Link: OLE-Object-Data REDUKOVANÝ TVAR EKONOMETRICKÉHO MODELU REDUKOVANÝ TVAR modelu je taková forma ekonometrického modelu , v níž každá rovnice popisuje závislost jediné běžné endogenní proměnné toliko na predeterminovaných proměnných a na náhodných složkách modelu. Vyjdeme-li ze strukturního tvaru modelu zapsaného jako : (1) je matice T pozorování m b.endogenních proměnných soustavy je matice T pozorování q predeterminovaných proměnných soustavy je matice koeficientů příslušných běžným endogenním proměnným je matice koeficientů příslušných predeterminovaným proměnným je matice "pozorování" m náhodných složek ( poruch) soustavy. dospějeme k redukovanému tvaru převedením matice běžných endogenních proměnných nalevo a násobením vzniklého vztahu zprava maticí (I-B)^-1 , o níž jsme předpokládali, že je regulární : (2) (3) Označíme-li matici jako , pak prvky této matice vyjadřují vztahy mezi maticí pozorování běžných endogenních a maticí pozorování predeterminovaných proměnných. se nazývá matice parametrů redukované formy modelu. Redukovaný tvar zapisujeme obvykle ve vyjádření (3a) je matice parametrů redukovaného tvaru rozměrů [q;m] . je matice náhodných složek reduk. tvaru rozměrů [T;m]. ( Matice mají shodný význam jako dříve). Odhad matice koeficientů redukovaného tvaru získáme nejsnáze pomocí prosté/obyčejné metody nejmenších čtverců OLS jako tzn. pomocí OLS-regrese všech m běžných endogenních proměnných na všech q predeterminovaných proměnných. Kovarianční matici náhodných složek redukovaného tvaru označíme . Ta má tvar , protože platí Jiný možný zápis redukovaného tvaru vychází ze zápisu strukturního tvaru ( zápis přes všech m rovnic pro pevné pozorování t ) : neboli po úpravě , kde nyní zapíšeme Vektor v[t] náhodných složek redukovaného tvaru definovaný (pro pevné t ) jako má tyto vlastnosti : a) , protože b) protože c) , protože pro Parametry matice redukovaného tvaru, kterých je dohromady m.q (včetně případných nulových hodnot parametrů) označíme . Lze je vyjádřit jako , kde je prvek k-tého řádku a j-tého sloupce matice Poznámka : Vztah mezi parametry strukturního tvaru (matice B,C) a parametry redukovaného tvaru (matice ) není rovnocenný : Z prvků matic B,C lze jednoznačně určit prvky matice , protože matice (I-B) je nesingulární. Naproti tomu z prvků matice není možné jednoznačně určit prvky obou matic B,C) : Porovnání : počet parametrů strukturního tvaru je celkem m.(m-1) + m.q počet parametrů redukovaného tvaru celkem jen m.q . Ve schématickém vyjádření : Matice parametrů redukovaného tvaru je obecná matice. Zatímco matice B a C budou mít zpravidla větší počet nulových prvků, počet nulových prvků matice bude relativně malý. Příklad: ilustrující postup výpočtu je maximálně zjednodušen[1] Uvažujme jednoduchý třírovnicový makroekonomický model se dvěma rovnicemi chování a jednou identitou ve tvaru C[t] = c[1] + b[1].Y[t] + u[t] - lineární spotřební funkce (1) [ ] I[t ] = c[3] + b[2].Y[t] + c[2].Y[t.-1] + w[t ] - lineární investiční funkce (2) [ ] Y[t] = C [t] + I[t] + G[t ]- bilanční identita důchodu (3) Význam jednotlivých proměnných : C[t] ... spotřeba domácností v čase t I[t] ... investice do soukromého sektoru v čase t Y[t] ... národní důchod v čase t jsou 3 běžné endogenní proměnné (m* = 3)[2] "1" ... jedničkový vektor Y[t-1] ... národní důchod v (předcházejícím) čase t-1 G[t] ... veřejné (vládní) výdaje v čase t jsou 3 predeterminované proměnné (q = 3) u[t ] ...... náhodná složka 1. rovnice w[t ] ...... náhodná složka 2. rovnice jsou 2 náhodné složky dvou stochastických rovnic Lineární spotřební funkce vyjadřuje závislost aktuální spotřeby na aktuální úrovni důchodu (už ne na zpožděných hodnotách důchodu a spotřeby). Lineární investiční funkce vyjadřuje závislost aktuálních investic na současné a o jedno období zpožděné hodnotě důchodu. Zanedbán je možný vliv důchodu zpožděného o více období. Bilanční identita důchodu propojuje důchod s investicemi, spotřebou a objemem veřejných výdajů při zanedbání salda zahraničních vztahů(export-import) (obchodních, peněžních) a bilance mimořádných výnosů/ztrát. Redukovaná forma modelu je takové vyjádření, ve kterém jsou běžné endogenní proměnné popsány jen pomocí predeterminovaných proměnných "1", Y[t-1] , G[t] a náhodných složek u[t] , w[t] . V důsledku přítomnosti identity půjde vždy pouze o 2 běžné endogenní proměnné. Postup výpočtu redukované formy modelu V úvahu přichází výpočet buď prostým dosazováním (postupnou eliminací) nebo maticovými operacemi. Přitom musíme nejprve zvolit, které 2 ze 3 přítomných běžných endogenních proměnných necháme v redukované formě : 3. běžná endogenní proměnná se vyloučí při eliminaci identity. Zvolme postup s eliminací proměnné I[t] : substituujeme (2) a dosadíme rovnice do (3). První modelová rovnice zůstane ve tvaru (1a) Druhá modelová rovnice tak přejde na tvar (2-3) Nyní obě rovnice (1a) a (2-3) přepíšeme do maticového tvaru : (4) (4a) Nyní musíme osamostatnit výraz pro každou z obou zbývajících běžných endogenních proměnných, tj. pro a : Učiníme to invertováním matice a vynásobením matic a na pravé straně maticí : Protože determinant matice je roven a inverzní matice k má tvar dostaneme : a dále roznásobením Odtud vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (5a) (5b) Matice parametrů redukovaného tvaru modelu , která má obecný tvar (6a) s tímto vyjádřením vztahů mezi parametry strukturního a redukovaného tvaru (6b) Zde máme celkem 5 parametrů (omezeného) strukturního tvaru a celkem 6 nenulových parametrů (omezeného) redukovaného tvaru . Všimněme si ještě rozdílu mezi počty parametrů strukturního a redukovaného tvaru, jestliže bereme v úvahu omezení položená na parametry modelu : Neomezený strukturní tvar modelu (1), (2-3) má celkem 2.1+2.3 = 8 parametrů Neomezený redukovaný tvar modelu má celkem jen 2.3 = 6 parametrů Omezený strukturní tvar modelu má celkem jen 5 parametrů zatímco Omezený redukovaný tvar modelu má celkem 6 parametrů Zatímco každé omezení položené na parametry strukturního tvaru znamená snížení počtu odhadovaných parametrů strukturního tvaru o 1, neplatí zdaleka obdobná relace pro parametry redukovaného tvaru: protože jsou parametry určeny vztahem (6b), jen zřídkakdy nabude parametr omezeného redukovaného tvaru hodnotu 0. V předchozím případě jsme postupovali tak, že jsme se zaměřili na vyloučení běžné endogenní proměnné investice. Mohli jsme však také postupovat tak, že bychom pomocí identity vyloučili např. proměnnou spotřeba ( nebo důchod ). Ukážeme, že při odvození redukované formy nezáleží na tom, kterou z běžných endogenních veličin na počátku vylučujeme, jinými slovy, že ta část (ten řádek) redukované formy, která je společná oběma postupům (zde tvar rovnice pro důchod) zůstane beze změn. Postup 2 Eliminujeme nyní spotřebu z identity (3), kde dostaneme C[t] = Y[t] - I[t] - G[t ]a dosadíme do první rovnice Y[t] - I[t] + G[t] = c[1] + b[1].Y[t] + u[t] , načež ji upravíme do tvaru (1-b[1])Y[t] -I[t ] = c[1] - G[t] + u[t ]Současně ve druhé rovnici převedeme běžné endogenní Y[t], I[t ]proměnné nalevo I[t ] - b[2].Y[t] = c[3] + c[2].Y[t.-1] + w[t ]a vytvoříme maticovou podobu strukturního tvaru s těmito dvěma běžnými endogenními proměnnými: (7) (Nejprve jsme zapsali rovnici pro investice, potom rovnici pro důchod). Dále již postupujeme obvyklým způsobem: Invertujeme matici a dostaneme (determinant je opět roven) = a po vynásobením matic a na pravé straně maticí máme (8) Odtud vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (9a-b) Konečně ukážeme, že i třetí postup (s vyloučením důchodu ) vede k získání rovnic redukovaného tvaru pro investice a spotřebu : Postup 3 Do obou rovnic (1), (2) dosadíme za důchod z identity (3). Máme soustavu C[t] = c[1] + b[1].( C[t] + I[t ] + G[t] ) + u[t] (1*) I[t] = c[3] + b[2].( C[t] + I[t ] + G[t] ) + c[2]Y[t-1] + w[t] (2*) , kterou opět přepíšeme do maticové podoby (10) Opět invertujeme matici a dostaneme (determinant je i zde roven hodnotě ) = , takže dostaneme Odtud již snadno vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (11a-b) I v tomto případě jsme se tedy dopracovali k tvarům shodným s předchozími výsledky. Srovnej (11a) s (5a) , resp. (11b) s (9a). ------------------------------- [1] Ve spotřební funkci např. chybí zpožděná hodnota spotřeby C[t-1], v investiční funkci nevystupuje úroková míra, identita důchodu je "ochuzena" o čistý export, přírůstek zásob, saldo ztrát atd. [2] Větší význam pro operace s modelem (při kvantifikaci parametrů) má však nikoliv celkový počet rovnic (zde označený m*), ale počet stochastických rovnic m (získaných po vyloučení identity).