Racionální chování spotřebitele maximalizace užitku vs. minimalizace výdajů Spotřebitel si při nákupu komodit počíná tak, že svůj peněžní příjem rozdělí beze zbytku na nákup s komodit , a to tak, aby dosáhl maximálního užitku. Jinými slovy: komodity kupuje v takových množstvích (ne však nutně všechny dostupné), aby žádoucí hladiny užitku dosáhl co nejlevněji. Bude preferovat - při variantní možnosti dosáhnout hladiny užitku různými kombinacemi komodit - takovou kombinaci, při níž celkový výdaj na pořízení všech užitek mu přinášejících statků (závisející zřejmě na množstvích statků a na jejich jednotkových cenách) bude nejmenší možný. Je tedy mj. zřejmé, že při jinak stejném příspěvku několika komodit k užitku (při shodných mezních užitcích těchto komodit) bude preferovat nákup komodity nejlevnější. Formulace maximalizačního problému Pokud situaci zformalizujeme, máme optimalizační problém řešící nalezení maxima (1A) za podmínky (1B) a za podmínek nezápornosti (1C) pro všechna . Z matematického pohledu jde o úlohu nalezení vázaného extrému ( zde maxima) obecně nelineární funkce na množině rozpočtového omezení . Jak je známo, vzhledem k tomu, že omezující podmínka spolu s podmínkami nezápornosti proměnných (1C) představuje kompaktní (tj. omezenou a uzavřenou) množinu, nabývá jakákoliv spojitá a ve všech proměnných rostoucí nelineární funkce svého maxima na hranicích takovéto množiny. Lze tedy rozpočtové omezení stejně dobře psát ve tvaru . Úloha uvedeného typu se standardně řeší s použitím Lagrangeova multiplikátoru. Při této reformulaci nabývá kriteriální funkce tvar ( 2) , kde je právě zmíněný Lagrangeův multiplikátor. S touto (hodnotou neznámou) veličinou se zachází obdobně jako s jinými proměnnými: v dalším ji budeme považovat za funkci implicitně závislou na „parametrech úlohy“ tzn. na cenách obsažených v cenovém vektoru a na příjmu jednotlivce. Řešení Stejně jako v jiných extremálních úlohách postupujeme tak, že všechny parciální derivace extremalizované funkce v (2) podle proměnných a položíme rovny nule. Po přeskupení členů dostaneme: ( 3A ) pro[ ] ( derivace podle [ ]) ( 3B ) ( derivace podle [ ]). Rovnice (3A) a (3B) jsou nutnými podmínkami k tomu, aby pro řešený optimalizační problém existovalo řešení, tedy maximum. Těchto podmínek je právě stejný počet (), jako je neznámých veličin modelu (velikostí poptávek po jednotlivých komoditách a pomocná proměnná ). V „lineární situaci“ by se dalo očekávat, že řešení bude dáno jednoznačně. Zde však vztahů (3A) nebude až na výjimky lineárními funkcemi. Jejich podoba závisí na tvaru užitkové funkce , v níž jako argumenty vystupují neznámé . Poznámka 1 Od úlohy lineárního programování se tento problém liší ve dvou směrech: a) Tvar omezení (1B): je představováno jedinou nadrovinou -rozměrného prostoru (omezující množství komodit jen "shora") b) Užitková funkce bude mít zpravidla komplikovanější tvar, než je obvykle lineární funkce problému lineárního programování a problém nalezení optima bude představovat zpravidla komplikovanější analytickou úlohu než je ta, která může být řešena technikami matematického programování ( např. simplexovou metodou ). Z podmínek (3A) tedy plyne, že v rovnovážné situaci (kdy se poptávka spotřebitele po komoditách při maximálním užitku přizpůsobí cenovým relacím) bude platit vztah ( 4 ) Vztahy (4) představují soustavu podmínek nutných pro dosažení rovnovážného stavu. Vyjadřují požadavek, aby podíl mezního užitku kterékoliv komodity a její jednotkové ceny byl konstantní pro všechny uvažované komodity. Je odtud vidět, že též veličina (uplatňující se jako Lagrangeův multiplikátor) je rovna všem těmto podílovým hodnotám. O rovnováze lze oprávněně mluvit tehdy, jestliže je dosaženo maximálního užitku při daném příjmu a dané množině relativních cen. Jakékoliv vychýlení z rovnováhy vede vždy ke snížení hodnoty užitku spotřebitelem pociťovaného. Jestliže tedy každé představuje mezní užitek (úměrný v rovnovážné situaci ceně -té komodity), můžeme veličině přisoudit interpretaci jako „mezní užitek peněz“ (který je ovšem také funkcí cen , a důchodu ). Za těchto okolností pak platí pro podíl mezních užitků (tedy mezní míru substituce mezi -tou a -tou komoditou) vztah ( 5A) a podobně ( 5B) [ ]Můžeme tedy říci, že mezní míra substituce mezi -tou a-tou komoditou je v rovnovážné situaci rovna podílu jednotkových cen těchto komodit. Cenu [ ]lze interpretovat jako mezní míru substituce mezi -tou komoditou a penězi. Duální úloha – minimalizační problém Maximalizační problém, tak jak byl představen vztahy (1A-C), může být formulován i duálním způsobem. Maximalizace účelové funkce (1A) za podmínek (1B-C) má svou duální formulaci následujícím tvaru ( 6A ) za podmínky ( 6B ) opět při pro libovolné . ( 6C ) pro všechna . Maximalizuje-li spotřebitel svůj užitek z komoditní kombinace při rozpočtovém omezení (1B), řeší v podstatě tentýž problém, jako je minimalizace jím vynaložených výdajů spojených pořízením komodit v množstvích, která zaručují dosažení užitku na požadované hladině ^ . V tomto smyslu lze mluvit o dvojici duálních úloh. Řešení úlohy (6A-C) Obdobně jako při řešení maximalizační úlohy řešíme i tuto úlohu po reformulací úlohy užitím Lagrangeova multiplikátoru ( zde označeného . Kriteriální funkce má v tomto případě tvar ( 7 ) , Opět položíme parciální derivace rovny nule. Dostaneme (8A) , (8B) a odtud (9) neboli pro[ ] Poznámka 2 Mezi Lagrangeovým multiplikátorem ( maximalizační úlohy (1) ) a Lagr. multiplikátorem ( maximalizační úlohy (6) ) platí zřejmě vztah reciprocity (10) Maximalizace užitku a minimalizace s tím souvisejících nákladů vedou k téže (optimální) volbě komoditních množství [ ](parametry úlohy jsou a ), výdaj při prvé z úloh se musí rovnat minimálním nákladům v duálním problému. v Řešení maximalizačního problému představuje soustava Marshallových poptávkových funkcí , v nichž příjem a cenový vektor vystupují jako parametry. V duálním minimalizačním problému jsou determinujícími veličinami - argumenty poptávkových funkcí - úroveň užitku a cenový vektor . v Řešení minimalizačního problému tvoří soustava Hicksových (někdy také kompenzovaných) poptávkových funkcí, v nichž jako parametry vystupují hladina užitku a cenový vektor. Z interpretačního hlediska jsou tyto funkce charakteristické tím, že informují o tom, jak jsou poptávky ovlivněny/kompenzovány cenami (při pevném ) . Řešení obou výše definovaných problémů musí být tedy táž. Proto lze psát (11) pro . Každé z těchto řešení přitom můžeme zpět dosadit do výchozího příslušného problému. V prvém případě obdržíme nejvyšší dosažitelný užitek, ve druhém případě nejmenší dosažitelné náklady. Lze tedy psát : (12 ) (13 ) Funkce v (12) vyjadřuje maximální dosažitelný užitek (při pevně daném příjmu a cenovém vektoru ). Nazývá se nepřímá užitková funkce (indirect utility function) a je takto definována vztahem (14 ) Funkce v (13) vyjadřuje minimální dosažitelný výdaj (při požadované úrovni užitku a vektoru cen ). Nazývá se výdajová funkce (expenditure function) a lze ji definovat vztahem (15 ) Nepřímá užitková a výdajová funkce jsou vzájemně velmi úzce propojeny. Protože platí , můžeme invertovat argument , abychom dostali u jako funkci a , což nám dá . Úplně obdobně inverze vztahu povede přímo k relaci . Obě funkce tedy obsahují v podstatě tutéž informaci (zapsanou však pomocí jiných argumentů, přičemž zůstává v obou ).