1
1
Matematické výpočetní systémy1
Doc. RNDr. Vítězslav Veselý, CSc.
Katedra aplikované matematiky
PřF MU Brno
vesely@math.muni.cz
16. listopadu 2003
1Zpracováno v rámci projektu G0142 "Distanční a kombinovaná forma bakalářského a
magisterského studia aplikovaných matematických disciplin na MU v Brně".
2 1 ÚVOD
1 Úvod
Pod pojmem Matematický výpočetní systém (MVS) rozumíme obecně jakýkoliv soft-
warový prostředek využívající matematický aparát pro řešení problémů v oblasti ma-
tematiky samotné nebo i v jiných oborech, které aplikace takového aparátu vyžadují.
Tyto systémy jsou zpravidla koncipovány jako zcela autonomní s možností práce v in-
teraktivním i dávkovém režimu.
Vzhledem k šíři nabídky takových systémů se v této úvodní části omezíme spíše na
výčet a základní charakteristiku nejznámějších nebo nejpoužívanějších z nich.
Systémy lze rozčlenit do tří kategorií:
Systémy počítačové algebry: Mezi tři nejznámější patří:
ˇ Maple kanadské společnosti MapleSoft (http://www.maplesoft.com),
v České republice distribuovaný firmou Czech Software First s.r.o.
ˇ Mathematica společnosti Wolfram Research (http://www.wolfram.com),
v České republice distribuovaný firmou ELKAN s.r.o.
(http://www.mathematica.cz).
ˇ MathCad americké společnosti Mathsoft (http://www.mathsoft.com),
v České republice distribuovaný firmou Software Factory s.r.o.
(http://www.mathsoft.cz).
Jedná se o systémy zaměřené na formální algebraické výpočty neboli symbolické
manipulace s algebraickými výrazy. Počítačovou algebru lze charakterizovat jako
obor vědeckého počítání, který vyvíjí, analyzuje, implementuje a používá alge-
braické algoritmy. Provádění numerických výpočtů je samozřejmě rovněž možné,
vesměs dokonce se zvolenou přesností, tj. na zvolený počet desetinných míst. Další
podrobnější informace lze nalézt například na
http://www.math.muni.cz/~plch/difer/cela/node2.html,
http://www-troja.fjfi.cvut.cz/~liska/poalg/ nebo
http://www.can.nl/.
Numerické výpočetní systémy: Opět se omezíme jen na stručný výběr několika
nejznámějších:
ˇ MATLAB americké společnosti MathWorks (http://www.mathworks.com),
v České republice distribuovaný firmou Humusoft, s r.o.
(http://www.humusoft.cz).
ˇ NAG anglické společnosti Numerical Algorithms Group
(http://www.nag.com).
ˇ S-plus americké společnosti Insightful Corporation (http://www.insightful.
com), v České republice distribuovaný firmou TriloByte s.r.o.
(http://www.trilobyte.cz/splus).
ˇ SPSS americké společnosti SPSS, Inc. (http://www.spss.com), v České
republice zastoupené firmou SPSS CR s.r.o. (http://www.spss.cz).
ˇ Statistica americké společnosti StatSoft, Inc. (http://www.statsoft.com),
v České republice zastoupené firmou
StatSoft Czech Republic s.r.o. (http://www.statsoft.cz).
3
ˇ Statgraphics americké společnosti Statistical Graphics Corporation
(http://www.sgcorp.com).
ˇ SAS americké společnosti SAS Institute, Inc. (http://www.sas.com/),
v České republice zastoupené firmou SAS Institute ČR, s.r.o.
(http://www.sas.com/offices/europe/czech/sas).
Jedná se o systémy zaměřené na numerické výpočty v pohyblivé řádové čárce.
Na rozdíl od systémů počítačové algebry není obvykle možné volit počet desetin-
ných míst přesnosti. Standardně jsou výpočty prováděny s přesností na cca 15
desetinných míst, což odpovídá 64-bitové reprezentaci čísel v pohyblivé řádové
čárce, neboli uložení každého reálného čísla spotřebuje 8 bajtů vnitřní paměti
(u komplexních čísel dvojnásobek). Jak je zřejmé z předchozího výčtu, je většina
těchto systémů zaměřena na statistické výpočty a modelování. Pokud je záběr sys-
tému širší (MATLAB), pak statistické výpočty bývají podporovány volitelnými
specializovanými knihovnami funkcí. Ucelený přehled komerčních i volně šíře-
ných systémů umožňujících (mimo jiné) provádění statistických výpočtů lze na-
lézt na http://ourworld.compuserve.com/homepages/Rainer_Wuerlaender/
statsoft.htm.
Specializované systémy: Typickým představitelem je
ˇ PARI-GP -- volně šířený systém specializovaný na výpočty v teorii čísel.
Podrobnější informace lze nalézt na http://pari.math.u-bordeaux.fr/.
V tomto kurzu se budeme nadále podrobněji zabývat pouze systémem MATLAB.
Důvodem pro tuto volbu je několik skutečností:
ˇ Ve standardní výbavě MATLAB nabízí velmi široké spektrum funkcí napříč nej-
různějšími oblastmi matematiky doplněný mnoha volitelnými speciálními knihov-
nami jak pro potřeby matematiky tak i jiných oborů. Namátkově lze zmínit napří-
klad: statistické výpočty a modelování, optimalizace, splajny, wavelety, číslicové
zpracování signálů a obrazů, dynamické systémy a řízení, fuzzy logika, finanční
matematika a mnoho dalších. Je takto dokonce zpřístupněno i jádro systému
MAPLE, takže MATLAB není uzavřen ani symbolickým manipulacím typickým
pro systémy počítačové algebry.
ˇ Intuitivní programovací jazyk se syntaxí blízkou matematickému stylu výrazně
zvyšující produktivitu práce při vývoji numericky náročných algoritmů.
ˇ Propracované algoritmy numericky kvalitně ošetřené, což vede k celkové vysoké
stabilitě systému i při řešení rozsáhlých výpočetně i paměťově náročných úloh.
ˇ MATLAB se po letech vyvinul v celosvětový standard v oblasti analýzy, zpraco-
vání a modelování dat jak na akademických pracovištích tak i v komerční sféře.
ˇ Je vhodný jako podpůrný prostředek do výpočetních praktik k mnoha dalším
matematickým kurzům -- mimo jiné také proto, že algoritmy většiny funkcí jsou
přístupné k podrobnému studiu či dalším modifikacím.
ˇ Kvalitní grafický subsystém pro snadnou vizuální prezentaci dat i výsledků zpra-
cování.
4 1 ÚVOD
ˇ Existence celé řady obdobných avšak cenově dostupnějších systémů, nabízejících
kompatibilitu svého jazyka s jazykem MATLABu a nebo prostředky pro auto-
matickou konverzi programů mezi oběma jazyky. Jako typické představitele lze
uvést tyto systémy:
­ O-matrix, komerční systém, avšak podstatně levnější než MATLAB
(http://www.omatrix.com).
­ Octave, volně šířený systém dostupný i pod Linuxem
(http://www.octave.org).
­ Scilab, volně šířený systém dostupný i pod Linuxem
(http://www-rocq.inria.fr/scilab).
Naším cílem však nebude a ani nemůže být vyčerpávající popis všech funkcí a
možností systému MATLAB. K tomu jsou určeny firemní manuály (dostupné i
v elektronické podobě) a řada dalších specializovaných publikací (viz kapitolu 2).
V následujících kapitolách tohoto textu se proto zaměříme spíše na výklad zá-
kladní filozofie a principů, na nichž systém pracuje. Po jejich prostudování pak
posluchač může přistoupit k získání základních praktických dovedností, které mu
umožní využít poznatky získané v jiných matematických předmětech k efektiv-
nímu a tvůrčímu řešení reálných úloh a problémů.
Pro tento účel byla zvolena netradiční metoda interaktivního tutoriálu. Poslu-
chač si jej spustí jako samostatnou aplikaci přímo po systémem MATLAB. (viz
přílohu A). Aplikace jej postupně v 11 lekcích provádí jednotlivými tétmatic-
kými okruhy. Každá lekce systematicky vysvětluje a na živých ukázkách přímo
ilustruje syntaxi a funkci probíraných příkazů. V interaktivním režimu keyboard
má student možnost si sám prakticky vyzkoušet předtím ilustrované příkazy.
V příloze B lze ke každé lekci nalézt zadání praktických úloh k vyřešení. Jejich
vypracováním si student dále fixuje získané poznatky a učí se MATLAB tvůrčím
způsobem využívat.
5
2 Charakteristika systému MATLAB
2.1 Základní fakta
Název systému je odvozen z angličtiny: MATLAB=MATrix LABoratory. Systém pro-
dukuje americká společnost MathWorks, Inc. (http://www.mathworks.com) a jejím
výhradním distributorem pro Českou republiku je pražská firma Humusoft, s.r.o. (http:
//www.humusoft.cz). Systém MATLAB představuje maticově orientované výpočetní
prostředí s vlastním programovacím jazykem vhodným pro efektivní implementaci, pro-
vádění a vizualizaci numerických výpočtů vyžadujících náročný aparát z nejrůznějších
oblastí matematiky. Je dostupný na všech běžných platformách (WINDOWS, LINUX,
UNIX, atd.) při zachování takřka stoprocentní přenositelnosti vytvořených programů
a datových souborů.
2.2 Programovací jazyk
ˇ Programovací jazyk vyšší generace umožňuje automatické deklarování a přety-
pování používaných proměnných. Podporované datové typy jsou tyto:
Základním datovým typem je matice nebo obecnější vícerozměrné pole
(N-D array), jehož prvky mohou být jakékoliv reálné nebo komplexní ska-
lární veličiny.
Odvozené datové typy jsou buněčná pole (cell arrays) svojí strukturou po-
dobné základnímu datovému typu s tím rozdílem, že za prvky mohou mít
proměnné libovolného typu (tedy nejen skalární veličiny), dále struktury
a objekty s položkami libovolného přípustného typu umožňující využívat
techniky strukturovaného a objektového programování běžné v klasických
programovacích jazycích jakým je například C++.
ˇ Na rozdíl od skalárního programování známého z klasických programovacích ja-
zyků jako FORTRAN, PASCAL nebo C++ je pro MATLAB typické vektorově-
maticové programování, neboť základními proměnnými jsou právě vektory a ma-
tice. Syntaxe jazyka je pak blízká matematickým zápisům používaným v lineární
algebře, což usnadňuje přepis i komplikovaných matematických výrazů při zacho-
vání srozumitelnosti. Efektivní využívání všech konstrukcí jazyka tak vyžaduje
opustit zaběhaný skalární přístup, neboli již ve fázi návrhu algoritmu je třeba
provést tzv. vektorizaci řešeného problému, tj. již při jeho formulaci je třeba se
snažit v maximálně možné míře využít formalizmu maticové algebry. Vynaložená
námaha se vrátí v přehlednosti, spolehlivosti a rychlosti výsledného kódu.
2.3 M-soubory
Základními programovými jednotkami jsou buď dávkové (skripty) nebo funkční pro-
cedury zapsané v jazyce MATLABu. Jsou to soubory s příponou .m, neboli tzv. M-
soubory, které lze připravit jako otevřený text libovolným textovým editorem. Systém
MATLAB má pro tento účel vlastní editor, který je součástí instalace a nabízí další
specifické funkce. Spustí se příkazem edit. Mimo jiné automaticky barevně rozlišuje
klíčová slova jazyka MATLAB a upozorňuje tak na možné překlepy již ve fázi psaní
6 2 CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU MATLAB
programu, v režimu ladění (debugging) pak nabízí prostředky pro krokování běžícího
programu a sledovaní mezivýsledků v lokálních proměnných.
ˇ Program uložený v dávkovém M-souboru se spustí v příkazovém okně MATLABu
jednoduše zadáním povelu, jehož jméno je totožné se základním jménem M-
souboru (bez přípony .m). Všechny proměnné použité programem jsou sdíleny
s příkazovým oknem a tedy jsou z něj interaktivně přístupné.
ˇ Programy funkčního M-souboru vyžadují speciální deklaraci vstupních a výstup-
ních parametrů v jeho záhlaví. Funkční program se opět spouští obdobně jako
u dávek s tím rozdílem, že povel je doplněn o seznamy skutečně přenášených
vstupních a výstupních proměnných, jejichž hodnoty korespondují v daném po-
řadí s příslušnými vstupními a výstupními parametry. Ostatní proměnné použí-
vané funkční procedurou mají lokální charakter a nejsou tedy běžně přístupné
v příkazovém okně. U tzv. globálních proměnných speciálně takto deklarovaných
toto omezení neplatí.
ˇ MATLAB je rychlý interpret. Programy v M-souborech není tedy třeba předem
kompilovat. Jsou přímo prováděny (interpretovány) po spuštění ve tvaru připra-
veném editorem. Interpretace je velmi efektivní, neboť zahrnuje skrytou automa-
tickou předkompilaci, která se provádí jen jednou při prvním spuštění. Opakovaná
spouštění pak užívají předkompilovaný kód uložený ve vnitřní paměti a běží proto
výrazně rychleji. Tento předkompilovaný kód lze z paměti odstranit pomocí pří-
kazu clear. Užívá se v případech, kdy potřebujeme modifikovat dříve spuštěný
M-soubor uložený mimo aktuální adresář.
2.4 Vestavěné příkazy a MEX-soubory
Většina příkazů jazyka MATLAB je realizována pomocí M-souborů. Použité algoritmy
jsou tak otevřeny ke studiu i modifikaci uživatelem. Výjimkou jsou jen některé ve-
stavěné (built-in) příkazy jádra systému, které jsou jeho plně kompilovanou součástí
s cílem maximalizovat výkon celého systému nebo některých jeho funkcí vyžadujících
vysokou výpočetní rychlost.
Uživatel MATLABu může užít externí kompilátor jazyka C nebo FORTRAN k tvorbě
vlastních programových modulů, které skýtají obdobné možnosti jako vestavěné pří-
kazy. Představují tak alternativu k M-souborům v případech náročných na výpočetní
rychlost. Takto vytvořené binární soubory se nazývají MEX-soubory. Pod operačním
systémem Windows tuto roli přebírají soubory s příponou .dll (Dynamically Linked
Library). MEX-soubor vytvořený pod jednou platformou (operačním systémem) není
ale přímo přenositelný. Na jiné platformě je tak třeba příslušný modul znovu zkompi-
lovat.
Systém nabízí i možnost využít MATLAB jako výpočetní stroj pro samostatný a
souběžně spuštěný program zkompilovaný z jazyka C nebo FORTRAN. Takový pro-
gram může prostřednictvím speciálního rozhraní využívat libovolné funkce MATLABu.
2.5 Specializované knihovny funkcí
Tématicky zaměřené knihovny M-souborů (a případně i MEX-souborů) soustředěné
v jednom adresáři jsou v terminologii MATLABu nazývány toolboxy. V současné době
2.6 Grafický subsystém 7
existuje široká nabídka nejrůznějších specializovaných toolboxů ať již volně ke stažení
na internetu nebo komerčních (firemních od MathWorks nebo od jiných subjektů).
Systémové firemní toolboxy jsou integrální součástí základního systému. Pro větší pře-
hlednost třídí dostupné funkce do příbuzných tematických skupin. Zvláštní pozornost
zaslouží následující tři volitelné firemní toolboxy:
ˇ Symbolický toolbox (Extended Symbolic Math Toolbox), který poskytuje rozhraní
k jádru známého systému MAPLE zmíněnému již v kapitole 1. Jádro systému
MAPLE je přímo integrální součástí toolboxu a neinstaluje se tedy odděleně
od MATLABu. MAPLE je na rozdíl od MATLABu orientován na symbolické
výpočty a výpočty s vysokou přesností. Naopak silnou stránkou MATLABu je
široká nabídka numericky stabilních výpočetních algoritmů z nejrůznějších ob-
lastí. Symbolický toolbox propojuje obě prostředí a umožňuje využít předností
každého z nich. Navíc symbolické výrazy mohou vystupovat přímo jako prvky
v maticích, mohou být manipulovány při symbolicky prováděných maticových
operacích a nakonec jednoduše numericky vyhodnoceny po dosazení konkrétních
hodnot za symbolické proměnné.
ˇ Statistický toolbox nabízející základní funkce potřebné při modelování a výpo-
čtech ve statistice. Namátkou vyjmenujme některé z nich. Pro většinu běžných
rozložení jsou k dispozici funkce pro výpočet hustoty, distribuční funkce a funkce
k ní inverzní (výpočet kvantilů), odhad parametrů rozdělení z histogramu, ge-
nerátory pseudonáhodných čísel, funkce popisné statistiky, lineární a nelineární
modely a mnoho dalších.
ˇ Optimalizační toolbox zahrnující běžné techniky lineárního i nelineárního progra-
mování.
2.6 Grafický subsystém
Výborně navržený grafický subsystém nabízí funkce z těchto dvou hlavních oblastí:
ˇ Funkce pro kreslení 2-D i 3-D grafů a řadu dalších nástrojů pro názornou vi-
zualizaci dat. Vyznačuje se vysokou flexibilitou (vlastnosti grafických objektů
lze měnit nastavováním velkého množství řídících parametrů) při zachování jed-
noduchosti a intuitivnosti ovládání (většina parametrů má nastaveny implicitní
hodnoty).
ˇ Nástroje pro interaktivní návrh uživatelského rozhraní (GUI=Graphical User In-
terface) umožňují vytvářet pro koncové uživatele aplikace ovládané pomocí menu
a dalších běžných grafických ovládacích prvků (tlačítka, seznamy, zatrhávací po-
ložky aj.). Spouští se příkazem guide. Tvůrce aplikace se tak může vyhnout
příkazovému režimu, který bývá pro většinu koncových uživatelů nevhodný.
2.7 Kompilace z MATLABu do jazyka C
Kompilátor MATLAB - C je nadstandardní výbava systému umožňující automa-
tický převod programů zapsaných v jazyce MATLABu do jazyka C. Po převodu je
možno takto získaný zdrojový C kód samostatně přeložit vhodným kompilátorem ja-
zyka C a sestavit pomocí knihoven MATLABu dodaných speciálně pro tento účel.
8 2 CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU MATLAB
Obdržíme tak aplikaci (obvykle spustitelný soubor .EXE), který pak lze užívat či dále
distribuovat ke koncovým uživatelům zcela nezávisle na prostředí systému MATLAB.
Pořízení kompilátoru je dosti nákladné a vyplatí se proto pouze větším softwarovým
firmám, kterým umožní výrazně redukovat náklady na vývoj jejich vlastních aplikací.
Přímý vývoj a testování takových aplikací v jazyce C totiž vyžaduje několikanásobně
větší nároky na čas a lidské zdroje, než v prostředí MATLABu.
2.8 Spuštění a ukončení MATLABu
MATLAB spustíme pod operačním systémem provedením příkazu matlab.exe, který
se nachází v podadresáři bin kořenového adresáře instalovaného MATLABu. Pod ope-
račním systémem WINDOWS je spuštění možné též prostřednictvím nabídky START
a nebo kliknutím na vytvořeného zástupce MATLABu na pracovní ploše. Po spuštění
se objeví příkazové okno, v němž symbol  (angl. prompt) signalizuje připravenost
systému přijímat příkazy.
Práci MATLABu ukončíme příkazem exit nebo quit.
2.9 Online nápověda, manuály a učebnice
Online nápověda je nápomocná uživateli přímo během práce v příkazovém okně. Ná-
pověda pracuje strukturovaně v několika úrovních podrobností:
ˇ příkaz help zobrazí seznam tématických okruhů (toolboxů).
ˇ příkaz help jméno toolboxu vypíše seznam funkcí zvoleného tématického okruhu
(toolboxu).
ˇ příkaz help jméno funkce nebo help operátor dá podrobnou nápovědu k da-
nému konkrétnímu příkazu, resp. operátoru; zejména help help vypíše nápovědu
k samotnému příkazu help.
ˇ příkaz doc zobrazí pomocí rezidentního internetového prohlížeče (zpravidla Nets-
cape nebo Internet Explorer) samostatné okno tzv. HelpDesk. Toto okno předsta-
vuje nejpodrobnější zdroj informací o systému MATLAB i všech nainstalovaných
toolboxech. Lze v něm dokonce nalézt všechny tištěné manuály v elektronické
podobě jako soubory s příponou .PDF pro rozšířený prohlížeč Acrobat Reader.
Jsou zde také přímé odkazy na domovskou stránku firmy MathWorks, kde lze
nalézt například informace o dalších nabízených produktech a učebnicích (viz
odkaz http://www.mathworks.com/support/books/).
Pro samostatné studium lze samozřejmě využít i originální anglicky psané manuály
v tištěné podobě vztahující se jak k základnímu systému (viz např. [1, 2]) tak i k jed-
notlivým toolboxům, případně některou z učebnic nebo příruček vydávaných jinými
autory v nejrůznějších světových nakladatelstvích.
Publikací tohoto druhu jsou i česky psaná skripta vydaná na Masarykově univerzitě
v Brně [3] a na Západočeské univerzitě v Plzni [4, 5].
9
A Interaktivní průvodce systémem MATLAB
V příkazovém okně MATLABu nejprve zkontrolujeme, zda adresář MATLABtutorial
je nastaven jako aktuální. Pokud tomu tak není, provedeme nastavení příkazem cd.
Alternativně lze pro tento účel zvolit v menu File příkazového okna MATLABu položku
Set Path a pak tlačítkem Browse aktivovat adresář MATLABtutorial. Poté již můžeme
průvodce spustit zadáním povelu tutorial. Objeví se hlavní nabídka jako na obrázku
1 s těmito ovládacími prvky:
Seznam témat: Zvolíme požadovaný tématický okruh z nabídky jedenácti lekcí.
Obsah tématu: Udává stručný obsah zvoleného tématu.
Subtémata: Vybereme dílčí téma, případně dvojklikem je rovnou aktivujeme stejně
jako při stisku tlačítka "Spustit".
Tlačítko "Konec": Ukončí činnost průvodce.
Tlačítko "Nápověda": Stručný popis ovládání hlavní nabídky.
Tlačítko "Spustit": Vyvolá druhé nabídkové okno jako na obrázku 2 umožňující
ovládat výběr demonstračních příkladů pro zvolené subtéma.
Nabídkové okno pro volbu demonstračních příkladů má následující ovládací prvky:
Záhlaví zleva doprava: Vybraný tématický okruh (lekce), vybrané subtéma a pořa-
dové číslo jeho části.
Okno pod záhlavím: Obsahuje stručný vysvětlující popis jednoho nebo více příkazů
zvolené části subtématu.
Tlačítko "Příklad": V příkazovém okně MATLABu spustí demonstrační příklad pro
zvolenou část subtématu. Demonstrace probíhá postupně tak, aby bylo možno
sledovat provádění automaticky prováděných příkazů. V režimu pause zajistíme
pokračování stiskem libovolné klávesy. V interaktivním režimu keyboard je po
K možno zadávat jakékoliv příkazy a vyzkoušet si tak probírané povely podle
vlastního uvážení. Po zadání příkazu return je interaktivní režim ukončen a de-
monstrační příklad pokračuje. Takto postupujeme až do ohlášení konce příkladu.
Příklad je nutno v každém případě projet až do konce. Pak je možno jej spustit
buď znovu a nebo přejít na další subtéma.
Tlačítko "Dále": Vybere v pořadí další část subtématu.
Tlačítko "Nápověda": Stručný popis ovládání nabídky demonstračních příkladů.
Tlačítko "Konec": Zavře okno pro volbu demonstračních příkladů.
Tlačítko "Zobraz": V rezidentním internetovém prohlížeči zobrazí firemní online ná-
povědu k příkazu zadanému do editačního pole napravo.
10 A INTERAKTIVNÍ PRŮVODCE SYSTÉMEM MATLAB
Obrázek 1: Hlavní nabídkové okno
Obrázek 2: Nabídkové okno pro volbu demonstračních ukázek
11
B Praktické úlohy k řešení v MATLABu
Ke každé lekci následuje seznam praktických úloh. Po zvládnutí příslušné lekce za po-
moci interaktivního průvodce se doporučuje vypracovat příslušné úlohy k této lekci a
dále si tak upevnit získané poznatky. Student si takto postupně tvůrčím způsobem
osvojuje používání MATLABu jako účinného a efektivního nástroje k řešení nejrůzněj-
ších problémů vyžadujících matematický aparát.
Lekce 1: syntaxe jazyka, ovládání příkazového okna, práce se soubory a operačním
systémem, nápověda a kontextové vyhledávání, seznam připojených knihoven
(tzv. MATLABPATH).
1. Nastavte adresář MATLABtutorial jako aktuální a vytvořte v něm podad-
resář MATLABcviceni, který pak nastavte také jako aktuální. V něm budete
nadále řešit úlohy z této a dalších lekcí.
2. Zajistěte vytvoření záznamu řešení následujících úloh tohoto cvičení.
3. Nalezněte jméno funkce, která počítá stopu matice (angl. trace).
4. Zjistěte, v kterém adresáři (knihovně) je uložena.
5. Vypište nápovědu a tělo této funkce. Porovnáním obou výpisů vydedukujte,
jak se realizuje nápověda v m-souborech.
6. Zkopírujte pod týmž jménem tuto funkci do sveho aktuálního adresáře a
pomocí editoru v ní nápovědu počeštěte.
7. Zopakujte postup z kroků 3 až 5 -- co jste zjistili?
8. Vypište všechny m-soubory ve Vašem aktuálním adresáři.
9. Připojte na konec MATLABPATH Vaši knihovnu MATLABcviceni.
10. Odstraňte tuto knihovnu pomocí příkazu rmpath.
11. Uložte stávající MATLABPATH do proměnné p.
12. Znovu knihovnu MATLABcviceni přidejte, ale tentokrát na začátek MATLA-
BPATH.
13. Obnovte stav z kroku 11 s využitím proměnné p.
14. Ukončete záznam řešení zahájený v kroku 2.
Lekce 2: prázdná matice, přímé vytváření matic výčtem prvků, generování matic se
specifickou strukturou, získání informací o dosud alokovaných maticích, údržba
matic.
1. Vytvořte náhodnou matici A rozměru 10 × 8, jejíž všechny prvky jsou celá
čísla v intervalu [-50, 40].
2. Do B uložte submatici z A tvořenou jejími řádky na sudých a sloupci na
lichých pozicích.
3. Na tytéž pozice uložte v původní matici A samé nuly.
4. Zjistěte velikost matice B, resp. jen počet jejích řádků a sloupců.
5. Co se stane, když provedete přiřazení A(1,9)=1?
12 B PRAKTICKÉ ÚLOHY K ŘEŠENÍ V MATLABU
6. Uložte matici B do souboru v binárním tvaru a pak ji vymažte z paměti
(zkontrolujte vypsáním obsahu paměti).
7. Načtěte uloženou matici zpět a opět proveďte kontrolní výpis.
8. Zopakujte kroky 6 a 7 s tím rozdílem, že matici uložíte jako textovou, obsah
tohoto souboru vypište.
9. Vypočtěte délku druhého řádku matice A.
10. Utvořte matici 8 × 8, která bude mít na hlavní diagonále tytéž prvky jako
zde má matice A, jinak ale samé nuly.
11. Nalezněte ekvidistantní dělení intervalu [-2, 10] s krokem 0, 5.
Lekce 3: techniky indexování a práce se submaticemi, submatice na levé straně při-
řazovacího příkazu, změna rozměru matice.
1. Vygenerujte sloupcový vektor u = [-5, -3, -1, . . . ] délky 20.
2. Doplňte u na vektor v = [-5, -4, -3, -2, -1, 0, . . . ] délky 40 tvořící sou-
vislou posloupnost.
3. Utvořte z vektoru v matici V rozměru 5 × 8, v níž prvky vektoru v budou
uloženy po sloupcích.
4. Odstraňte 7. sloupec matice V .
5. Pomoci V vytvořte matici A, jež obsahuje řádky matice V v obráceném
pořadí.
6. Zjistěte počet prvků matice A a uložte jej do proměnné n.
7. Na náhodně vybraných (n-1)/2 pozic v matici A uložte hodnotu kladného
nekonečna, ostatní prvky ponechte beze změny.
8. Kladná nekonečna v matici A nahraďte zápornými nekonečny.
Lekce 4: základní maticové operace, speciální maticové operace (operace po složkách,
levé a pravé dělení, umocňování, Kroneckerův součin aj.).
1. Vygenerujte nahodně matice A, B téhož rozměru 3 × 5, jejichž prvky jsou
komplexní čísla s celočíselnou reálnou i imaginární částí v intervalu -5 až 5.
2. Vytvořte z B transponovanou matici C a hermitovsky sdruženou matici D.
3. Prověřte, zda submatice vytvořená z prvých tří řádků a sloupců v B je
unitární.
4. Na maticích A, B, C vyzkoušejte všechny binární operace, které znáte.
5. Spočtěte matici E jako součin submatic tvořených prvými třemi sloupci
matice A a prvými třemi řádky matice C. Výpočtem ověřte, že determinant
součinu E je součinem determinantů výše popsaných submatic.
6. Spočtěte determinant a stopu matice E pomocí jejích vlastních čísel.
7. Sestavte složený příkaz, který za poslední řádek matice A doplní lineární
kombinaci jejích řádků, kde každý řádek je vždy násoben svým řádkovým
indexem.
8. Najděte vektor v, který je ortogonální projekcí prvého sloupce matice B na
prvý sloupec matice A.
13
9. Doplňte ortogonální vektory získané v předešlém kroku na ortogonální bázi
v trojrozměrném vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel.
10. Vytvořte z A matici, kde na místě každého prvku bude submatice 3 × 2
s tímto prvkem na každé pozici.
Lekce 5: relační a logické maticové operátory, smíšené aritmeticko-logické výrazy, lo-
gické funkce, hledání v maticích.
1. Vygenerujte náhodně reálné celočíselné matice A, B rozměru 3 × 4 s prvky
v intervalu -5 až 5.
2. Vytvořte textovou matici T téhož rozměru, kde znak plus(+), resp. minus(-)
na (i, j)-té pozici indikuje, ze A(i, j) a B(i, j) jsou nenulová čísla téhož, resp.
různého znaménka; je-li některý z prvků A(i, j) nebo B(i, j) nulový uložíme
znak tečky(.).
3. Jedním složeným příkazem zjistěte, zda součet záporných prvků v A je
v absolutní hodnotě menší než součet kladných prvků v B.
4. Zjistěte celkový počet nulových prvků v maticích A a B dohromady.
5. Vytvořte matici C stejného rozměru jako A, která ma na (i, j)-té pozici
rozdíl řádkového a sloupcového indexu. Pomocí této matice rozložte matici
A na její diagonálovou, dolní trojúhelníkovou a horní trojúhelníkovou část.
6. Zjistěte, zda v A existuje nulový prvek.
7. Zjistěte odmocniny vlastních čísel matice AAT
a porovnejte výsledek s vý-
stupem příkazu svd(A) -- viz též help svd.
8. Nalezněte řádkové a sloupcové pozice kladných prvků v A.
9. Zopakujte příklad 8 s maticí B, kde využijete jednorozměrného indexovaní
a všechny kladné prvky přepíšete jejich desetinásobkem.
10. Zkontrolujte existenci proměnné A před a po vymazáni matice A z paměti.
Lekce 6: práce s textovými řetězci, znakové konverze čísel, vyhodnocení příkazu za-
daného textovým řetězcem, zpracování chybových hlášení, operace s datumem a
časem.
1. Zajistěte, abyste na konci tohoto cvičení mohli zjistit Váš celkový čas spo-
třebovaný na řešení a porovnat jej s čistým časem procesoru.
2. Uložte následující dvě věty do matice T na samostatné řádky: Hlavní náplní
třídenního pobytu byly diskuse. Účastnilo se ho 110 středoškoláků.
3. Věty z T uložte bez koncových mezer do řádkových vektorů v1 a v2.
4. Zjistěte počet mezer, písmen a číslic ve v1 a v2.
5. Spojte věty v1 a v2 za sebe do jednoho řádkového vektoru t tak, aby za
tečkou prvé věty následovala mezera.
6. V celém textu t vyhledejte výskyt slabiky la.
7. V t přidejte za slova byly a ho dvě mezery.
8. Najděte pozice prvého písmena každého slova.
(Návod: porovnejte t s řetězcem t posunutým o 1 pozici vpravo)
14 B PRAKTICKÉ ÚLOHY K ŘEŠENÍ V MATLABU
9. Počáteční písmena slov nalezená v předchozím příkladu nahraďte velkými
písmeny.
10. Jednotlivá slova v t uložte postupně do proměnných slovo1, slovo2, atd.
11. Vypište datum a čas, kdy jste cvičení řešili, kolik minut Vám to trvalo a
jaký čas byl spotřebován procesorem.
Lekce 7: funkční a dávkové m-soubory, větvení běhu programu, cykly v programu.
Podle následujících pokynů vytvořte funkční m-soubor cramer.m. pro řešení
systému lineárních rovnic Ax = b Cramerovým pravidlem:
1. V samostatném okně spusťte editor se souborem cramer.m.
Jako vzorovou kostru procedury lze použít soubor matsem7f.m z adresáře
MATLABtutorial.
2. Vytvořte úvodní deklaraci a nápovědu pro tři vstupní parametry A,b,e a
tři vstupní parametry x,e1,e2 s následujicím významem:
A . . . čtvercová matice soustavy rozměru n × n (povinný parametr)
b . . . matice m pravých stran rozměru n × m
(nepovinný parametr při výpočtu inverze matice A)
e . . . tolerance (malé číslo) pro detekci skoro singulární matice
(nepovinný parametr, implicitní hodnota 10*eps)
x . . . matice rozměru n × m, jejíž sloupce po řadě odpovídají řeše-
ním soustav A*x(:,j)=b(:,j), j = 1, ..., m
e1 . . . maximální odchylka (v absolutní hodnotě) od řešení spočte-
ného pomocí násobení zleva inverzní maticí
e2 . . . maximální odchylka (v absolutní hodnotě) od řešení spočte-
ného pomocí operátoru levého dělení
3. Popis činnosti funkce:
a) Program zpracujte tak, aby zadání prázdné matice za nepovinný para-
metr mělo stejný efekt, jako jeho vynechání.
b) Pokud byla zadána pravá strana, pak x je řešení maticové rovnice A*x=b.
c) Pokud nebyla zadána pravá strana, pak x je matice inverzní k A.
d) Odchylky e1, resp. e2 počítejte jen, když tyto parametry byly při volání
funkce skutečně požadovány.
4. Zastavte program s výpisem chybových hlášení v těchto případech:
a) Počet vstupních parametrů je menší než počet povinných parametrů
nebo větší než počet deklarovaných parametrů.
b) Matice A není čtvercová nebo je prázdná.
c) Matice b nemá stejný počet řádků jako A.
d) Matice A je skoro singulární, tj. její determinant je v absolutní hodnotě
menší než tolerance e.
5. Program řádně otestujte pro všechny kombinace vstupních a vystupních
parametrů:
a) V případě spolehlivě regulární matice A (například ortogonální), by od-
chylky e1 a e2 měly být zanedbatelné.
15
b) V případě skoro singulární matice: tu konstruujte pomocí regulární ma-
tice ad a) ortogonalizací (příkaz orth) následovanou postupným nahra-
zováním některého sloupce jeho stále se zmenšujícím skalárním násob-
kem zvětšeným o nějakou lineární kombinaci ostatních k němu kolmých
n - 1 sloupců. Dostanete tak posloupnost matic blížících se k singu-
lární matici, na níž můžete monitorovat chování chyb e1 a e2 a detekci
singulárnosti při různých tolerancích e.
Lekce 8: interakce se spuštěným programem, řízení výpisů na obrazovku, prostředky
pro ladění správné funkce programů.
Na funkční proceduře cramer zpracované v předchozím cvičení vyzkoušejte různé
způsoby ladění.
Lekce 9: grafický subsystém, základy kreslení dvourozměrných a trojrozměrných grafů.
1. Nakreslete na intervalu [0, 4] graf funkce tsin(at) pro hodnotu parametru
a = 1.
2. Graf vhodně otitulkujte a popište osy.
3. Zmeňte u grafu dodatečně rozsah os, barvu, typ a tloušťku čáry.
4. Nakreslete jedním příkazem do tychž os m grafu téže funkce pro hodnoty
parametru a = 1, . . . , m při předem zadaném m = 4.
5. Totéž, ale s postupným přikreslováním grafu do téhož okna.
6. Totéž, ale do 6-ti samostatných obrázků ve dvou řadách po třech.
7. Nakreslete 3 periody cykloidy s poloměrem kružnice r = 2;
Cykloida je křivka zadaná parametricky:
x(t) = r(t - sin(t)), y(t) = r(1 - cos(t)).
8. Obrázek s cykloidou pojmenujte Cykloida namísto implicitního jména
Figure No.
9. Vykreslete na intervalu [-5, 5] graf tzv. Dirichletovy funkce:
y(x) = sin(ax)/(a sin(x)) pro hodnotu parametru a = 5;
pro vykresleni užijte ekvidistantní 101-bodovou síť.
10. Graf se Vám asi moc nelíbí. Důvodem je, že y(x) je periodická funkce s pe-
riodou 1, přičemž pro celočíselné hodnoty x dostáváme výrazy typu 0/0.
L'Hospitalovým pravidlem spočtěte správné hodnoty a graf opravte.
11. Do samostatných obrázků vykreslete grafy níže uvedených funkcí z = f(x, y),
přičemž pro každou použijte jinou metodu pro vykreslení:
a) f(x, y) := |x - y| pro x, y z oblasti [-5, 5] × [-6, 6].
b) f(x, y) := 1/(1 + (x + y)2
) pro x, y z oblasti [-5, 5] × [-5, 5].
c) f(x, y) := xe-x2-y2
pro x, y z oblasti [-2, 2] × [-2, 2].
d) f(x, y) := (x2
+y2
)(e-(x-y)2
+e-(x+y)2
)+80/(1+x2
+y2
) pro x, y z oblasti
[-5, 5] × [-5, 5].
e) V ploše funkce ad d) zvýrazněte barevnou tlustou čarou trajektorii od-
povídající řezu rovinou kolmou na rovinu x - y a protínající ji v přímce
procházející body [0, 4] a [4, 0].
16 B PRAKTICKÉ ÚLOHY K ŘEŠENÍ V MATLABU
f) Meňte u obrázků různými způsoby detaily grafického provedení (úhel
pohledu, směr a barevné složení světelného zdroje apod.).
g) Prohlédněte si další firemní demonstrace grafiky.
Lekce 10: elementární funkce a jejich průběhy, příkazy vztahující se k náročnějším
tématickým okruhům z maticové a polynomiální algebry.
1. Jedním příkazem fplot vykreslete průběh dvou funkcí: sinus s amplitudou
8 a kosinus s amplitudou 6 na intervalu [0, 2].
2. Do proměnné r spočtěte kořeny polynomu P(x) = 2x3
- 12x2
- 144x - 54.
3. Pomocí r sestavte polynom p(x) s týmiž kořeny; vysvětlete vztah mezi
oběma polynomy p(x) a P(x).
4. Nalezněte matici A asociovanou s polynomem p(x) a oveřte, že p(x) je sku-
tečně jejím charakteristickým polynomem.
5. Vytvořte náhodnou matici X rozměru 2×3 a sestavte matici Y téhož rozměru,
která je vyhodnocením polynomu p(x) na X, tj. Y (i, j) = p(X(i, j)).
6. Ověřte platnost Cayley-Hamiltonovy věty pro matici A, tj. A musí být v ma-
ticovém smyslu kořenem svého charakteristického polynomu (použijte příkaz
polyvalm).
7. Nalezněte polynom c(x), který je součinem polynomů a(x) = x3
+2x2
+3x+4
a b(x) = 10x2
+ 20x + 30.
8. Proveďte dělení polynomu d(x) = c(x) + 2(x - 1) polynomem b(x) a určete
současně nejen podíl, ale i zbytek po dělení.
9. Nalezněte rozklad na parciální zlomky racionální lomené funkce d(x)/b(x)
nejprve nad tělesem komplexních čísel a odtud pak spočtěte jeho tvar nad
tělesem reálných čísel.
10. Nalezněte interpolační polynom funkce sin(x) procházející jejími body pro
x = 0, /2, , 3/2, 2; oba průběhy znázorněte graficky a do samostatného
obrázku vykreslete průběh chybové funkce (rozdíl mezi oběma funkcemi).
LITERATURA 17
Literatura
[1] The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, Mass. 01760. MATLAB. High-
Performance Numeric Computation and Visualization Software ­ Reference Guide,
October 1992.
[2] The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, Mass. 01760. MATLAB. High-
Performance Numeric Computation and Visualization Software ­ User's Guide,
August 1992.
[3] Arnošt Svoboda a Leonard Walletzký. Informatika pro ekonomy: Základy práce v
Matlabu. Ekonomicko-správní fakulta Masarykovy univerzity, Brno, 2001. Skripta.
[4] Blanka Heringová a Petr Hora. MATLAB 4.0 ­ Popis grafického systému, grafická
nadstavba a práce se soubory, volume I­II. Institut technologie a spolehlivosti,
Západočeská univerzita, Plzeň, červen 1994. Skripta.
[5] Blanka Heringová a Petr Hora. MATLAB pro Windows. Díl I. ­ Práce s programem,
volume I. Institut technologie a spolehlivosti, Západočeská univerzita, Plzeň, 1995.
Skripta.
[6] P. Lancaster. Theory of matrices. Academic Press, New York, 1969.
[7] F. R. Gantmakher. Teorija matric. Nauka, Moscow, 1988.
[8] E. Pärt-Enander, A. Sjöberg, Bo Melin, and P. Isaksson. The MATLAB Handbook.
Addison­Wesley, Harlow, England, 1996.