Link: OLE-Object-Data 2.4 Příklady dvoukomoditních užitkových funkcí V této části uvedeme několik příkladů z oblasti běžných analytických tvarů, které vyšetříme z hlediska vhodnosti jejich použití jako užitková funkce. Odvodíme dále u nich analytické tvary pro nepřímou užitkovou funkci, výdajovou funkci a pro poptávkové funkce po komoditách, a to jak v Hicksově, tak v Marshallově tvaru. Odvození poptávkových funkcí provedeme buď přímou cestou (na základě využití nutných podmínek pro nalezení rovnovážného bodu), nebo nepřímo z nepřímé užitkové funkce (pomocí Royovy identity) popř. výdajové funkce (pomocí Shephardova lemmatu). Poznamenejme, že z každého jednoduchého funkčního tvaru lze odvodit řadu dalších, uplatníme-li na tento tvar spojitou rostoucí transformaci s vědomím, že (přímá) užitková funkce je určena pouze s ordinální přesností ve smyslu vlastnosti (U5) obecné užitkové funkce. 4.1 Lineární užitková funkce Nejjednodušší možnou specifikací užitkové funkce je lineární funkce tvaru (4.1) s těmito omezeními na parametry : konstantní člen = 0 (nutné pro platnost ) a (vzhledem k požadavku kladných mezních užitků). Jak se lze ihned přesvědčit, při těchto omezeních vyhovuje lineární tvar všem požadavkům (U1)-(U4),(U6) kladeným na užitkovou funkci. Zřejmě dále pro všechna nezávisle na , (tedy rovněž nezávisle na ) a pro všechna . Jak mezní užitky, tak mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma statky jsou tedy nezávislé na poloze kombinace statků v komoditním prostoru. Přesto lineární tvar není jako užitková funkce vhodný a v aplikacích se lineární užitková funkce neužívá. Proč tomu tak je, napoví obrázek [2A], který vystihuje situaci pro dvě komodity , : Na něm jsou zakresleny tři indiferenční křivky odpovídající hladinám užitku , , při . Výdajové omezení tvaru je představováno úsečkou spojující body , . Rovnovážný bod je charakterizován stavem, v němž se některá z indiferenčních křivek (při konstantní úrovni příjmu a daných cenách , [ ]) při přibližování zprava shora k počátku poprvé dotkne výdajového omezení. V zakresleném případě je to indiferenční křivka na hladině dotýkající se výdajového omezení v bodě . Mezní míra substituce je u dvoukomoditní lineární funkce rovna podílu a je tedy konstantní v celém komoditním prostoru. Dále je patrné, že bod bude rovnovážným bodem právě tehdy, jestliže mezní míra substituce bude větší než poměr relativních cen, tedy při . Pokud bude tento poměr opačný, nastane rovnováha (ustálení poptávky na rovnovážné úrovni) v bodě . Ve výjimečné situaci, kdy platí , existuje nekonečná množina rovnovážných bodů představovaných celou úsečkou . Jestliže relativní cenový poměr [ ]bude vykazovat hodnotu blízkou , potom to bude znamenat, že kolísání kolem povede ke skokovým přesunům rovnovážného bodu z do a naopak. Nevhodnost uplatnění lineární funkce jako užitkové vyplývá tedy z následujícího : a) Substituce mezi komoditami probíhá zpravidla obtížněji, než jak udává konstantní poměr . Zpravidla při dosažení určité (kriticky malé) hodnoty jedné z komodit množství druhé, která ji má nahradit, výrazně vzrůstá, čímž se substituce stává stále obtížnější. b) Není typické, aby - až na výjimku - bylo rovnovážné řešení charakterizováno stavem, kdy je poptávána jen jedna komodita ( v případě, že rovnováha nastane v , resp. , pokud je rovnováha v ). c) Podobně nepřirozené je alternování (přeskakování) polohy rovnovážného bodu (z do a naopak) při malé změně poměru v okolí hodnoty . Odporuje to pozorovaným setrvačnostem v chování spotřebitelů ve vztahu k nakupovaným statkům. Navíc, rovnováha je při uvedeném poměru relativních cen vysoce nestabilní. Nepřímou užitkovou funkci příslušnou k lineární užitkové funkci nelze odvodit z nutných podmínek pro polohu rovnovážného bodu, protože mezní užitky neobsahují jako argumenty příslušné souřadnice (ani pro x[1] ani pro x[2]). Můžeme však vyjít přímo ze souřadnic, kterými je definován rovnovážný bod (viz též obrázek). Je však třeba přitom rozlišit dva případy : a) je-li nakupován pouze první statek, pak je rovnováha určena bodem , Poptávková funkce v Marshallově vyjádření má tedy tvar (4.2) Nepřímou užitkovou funkci obdržíme snadno dosazením této poptávky do (přímé) užitkové funkce. Dostaneme : (4.3) Výdajovou funkci pak získáme substitucí, při níž zapíšeme levou stranu (4.3) jako a kde na pravé straně téhož výrazu nahradíme výdaj M výrazem . Odtud snadno získáme výraz (4.4) b) je-li nakupován pouze druhý statek, pak je rovnováha určena bodem . Poptávková funkce v Marshallově vyjádření má nyní tvar (4.5) Nepřímou užitkovou funkci a výdajovou funkci obdržíme stejným postupem jako dříve : (4.6A,B) Poznámka 1 Třetí případ představovaný situací, kdy je rovnovážný „bod“ tvořen celou úsečkou AB, není třeba uvažovat zvlášť , neboť jde o jistý „průnik“ obou předchozích. V něm platí . Odvození poptávkových funkcí je možné provést též nepřímo, vyjdeme-li z již známé nepřímé užitkové nebo výdajové funkce. Protože platí (4.7) a podobně pro obdržíme výrazy (4.2) resp. (4.5) též aplikací Royovy identity, obdobně jako bychom uplatněním Shephardova lemmatu na (4.4) resp. (4.6B) dostali vztahy (4.8 ) , z nichž po dosazení za máme ihned (4.2), (4.5). 4.2 Kvadratická užitková funkce Ani tento funkční tvar není, jak níže ukážeme, jako užitková funkce vhodný : -komoditní ryze kvadratická užitková funkce může být zapsána ve tvaru (4.9) při , zajišťujících kladné mezní užitky. Absence konstantního členu vyplývá opět z podmínky . Ryze kvadratická funkce s kladnými koeficienty je konečná, nezáporná, rostoucí ve všech komoditách, spojitá a neomezeně diferencovatelná, není však kvazikonkávní. K přiblížení negativního důsledku nesplnění posledně jmenované vlastnosti stačí uvažovat dvoukomoditní případ (4.10) jehož geometrickým vyjádřením je elipsa tvaru resp. (4.11) tedy se středem v počátku a s poloosami [ ]resp. . Na obrázku [2B] je zakreslena situace se třemi indiferenčními křivkami na hladinách užitku , , při . Výdajové omezení je opět znázorněno úsečkou s rovnicí spojující body , . Bod , v němž se indiferenční křivka ^ dotýká výdajového omezení, však není rovnovážným bodem v plnohodnotném slova smyslu. Naopak, posun z něj po výdajovém omezení v obou možných směrech vede k dosažení bodů (komoditních kombinací), které leží na indiferenčních křivkách o vyšších hladinách užitku, což je v protikladu s požadavkem na vlastnost rovnovážného bodu.. Lze pozorovat pouze to, že jsou-li vybrány komodity v množstvích odpovídajících souřadnicím bodu , potom úbytek množství jednoho či druhého statku bude znamenat vždy přechod na nižší indiferenční křivku. To však nemá žádný vztah ke kritériu požadovanému pro rovnovážný bod, aby se komodity nakupovaly v poměrech, které zajišťují nejlevnější možný výdaj (pro danou hladinu užitku). Na uvedeném obrázku lze též dobře ilustrovat rozdílnost mezi rostoucí a kvazikonkávní funkcí. Uvažovaná ryze kvadratická funkce s kladnými , je neklesající (je dokonce rostoucí) v každé proměnné, není však kvazikonkávní. Množině dvoukomoditních rostoucích funkcí odpovídá třída indiferenčních křivek, u kterých průběh (zleva shora) po kterékoliv z nich je charakterizován klesající hodnotou [ ]a rostoucí hodnotou , zatímco kvazikonkávnost navíc mj. vyžaduje, aby mezní míra substituce při tomto pohybu kontinuálně klesala (což u kvadratické funkce splněno není) a aby všechny indiferenční křivky byly pro danou užitkovou funkci vždy "vyklenuty směrem k počátku". Mezní užitky u ryze kvadratické funkce jsou , (a jsou tedy závislé na bodu komoditního prostoru, v němž jsou vyčísleny), mezní míra substituce je rovna [ ](a je tedy rostoucí při snižování [ ]a zvyšování [ ]). Poznámka 2 Je zřejmé, že ke zlepšení vlastností ryze kvadratické funkce nepovede specifikace se zápornými koeficienty , . Při nich bude sice tato funkce kvazikonkávní, ale funkce sama bude záporná a klesající, oba mezní užitky budou tedy záporné. Jako užitková funkce je tedy nepoužitelná. Odvození poptávkových funkcí po komoditách provedeme na základě maximalizace výrazu Parciálními derivacemi podle , [ ] a a jejich anulováním dostaneme tři podmínky : tzn. [ ] z nichž odvodíme (řešením tří rovnic pro neznámé ,, ) v závislosti na parametrech úlohy, tj. , , , a poptávkové funkce po obou komoditách jako ( 4.12) V obou případech roste poptávka přímo úměrně příjmu a nepřímo úměrně s cenou této komodity. Přistupme k odvození nepřímé užitkové funkce. K tomu stačí dosadit , z (4.12) do (4.10). Po drobných úpravách dostaneme ( 4.13) Nepřímá užitková funkce je tedy rovněž kvadratická v M a klesající se čtvercem každé z cen ,. Výdajovou funkci získáme standardně nahrazením levé strany (2.4.13) pevnou hodnotou a položením . Pak již snadno z (2.4.13) získáme výraz ( 4.14) Výdajová funkce je tedy odmocninná ve vztahu k hladině užitku Marshallův tvar poptávkových funkcí lze odvodit též pomocí Royovy identity, přičemž z (2.4.13) máme (4.15) a též zatímco k vyjádření v Hicksově tvaru musíme použít Shephardovo lemma, na základě něhož (4.16) ,. Shodu obou výrazů prověříme např. dosazením výdajové funkce za M 4.3 Leontiefova užitková funkce Tento typ užitkové funkce (též užitková funkce s pevnými koeficienty) lze zapsat ve tvaru ( 4.17) kde jsou nějaké kladné konstanty. Tato užitková funkce je charakterizována indiferenční mapou sestávající z indiferenčních křivek, které mají podobu „rohů“ (vrcholů a hran) neomezených -rozměrných kvádrů. Vrcholy přitom leží na polopřímce vycházející z počátku souřadnic. Pro případ dvou komodit má tato polopřímka rovnici [ ]a celou situaci lze vyjádřit obrázkem [2C], který opět obsahuje indiferenční křivky pro tři úrovně užitku ,,. Jako oblast ^ označíme množinu všech , pro které platí a jako ^ oblast, v níž platí . Hranici obou množin tvaru [ ]tvoří polopřímka vycházející z počátku souřadnic pod úhlem , pro který platí . Jinak je patrné,že Leontiefovská funkce splňuje vlastnosti užitkové funkce, neboť je : (U1) : reálná konečná a platí , (U2): neklesající v celé definičním oboru, přesněji rostoucí ve směru přírůstku každé komodity až do hodnoty , poté je konstantní, (U3) spojitá v celém definičním oboru a (U4) kvazikonkávní, neboť funkční hodnota v bodě ležícím na spojnici libovolných dvou bodů komoditního prostoru nikdy neklesne (jak plyne z konvexnosti množin) pod menší z obou hodnot užitku v krajních bodech. Aplikace (U5) pak vede k obecnějším strukturám komplementárních užitkových funkcí. Pokud jde o hodnoty mezních užitků, musíme rozlišit oblasti a vyznačené na obrázku [2C] : v oblasti platí [ ], resp.. , zatímco v oblasti platí , resp. . Dále zřejmě v celém komoditním prostoru platí a pro mezní míry substituce platí : v oblasti : , zatímco v oblasti : . Abychom odvodili u této funkce poptávkové funkce po komoditách, musíme - při neexistenci parciálních derivací na „hřebeni“ zvolit poněkud modifikovaný postup : Je zřejmé, že při jakýchkoliv kladných cenách , a příjmu vzájemně propojených rovnosti bude maxima užitku dosaženo na „hřebeni“. Bod maxima tedy získáme jako průsečík úsečky a polopřímky [ ]procházející počátkem souřadnic. Řešením pro , dostaneme poptávkové funkce ve tvaru : ( 4.18) Odtud je vidět, že poptávka po každé komoditě je přímo úměrná příjmu a nepřímo úměrná ceně vlastní (ale stejně tak i cizí) komodity. Povšimněme si přitom, že z tohoto hlediska jsou komodity , v typicky komplementárním vztahu. Uveďme dále, že Leontiefova užitková funkce je (pro libovolné konečné n) lineárně homogenní, neboť pro ni platí: ( 4.19) pro libovolné kladné . Leontiefova užitková funkce je pro určitý typ vzájemného vztahu komodit (jsou-li tyto vzájemně komplementární) výstižným analytickým nástrojem. Naopak, pro situace charakterizované vzájemnou substitučností komodit není adekvátně použitelná. Rovněž u Leontifeovy užitkové funkce lze snadno odvodit nepřímou užitkovou funkci :. Stačí dosadit nalezené poptávkové funkce ( 2.4.18 ) do přímé užitkové funkce. Dostaneme (4.20) a vidíme, že oba výrazy v závorce jsou shodné – minima se tedy nabývá v obou bodech současně. V souladu s očekáváním roste nepřímá užitková funkce přímo úměrně s příjmem a nepřímo úměrně s cenou vlastní i nevlastní komodity (opět zaznamenáváme komplementaritu ve vztahu mezi oběma). Nyní můžeme odvodit poptávkové funkce také alternativně odvodit pomocí Royovy identity. Protože vede výraz přesně ke tvaru poptávkové funkce v Marshallově tvaru, jak jsme ho odvodili vztahem (4.18 ) . Dále přistoupíme k určení výdajové funkce. Stačí k tomu nahradit levou stranu v (2.4.20) pevnou hodnotou užitku a nahradit zápisem výdajové funkce Odtud již snadno máme (4.21) Výdaj spojený s nákupem statků je přímo úměrný úrovni užitku a též přímo úměrný cenám komodit. Konečně rovněž snadno ověříme shodu poptávkových funkcí pro oba tvary (Marshallův i Hicksův): Nejprve odvodíme pomoc Shephardova lemmatu Hicksův tvar poptávkových funkcí. Zřejmě (4.22 ) pro . Tento velmi jednoduchý výraz vyjadřuje lineární závislost poptávky na hodnotě užitku. Za povšimnutí stojí, že poptávková funkce není závislá na ceně žádné z komodit. Jde o tvar korespondující s Marshallovým vyjádřením poptávek, neboť po dosazení (4.23 ) 4.4 Odmocninná užitková funkce Dalším funkčním tvarem, který může být vhodně uplatněn jako užitková funkce, je funkce tvaru (4.24) , resp. ve zjednodušeném zápisu pro dvě komodity (4.25) , Opět lze snadno ukázat, že odmocninná funkce je reálná konečná spojitá rostoucí a splňující . Je také kvazikonkávní (a lineárně homogenní stupně 1/2). Mezní užitky jsou rovny , resp. , mezní míra substituce je ^ a mění se tedy s polohou bodu v komoditním prostoru. Poptávkové funkce odvodíme obvyklým způsobem, řešením následujících tří rovnic pro ,, : Některou z metod řešení soustavy lineárních rovnic ( např. komparační s porovnáním a eliminací ) získáme řešení pro , a : (4.26) Z uvedených výrazů je patrné, že každá z obou poptávkových funkcí je lineární funkcí příjmu a že poptávka je nepřímo závislá na jí příslušné ceně. Z uvedených hledisek tedy lze odmocninnou funkci přijmout jako vhodnou pro popis (přinejmenším určité části) standardních užitkových situací. Znázornění situace na obrázku [2D] představuje trojici indiferenčních křivek , , , které mají tu vlastnost, že jsou kvazikonkávní a přiléhají v konečných hodnotách k souřadnicovým osám. Každá z komodit je tedy plně substituovatelná konečným množstvím druhé komodity (stejně by tomu bylo i v -rozměrném případě). Rovnovážný bod se nachází v místě dotyku výdajového omezení s indiferenční křivkou . Vychýlení z něho v kterémkoliv směru úsečky výdajového omezení vede vždy k nižší hladině užitku než . Nyní vyšetříme kvazikonkávnost odmocninné užitkové funkce. K tomu stačí vypočíst determinant tvaru , protože ; ; ; ; Hodnota determinantu tedy je (pouze 2 ze 6 členů Sarusova rozvoje jsou nenulové) pro libovolná kladná β[1], β[2]. Odmocninná užitková funkce je tedy kvazikonkávní. Nepřímou užitkovou funkci získáme prostým dosazením nalezených poptávkových funkcí (v Marshallově tvaru) do užitkové funkce. Dostáváme nebo po vynásobení čitatele i jmenovatele výrazu v závorce dále (4.27) Nyní odvodíme tvar výdajové funkce příslušné odmocninné užitkové funkce. Vyjdeme z již vyvozené nepřímé užitkové funkce, kde za obecný výraz dosadíme konkrétní hodnotu užitku ^0u a obdobně (nyní hledaný tvar výdajové funkce ) substituujeme z M. Postupně získáme , z čehož snadno určíme ( 4.28) . Jak patrno, tato výdajová funkce je nezáporná (pro libovolné hodnoty parametrů ), nulová pouze při a rostoucí (s druhou mocninnou) ^0u. Nyní přistoupíme k ilustraci odvození poptávkových funkcí zprostředkovaně, z nepřímé užitkové, resp. výdajové funkce. Z nepřímé užitkové funkce spočteme poptávkové funkce pomocí Royovy identity. Výpočtem derivací dostaneme a podobně, , a tedy dosazením do Royovy identity což zřejmě odpovídá prvému z výrazů uvedených v (4.26 ). Výraz pro bychom odvodili obdobně; obdrželi bychom druhý výraz v (4.26). Jak patrno, Marshallovská poptávková funkce je přímo úměrná příjmu spotřebitele a současně je klesající se čtvercem ceny příslušné komodity. Alternativně můžeme však získat také poptávkové funkce v Hicksově pojetí. K tomu uplatníme Shephardovo lemma. Dle něho a po úpravě (4.29) . Hicksovská poptávková funkce je tedy rostoucí se čtvercem hladiny užitku a klesající s růstem ceny . Abychom mohli porovnat oba tvary poptávkových funkcí (Hicksův a Marshallův), stačí např. dosadit do výrazu pro za Dostaneme ٱ. Obdobně bychom mohli postupovat i obráceně. Za ^0u dosadíme výraz pro nepřímou užitkovou funkci : ( 4.30) Konečně ukážeme, že i třetí postup vyvození Hicksovských poptávkových funkcí – řešením minimalizační úlohy – vede taktéž k tvaru shodnému s oběma předchozími: Řešíme tedy úlohu za podmínky Příslušný Lagrangián má tvar . Derivujeme nyní podle obou neznámých a obě derivace položíme rovny nule. Dostaneme ( Derivací podle obdržíme opět podmínku minimálního užitku ). Porovnáním výrazů pro z nutných podmínek získáme a odtud dále , což dosadíme do podmínky pro minimální užitek: , odkud už snadno určíme , tedy výraz identický s (4.29) . 4.5 Logaritmická užitková funkce Dalším funkčním tvarem, který může být vhodně uplatněn jako užitková funkce je logaritmická funkce ( 4.31) , u níž předpokládáme – za účelem obou kladných mezních užitků splnění podmínky . Funkční tvar opět neobsahuje aditivní konstantu, abychom dosáhli požadavku . Mezní užitky, které použijeme k výpočtu poptávkových funkcí jsou zřejmě ; ; takže souřadnice rovnovážného bodu dostaneme řešením tří jednoduchých rovnic pro ,, : a Jednoduchými úpravami , resp. a dosazením do rozpočtového omezení dostaneme neboli a odtud již snadno poptávky po obou komoditách jako (4.32) Ověření, zda je (dvoufaktorová) logaritmická užitková funkce kvazikonkávní, je velmi snadné. Hicksovy podmínky stability zde mají tvar , protože ; ; ; ; Výpočet determinantu vede k hodnotě , která je evidentně (při přijatých předpokladech ) pro kladné objemy komodit kladná. Dále odvodíme tvar nepřímé užitkové funkce. Použijeme k tomu prosté dosazení poptávkových funkcí v Marshallově tvaru do přímé užitkové funkce . Tedy (4.33) kterýžto výraz lze vyjádřit v několika dalších ekvivalentních tvarech, např. , neboli (4.34) kde konstanta C závisí jen na parametrech (přímé) užitkové funkce. Všimněme si, že nepřímá užitková funkce je (nehledě na aditivní konstantu C) rovněž logaritmická (v argumentech a ). Je dle očekávání rostoucí při rostoucím příjmu M a naopak klesající v obou cenách . Její derivace použijeme níže při výpočtech poptávek pomocí Royovy identity: Derivace nepřímé užitkové funkce podle ceny p[1] má tvar stejně tak , Derivace podle příjmu M obdržíme jako Odtud je mj. patrné, že derivace podle cen jsou obě záporné, zatímco derivace dle příjmu M nabývá kladné hodnoty. Můžeme spočíst ještě druhé derivace , , , z nichž je vidět, že druhé derivace podle cen jsou kladné, zatímco druhá parciální derivace dle příjmu je záporná. Získané hodnoty 1. parciálních derivací můžeme použít k výpočtu Marshallovských poptávek pomocí Royovy identity. Máme (4.35) ve shodě s prvním z výrazů v (4.36). Analogicky obdržíme opět ve shodě s druhou poptávkovou funkcí v (4.16). Nyní můžeme přistoupit k vyvození výdajové funkce : Nejprve přepíšeme nepřímou užitkovou funkci do tvaru (4.37) Nyní provedeme substituce (pevná hodnota) a naopak (výdajová funkce s argumenty ceny a hladina užitku) neboli což dává a dále po úpravách a po odlogaritmování obdržíme (4.38) Povšimněme si, že výdajová funkce (příslušná logaritmické užitkové funkci vykazuje exponenciální růst ve vztahu k užitku ^0u a má mocninný tvar vzhledem k cenám . Hicksův tvar poptávkových funkcí získáme prostřednictvím Shephardova lemmatu následovně: (4.39) resp. po dosazení je , což dokumentuje formální shodu s již vyvozenými Marshallovskými poptávkovými funkcemi. V Hicksově tvaru zaznamenáváme dle očekávání růst poptávky po dané komoditě s růstem hladiny užitku – závislost je exponenciální, intenzita růstu pak nepřímo úměrná součtu parametrů Tatáž poptávka klesá s růstem ceny : mocnina u p[1] je ( s ohledem na přítomnost této ceny též ve výdajové funkci ) rovna Analogicky bychom dostali poptávku po druhém statku jako (4.40) Pro úplnost i zde ukážeme, že i třetí postup vyvození Hicksovských poptávkových funkcí – řešením minimalizační úlohy – vede k tvaru shodnému s oběma předchozími: Řešíme tedy úlohu za podmínky Lagrangián má zde tvar . Derivujeme nyní podle obou neznámých a obě derivace položíme rovny nule. Dostaneme ( Derivací podle obdržíme zřejmě zase podmínku minimálního užitku ). Porovnáním výrazů pro z nutných podmínek získáme a odtud dále , což dosadíme do podmínky pro minimální užitek: , odkud opět snadno určíme , neboli , kterýžto výraz je identický s (4.39) 4.6 Zobecněná leontiefovská užitková funkce 4.7 Užitková funkce typu TRANSLOG