STRUKTURNÍ EKONOMETRICKÝ MODEL jako obecná interdependentní soustava regresních rovnic STRUKTURNÍ TVAR modelu je (základní) forma ekonometrického modelu, jejíž jednotlivé rovnice jsou přepisem vztahů vyvozených z ekonomické teorie (konfirmatorní pojetí) nebo verifikovaných hypotéz tvůrce modelu (explorativní pojetí) a která je charakteristická tím, že - tvar matice vztahů propojujících běžné endogenní proměnné je obecná matice ( mající však nulové diagonální prvky ) . - v kovarianční matici náhodných složek mohou být korelovány náhodné složky různých rovnic v témže čase, ne však náhodné složky v různých časových okamžicích/pozorováních (ani téže rovnice). Strukturní tvar modelu se nejčastěji uvádí v zápisu ( jde-li o zápis jen v proměnných ) : (1) je vektor m běžných endogenních proměnných soustavy m rovnic je vektor m predeterminovaných proměnných soustavy m rovnic je matice koeficientů příslušných běžným endogenním proměnným je matice koeficientů příslušných predeterminovaným proměnným je vektor m náhodných složek ( poruch, disturbancí ) soustavy. Normování matice B : abychom zajistili, že každá regresní rovnice vysvětluje právě jednu vysvětlovanou (běžnou endogenní) proměnnou, přisuzujeme diagonálním prvkům matice nulové hodnoty (pokud by tomu tak nebylo, potom bychom vysvětlovaným proměnným přiřazovali zbytečně nejedničkové koeficienty) O matici resp. předpokládáme, že má plnou hodnost (dále budeme pracovat s inverzí matice ). Matice nebývá zpravidla nijak normována Z důvodů, které budou objasněny později (prevence proti vzniku identifikačního problému), však nesmí být ve všech rovnicích soustavy obsaženy všechny vysvětlující proměnné: proto musí být určitá část koeficientů v maticích a nulová. Jiná častá forma zápisu strukturního tvaru ( jde-li o zápis jen v proměnných ) je ( 2 ) kde význam všech veličin (proměnných i parametrů) je shodný s předchozí specifikací (1), avšak normování matice je odlišné : Pracujeme-li s pozorovanými hodnotami, pak strukturní tvar (1) zapsat jako: (2a) (2b) je matice pozorování m vysvětlujících b.endog. proměnných soustavy je matice pozorování q vysvětlujících predet. proměnných soustavy je matice koeficientů příslušných běžným endogenním proměnným je matice koeficientů příslušných predeterminovaným proměnným je matice „pozorování“ m náhodných složek soustavy . Všimněme si rozdílů mezi oběma tvary zápisu strukturního tvaru v (1) a (2) : - V (1) stojí matice parametrů , vůči vektorům proměnných nalevo : Matice zde obsahuje regresní koeficienty u běžných endogenních proměnných 1. regresní rovnice v 1. řádku až koeficienty m-té regresní rovnice v m-tém řádku. Matice podobně obsahuje regresní koeficienty u predeterminovaných proměnných 1. regresní rovnice v 1. řádku .... až koeficienty u těchže proměnných m-té regresní rovnice v m-tém řádku. - V (2a) jsou transponované matice parametrů , vůči maticím napravo. První sloupec matice obsahuje regresní koeficienty u běžných endogenních proměnných 1. regresní rovnice.... až m-tý sloupec matice obsahuje regresní koeficienty u běžných endogenních proměnných m-té regresní rovnice. Podobně : 1. sloupec matice obsahuje regresní koeficienty u predeterminov. proměnných první regresní rovnice ..... až m-tý sloupec obsahuje regresní koeficienty u predeterminovaných proměnných m-té regresní rovnice. Obsah j-tého řádku matice zapsané v (1) je tedy totožný s obsahem j-tého sloupce v zápisu (2a) ; j = 1,2,...,m. Podobně, obsah k-tého řádku matice zapsané v (1) je totožný s obsahem k-tého sloupce v zápisu (2a); k = 1,2,...,q. Normování matice : abychom zajistili, že každá regresní rovnice vysvětluje právě jednu vysvětlovanou (běžnou endogenní) proměnnou, přisuzujeme diagonálním prvkům matice nulové hodnoty (pokud by tomu tak nebylo, potom bychom vysvětlovaným proměnným přiřazovali zbytečně nejedničkové koeficienty) O matici resp. předpokládáme, že má plnou hodnost m (dále budeme pracovat s inverzí matice ). Matice nebývá zpravidla nijak normována. Z důvodů, které budou objasněny později (prevence proti vzniku identifikačního problému), však nesmí být ve všech rovnicích obsaženy všechny vysvětlující proměnné : proto musí být určitá část koeficientů v maticích a nulová. Stochastické předpoklady modelu: (a) Náhodné složky jsou centrovány (u kterékoliv rovnice a v kterémkoliv čase) . (b) , kde symbol se nazývá „Kroneckerovo delta“ a nabývá pouze dvou hodnot pro pro Náhodné složky v rovnicích jsou nekorelovány v různých obdobích, ale mohou být korelovány v témže čase ( mezi různými rovnicemi ). (c) Náhodné složky v rovnicích jsou nekorelované s predeterminovanými proměnnými kterékoliv jiné rovnice v kterémkoliv časovém okamžiku. (d) Podmínka (d) má ten důsledek, že v modelu jsou hodnoty vysvětlovaných běžných endogenních jednoznačně určeny pomocí predeterminovaných proměnných a náhodných složek modelu (je možno odvodit tzv. redukovanou formu modelu). Kovarianční matice celé soustavy rovnic má následující tvar : = K odhadu modelu tvaru (1) nelze korektně použít obyčejnou metoda nejmenších čtverců OLS ani zobecněnou metodu nejmenších čtverců GLS, neboť tyto neposkytují konzistentní odhady. Konzistentní odhady získáme složitějšími odhadovými technikami, které byly za tímto účelem vyvinuty. Počet vysvětlujících proměnných modelu ( a tedy i počet vysvětlujících proměnných každé rovnice [ ]) nesmí být větší než počet pozorování T. Další užitečný zápis strukturního tvaru interdependentního modelu lze provést tak, že v každé rovnici vyjádříme datové struktury ( přes T pozorování ) jen ve vztahu k proměnným skutečně přítomným v této rovnici : Libovolnou pevně zvolenou ( i – tou ) rovnici zapíšeme jako (4) , kde ... T-složkový vektor běžné endogenní proměnné vysvětlované i-tou rovnicí .... Txm[i ]matice složená z m[i] vektorů pozorování běžných endogenních proměnných skutečně přítomných jako vysvětlující v i-té rovnici. Očíslování těchto vektorů je takové, že: - první rovnice se závisle proměnnou obsahuje jako vysvětlující vektory , - druhá rovnice se závisle proměnnou obsahuje jako vysvětlující případně navíc vektory atd. Množiny těchto vysvětlujících proměnných zpravidla nebudou disjunktní. ... Txq[i ] matice složená z q[i] vektorů pozorování predeterminovaných proměnných skutečně přítomných jako vysvětlující v i-té rovnici. Očíslování těchto vektorů je takové, že : první rovnice obsahuje jako vysvětlující vektory , druhá rovnice obsahuje případně navíc vektory [ ]atd. Množiny těchto vysvětlujících proměnných opět zpravidla nebudou disjunktní. ... T-složkový vektor náhodných složek i-té regresní rovnice .. m[i]- složkový vektor strukturních parametrů příslušných běžným endogenním proměnným skutečně přítomným v i-té rovnici ... q[i]- složkový vektor strukturních parametrů příslušných predeterminovaným proměnným skutečně přítomným v i-té rovnici. Vektor je tedy subvektorem , pokud z něj odstraníme nulové koeficienty u běžných endogenních proměnných, podobně vektor je subvektorem , když z odstraníme nulové koeficienty u nepřítomných predeterminovaných proměnných. Zápis (4) na rozdíl od předchozích představuje takový strukturní model, do kterého jsou zahrnuta omezení daná nulovými hodnotami parametrů u vysvětlujících proměnných modelu, pokud se tyto nevyskytují v dané rovnici. Počet vysvětlujících proměnných tedy nebude maximální možný, tj. nýbrž „jen“ . Model tvaru (2) resp. (3) je nejkomplikovanější možný lineární ekonometrický model. Nejjednodušší vícerovnicový model je tzv. soustava zdánlivě nezávislých lineárních regresních rovnic („seemingly unrelated regressions“ neboli SUR), v níž nejsou přítomné žádné běžné endogenní proměnné jako vysvětlující : (3a) (3b) K získání konzistentních odhadů modelu tvaru (3) postačuje obyčejná metoda nejmenších čtverců OLS nebo zobecněná metoda nejmenších čtverců GLS uplatněná samostatně na každou rovnici zvlášť nebo souhrnně na všechny modelové rovnice. Metoda poskytne odhady s vlastnostmi rovnocennými jako u kvantifikace jednorovnicového modelu. Vedle obou krajních situací (soustava zdánlivě nezávislých regresních rovnic a obecný interdependentní model) jsou typické ještě dvě další zvláštní formy, u kterých sice mohou být běžné endogenní proměnné přítomny na pravé straně, ale jen v určité přesně zadané podobě ( jde o rekursívní resp. blokově rekursívní tvar ekonometrického modelu) Různé formy specifikace (lineárního) strukturního modelu verze 1 strukturní tvar (1A) s normováním matice B: příslušný redukovaný tvar: (1B) verze 2 strukturní tvar (2A) s normováním matice B: příslušný redukovaný tvar: (2B) verze 3 strukturní tvar (3A) normování matice B: příslušný redukovaný tvar: (3B) verze 4 strukturní tvar (4A) normování matice B: příslušný redukovaný tvar : (4B)