Vzorové řešení samostatné práce pomocí systému STATISTICA
Úkol 1.: V dílně pracuje 15 dělníků, u nichž byl zjištěn počet směn odpracovaných za měsíc
(proměnná x) a počet zhotovených výrobků (proměnná y).
x: 20 21 18 17 20 18 19 21 20 14 16 19 21 15 15
y: 92 93 83 80 91 85 82 98 90 60 73 86 96 64 81
a) Orientačně ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení.
Vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi x a y, interpretujte jeho hodnotu a na hladině
významnosti 0,01 testujte hypotézu, že x a y jsou nezávislé náhodné veličiny.
b) Najděte 99% asymptotický interval spolehlivosti pro skutečný koeficient korelace .
Za předpokladu, že regresní přímka dobře vystihuje závislost x na y
c) vypočtěte index determinace a interpretujte ho,
d) na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test,
e) najděte odhad rozptylu,
f) odhadněte parametry regresní přímky, interpretujte směrnici regresní přímky a na hladině
významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy,
g) najděte 95% intervaly spolehlivosti pro regresní koeficienty,
h) data s proloženou regresní přímkou a 95% intervaly spolehlivosti pro individuální
predikované hodnoty a pro průměr predikovaných hodnot znázorněte graficky,
i) jaká je predikovaná hodnota počtu výrobků pro 16 směn?
j) zjistěte, zda rezidua se řídí normálním rozložením.
Řešení:
ad a)
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
X
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Y
Proměnná X Y
X
Y
1,0000 ,9272
p= --- p=,000
,9272 1,0000
p=,000 p= ---
ad b)
Dvourozměrný tečkový diagram svědčí o dvourozměrné normalitě dat. Výběrový koeficient
korelace nabývá hodnoty blízké 1, tedy mezi počtem směn a počtem výrobků existuje velmi
silná přímá lineární závislost ­ čím vyšší počet směn, tím vyšší počet výrobků. Protože p-
hodnota je velmi blízká 0, hypotézu o nezávislosti zamítáme na hladině významnosti 0,01.
0,714 <  < 0,983 s pravděpodobností aspoň 0,99.
ad c)
ID2
= 0,8597. Znamená to, že regresní přímka závislosti počtu výrobků na počtu
odpracovaných směn vystihuje variabilitu počtu výrobků téměř z 86%.
ad d)
Celkový F- test: testová statistika F = 79,63411, odpovídající p-hodnota = 0,000001. Na
hladině významnosti 0,05 tedy zamítáme hypotézu, že dostačující je model konstanty.
ad e)
Odhad rozptylu: s2
= 18,347
ad f)
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (Smeny.sta)
R= ,92718009 R2= ,85966293 Upravené R2= ,84886777
F(1,13)=79,634 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 4,2834
N=15
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(13) Úroveň p
Abs.člen
X
5,010135 8,875949 0,564462 0,582049
0,927180 0,103900 4,302365 0,482123 8,923795 0,000001
b0 = 5,0101, b1 = 4,3024. Znamená to, že když se počet odpracovaných směn zvýší o 1, počet
vyrobených výrobků se v průměru zvýší o 4,3.
Dílčí t-testy: Na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že regresní přímka prochází
počátkem a zamítáme hypotézu, že počet výrobků nezávisí na počtu odpracovaných směn.
ad g)
-14,1652 < 0 < 24,1855 s pravděpodobností aspoň 0,95
3,2608 < 1 < 5,3439 s pravděpodobností aspoň 0,95
ad h)
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
X
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Y
ad i)
Predikovaná hodnota počtu výrobků pro 16 směn je 73,85.
ad j)
Normalita reziduí: Testová statistika K-S testu = 0,19453, Lilieforsova p-hodnota < 0,15, tedy
hypotézu o normalitě reziduí nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 2.: Uměle připravený vzorek minerálu obsahoval 10% křemene a byl dvanáctkrát
proměřen.
Výsledky měření (v %): 8,7 10,2 10,07 9,75 9,65 10,37 10,14 10,5 9,48 11,22 9,49 9,86
a) Vytvořte NP- plot a komentujte jeho vzhled.
b) Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí K-S testu a S-W testu hypotézu, že uvedené
údaje se řídí normálním rozložením.
c) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že obsah křemene byl stanoven správně.
Řešení:
ad a)
8,4 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4
Pozorovaná hodnota
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
Tečky s nevelkými odchylkami řadí vcelku uspokojivě podél přímky.
ad b)
Testová statistika K-S testu = 0,140003, Lilieforsova p-hodnota > 0,2.
Testová statistika S-W testu = 0,977, p-hodnota < 0,971.
Hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
ad c)
Úloha vede na párový t-test. Testová statistika = -0,317, počet stupňů volnosti = 11, p-
hodnota = 0,757. Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu, že obsah křemene
byl stanoven správně.
Úkol 3.: Pro posouzení výkonnosti manuálního pracovníka během dne byl proveden
experiment, při němž byla v různou denní dobu u sedmi pokusných osob měřena schopnost
koncentrace, tj. počet správně provedených úkonů.
část dne výkon
ráno 162 162 150 151 164 155 155
dopoledne 158 154 150 160 165 156 149
odpoledne 149 150 146 158 154 152 148
večer 160 149 158 155 153 158 152
v noci 148 150 160 156 159 156 163
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že denní doba nemá vliv na výkon.
b) V případě zamítnutí hypotézy zjistěte, které výběry se liší.
c) Rozdílnost úrovně výkonu v různých denních dobách znázorněte graficky pomocí
krabicového diagramu a komentujte jeho vzhled.
Řešení:
ad a)
Úloha vede na analýzu rozptylu jednoduchého třídění. Je zapotřebí ověřit, zda data
v uvedených pěti skupinách se řídí normálním rozložením.
ID: 1 VYKON: SW-W = 0,8863; p = 0,2557; D = 0,2402; p < n.s.; Lil < 1
ID: 2 VYKON: SW-W = 0,9684; p = 0,8866; D = 0,1426; p < n.s.; Lil < 1
ID: 3 VYKON: SW-W = 0,9638; p = 0,8508; D = 0,1691; p < n.s.; Lil < 1
ID: 4 VYKON: SW-W = 0,9559; p = 0,7832; D = 0,2068; p < n.s.; Lil < 1
ID: 5 VYKON: SW-W = 0,9416; p = 0,6535; D = 0,2143; p < n.s.; Lil < 1
Ani S-W test ani K-S test nezamítá na hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě.
Dále je zapotřebí ověřit předpoklad o shodě rozptylů.
Leveneův test homogenity rozpylů (Vykon.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
VYKON 15,54286 4 3,885714 202,0000 30 6,733333 0,577086 0,681439
Protože p-hodnota Levenova testu je větší než hladina významnosti 0,05, hypotézu o shodě
rozptylů nezamítáme.
Nyní provedeme analýzu rozptylu.
Analýza rozptylu (Vykon.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
VYKON 154,0000 4 38,50000 746,0000 30 24,86667 1,548257 0,213652
Protože p-hodnota je větší než hladina významnosti 0,05, hypotézu o shodě středních hodnot
nezamítáme. Znamená to, že na hladině významnosti 0,05 se neprokázal vliv denní doby na
výkon manuálního pracovníka.
ad b)
Mnohonásobné porovnávání neprovádíme, protože se neprokázal vliv denní doby na výkon.
ad c)
Průměr
PrůměrSmCh
PrůměrSmOdch
Odlehlé
Extrémy
1 2 3 4 5
ID
146
148
150
152
154
156
158
160
162
164
166
VYKON
Z diagramu je vidět, že variabilita výkonů se liší jen nepatrně. Nejhorší výkony podávají
pracovníci odpoledne, nejlepší ráno.