Příklady z počtu pravděpodobnosti

   

   Příklad 1.: Technická kontrola provádí třídění produkce závodu. Pravděpodobnost vyrobení
   zmetku je 0,05. Zmetek je kontrolou odhalen s pravděpodobností 0,97, kvalitní výrobek je mylně
   označen za zmetek s pravděpodobností 0,02. Výrobky, které byly kontrolou označeny za zmetky,
   se vyřazují. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek, který

   a)      byl vyřazen, je zmetek

   b)      nebyl vyřazen, je zmetek

   c)      byl vyřazen, je kvalitní

   d)      nebyl vyřazen, je kvalitní?

   Návod: Příklad 5 z POTu, příklad 6.8., příklady 10 a 11 z Kontrolních otázek a úkolů v 6.
   kapitole

   

   Řešení:

   H[1] … výrobek je zmetek, P(H[1]) = 0,05

   H[2] … výrobek je kvalitní, P(H[2]) = 0,95

   A … kontrola označí výrobek za zmetek, P(A/H[1]) = 0,97, P(A/H[2]) = 0,02

   P(A) = P(H[1]) P(A/H[1]) + P(H[2]) P(A/H[2]) = 0,05.0,97 + 0,95.0,02 = 0,0675

   ad a)

   ad b)

   ad c)

   ad d)

   

   Příklad 2.: Provedeme tři nezávislé pokusy, v nichž sledujeme nastoupení úspěchu. V prvním
    pokusu nastává úspěch s pravděpodobností 0,5, ve druhém pokusu s pravděpodobností 0,2 a ve
   třetím pokusu s pravděpodobností 0,1.

   a)      Najděte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, která udává počet úspěchů
   v těchto třech pokusech a nakreslete její graf.

   b)      Vypočtěte střední hodnotu náhodné veličiny X.

   c)      Vypočtěte rozptyl náhodné veličiny X.

   d)      Jaká je pravděpodobnost, že nastane aspoň jeden úspěch?

   

   Řešení:

   ad a) Označme X[i] počet úspěchů v i-tém pokusu, i = 1, 2, 3. X[i] nabývá hodnot 0,1.

   X nabývá hodnot 0, 1, 2, 3.

   Graf pravděpodobnostní funkce

   

   ad b) E(X) = 0.0,36 + 1.0,49 + 2.0,14 + 3.0,01 = 0,8

   D(X) = 0^2.0,36 + 1^2.0,49 + 2^2.0,14 + 3^2.0,01 – 0,8^2 = 1,14 – 0,64 = 0,5

   

   ad c) P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 - π(0) = 1 – 0,36 = 0,64

   

   Příklad 3.: Firma investovala do tří nezávislých projektů. Pravděpodobnost zisku z těchto
   projektů je 0,4, 0,5 a 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že firma bude mít zisk

   a)      právě jedenkrát (jev A)

   b)      alespoň jedenkrát (jev B)

   c)      právě dvakrát (jev C)

   d)      aspoň dvakrát (jev D)

   e)      ze všech tří projektů (jev E)

   f)        ze žádného projektu? (jev F)

   

   Řešení:

   Označme A[i] jev, že firma bude mít zisk z i-tého projektu, i = 1, 2, 3.

   ad a)

   ad b)

   [ad c)

   ]ad d)

   ad e)

   ad f)

   

   Příklad 4.: V jedné dílně pracují nezávisle na sobě tři dělníci. Náhodná veličina X[i] udává
   počet zmetků, které vyrobí i-tý dělník za jednu směnu, i = 1, 2, 3. Dlouhodobým pozorováním
   byly zjištěny hodnoty pravděpodobnostní funkce π[i](x[i]) , i = 1, 2, 3.

   

   +-----------------------------------------------------------------+
   |1.dělník             |2.dělník             |3.dělník             |
   |---------------------+---------------------+---------------------|
   |x[1|π[1](x[1]) |x[2|π[2](x[2]) |x[3|π[3](x[3]) |
   |---+-----------------+---+-----------------+---+-----------------|
   |]0 |0,01             |]0 |0,09             |]0 |0,00             |
   |---+-----------------+---+-----------------+---+-----------------|
   |1  |0,52             |1  |0,63             |1  |0,41             |
   |---+-----------------+---+-----------------+---+-----------------|
   |2  |0,36             |2  |0,28             |2  |0,52             |
   |---+-----------------+---+-----------------+---+-----------------|
   |3  |0,11             |3  |0,00             |3  |0,07             |
   +-----------------------------------------------------------------+

   

   a)      Pomocí střední hodnoty počtu zmetků posuďte, který z dělníků podává nejlepší výkon.

   b)     Pomocí rozptylu počtu zmetků posuďte, který z dělníků podává nejvyrovnanější výkon.

   c)      Jaká je střední hodnota a rozptyl počtu zmetků vyrobených v této dílně za jednu
   pracovní směnu?

   

   Řešení:

   ad a) E(X[1]) = 1,57, E(X[2]) = 1,19, E(X[3]) = 1,66. Znamená to, že nejlepší výkon podává
   druhý dělník.

   ad b) D(X[1]) = 0,4851, D(X[2]) = 0,3339, D(X[3]) = 0,3644. Znamená to, že nejvyrovnanější
   výkon podává druhý dělník.

   ad c) E(X[1] + X[2] + X[3]) = E(X[1]) + E(X[2]) + E(X[3]) = 1,57 + 1,19 + 1,66 = 4,42,

   D(X[1] + X[2] + X[3]) = D(X[1]) + D(X[2]) + D(X[3]) = 0,4851 + 0,3339 + 0,3644 = 1,1834

   

   Příklad 5.:

   a) Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě do terče. Pravděpodobnosti zásahů při prvním,
   druhém a třetím výstřelu jsou 0,7, 0,8 a 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že střelec zasáhne terč
   aspoň jedenkrát? Návod: Příklad 6 b) z POTu.

   b) Nechť náhodná veličina X má rozložení F(5,20). Najděte kvantil F[0,025](2,10). Návod:
   Příklad 9.4. d).

   c) Náhodná veličina X se řídí rozložením N(12, 16). Jaká je pravděpodobnost, že tato náhodná
   veličina se bude realizovat v intervalu ? Návod: Příklad 8.9., věta 7.5. a), 4. vlastnost.

   

   Řešení:

   ad a) Jev A[i] znamená zásah terče při i-tém výstřelu, i = 1, 2, 3. Počítáme

   

   ad b)

   ad c)

   Příklad 6.: Potřebu smrkových sazenic kryje lesní závod produkcí dvou školek. První školka
   kryje 75% výsadby, přičemž ze 100 sazenic je 80 první jakosti. Druhá školka kryje výsadbu

   z 25%, přičemž na 100 sazenic připadá 60 první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že

   a)      náhodně vybraná sazenice je první jakosti; (věta 6.7. (a), příklad 6.8. (a))

   b)     náhodně vybraná sazenice první jakosti pochází z produkce první školky; (věta 6.7. (b),
   příklad 6.8. (b))

   c)      náhodně vybraná sazenice první jakosti pochází z produkce druhé školky? (věta 6.7.
   (b), příklad 6.8. (b))

   

   Řešení:

   H[1] … sazenice pochází z 1. školky, P(H[1]) = 0,75

   H[2] … sazenice pochází z 2. školky, P(H[2]) = 0,25

   A … sazenice je 1. jakosti, P(A/H[1]) = 0,8, P(A/H[2]) = 0,6

   ad a) P(A) = P(H[1]) P(A/H[1]) + P(H[2]) P(A/H[2]) = 0,75.0,8 + 0,25.0,6 = 0,75

   ad b)

   ad c)