Početní základy finanční matematiky
sylabus 2. přednášky
(5.5)
26. 9. 2005
3.3 Úrok a lichva
Úrok od u-řéci umluviti, totiž umluvená částka, ujednaná dávka, tj. lhůtový plat z nájmu a pod (nyní jen z
peněz).
Příliš (stč. přieliš) pře- a lichý vl. nadbytečný, tedy původně přebytečný odtud lichva, braní příliš vysokého
úroku. Slovo je všeslovanské vyjma slovenštiny. Staroslověnské lichojimati znamená bráti úrok příliš, nad slušnou
míru.
Václav Machek. Etymologický slovník jazyka českého, nakladatelství lidových novin, praha 1997
Josef Holub, Stanislav Lyer: Stručný etymologickýslovník jazyka českého se zvláštnímn zřetelem ke slovům
kulturním a cizím, Státní pedagogické nakladatelství praha, 1992
Živit se podvodem, lstí, triky, věštěním, lichvou a čímkoliv, co ubližuje jiným, je špatný způsob živobytí.
Sutta-Pitaka, Madžadžihima-Nikája (sbírka středních poučení Budhostického kánónu) 117
úrok, stč. = daň; roční plat, na př. z pozemku nebo za ochranu, poplatek. To, co my nazýváme úrokem,
označovali Kraličtí staročeským výrazem *lichva. Hebrejština má pro tyto obchodní zvyklosti dva výrazy: „nešek“
překládané výrazem lichva, t.j. úrok z peněz, a „marbít“, překládané výrazy úrok, zisk. První se týkal peněžní
půjčky, druhý poplatku v naturáliích, který člověk slíbil dáti tomu, kdo mu vypomohl v okamžité nouzi obilím,
pokrmem, apod. *Půjčiti, půjčovati. Obojí bylo zakázáno v poměru k chudým Izraelcům
Ex (2. Moj.) 22,25: Jestliže půjčíš stříbro někomu z mého lidu, zchudlému, který je s tebou, nebudeš se k němu
chovat jako lichvář, neuložíš mu úrok.
Lv (3. Moj.) 25,35-37: Když tvůj bratr zchudne a nebude moci vedle tebe obstát, ujmeš se ho jako hosta a
přistěhovalce a bude žít s tebou. Nebudeš od něho brát lichvářský úrok, ale budeš se bát svého Boha. Tvůj bratr
bude žít s tebou. Své stříbro mu nepújčuj lichvářsky, na poskytované potravě nechtěj vydělávat.
ale sr.
Dt (5. Moj.) 23.20: Svému bratru nebudeš půjčovat na úrok, na žádný úrok ani za stříbro ani za pokrm ani za
cokoli, co se půjčuje na úrok.
Dt 15,7-11
Dt 15, 7-11: Bude-li u tebe potřebný někdo z tvých bratří, v některé u tvých bran v tvé zemi, kterou ti dává
Hospodin, tvůj Bůh, nebude tvé srdce zpupné a nezavřeš svou ruku před svým potřebným bratrem. Ochotně
mu otvírej svou ruku a poskytni mu dostatečnou půjčku podle toho, kolik ve svém nedostatku potřebuje. Dej
si pozor, aby v tvém srdci nevyvstala ničemná myšlenka, že se blíží sedmý rok, rok promíjení dluhů; že tedy
budeš na svého potřebného bratra nevlídný a nedáš mu nic. On by kvůli tobě volal k Hospodinu a na tobě by byl
hřích. Dávej mu štědře a nebuï skoupý, když mu máš něco dát, neboŅ kvůli tomu ti Hospodin, tvůj Bůh, požehná
ve všem, co děláš, ve všem, k čemu příložíš ruku. Potřebný ze země nevymizí. Proto ti přikazuji: Ve své zemi
ochotně otvírej ruku svému utištěnému a potřebnému bratru.
nařizuje, aby se nuznému půjčovalo z lásky, tj. bez úroku (lichvy) a poplatků. Mezi vlastnostmi spravedlivého
(=zbožného) je vypočítáno i to, že nedává na lichvu a nebere na úrok
Ez 18,8.17: /spravedlivý. . . ./ 8) nepůjčuje lichvářsky a nebere úrok, odvrací se od bezpráví,vykonává pravdivý
soud mezi mužem a mužem,. . . 17) neodtáhne svou ruku od utištěného, nevezme lichvu ani úrok,. . .
kdežto člověk, který činí pravý opak, nemůže obstát před Bohem
Ez 18,13: /Pokud však zplodí syna rozvratníka, který bude . . . / 13) půjčovat lichvářsky a brát na úrok, bude žít?
Nebude žít; dopoštěl se všech těchto ohavností, jistě zemře, jeho krev bude na něm. . .
Př 28,8
Př 28,8: Kdo shromažïuje svůj statek lichvou a úrokem, shromažïuje jej pro toho, kdo se smilovává nad nuznými.
praví, že ten, kdo rozmnožuje svůj statek lichvou (nešek) a úrokem (tarbít, odvozeno od téhož kořene jak marbít),
shromažïuje ne sobě, ale tomu, kdo bude lépe umět hospodařit s majetkem ve prospěch chudých
Př 13,22: Dobrý zanechá dědictví vnukům, kdežto jmění hříšníka bývá uchováno pro spravedlivého.
Jb 27,16-17: Kdyby někdo nakupil stříbra jak prachu a navršil oděvů jak hlíny, co navrší, to oblékne spravedlivý
a stříbro připadne nevinnému.
L 19.24: Své družině pak řekl: „Vezměte mu tu hřivnu a dejte ji tomu, kdo má deset hřiven!“ (Podobenství o
hřivnách)
11
U Ezd 4,13
Ezd 4,13: Nuže, známo buï králi, bude-li toto město vystavšno a jeho hradby dokončeny, že už nebudou odvádět
daně, dávky z úrody ani jiné poplatky, takže královská pokladna utrpí škodu.
jde o tři druhy poplatků, které vybírali Peršané od podrobených zemí: „plat“ tj. poplatky daňové, „clo“ tj. naturální
dávky a „úrok“ tj. poplatky těch, kteří užívali státních silnic. Podobně
Ezd 7,24: Buï vám také známo, že žádnému knězi ani levitovi, zpěvákovi, vrátnému, chrámovému nevolníkovi
a služebníku Božího domu se nesmějí vyměřit daně, dávky z úrod a jiné poplatky.
kde perský král Artaxerxes vyňal kultický personál židovský z povinnosti daňové jakéhokoli druhu. Nejspíše
platilo totéž o kněžích v Persii.
Adolf Novotný: Biblický slovník, 1956, Ústřední církevní nakladatelství, edice Kalich, 2.vydání, heslo
„úrok“88
3.3.1 Úročení částek v ustáleném stavu
3.3.1.1 Zatímco inflace je spontání jev, který můžeme pozorovat, úrok vzniká z naší vůle, je to cena doby držení kapitálů
a můžeme jej stanovit libovolně tak jako cenu jakéhokoliv jiného zboží ovšem v souladu se sdílenou vůlí, tedy
podle nabídky a poptávky. Tak například banky stanovují úrokovou míru svévolně, bez ohledu na podmínky za
nichž uzavřeli smlouvy s klienty a stydlivě tuto skutečnost oznamují jako změnu obchodních podmínek.
3.3.1.2 Definice: Úrok je přírůstek hodnoty kapitálu. Úroková míra je relativní hodnota tohoto přírůstku k velikosti
kapitálu na počátku.
3.3.1.3 Uvažujme účet, na nějž neukládáme ani z něj nevybíráme po celou dobu t0, t1 . Úrok za dobu t0, t1 je rozdíl
nominálního stavu tohoto účtu. Efektivní míra úroku za dobu t0, t1 je podíl úroku a nominální hodnoty ůčtu v
čase t1.
3.3.1.4 Poznámka: Pokud je efektivní úroková míra rovna v každém okamžiku inflaci, zůstává zachována reálná hodnota
účtu. Pokud je efektivní ůroková míra 0 zůstává zachována nominální hodnota účtu.
3.3.1.5 Poznámka: Morální výtky půjčování openěz na úrok (U Aristotela, v Koránu, v Bibli. . . ) možná nepočítají s
inflací a daly by se chápat jako výtky takové úrokové míře, která je vyžší než míra inflace, protože v době, kdy je
formulovali byla míra inflace nula a tento stav se považoval za samozřejmý a neměnný.
3.3.1.6 Předpokládejme, že x(t) je funkce, která udává nominální stav účtu v čase t. Předpokládejme, že inflace má
konstantní míru. Pokud má být zachován reálný stav účtu, musí být podle 3.2.2.12
x(t) = x0 · (1+ξ)t
,
kde ξ je efektivní úroková míra za časovou jednotku. Tuto formuli můžeme použít jako definici úročení bez ohledu
na inflaci. Úrok a úročení jsou pak pojmy týkající se nominální hodnoty. Proto se dobře počítají, ale nemají reálný
význam, totiž, otázku zda je úrok vysoký, nebo nízký, lze bez znalosti inflace zodpovědět jen komparací s jinými
úroky a odpověï bude mít jen relativní platnost.
3.3.1.7 Vztah 3.3.1.6 má i tento význam: Pokud je ξ úroková míra (nějaké reálné číslo) za jednotku času, a pokud je
hodnota nějakého kapitálu v čase t0 rovna x je hodnota téhož kapitálu v čase t1 rovna
x(t) = x0 · (1+ξ)t1−t0
3.3.1.8 Definice: Je-li t1 = 0 nazývá se x(t) v 3.3.1.7 současná hodnota.
3.3.1.9 Definice: Je-li t1 > 0 nazývá se x(t) v 3.3.1.7 budoucí hodnota.
3.3.2 Úročení
3.3.2.1 Uvažujem rovnici 3.3.1.6 v čase t = 1.
3.3.2.2 Buï v čase t = 0stav účtu x(0) = x0. Pro efektivní úrokovou míru ξ platí: stav účtu v čase t = 1je
x(1) = x(0)· (1+ξ) = x(0)· κ
.
3.3.2.3 Pro úrok η platí: stav účtu v čase t = 1
x(1) = x(0)+η
12
.
3.3.2.4 Otázka je, jaký bude stav účtu v čase t = 0, t = 1. Nejprve se zabývejme okamžiky času, které jsou celým číslem
t ∈ N
3.3.2.5 Pokud budeme chtít, aby byl zachován vztah 3.3.2.3, tj. aby úrok zůstal konstantní, dostaneme:
3.3.2.5.1 • jednoduché úročení:
xn = xn−1 +η
η = ξ · x0
(cena času držení kapitálu je lineární funkcí času.) Pokud budeme chtít, aby v byl zachován vztah 3.3.2.2 tj.
aby efektivní úroková míra zůstala konstantní, dostaneme:
3.3.2.5.2 • složené úročení:
xn = xn−1.κ
κ = 1+ξ
(cena času držení kapitálu je exponenciální funkcí času.)
3.3.2.6 Poznámka: Někdy se udává míra úroku ve zlomku, jehož jmenovatel je 100, tedy procenty (z lat pro cento = ze
sta).
3.3.3 Jednoduché úročení. Úrok, se nepřipisuje k základu a neuročí se dále. Příkladem jednoduchého úročení jsou
kupónové dluhopisy.
3.3.3.1 Definice: Celá část je zobrázení značené obvykle hranatou závorkou (argument se píše do ní) a definované
předpisem: −]: R −→ Z
x −→ n ∈ (x − 1;x
3.3.3.2 Rekursivní vztah: Jednoduché úročení je monotóním řešením rovnice 3.3.2.5.1 Tj., je-li úroková míra ξ, máme
x1 = x0(1+ξ)
x2 = x0(1+2ξ)
...
xn = x0(1+nξ)
...
Rovnice má řešení například: x(t) = x0 · (1+tξ)
nebo x(t) = x0 · (1+ t]ξ)
3.3.3.3 Definujeme:
3.3.3.4 Definice: Spojité jednoduché (polhůtní) úročení s efektivní úrokovou mírou ξ je zobrazení
1: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+tξ).
Diskrétní jednoduché (polhůtní) úročení s efektivní úrokovou mírou ξ je zobrazení
2: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+ t]ξ).
3.3.3.5 NechŅ stav účtu x v čase t je určen funkcí 1 tj. x = 1 a ξ je efektivní úroková míra v čase 1. Pak efektivní
úroková míra v čase t je t · ξ.
3.3.3.6 Definice: Uvažujmenějaké úročení(jednoduché,spojité. . .) a čas t, který nazvemeinterval připisováníúroků. Buï
ξ(t)efektivní míra úroku v čase t. Nominální úrok v čase τ definujeme jako efektivní úrok úročením definovaným
funkcí 1 v čase τ.
3.3.3.7 Tedy pojem nominální a efektivní úrok při úročení 1 splývají. Je-li úročení definováno nějakou jinou funkcí
(například jde-li o složené úročení), pak efektivní úrokobvá míra je definována 3.3.1.3 a jako multiplikátor udává
stav účtu, zatímco nominální úroková míra je čistě formální pojem, který souvisí se stavem účtu jen nějakým
přepočtem.
3.3.3.8 Definice: (Obchodní neboli bankovní) diskont je jméno pro úrok v případě, že doba, ve které počítáme stav je
záporná.
Například převezme-li banka nějakou pohledávku před dobou její splatnosti, nevyplatí celou její výši, ale ponechá
si diskont jako náhradu. Diskont se vyplácí při obchodování s krátkodobými cennými papíry.
3.3.3.9 Poznámka: o zaokrouhlování. . .
13
3.3.4 Složené úročení
3.3.4.1 Složené úročení je řešením funkcionální rovnice 3.3.2.5.2. Jí jsou určeny hodnoty v čase t ∈ N:
x1 = x0(1+ξ)
x2 = x0(1+ξ)2
x3 = x0(1+ξ)3
...
xn = x0(1+ξ)n
...
n ∈ N (úroková míra je stále ξ, úrok je stále větší.) Potřebujeme dodefinovat hodnoty v čase, který není celé číslo.
Uvažujme tři různá řešení rovnice 3.3.2.5.2:
3.3.4.1.1 • po částech konstantní například 1: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+ξ)t]
3.3.4.1.2 • po částech afinní 2: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+ξ)t] 1+ξ(t − t])
3.3.4.1.3 • exponenciální 3: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+ξ)t
.
3.3.4.2 Poznámka: 2 z 3.3.4.1.2 bývá nazýváno smíšené úročení. 3 z 3.3.4.1.3 je identické s 3.3.1.6.
Banky používají nejčastěji úročení 3.3.4.1.1 kde doba, po kterou zústává úrok konstantní je jeden den. Úrokovou
míru většínou uvádějí pro volbu jednotky času jeden rok:
3.3.4.3 Poznámka: Jiným příkladem po částech konstantního složeného úročení je funkce:
′
1: R × R × R −→ R
(x0, ξ, t) −→ x0 · (1+ξ)1
n · t·n]
n ∈ N. Je to složené úročení s efektivní úrokovou mírou ξ v čase 1s připisováním úroků v čase 1/n.
Vhodnou aproximací (protože den je doba v našich úvahách většinou velice krátká) úročení 3.3.4.1.1 je a s funkcí
3 se počítá mnohem lépe, než s funkcí 1.
3.3.4.4 Poznámka: Vždy, když nebude explicitně ad hoc řečeno (napsáno) něco jiného, budeme předokládat, že úročení
je s denním připisováním úroků (délka času 1/n je jeden den) a ve výpočtech budeme funkci ′
1 aproximovat
funkcí 3 z 3.3.4.3
Úročení 3.3.4.1.2 Je dobrou počtářkou aproximací pro instituce, které musí často počítat úrok a nemají počítače
ani kalkulačky, ale jen tabulky s předem vypočítanými hodnotami. Provádějí pak lineární interpolaci úroky mezi
tabelovanýmihodnotami.A přestože je již cena kalkulařček nižší . než cena tabulek, najdou se ústavy, které počítají
úrok vztahem 3.3.4.1.2 i když na to používají programy, které by mnohem rychleji počítali hodnoty podle vztahu .
3.3.4.5 Poznámka: Po částech afinní úročení je pro vkladatele výhodnější, než spojité (exponennciální), protože exponenciální
funkce se základem větším než 1 je konvexní a graf funkce 2 tvoří sečny grafu funkce 3.
3.3.4.6 Příklad: 21. 1. máme na kontě 10. zlatých 16. 3. uložíme dalších 10 zlatých a 7. 9. ještě 20 zlatých. Jaký bude
stav účtu při roční úrokové míře 1/201. 1. následujícího roku?
3.3.4.7 Řešení: Denní úroková míra je
ζ = (1+5/100)1/365 − 1 = 1
20 211/365 20364
365 − 1 .
= 0.000133681
a stav účtu bude 1. 1.
10(1+ζ)PocetDniDoKonceRoku(21,1) +10(1+ζ)PocetDniDoKonceRoku(16,3)
+20(1+ζ)PocetDniDoKonceRoku(7,9) =
= 10(1+ζ)344 +10(1+ζ)290 +20(1+ζ)115 =
= 41,17564629
3.3.4.8 Příklad: Za jak dlouhou dobu bude nominální stav vašeho účtu 120 chechtáků, když v na něj čase 0 uložíte 90
chechtáků a úroková míra je 0,05 po dobu, kdy je nomiinální stav účtu menší než 100 chcetáků a 0,07 po dobu,
kdy je větší, než 100
14
3.3.4.9 Řešení: Nejprve vypočítáme, za jak dlouhou dobu bude na našem účtu 100chechtáků. vyřešíme rovnici
90· 1,05t
= 100
její řešení je
T1 := 2,159462208.
Potom vypočítáme, za jak dlouhou dobu stav účtu naroste ze 100 na 120. Rovnice
100· 1,07t
= 120
má řešení
T2 := 2,694726556.
Nakonec obě doby sečteme. Stav účtu bude mít nominální hodnotu 100 chcetáků za dobu
T1 +T2 = 4,854188764
Přitom jednotka času je táž, v jaké je vyjádřena míra úroku. Pokud se například úroky připisují pouze v okamžicích
t = 1
365, 2
365, 3
365,. . . můžeme říci, že nominální stav účtu nikdy 120 nebude. Ale první okamžik, kdy můžeme
na účtu s částkou 120chechtáků počítat vypočítáme takto. Nejprve určíme oprvní okamžik (T1), kdy stav účtu
překročil 100chechtáků T1 ≥ T1 Je to nejbližší větší celé číslo k řešení rovnice
T1x/365
s neznámou x. Je to celé číslo
T1 = 789
a je to počet dní, po kterých budeme mít na ůčtu 100chechtáků a nebo více. Pak spočítáme, za jak dlouho by tato
částka narostla úročením na 120chechtáků:
90· 1,05T1/365 · 1,07t
= 120
reálné řešení této rovnice označíme t2 = 2,693153345a najdeme nejblížší větší celočíselný násobek čísla 1/365
k t2, což je nejbližší větší celé číslo k řešení rovnice:
T2 = x · 1/365
a je to číslo
T2 := 984.
Počet dní, po které musíme spořit je
T1 +T2 = 1773
což je 4,857534247let. V tu chvíli ovšem budeme na účtě mít už 120,0222245chechtáků.
3.3.4.10 Příklad: Při jaké úrokové míře za jenotku času je stav obou účtů po době T := 2stejný, je-li na prvním na počátku
x1 = 1234zlatých a jednoduché úročení a na druhém na počátku x2 := 1230zaltých a složeném úrčení?
3.3.4.11 Řešení: Řešení jsou kořeny rovnice:
1234+2468ξ = 1230(1+ξ)2.
jde o kvadratickou rovnici, která má dvě řešení:
ξ = 2
615 + 1
615
√
1234, ξ = 2
615 −
1
615
√
1234
ale jen jedno je kladné. Je to úroková míra
ξ = 0,06037127828
tedy 6%.
15
3.3.5 Reálná úroková sazba a čistý výnos
Předpokládejme, že vklad, zúročený za určité období (po čase t = 1) úrokem o míře ξ je znehodnocen inflací o
míře ι. Jaký je reálný ůrok ζ?
3.3.5.1 Reálý stav účtu je X = X0·(1+ξ)
(1+ι) a my hledáme takovou úrokovu sazbu ζ, pro kterou platí:
X0 · (1+ξ)
(1+ι) = X0 · (1+ζ)
máme tedy
ζ = 1+ξ
1+ι
− 1
3.3.5.2 Předpokládejme, že úrok, jako zisk, podléhá zdanění δ (které je vlastně úrokem ze zisku, předpokládejme, že je
počítán za stejné období). Potom čistý výnos při úroku ξ z částky x0 v čase 1 je
x0ξ − δx0ξ
3.3.5.3 Tedy dohromady máme: Je-li míra inflace za nějaké období ι, míra úroku za toto období ξ a daň δ je čistý reálný
stav účtu na konci tohoto období
X = X0 ·
1+ξ · (1− δ)
1+ι
pokud na počátku byla uložena částka x0 a pak již žádná částka nebyla ani ukládána ani vybírána.
3.4 Po částech ustálený stav
3.4.0.1 Definice: Funkce je po částech exponenciální (skoro všude), jestliže každý bod (až na konečně mnoho výjímek)
má okolí, na kterém je funkce exponenciální.
3.4.0.2 Příklad: Předpokládejme rok o 360 dnech s 12 měsíci po 30 dnech. Ukládáte na účet 100 kč. Účet se úročí a míra
úroku je 0.05 p. a.. kolik bude na učtě na konci roku když Uložíte jen jednou a to
3.4.0.2.1 • na začátku roku
3.4.0.2.2 • v polovině roku
3.4.0.2.3 • dvakrát a to
• na začátku roku a v polovině roku
• v polovině roku a na konci roku
3.4.0.2.4 • dvanáctkrát a a to
• na začátku každého měsíce
• na konci každého měsíce.
3.4.0.3 Současnou hodnotu účtu (present value) označíme PV . Čas budeme počítat ve dnech.
PV :=
360
t=1
(z(t)· (1+xi)(360−t)/360
kde zt je postupně jedna z funkcí
z1 := 100 t = 1
0 t = 0
PresentValue1 = 104,9857705
z2 := 100 t = 180
0 t = 0
PresentValue2 = 102,4695077
z3 :=
100 t = 1
100 t = 180
0 otherwise
PresentValue3 = 207,4552782
z4 :=
100 t = 180
100 t = 360
0 otherwise
PresentValue4 = 202,4695077
16
PresentValue3 = PresentValue2 +PresentValue1, PresentValue4 = PresentValue2 +100, protože poslední
úložka se už neúročí.
3.4.0.4
z5 = 1 (t − 1)/(30) ∈ N
0 otherwise
Ve skutečnosti zde sčítáme řadu
12
i=1
100 (1+ξ) 1
360 Doba(i) =
= 100 (1+ξ) 1
360 Doba(1) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(2) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(3) +
+100 (1+ξ) 1
360 Doba(4) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(5) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(6) +
+100 (1+ξ) 1
360 Doba(7) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(8) +100 (1+ξ)1/30 Doba(9) +
+100 (1+ξ) 1
360 Doba(10) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(11) +100 (1+ξ) 1
360 Doba(12) =
= 1232,090758,
kde Doba:i → 389− 30i. Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem
q = (1+ξ) 1
360 Doba(i+1) (1+ξ) 1
360 Doba(i) = 1,05359
360 −i/12 1,05389
360 −i/12 −1
t = 0,9959424073
a
a1 = 100· (1+xi)Doba(i)/360
i=1
= 104,9857705
a tu můžeme sečíst podle obecného vzorce
PresentValue5 = a1 1− q12
1− q
= 1232,090758
3.4.0.5 Případ, kdy spoříme na konci měsíce se liší od předchozíhopouze funkcí Doba a současnou hodnotouprvní úložky.
Kvocient je stejný jako v předchozím případě a počet členů řady také:
z6 = 1 (t)/(30) ∈ N
0 otherwise
Doba:i → 360− 30i,
a1 = 104,5739528
PresentValue6 = 1227,257753
Platí
PresentValue5
PresentValue6
= (1+ξ) 29
360 = 1,00393805
3.4.0.6 Budeme znovu předpokládat,že se vklad v čase mění. Předpokládejme,že na účet, jehož stav je 0postupně uložíme
v okamžicích t0 < · · · < tn částky z0,. . . zn. Je-li zi záporné, znamená to, že jsme v okamžíku ti částku −zi
vybrali. Jaký je stav účtu v čase t ≥ tn při konstantní úrokové míře?
3.4.0.7 Každá částka zi se úročí po dobu t − ti, tedy stav účtu v čase t je podle 3.3.1.6
x(t) =
n
i=0
zi · (ξ +1)(t−ti)
(ξ je míra úroku za dobu 1).
3.4.0.8 Pokud jsou všechny úložky stejné ∀i:zi = z okamžiky ekvidistantní ∀i:ti+1 − ti = t tak řada 3.4.0.7 je
geometrická řada a je-li t0 = 0, t = tn má n +1členů, z nichž první je ten, který dostaneme pro i = n a je to z a
kvocient řady je ξ +1. Máme:
x(t) =
n
i=0
z · (ξ +1)(n−i)· t j=i−n
=
n
j=0
·z · (ξ +1)(j· t) sou et geometrick ady
= z · ((ξ +1) (t)·(n+1) − 1)
(ξ +1) (t) − 1
17
3.4.0.9 Podobný vzorec bychom mohli odvodit i pro jednoduché úročení, zde by řada byla aritmetická. Naším cílem
je však odvodit obecnější vzorec, který by zahrnoval vzorce pro předlhůtní i polhůtní spoření, splácení dluhů a
vyplácení důchodů z učebnic finanční matematiky. pojmy předlhůtní a polhůtní spoření používáme jen jako relikt
tradice. Všecny problémy spoření můžeme vyřešit již provedenými úvahami nebo jejich modifikací.
3.4.0.10 Poznamenejmejen ještě, že v okamžiku,kdy nebudouintervalyúložek zcela ekvidistantnía nebo částky konstantní,
pak budeme muset sečíst řadu 3.4.0.7 bez vzorečků člen po členu.
3.4.0.11 Příklad: Hypotéční úvěr je úvěr, za který dlužník ručí nemovitostí. O hypotékách se většinou hovoří, jsou-li
půjčené peníze přímo použity na nákup nemovitosti, o amerických hypotékách, jsou-li použity na něco jiného.
Protože tato záruka je dosti jistá, úrokové míry jsou většinou relativně malé (v roce 2004 ξ = 0.04– 0.03). Banka
poskytne hypotéční úvěr na dům většinou pouze je-li tento dům pojištěn a má-li životní pojistku i osoba, které
půjčku poskytuje, což zvyšuje náklady na hypotéky přibližně o 2000 Kč měsíčně (2004). Obvyklé obchodní triky
bank spočívají v tom, že si osobuje právo po určité době úrokovou sazbu svévolně a libovolně měnit (tzv. doba
garance úrokové sazby je menší než doba splatnosti dluhu) a že si počítá různé poplatkly za zřízení hypotéky a její
vedení.
Po odečtení všech těchto položek z částky, kterou doufáme v budoucnu disponovat, se dostáváme k odhadu toho,
jak velkou půjčku si můžeme vzít.
Předpokládejme, že všechny splátky budou o stejné nominální výši z.
Úrokové míry se udávají většinou p. a., ceny nejlevnějších nemovitostí jsou v současné době kolem miliónu korun.
maximální doba splátek je 15 – 20 let. V úvahu rovněž přichází i fakt, že bydlíme-li ve vlastním domě, nemusíme
platit nájem, takže splácení hypotéky zatíží náš rozpočet namísto placení nájmu.
Současná hodnota dluhu je velikost úvěru, který u banky získáme.
Současná hodnota splátky o velikosti z učiněné za n měsíců tj. její hodnota v současnosti je z(1+ξ)n/12 (první
splátku splatíme měsíc po té, co dostaneme hypotéku.)
Sečteme-li současnou hodnotu všech 12n splátek, kde n je počet let, které budeme splácet hypotéku, dostaneme
12N
i=1
z (1+ξ)−i/12 = −
z (1+ξ)−N
− 1
−1+(1+ξ)1/12
což je velikost půjčky, kterou těmito splátkami splatíme. Tak například při ůrokové míře 3.5% splatíme za 15 let
splátkami o velikosti 11000dluh 1.59738·106 což je v současnosti cena pěkného leč malého domku alespoň 50km
od Brna, nebo garsonky v Brně.
3.4.0.12 Příklad: Stavební spoření. Stavební spoření je název finančního produktu, který vznikl v polovině devadesátých
letech v důsledku ustanovení zákona. Jeho myšlenka byla taková, že stát (tedy všichni daňoví poplatníci) bude
přispívat těm lidem, kteří si založí stavební spoření. Poklud by si založili stavební spoření všichni ve stejné výši
znamenalo by to pouze, že se jim zmenší daně a že na tom zbohatnou banky. Pokud by si ovšem někdo stavební
spoření nezaložil, připlácel by svými daněmi ostatním (o značnou část by je ovšem připravila banka).
Po pěti letech bylo možno naspořenou částku použít na cokoliv. To zmenšilo skupinu zájemců na ty, kteří chtěli
spořit takto dlouhou dobu.
Pozdější zákon snížil velikost státních příspěvků. V původní podobě, které vydržela přes deset let byl státní
příspěvek minimem ze 1/4 naspořené částky (uložená částka, úroky ze stavu z minulého roku a úrok ze státní
podpory) a 4500 korun.
Protože státní příspěvek byl velký, banky nabízeli celkem malý úrok. I tak celkový výnos byl větší než u většiny
jiných spoření.
Odhlédneme od možností čerpání úvěru, poplatků za zřízení a vedení účtu, většinou nehorázně vysokých a
stanovíme jaký je výnos tohoto spoření.
V principu podobné jsou i systémy důcodového spoření, ovšem trvají většinou delší dobu.
Za každý rok ukládáním naspoříme častku
rok =
12
i=1
(1+ξ)i/12 .
Předpokládáme, že začneme spořit na začátku roku a že ukládáme měsíčně stále stejné částky, i když je výhodnější
ukládat je někam jinam a posílat je do stavební spořitelny až na konci roku. Předokládáme, že ukládáme na začátku
měsíce a že částky jsou dosti malé, takže státní podpora bude vždy 1/4 z naspořené částky. Protože chceme
18
počítat výnosnost, můžeme si tuto částku zvolit (výnosnost je na velikosti ukládane částky nezávislá, pokud je tato
dostatečně malá). Zvolme si ji rovnu jedné.
Předpokládejme dále, že státní podpora se vyplácí na začátku roku, i když tento předpoklad je hrubé přecenění
schopnosti státních úředníků.
Státní podpora připsaná na začátku prvního roku se počítá z částky R0 = 0naspořené v nultém roce a je
SP1 = 0
a naspořená částka za první rok je
Rok1 = rok +Sp0.
obecně pro i od dvou do pěti platí:
Spi = 1/4Roki−1 − 1/4Roki−2 − 1/4Spi−1
Roki = rok +(1+ξ)Roki−1 +Spi (1+ξ)
a šestý rok je už jen připsána státní podpora za pátý rok:
Rok6 = Rok5 +SP6
výpočet provedeme postupně, nebo jedním cyklem na počítači. Dosazením 0.03 za úrokovou, míru postupně
dostaneme
Sp1 = 0Rok1 = 12.194119,
Sp2 = 3.048529,Rok2 = 27.894048,
Sp3 = 3.162849,Rok3 = 44.182724,
Sp4 = 3.281456,Rok4 = 61.082225,
Sp5 = 3.404511,Rok5 = 78.615458,
Sp6 = 3.532180,Rok6 = 82.147638
To je výnos po pěti letech ktrého dosáhneme ukládáním 1 koruny měsíčně. Pokud ji chceme porovnat s výnosem z
běžného měsíčního spoření, hledáme úrokovou míru, která nám dá stejnou naspořenou částku, tj. řešíme rovnici:
60
i=1
(1+ζ)i/12 = Rok6
Uvedená rovnice je rovnicí šestého stupně a proto ji musíme řešit numericky. její řešení je
0.1251627596
tj. stavební spořenís úrokem3% a se státním příspěvkem25% je stejně výhodnéjako spořeníbez státníhopříspěvku
s úrokem 12% (zbylých 5% a patrně i více nás zbaví poplatky za vedení účtu.)
19