Link: OLE-Object-Data Giniho formulace indexních čísel Rozšířením techniky řetězení je postup, který pod názvem síťová metoda uplatnil italský matematik a ekonom Carrado Gini[1]. Opět se uvažuje rozčlenění období mezi počátečním - "0"-tým - a koncovým - "m"-tým - obdobím na celkem m úseků, v nichž jsou dostupné potřebné statistické údaje. Gini formuloval (následně po něm nazvaná) indexní čísla následujících tvarů: tzv. GINIho indexní číslo 1. typu (G1) , tzv. GINIho indexní číslo 2. typu[2] (G2) , přičemž ve druhém případě může symbol[ ] představovat libovolné jiné, z hlediska vlastností uspokojivé výchozí indexní číslo (definice tedy není jednoznačná). Giniho konstrukty (G1), (G2) lze použít i pro data, která nemusí tvořit časové posloupnosti cen a kvantit. Určitou jejich slabinou je však okolnost, že při aktualizaci je nutný celkový přepočet indexního čísla v případě, kdy získáme statistická data za nová období (nebo individua či jiné statistické jednotky). Tato nevýhoda však nemusí být v praxi až tak citelná, neboť konstrukty byly autorem původně navrženy hlavně za účelem provádění prostorových (geografických) cenových srovnání. Předností obou indexních čísel (G1), (G2) je automatické splnění axiomu záměny období (F3) a dále skutečnost, že při velkém m (počtu dělení) se takto vytvořená veličina hodnotou zpravidla málo liší od hodnoty vzaté přímým výpočtem (bez dělení intervalu mezi "" a ""). Poznámka ke (G1): Všimněme si, že v případě (G1) (jde-li o cenové indexní číslo) stačí znát cenové vektory jen v počátečním "" a koncovém "" období, zatímco údaje o spotřebě komodit, které využíváme pro stanovení vah při geometrickém průměrování, je potřebné sledovat též ve všech meziobdobích Jak je bezprostředně vidět z definičního vztahu (G1), při volbě dostáváme pro ^ přímo Fisherův cenový index, zatímco pro v případě obdržíme obdobně (nevážený) geometrický průměr obou částí a generujícího cenového indexního čísla. Není nesnadné ukázat, že Giniho indexní čísla vyhovují Fisherovým postulátům (F1), (F3), (F5), (F6), (F7), (F8) (v případě je ovšem musí splňovat generující indexní číslo). Axiom záměny faktorů (F2) není splněn a axiom okružnosti (F4) platí jen za velmi speciálních podmínek (nikoliv obecně). Stuvelova indexní čísla Postup navržený v polovině 50. let 20. století nizozemský statistik Georg Stuvel se vrací ke klasickým přístupům z počátku století. Vyložíme jeho základní myšlenku[3]: 1) Hledá se dvojice indexních čísel (cenové , kvantové ) přímo splňující axiom záměny faktorů (F2), tj. aby platilo (A) . poznámka Ke zkrácení zápisu užijeme úspornější označení výrazu na pravé straně jako , přičemž peněžní výdaje , resp. , vyjadřují náklady na pořízení úplné skupiny komodit v běžném resp. základním období.[4] 2) Druhou podmínkou, kterou má hledaná dvojice splňovat, je diferenční relace, která poměřuje rozdíly mezi takto konstruovanými indexními čísly , a příslušnými Laspeyresovými indexními čísly: (B) . Ve vztahu (B) je možné uvažovat dva možné případy ve specifikaci relace "": (B1) : relace (B) platí přesně, tj. "" vezmeme jako rovnost, (B2) : relace (B) platí s určitou, přesně specifikovanou odchylkou. poznámka Uvedená úvaha je vcelku oprávněná, vezmeme-li v úvahu poznatky statistické praxe, kde zvláště pro krátká časová období ukazuje, že rozdíly ^ , ale i^ od hodnoty nejsou nijak velké. Jak víme, přesně tento požadavek nesplňuje Laspeyresovo ani Paascheho indexní číslo, avšak lze snadno ověřit, že tato indexní čísla jej "splňují" křížovým způsobem tj. . Postup zaslouží komentář ještě z tohoto důvodu: Jak víme, okruh původních 8 Fisherových tesů nevede k určení indexního čísla v tom smyslu, že by nějaká podskupina testů vedla deduktivně jednoznačně ke konstrukci určitého typu indexu. Stuvelova cesta, resp. formulace podmínky (B) spolu s přijetím podmínky (A) k takovému jednoznačnému určení vede (stačí tedy tyto dvě podmínky, abychom konkrétní konstrukt, jak uvidíme, získali). Původní Stuvelův návrh Z povahy zadání úlohy je zřejmé, že se hledá řešení dvou rovnic (pro neznámé a ^ ) (A) , (B1) . Za daných předpokladů bude předmětem Stuvelovy úlohy nalezení řešení dvou rovnic (jedné lineární, druhé kvadratické) s neznámými ^ a ^ , které jsou vyjádřeny pomocí známých ostatních veličin, tj.. K nalezení řešení užijeme např. substituci z (B1) , která po dosazení do (A) dává kvadratickou rovnici s neznámou : . Následně vypočteme symetrický vztah pro ^ . Řešení získané standardním postupem, tj. nalezením kořenů kvadratické rovnice, má tvar: (S1) , (S2) . Poznámka Vzhledem k tomu, že pro přijatelnou ekonomickou interpretaci mají smysl jen kladné hodnoty indexních čísel, je nutno se omezit jen na kladné kořeny kvadratické rovnice. (Výrazy uvnitř odmocnin (1) a (2) jsou větší než příslušné výrazy před odmocninami.) Výrazy (1), (2) můžeme zapsat formou, která bude obsahovat přímo vektory cen a množství - obě indexní čísla obsahují plnou čtveřici. Dostaneme Podobně bychom získali Modifikovaný Stuvelův návrh Analogicky předchozímu se hledá řešení dvou vztahů (pro obecně jiné neznámé , ) (A) , (B2) , kde odchylka má přesně specifikovaný tvar (interpretovatelný jako "míra nesplnění" axiomu (F2) Laspeyresovými indexními čísly): (B2x) . Obdobným způsobem jako dříve řešíme soustavu dvou rovnic, přičemž k řešení použijeme opět.substituci . Po dosazeníz (B2x) do (A) máme a stejně jako dříve odvodíme jinou dvojici indexních čísel, která mají tvar: (S3) (S4) Obě nalezená indexní čísla mohou být rovněž použita k vystižení globální změny cenového a podobně i objemového komoditního indexu. Opět jsou přijatelné pouze kladné kořeny příslušné kvadratické rovnice. Poznámka Jak je patrné, bylo by možné vyvodit i další indexní čísla, pokud bychom v podmínkách (A) resp. (B1-B2) uvažovali vztahy k jiným než k Laspeyresovým indexním číslům (např. k Paascheho či k Edgeworthovým). Ověření Fisherových axiomů u Stuvelových čísel Na závěr ještě vyšetříme, v jaké míře vyhovuje prvá dvojice Stuvelových indexních čísel (S1), (S2) testům Irvinga Fishera: Test identity (F1) je zřejmě splněn, neboť pro obě Laspeyresova indexní čísla platí, že , a výrazy pro , se tedy redukují na odmocninu z podílu , která je při ztotožnění obou období rovna 1. Platnost (F2) je zřejmá, neboť jde přímo o definiční podmínku (A), na základě níž je dvojice indexů odvozována. Axiom (F3) je u dvojice Stuvelových indexních čísel (S1), (S2) rovněž splněn, jak nepřímo ukazuje sám autor. Přímé ověření by vyžadovalo platnost vztahu . = 1 Po roznásobení dostaneme dosti komplikovaný výraz (k jeho přesnému tvaru nechť se čtenář dopracuje sám), který však po postupném zjednodušování nabude hodnotu 1. Okružnost (F4) není Stuvelovými indexními čísly splněna, což lze ověřit přímým vyšetřením příslušné podmínky. Naproti tomu axiomy určenosti (F5) a souměřitelnosti (F6) platí, neboť je splňují Laspeyresova indexní čísla v jejich definici, přičemž též výraz v odmocnině (S1) je vždy definován a není identicky nulový (dokonce i kdyby nastala náhodná shoda ). Souměřitelnosti pak vyhovují všechny výrazy vystupující v definici (S1). Pokud jde o axiom proporcionality (F7), pak zřejmě platí , resp. pro konstantu splňující , resp. konstantu splňující . Platnost (F8) je zřejmá. * ------------------------------- [1] Gini, C.: "On the Circular Test of Index Numbers". Metron 1931 [2] Ragnar Frisch nazývá tyto konstrukty Gini' s aggregate crossing, resp. Gini´s two-point crossing. [3] Stuvel, G. : A New Index Number Formula. Econometrica 1957, Vol. 25.