Početní základy finanční matematiky sylabus 1. přednášky (5.4) 19. 9. 2005 1 Matematické základy 1.1 Řady Poznámka: Je-li (an)∞ n=1 posloupnost čísel, pak z této posloupnosti lze vytvořit novou posloupnost (Sn)n=1∞ , následujícím rekurentním předpisem: s1 = a1sn = sn−1 + an , nebo též předpisem sn := n k=1 ak 1.1.0.1 Posloupnost snbudeme nazývat posloupnost částečných součtů řady Jestliže posloupnost částečných součtů řady (an)∞ n=1 konverguje (tj. existuje vlastní limita posloupnosti sn), nazýváme řadu n k=1 ak konvergentní 1.1.0.2 Definice: Buï (an)∞ n=1 posloupnost. Řada ∞ n=1an je posloupnost (sn)∞ n=1, taková, že s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , s2 = a1 + a2 + · · · + an,. . . tj.: 1.1.0.2.1 ∞ n=1an = ( j i=1 (ai))∞ j=1 Pokud posloupnost na levé straně 1.1.0.2.1 konverguje, nazveme její limitu součet řady ∞ n=1 an a píšeme ∞ n=1 an = limn→∞ i=1j (ai)) 1.1.0.3 Poznámka: Z historických důvodů se řada a její součet značí stejně, takže se symbol nepoužívá a místo něj se používá symbol . Nerozlišuje se tedy posloupnost částečných součtů ( j i=1(ai))∞ j=1 = (sn)∞ n=1, (s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . , sn = a1 + a2 + · · · + an,. . . ) a její limita, která však ne vždy existuje. Pokud existuje a je vlastní (∈ R) říká se o řadě, že je konvergentní, nebo že konverguje. Pokud tato limita existuje a je nevlastní (= ±∞), říká se, že řada diverguje. Pokud tato limita neexistuje, říká se, že ona řada osciluje. 1.1.1 Mocninné řady a exponenciální funkce 1.1.1.1 Definice: ez = ∞ n=0 · zn n! = 1 + z + 1 2 · z2 + 1 6 · z3 + 1 24 · z4 + 1 120 · z5 + · · · a odtud můžeme určit hodnotu eulerovy e = ∞ n=0 1 n! 1.1.1.2 Vidíme, že exp′ = exp. 1.1.1.3 Věta: (Cauchy) NechŅ ∞ n=0 an a ∞ n=0 bn absolutně konvergují. Pak konverguje také řada ∞ n=0 n k=0 an−kbk a platí ∞ n=0 an ∞ n=0 bn = ∞ n=0 n k=0 an−kbk 1.1.1.4 Poznámka: (a0 + a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .)(b0 + b1 + b2 + b3 . . . + bn + . . .) = = a0 b0 + a1 b0 + a2 b0 + a3 b0 + . . . + a0 b1 + a1 b1 + a2 b1 + a3 b1 + . . . + a0 b2 + a1 b2 + a2 b2 + a3 b2 + . . . + a0 b3 + a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + . . . ... ... ... ... ... 1 1.1.1.5 Důsledek: exp(z1 + z2) = ∞ n=0 (z1 + z2)n n! = ∞ n=0 zn 1 n! · ∞ n=0 zn 2 n! = exp(z1) · exp(z2) 1.1.1.6 Předpokládejme x ∈ R, i je imaginární jednotka. Pak ∞ n=0 zn n!1 + i · x − 1 2 · x2 − 1 6 · i · x3 + 1 24 · x4 + 1 120 · i · x5 − 1 720 · x6 − 1 5040 · i · x7 + · · · 1.1.1.7 A definujeme cos(x) = ℜ ∞ n=0 zn n! = 1 − 1 2 · x2 + 1 24 · x4 − 1 720 · x6 + · · · 1.1.1.8 sin(x) = Im ∞ n=0 zn n! = x − 1 6 · x3 + 1 120 · x5 − 1 5040 · x7 + · · · 1.1.1.9 Platí tedy eix = cos(x) + i sin(x) a i · eix = eix ′ = (cos(x) + i sin(x))′ =cos′ (x) + i · sin′ (x) ale také i · eix = i(cos(x) + i sin(x))′ = i cos(x) − sin(x) = − sin(x) + i cos(x) odtud plyne: cos′ = − sin sin′ = cos 1.1.1.10 Definice: Funkce exp je na R prostá. Definujeme funkci logaritmus ln:R+ −→ R Jako funkci k ní inverzní. Tedy ln je na R+ jednoznačně definován těmito rovnicemi: ln◦ exp = IdR, tedy ∀x ∈ R:ln(ex ) = x exp◦ ln = IdR+ , tedy ∀x ∈ R+:eln(x)=x 1.1.1.11 Definujeme dále expz = x → exp(ln(z) · x) (tj. zx = zln(z)·x ) a logz = exp−1z . Tedy exp = expe. 1.1.2 Pravidla pro počítání s logaritmem a mocninami 1.1.2.1 Platí exp(ln(x) + ln(y)) 1.1.1.5= exp(ln(x) · exp(ln(y)) = x · y = exp(ln(x · y)) a pokud na obě strany rovnice aplikujeme funkci ln dostaneme ln(x) + ln(y) = ln(x · y) 1.1.2.2 Dále platí expa(x) · expb(x) = exp(ln(a) · x) · exp(ln(b) · x) 1.1.1.5= exp(x(ln(a) + ln(b)) 1.1.2.1= = expa·b(x) a tedy ax · bx = (a · b)x 2 1.1.2.3 Přímým dosazením do 1.1.1.1 dostaneme exp(0) = 1 a dále s použitím 1.1.1.5 exp(−x) + exp(x) = exp(0) = 1 =⇒ exp(−x) = 1 exp(x) a−x = e−x·log(a) = 1 ex·log(a) = 1 ax a protože podle 1.1.2.2 platí 1 ax = 1 a x máme a−x = 1 ax = 1 a x . 1.1.2.4 Dále eln(z) x = zx 1.1.1.11= ex·ln(z) a tedy pro každou kladnou konstantu y (y = ln(z)) máme (ey )x = exy . tento vztah platí ale i pro záporná y, protože eyx = 1 e−yx 1.1.2.3= 1 e −yx −y > 0= 1 e −y x 1.1.2.3= e−y x 1.1.2.5 Dále expw(logz(x) · logw(z)) = wlogw(z) lnz(x) = zlogz(x) = x = expw(logw(x)) a pokud obě strany rovnosti zobrazíme funkcí logw dostaneme logz(x) · logw(z) = logw(x) a tedy logz(x) = logw(x) logw(z) = ln(x) ln(z) nadto pro inverzní funkci platí (pokud označíme hr homotetii h:x → r · x) expw = log−1 w = (hlogw(z) ◦ logz)−1 = ln−1 z ◦h−1 logw(z) = expz ◦h1/ logw(z) protože h−1r = h1/r, a tedy wx = z x logw(z) . Za povšimnutí rovněž stojí, že logz(w) = ln(z) ln(w) = 1 logw(z) 3 1.1.2.6 Cvičení: Ze vztahu 1.1.2.4 tj. (exp(a))b = exp(a · b) vyvoïte: ln(ab ) = b ln(a) 1.1.2.7 Cvičení: Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí 1.1.2.7.1 • x → x2, x → 2x , x → x4, x → 4x 1.1.2.7.2 • x → x2, x → 2x2 + 1, x → −x2 1.1.2.7.3 • x → 2x , x → 3x , x → 1 2 x 1.1.2.7.4 • x → 2x , x → 2−x , x → −2x , x → 1 2 x 1.1.2.7.5 • x → log2(x), x → log3(x), x → ln1 2 (x) 1.1.2.7.6 • x → 2x ,x → log2 x,x → 4x ,x → x4, 1.1.2.7.7 • x → x2, x → x2 + 1, x → (x + 2)2 1.1.2.7.8 • x → x2, x → 2x2 + 1, x → −x2 1.1.2.7.9 • x → 2x , x → 3x , x → 1 2 x 1.1.2.7.10 • x → 2x , x → 2−x , x → −2x , x → 1 2 x 1.1.2.7.11 • x → ln2(x), x → ln3(x) 1.1.2.7.12 • . Grafy popište! 1.1.2.8 Cvičení: Najděte všechna řešení rovnic 2x+1 = 7, 3x+2 = 6, 3·2x−1 = 2, log3(x) = 5, log25(x) = 1 2, 2x = ln2. 1.1.2.9 Cvičení: idn : R −→ R x −→ xn Učete hodnotu funkce Id3 ◦ ln◦Id2 v bodě e. 1.1.2.10 Příklad: Najděte všechny lokální extrémy funkce x → ln(x) x a určete je. 1.1.2.11 Řešení: d dx ln(x) x = − −1+ ln(x) x2 = 0 ⇔ x = e d2 dx2 ln(x) x = −3 + 2 ln(x) x3 0 > −e−3 = d2 dx2 ln(x) x x=e tj. zadaná funkce má v bodě e lokální maximum. 2 Relativní a absolutní hodnota Učitel matematiky vyvolá kloučka v poslední lavici: „Abi, co jsou to čtyři procenta?“ Abi potřese hlavou: „No jo, pane učieli, co jsou to čtyři procenta!?“ Josef Kalenský: Hrách v botě: Židovské anekdoty 1. vydání, Praha, Grafoprint-Neubert, 1993 ISBN 80-857885-12-9 4 2.1 Příklad Uvažujme tři různé obchodované komodity po dobu alespoň 0, 5 , kde čas je měřen v nějaké vhodné jednotce. i-tá komodita, i = 1, 2, 3 se obchoduje v okamžiku t = 1, 2, 3, 4, 5 v kurzu (i, t) → 2i3 + 5i2 sin it 6 + 1 tedy Kurz komodity Okamžik 1. 2. 3. 0 3 17 55 1 3,83 23,6 76,6 2 4,64 29,4 92,9 3 5,40 33,8 99,9 4 6,10 36,4 95,9 5 6,70 36,9 81,9 Kurz komodity je číslo, ale můžeme předpokládat, že to je veličina, která má rozměr měna jednotka množství . Množství se může ovšem u každé komodity měřit jínak (jednou objem, jednou hmotnost, jednou třeba počet zrnek), zatímco měna zůstává konstantní. 2.1.0.1 Předpokládáme, že komodityjsou libovolně dělitelné a že zásobyjsou neomezené, tj. že můžeme nakoupit jakékoliv množství jakékoliv komoditz. Otázka je, kterou komoditu je v tom kterém okamžiku výhodné podržet. 2.1.0.2 Znalost kursu nám v rozhodování nepomůže. Důležité je, jak se budou kurzy měnit. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy rostou, vyděláme. Podržíme-li komodity, jejichž kurzy klesají, proděláme. Předpokládejme, že chceme vydělat co nejvíce. Spočítáme o kolik se změní kury každé komodity do následujícího okamžiku (tedy v okamžiku t určíme hodnotu κ(i, t + 1) − κ(i, t)) 2.1.0.3 Změna kurzu komodity za nejbližší období Okamžik 1. 2. 3. 0 0,83 6,6 21,6 1 0,81 5,8 16,3 2 0,76 4,4 7,0 3 0,70 2,6 -4,0 4 0,60 ,5 -14,0 5 0,51 -1,7 -20,6 Stanovili jsme přírústek kurzu na jednotku množství komodity, ale nás by spíš zajímal relativní přírústek kurzu, přírůstek kurzu na jednotku investovaného kapitálu. κ(j, i + 1) − κ(j, i) κ(j, i) 5 Relativní přírústky kurzů Okamžik 1. 2. 3. 0 0,276 0,388 0,393 1 0,211 0,246 0,213 2 0,164 0,150 0,0753 3 0,130 0,0799 -0,0400 4 0,100 0,0110 -0,149 5 0,0745 -0,0461 -0,248 Poslední tabulka je pro obchodovaní směrodatná. Předpokládejme, že máme v okamžiku 0 kapitál velikosti 100. Ten investujeme v každém okamžiku t = 1, 2, 3, 4 do nějaké komodity a v následujícím okamžiku zase komoditu prodáme a tím kapitál zhodnotíme. Nejvýhodnější strategie je tato: 2.1.0.3.1 • v čase 0 kupujeme 1.81818181818 jednotek komodity číslo 3 a tak v čase 1 budeme mít kapitál velikosti 139.225725886. 2.1.0.3.2 • v čase 1 kupujeme 5.91345366510 jednotek komodity číslo 2 a tak v čase 2 budeme mít kapitál velikosti 173.662735874. 2.1.0.3.3 • v čase 2 kupueme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 3 budeme mít kapitál velikosti 202.175436134. 2.1.0.3.4 • v čase 3 kupujeme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 4 budeme mít kapitál velikosti 228.199572364. 2.1.0.3.5 • v čase 4 kupujeme 37.459820785 jednotek komodity číslo 1 a tak v čase 5 budeme mít kapitál velikosti 251.013923705. V okamžicích 3 a 4 nemusíme chodit na trh, stačí stále držet komoditu číslo 1. Tedy nakoupíme komoditu číslo 3 tu prodáme v čase 1 a koupíme komoditu číslo 2, tu prodáme v čase 2 a koupíme komoditu číslo 1 a tu podržíme do okamžiku 5. 2.1.0.4 Poznámka: Kdybychommohli obchodovatkomodity v každém okamžiku,bylo by pro nás nejvýhodnějšínakoupit třetí a podržet ji až do okamžiku, který je řešením rovnice: ∂ ∂t κ(2, t) κ(2, t) = ∂ ∂t κ(3, t) κ(3, t) a to je okamžik T1 := 0,705050758054. Pak je prodat a nakoupit druhou komoditu a tu podržet až do okamžiku, který je řešením rovnice (v Maple jej určíme příkazem fsolve): T2 := fsolve ∂ ∂t κ(1, t) κ(1, t) = ∂ ∂t κ(2, t) κ(2, t) a to je okamžik T2 := 2,21738435914 a pak koupit první komoditu, (takový případ podrobně rozebereme později) Proto držíme vždy tu komoditu, pro kterou je hodnota podílu ∂ ∂t κ(i, t) κ(i, t) největší. Je-li Vynosnost:(i, t1, t2) → κ(i, t2) κ(i, t1) je stav kapitálu roven 100· Vynosnost(3, 0, T1)· Vynosnost(2, T1, T2))· Vynosnost(1, T2, 5) = 251,599979784 3 Ustálený stav (Steady state) 6 3.1 Exponenciální funkce 3.1.1 Definice 3.1.1.1 Poznámka: Funkce, která má v každém bodě stejnou derivaci jako hodnotu je až na násobek funkce exp, tj. Všechna řešení rovnice d dx φ(x) = φ(x) jsou funkce ve tvaru φ:x → ex ·c1 kde c1 je nějaká konstanta. Jsou to funkce které mají v každém bodě — ve kterém existuje — stejný poměr derivace a hodnoty a tento poměr je 1, neboli jsou to funkce, které mají stejnou relativní hodnotu derivace vyjádřenou v hodnotách funkce jako v jednotkách (a to rovnu jedné). 3.1.1.2 Kdybychom hledali všechny funkce, které mají konstantní poměr derivace a hodnoty (už by ta konstanta nemusela být 1), hledali bychom řešení rovnic: d dx φ(x) = Kφ(x) pro všechny konstanty K a ta jsou: φ(x) = eKx c2 kde c1 je libovolná konstanta. 3.1.1.3 Definice: Exponenciání funkce nazveme každou funkci x → AeBx , kde A a B jsou nějaké konstanty. 3.1.1.4 Definice: : Řekneme, že veličina F závislá na čase je v ustáleném stavu (v čase), pokud její hodnota je exponenciální funkcí času. 3.1.1.5 Poznámka: Hodnoty exponencialni funkce φ v ekvidistantních okamžicích, tj. čísla φ(x0), φ(x0+k), φ(x0+2k), φ(x0 +3k),. . ., kde k > 0 tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti použijeme jako míru růstu φ). 3.2 Míra růstu veličin v ustáleném stavu. Míra růstu inflace, jako příklad. 3.2.1 Reálná a nominální a hodnota Cynic is a man, who knows the price of everything and the value of nothing. Oscar Wilde Agregace je seskupení (z lat a- a grex, gen gregio =stádo). 3.2.1.1 Uvažujme zboží jako agregát a nějakou jeho míru objemu. Uvažujme nějakou měnu jako jednotku množství peňez. 3.2.1.2 Cena jednotky množství zboží se mění v čase. 3.2.1.3 Index cen je cena jednotkového množství agregovaného zboží. Protože jednotka množství zboží není dobře definovaná veličina, na počátku našich úvah nějakou zvolíme, lze ji zvolit například tak, aby v počátku (v čase t = 0) byla cena jednotkového množství zboží 100, což se často dělá. 3.2.1.4 Pokud je inflace, cena zboží roste, a tedy cena peněz klesá. Peníze jsou ekvivalentem cen bohužel závislým na čase. Pomocí peněz lze porovnávat ceny platné pouze v tomtéž okamžiku. Pokud porovnáváme cenu zboží v jednom okamžiku s cenou jiného zboží v jiném okamžiku nejsou peníze vhodným ekvivalentem. 3.2.1.5 A pokud je jako ekvivalent cen použijeme, jsme v situaci krejčího, kterému se prodlužuje metr a který, když šije oblek, musí znát nejen míry zákazníka, ale i to, kdy je měřil, aby je mohl správně přepočítat. 3.2.1.6 Cena vyjádřená v jednotkách nějaké měny se nazývá jmenovitá, nebo nominální cena (hodnota). Cena vyjádřená v jednotkách nějakého množství agregovaného zboží se nazývá reálná cena (hodnota). 3.2.1.7 Nominální hodnota peněz je konstantní. Reálná hodnota peněz klesá, je-li inflace, roste je-li deflace. Ceny jsou nepřímo uměrné hodnotě peněz. 7 3.2.2 Inflace a její míra 3.2.2.1 Definice: NechŅ agregované ceny zboží P mají v čase t hodnotu P(t). Míra inflace ι( t0, t1 ) za dobu t0, t1 ) je relativní hodnota přírůstku ceny zboží P za tuto dobu, vyjádřená v jednotce P(t0), tedy ι( t0, t1 ) = P(t1) − P(t0) P(t0) 3.2.2.2 Můžeme rovněž vyjádřit míru inflace porovnáním ceny peněz. Cena zboží a cena peněz jsou nepřímo úměrné: Pokud je v čase t cena zboží P(t) a cena peněz X(t) paltí: P(t0)X(t0) = P(t1)X(t1) a tedy P(t1) P(t0) = X(t0) X(t1) a platí ι( t0, t1 ) = P(t1) − P(t0) P(t0) = P(t1) P(t0) − 1 = X(t0) X(t1) − 1 = X(t0) − X(t1) X(t1) a míra inflace za dobu t0, t1 ) je relativní hodnota přírůstku ceny peněz X za tuto dobu, vyjádřená v jednotce X(t1). 3.2.2.3 Poznámka: Je-li hodnota peněz konstatního množství (konstantní ceny) v čase t0 je X0 a v čase t1 je X1. Je-li t0 < t1, X0 > X1 jde o inflaci. Poměr X0 X1 = κ nezávisí na množství peněz X a číslo ι = κ − 1 je míra inflace. 3.2.2.4 Příklad: Je-li míra inflace ι = 0 je X1 = X0. Je-li míra inflace ι = 1 je X1 = 1 2X0. Je-li míra inflace ι = 1 2 je X1 = 2 3X0. 3.2.2.5 Míra infalce je bezrozměrné číslo, které udává jak se změnila reálná hodnota peněz. Jak se změnila za určitou dobu, v našem případě za dobu od okamžiku t0 do okamžiku t1. 3.2.2.6 Reálná hodnota peněz v čase t1 (jejichž hodnota v čase t0 byla X0) je X1 = X0 1+ι . Tento vztah je vztahem reálné hodnoty v čase t0 a t1 jakéhokoliv množství peněz. 3.2.2.7 Pro agregopvané ceny P platí tento vztah: P1 = P0 · (1 + ι) 3.2.2.8 Poznámka: Pokud jsou ceny v ustáleném stavu (tj rostou exponenciálně viz. ( 3.1.1.4)) na nějakém intervalu času, míra inflace v tomto intervalu závisí jen na délce času a nikoliv na jeho počátečním okamžiku. 3.2.2.9 Zvolme nějakou jednotku času a předpokládejme,že míra inflace je ι a že ceny jsou v ustáleném stavu, to znamená, že za každou dobu jednotkové délky (bez ohledu na to, kde v čase začíná) je poměr reálné hodnoty na počátku a na konci týž a sice 1 + ι. 3.2.2.9.1 • Jaká je míra inflace za dvě taková období? 3.2.2.9.2 • Jaká je míra inflace za polovinu této doby. 3.2.2.9.3 • Obecně: Jaká je míra inflace za období délky t? Označme ι (1) = ι a označme t1/2 a t2 časové okamžiky splňující: t1/2 = t0+t1 2 a t2 = 2t1 − t0. V čase t2 je reálná hodnota X2 = X1 1+ι(1) = X0 (1+ι(1))2 a my ve 3.2.2.9.1 hledáme takové ι (2), aby X0 1+ι(2) = X0 (1+ι(1))2 Odtud ι (2) = (1+ ι (1))2 − 1. 3.2.2.10 Podobně 3.2.2.9.2: hledáme takové ι 1 2 , aby X0 (1+ι(1 2 ))2 = X0 1+ι(1) a ι 1 2 = (1 + ι (1))1/2 − 1. 3.2.2.11 Tuto úvahu múžeme opakovat pro libovolné racionální číslo. Dostaneme ι p q = (1 + ι (1))p/q − 1. 8 a pokud má být funkce ι spojitá, je podle Heineho věty (protože racionální čísla jsou hustá v množině reálných čísel) ι ( t) = (1 + ι (1)) t − 1. Tedy 3.2.2.12 Lemma: Jsou-li ceny v ustáleném stavu, je míra jejich inflace exponenciální funkcí délky času, za nějž se inflace počítá. A vztah mezi reálnou hodnotou kapitálu téže nominální hodnoty v čase 0 a v čase t je X(t) = X(0) (1 + ι)t kde ι je míra inflace za dobu 1. 3.2.3 Průměrná inflace 3.2.3.1 Připomeňme, že průměr n čísel, je funkce neklesající v žádném z těchto čísel, jejíž hodnota je mezi nejmenším a největším z nich. 3.2.3.2 Definice: Průměrná inflace za dobu t0, t1 je taková inflace cen v ustáleném stavu, která má stejnou míru za dobu t0, t1 jako inflace těch cen, jejímž je průměrem. 3.2.4 Případ ekvidistantních období: Předpokládejme, že v každém z n intervalů ( ti−1, ti ), t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn, které mají stejnou délku, je míra inflace ιi. Pak kapitál reálné hodnoty X0 V čase t0 má v čase tn reálou hodnotu Xn = X0 (1 + ι1)(1 + ι2)· · · (1 + ιn) Hledáme ι pro které platí: Xn = 1 (1+ι)n . Dostáváme míru průměrné inflace: ι = n (1 + ι1)(1 + ι2)· · · (1 + ιn) − 1 3.2.4.1 Příklad: Jaká je průměrná měsíční inflace. . . 3.2.5 Případ neekvidistantních období: Předpokládejme, že chceme znát průměrnou inflaci ι za dobu τ v nějakém časovém období I, jsou-li známy míry inflace v různých disjunktních obdobích délky I1,. . . In které pokrývají I. Předpokládejme, že průměrná míra inflace v období Ii je ιi. Postupujeme stejně, jako v případě 3.2.4: násobením spočítáme míru inflace (+1) za dobu I1 +I2 +· · · +In, pak odmocněním spočítáme míru inflace (+1) za jednotku času a umocněním za dobu τ a odečteme jedničku. Průměrná inflace za jednotku času tedy je: ((1 + ι1)(1 + ι2)· · · (1 + ιn)) 1 I1+I2+···+In − 1 A za období délky τ ((1 + ι1)(1 + ι2)· · · (1 + ιn)) τ I1+I2+···+In − 1. 3.2.5.1 Příklad: Chceme znát průměrnoučtvrtletní inflaci za dobu uřadováníministra financí Šejdíře. Šejdíř byl ministrem financí v létech 2000, 2001, 2002 (pokaždé celý rok) a pak znovu čtyři měsíce na konci roku 2003. Celková míra inflace za roky 2000 a 2001 (dohromady) byla 0,3, míra inflace za rok 2002 byla 0,15 a měsíční míra inflace v každém z měsíců roku 2003 byla 0,05. Protože výsledek je jen přibližná aproximace skutečnosti, můžemi si dovolit zaokrouhlení a považovat všechny měsíce za stejně dlouhé a rok za jejich dvanáctinásobek. Průměrná čtvrtletní inflace tedy je (1 + 0,3)(1 + 0,15)(1 + 0,05)4 3 40 − 1 . = 0,045815030 9 3.2.6 Bezúročné spoření Nyní předpokládejme, že si po určitou dobu ukládáme v okamžicích t = 0, 1, 2, . . . peníze na účet, na němž je úroková míra zanedbatelně malá a nebo, že si je necháváme v hotovosti. Předpokládejme, že úložky mají konstantní nominální hodnotu z. Nominální hodnota stavu účtu v čase 0 je x(0) = z. Nominální hodnota účtu v čase 1 je x(1) = 2z. Nominální hodnota účtu v čase 1,5 je stále je x(1,5) = 2z. Nominální hodnota stavu účtu v čase t je z · t + 1], kde −] je funkce celá část 3.3.3.1 Jaká je reálná hodnota X(t) (měřená hodnotou v čase 0) stavu účtu, v čase t je-li inflace v ustáleném stavu a je-li její míra za období délky 1 rovna ι? Je X(t) = x(t) (1+ι)t = z· t+1] (1+ι)t . 3.2.6.1 Příklad: V jakém čase nabývá X(t) maxima? 3.2.6.2 Řešení: Předpokládáme ι > 0, z > 0. Aproximujeme X spojitou (dokonce diferencovatelnou) funkcí X(t) = z · (t + 1) (1 + ι)t Jest X′ (t) = z − z (t + 1)ln(1 + ι) (1 + ι)t a X′ (t) = 0 ⇐⇒ t = 1 − ln(1 + ι) ln(1 + ι) To je kritický (stacionární) bod. Přitom funkce z (t + 1)ln(1 + ι) roste monotónně v závislosti na t, takže nalevo od kritického bodu je funkce rostoucí a všude napravo je klesající a tedy funkce má v kritické bodě absolutní maximum. Dosaïme nějaké hodnoty. Při inflaci, jejíž míra je 1/100 dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 99,5, při inflaci, jejíž míra je 1/2 dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 19,5, Je-li míra inflace 13 20 dosáhne reálný stav účtu svého maxima přibližně v čase 1, tedy v době druhé úložky, takže vůbec nemá smysl spořit. 3.2.6.3 Poznámka: Reálná hodnota dosáhne maxima v bodě, který nezávisí na velikosti částek, které ukládáme. Hodnota toho maxima ovšem na velikosti ukládaných částek závisí. 3.2.6.4 Poznámka: X′′ (t) = −2 z ln(1 + ι) (1 + ι)t + z (t + 1)(ln(1 + ι))2 (1 + ι)t 3.2.6.5 Cvičení: V jakém čase je reálná hodnota celé naspořené částky menší, než byla reálná hodnota první úložky v čase, kdy jsme ji uložili? 10