Link: OLE-Object-Data 4 Obecný problém dekompozice - Divisiův přístup a řešení Odlišný způsob k řešení problému indexních čísel uplatnil v polovině 20.let našeho století francouzský matematik Francois Divisia[1], který formuloval úlohu nalezení agregátního indexu zcela obecně v tom smyslu, že hledal - pro libovolné časové období t - multiplikativní rozklad "makroagregátu" reprezentujícího součin agregátního cenového a kvantového indexního čísla do tvaru (4.1) , tj. tak , aby ve všech okamžicích spojitě uvažovaného času platila aditivní dekompozice agregátu na dílčí součiny příslušné cenové a kvantové "mikrofunkce" všech uvažovaných komodit. Funkce jako indikátor všeobecné cenové úrovně má přitom co nejlépe vystihovat pohyb cenové hladiny, podobně funkce jako reprezentant souhrnného fyzického objemu vývoj množstevního indexu. Obě tyto "makrofunkce" jsou kladné se spojitou derivací na podle času. O "mikrofunkcích" cen a kvantit , resp. Divisia předpokládal, že mají: - spojité první derivace (podle času), - kladné hodnoty na celém uvažovaném intervalu , - konečnou variaci na každém podintervalu spadajícího do . Takto obecně formulovaná úloha však není bez dalších předpokladů jednoznačně řešitelná, což snižuje její uplatnitelnost pro reálné potřeby. Je např. zřejmé, že vedle funkcí a , je řešením úlohy také každá dvojice tvaru a pro nějakou kladnou konstantu . Divisia samostatně uvažoval dekompozici (4.1) pro spojitý a diskrétní případ. 4.1 Situace se spojitým časem Jelikož předpokládáme derivovatelnost makrofunkcí , i mikrofunkcí , , můžeme derivace obou stran výrazu (4.1) zapsat jako (4.2) . Předpokládáme-li kladnost funkcí a na celém intervalu , můžeme dále (4.2) dělit součinem . Dostaneme (4.3) . Jak je patrno, obě vývojové změny se odehrávají odděleně: cenová v prvních, objemová ve druhých členech identity (4.3). Proto uvažujeme zvlášť aditivní rozklad cenové změny v (4.3) jako (4.4A) , resp. obdobně kvantové změny v témže výrazu v podobě (4.4B) . Aditivním rozkladem změny cenové a kvantové situace a dále úpravami využívajícími aparátu Stieltjesova integrálu (pro funkce s konečnou variací) lze následně dospět z původní formulace problému k aproximativnímu tvaru (4.5) pro nějaké body ležící v intervalu a nějakou rozumnou váhovou funkci [ ,] jmenovitě např. tvaru (4.6A) . Pokud za oba tyto body vezmeme levý krajní bod intervalu, tj. a podobně dosadíme za funkci výraz (4.6B) , obdržíme po malé úpravě vztah (4.7) , což je Laspeyresovo cenové indexní číslo vztažené k bodům dělícího intervalu. Cenové indexní číslo pro celé uvažované období pak získáme prostým zřetězením (4.8) . Jinou volbou, tentokrát nahrazením a pravým krajním bodem intervalu, tj. a dosazením za funkci výrazu (4.9) odvodíme Divisiovým postupem zřetězené Paascheho cenové indexní číslo. Podobně lze dalšími speciálními volbami získat jiná (zřetězená) cenová indexní čísla, např. Edgeworthovo. Kvantová indexní čísla bychom získali obdobně z rozkladu kvantové změny v (4.4B). V případě dosazení obdržíme a již popsaným následným zřetězením . 4.2 Situace s diskrétním časem Uvedený postup lze obdobně použít také na diskrétní případ, kdy v intervalu uvažujeme množinu ekvidistantních izolovaných bodů představujících okamžiky měření cen a kvantit. Opět uvažujeme rozklad agregátu (4.10) v okamžicích. Nejprve vyjádříme levou stranu změny agregátu mezi obdobími a (libovolnými následujícími): v podílovém vyjádření (4.11) . Tomu odpovídající souhrnnou změnu jednotlivých dílčích změn cen a kvantit na pravé straně (4.11) lze vyjádřit jako (4.12) . Přijmeme-li i zde, že se cenová a množstevní změna hodnotového komplexu odehrávají nezávisle na sobě, můžeme porovnat "stejnolehlé" cenové a kvantové složky samostatně. Pro relativní cenovou změnovou složku dostaneme rozklad tvaru (4.13) , kde ^ představuje Paascheho cenové indexní číslo pro změnové období . Zcela obdobně odvodíme pro relativní kvantovou změnovou komponentu vyjádření (4.14) , kde tentokrát ^ zastupuje Laspeyresovo kvantové indexní číslo pro změnové období . Obě předchozí rovnosti upravíme odstraněním na obou stranách, čímž dostaneme (4.15A,B)^ ^ a podobně ^ . Jestliže nyní dále sestavíme konečnou posloupnost řetězových indexů a tyto vzájemně vynásobíme, dostaneme pomocí (4.15A) vyjádření (4.16) , což není nic jiného, než zřetězené Paascheho cenové indexní číslo . Podobně bychom z (4.15B) získali pro podíl zřetězené Laspeyresovo kvantové indexní číslo ^ . Zvolený způsob rozkladu podle (4.11) vede tedy ke dvěma speciálním situacím, které představují dříve známá dvě zřetězená "klasická" indexní čísla. Poznámka 4.1 Pokud bychom vycházeli z dekompozice hodnotového makroagregátu způsobem (4.17) , obdrželi bychom analogickou cestou dvojici zřetězených indexních čísel . Postupem podle Divisiova schématu obdržíme pro spojitý i diskrétní případ zřetězené indexní číslo splňující axiom záměny faktorů. Nevyhneme se však již zmíněné nejednoznačnosti určení v důsledku neurčitosti volby multiplikativního rozkladu (diskrétní případ), resp. odhadu aproximujícího Stieltjesova integrálu (spojitý případ). Určitá zpřesnění získaných hodnot jsou nicméně možná v případech, kdy máme k dispozici dodatečné údaje o množinách bodů popisujících vývoj individuálních cen a kvantit. Základní a závažný problém spojený s praktickou aplikací Divisiova přístupu je ten, že ceny a kvantity nemůžeme měřit kontinuálně, ale vždy jen v určitých odstupech. Takže pro jakékoliv praktické použití by musely být Divisiovy indexy se spojitým časem aproximovány diskrétními, přičemž existuje více možností jak takovou diskrétní aproximaci provést. Diewert [1980] ukázal, že nejen Laspeyresův a Paascheho index mohou být vzaty jako speciální aproximace podílu, ale že tomu tak může být i u Törnquistova indexu (exaktního pro TRANSLOG užitkovou funkci, jak zmiňujeme níže v kapitole [7] ), pokud definujeme , s účastmi Za zmínku stojí, že postup, který použil Divisia v případě indexů se spojitým časem, uplatnil ještě o něco dříve anglický statistik T.L.Bennet[2] až na to, že nepoužil na (4.1) dělení výrazem Bennet [1920] navrhl následující diskrétní aproximaci k měření diferencí (nikoliv tedy podílů jako Divisia) na agregátních cenových a množstevních úrovních: (4.18) , (4.19) . Bennet přitom jako první také ukázal, že rozdíl ve výdajích mezi dvěma obdobími dává přesně výraz rovný , kde a jsou definovány pravými stranami (4.18), (4.19). Poznámka 4.2 Obecná definice Divisiova spojitého indexu je čistě matematickou konstrukcí a nemusí mít žádnou bezprostřední souvislost s rozklady zasazenými do prostředí indexních čísel, dokonce ani nemusí mít vůbec žádný vztah k ekonomickému prostředí. Teprve později, Jean Villé [1951-52][3] a C.R.Hulten v [19] analyzovali Divisiovy indexy v prostředí cen a spotřebovaných množství za předpokladu, že spotřebitel optimalizuje své chování (z hlediska minimalizace nákladů) a že příslušná užitková funkce je lineárně homogenní [4]. Protože se, jak známo, indexy mohou značně lišit, Divisiův přístup nevede k praktickému jednoznačnému návodu, jak řešit problém měření cenového vývoje. Alternativní návrhy, jak aproximovat Divisiův index se spojitým časem pomocí diskrétních dat podali Paul Samuelson a Subramanian Swamy v [25]. ------------------------------- [1] Divisia, F.: L´indice monétaire et la Theorie de la monnaie-revue d´Economie politique (1925) [2] Bennet,T.L.: The Theory of Measurement of Changes in Cost of Living. Journal of the Royal Statistical Socierty 83/1920 s.455-462 [3] Villé, J. The Existence-Conditions of a Total Utility Function. Přeloženo v The Review of Economic Studies 19/1951, s.123-128 [4] Lineárně homogenní funkce N -- proměnných x = (x[1],..., x[N]) splňuje vlastnost F(l x) = l.F(x) pro libovolné skalární l > 0.