Zkouska konci v 17h. ----------------------------- Priklad 3: dne 5. 5. 2007 banka vyhlasila rocni urokovou miru depozit 0.0550. dne 5. 6. 2007 banka zmenila rocni urokovou miru depozit na 0.0390. Za dobu od 5. 5. 2007 do 5. 6. 2007 byla inflace s mirou 0.002200 Dalsi hodnoty ukazuje tabulka: | datum zmeny | rocni urokova mira | mira inflace| | 5. 5. 2007 | 0.0550 | 0.002400 | | 5. 6. 2007 | 0.0390 | 0.002200 | | 5. 7. 2007 | 0.0280 | 0.002000 | | 5. 8. 2007 | 0.0200 | 0.001800 | | 5. 9. 2007 | 0.0150 | 0.001700 | | 5. 10. 2007 | 0.0100 | 0.001500 | | 5. 11. 2007 | 0.0730 | 0.001400 | Kazdy mesic se plati dan z vynosu 15 procent.(Plati se v okamziku zmeny urokobve sazby) Jaka byla mira cisteho realneho vynosu od 5. 5. 2007 do 5. 11. 2007 ? ----------------------------- Priklad 4: M te k dispozici 100 korun a presnou znalost vsech kurzu predem. Obchoduje se v case t=0,1,2,3,4,5, pri obchodovani muzete nakoupit libovolnou komoditu v libovolnem mnozstvi, na ktere mate penize a nebo prodat libovolne mnozstvi libovolone komodity,. kterou vlastnite. Jakou nejvetsi castku muzete vyobchodovat (predpokladejme, ze komodity jsou idealne deliteln‚, ze muzete koupit jakoukoliv cast jednotky komodity a ze zacnete obchodovat v okamziku t=0 a koncite v okamziku t=5)? kurzy komodit: ------------------------------ komodita | 1| 2| 3| ------------------------------ cas | | | | 0 | 0.7| 1.4| 2.1| 1 | 2.4| 3.1| 5.6| 2 | 4.1| 2.1| 5.5| 3 | 4.9| 10.1| 7.2| 4 | 7.5| 10.9| 8.9| 5 | 6.5| 9.9| 5.2| ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 4.: [PocetTitulu = 3, Kapital[0] = 100, kappa[1,0] = .700000000000, kappa[1,1] = 2.40000000000, kappa[1,2] = 4.10000000000, kappa[1,3] = 4.90000000000, kappa[1,4] = 7.50000000000, kappa[1,5] = 6.50000000000, kappa[2,0] = 1.40000000000, kappa[2,1] = 3.10000000000, kappa[2,2] = 2.10000000000, kappa[2,3] = 10.1000000000, kappa[2,4] = 10.9000000000, kappa[2,5] = 9.90000000000, kappa[3,0] = 2.10000000000, kappa[3,1] = 5.60000000000, kappa[3,2] = 5.50000000000, kappa[3,3] = 7.20000000000, kappa[3,4] = 8.90000000000, kappa[3,5] = 5.20000000000] ----------------------------- Priklad 5: Najdete rocni urokovou miru pri ktere oba splatkove kalendare: -------------------------------- Datum | 2. | 1. | --------------------------------- 17. 3. 2001 | 769 | 1000 | 26. 4. 2001 | 777 | 1010 | 5. 6. 2001 | 777 | 1010 | 15. 7. 2001 | 792 | 1030 | 24. 8. 2001 | 785 | 1020 | 3. 10. 2001 | 777 | 1010 | 12. 11. 2001 | 800 | 1040 | 22. 12. 2001 | 792 | 1030 | 31. 1. 2002 | 823 | 1070 | 12. 3. 2002 | 823 | 1070 | 21. 4. 2002 | 808 | 1050 | 31. 5. 2002 | 823 | 1070 | 10. 7. 2002 | 980 | 0 | 19. 8. 2002 | 1035 | 0 | 28. 9. 2002 | 1083 | 0 | 7. 11. 2002 | 1154 | 0 | 17. 12. 2002 | 1196 | 0 | -------------------------------- stejne vyhodne. Urokovou miru urcete p. a.Rekapitulace dat: Priklad 5.: [[Splatky1[1] = 1000], [Splatky1[2] = 1010], [Splatky1[3] = 1010], [Splatky1[4] = 1030], [Splatky1[5] = 1020], [Splatky1[6] = 1010], [Splatky1[7] = 1040], [Splatky1[8] = 1030], [Splatky1[9] = 1070], [Splatky1[10] = 1070], [Splatky1[11] = 1050], [Splatky1[12] = 1070], [Splatky2[1] = 769], [Splatky2[2] = 777], [Splatky2[3] = 777], [Splatky2[4] = 792], [Splatky2[5] = 785], [Splatky2[6] = 777], [Splatky2[7] = 800], [Splatky2[8] = 792], [Splatky2[9] = 823], [Splatky2[10] = 823], [Splatky2[11] = 808], [Splatky2[12] = 823], [Splatky2[13] = 980], [Splatky2[14] = 1035], [Splatky2[15] = 1083], [Splatky2[16] = 1154], [Splatky2[17] = 1196]] ----------------------------- Priklad 7: Na pocatku se z vaseho uctu odecte vstupni poplatek ve vysi 2862.700000 korun. Kazdy mesic ukladate 3976.000000 korun. Ty se uroci slozenym urokem 0.010000 p. a. 1. 3., 1. 6., 1. 9. a 1. 12 kazdy rok se odecte poplatek poplatek 300.000000 za vedeni uctu. Na konci roku se spocita nasporena castka, coz je soucet vsech ulozek za tento rok (statni podpora se nepocita), a uroku (ze vsehch deponovanych penez vcetne statni podpory). Nasledujici rok se 1. brezna pripise na ucet statni podpora, ktera je min(4500,1/4*NasporenaCastkaZaPredchoziRok) Kolik nasporite od 11. 7. 2000 do 1. 3. 2005. pokud prvni ulozku ulozite 11. 7. 2000 a pokud vsechny ulozky ukladate 11. den v mesici a posledni ulozku ulozite v 11. 12. 2004 ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 7.: [CilovaCastka = 286270, xi = 1/100, VstupniPoplatek = 28627/10, PoplatekZaVedeni = 300, Pocatek = 191, Ulozka = 3976] ----------------------------- Priklad 8: Priklad 8.: Sporite po dobu 11.000000 let pravidelnymi mesicnimi ulozkami ke kterym vam mesicne pridava stat jejich 0.042000 nasobek Rocni urokova mira sporeni je 0.017000. Jaka je rocni vynosnost tohoto sporeni? (porovnavame se porenim bez statniho prispevku) Pozn.: Vynosnost sporeni A budiz urokova mira, jiz by melo anuitni sporeni, kterym bychom pri techze ulozkach nasporili tutez castku jako pri sporeni A. I kdyby A bylo take obycejne anuitni sporeni, tak by tato vynosnost zavisela nejen na urokove mire, ale i na delce sporeni. Cim dele sporime, tim vice nasporime. (Banka ktera nabizi sporeni na 10 let i pri mensi urokove mire by mela vetsi vynosnost, nez banka, ktera nabizi sporeni na jenom jeden rok.) Zavislost na case chceme vyloucit, proto zvolime jednotku casu, v nasem pripade rok a vyslednou urokovou miru (treba 10 letou urokovou miru 10leteho sporeni) prepocitame, jako urokovou miru slozeneho uroceni na rocni urokovou miru. Otazka tedy je: pri jake rocni urokove mire bychom nasporili bez statnich podpor a s tymiz ulozkami stejnou castku? Cili, jak se diky statnim podporam zvysi zisk ze sporeni, brano reltivne vzhledem k velikosti ulozek - cili vyjadreno tak, ze se veskery zisk zahrne do urokove miry. rekapitulace dat: UrokovaMira = .170000000000e-1, StatniPrispevek = .420000000000e-1, PocetLet = 11. ----------------------------- Priklad 9: Agregovane ceny maji v cas t (mereno od zacatku roku, jednotkou casu je den) hodnotu t -> 2*(101/100)^t+3*sin(t)+2*sin(2*t)+sin(3*t). Jaka je rocni mira inflace za poslednich 100 dni roku? (mysleno za obdobi, ktere konci pulnoci posledniho dne roku, rok je neprestupny) (Pozn.: Rok začíná půlnocí na začátku dne 1. 1. a to je čas t=0 a končí půlnocí na konci dne 31. 12. Rocni mira inflace je mira inflace za 365 dni.) ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 9.: t -> 2*(101/100)^t+3*sin(t)+2*sin(2*t)+sin(3*t) ----------------------------- Priklad 10: Rocni mira inflace je v cas t (mereno od zacatku roku, jednotkou casu je den) hodnotu t -> .5e-1+3/1000*sin(t)+1/500*sin(2*t)+1/1000*sin(3*t)+1/250*sin(4*t). Jaka je mira inflace za poslednich 100 dni roku? (, tj. od okamziku t=266 po okamzik t=366, rok je neprestupny) ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 10.: t -> .5e-1+3/1000*sin(t)+1/500*sin(2*t)+1/1000*sin(3*t)+1/250*sin(4*t) ----------------------------- Priklad 11: Mate libovolne delitelny kapital velikosti 1 a pro kazde N mate tuto investicni moznost: pro N=1 ulozite polovinu na zacatku a polovinu na konci roku pro N=2 ulozite tretinu na zacatku, tretinu uprostred a tretinu na konci roku pro N=3 ulozite ctvrtinu na zacatku, po prvni a druhe tretine roku a na konci roku . . . Obecne pro kazde prirozene N ulozite N+1 ulozek v ekvidistantnich okamzicich, tak ze prvni bude na zacatku a posledni na konci roku a vsechny budou mit stejnou velikost: castka/(N+1) jaka je limita budouci hodnoty kapitalu pro N jdouci k nekonecnu na konci roku pri urokove mire xi = 869/1250, pokud je pocatecni velikost kapitalu 1? ----------------------------- Priklad 12: Produkty jako je preklenovaci uver stavebniho sporeni, nebo moznost splatit hypoteku zivotnim pojistenim maji spolecny princip. Cilem tohoto ukolu je kvantifikovat jejich vyhodnost. Odhlizime pritom od danovych ulev. Chcete si pujcit 374000.000000 korun na dobu 248 mesicu (behem niz dluh splatite). Urokova mira je 1/40 p. a. Po celou dobu budete splacet jen uroky (mesicne) a soucasne budete sporit mesicnimi ulozkami s urokovou mirou 1/100 p. a. tak, abyste za dobu 248 mesicu nasporili castku 374000.000000 korun kterou pak splatite zbytek dluhu. Najdete urokovou miru, pri ktere by pro vas bylo splaceni dluhu o velikosti 374000.000000 korun stejnymi platbami ve stejnych okamzicich jako v pripde predchozim, tj. anuitnimi splatkami po dobu 248 mesicu, stejne vyhodne jako je shora uvedena moznost umoreni. Priklad 12: UCO: 28627 Rekapitulace dat: [xi[1] = 1/100, xi[2] = 1/40, T = 248, Z = 374000] ----------------------------- Priklad 13: Sporite si na duchod 841.000000 rupii mesicne Po dobu 335.000000 mesicu --- zde to znamena, ze 335 krat ulozite, a po teto dobe si od dalsiho mesice nechate vyplacet duchod 841.000000 rupii mesicne Vas ucet se uroci urokovou mirou 0.003100 p. a. , pokud je na nem mene nez 146000.000000 a urokovou mirou 0.001700 p. a. pokud je na nem vice nez 146000.000000,Zmena urokove sazby se provede v prvnim okmziku nektere vasi platby nebo vyplaty, ve kterem bude zjistena prekrocena hranice zustatku. Kolik mesicu vam bude trvat vyplaceni (pocitame i posledni mesic, ve kterem bude vyplcena neuplna castka a zajima nas doba, od prvni do posledni vyplaty (jsou-li vyplaty dve, je tato doba 1 (mesic)))? Rekapitulc dat prikladu 13: [UrokovaMira = [.310000000000e-2, .170000000000e-2], Hranice = 146000., DobaSporeni = 335., Ulozky = 841.] ----------------------------- Priklad 14: Mate-li ulozeny kapital o velikosti 200 pri urokove mire 0.015750 a kapital o velikosti 130 pri urokove mire 0.021000 a kapital o velikosti 220 pri urokove mire 0.023100 po dobu 15 jaká je agrgatní (průměrná) úroková míra, se kterou se po dobu 15 uročil váš diverzifikovaný kapital 550? Priklad 14. RekapitulaceDat: [xi = [.157500000000e-1, .210000000000e-1, .231000000000e-1], z = [200., 130., 220.], T = 15.] ----------------------------- Priklad 15: Uzavřeny podilovy fond, za jehoz spravu jste odpovedni, mel v poslednich 11 letech tyto vynosy: | rok | vynosnost| | 1 | 0.02100 | | 2 | 0.02900 | | 3 | 0.01900 | | 4 | 0.02600 | | 5 | 0.02200 | | 6 | 0.02800 | | 7 | 0.01700 | | 8 | 0.05100 | | 9 | 0.02400 | | 10 | 0.02800 | | 11 | 0.01500 | Jaky byla jeho prumerna vynosnost za poslednich 11 let (tj. konstantni vynosnost, kterou by fond musel mit, aby byl vynos z podilu, ktery se za 11 let nezmenil stejny, jako je tomu pri vznosech, ktere skutecne mel? Priklad 15: RekapitulaceDat: [.210000000000e-1, .290000000000e-1, .190000000000e-1, .260000000000e-1, .220000000000e-1, .280000000000e-1, .170000000000e-1, .510000000000e-1, .240000000000e-1, .280000000000e-1, .150000000000e-1] ----------------------------- Priklad 16: Stavebni sporitelna vam nabizi penize, ktere budete spalcet takto: Nejprve po dobu 170.000000 mesicu budete spalcet meziuver splatkami 280.000000 pri urokove mire 0.021000 a pritom dosporovat ulozkami 170.000000 pri urokove mire 0.010000 pak se cast dluhu umori nasporeou castkou a zbytek splatite 120.000000 splatkami o velikost 220.000000 pri urokovemire 0.019000 abychonm mohli porovnt tuto nabidku s nabidkami hypotecnich bank, potrebujeme spocitat jednu, tj. prumernou urokovou miru z urokovych mer 0.010000, 0.021000, a 0.019000. Pri jake urokove mire byste splatili tentyz dluh splatkami stejnymi a stejne distribuovanymi v case, jake by byly vase platby stavebni sporitelne? (splatky jsou mesicni, urokove miry rocni) ----------------------------- Priklad 17: sporite anuitnimi mesicnimi ulozkami s cistou urokovou sazbou 0.035000 p. a. pri konstantni rocni mire inflace 0.090443. Ve kterem okamziku bude realny stav vaseo uctu maximalni? (Jednotkou casu je mesic, cas ma hodnotu nula pri prvni ulozce.) ----------------------------- Priklad 18: Mate nabidku ziskat uver s temito parametry: urokova mira 0.035000 p. a. splatky 480.000000 p. m. pocet splatek 690 mesicuTj njdete funkci, ktera stanovi relativne o kolik vic, nebo min si budete moci pujcit pri stejnych splatkach, v zavislosti na zmene urokove miry (vyjadreno aditivne, tj o kolik se zmeni), a najdete koeficient linearniho clenu taylorov rozvoje teto funke v bode 0.035000. Pak budete moci rict, kdyz je urokov mira o delta vetsi mohu si pujcit (priblizne) b krat vic. (Prvni splatka je mesic po vypujceni penez) Komentar: je-li F velikost pujcky v zavislosti na urokove mire pri danyh splatkach, je relativniprirustek: G(delta)=(F(xi+delta)-F(xi))/(F(xi)) To je obecne slozita funkce. My ji nahradime jednoduzsi funkci takto: G(delta)=G(0)+D(G)(0)*delta+1/2D(D(G))(0)*delta^2+. . . (tayloruv rozvoj Vezmeme pouze nulty a prvni clen) G(0)=0 Pocitame D(G)(0). Pak muzeme pro mala delta priblizne pocitat: G(delta)=delta*c c je derivace relativniho prirustku, cili ukazuje, jak se relativni prirustek zmeni,. kdyz se zmeni argument: (F(xi+delta)-F(xi))/(F(xi))=delta*c a presne to plati pro delta=0, cili c=limit((F(xi+delta)-F(xi))/(F(xi)*delta),delta=0) ----------------------------- Priklad 19: Kolik si maximalne muzete pujcit na dum, pokud jste ochotni splacet anuitne 8992.000000 Kc mesicne,a urokova mira zavisi na dobe splaceni, pri delce splaceni N mesicu je 0.203191136715*N-1.61474999075 ----------------------------- Priklad 20: Uvažujme dvě měny, CZK a USD, jejich kurzy v čase 0 a (skutečný) a v čase 1 (předpokládaný) jsou 25.600000 a 28.840000 (je to cena dolaru v korunách v čase 0 resp. 1). V case 0 je úroková sazba z depozit denominovanych v CZK 0.044000 a z depozit denominovanych v USD 0.027000. Investice vytvori tlak na urokovou miru depozit denominovnych v CZK a ta se postupne zmeni na hodnotu rovnovazneho stavu, ktery zajisti investorum investujicim v case 0 stejny vynos v case 1 v depocitech denominovanych CZK jako v USD. Jaka urokova mira to je? ----------------------------- Priklad 21: Jaka je (pri ocekavane urokove mire 0.027000 p. a.) trzni hodnota kuponoveho dluhopisu dne 1. 2. 2001 pokud na zacatku kazdeho ctvrtleti dostava drzitel vyplaceno na kupony 630.000000Kc a pokud dne 2. 11. 2003 bude vyplacena zaklad 2800.00Kc? ----------------------------- Priklad 22: Jaky je zustatek dluhu, z pujcenych penez o velikosti 18000.000000Kc, ktery jste zatim splaceli 12.000000 mesicnimi splatkami o velikosti 1500.000000Kc (prvni splatka mesic po pujceni penez, posledni splatka dnes) pri smluven urokove mire 0.063900 p. a.? ----------------------------- Priklad 23: S pravděpodobností 0.140000 bude ekonomika ve stavu recese a návratnost investic bude 0.024000. S pravděpodobností 0.650000 bude ekonomika v normálním stavu a návratnost investic bude 0.150000. S pravděpodobností 0.210000 bude ekonomika ve stavu prudkeho rozvoje a návratnost investic bude 0.340000. Jaka je ocekavana mira vynosu investice (tj. stredni hodnota teto nahodne veliciny)? ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 23.: nu = (.140000000000, .650000000000, .210000000000) xi = (.240000000000e-1, .150000000000, .340000000000) ----------------------------- Priklad 24: S pravdě podobností 0.140000 bude ekonomika ve stavu recese a návratnost investic bude 0.024000. S pravdě podobností 0.650000 bude ekonomika v normálním stavu a návratnost investic bude 0.150000. S pravdě podobností 0.210000 bude ekonomika ve stavu prudkeho rozvoje a návratnost investic bude 0.340000. Jake je riziko investice (tj. variance, alias rozptyl, tj. druha odmocnina centrálního momentu druheho radu, sigma = (E(rho-E(rho))^2)^(1/2)=(E(rho^2)-E(rho)^2)^(1/2))?E je stredni hodnota, rho nahodna velicina, sigma rozptyl ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 23.: nu = (.140000000000, .650000000000, .210000000000) xi = (.240000000000e-1, .150000000000, .340000000000) ----------------------------- Priklad 25: Hodnota kuponoveho dluhopisu je 6200.000000 (v čase 0) na kupóny má být vyplácena částa 12.000000 6krát ve stejných intervalech delky jednotky času, poprvé v čase 1. Při výplatě posledního kupónu má být vyplacena i částka 6200.000000. Při jaké úrokové míře je hodnota tohoto dluhopisu rovn jeho ceně (tj. cena je spravedlivá)? ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 25.: C = 12. T = 6 F = 6200. p = 1 eta = 1 ----------------------------- Priklad 26: Hodnota kuponoveho dluhopisu je 6200.000000 (v čase 0) na kupóny má být vyplácena částa 12.000000 6krát ve stejných intervalech, poprvé v čase 1. Při výplatě posledního kupónu má být vyplacena i částka 6200.000000. Tyto částky ovšem budou vyplaceny s pravděpodobností 0.260000. s pravděpodobností 1-0.260000=0.740000 budou vyplaceny jen 0.670000 násobky těchto částek Při jaké úrokové míře je hodnota tohoto dluhopisu rovna jeho ceně (tj. cena je spravedlivá)? ------------------------------ Rekapitulace dat: Priklad 26.: C = 12. T = 6 F = 6200. p = .260000000000 eta = .670000000000 Priklady vypocitejte, a vysledky zapiste pod sebe na jednotlive radky takto: Na vsech budou pouze cisla: 1. radek: UCO 2. radek: cislo prvniho prikladu 3. radek: vysledek prvniho prikladu . . . 7. radek: vysledek 3. prikladu . . . Jako oddelovace desetin pouzivejte tecku, ne carku. Na znamku e je treba ze zadanych spocitat polovinu zdanych prikladu. )