Vzorová písemná zkouška – teoretická část



   Úkol 1.:  Popište, v čem spočívá rozdíl mezi jednovýběrovým a párovým Wilcoxonovým testem

   Řešení: Jednovýběrový Wilcoxonův test slouží k testování hypotézy, že medián rozložení,
   z něhož pochází daný náhodný výběr, je rovna nějaké konstantě, zatímco párový Wilcoxonův test
   slouží k testování hypotézy, že rozdíl mediánů dvourozměrného rozložení, z něhož pochází daný
   dvourozměrný náhodný výběr, je roven nějaké konstantě.

   

   Úkol 2.: Za jakých podmínek může být výběrový koeficient korelace R[12] považován za přibližně
   nestranný odhad teoretického koeficientu korelace ρ?

   Řešení: Pokud rozsah dvourozměrného náhodného výběru je aspoň 30.

   

   Úkol 3.: Máme náhodný výběr X[1], …, X[n] z normálního rozložení N(μ,σ^2), kde
   rozptyl σ^2 známe. Na hladině významnosti α testujeme H[0]: μ = c proti
   H[1]: μ ≠ c. Jak se nazývá uvedený test? Jakým rozložením se řídí testové
   kritérium, je-li nulová hypotéza pravdivá?

   Řešení: Jedná se o jednovýběrový z-test. Testové kritérium se řídí rozložením N(0,1).

   

   Úkol 4.: Jaký je kritický obor pro test hypotézy o shodě středních hodnot r ≥ 3
   normálních rozložení se stejným rozptylem, pokud předpokládáme, že test provádíme na základě
   znalosti r nezávislých náhodných výběrů o celkovém rozsahu n a hladina významnosti je α?

   Řešení:

   

   Úkol 5.: Máme jednorozměrný datový soubor tvořený hodnotami x[1], …, x[n]. Jak se nazývá
   hodnota, která leží v intervalu (x[0,25] - 3q, x[0,25] – 1,5q), kde q = x[0,75] – x[0,25] je
   kvartilová odchylka.

   Řešení: Jde o odlehlou hodnotu.

   

   

   Každý z úkolů je hodnocen maximálně 8 body. Na teoretickou část lze získat 40 bodů.

                              Vzorová písemná zkouška – praktická část

   

   Úkol 1.: Je dáno pět nezávislých náhodných výběrů o rozsazích 5, 7, 6, 8, 5, přičemž i-tý
   výběr pochází z rozložení N(μ[i],σ^2), i = 1, ..., 5. Byl vypočten celkový součet
   čtverců S[T] = 15 a reziduální součet čtverců S[E] = 3. Na hladině významnosti 0,05 testujte
   hypotézu
   o shodě středních hodnot.

   Řešení: n = 5 + 7 + 6 + 8 + 5 = 31, r = 5, S[A] = S[T] – S[E] = 15 – 3 = 12

   Protože F ≥ F[0,95](4,26), H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.

   

   Úkol 2.: Z realizace náhodného výběru rozsahu 100, který pochází z rozložení N(μ,
   σ^2), byl vypočten výběrový průměr m = 15 a výběrový rozptyl s^2 = 36. Najděte 95%
   empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu µ.

   Řešení:

   h = 16,18, tedy 13,82  < µ < 16,18 s pravděpodobností aspoň 0,95.

   

   Úkol 3.: 100 náhodně vybraných pokusných osob mělo nezávisle na sobě odhadnout, kdy od daného
   signálu uplyne minuta. 35 osob délku 1 minuty nadhodnotilo, přičemž součet pořadí odchylek
   jejich odhadů od 1 minuty činil 3110. Zbylých 65 osob délku 1 minuty podhodnotilo. Lze na
   asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že polovina lidské populace délku
   jedné minuty nadhodnotí a polovina podhodnotí?

   Řešení: Testujeme hypotézu H[0]: x[0,50] = 0 proti H[1]: x[0,50] ≠ 0.

   Úloha vede na jednovýběrový Wilcoxonův test, kde S[W]^+ = 3110

   Realizace asymptotické testové statistiky:

   hodnota příslušného kvantilu = 1,96, rozhodnutí o nulové hypotéze: zamítáme na asymptotické
   hladině významnosti 0,05.

   

   Úkol 4.: Pro 12 náhodně vybraných ojetých automobilů byl vypočten výběrový koeficient korelace
   mezi jejich stářím v měsících a počtem najetých kilometrů. Nabyl hodnoty 0,831. Za
   předpokladu, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení, testujte na hladině
   významnosti 0,05 hypotézu o nezávislosti obou veličin. Uveďte hodnotu testové statistiky a
   kritický obor.

   Řešení: Testujeme H[0]: ρ = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: ρ ≠ 0
   Testová statistika . Kritický obor . Protože , H[0] zamítáme na hladině významnosti 0,05.

   

   Úkol 5.: Nechť X[1,] ..., X[n] je náhodný výběr z N(μ,σ^2), kde rozptyl známe. Jak
   musíme změnit rozsah výběru, aby šířka 100(1-α)% empirického intervalu spolehlivosti pro
   střední hodnotu klesla na polovinu?

   Řešení: Označme d, h meze původního intervalu spolehlivosti a n původní rozsah náhodného
   výběru. Šířka intervalu spolehlivosti je h – d = m + u[1-α/2] – (m - u[1-α/2]) =
    u[1-α/2] , tedy n ≥ .

   Nyní označme d*, h* meze nového intervalu spolehlivosti a n* nový rozsah náhodného výběru.
   Požadujeme, aby h* - d* = , tedy n* ≥ . Vidíme, že rozsah výběru se musí zvětšit 4 x.

   

   

   Každý úkol je hodnocen maximálně 12 body. Na praktickou část lze získat 60 bodů. Body
   z praktické a teoretické části se sčítají.

   

   Výsledné hodnocení:

   (90, 100] … A, (80, 90] … B, (70, 80] … C, (60, 70] … D, (50, 60] … E, [0, 50] … F