Link: OLE-Object-Data

                                     Definice kvadratické formy

   Fce.  reálných proměnných  daná předpisem , kde  je prvek čtvercové symetrické matice  řádu ,
   se nazývá kvadratická forma příslušná matici . Matice  se nazývá matice kvadratické formy .

   Maticový zápis kvadratické formy: , kde .

   

   Příklad: Určíme předpis kvadratické formy  dané čtvercovou symetrickou maticí třetího řádu

                                .         Řešení získáme z definice:

   tedy po úpravě .

   

   Příklad: Určíme matici kvadratické formy  tří proměnných dané předpisem

                                                 .

   Řešení: Postupujeme obráceně než při řešení předchozího příkladu, přičemž máme na paměti, že
   matice kvadratické formy  je symetrická.

                                               tedy     .

   

Klasifikace kvadratické formy

   Kvadratická forma  příslušná matici  se nazývá:

   (a)     POZITIVNĚ DEFINITNÍ, jestliže platí  pro libovolný (ne však identicky nulový) vektor .

   (b)     Pozitivně semidefinitní, jestliže platí 

   (c)     NEGATIVNĚ DEFINITNÍ, jestliže platí 

   (d)     Negativně semidefinitní, jestliže platí 

   (e)     INDEFINITNÍ, jestliže existují dva různé vektory , pro které platí  a

Určení typu kvadratické formy

   Kvadratická forma  příslušná matici  se nazývá:

   (a)    POZITIVNĚ DEFINITNÍ, jestliže jsou všechna vlastní čísla  matice  kladná, tedy jestliže
   platí .

   (b)   Pozitivně semidefinitní, jestliže pro všechna vlastní čísla platí

   (c)    NEGATIVNĚ DEFINITNÍ, jestliže pro všechna vlastní čísla platí 

   (d)   Negativně semidefinitní, jestliže pro všechna vlastní čísla platí 

   (e)    INDEFINITNÍ, jestliže existují vlastní čísla  a současně

   

   Sylvestrova věta: Nechť  je kvadratická forma daná čtvercovou symetrickou maticí  řádu .
   Označme pro

                                                 .

   Pak platí:

   (a)    Kvadratická forma  (matice ) je pozitivně definitní tehdy a jen tehdy když  pro všechna
   .

   (b)   Kvadratická forma  (matice ) je negativně definitní tehdy a jen tehdy když  pro všechna
   sudá  a  pro všechna lichá .

   (c)    Jestliže existuje sudé  takové, že , nebo lichá  taková, že  a , pak kvadratická forma
    (matice ) je indefinitní.

   Poznámka: Semidefinitní kvadratické formy s použitím Sylvestrovy věty určit nelze.