je průměrem. 3.2.4 Případ ekvidistantních období: Předpokládejme, že v každém z n intervalů ((í,_i ,U)),t0 0, z > 0. Aproximujeme X spojitou (dokonce diferencovatelnou) funkcí _ z.(t + l) Jest z - z (t + 1) ln(l + i) X\t) (1 + 0* X'(t) =0^=>t- - ln(l + l) ln(l + l) To je kritický (stacionární) bod. Přitom funkce z (í + 1) ln(l + /,) roste monotónně v závislosti na í, takže nalevo od kritického bodu je funkce rostoucí a všude napravo je klesající a tedy funkce má v kritické bodě absolutní maximum. Dosaďme nějaké hodnoty. Při inflaci, jejíž míra je 1/100 dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 99,5, při inflaci, jejíž míra je 1/2 dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 19,5, Je-li míra inflace || dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 1, tedy v době druhé úložky, takže vůbec nemá smysl spořit. 3.2.6.3 Poznámka: Reálná hodnota dosáhne maxima v bodě, který nezávisí na velikosti částek, které ukládáme. Hodnota toho maxima ovšem na velikosti ukládaných částek závisí. 3264 Poznámka: X"(t) = -2 zln(1 + ^ + ^(í + l)(ln(l + Q)2 (1 + 0* (1 + 0* 3.2.6.5 Cvičení: V jakém čase je reálná hodnota celé naspořené částky menší, než byla reálná hodnota první úložky v čase, kdy jsme ji uložili? 10