9. FOURIEROVY ŘADY
9.1. Fourierova řada (FŘ).
Komplexní harmonické kmity:
E = {ek(t)}k∈Z, ek(t) =
1
√
T
ei 2πkt
T =
1
√
T
eiωkt
=
1
√
T
(cos ωkt + i sin ωkt),
kde pro k = 0 značí
fk = |k|
T . . . frekvenci |k|-ho harmonického kmitu s periodou T
|k|,
ωk = 2πfk . . . jeho úhlovou rychlost.
E je ortonormální systém v L2([0, T]):
ej, ek =
T
0
ej(t)ek(t) dt =
1
T
T
0
ei
2π(j−k)t
T dt = δj,k =
1 pro j = k
0 pro j = k
E je dokonce úplný (báze) v L2([0, T])(bez důkazu):
x(t) ∈ L2([0, T]) libovolná a T-periodická ⇒ x(t) =
∞
k=−∞
xkek(t),
kde řada konverguje (bez ohledu na pořadí) dle normy 2 v prostoru L2([0, T]) a souřadnice xk jsou
jednoznačně určeny vztahem
x, ek =
∞
j=−∞
xjej, ek =
∞
j=−∞
xj ej, ek
δj,k
= xk.
Komplexní tvar rozvoje do Fourierovy řady:
x(t) =
∞
k=−∞
x, ek
1
√
T
ck(x)
eiωkt
=
∞
k=−∞
ck(x)eiωkt
,
kde (9.1)
ck := ck(x) =
1
√
T
x, ek =
1
√
T
T
0
x(t)
1
√
T
e−iωkt
dt =
1
T
T
0
x(t)e−iωkt
dt.
ck . . . k-tý komplexní Fourierův koeficient funkce x,
c0 . . . střední hodnota (stejnosměrná složka) funkce x,
{ck}k∈Z . . . komplexní fourierovské spektrum funkce x,
xk(t) := ckeiωkt
+ c−ke−iωkt
, k ≥ 1
. . . k-tá harmonická komponenta funkce x o frekvenci fk.
Tvrzení 9.1 (Dirichletova věta). Jestliže T-periodická funkce x(t) má konečnou variaci na [0, T], pak
její FŘ konverguje bodově k x(t) v každém bodě t, kde je x(t) spojitá a k 1
2 (limt→0+ x(t)+limt→0− x(t))
v každém bodě nespojitosti (u funkce s konečnou variací je to vždy pouze konečný skok).
Důsledek 9.2 (viz [DoNo,Věta 8.4]).
Je-li T-periodická funkce x(t) po částech spojitá a po částech monotonní na [0, T], pak má konečnou
variaci a její FŘ konverguje bodově k x(t) v každém bodě t, kde je x(t) spojitá a k 1
2 (limt→0+ x(t) +
limt→0− x(t)) v každém bodě nespojitosti (u funkce po částech spojité je to vždy pouze konečný skok).
Je-li x(t) reálná funkce, lze (9.1) upravit na další dva ekvivalentní tvary:
Zřejmě c−k = ck. Označíme-li
ck =
1
2
(ak − ibk); ak, bk ∈ R,
pak c0 = a0
2
∈ R, b0 = 0 a dostáváme
1
Goniometrický tvar Fourierovy řady:
x(t) = c0 +
∞
k=1
(ckeiωkt
+ c−ke−iωkt
ckeiωk t
) =
a0
2
+
∞
k=1
2Re(ckeiωkt
) =
=
a0
2
+
∞
k=1
(ak cos ωkt + bk sin ωkt),
kde (9.2)
ak = 2Re(ck) = 2
T
T
0
x(t) cos ωkt dt,
bk = −2Im(ck) = 2
T
T
0
x(t) sin ωkt dt.
Položíme-li ak = Ak cos ϕk a bk = Ak sin ϕk, dostaneme
Amplitudově-fázový tvar Fourierovy řady:
x(t) =
a0
2
+
∞
k=1
Ak(cos ϕk cos ωkt + sin ϕk sin ωkt) =
a0
2
+
∞
k=1
Ak cos(ωkt − ϕk)
xk(t)
.
kde (9.3)
Ak = 2|ck| = a2
k + b2
k,
ϕk = arctan
bk
ak
.
Ak . . . amplituda k-té harmonické složky funkce x,
ϕk . . . fázový posuv k-té harmonické složky funkce x (−π < ϕk ≤ π),
c0 = a0
2
. . . střední hodnota (stejnosměrná složka) funkce x,
{Ak}k∈N . . . amplitudové spektrum funkce x,
{ϕk}k∈N . . . fázové spektrum funkce x.
9.2. Parsevalova identita (PI).
Nechť x ∈ L2([0, T]) (tj. s konečnou energií na intervalu [0, T]) je T-periodická, potom
x 2
2 =
T
0
|x(t)|2
dt = x, x =
∞
j=−∞
cj
√
T
eiωjt
√
T
ej(t)
,
∞
k=−∞
ck
√
T
eiωkt
√
T
ek(t)
= T
∞
j,k=−∞
cjck ej, ek
δj,k
= T
∞
k=−∞
|ck|2
.
Odtud pak dostáváme:
Komplexní tvar Parsevalovy identity:
∞
k=−∞
|ck|2
=
1
T
T
0
|x(t)|2
dt
střední výkon na [0,T ]
< ∞ ⇒ {ck}k∈Z ∈ ℓ2. (9.4)
Speciálně:
|c0|2
. . . střední výkon stejnosměrné složky,
1
T
T
0
|xk(t)|2
dt = |c−k|2
+ |ck|2
. . . střední výkon k-té harmonické složky.
Amplitudový tvar Parsevalovy identity (x reálná):
∞
k=−∞
|ck|2
= |c0|2
+
∞
k=1
(|c−k|2
+ |ck|2
)
2|ck|2=A2
k /2
=
a2
0
4
+
1
2
∞
k=1
A2
k =
1
T
T
0
|x(t)|2
dt. (9.5)
Speciálně:
a2
0
4
. . . střední výkon stejnosměrné složky,
A2
k
2
. . . střední výkon k-té harmonické složky,
{2|ck|2
}k∈N = {
A2
k
2
}∞
k=1
. . . výkonová spektrální hustota,
{2T|ck|2
}k∈N = {
TA2
k
2
}∞
k=1
. . . energetická spektrální hustota.
(9.6)
9.3. Diskretizace Fourierovy řady.
Vypočteme hodnoty rozvoje x(t) do její komplexní FŘ (9.1) pouze na rovnoměrné diskrétní síti N
subintervalů: T = N∆t, xn = x(n∆t), n ∈ Z.
Obdržíme
xn
(9.1)
=
∞
k=−∞
ckei 2πk
N∆t n∆t
=
[N
2 ]
k=−[N−1
2 ]
ck
∞
m=−∞
ck+mN ei
2π(k+mN)n
N =
[N
2 ]
k=−[N−1
2 ]
ckei 2πkn
N . (9.7)
kde [·] značí celou část hodnoty.
Platí
ck ≈ ck, neboť |ck| → 0 pro k → ±∞,
ck = ck, pokud ck = 0 pro |k| ≥ N
2 (FŘ je konečná: fmax ≤ N
2
1
T udává konečný
frekvenční obsah x(t)),
{ck}k∈Z je N-periodická posloupnost (ck = ck+mN , m ∈ Z).
Po úpravě:
xn =
−1
k=−[N−1
2 ]
ckei 2πkn
N +
[N
2 ]
k=0
ckei 2πkn
N =
N−1
k=0
ckei 2πkn
N , (9.8)
kde první ze sum jsme upravili záměnou sčítacího indexu r = k + N na tvar:
−1
k=−[N−1
2 ]
ckei 2πkn
N =
N−1
r=−[ N−1
2 ]+N
cr−N ei
2π(r−N)n
N =
N−1
r=[N
2 ]+1
crei 2πrn
N
s využitím vztahů
− N−1
2 + N = N
2 + 1 a cr = cr−N pro r = N
2 + 1, . . ., N − 1 (N-periodicita).
Označíme-li x = (x0, x1, . . ., xN−1)T
vzorky x(t) na její jedné periodě a
c = (c0, c1, . . ., cN−1)T
odhady Fourierových koeficientů, pak (9.8) určuje tzv. operátor diskrétní
Fourierovy transformace (x = DFT+
N (c)) dle následující definice.
Definice 9.1 (Diskrétní Fourierova transformace (DFT)).
DFT±
N : CN
→ CN
je lineární operátor X = W±
N x určený maticí N × N:
W±
N = Wkn
N 0≤k,n≤N−1
, kde WN = e±i 2π
N = cos 2π
N
± i sin 2π
N
je N-tá primitivní odmocnina z 1, tj.
WN
N = 1, ale Wk
N = 1 pro k = 1, . . ., N − 1. Tedy
X = (X0, X1, . . ., XN−1)T
, kde Xk =
N−1
n=0
e±i 2πkn
N xn pro k = 0, 1, . . ., N − 1.
Zřejmě W±
N je symetrická matice a (W±
N )∗
= W∓
N .
Věta 9.2 (Věta o inverzi).
Platí W±
N W∓
N = W±
N (W±
N )∗
= NIN a tedy (W±
N )−1
= 1
N W∓
N a 1√
N
W±
N je unitární matice.
Důkaz. Označme A := [ar,s] = W±
N W∓
N , pak
ar,s =
N−1
n=0
Wrn
N W−ns
N =
N−1
n=0
W
n(r−s)
N =
N−1
n=0
qn
, q = Wr−s
N .
Odtud
ar,s =
N pro r = s
qN
−1
q−1 = 0 pro r = s
,
neboť qN
= W
N(r−s)
N = 1 a q = 1 pro r = s v důsledku 0 < |r − s| ≤ N − 1.
Poznámka 9.3. V systému MATLAB jsou operátory DFT±
N realizovány pomocí algoritmu tzv. rychlé
Fourierovy transformace implementovaných v procedurách fft a ifft takto:
X = W−
N x = DFT−
N (x) = fft(x)
a
x = (W−
N )−1
X =
1
N
W+
N X =
1
N
DFT+
N (X) = ifft(X).
Důsledek 9.4. Podle (9.8), věty 9.2 a poznámky 9.3 platí
x = W+
N c = DFT+
N (c) = Nifft(c),
c = (W+
N )−1
x =
1
N
W−
N x =
1
N
DFT−
N (x) =
1
N
fft(x).