Uvažujme nejakou půjčku, kterou chceme dlouhodobě splácet. Současná hodnota všech splátek při smluvené úrokové' míře je rovna současné' hodnotě půjčky: ( í N (U W X*(i+šr 12 > restart; A := subs N =12 PocetLet, simplify' v=i ) Dluh := unapply(A, x, £, PocetLet); ((\+tÝ-PocetLet)-\)x -l + (l+i)(1/12) ((l+k)(~PocetLet)-l)x Dluh := (x, i, PocetLet) —> — —-------------------,.,...' (1) -1 + 0+5) (1/12) JSoučasná hodnota splátekpři úrokové míře 0.04 a při splátkách na dobu 20 let je zx:=\ 66.0526046 x (2) z[l]:=Dluh\x, ^,20. tj. můžeme si půjčit > subs(z[l ] = \,xxx); xxx (3) =násobek toho, co budeme měsíčně splácet. Pokud nám někdo jiný nabídne půjčit peníze s úrokovou mírou 0.025, bude současná hodnota všech =splátek, čili to, co si můžeme půjčit > z[2]:=Dluh(x, |^,20. z2:= 189.2039255 x (4) =cožje *' z[2] ' i-0.1223617366 (5) > krát více =někdo by řekl o dvanáct procent víc. Budeme se obecněji zabývat tímto problémem: jak se projeví změna úrokové' sazby na velikosti =současne' hodnotz nejake'ho finančního toku, zejména pokud je tento tok půjčkou a splácením dluhu. > ^Příklad: > with(plots) : Warning, the name changecoords has been redefined > Změnu úrokové sazby vyjádříme multiplikativně (číslem ô, tak jako úrok úrokovou mírou) Změnu úrokové sazby vyjádříme multiplikativně (číslem ô, tak jako úrok úrokovou mírou) (6) > JJX. simptijyy Dluh(l,Z,T) )' . ,.JDM(u+5,r)-ůM(u,n & ■= smpl'fy\---- dmíUt) /:=#! #i== (-i + (i + ^+j:ô)(1/12)) (-i + (i+or) - (i+0^rf 12 ^ (1+? + Cô)(_r)+ (l+o^ 12 (i + or(i+?+i:ô)( r) -i + (i +£ + šô)(1/12)- (i +0r(i +S + Sö)(1/12) #2== (-i + (i+^ + ô)(1/12)) (-i + (i+or) -(i+ov 12;(i+í:+ô)( r) + (i+ov 12 + (i +£ + ô)(1/12)- (i +or(i+^ + ô)(1/12) (i+0r(i+í + ô)( T) -i /:= (i+or(i+i: + cô)( T) i r + 12 (-1 + (i +s + £ô)(1/12)) (-1 + (i +or) + (i +í; + ^ô)(1/12)- (i +qt (i +i; + i;ô)(1/12) > A:=plot(subs(T=20,zeta=0.04,f),delta=-0.5..0.5,color=red); B:=plot(subs(T=30,zeta=0.04,f),delta=-0.5..0.5,color=blue); C:=plot(subs(T=20,zeta=0.05,f),delta=-0.5..0.5,color=navy); display(A,B,C); i4 :=INTERFACE_PLOT(...) 5 := INTERFACE_PLOT(...) C := INTERFACE_PLOT(...) (7) > To nám dává první představu o citliovosti půjčitelne' čátky na úrokové' míře. Pro male' změny úrokové' sazby (mlá ô), má smysl vypočítt lineární část přírůstku současné' hodnoty splátek (tj nahradit křivku na obrázku přímkou, kterante' křivce bude tečna). Vypočítáme tazloruv polynom stupně 1: > v našem případě: > tau:=taylor(subs(T=20,zeta=0.04,f),delta=0,2); C:=plot(convert(tau,polynom),delta=-.5..0.5,color=black); display({A,C}); t := -0.3364440513 Ô + o(ô2) C :=INTERFACE_PLOT{...) 0.15- I—I—I—I—I—|—I—I—|0

simplify {taylorif, <5 = 0, 2 ), power, symbolic); J_ g(-12r(l+g)(11/12) + l +Z + 12T+12TZ- (1+Qr- (1 +Qrc) 12 (-1 + (1 +Q(1/12)) (1 +Q(23/12M-1 + (1 +Or) 5+o(ô2) =vzorec pro aditívni vyjdreni prirustku: > ff2'= simplify f-=ff2; ffy-= Dluh (1, X, + 8, T) - Dluh (1, C 7Q DM(i,;r) (-1 + (1+S + 8)(1/12)) (-l + (l+Or) (i+Or(i+í + ô)( r) f 12^(i+í:+ô)( T) + (i+^Thu -1 /:= + (i +s + ô)(1/12)- (i +or(i+C + ô)(1/12) 1 (l+Or(l+^ + 5)(_n T + (-1 + (i +£ + ô)(1/12)) (-1 + (i +or) -(i+Ov 12 j(1+í: + ô)( r)+(i+ov i2;_j + (i + £ + ô)(1/12)- (i +C)r(i+C + ô)(1/12) > A:=plot(subs(T=20,zeta=0.04,f),delta=-0.02..0.02,color=red); B:=plot(subs(T=30,zeta=0.04,f),delta=-0.02..0.02,color=blue); C:=plot(subs(T=20,zeta=0.05,f),delta=-0.02..0.02,color=navy); display(A,B,C); A :=INTERFACE_PLOT(...) 5 := INTERFACE_PLOT(...) C := INTERFACE_PLOT(...) (9) -0.02 -0.2H > To nám dává první představu o citliovosti půjčitelne' čátky na úrokové' míře. Pro male' změny úrokové' sazby (mlá ô), má smysl vypočítt lineární část přírůstku současné' hodnoty splátek (tj nahradit křivku na obrázku přímkou, kterante' křivce bude tečna). Vypočítáme tazloruv polynom stupně 1: > v našem případě: > tau:=taylor(subs(T=20,zeta=0.04,f),delta=0,2); C:=plot(convert(tau,polynom),delta=-.02..0.02,color=black); display({A,C}); t := -8.411101277 Ô +o(ô2) C :=INTERFACE_PLOT{...) obecně: > simplify (taylor (f, ô = 0, 2 ),power, symbolic); (10) 12 (-1 + (1 +0(1/12)) (-1 + (1 +ď) (1 +0(23/12) j^-\-l2T(l+Qinn2) + l+^ (10) n I'- ll + 12T+12TC-(1+C)V 12 J(l+C)(11/12)-(1+0 12 J(l+C)(11/12)C/8 + o(ô2) > > L(x -2)/alpha=l > x-y=l; > x — 1=0 x —y= 1 je — 1 =0 (11) (12) {x = l}