ZÁKLADY MATEMATIKY I
Katedra aplikované matematiky a informatiky
Ekonomicko-správní fakulta MU v Brně
Email: vesely@econ.muni.cz
http:// www.math.muni.cz/~vesely
OBSAH
1. Úvod
• Základy výrokového počtu.
• Základy teorie množin.
• Číselné obory.
2. Algebraické struktury
• Relace.
• Uspořádané množiny.
• Ekvivalence a rozklady.
• Základní algebraické struktury (grupoid, pologrupa,
grupa, okruh, obor integrity, těleso).
• Homomorfizmy algebraických struktur.
3. Lineární algebra
• Vektorové (lineární) prostory. Lineární závislost a nezávislost.
Báze a dimenze.
• Metrické a normované lineární prostory. Prostory s vnitřním
součinem.
• Matice, operace s maticemi, hodnost matice.
• Permutace a determinant.
• Lineární zobrazení (lineární operátory). Ortogonální pro-
jekce.
• Pojem inverzní a pseudoinverzní matice (operátoru).
Date: 6. prosince 2006.
nační metody. Frobeniova věta.
• Popis množiny všech řešení pro homogenní i nehomogenní
systémy.
• Transformace souřadnic a diagonalizace matic.
Literatura ke studiu
Základní:
[KaSk] Karásek J., Skula L.: Algebra a geometrie, PC-DIR Real
s.r.o., Brno 2002 (skripta VUT Brno, Fakulta strojního
inženýrství)
[Šik] Šik F.: Lineární algebra zaměřená na numerickou analýzu,
PřF MU Brno, 1998 (skripta)
[Ho] Horák P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I.,
PřF MU Brno, 2002 (sbírka řešených i neřešených úloh)
• Pracovní texty vytvořené přednášejícím, které jsou ke
stažení v elektronické podobě z IS MU u příslušného
předmětu.
Doplňující:
[Mi] Minorskij V.P.: Sbírka úloh z vyšší matematiky, SNTL
Praha, 1964
[FaSo] Faddejev A.K.,Sominskij J.S.: Zbierka úloh z vyššej algebry,
ALFA Bratislava, 1968
Poznámka: V tomto textu jsou úseky látky (definice, věty, důkazy a pod.) z hlediska
důležitosti rozlišeny ve třech úrovních změnou sazby příslušného klíčového
slova takto:
1. Základní: podtrženě velkými písmeny (např. VĚTA).
2. Důležité: velkými písmeny (např. VĚTA).
3. Doplňující: jsou vysázeny obyčejně (např. Věta).
U důkazů stačí vyložit podstatné myšlenky (postup) vlastními slovy.
2
1.1. ZÁKLADY VÝROKOVÉHO POČTU.
Teorie: [KaSk: s.7-9]
Příklady: [Ho:řešené č.1; s.5-6], [Ho:neřešené §1; s.39-42]
Matematické vyjadřování:
• Stručnost: užívání symbolů (viz přílohu C)
• Přesnost: definice, tvrzení, pomocné tvrzení (lemma),
věta (teorém), poznámka, seznam označení: s := v nebo
v =: s interpretujeme jako označení výrazu v symbolem
s.
Účelem definice je přesné vymezení významu nově zaváděného
matematického pojmu.
Účelem tvrzení, mezi něž patří lemmata i věty (důležitá
tvrzení), je vyvodit z výchozích předpokladů přesné logické
závěry postupnou aplikací logických pravidel. Tomuto postupu
říkáme důkaz. Univerzální předpoklady matematických
teorií se nazývají axiomy: vyjadřují předem dané skutečnosti,
které považujeme za univerzálně platné.
Výroky: při užití logických pravidel vystupuje jeden ze základních
pojmů logiky — pojem výroku.
Výrokem rozumíme libovolné sdělení (tvrzení), o kterém má
smysl říci, jestli je pravdivé nebo nepravdivé. Říkáme také,
že výrok platí nebo neplatí.
Logická hodnota 1 značí výrok, který je vždy pravdivý
a podobně logická hodnota 0 značí výrok, který je vždy
nepravdivý. Výroky v dalším budeme označovat symbolicky,
například V . Pokud výrok závisí na dalších proměnných (obvykle
opět výrocích) A, B, . . . , píšeme V (A), V (A,B) a po-
dobně.
3
kalkulus s výroky, kdy pomocí logických operací v tzv.
výrokových formulích konstruujeme složené výroky ze
zadaných elementárních výroků vystupujících v roli operandů.
Základní operace jsou popsány pomocí pravdivostních
(0–1) tabulek, které každé kombinaci pravdivostních hodnot
elementárních výroků přiřazují pravdivostní hodnotu výsledného
složeného výroku:
Operace negace: ¬
, ′
A ¬
A
0 1
1 0
Slovní vyjádření: A neplatí
Operace implikace: ⇒
A B A ⇒ B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Slovní vyjádření: A implikuje B; B plyne z A; B je důsledkem
A; A je postačující podmínka pro B; B je nutná podmínka
pro A; jestliže platí A, pak platí B.
4
A B A ⇔ B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Slovní vyjádření: A je ekvivalentní s B; A je nutná a postačující
podmínka pro B; B je nutná a postačující podmínka
pro A; A platí právě když B platí; A platí tehdy a jen tehdy,
když platí B.
Výrok V (A, B, . . . ) ≡ 1 (vždy pravdivý) se nazývá tautolo-
gie.
Operace ‘A’ neboli logický součin neboli konjunkce: &,∧
A B A ∧ B = min(A,B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Slovní vyjádření: platí A i B; platí A a B.
Operace ‘NEBO’ neboli logický součet neboli disjunkce: ∨
A B A ∨ B = max(A, B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Slovní vyjádření: platí A nebo B.
5
A B xor(A, B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Slovní vyjádření: platí buď A nebo B.
Univerzální kvantifikátor: ∀
∀x s vlastností U : V (x)
Slovní vyjádření: pro každé x s vlastností U platí V (x).
Existenční kvantifikátor: ∃
∃x s vlastností U : V (x)
Slovní vyjádření: existuje x s vlastností U splňující V (x).
VĚTA 1.1. Platí následující ekvivalence výroků:
(1) A′′
≡ A.
(2) A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∨ B ≡ B ∨ A.
(3) DeMorganova pravidla:
(A ∧ B)′
≡ A′
∨ B′
, (A ∨ B)′
≡ A′
∧ B′
.
(4) (A ⇒ B) ≡ (A′
∨ B), (A ⇒ B) ≡ (B′
⇒ A′
).
(5) (A B) ≡ (A ∧ B′
), (A B) ≡ (B′
A′
).
(6) (A ⇔ B) ≡ (A ⇒ B)∧(B ⇒ A), (A ⇔ B) ≡ (A′
⇔ B′
).
(7) (A B) ≡ (A B)∨(B A), (A B) ≡ (A′
B′
).
(8) Asociativní zákony:
A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C,
A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C.
(9) Distributivní zákony:
A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C),
A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
(10) (∀ x s vlastností U : V (x))′
≡ (∃ x s vlastností U : V (x)′
)
(11) (∃ x s vlastností U : V (x))′
≡ (∀ x s vlastností U : V (x)′
)
Poznámka: A B := (A ⇒ B)′
, A B := (A ⇔ B)′
.
6
Důkazové techniky:
Matematické věty většinou vyjadřují slovně implikace výroků
A ⇒ B (A nazýváme předpokladem věty a B tvrzením věty)
nebo ekvivalence výroků A ≡ B.
Přímý důkaz implikace A ⇒ B:
konstruujeme posloupnost pravdivých výroků:
A ⇒ A1, A1 ⇒ A2, . . . , An−1 ⇒ An, An ⇒ B, tj. dokazujeme,
že je pravdivý výrok (A ⇒ A1) ∧ (A1 ⇒ A2) ∧ · · · ∧
(An−1 ⇒ An) ∧ (An ⇒ B).
Důkaz implikace A ⇒ B sporem:
provádíme přímý důkaz ekvivalentní implikace B′
⇒ A′
,
která pak vede ke sporu s platností předpokladu A, pokud
by za jeho platnosti tvrzení B neplatilo.
Důkaz ekvivalence A ⇔ B: dokazujeme platnost ekvivalentního
výroku (A⇒ B)∧(B ⇒ A) ve dvou krocích: samostatně
dokazujeme platnost obou implikací A ⇒ B a B ⇒ A.
Důkaz platnosti následujícího výroku matematickou indukcí:
∀ n ≥ n0 : V (n), kde n, n0 jsou přirozená čísla.
Nekonečný přímý důkaz tvaru
V (n0) ∧ (V (n0) ⇒ V (n0 + 1) ⇒ V (n0 + 2), . . . )
nahradíme ověřením platnosti ekvivalentního výroku:
∀ n > n0 : (V (n0) ∧ V (n0 + 1) ∧ · · · ∧ V (n − 1)) ⇒ V (n).
Důkaz tak probíhá ve dvou krocích:
• Počáteční krok: ověření platnosti výroku V (n0)
• Indukční krok: pro každé n > n0 ověříme platnost
implikace (V (n0) ∧ V (n0 + 1) ∧ · · · ∧ V (n − 1)) ⇒ V (n).
7
definice definition
tvrzení statement, proposition
věta theorem
poznámka remark
označení notation
důkaz proof
axiom axiom
výrok sentence, proposition
pravdivý, nepravdivý true, false
negace negation
implikace implication
A implikuje B A implies B
B plyne z A B follows from A
B je důsledkem A B is a consequence of A
A je postačující podmínka pro B A is a sufficient condition for B
B je nutná podmínka pro A B is a necessary condition for A
jestliže platí A, pak platí B if A holds then B holds
tvrzení platí the statement holds
A je ekvivalentní s B A is equivalent with B
A je nutná a postačující podmínka pro B A is a necessary and
sufficient condition for B
A platí právě když (tehdy a jen tehdy když) B platí A holds if and
only if (iff) B holds
logický součin: A logical AND
logický součet: NEBO (logical) OR
BUĎ . . . A NEBO logical EXCLUSIVE OR, EITHER . . . OR
univerzální kvantifikátor universal quantifier
pro každé x s vlastností U platí V (x) V (x) is true for all x having
property U
existenční kvantifikátor existential quantifier
existuje x s vlastností U splňující V (x) there exists x having property
U such that V (x) is true
8
Teorie a příklady: [KaSk: s.9-25,37-43]
Příklady: [Ho:řešené č.2-4,7-10; s.6-12],
[Ho:neřešené kap.1§2§5; s.42-45,51-54]
DEFINICE 1.2 (Naivní pojetí teorie množin: Cantor 1849–1918).
Množinou rozumíme soubor libovolných objektů, které nazýváme prvky
této množiny. Množina se nazývá konečná, resp. nekonečná,
jestliže má konečně, resp. nekonečně mnoho prvků.
Zapisujeme:
a ∈ A, A ∋ a . . . a je prvkem A.
a /∈ A, A ∋ a . . . a není prvkem A.
A := {a1, a2, . . . , an} . . . specifikace konečné množiny výčtem prvků.
A := {x | x má vlastnost V} . . . specifikace množiny s prvky majícími
vlastnost V, například
R+
:= {x | x ∈ R, x ≥ 0} značí množinu všech nezáporných reálných
čísel.
∅ := {} . . . prázdná množina neobsahuje žádný prvek.
Výše uvedená definice je příliš široká a vede proto k logickým paradoxům.
Nejznámější je Russelův paradox:
Definujeme-li M := {X | X je množina: X /∈ X}, pak pro M mohou
nastat jen dvě možnosti, obě vedoucí k logickému sporu:
(1) M ∈ M, což z definice implikuje M /∈ M, nebo
(2) M /∈ M, což z definice implikuje M ∈ M.
MNOŽINOVÉ INKLUZE
A = B . . . množiny A a B jsou si rovny, mají-li tytéž prvky.
A = B . . . množiny A a B jsou různé, nemají-li tytéž prvky.
A ⊆ B, B ⊇ A . . . A je podmnožinou B nebo též B je nadmnožinou
A, jestliže každý prvek A je také prvkem B.
A ⊂ B, B ⊃ A . . . A je vlastní podmnožinou B, jestliže A ⊆ B a
současně A = B, tj. kromě všech prvků z A, existuje v B ještě alespoň
jeden další prvek.
Příklad: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
9
Označení (Intervaly).
Nechť a, b ∈ R jsou daná reálná čísla. Pak intervalem reálných
čísel nazýváme kteroukoli z níže uvedených podmnožin v R:
[a, b] := {x | x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. . . uzavřený interval;
(a, b) := {x | x ∈ R : a < x < b}. . . otevřený interval;
[a, b) := {x | x ∈ R : a ≤ x < b}. . . interval zleva uzavřený a zprava
otevřený;
(a, b] := {x | x ∈ R : a < x ≤ b}. . . interval zleva otevřený a zprava
uzavřený;
(−∞, ∞) := R;
(−∞, b) := {x | x ∈ R : x < b};
(−∞, b] := {x | x ∈ R : x ≤ b};
(a, ∞) := {x | x ∈ R : a < x};
[a, ∞) := {x | x ∈ R : a ≤ x}.
ZOBRAZENÍ
DEFINICE 1.4. Buďte A, B množiny. Pravidlo f, které každému
prvku a ∈ A přiřazuje právě jeden prvek b ∈ B, se nazývá zobrazení
množiny A do množiny B. Píšeme b = f(a) nebo a → f(b). Prvek
b se nazývá obraz a v zobrazení f.
Zobrazení f se nazývá prosté nebo také injektivní, když platí:
a1, a2 ∈ A, a1 = a2 ⇒ f(a1) = f(a2) (nebo ekvivalentně: f(a1) =
f(a2) ⇒ a1 = a2).
Zobrazení f se nazývá A na B nebo také surjektivní, když ke každému
b ∈ B existuje a ∈ A tak, že b = f(a).
Je-li f prosté zobrazení A na B, nazývá se bijekce nebo také jednojednoznačná
korespondence mezi A a B. Bijekce A na A se
nazývá permutace množiny A.
Zápisy:
f : A → B . . . zobrazení f z A do B.
f : A ֌ B . . . prosté zobrazení f z A do B.
10
f : A ֌→ B . . . bijekce f z A na B.
Dvě zobrazení f : A → B a g : C → D jsou stejná právě když A = C,
B = D a f(x) = g(x) pro každé x ∈ A.
DEFINICE 1.5. Je-li f : A → B, C ⊆ A, D ⊆ B, pak definujeme:
f(C) := {f(a) | a ∈ C} . . . obraz množiny C v zobrazení f.
f|C : C → B definované vztahem f|C(c) := f(c) pro každé c ∈ C
nazýváme restrikcí zobrazení f na množinu C.
f−1
(D) := {a | a ∈ A : f(a) ∈ D} . . . úplný vzor množiny D v zobrazení
f.
Je-li f bijekce A na B, pak f−1
({f(a)}) = {a} pro každé a ∈ A a
f(f−1
({b})) = {b} pro každé b ∈ B.
V takovém případě píšeme zjednodušeně f−1
(f(a)) = a a f(f−1
(b)) =
b a takto získané (bijektivní) zobrazení f−1
: B ֌→ A nazýváme inverzní
zobrazení k f. Zřejmě platí: f−1
(b) = a ⇔ b = f(a).
Zobrazení IA : A → A definované vztahem IA(a) := a pro každé
a ∈ A je zřejmě bijekce. Nazývá se identické zobrazení na A.
Je-li B ⊆ A, pak zobrazení 1B : A → {0, 1} definované vztahem
1B (a) :=
´
1 pro a ∈ B
0 pro a /∈ B
nazýváme charakteristickou funkcí podmnožiny
B (v množině A).
DEFINICE 1.6. Zobrazení f : I → A, kde I ⊆ Z, nazýváme
posloupností prvků z A a zapisujeme jej ve tvaru {an}n∈I , kde
an := f(n). Pokud I = N, resp. I = Z, píšeme také {an}∞
n=1, resp.
{an}∞
n=−∞.
DEFINICE 1.7. Nechť f : A → B a g : B → C jsou dvě zobrazení,
pak zobrazení h : A → C definované vztahem h(a) := g(f(a)) pro
každé a ∈ A, nazýváme složením zobrazení f a g a píšeme h = gf.
PŘÍKLAD 1.8. Uvažujme funkční předpis f(x) := x2
, pak
f : R → R není ani prosté ani surjektivní,
11
f : R+
→ R+
je prosté i surjektivní, tj. je bijekcí.
MNOŽINOVÉ OPERACE
Nechť dále Ai, i ∈ I značí nějaký systém množin indexovaný prvky i
z indexové množiny I.
DEFINICE 1.9 (Sjednocení množin).
A ∪ B := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
A ∪ B ∪ C := {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C)}
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An := {x | ∃ i ∈ {1, 2, . . . , n} : x ∈ Ai}
...
i∈I
Ai := {x | ∃ i ∈ I : x ∈ Ai}
DEFINICE 1.10 (Průnik množin).
A ∩ B := {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
A ∩ B ∩ C := {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)}
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An := {x | ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} : x ∈ Ai}
...
i∈I
Ai := {x | ∀ i ∈ I : x ∈ Ai}
Jestliže A ∩ B = ∅, říkáme, že množiny A a B jsou disjunktní.
DEFINICE 1.11 (Rozdíl množin).
A − B := {x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
Příklad:
R − Q (resp. šířeji C − Q) . . . množina všech iracionálních čísel.
12
Jestliže všechny uvažované množiny jsou podmnožinami jisté pevně
zvolené univerzální množiny (prostoru) X, pak množinu X − A nazýváme
doplňkem nebo také komplementem množiny A (v X) a
píšeme A′
nebo Ac
.
DEFINICE 1.13 (Symetrická diference).
A ÷ B := (A − B) ∪ (B − A)
DEFINICE 1.14 (Kartézský součin množin).
A × B := {[a, b] | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}
A × B × C := {[a, b, c] | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B) ∧ (c ∈ C)}
A1 × A2 × · · · × An := {[a1, a2, . . . , an] | ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} : ai ∈ Ai}
...
i∈I
Ai := Xi∈I
Ai := {ϕ | ϕ : I →
i∈I
Ai, kde ϕ(i) ∈ Ai ∀ i ∈ I },
kde [a, b], [a, b, c],.. . ,[a1, a2, . . . , an] značí uspořádané dvojice, trojice
atd. až n-tice: i-tou složku uspořádané n-tice lze považovat za obraz
čísla i ∈ {1, 2, . . . , n} v nějakém zobrazení ϕ : {1, 2, . . . , n} →Ën
i=1 Ai, kde ai := ϕ(i) ∈ Ai. Odtud pramení zobecnění definice
kartézského součinu na libovolný systém množin, kde každá složka
koresponduje s indexem i ∈ I z libovolné indexové množiny I.
Jsou-li všechny množiny v kartézském součinu identické, pak značí:
A2
:= A × A (kartézský čtverec množiny A),
A3
:= A ×A ×A, . . . , An
:= A × A × · · · × A
ßÞ
n×
a obecně AI
:= X
i∈I
A.
Zejména tedy AI
:= {ϕ | ϕ : I → A} označuje množinu všech zobrazeni
I do A.
13
(1) Nechť A := {a, b, c,d} a B := {c, d, e, f}, pak
A ∪ B = {a, b, c,d, e, f}, A ∩ B = {c, d}, A − B = {a, b},
B − A = {e, f} a A ÷ B = {a, b, e, f}.
(2) R2
. . . koresponduje s množinou všech bodů roviny,
R3
. . . s množinou všech bodů 3-rozměrného prostoru,
Rn
. . . s množinou všech bodů n-rozměrného prostoru a
RN
, resp. RZ
s množinou všech posloupností reálných čísel.
MNOŽINOVÉ IDENTITY
VĚTA 1.16.
(1) Komutativita: A ∪ B = B ∪ A
(2) Asociativita: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
(3) Obecná asociativita a komutativita: Všechna možná sjednocení
vytvořená všemi možnými uzávorkováními posloupnosti
množin A1, A2, . . . , An v libovolném pořadí jsou rovna jedinému
prvku A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An.
(4) A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A
(5) A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C pro libovolné C
(6) A ⊆ A ∪ B pro libovolné B
(7) A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B
Důkaz. CVIČENÍ
VĚTA 1.17.
(1) Komutativita: A ∩ B = B ∩ A
(2) Asociativita: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
(3) Obecná asociativita a komutativita: Všechny možné průniky
vytvořené všemi možnými uzávorkováními posloupnosti množin
A1, A2, . . . , An v libovolném pořadí jsou rovny jedinému
prvku A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An.
(4) A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅
(5) A ⊆ B ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C pro libovolné C
14
(7) A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B
Důkaz. CVIČENÍ
VĚTA 1.18 (Distributivní zákon).
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
Důkaz. CVIČENÍ
Věta 1.19 (Obecný distributivní zákon ).
Nechť I je indexová množina a Ji jsou indexové množiny pro každé
i ∈ I. Nechť ke každé uspořádané dvojici indexů [i, j], i ∈ I, j ∈ Ji, je
přiřazena množina Aij. Pak platí:
i∈I j∈Ji
Aij =
γ∈K i∈I
Aiγ(i)
i∈I j∈Ji
Aij =
γ∈K i∈I
Aiγ(i),
kde K := X
i∈I
Ji.
Poznámka 1.20.
Distributivní zákon A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) z věty 1.18
je speciálním případem 1.19 (analogicky po vzájemné záměně operací
průniku a sjednocení): Jestliže provedeme přeznačení množin
A11 := A, A21 := B a A22 := C a zavedeme indexové množiny
I := {1, 2}, J1 := {1} a J2 := {1, 2}, pak K := J1×J2 = {[1, 1], [1, 2]},
takže dostáváme:
A11 ∩ (A21 ∪ A22) = (A11 ∩ A21) ∪ (A11 ∩ A22).
Výše uvedený postup můžeme zobecnit do následujícího důsledku
věty 1.19. Ten ilustruje skutečnost, že obecný distributivní zákon pro
15
činu součtů čísel.
DŮSLEDEK 1.21.
(A1 ∪ A2 ∪ A3 . . . ) ∩ (B1 ∪ B2 ∪ B3 . . . ) ∩ (C1 ∪ C2 ∪ C3 . . . ) ∩ · · · =
=
[j,k,l,... ]
(Aj ∩ Bk ∩ Cl . . . )
(A1 ∩ A2 ∩ A3 . . . ) ∪ (B1 ∩ B2 ∩ B3 . . . ) ∪ (C1 ∩ C2 ∩ C3 . . . ) ∪ · · · =
=
[j,k,l,... ]
(Aj ∪ Bk ∪ Cl . . . )
PŘÍKLAD 1.22 (CVIČENÍ).
(A ∪ B ∪ C) ∩ (D ∪ E) ∩ (F ∪ G ∪ H) =?.
LEMMA 1.23.
A − B = A ∩ B′
,
kde komplement B uvažujeme v nějaké množině obsahující A i B.
VĚTA 1.24 (DeMorganova pravidla ).
Nechť A je množina a {Ai}i∈I systém množin. Pak platí:
A −
i∈I
Ai =
i∈I
(A − Ai)
A −
i∈I
Ai =
i∈I
(A − Ai)
DŮSLEDEK 1.25. [KaSk:Věta 1.4 s.15]
(
i∈I
Ai)′
=
i∈I
A′
i
(
i∈I
Ai)′
=
i∈I
A′
i,
kde komplementy uvažujeme v nějaké množině obsahující všechny množiny
Ai, i ∈ I, neboli obsahující jejich sjednocení.
16
Platí
(1) Komutativita: A ÷ B = B ÷ A
(2) Asociativita: (A ÷ B) ÷ C = A ÷ (B ÷ C)
(3) Distributivita s průnikem: A ∩ (B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C)
(4) A ÷ A = ∅, A ÷ ∅ = ∅ ÷ A = A
DEFINICE 1.27. Nechť {An}∞
n=1 je posloupnost množin. Pak definujeme:
limsup An (limes superior) jako množinu všech prvků,
které leží v nekonečně mnoha množinách An a lim inf An (limes inferior)
jako množinu všech prvků, které leží ve skoro všech množinách
An (tj. ve všech s výjimkou konečného počtu). Zřejmě platí
lim inf An ⊆ lim sup An.
Platí-li lim inf An = lim sup An =: A, pravíme, že posloupnost množin
{An}∞
n=1 je konvergentní a píšeme A = limAn.
VĚTA 1.28.
Platí
liminf An =
∞
k=1
∞
n=k
An
limsup An =
∞
k=1
∞
n=k
An
DŮKAZ. x ∈ lim sup An ⇔ x leží v nekonečně mnoha množinách
An ⇔ x ∈
Ë∞
n=k pro každé k = 1, 2, . . . ⇔ x ∈
Ì∞
k=1
Ë∞
n=k An.
Druhá identita se dokáže analogicky (cvičení).
DŮSLEDEK 1.29. Monotonní posloupnost je konvergentní. Přitom
(1) je-li posloupnost neklesající: A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . . , pak
lim An =
Ë∞
n=1 An =: A a píšeme An ↑ A.
(2) je-li posloupnost nerostoucí: A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ . . . , pak
lim An =
Ì∞
n=1 An =: A a píšeme An ↓ A.
17
DEFINICE 1.30. Množiny A a B se nazývají ekvivalentní, píšeme
A ∼ B, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme také, že A a B mají
stejnou mohutnost a píšeme card A = card B. Symbol a := card A
pak nazýváme mohutností nebo kardinálním číslem množiny A.
Jestliže existuje injekce A do B (neboli A je ekvivalentní s nějakou
podmnožinou B), píšeme card A ≤ card B. Pokud přitom A a B nemají
stejnou mohutnost, tj. card A = card B, píšeme card A < card B.
DEFINICE 1.31. Každá množina ekvivalentní s množinou všech
přirozených čísel N se nazývá spočetná.
DEFINICE 1.32. Nekonečná množina, která není spočetná se nazývá
nespočetná.
VĚTA 1.33 ( viz také dále 1.34 a 1.35).
Interval [0, 1] je nespočetný.
DEFINICE 1.34. Říkáme, že množina M je množina o mohutnosti
kontinua, je-li M ∼ [0, 1].
VĚTA 1.35 ( viz také dále 1.59(2)).
Každý netriviální interval (tj. interval obsahující více jak jeden prvek)
má mohutnost kontinua.
Poznámka 1.36.
(1) Pro množiny, které nejsou nekonečné, udává mohutnost
počet jejich prvků:
card ∅ =: 0
card {a1, a2, . . . , an} =: n
(2) Pro zápis mohutnosti nekonečných množin je používán
symbol ℵ (čteme alef : písmeno A hebrejské abecedy):
A spočetná: card A =: ℵ0
A o mohutnosti kontinua: card A =: ℵ.
(3) Pro zápis mohutnosti disjunktního sjednocení množin je
používán symbol + nebo
È
:
18
card (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =: card A1 + card A1 + · · · + card An.
(4) Pro zápis mohutnosti kartézského součinu množin je používán
symbol · nebo
É
:
card ( X
i∈I
Ai) =:
É
i∈I card Ai, resp. card (AI
) =: (card A)card I
,
Speciálně card (A∅
) =: (card A)0
=: 1, tj. množina všech zobrazení
z prázdné množiny do A se považuje za jednoprvkovou množinu
obsahující tzv. prázdné zobrazení.
card (A1 × A2 × · · · × An) =: card A1 · card A1 · · · card An, resp.
card (An
) =: (card A)n
.
VĚTA 1.37.
Buď I indexová množina a {Ai}i∈I a {Bi}i∈I dva systémy množin
takové, že Ai ∼ Bi pro každé i ∈ I. Pak platí:
(1) X
i∈I
Ai ∼ X
i∈I
Bi
(2) Jsou-li množiny Ai po dvou disjunktní a rovněž množiny Bi
po dvou disjunktní, platí také
Ë
i∈I Ai ∼
Ë
i∈I Bi.
DŮSLEDEK 1.38. A1 ∼ B1, A2 ∼ B2 ⇒ A1 × A2 ∼ B1 × B2.
Jsou-li navíc jak A1, A2 tak B1, B2 disjunktní, platí navíc A1 ∪ A2 ∼
B1 ∪ B2.
VĚTA 1.39.
Buď dán systém množin {Ai}i∈I , kde množiny Ai jsou po dvou disjunktní
a Ai ∼ A pro každé i ∈ I.
Pak
Ë
i∈I Ai ∼ I × A a
È
i∈I(card Ai) = card I · card A.
VĚTA 1.40 ([KaSk:V4.6 s.39],).
Nechť A2 ⊆ A1 ⊆ A a nechť A2 ∼ A. Pak také A1 ∼ A. Neboli
card A2 ≤ card A1 ≤ card A ⇒ card A1 = card A.
DŮSLEDEK 1.41. Nechť A, B jsou dvě množiny, z nichž každá je
ekvivalentní s podmnožinou druhé. Pak A ∼ B. Zejména tedy platí:
(card A ≤ card B) ∧ (card B ≤ card A) ⇔ (card A = card B).
19
tit card A < card B a card B < card A.
Věta 1.42 (Komut. zákon pro kartézský součin ). Nechť je dán systém
množin {Ai}i∈I, ai := card Ai, a I ∼ J, kde f je bijekce J na I.
Pak X
i∈I
Ai ∼ X
j∈J
Af(j) a
É
i∈I ai =
É
j∈J af(j).
DŮSLEDEK 1.43.
(1) Je-li f permutace množiny I, pak platí X
i∈I
Ai ∼ X
i∈I
Af(i) a
É
i∈I ai =
É
i∈I af(i).
(2) A × B ∼ B × A a card A · card B = card B · card A.
Věta 1.44 (Asoc. zákon pro kartézský součin ). Nechť je dán systém
množin {Ai}i∈I , ai := card Ai, a I =
Ë
k∈K Ik, kde množiny Ik
jsou po dvou disjunktní. Pak platí X
i∈I
Ai ∼ X
k∈K
( X
i∈Ik
Ai),
É
i∈I ai =
É
k∈K (
É
i∈Ik
ai).
DŮSLEDEK 1.45.
(1) Platí A × (B × C) ∼ (A × B) × C ∼ A × B × C,
a·(b·c) = (a·b)·c = a·b·c, kde a, b, c značí po řadě mohutnosti
množin A, B, C.
(2) Nechť I =
Ë
k∈K Ik, kde Ik jsou po dvou disjunktní.
Pak platí AI
∼ X
k∈K
AIk a
(card A)
Èk∈K card Ik =
É
k∈K(card A)card Ik . Zejména
AI1∪I2
∼ AI1
× AI2
a
card Acard I1+card I2
= card Acard I1
· card Acard I2
,
jsou-li I1 a I2 disjunktní.
(3) Nechť M je množina, m := card M, a nechť je dán systém
množin {Ai}i∈I , ai := card Ai. Pak platí
( X
i∈I
Ai)M
∼ X
i∈I
AM
i , (
É
i∈I ai)m
=
É
i∈I am
i .
Zejména (A × B)M
∼ AM
× BM
, (a · b)m
= am
· bm
, kde a, b
jsou po řadě mohutnosti množin A, B.
20
platí AM×N
∼ (AM
)N
, am·n
= am
· an
.
Věta 1.46 (Distr. zákony pro kartézský součin ). Nechť I je indexová
množina a Ji jsou indexové množiny pro každé i ∈ I. Nechť ke každé
uspořádané dvojici indexů [i, j] je přiřazena množina Aij . Pak platí:
Xi∈I
j∈Ji
Aij =
γ∈K
Xi∈I
Aiγ(i)
Xi∈I
j∈Ji
Aij =
γ∈K
Xi∈I
Aiγ(i)
kde K := X
i∈I
Ji.
DŮSLEDEK 1.47.
Platí
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
VĚTA 1.48.
Buď M množina a B množina obsahující dva prvky. Označme P(M)
množinu všech podmnožin množiny M (někdy se také značí poněkud
nepřesně jako 2M
). Pak P(M) ∼ BM
a card (P(M)) = 2card M
.
VĚTA 1.49 (Cantorova věta [KaSk:V4.14-15 s.41]).
Pro každé kardinální číslo a platí 2a
> a.
VĚTA 1.50.
Množina A je spočetná tehdy a jen tehdy, když její prvky lze očíslovat
přirozenými čísly, tj. když ji lze psát ve tvaru posloupnosti: A :=
{a1, a2, . . . , an, . . . } = {an}∞
n=1.
PŘÍKLAD 1.51.
Příklady spočetných množin:
• N := {1, 2, 3, . . . , n, . . . } . . . množina přirozených čísel
• {2, 4, 6, . . . , 2n, . . . } . . . množina sudých přirozených čísel
21
• {1, 4, 9, . . . , n2
, . . . } . . . množina kvadrátů přirozených čísel
• {1, 1
2
, 1
3
, . . . , 1
n
, . . . } . . . množina převrácených hodnot přirozených
čísel
VĚTA 1.52 (Vlastnosti spočetných množin).
(1) Každá nekonečná množina obsahuje (vlastní) spočetnou pod-
množinu.
(2) Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny je spočetná.
(3) Rozdíl spočetné množiny a konečné množiny je spočetná množina
(ℵ0 − n = ℵ0 pro každé n ∈ N).
(4) Sjednocení spočetné množiny a konečné množiny je spočetná
množina (ℵ0 + n = ℵ0 pro každé n ∈ N).
(5) Sjednocení konečného počtu spočetných množin je spočetná
množina (n · ℵ0 = ℵ0 pro každé n ∈ N).
(6) Sjednocení spočetné množiny neprázdných po dvou disjunktních
konečných množin je spočetná množina (ℵ0 · n = ℵ0 pro
každé n ∈ N).
(7) Kartézský součin konečného počtu spočetných množin je spočetná
množina (ℵn
0 = ℵ0 pro každé n ∈ N).
Důkaz. .
DŮSLEDEK 1.53.
(1) Sjednocení spočetné množiny spočetných množin je spočetná
množina.
(2) Množina všech celých i racionálních čísel je spočetná.
(3) Množina všech racionálních čísel netriviálního intervalu reálných
čísel je spočetná.
(4) Množina všech bodů v rovině (v prostoru) s racionálními souřadnicemi
je spočetná.
(5) Množina všech komplexních čísel s racionální reálnou i imaginární
částí je spočetná.
22
je spočetná.
(7) Množina všech algebraických čísel je spočetná (algebraickým
číslem rozumíme reálné číslo, které je kořenem nějakého
polynomu s celočíselnými koeficienty).
VĚTA 1.54.
Je-li M nekonečná a A nejvýše spočetná množina (tj. konečná nebo
spočetná), pak M ∪ A ∼ M (neboli M ∪ A má stejnou mohutnost
jako M).
DŮSLEDEK 1.55.
Nechť M je spočetná množina, pak P(M) má mohutnost kontinua a
platí 2ℵ0
= ℵ > ℵ0.
VĚTA 1.56.
Buď M nespočetná množina a A její nejvýše spočetná podmnožina.
Pak M − A ∼ M. Je-li A konečná, platí tvrzení i pro spočetnou
množinu M dle 1.52(3).
DŮSLEDEK 1.57. Množina M je nekonečná právě když obsahuje
vlastní podmnožinu stejné mohutnosti jako M.
VĚTA 1.58 (Vlastnosti množin o mohutnosti kontinua).
(1) Každá množina o mohutnosti kontinua obsahuje vlastní podmnožinu
o mohutnosti kontinua [plyne z 1.57].
(2) Rozdíl množiny o mohutnosti kontinua a nejvýše spočetné
množiny má mohutnost kontinua (ℵ − n = ℵ − ℵ0 = ℵ pro
každé n ∈ N) [plyne z 1.56].
(3) Sjednocení množiny o mohutnosti kontinua a nejvýše spočetné
množiny je množina o mohutnosti kontinua (ℵ + n =
ℵ + ℵ0 = ℵ pro každé n ∈ N) [plyne z 1.54].
(4) Sjednocení nejvýše spočetné množiny po dvou disjunktních
množin o mohutnosti kontinua má mohutnost kontinua
(n · ℵ = ℵ0 · ℵ = ℵ pro každé n ∈ N) .
23
mohutnost kontinua (ℵ = 2ℵ0
> ℵ0) [plyne z 1.55 a z 1.48].
(6) Množina všech posloupností přirozených čísel má mohutnost
kontinua (ℵℵ0
0 = ℵ) .
(7) Kartézský součin nejvýše spočetně mnoha množin o mohutnosti
kontinua má mohutnost kontinua (ℵn
= ℵℵ0
= ℵ pro
každé n ∈ N) .
DŮSLEDEK 1.59.
(1) Sjednocení nejvýše spočetné množiny množin o mohutnosti
kontinua má mohutnost kontinua [plyne z 1.58(4) užitím 1.40].
(2) Každý netriviální interval i jeho nejvýše spočetná mocnina
mají mohutnost kontinua [viz 1.54, 1.56 a 1.58(4)(7)]. Zejména
Rn
pro každé n ∈ N i RN
mají mohutnost kontinua.
(3) Množina všech iracionálních čísel má mohutnost kontinua
[plyne ze (2) a z 1.58(2)] .
(4) Množina všech transcendentních čísel má mohutnost kontinua
(transcendentním číslem nazýváme každé reálné číslo,
které není algebraické) [plyne ze 1.53(7) a z 1.58(2)].
(5) Množina všech bodů v rovině má mohutnost kontinua [plyne
ze (2)]. Zejména C má také mohutnost kontinua.
(6) Buď dán systém množin {Ai}i∈I , kde množiny Ai jsou po
dvou disjunktní a každá z nich má mohutnost kontinua stejně
jako indexová množina I. Pak
Ë
i∈I Ai má rovněž mohutnost
kontinua [plyne z 1.58(7) spolu s 1.39].
(7) Kartézský součin spočetně mnoha nejvýše spočetných množin
o alespoň dvou prvcích má mohutnost kontinua (nℵ0
= ℵℵ0
0 =
ℵ pro každé n ∈ N, n ≥ 2) [plyne z 1.58(5)(6) užitím 1.40].
24
V této kapitole shrneme základní poznatky o číselných oborech, které
se nejčastěji vyskytují v matematice.
MNOŽINA PŘIROZENÝCH ČÍSEL N
N := {1, 2, . . . , n, . . . }.
Operace: sečítání +, násobení . a z něj odvozené umocňování:
nk
:= n × n × · · · × n
ßÞ
k×
, k ∈ N, n0
:= 1.
Význačné prvky: jednotkový prvek 1 (1.n = n.1 = n ∀n ∈ N)
Mohutnost: card N = ℵ0 dle 1.31 a 1.36(2).
MNOŽINA CELÝCH ČÍSEL Z
Příklady: [Ho:neřešené §3; s.45-47]
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, . . . } = {−n | n ∈ N} ∪ {0} ∪ N.
Operace: sečítání +, odečítání −, násobení . a z něj odvozené umocňování:
nk
:= n × n × · · · × n
ßÞ
k×
, k ∈ N, n0
:= 1 pro n = 0.
Význačné prvky:
• jednotkový prvek 1 (1.n = n.1 = n ∀n ∈ Z)
• nulový prvek 0 (0 + n = n + 0 = n ∀n ∈ Z)
Mohutnost: card Z = ℵ0 dle 1.53(2).
MNOŽINA CELÝCH ČÍSEL MODULO N: ZN
ZN := {0, 1, . . . , N − 1} pro každé N ∈ N.
Jelikož každé celé číslo n ∈ Z lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru
n = q.N +r (q je celá část podílu a r ∈ ZN zbytek po dělení), můžeme
zavést surjektivní zobrazení · N : Z ։ ZN přiřazující každému celému
číslu n jeho zbytek po dělení číslem N: tzv. operace modulo.
Pomocí této operace zavedeme tzv. modulární aritmetiku na ZN .
Operace:
• sečítání modulo N: a ⊕ b := a + b mod N := a + b N ,
• odečítání modulo N: a ⊖ b := a − b mod N := a − b N ,
• násobení modulo N: a ⊙ b := a.b mod N := a.b N
25
nk
mod N := nk
N , k ∈ N, n0
mod N := 1 pro n = 0.
Význačné prvky:
• jednotkový prvek 1 při N > 1 (1 ⊙ n = n ⊙ 1 = n ∀n ∈ ZN )
• nulový prvek 0 (0 ⊕ n = n ⊕ 0 = n ∀n ∈ ZN )
Mohutnost: card ZN = N dle 1.36(1).
MNOŽINA RACIONÁLNÍCH ČÍSEL Q
Q := {p
q | p
q je hodnota zlomku s čit. p a jmenov. q, p, q ∈ Z, q = 0}.
Je-li q = 1, pak p
q = p a tedy Z ⊂ Q.
Operace: sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení
. a z něj odvozené umocňování:
rk
:= r × r × · · · × r
ßÞ
k×
, k ∈ N;
pro r = 0 definujeme r0
:= 1 a r−k
:= (1/r)k
.
Význačné prvky:
• jednotkový prvek 1 (1.r = r.1 = r ∀r ∈ Q)
• nulový prvek 0 (0 + r = r + 0 = r ∀r ∈ Q)
Mohutnost: card Q = ℵ0 dle 1.53(2).
MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL R
R := {r | r = dk dk−1 . . . d0, d−1 d−2 . . . je desetinné vyjádření čísla r}.
Tedy r =
Èk
j=−∞ dj10j
, k ∈ Z, k ≥ 0, kde dj ∈ Z10, jsou dekadické
cifry vyjádření čísla r v soustavě o základu 10, tj. pro k ∈ N je dk−1
k-tá cifra před desetinnou čárkou a d−k k-tá cifra za desetinnou čár-
kou.
Každé reálné číslo lze vyjádřit v libovolné soustavě o základu N ∈ N,
N ≥ 2, kdy r =
Èk
j=−∞ djNj
, k ∈ Z, k ≥ 0, kde dj ∈ ZN .
V paměti počítačů se užívají soustavy o základu N = 2 (dvojková,
binární, dyadická), kde cifry dj ∈ {0, 1}; N = 8 (osmičková, oktalová)
nebo N = 16 (šestnáctková, hexadecimální), kde cifry
dj ≥ 10 obvykle nahrazujeme písmeny: 10 =: A, 11 =: B, 12 =:
C, 13 =: D, 14 =: E, 15 =: F.
26
reálné číslo je ’limitou’ nějaké posloupnosti racionálních čísel. Například
stačí vzít useknuté desetinné rozvoje
Èk
j=−m dj10j
= dk dk−1 . . . d0, d−1 d−2 . . . d−m postupně s m = 1, 2, . . .
místy za desetinnou čárkou, které představují racionální čísla blížící
se pro m → ∞ k číslu r.
Operace: sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení
. a z něj odvozené umocňování
rk
:= r × r × · · · × r
ßÞ
k×
, kde r ∈ R a k ∈ N;
pro r = 0 definujeme r0
:= 1 a r−k
:= (1/r)k
.
Pokud r > 0, lze umocňování dále rozšířit na rs
i pro reálný exponent
s ∈ R, přičemž platí r−s
:= (1/r)s
.
Význačné prvky:
• jednotkový prvek 1 (1.r = r.1 = r ∀r ∈ R)
• nulový prvek 0 (0 + r = r + 0 = r ∀r ∈ R)
Mohutnost: card R = ℵ dle 1.59(2).
MNOŽINA IRACIONÁLNÍCH ČÍSEL I
I := R − Q.
Mohutnost: card I = ℵ dle 1.59(3).
MNOŽINA ALGEBRAICKÝCH ČÍSEL A
Dle 1.53(7) algebraickým číslem rozumíme každé reálné číslo a ∈ R,
které je kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty, tj.
platí P(a) = 0, pro nějaký polynom P(x) = p0 + p1x + · · · + pnxn
stupně n ∈ N, kde pi ∈ Z ∀ i ∈ Z, pn = 0.
Je Q ⊂ A, neboť každé racionální číslo p
q
, q = 0, je řešením lineární
rovnice q.x − p = 0. Existují však další algebraická čísla: například
n
√
m pro libovolné m, n ∈ N, n > 1, je řešením rovnice xn
− m = 0.
Zejména
√
2 je algebraické číslo, které není racionální.
Mohutnost: card A = ℵ0 dle 1.53(7).
27
Dle 1.59(4) definujeme T := R − A ⊂ R − Q = I.
Nejznámějšími příklady transcendentních čísel jsou čísla
e := 2.718281828459 . . . základ tzv. přirozeného logaritmu ln a
π := 3.1415926535897 . . . Ludolfovo číslo=délka kružnice o průměru
1.
Mohutnost: card T = ℵ dle 1.59(4).
MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C
Motivací pro zavedení komplexních čísel je skutečnost, že některé polynomické
rovnice P(x) = 0 s reálnými koeficienty nemají reálný kořen.
Například x2
+ 1 > 0 pro každé x ∈ R. Jestliže označíme speciálním
symbolem i :=
√
−1 nazývaným imaginární jednotka, pak
i2
= −1 můžeme považovat za řešení odpovídající rovnice x2
+ 1 = 0
(někdy místo i se používá symbol j). Zavedeme-li množinu tzv. komplexních
čísel jako množinu formálních součtů reálných čísel s reálnými
násobky imaginární jednotky, tj.
C := {a + i.b| a ∈ R, b ∈ R},
pak se dá ukázat, že uvedený problém bude odstraněn: každý polynom
stupně n s komplexními koeficienty bude mít právě n kořenů. To
odpovídá zkušenosti z reálného oboru s rovnicí x2
− 1, která má dva
kořeny −1 a 1. V rozšířeném oboru komplexních čísel C pak podobně
rovnice x2
+ 1 má dva kořeny −i a i.
Značení: Je-li c = a + i.b komplexní číslo, pak značí
Re c := a . . . reálnou část c
Im c := b . . . imaginární část c
|c| :=
√
a2 + b2 . . . velikost (absolutní hodnotu, modul) c
α := arctan( b
a ), 0 ≤ α < 2π . . . argument c
c := a − i.b . . . číslo komplexně sdružené k c (zřejmě c.c = |c|2
).
Zřejmě C ∼ {[a, b] | a ∈ R, b ∈ R} = R2
, takže každé komplexní číslo
a + i.b můžeme znázornit jako bod v kartézské rovině o souřadnicích
a, b. Tato rovina se pak nazývá komplexní rovina.
28
• kartézský: c = a + i.b
• goniometrický: c = A(cos α + i sin α), který odpovídá přechodu
k polárním souřadnicím: a = A cos α, b = A sin α.
• Eulerův: c := Aeiα
, kde eiα
:= cos α + i sin α je komplexní číslo na
jednotkové kružnici v komplexní rovině.
R = {c ∈ C | Im c = 0} ⊂ C, přičemž operace z R rozšíříme formálně
na C za užití vlastnosti i2
= −1 při operacích násobení a dělení.
Operace sečítání (odečítání) se provádí po složkách jako s vektory
v rovině. Tyto výpočty pak formálně usnadňuje Eulerův zápis.
Odtud dostáváme s uvážením 1
i = i
i.i = −i:
i0
= 1, i1
= i, i2
= −1, i3
= −i, i4
= 1, obecně: i4n+k
= ik
∀n, k ∈ Z.
Operace (podrobněji viz přílohu A):
sečítání +, odečítání −, dělení nenulovým číslem /, násobení . a z něj
odvozené umocňování (resp. odmocňování)
ck
:= c × c × · · · × c
ßÞ
k×
, kde c ∈ C a k ∈ N;
pro c = 0 lze umocňování dále rozšířit na cs
i pro komplexní exponent
s ∈ C, přičemž platí c−s
:= (1/c)s
.
Význačné prvky:
• jednotkový prvek 1 := 1 + i.0 (1.c = c.1 = c ∀c ∈ C)
• nulový prvek 0 := 0 + i.0 (0 + c = c + 0 = c ∀r ∈ R).
Mohutnost: card C = ℵ dle 1.59(5).
29
množina, prázdná množina set, empty set
(vlastní) podmnožina, nadmnožina (proper) subset, superset
zobrazení, prosté, inverzní mapping, injective, inverse
surjektivní (na), bijektivní surjective (onto), bijective
permutace permutation
obraz, úplný vzor image, preimage (inverse image)
posloupnost sequence
sjednocení, průnik union, intersection
(kartézský) součin, mocnina (cartesian) product, power
disjunktní, po dvou disjunktní disjoint, pairwise disjoint
rozdíl, symetrická diference difference, symmetric difference
monotonní, konvergentní monotone, convergent
mohutnost, kardinální číslo cardinality, cardinal number
spočetný, nespočetný countable, uncountable
mohutnost kontinua continuum power
konečný, nekonečný finite, infinite
množina všech podmnožin power set
číslo, reálné, komplexní mumber, real, complex
celé, racionální, iracionální integer, rational, irrational
algebraické, transcendentní algebraic, transcendental
komplexně sdružené číslo complex conjugate number
30
logical . . . transformace čísla na logický typ:
a = 0 ⇒ logical(a)=true (platí), logical(0)=false (neplatí)
mod . . . operace modulo: mod(n,N) = n N .
i,j . . . imaginární jednotka.
Logické operátory: ∼A (negace A), A & B (konjunkce), A | B (disjunkce),
xor(A,B).. . buď a nebo. Ostatní logické operátory se z nich
složí pomocí ekvivalentních logických formulí (viz 1.1).
Zápisy množin:
například {a1,a2,a3} nebo [a1,a2,a3] . . . řádková verze. Jako oddělovač
lze užít i středník (sloupcová verze).
Množinové operace:
ismember(A,B) . . . testuje příslušnost prvků z A v B
unique(A) . . . odstraní z A duplicitní prvky
union(A,B) . . . sjednocení množin A a B
intersect(A,B) . . . průnik množin A a B
setdiff(A,B) . . . rozdíl množin A a B
setxor(A,B) . . . symetrická diference množin A a B
Ostatní operace lze vytvořit (simulovat) pomocí vhodných složených
výrazů.
31
Teorie a příklady: [KaSk: s.26-36,44-53]
Příklady: [Ho:řešené č.5,6,11-15; s.8,9,13-16],
[Ho:neřešené kap.1,§4-7,kap.2 s.47-80]
MOTIVACE
V reálném světě se objekty zařazované do množin často vyznačují
specifickými vlastnostmi: můžeme je dávat do nejrůznějších souvislostí
(relací) – např. je porovnávat, vybírat mezi nimi jisté význačné
prvky se specifickou rolí, provádět různé operace, měřit velikost či
vzdálenost, nebo u některých podmnožin jejich délku, plochu, objem,
hmotnost apod.
Nejnázornějším motivačním příkladem může sloužit v tomto směru
množina reálných čísel R. Její prvky lze porovnávat (relace uspořádání),
sečítat či násobit, roli význačných prvků hraje 0 a 1, velikost a
vzdálenost měříme absolutní hodnotou, intervaly jsou specifické podmnožiny,
jimž lze přiřadit délku apod.
Algebraické struktury představují abstraktní konstrukci umožňující
přenášet vybrané strukturní vlastnosti reálné přímky i na množiny
sice s jinými prvky ale podobného charakteru. Nepřeneseme-li vlastnosti
všechny, ale jen některé, část strukturních rysů reálné přímky
ztratíme, některé však zůstanou zachovány. Cílem této (ale i následující)
kapitoly je podat přehled nejčastěji používaných matematických
struktur a jejich základních vlastností.
DEFINICE 2.1. V širším smyslu (algebraickou) strukturou rozumíme
uspořádanou dvojici (N, S), kde N = ∅ je samotná množina,
tzv. nosič algebraické struktury, a S systém množin popisující
její strukturu (množina relací, operací, význačných prvků, specifických
podmnožin apod.). Jestliže například S = {+, ◦, 1}, píšeme také
(N, +, ◦, 1) místo (N,{+, ◦, 1}).
32
tury téhož typu1
a f : N1 → N2 zobrazení přenášející konzistentně1
strukturu S1 do S2, pak říkáme, že zobrazení f zachovává strukturu
na (N1, S1) a f nazýváme homomorfizmem (N1, S1) do (N2, S2);
píšeme f : (N1, S1) → (N2, S2). Homomorfizmus (N, S) do (N, S) se
nazývá endomorfizmus struktury (N,S). Bijektivní homomorfizmus
se nazývá izomorfizmus, jestliže f−1
: (N2, S2) → (N1, S1)
je rovněž homomorfizmem. V takovém případě píšeme (N1, S1) ≃
(N2, S2).
2.1. RELACE A OPERACE.
DEFINICE 2.3. Buďte M1, M2, . . . , Mn, n ∈ N, neprázdné množiny,
pak každou podmnožinu ρ ⊆ M1 × M2 × · · · × Mn nazýváme
n-ární relací mezi množinami M1, M2, . . . , Mn (pro n = 1 unární,
pro n = 2 binární, pro n = 3 ternární atd.).
Je-li M1 = M2 = . . . Mn =: M, pak ρ ⊆ Mn
nazýváme n-ární relací
na množině M. Řekneme pak, že (M, ρ) je množina s relací. V
případě binární relace se obvykle místo [x,y] ∈ ρ píše x ρ y a říká se,
že prvek x je v relaci ρ s prvkem y. Podobně píšeme x ρ y nebo
x nonρ y, jestliže tomu tak není.
DEFINICE 2.4. Buďte M a M1, M2, . . . , Mn, n ∈ {0} ∪ N, neprázdné
množiny, pak zobrazení f : M1 × M2 × · · · × Mn → M
nazýváme funkcí n proměnných na M1 × M2 × · · · × Mn.
Je-li M1 = M2 = . . . Mn =: M, pak f : Mn
→ M nazýváme n-ární
operací na množině M (pro n = 0 nulární, pro n = 1 unární, pro
n = 2 binární, pro n = 3 ternární atd.). Řekneme pak, že (M, f)
je množina s operací. Píšeme obvykle místo f([x1, . . . , xn]) zjednodušeně
f(x1, . . . , xn). V případě binární operace se obvykle místo
y = f(x1, x2) píše y = x f y, pokud f reprezentuje vhodný operátor
(např. + pro operaci sečítání).
1Přesný význam určuje každá konkrétní struktura — viz dále
33
kou funkcí (viz 1.5) a v souladu s 2.4 píšeme
ρ(x1, x2, . . . , xn) = 1, resp. ρ(x1, x2, . . . , xn) = 0,
jestliže prvky xi ∈ Mi (i = 1, 2, . . . , n) jsou, resp. nejsou v relaci ρ.
Každá unární relace na M koresponduje s nějakou podmnožinou v M.
Relační struktury představují základní aparát konstrukce tzv. relačních
databázových systémů, kde jsou dle potřeby do vzájemného
vztahu dávány informace uložené v databázi.
Poznámka 2.6.
(1) Pro danou funkci n proměnných můžeme zavést (n + 1)-ární
relaci ρf ⊆ M1 × · · · × Mn × M takto: ρf (x1, . . . , xn, y) = 1
právě když y = f(x1, . . . , xn). Zřejmě ρf pak můžeme považovat
za graf funkce f. Obvykle však neděláme rozdíl mezi
funkcí a jejím grafem.
Z definice zobrazení naopak plyne, že daná (n+1)-ární relace
ρ ⊆ M1 × · · · × Mn × M může být grafem nejaké funkce n
proměnných M1 × M2 × · · · × Mn do M právě když má tuto
vlastnost:
pro každou uspořádanou n-tici x1 ∈ M1, . . . , xn ∈ Mn existuje
jediné y ∈ M : ρ(x1, . . . , xn, y) = 1. Funkční hodnotou
je pak právě tento prvek y.
(2) Zvláštní roli hraje nulární operace na M. Podle 1.36(4) ji
totiž můžeme považovat za zobrazení M∅
→ M, tj. za zobrazení,
které prázdnému zobrazení přiřazuje nějaký význačný
prvek z M. Opět nerozlišujeme mezi význačným prvkem a
nulární operací, která jej vybrala: strukturu s jedním význačným
prvkem pak zapisujeme například takto: (R, 1).
Pokud nebude řečeno jinak, budeme nadále ve zbytku této kapitoly
uvažovat algebraické struktury (M, S), kde S obsahuje pouze relace
a operace.
34
a) reflexivní, když a ρ a pro každé a ∈ M;
b) areflexivní, když a ρ a pro každé a ∈ M;
c) symetrická, když a ρ b ⇒ b ρ a pro libovolné a, b ∈ M;
d) asymetrická, když a ρ b ⇒ b ρ a pro libovolné a, b ∈ M;
e) antisymetrická, když
a ρ b, b ρ a ⇒ a = b pro libovolné a, b ∈ M;
f) tranzitivní, když a ρ b, b ρ c ⇒ a ρ c pro libovolné a, b, c ∈ M;
g) atranzitivní a ρ b, b ρ c ⇒ a ρ c pro libovolné a, b, c ∈ M;
h) antitranzitivní, když
a ρ b, b ρ c,a ρ c ⇒ (a = b) ∨ (b = c) ∨ (a = c)
pro libovolné a, b, c ∈ M;
i) úplná, když pro každé a, b ∈ M platí a ρ b nebo b ρ a.
DEFINICE 2.8. Binární operace ◦ na M se nazývá:
a) asociativní, když
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c pro libovolné a, b, c ∈ M;
b) komutativní, když a ◦ b = b ◦ a pro libovolné a, b ∈ M;
Význačný prvek e ∈ M se nazývá neutrálním prvkem binární
operace ◦, jestliže a ◦ e = e ◦ a = a pro každé a ∈ M;
Definice 2.9.
Řekneme, že dvě algebraické struktury (M1, S1) a (M2, S2) jsou téhož
typu, jestliže existuje bijekce S1 na S2 přiřazující každé relaci
(operaci) z S1 odpovídající relaci (operaci) v S2 téže arity.
Definice 2.10. Pro dvě algebraické struktury (M1, S1) a (M2, S2)
téhož typu považujeme ve smyslu definice 2.2 za homomorfizmus
(M1, S1) do (M2, S2) každé zobrazení f : M1 → M2 s těmito vlast-
nostmi:
(1) pro každou relaci ρ1 ∈ S1 a odpovídající relaci ρ2 ∈ S2 téže
arity n platí: ρ1(x1, . . . , xn) = 1 ⇒ ρ2(f(x1), . . . , f(xn)) = 1;
(2) pro každou operaci ω1 ∈ S1 a odpovídající operaci ω2 ∈ S2
téže arity n platí: f(ω1(x1, . . . , xn)) = ω2(f(x1), . . . , f(xn)).
35
význačný prvek v (M2, S2). Zřejmě složení dvou homomorfizmů je
opět homomorfizmus (viz též dále konec poznámky 2.61).
Definice 2.11 (Přímý součin algebraických struktur).
Nechť {(Mi, Si)}i∈I je systém algebraických struktur téhož typu:
Si = {ρij}j∈J , kde ρij je pro každé i ∈ I buď operace nebo relace
téže arity nj . Algebraickou strukturu (M, S) nazveme přímým
součinem algebraických struktur (Mi, Si), jestliže M = X
i∈I
Mi, kde
S := {ρj}j∈J obsahuje relace (operace) definované po složkách: nechť
ϕ, ϕk ∈ M pro k = 1, . . . , nj a j ∈ J, pak
(1) jsou-li ρij relace pro každé i ∈ I, definujeme j-tou relaci
takto:
ρj(ϕ1, . . . , ϕnj ) = 1 právě když ρij(ϕ1(i), . . . , ϕnj (i)) = 1 pro
všechna i ∈ I;
(2) jsou-li ρij operace pro každé i ∈ I, definujeme j-tou operaci
takto:
ρj(ϕ1, . . . , ϕnj )(i) := ρij(ϕ1(i), . . . , ϕnj (i)) pro každé i ∈ I.
Značíme také S =: X
i∈I
Si, případně (M, S) =: X
i∈I
(Mi, Si).
Je-li I konečná, například I = {1, 2, . . . , q}, pak také explicitně:
S =: S1 ×S2 ×· · ·×Sq a (M, S) =: (M1, S1)×(M2, S2)×· · ·×(Mq, Sq).
Definice 2.12 (Algebraické podstruktury).
Nechť (M, S) a (M′
, S′
) jsou algebraické struktury téhož typu: S =
{ρj}j∈J a S′
= {ρ′
j}j∈J , kde ρj a ρ′
j jsou pro každé j ∈ J buď
operacemi nebo relacemi téže arity nj. Řekneme, že (M′
, S′
) je algebraickou
podstrukturou algebraické struktury (M, S), jestliže
M′
⊆ M a pro každé j ∈ J a x1, . . . , xnj ∈ M′
platí:
(1) jsou-li ρj a ρ′
j relace, pak
ρ′
j(x1, . . . , xnj ) = 1 právě když ρj(x1, . . . , xnj ) = 1, neboli
ρ′
j = M′nj
∩ ρj;
(2) jsou-li ρj a ρ′
j operace, pak
x := ρj(x1, . . . , xnj ) ∈ M′
a ρ′
j(x1, . . . , xnj ) = x.
36
struktuře S a píšeme (M′
, S′
) ⊆ (M, S) nebo jen M′
⊆ M. Zejména
M′
musí obsahovat všechny význačné prvky z M.
Definice 2.13 (Generátory).
Nechť (M, S) je algebraická struktura a G ⊆ M nějaká její podmnožina.
Jestliže existuje nejmenší2
podmnožina M∗
⊆ M obsahující G
(tj. G ⊆ M∗
) taková, že (M∗
, S) je podstrukturou v (M, S), pak G
nazýváme množinou generátorů struktury (M∗
, S) nebo také říkáme,
že struktura (M∗
, S) je generována svou podmnožinou
G a píšeme M∗
= S(G) (zde S vystupuje spíše v roli symbolu pro
struktury téhož typu).
Příklad 2.14. (N, +) je algebraická podstruktura v (Z, +) generovaná
jednoprvkovou podmnožinou G = {1} ⊆ Z.
Poznámka 2.15. Binární relace či operace na konečných množinách
nevelkého rozsahu lze zadat tabulkou (viz [KaSk:obr.8,15 s.26,45]).
Binární relace je také možno znázornit graficky ([KaSk:obr.9 s.27]).
V dalších odstavcích této kapitoly se již zaměříme na speciální případy
jednoduchých struktur, které spolu s příklady budou dobře ilustrovat
obecnou koncepci, kterou jsme zavedli v tomto odstavci.
2.2. USPOŘÁDANÉ MNOŽINY.
DEFINICE 2.16. Binární relace ρ na M se nazývá (částečné)
uspořádání, je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Nazývá se
úplné uspořádání nebo také lineární uspořádání, je-li navíc úplná.
Algebraická struktura (M, ρ) se pak nazývá (částečně, příp. lineárně)
uspořádaná množina. Relace uspořádání se obvykle značí
symbolem ≤ nebo a pod. Píšeme pak (M, ≤) nebo (M, ) a pod.
2(M′
, S) ⊆ (M, S), G ⊆ M′
⇒ (M∗
, S) ⊆ (M′
, S) . . . viz dále 2.20
37
Lineárně uspořádané množiny:
(N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤) a (R, ≤) s obvyklým uspořádáním.
Částečně uspořádané množiny, které nejsou lineárně uspořádány:
(N, |), kde n|m značí, že n je dělitelem m; (P(M), ⊆);
Poznámka 2.18. Uspořádané množiny lze graficky znázornit pomocí
tzv. Hasseova diagramu (viz [KaSk:obr.11,12 s.28-29]).
VĚTA 2.19 (Důkaz D.1).
Nechť ≤ je uspořádání na M. Definujme na M relaci < takto:
a < b ⇔ (a ≤ b) ∧ (a = b). Pak < je relace areflexivní a tranzitivní.
Naopak, je-li < areflexivní a tranzitivní relace na M a definujeme-li
a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b), pak ≤ je uspořádání na M.
DEFINICE 2.20.
Buď (M, ≤) uspořádaná množina. Prvek a ∈ M se nazývá nejmenší,
resp. největší prvek v M, platí-li x ≥ a, resp. x ≤ a pro každé
x ∈ M.
Prvek a ∈ M se nazývá minimální, resp. maximální prvek v M,
jestliže pro žádné x ∈ M neplatí x < a, resp. x > a.
VĚTA 2.21 (Důkaz D.2). [KaSk:V3.1 s.28]
(1) Libovolná uspořádaná množina má nejvýše jeden nejmenší a
nejvýše jeden největší prvek.
(2) Má-li uspořádaná množina nejmenší, resp. největší prvek, pak
tento prvek je zároveň jejím jediným minimálním, resp. maximálním
prvkem.
(3) V úplně uspořádané množině existuje nejvýše jeden minimální,
resp. maximální prvek, který je zároveň jejím nejmenším,
resp. největším prvkem.
(4) Každá neprázdná konečná uspořádaná množina má alespoň
jeden minimální a alespoň jeden maximální prvek.
38
Nechť (M, ≤) je uspořádaná množina. Pro prvky a, b ∈ M řekneme,
že b pokrývá a, jestliže a < b a neexistuje c ∈ M tak, že a < c < b.
Věta 2.23 (Důkaz D.3).
Nechť (M, ≤) je konečná uspořádaná množina. Pak platí a < b ⇔
existuje konečný počet prvků a = t0 < t1 < · · · < tn = b tak, že ti
pokrývá ti−1 pro každé i = 1, . . . , n.
DEFINICE 2.24. Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N ⊆ M. Prvek
a ∈ M se nazývá dolní, resp. horní závora (hranice) podmnožiny
N (v M), platí-li x ≥ a, resp. x ≤ a pro každé x ∈ N.
DEFINICE 2.25. Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N ⊆ M.
Prvek a ∈ M se nazývá největší dolní závora, resp. nejmenší
horní závora neboli infimum, resp. supremum množiny N (v M),
platí-li:
(1) a je dolní, resp. horní závora N,
(2) pro každou dolní, resp. horní závoru t množiny N platí t ≤ a,
resp. t ≥ a.
Pak píšeme a = inf N, resp. a = sup M. Má-li N nejmenší, resp. největší
prvek, pak tento prvek je zřejmě jejím infimem, resp. supremem.
DEFINICE 2.26 (srov. s 1.27 a s 1.28).
Buď (M, ≤) uspořádaná množina a N := {an}∞
n=1 posloupnost jejích
prvků. Pokud existuje b−
k := inf{an}∞
n=k pro každé k ∈ N i
a−
:= supk∈N b−
k , pak a−
nazýváme limes inferior posloupnosti {an}
a píšeme a−
= lim inf an.
Analogicky duálně: pokud existuje b+
k := sup{an}∞
n=k pro každé k ∈ N
i a+
:= infk∈N b+
k , pak a+
nazýváme limes superior posloupnosti
{an} a píšeme a+
= lim sup an. Pokud existuje a−
i a+
, pak platí
lim inf an ≤ lim sup an (CVIČENÍ: návod D.4). Platí-li rovnost, pak
jejich společnou hodnotu a := a−
= a+
nazýváme limitou posloupnosti
{an}n∈N a píšeme a = lim an. Říkáme také, že posloupnost
{an}∞
n=1 konverguje k a.
39
(1) Je-li posloupnost neklesající, a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . , a existuje
a := sup an, pak lim an = a a píšeme také an ↑ a.
(2) je-li posloupnost nerostoucí, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . , a existuje
a := inf an, pak lim an = a a píšeme také an ↓ a.
DEFINICE 2.28 (viz 2.2 a 2.10(1)).
Buďte (M, ≤) a (N, ) uspořádané množiny. Zobrazení f : M → N se
nazývá homomorfizmus nebo také monotonní zobrazení, jestliže
pro libovolné prvky x, y ∈ M, x ≤ y, platí f(x) f(y). V souladu s
2.2 píšeme f : (M, ≤) → (N, ). Zobrazení f se nazývá izomorfismus,
jestliže navíc rovněž f−1
: N → M je homomorfizmem, neboli
pro libovolné prvky x,y ∈ M platí x ≤ y ⇔ f(x) f(y).
Věta 2.29 (Důkaz D.6).
Buďte (M, ≤) a (N, ) uspořádané množiny a f : (M, ≤) → (N, )
izomorfizmus. Nechť P ⊆ M je nějaká podmnožina. Pak inf P, resp.
sup P existuje v M právě když existuje inf f(P), resp. sup f(P) v
N. V takovém případě platí f(inf P) = inf f(P), resp. f(sup P) =
sup f(P).
Důsledek 2.30. Nechť v předchozí větě P = {an}∞
n=1 je posloupnost.
Pak lim inf an, resp. lim sup an existuje v M právě když existuje
lim inf f(an), resp. lim sup f(an) v N. V takovém případě platí
f(lim inf an) = lim inf f(an), resp. f(lim sup an) = limsup f(an).
DEFINICE 2.31 (Přímý součin uspořádaných množin – viz 2.11(1)).
Nechť (M, ≤) a (N,≤) jsou dvě uspořádané množiny a (M × N, ≤)
jejich přímý součin. Buďte [m1, n1],[m2, n2] ∈ M × N dva prvky, pak
[m1, n1] ≤ [m2, n2] ⇔ (m1 ≤ m2) ∧ (n1 ≤ n2). Analogicky (po
složkách) uspořádáme prvky přímého součinu konečně mnoha uspořádaných
množin či libovolného systému takových množin.
40
DEFINICE 2.32.
Binární relace ρ na množině M se nazývá ekvivalencí na této množině,
jestliže je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obvykle se značí
symboly ∼, ≡ nebo ≃ a pod. Píšeme pak (M, ∼),(M,≡) nebo (M, ≃) a
pod. Množinu všech ekvivalencí na M budeme dále značit E(M). Tato
množina je uspořádána inkluzí ⊆ neboli pro ekvivalence ρ, σ ∈ E(M)
je ρ ⊆ σ ⇔ [xρy ⇒ xσy].
DEFINICE 2.33.
Buď M neprázdná množina. Rozkladem M na množině M rozumíme
neprázdný systém po dvou disjunktních neprázdných podmnožin
M := {Mi}i∈I množiny M, jejichž sjednocením je celá množina
M. Prvky M se nazývají třídy tohoto rozkladu. Vybereme-li z
každé třídy Mi nějaký prvek mi, pak mi se nazývá reprezentantem
třídy Mi a množina všech reprezentantů {mi | i ∈ I} se nazývá
systém reprezentantů rozkladu M. Přiřadíme-li každému prvku
m ∈ M (jednoznačně určenou) třídu rozkladu m, do níž m patří,
pak toto zobrazení (pruh nahoře) je surjekcí M na M a nazývá se
kanonickým zobrazením rozkladu M. Jeho restrikce na systém
reprezenantů je pak bijekce na M.
VĚTA 2.34 (Důkaz D.7). [KaSk:V3.2 s.31]
Buď M rozklad na množině M. Definujme relaci ρ na M takto: xρy ⇔
existuje třída m ∈ M tak, že x ∈ m, y ∈ m.
Pak ρ je ekvivalence na M.
VĚTA 2.35 (Důkaz D.8). [KaSk:V3.3 s.31]
Buď ρ ekvivalence na množině M. Pak existuje jediný rozklad Mna
M takový, že pro x,y ∈ M platí xρy ⇔ existuje třída m ∈ M tak,
že x ∈ m, y ∈ m.
DEFINICE 2.36. Rozklad M příslušný k ekvivalenci ρ na M popsaný
v předchozí větě značíme M =: M/ρ. Označme R(M) množinu
všech rozkladů na množině M.
41
než M, neboli M je hrubší než M, když ke každé třídě m ∈ M
existuje třída m ∈ M tak, že m ⊆ m. Píšeme M ≤ M. Snadno
nahlédneme, že ≤ je uspořádání na R(M).
Věta 2.38 (Důkaz D.9).
Buď M neprázdná množina a pro libovolné Θ ∈ E(M) položme
f(Θ) := M/Θ. Pak f je izomorfismus (E(M), ⊆) na (R(M), ≤).
VĚTA 2.39 (Důkaz D.10).
Nechť M, N jsou neprázdné množiny a f : M → N zobrazení. Definujme
na M relaci
f
∼ takto: x
f
∼ y ⇔ f(x) = f(y). Pak
f
∼ je ekvivalence
na M a třídy rozkladu M/
f
∼ jsou právě úplné vzory všech prvků
z f(M), tj. M/
f
∼ = {f−1
({n}) | n ∈ f(M)}. Zejména dostáváme bijekci
(jednojednoznačnou korespondenci) mezi třídami rozkladu, jejich
reprezentanty a obrazem f(M) množiny M v N.
DEFINICE 2.40. Rozklad M/
f
∼ z předchozí věty se nazývá kanonický
rozklad příslušný k zobrazení f.
Důsledek 2.41 (Důkaz D.11).
Nechť M, N,P jsou neprázdné množiny a f : M → N a g : N → P
dvě zobrazení. Označíme-li gf : M → P složené zobrazení, pak
f
∼⊆
gf
∼
a tedy kanonický rozklad příslušný k f je vždy jemnější než kanonický
rozklad příslušný ke složenému zobrazení gf.
DEFINICE 2.42. Buď dána algebraická struktura (M, S) a nějaká
ekvivalence ∼ na M. Řekneme, že ∼ je kongruencí na struktuře
(M, S), jestliže pro každou n-ární operaci ω na M, ω ∈ S, platí:
(1) a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn ⇒ ω(a1, . . . , an) ∼ ω(b1, . . . , bn).
Na M := M/∼ lze pak zavést strukturu S stejného typu jako S takto:
(i) pro každou relaci ρ ∈ S n-ární definujeme ρ ∈ S téže arity:
ρ(a1, . . . , an) := 1 právě když pro nějaký výběr reprezentantů
a1, . . . , an je ρ(a1, . . . , an) = 1;
42
takto:
a) n = 0: význačným prvkem ω je třída obsahující význačný
prvek ω,
b) n > 0: ω(a1, . . . , an) := ω(a1, . . . , an) pro nějaký výběr
reprezentantů a1, . . . , an (dle (1) na výběru nezáleží).
Strukturu (M, S) pak značíme (M, S)/∼ a nazýváme ji faktorovou
(podílovou) strukturou struktury (M, S) vzhledem ke kongruenci
∼.
VĚTA 2.43 (Důkaz D.12). Buď dána algebraická struktura (M, S)
a nějaká kongruence ∼ na M. Pak příslušné kanonické zobrazení je
homomorfizmus (M, S) na (M, S).
Je-li naopak f : (M, S) → (N, S′
) nějaký homomorfizmus, pak
f
∼
v příslušném kanonickém rozkladu M := M/
f
∼ je kongruence na
(M, S). Přitom (f(M), S′
) je podstruktura v (N, S′
) izomorfní s (M, S).
2.4. STRUKTURY S JEDNOU BINÁRNÍ OPERACÍ.
DEFINICE 2.44. Algebraická struktura (M, ◦) s jednou binární
operací ◦ se nazývá grupoid. Grupoid (M, ◦), v němž platí asociativní
zákon se nazývá pologrupa. Každá pologrupa, v níž existuje
neutrální prvek e se nazývá monoid — píšeme (M, ◦, e). Je-li
operace ◦ multiplikativního typu (například ·, ∗), pak hovoříme o
multiplikativním grupoidu (pologrupě, monoidu). Je-li aditivního
typu (například +, −), hovoříme o aditivním grupoidu (pologrupě,
monoidu). Neutrální prvek e multiplikativního, resp. aditivního
grupoidu se obvykle nazývá jeho jednotkovým, resp. nulovým
prvkem a místo e se značí 1, resp. 0. Grupoid (pologrupa,
monoid) se nazývá komutativní, jestliže operace ◦ je komutativní.
PŘÍKLAD 2.45.
Nechť S je množina nějakých symbolů, například 26 malých písmen
43
Označme S∗
množinu všech konečných řetězců (posloupností) znaků
z S včetně prázdného řetězce, tj. S∗
= {′
s1s2 . . . sn
′
| si ∈ S pro i =
1, . . . , n; n ∈ N} ∪ {′′
}. Nechť (S∗
, ◦, ′′
) je algebraická struktura, kde
◦ je operace skládání řetězců (konkatenace), tj. například definujeme
’auto ’◦’jede’:=’auto jede’. Pak (S∗
, ◦, ′′
) je zřejmě nekomutativní
monoid, jehož neutrálním prvkem je prázdný řetězec ′′
.
VĚTA 2.46 (Obecný asoc. zákon ,[KaSk:V5.1 s.46]).
Nechť (M, ◦) je pologrupa a a1, a2, . . . , an ∈ M. Potom všechny možné
součiny vytvořené všemi možnými uzávorkováními posloupnosti {ai}n
i=1
jsou rovny jednomu a témuž prvku.
VĚTA 2.47.
Každý grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.
DEFINICE 2.48. Nechť (M, ◦) je grupoid s neutrálním prvkem e.
Nechť dále a ∈ M a nechť pro jisté b ∈ M platí a ◦ b = b ◦ a = e.
Potom b se nazývá inverzní prvek k a a značí se a−1
. V aditivním
grupoidu se obvykle nazývá prvkem opačným k a a značí se −a.
DEFINICE 2.49. Nechť grupoid (M, ◦) má tyto vlastnosti:
(1) Operace ◦ je asociativní (neboli (M, ◦) je pologrupa).
(2) Existuje jednotkový prvek e (neboli (M, ◦) je dokonce mo-
noid).
(3) Ke každému prvku a ∈ M existuje inverzní prvek a−1
.
Potom algebraická struktura (M, ◦, e)3
se nazývá grupa: multiplikativní,
resp. aditivní dle typu operace. Je-li operace ◦ navíc komutativní,
pak grupa (M, ◦, e) se nazývá komutativní grupa nebo také
abelovská grupa.
3Přesněji bychom měli psát (M, ◦, −1
, e), neboť grupa je strukturou s jednou
binární operací ◦, jednou unární operací −1
a jedním neutrálním prvkem e.
44
Nechť (M, ◦, e) je grupa. Potom pro každé a je a−1
určeno jednoznačně,
tj. každý prvek má právě jeden inverzní prvek.
PŘÍKLAD 2.51.
a) Množina komplexních čísel C s obvyklými operacemi +, ·, −
tvoří grupoidy (C, +), (C, ·), (C, −). Obvyklé dělení / na množině
C není operace, neboť není definován např. prvek 2/0.
Dělení / je ale operace na množině C∗
všech nenulových komplexních
čísel. (C∗
, /) je tedy nekomutativní grupoid. Navíc
(C, +, 0) je abelovská grupa, zatímco (C, ·,1) je jen komutativním
monoidem a (C, −, 0) pouze nekomutativním grupoidem,
neboť odečítání není ani asociativní ani komutativní.
Nenulová čísla (C∗
, ·,1) však již tvoří abelovskou grupu vzhledem
k násobení, ne tak (C∗
, /, 1) vzhledem k dělení přestože
každý prvek má inverzní (jelikož a/a = 1, je dokonce každý
prvek inverzní sám k sobě). Dělení totiž není podobně jako
odečítání ani asociativní ani komutativní operací.
b) Analogicky jako v a) nechť +, ·, − mají obvyklý význam.
Pak (R, +), (R, ·), (R, −), (Q, +), (Q, ·), (Q, −), (Z, +), (Z, ·),
(Z, −), jsou grupoidy s obdobnými vlastnostmi jako v a). Je-li
/ obvyklé dělení na množinách R∗
= R − {0}, Q∗
= Q − {0},
jsou (R∗
, /), (Q∗
, /) grupoidy. Naproti tomu / není operace
na množině celých nenulových čísel, neboť např. 2/3 není celé
nenulové číslo.
Podobně také (ZN , ⊕, 0) je abelovská grupa, (ZN , ⊙, 1) je komutativní
monoid a (ZN , ⊖, 0) nekomutativní grupoid s operacemi
sečítání ⊕, odečítání ⊖ a násobení ⊙ modulo N (viz
1.3).
c) Operace + a · jsou také operace na množině N, tedy (N, +),
(N, ·) jsou komutativní grupoidy. Naproti tomu − a / nejsou
operace na N.
45
množin ∪, rozdíl množin (−) a symetrická diference množin
(÷) jsou operace na množině všech podmnožin 2X
. Jsou tedy:
(2X
, ∩), (2X
, ∪), (2X
, −) a (2X
, ÷) grupoidy. Navíc (2X
, ÷, ∅)
je abelovská grupa dle věty 1.26, kde každý prvek je opačný
sám k sobě, (2X
, ∪,∅) i (2X
, ∩, X) jsou pouze komutativní
monoidy, zatímco (2X
, −) pouze nekomutativní grupoid, neboť
rozdíl množin není ani komutativní ani asociativní. Naproti
tomu kartézský součin × není obecně operace na množině
2X
.
e) Nechť X je libovolná neprázdná množina. Symbol XX
označuje
systém všech zobrazení množiny X do X. Pro f ∈ XX
,
g ∈ XX
je složené zobrazení g ◦ f opět prvkem množiny XX
.
Tedy ◦ je operace na množině XX
a (XX
, ◦) je (obecně nekomutativní)
pologrupa. Označíme-li IX : X → X identické
zobrazení (IX (x) = x pro každé x ∈ X), pak (XX
, ◦, IX ) je
dokonce monoid. Prvek f ∈ XX
má inverzní prvek v monoidu
(XX
, ◦, I) právě když f je bijekce. Inverzní prvek k f je
pak roven inverznímu zobrazení f−1
k zobrazení f.
VĚTA 2.52 ([KaSk:V5.8 s.48]).
Nechť (M, ◦, e) je monoid. Nechť a, a1, a2, . . . , an ∈ M mají inverzní
prvky v (M, ◦). Pak platí:
(a) e−1
= e,
(b) (a−1
)−1
= a,
(c) (a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ an)−1
= a−1
n ◦ a−1
n−1 ◦ . . . ◦ a−1
1 ,
(d) pro b ∈ M jsou prvky x = a−1
◦ b, y = b ◦ a−1
jediná řešení
rovnic a ◦ x = b, y ◦ a = b v grupoidu (M, ◦).
Definice 2.53. Nechť (M, ◦) je grupoid. Jestliže pro každou dvojici
prvků a, b ∈ M existuje jediný prvek x tak, že a ◦ x = b, pak
říkáme, že v grupoidu platí levý zákon o jednoznačném dělení
(resp. odečítání v aditivním případě). Jestliže pro každou dvojici
prvků a, b ∈ M existuje jediný prvek y tak, že y ◦ a = b, pak říkáme,
46
odečítání v aditivním případě).
Věta 2.54. Pologrupa (M, ◦) je grupou právě když v ní platí levý i
pravý zákon o jednoznačném dělení.
DEFINICE 2.55. Nechť (M, ◦) je grupoid. Jestliže pro každou trojici
prvků a, x,y ∈ M platí implikace a ◦ x = a ◦ y ⇒ x = y, pak
říkáme, že v grupoidu platí levý zákon o krácení (resp. rušení v
aditivním případě). Jestliže obdobně x ◦ a = y ◦ a ⇒ x = y, pak
říkáme, že v grupoidu platí pravý zákon o krácení (resp. rušení
v aditivním případě). Říkáme take, že v (M, ◦) lze krátit zleva, případně
zprava.
VĚTA 2.56 ([KaSk:V5.13 s.51]).
V každé grupě lze krátit zleva i zprava.
Označení . Nechť (G, ◦) je pologrupa a nechť a ∈ G. Pro přirozené
číslo n položíme:
an
:= a ◦ a ◦ . . . ◦ aßÞ
n prvků a
.
Má-li grupoid (G, ◦) jedničku e, položíme:
a0
:= e.
Nechť (G, ◦) má jedničku a prvek a nechť má inverzní prvek a−1
v grupoidu (G, ◦). Pak položíme:
a−n
:= (a−1
)n
:= a−1
◦ a−1
◦ . . . ◦ a−1
ßÞ
n prvků a−1
.
Pro takto zavedené umocňování platí známá pravidla:
am
◦ an
= am+n
a (am
)n
= amn
(viz [KaSk:V5.9 s.49]).
V aditivním grupoidu a − b := a + (−b) a dále píšeme na místo an
a
−na místo a−n
, takže výše uvedená pravidla pak přepíšeme takto:
ma + na = (m + n)a a n(ma) = (nm)a = (mn)a.
47
monoidu, grupy) nazýváme jeho/jejím podgrupoidem (podpologrupou,
podmonoidem, podgrupou).
POZNÁMKA 2.58. Nechť (M, ◦) je grupoid a N ⊆ M, N = ∅.
Uvažme následující vlastnosti podmnožiny N:
(1) x, y ∈ N ⇒ x ◦ y ∈ N (uzavřenost k binární operaci ◦);
(2) je-li e neutrální prvek v (M, ◦), pak e ∈ N
(uzavřenost k nulární operaci vybírající neutrální prvek);
(3) je-li x ∈ N a x−1
k němu inverzní prvek v (M, ◦), pak
x−1
∈ N (uzavřenost k unární operaci −1
).
Podle definice 2.12 je tedy
a) (N, ◦) podgrupoidem (podpologrupou) grupoidu (pologrupy)
(M, ◦) právě když má vlastnost (1);
b) (N, ◦, e) je podmonoidem monoidu (M, ◦, e) právě když má
vlastnosti (1) a (2);
c) (N, ◦, e) je podgrupou grupy (M, ◦, e) právě když má vlastnosti
(1) a (3) [pak má zřejmě i vlastnost (2)].
Každý monoid (každá grupa) (M, ◦, e) má alespoň dva podmonoidy
(dvě podgrupy): (M, ◦, e) a triviální podmonoid (podgrupu) ({e}, ◦, e).
Věta 2.59.
Nechť (M, ◦, e) je grupa a N ⊆ M, N = ∅. Pak následující výroky
jsou ekvivalentní:
(1) (N, ◦, e) je podgrupa v (M, ◦, e),
(2) x, y ∈ N ⇒ x ◦ y−1
∈ N,
(3) x, y ∈ N ⇒ x−1
◦ y ∈ N.
PŘÍKLAD 2.60.
Podpologrupy:
• (N, +) ⊂ (Z, +),
• množina všech bijekcí X ֌→ X z příkladu 2.51e) je grupou, která
je podmonoidem v (XX
, ◦, IX ).
Podgrupy:
48
• (R+
− {0}, ·, 1) ⊂ (R∗
, ·, 1) . . . viz příklad 2.51b);
• Naopak (ZN , ⊕) není ani podgrupoid v (Z,+).
POZNÁMKA 2.61. Nechť (M, ◦) a (N,·) jsou grupoidy a f : M → N
zobrazení. Uvažme následující vlastnosti zobrazení f:
(1) x, y ∈ M ⇒ f(x ◦ y) = f(x) · f(y);
(2) jsou-li e, E neutrální prvky po řadě v (M, ◦) a (N, ·), pak
f(e) = E;
(3) je-li a ∈ M a a−1
k němu inverzní prvek v (M, ◦), pak f(a−1
)
je inverzní k f(a) v (N,·), neboli f(a−1
) = f(a)−1
.
Podle definice 2.10 tedy platí:
a) f : (M, ◦) → (N,·) je homomorfizmus grupoidů právě když
má vlastnost (1);
b) f : (M, ◦, e) → (N, ·, E) je homomorfizmus monoidů právě
když má vlastnost (1) a (2);
c) f : (M, ◦, e) → (N, ·, E) je grupový homomorfizmus právě
když má vlastnosti (1) a (3) [pak má zřejmě i vlastnost (2)]
nebo vlastnosti (1) a (2) [pak má zřejmě i vlastnost (3) uvážíme-li
větu 2.50];
Kterýkoli z výše uvedených homomorfizmů je izomorfizmem právě
když f je bijekce. Snadno se totiž ověří, že f−1
: N → M je rovněž
homomorfizmus z (N,·) do (M, ◦): f−1
(E) = f−1
(f(e)) = e,
f−1
(f(a) · f(b)) = f−1
(f(a ◦ b)) = a ◦ b = f−1
(f(a)) ◦ f−1
(f(b)).
Tento homomorfizmus je ovšem také izomorfizmem. Poznamenejme,
že obdobnou vlastnost mají nejen struktury s jednou binární operací,
ale každá struktura obsahující pouze operace a žádnou relaci: každý
bijektivní homomorfizmus je pak také automaticky izomorfizmem.
PŘÍKLAD 2.62.
(1) Nechť (S∗
, ◦, ′′
) je monoid z příkladu 2.45 a d : S∗
→ Z zobrazení
přiřazující každému řetězci jeho délku. Pak d je homomorfizmus
nekomutativního monoidu (S∗
, ◦, ′′
) do abelovské
grupy (Z, +, 0).
49
fizmem (Z, +, 0) na (ZN , ⊕, 0). Pak
f
∼ je grupovou kongruencí
příslušného kanonického rozkladu (věta 2.43) a platí:
a
f
∼ b právě když N je dělitelem b − a.
50
Tyto struktury již zachycují všechny podstatné vlastnosti běžných
číselných oborů.
DEFINICE 2.63. Algebraická struktura (M, +, ·, 0) s dvěma binárními
operacemi + (aditivní) a · (multiplikativní) se nazývá okruh,
jestliže jsou splněny následující podmínky:
(1) (M, +, 0) je abelovská grupa;
(2) (M, ·) je pologrupa;
(3) Pro libovolnou trojici prvků a, b, c ∈ M platí distributivní
zákony:
(a + b) · c = a · c + b · c
c · (a + b) = c · a + c · b.
Okruh (M, +, ·, 0) se nazývá okruhem s jednotkou, jestliže existuje
neutrální prvek 1 ∈ M takový, že (M, ·, 1) je monoid. Pak píšeme
(M, +, ·, 0, 1).
Okruh (M, +, ·, 0) se nazývá komutativní, jestliže (M, ·) je komutatitvní
pologrupa.
DEFINICE 2.64.
Algebraickou podstrukturu okruhu nazýváme jeho podokruhem.
POZNÁMKA 2.65. Nechť (M, +, ·, 0) je okruh a N ⊆ M, N = ∅.
Podle definice 2.12 a s uvážením poznámky 2.58 tedy vidíme, že
(N, +, ·,0) je podokruhem v (M, +, ·, 0) právě když platí:
(1) x, y ∈ N ⇒ x + y ∈ N;
(2) x, y ∈ N ⇒ x · y ∈ N;
(3) je-li x ∈ N, pak −x ∈ N.
(4) je-li 1 jednotka okruhu (M, +, ·,0, 1), pak 1 ∈ N;
Podle poznámky 2.58 je tedy (N,+, ·, 0) podokruhem okruhu (M, +, ·, 0, 1)
právě když (N,+, 0) je podgrupou v (M, +, 0) a současně (N,·) je
podpologrupou v (M, ·), případně (N, ·,1) je podmonoidem v (M, ·,1).
51
prvky a, b, c ∈ M následující identity:
(a − b) · c = a · c − b · c
c · (a − b) = c · a − c · b
a · 0 = 0 · a = 0.
Definice 2.67.
Nenulový prvek a okruhu (M, +, ·, 0) se nazývá dělitelem nuly tohoto
okruhu, když v M existuje b = 0 takové, že a · b = 0 nebo
b · a = 0.
Definice 2.68. Komutativní okruh s jednotkou, který nemá dělitele
nuly se nazývá obor integrity.
Věta 2.69.
V každém oboru integrity (M, +, ·, 0, 1) lze krátit (vzhledem ke komutativitě
zleva i zprava) nenulovým prvkem:
a, b, c ∈ M, a = 0, a · b = a · c ⇒ b = c
Důsledek 2.70. Je-li (M, +,·, 0, 1) obor integrity, pak (M − {0}, ·)
je komutativní grupoid, v němž platí levý i pravý zákon o krácení.
Definice 2.71 (Charakteristika oboru integrity).
Nechť (M, +, ·,0, 1) je obor integrity. Jestliže existuje přirozené číslo
n tak, že n1 = 0, potom řekneme, že obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má
konečnou charakteristiku. Nejmenší přirozené číslo s touto vlastností
se nazývá charakteristikou tohoto oboru integrity.
V opačném případě říkáme, že obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má nekonečnou
charakteristiku nebo též charakteristiku nula.
Věta 2.72.
Nechť obor integrity (M, +, ·, 0, 1) má konečnou charakteristiku n, pak
n je prvočíslo.
52
Okruh s jednotkou (M, +, ·,0, 1), v němž (M − {0}, ·, 1) je grupa se
nazývá těleso. Je-li tato grupa komutativní, potom (M, +, ·,0, 1) se
nazývá komutativní těleso nebo také pole.
Věta 2.74.
Pole je oborem integrity.
Věta 2.75.
Každý konečný obor integrity je polem.
Příklad 2.76 (viz 2.51).
• (N, +, ·, 0, 1) ⊂ (Z, +, ·, 0, 1) ⊂ (Q, +, ·,0, 1) ⊂ (R, +, ·, 0, 1) ⊂
⊂ (C, +, ·,0, 1) jsou do sebe vnořené obory integrity, z nichž poslední
tři jsou dokonce pole nekonečné charakteristiky.
• (ZN , ⊕, ⊙,0, 1) je komutativním okruhem s jednotkou, který není
podokruhem žádného z výše uvedených okruhů. (ZN , ⊕,⊙, 0, 1) je
oborem integrity jen když N je prvočíslo. V takovém případě je dokonce
polem dle věty 2.75.
• Množina všech polynomů s koeficienty například z C tvoří rovněž
obor integrity vzhledem k obvyklému sečítání a násobení polynomů.
• (2X
, ÷,∩, ∅, X) je dle věty 1.26 komutativním okruhem s jednotkou
X (totiž A∩X = A pro každou podmnožinu A ⊆ X), který není oborem
integrity, pokud X má více jak jeden prvek (pak totiž lze vždy
najít dvě různé neprázdné podmnožiny s prázdným průnikem).
POZNÁMKA 2.77.
Nechť (M, +, ◦, 0) a (N, ⊕, ·,0) jsou okruhy (tělesa) a f : M → N
zobrazení. Uvážíme-li 2.61b)c), potom f je homomorfizmem těchto
struktur ve smyslu 2.10 právě když jak f : (M, +, 0) → (M, ⊕, 0)
tak i f : (M, ◦) → (N,·) jsou homomorfizmy, tj. právě když f má
následující vlastnosti:
(1) a, b ∈ M ⇒ f(a + b) = f(a) ⊕ f(b),
(2) a, b ∈ M ⇒ f(a ◦ b) = f(a) · f(b),
(3) f(0) = 0 a f(1) = 1, pokud oba okruhy mají jednotku.
53
mínkou a ∈ M ⇒ f(−a) = −f(a), a v případě těles i podmínku
f(1) = 1 podmínkou 0 = a ∈ M ⇒ f(a−1
) = f(a)−1
.
PŘÍKLAD 2.78. Grupový homomorfizmus f:= · N z příkladu 2.62(2)
je i okruhovým homomorfizmem (Z, +, ·,0, 1) na (ZN , ⊕, ⊙, 0, 1), při-
čemž
f
∼ je pak také okruhová kongruence.
54
algebraická (pod)struktura algebraic (sub)structure
homomorfizmus, endomorfizmus homomorphism, endomorphism
izomorfizmus, relace, operace isomorphism, relation, operation
nulární, unární, binární, n-ární nullary, unary, binary, n-ary
význačný, neutrální singular, neutral
reflexivní, symetrická, úplná reflexive, symmetric, complete
antisymetrická, tranzitivní antisymmetric, transitive
asociativní, komutativní associative, commutative
generátor, generovaný podmnožinou generator, generated by a set
přímý součin, uspořádaná množina direct product, ordered set
částečně (lineárně) uspořádaná partially (linearly) ordered
menší (větší) nebo roven než less (greater) than or equal to
nejmenší (největší) least (greatest)
minimální (maximální) minimal (maximal)
dolní (horní) závora lower (upper) bound
infimum (supremum) infimum (supremum)
limes inferior (limes superior) inferior limit (superior limit)
ekvivalence, kongruence equivalence, congruence
rozklad na třídy, kanonický partition into classes, canonical
faktorová struktura factor structure
(pod)grupoid, (pod)pologrupa (sub)groupoid, (sub)semigroup
(pod)monoid, pod(grupa) (sub)monoid, (sub)group
abelovská grupa abelian group
opačný (inverzní) prvek negated (inverse) element
nulový (jednotkový) prvek zero, null (unit) element
(levý, pravý) zákon o krácení (left, right) cancellation law
zákon o jednoznačném dělení unique division law
okruh, obor integrity ring, domain of integrity
dělitel nuly, charakteristika divisor of zero, characteristic
těleso, pole division ring, field
55
Teorie a příklady: [KaSk: s.54-129], [Šik: s.1-131]
Příklady: [Ho:řešené č.16-36; s.17-37],
[Ho:neřešené kap.3-7 s.81-167]
3.1. VEKTOROVÉ PROSTORY.
DEFINICE 3.1. Nechť (F, +, ·, 0, 1), 0 = 1 je pole (tzv. pole skalárů),
jehož prvky budeme nazývat skaláry. Nechť (V, +, 0, SF) je
algebraická struktura s jednou binární operací +, nulovým prvkem 0
a zobrazením SF : F×V → V určujícím pro každý skalár α ∈ F jednu
unární operaci {α}×V → V zapisovanou ve tvaru SF(α,x) =: αx a
nazývanou násobení skalárem. Nechť (V, +, 0) je abelovská grupa
a pro každé α, β ∈ F a x, y ∈ V nechť platí:
(L1) Distributivní zákon vzhledem k sečítání vektorů:
α(x + y) = αx + αy
(L2) Distributivní zákon vzhledem k sečítání skalárů:
(α + β)x = αx + βx
(L3) Asociativní zákon vzhledem k násobení skaláry:
α(βx) = (αβ)x
(L4) 1x = x.
Pak algebraická struktura (V, +, 0, SF) se nazývá vektorový (lineární)
prostor nad polem F, prvky množiny V se nazývají vektory
a operace x → αx se nazývá násobení vektoru x skalárem α. Vektorový
prostor se nazývá reálný (resp. komplexní), jestliže F = R
(resp. F = C).
Poznámka 3.2.
(1) Jestliže nerozlišujeme mezi skalárem a odpovídající unární
operací, pak v souladu s 2.1 můžeme vektorový prostor považovat
za algebraickou strukturu (V, LF), kde LF = {+, (−), 0} ∪ F
představuje popis operací lineární struktury (symbol (−) značí
unární operaci výběru opačného prvku v aditivní grupě).
56
L místo LF. V dalším budeme často pracovat s reálným nebo
komplexním vektorovým prostorem, kde L := LR nebo L :=
LC.
(3) Pojem vektorového prostoru lze zavést i nad nekomutativním
tělesem F. V takovém případě je nutno rozlišovat mezi
násobením skaláry zleva a zprava a zavést tzv. levý (resp.
pravý) vektorový prostor nad F. Je-li F pouze okruh
s 1 = 0, pak se toto pojetí dále zobecňuje a zavádí se tzv.
levý (resp. pravý) modul nad F (nebo též F-modul).
VĚTA 3.3 (Důkaz D.13). [Šik:V3.6 s.25]
Nechť V je vektorový prostor nad F a α,β, αi ∈ F; x, y, xj ∈ V .
Pak platí:
(L5) αx = 0 ⇔ α = 0 nebo x = 0
(L6) −αx = α(−x) = (−α)x
(L7) α(x − y) = αx − αy
(L8) (α − β)x = αx − βx
(L9) α(x1 + · · · + xn) = αx1 + · · · + αxn
(L10) (α1 + · · · + αm)x = α1x + · · · + αmx
(L11)
 Èm
i=1 αi
¡ Èn
j=1 xj
¡
=
Èm
i=1 αi
Èn
j=1 xj =
Èm
i=1
Èn
j=1 αixj =
Èn
j=1(
Èm
i=1 αi)xj
PŘÍKLAD 3.4 ([Šik:Př.3.5 s.25]).
(1) (F, LF) je vektorový prostor nad polem F. Vlastnosti (L1) a
(L2) jsou důsledkem okruhových distributivních zákonů, (L3)
plyne z asociativity okruhového násobení a (L4) rovněž platí,
neboť 1 je jednotkou okruhového násobení. Zejména (R, LR),
resp. (C, LC) je reálný, resp. komplexní vektorový prostor.
(2) Užitím přímého součinu z definice 2.11 lze konstruovat další
(vícerozměrné) vektorové prostory (n ∈ N, n > 1):
(Fn
, LF) := (F,LF) × · · · × (F, LF)
ßÞ
n×
. . . n-tice skalárů z F.
Zejména (Rn
, LR) (resp. (Cn
, LC)) je reálný (resp. komplexní)
57
V těchto prostorech jsou tedy dle 2.11 všechny operace definovány
po složkách:
[x1, . . . , xn] + [y1, . . . , yn] := [x1 + y1, . . . , xn + yn]
0 := [0, . . . , 0] . . . nulový vektor
−[x1, . . . , xn] := [−x1, . . . , −xn] . . . opačný vektor
α[x1, . . . , xn] := [αx1, . . . , αxn] . . . skalární násobek
(3) Analogicky: (RN
, LR) := X
n∈N
(R, LR) a (Cn
, LC) := X
n∈N
(C, LC)
jsou po řadě vektorové prostory všech reálných, resp. komplexních
posloupností s operacemi po složkách jako ve (2).
(4) Analogicky: (RI
, LR) := X
n∈I
(R,LR) a (Cn
, LC) := X
n∈I
(C, LC)
jsou po řadě vektorové prostory všech reálných, resp. komplexních
funkcí definovaných na množině I (tj. funkcí z I do
R, resp. z I do C) opět s operacemi po složkách. Tedy definujeme
pro každé i ∈ I:
(f + g)(i) := f(i) + g(i), (−f)(i) := −f(i),
f ≡ 0 ⇔ f(i) = 0 pro každé i ∈ I,
(αf)(i) := αf(i).
(5) Označme po řadě R[t], resp. C[z] množinu všech polynomů
jedné proměnné t ∈ R, resp. z ∈ C s koeficienty z R, resp. z C.
Pak tyto množiny tvoří vzhledem k obvyklému sečítání a násobení
skalárem reálný, resp. komplexní vektorový prostor,
který lze ztotožnit s reálnými, resp. komplexními posloupnostmi
koeficientů (viz (3)) tvaru {a0, a1, . . . , an, 0, . . . , 0, . . . }
pro libovolné n ∈ N. Omezíme-li se na pevné n, dostaneme
vektorové prostory Rn[t], resp. Cn[z] všech polynomů s reálnými,
resp. komplexními koeficienty stupně nejvýše n.
DEFINICE 3.5.
Nechť (V, LF) je vektorový prostor, x1, . . . , xn ∈ V a α1, . . . , αn ∈ F.
Pokud x ∈ V lze vyjádřit ve tvaru x = α1x1 + · · · + αnxn, pak
řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektorů x1, . . . , xn.
58
DEFINICE 3.6.
Algebraickou podstrukturu (definice 2.12) vektorového prostoru (V, LF)
nazýváme jeho vektorovým (lineárním) podprostorem.
VĚTA 3.7 (Důkaz D.14).
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a ∅ = W ⊆ V jeho podmnožina.
Pak (W, LF) je vektorovým podprostorem prostoru (V, LF) (píšeme
(W, LF) ⊆ (V, LF)) právě když má následující vlastnosti:
(1) x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W
(uzavřenost vzhledem ke grupovému sečítání)
(2) x ∈ W, α ∈ F ⇒ αx ∈ W
(uzavřenost vzhledem ke skalárnímu násobení).
DŮSLEDEK 3.8 (Důkaz D.15).
Každý vektorový podprostor (W, LF) prostoru (V, LF) je uzavřený k libovolným
lineárním kombinacím svých prvků, tj. platí:
xi ∈ W, αi ∈ F pro i = 1, . . . , n ⇒ α1x1 + · · · + αnxn ∈ W.
Poznámka 3.9.
V každém vektorovém prostoru (V, LF) existuje nejmenší vektorový
podprostor ({0}, LF) nazývaný také nulový podprostor a největší
podprostor totožný s celým prostorem (V, LF).
VĚTA 3.10 (Důkaz D.16).
Nechť {(Wi, LF)}i∈I je systém vektorových podprostorů prostoru (V, LF).
Pak jejich průnik
Ì
i∈I Wi je rovněž vektorový podprostor ve V .
DEFINICE 3.11. Nechť (V, LF) je vektorový prostor a G ⊆ V jeho
podmnožina. Pak v souladu s definicí 2.13 nejmenší vektorový podprostor
ve V obsahující G nazveme podprostorem generovaným
množinou G nebo také lineárním obalem množiny G ve V .
Značíme jej LF(G) nebo stručněji L(G). Prvky množiny G nazýváme
generátory tohoto podprostoru.
59
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a G ⊆ V jeho podmnožina. Pak
L(G) vždy existuje a platí:
(1) L(G) =
Ì
{W | (W, LF) ⊆ (V, LF) : G ⊆ W}
(neboli L(G) je průnikem podprostorů ve V obsahujících G)
(2) Je-li G = ∅, pak
L(G) = {
Èn
i=1 αixi | αi ∈ F, xi ∈ G pro i = 1, . . . , n; n ∈ N}
(neboli L(G) tvoří všechny lineární kombinace vektorů z G).
Zejména L(∅) = {0} je nulový podprostor.
Poznámka 3.13. Podle 3.12(2) tedy zápis x ∈ L(G) vyjadřuje fakt,
že x je nějakou lineární kombinací vektorů z množiny G.
VĚTA 3.14 (Vlastnosti generátorů, důkaz D.18).
Nechť (V, LF) je vektorový prostor, W jeho podprostor a M, N, G podmnožiny
ve V . Pak platí:
(1) 0 ∈ L(G) pro každé G ⊆ V
(2) M ⊆ L(G) ⇒ L(M) ⊆ L(G)
(3) M ⊆ N ⇒ L(M) ⊆ L(N)
(4) W = L(W) a zejména L(M) = L(L(M))
(5) je-li nějaký generátor lineární kombinací ostatních generátorů,
pak jej lze vynechat:
x ∈ G, x ∈ L(G − {x}) ⇒ L(G − {x}) = L(G).
(6) každý generátor lze zaměnit za jeho nenulový skalární náso-
bek:
x ∈ G, 0 = α ∈ F ⇒ L((G − {x}) ∪ {αx}) = L(G).
(7) ke každému generátoru lze přičíst libovolnou lineární kombinaci
ostatních generátorů:
x ∈ G, y ∈ L(G − {x}) ⇒ L((G − {x}) ∪ {x + y}) = L(G).
Úpravy uvedené v (5) až (7) se nazývají elementární úpravy množiny
generátorů.
60
DEFINICE 3.15. Minimální podmnožina ve V generující vektorový
prostor (V, LF) se nazývá báze tohoto prostoru, neboli platí implikace:
G báze ve V, M ⊆ G systém generátorů prostoru V ⇒ M = G.
Zejména za bázi nulového prostoru tedy můžeme považovat prázdnou
množinu.
DEFINICE 3.16.
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a M := {x1, . . . , xn} ⊆ V jeho
nějaká neprázdná konečná podmnožina navzájem různých vektorů.
Řekneme, že M je (resp. vektory x1, . . . , xn jsou) lineárně nezávislá(é),
jestliže nulový vektor nelze vyjádřit jako netriviální lineární
kombinaci těchto vektorů, tj.:
αi ∈ F, i = 1, . . . , n; α1x1 + · · · + αnxn = 0 ⇒ α1 = · · · = αn = 0.
Nekonečná podmnožina ve V se nazývá lineárně nezávislá, jestliže
každá její neprázdná konečná podmnožina je lineárně nezávislá. Podmnožina
(resp. vektory) vektorového prostoru V se nazývá (nazývají)
lineárně závislá(é), jestliže není (nejsou) lineárně nezávislá(é).
VĚTA 3.17 (Důkaz D.19). Jestliže M je lineárně nezávislá množina
nějakého vektorového prostoru, pak platí:
(1) Každá neprázdná podmnožina v M je lineárně nezávislá;
(2) 0 /∈ M;
(3) Je-li M =: {x1, . . . , xn} konečná, x ∈ L(M) a
x =
Èn
i=1 αixi =
Èn
i=1 βixi, pak αi = βi pro i = 1, . . . , n.
(4) Každý vektor 0 = x ∈ L(M) má až na pořadí sčítanců jediné
vyjádření ve tvaru lineární kombinace s nenulovými koeficienty
a navzájem různými vektory z M.
VĚTA 3.18 (Důkaz D.20).
Neprázdná podmnožina M vektorového prostoru (V, LF) je lineárně
závislá právě když existuje vektor x ∈ M, který je lineární kombinací
některých dalších vektorů z M, tj. x ∈ L(M − {x}).
61
Nechť ∅ = G ⊆ V je podmnožina nenulového vektorového prostoru
(V, LF). Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(1) G je báze ve V .
(2) G je maximální lineárně nezávislá podmnožina ve V .
(3) G je lineárně nezávislá a generuje V , tj. L(G) = V .
DŮSLEDEK 3.20 (Důkaz D.22). [Šik:V3.22 s.28]
Z každé množiny generátorů G nenulového vektorového prostoru V lze
vybrat bázi prostoru V jako maximální nezávislou podmnožinu v G.
Dokonce to lze udělat tak, aby obsahovala jakoukoli předem danou
nezávislou podmnožinu v G.
VĚTA 3.21 (Steinitzova věta o výměně, [Šik:V3.23 s.28],).
Nechť M, N jsou konečné podmnožiny vektorového prostoru (V, LF),
M ⊆ L(N) lineárně nezávislá. Potom v N existuje podmnožina N′
s těmito vlastnostmi:
(1) N′
má týž počet prvků jako M,
(2) L((N − N′
) ∪ M) = L(N).
DŮSLEDEK 3.22 (Důkaz D.23). [Šik:3.26 s.29]
Má-li nenulový vektorový prostor (V, LF) konečný systém generátorů,
pak ve V existuje konečná báze a všechny báze mají týž (konečný)
počet prvků.
DEFINICE 3.23. Má-li vektorový prostor (V, LF) konečnou bázi o n
prvcích. Pak (jednoznačně určené) číslo n nazýváme dimenzí tohoto
prostoru a píšeme dim V = n. Prostor V pak nazýváme n-rozměrným
(n-dimenzionálním) vektorovým prostorem nebo také konečně
rozměrným (konečně dimenzionálním) vektorovým prostorem.
Zejména s uvážením definice 3.15 má každý nulový prostor
dimenzi 0 (jeho báze je totiž prázdná množina). Vektorový prostor V ,
v němž neexistuje konečný systém generátorů se nazývá nekonečně
rozměrný (nekonečně dimenzionální), píšeme dim V = ∞.
62
[Šik:V3.31-2 s.30]
(1) Pro každou lineárně nezávislou množinu vektorů x1, . . . , xk
vektorového prostoru V platí k ≤ dim V , přičemž každou takovou
množinu lze doplnit (rozšířit) na bázi prostoru V .
(2) Každý vektorový prostor má bázi.
(3) Pro každý lineární podprostor W vektorového prostoru V platí
dim W ≤ dim V . Přitom každou bázi ve W lze rozšířit na bázi
ve V . Je-li dim V < ∞ a W = V , pak dim W < dim V .
(4) Nechť V je vektorový prostor, dim V = n, 0 < n < ∞, a G
jeho podmnožina. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(i) G je báze ve V .
(ii) G je n-prvková a lineárně nezávislá.
(iii) G je n-prvková a generuje V .
PŘÍKLAD 3.25.
Pro vektorové prostory z příkladu 3.4 platí:
(1) pro každé n ∈ N: (Qn
, LQ) ⊆ (Rn
, LQ), (Rn
, LR) ⊆ (Cn
, LR),
(Rn[t],LR) ⊆ (R[t],LR), (Cn[z],LC) ⊆ (C[z],LC).
(2) pro každé n ∈ N:
(Qn
, LR) (Rn
, LR), (Rn
, LC) (Cn
, LC), (Rn
, LR) (Cn
, LC),
(R[z],LC) (C[z],LC), (R[z],LR) (C[z],LC).
(3) {1} je báze v (F,LF) a tedy dim F = 1. Zejména dim R =
dim C = 1. Podle věty 3.14(6) je bází také každá jednoprvková
podmnožina {a}, a = 0.
(4) En := {[1, 0, . . . , 0], [0, 1, . . . , 0], . . . , [0, 0, . . . , 1]} je tzv. přirozená
báze v (Fn
, LF). Pro každé i = 1, . . . , n bude nadále
εi := [0, . . . , 1
↑
i
, . . . , 0] značit i-tý prvek této báze. Zejména
tedy dim Rn
= dim Cn
= n. Opět podle věty 3.14(6) a s uvážením
3.24(4) je bází také každá podmnožina {a1ε1, . . . , anεn},
kde ai = 0 pro i = 1, . . . , n.
(5) Podle 3.4(5) lze každý polynom a0 + a1t + · · · + antn
z Rn[t],
resp. z Cn[t] ztotožnit s jeho vektorem n + 1 koeficientů
63
hrají homogenní polynomy t0
≡ 1, t1
, . . . , tn
a platí tedy
dim Rn[t] = dim Cn[t] = n + 1.
(6) Pokud I je nekonečná množina, pak prostory (RI
, LR) i (CI
, LC)
mají nekonečnou dimenzi. Zejména tedy mají nekonečnou dimenzi
také prostory posloupností (RN
, LR) a (CN
, LC) stejně
jako prostory polynomů R[t] a C[z].
64
DEFINICE 3.26.
Nechť (V1, LF) a (V2, LF) jsou dva vektorové prostory. Pak zobrazení
T : V1 → V2, které je homomorfizmem (definice 2.10) nazýváme
lineárním zobrazením (lineárním operátorem) z vektorového
prostoru (V1, LF) do vektorového prostoru (V2, LF) a píšeme
T : (V1, LF) → (V2, LF)4
.
Speciálně lineární zobrazení T : (V, LF) → (F, LF) se nazývá lineární
funkcionál na V (viz též 3.4(1)).
Lineární zobrazení se nazývá izomorfizmem vektorových prostorů
(V1, LF) a (V2, LF), jestliže je bijekcí V1 na V2 (viz úvahu na konci
poznámky 2.61). Je-li T pouze prosté lineární zobrazení, nazývá se
izomorfní vnoření prostoru (V1, LF) do (V2, LF).
Existuje-li alespoň jeden izomorfizmus (V1, LF) na (V2, LF), říkáme,
že vektorové prostory (V1, LF) a (V2, LF) jsou izomorfní a píšeme
(V1, LF) ≃ (V2, LF) nebo jen stručně V1 ≃ V2. Existuje-li pouze izomorfní
vnoření, píšeme (V1, LF) (V2, LF) nebo V1 V2.
VĚTA 3.27 (Důkaz: D.25).
Nechť (V1, LF) a (V2, LF) jsou dva vektorové prostory. Pak zobrazení
T : V1 → V2 je lineární právě když má následující vlastnosti:
(1) x, y ∈ V1 ⇒ T(x + y) = T(x) + T(y)
(vlastnost zachování grupového sečítání)
(2) x ∈ V1, α ∈ F ⇒ T(αx) = αT(x)
(vlastnost zachování skalárního násobení).
Je-li T izomorfizmus, pak T−1
je rovněž lineární zobrazení (a tedy
izomorfizmus) z (V2, LF) na (V1, LF). Zřejmě složení dvou lineárních
zobrazení je rovněž lineární zobrazení.
DŮSLEDEK 3.28 (Důkaz D.26).
Každé lineární zobrazení T : (V1, LF) → (V2, LF) zachovává libovolné
4místo y = T (x) píšeme stručněji také y = T x
65
platí: T(α1x1 + · · · + αnxn) = α1T(x1) + · · · + αnT(xn).
VĚTA 3.29 (Důkaz D.27).
Nechť T : (V1, LF) → (V2, LF) je lineární operátor, pak N(T) := {x ∈
V1 | Tx = 0} je vektorový podprostor v (V1, LF) nazývaný jádro (nulový
podprostor) operátoru T. Podobně R(T) := {y ∈ V2 | ∃ x ∈
V1 : y = Tx} je vektorový podprostor ve (V2, LF) nazývaný obor
hodnot operátoru T.
DŮSLEDEK 3.30 (Důkaz D.28).
Nechť T : (V1, LF) → (V2, LF) je lineární operátor. Pak
(1) T je izomorfní vnoření právě když N(T) = {0}.
(2) T je izomorfizmus právě když N(T) = {0} a R(T) = V2.
(3) T je izomorfní vnoření právě když obraz každé neprázdné konečné
množiny lineárně nezávislé ve V1 je také lineárně nezávislá
množina ve V2 s týmž počtem prvků.
(4) T je izomorfizmus právě když obraz nějaké báze ve V1 je také
báze ve V2 téže mohutnosti. V takovém případě dokonce každá
báze ve V1 se zobrazí na bázi ve V2.
DEFINICE 3.31. Nechť (V, LF) je n-rozměrný vektorový prostor a
E := {e1, . . . , en} jeho báze. Definujme zobrazení [·]E : V → Fn
, které
každému vektoru x ∈ V přiřazuje vektor jeho souřadnic v bázi
E, tj. [x]E := [ξ1, . . . , ξn] je ona dle 3.17(3) jednoznačně určená n-tice
skalárů taková, že x = ξ1e1 + · · · + ξnen. Pokud báze E ve V bude
pevně dána, budeme též psát stručně [x] místo [x]E.
VĚTA 3.32 (Důkaz D.29).
Zobrazení [·]E : V → Fn
z předchozí definice je izomorfizmus vektorového
prostoru (V, LF) na (Fn
, LF).
DŮSLEDEK 3.33 (Důkaz D.30).
(1) Dva konečně rozměrné vektorové prostory V1 a V2 nad týmž
polem F mají stejnou dimenzi právě když (V1, LF) ≃ (V2, LF).
66
platí dim V1 ≤ dim V2 právě když (V1, LF) (V2, LF).
POZNÁMKA 3.34.
Každý lineární operátor T : (V1, LF) → (V2, LF), V1 = L(E1), je dle
3.28 jednoznačně určen jen svými hodnotami T(E1) = {Te}e∈E1 na
generátorech e ∈ E1. Je-li x ∈ V1 libovolný vektor a x = ξ1e1 +
· · · + ξnen nějaké jeho vyjádření jako lineární kombinace generátorů
ei ∈ E1, i = 1, . . . , n (viz 3.13), pak totiž Tx = ξ1T(e1)+· · ·+ξnT(en)
dle 3.28. Poznamenejme, že zatímco toto vyjádření nemusí být jediné
možné (je tomu tak jen když E1 je báze), obraz Tx je vždy jediný
bez ohledu na volbu tohoto vyjádření.
DEFINICE 3.35.
Nechť T : (V1, LF) → (V2, LF) je lineární operátor, E1 n-prvková báze
ve V1 a E2 m-prvková báze ve V2. Pak dle předchozí poznámky a
s ohledem na 3.32 je T jednoznačně určen vektory souřadnic [Te]E2
pro e ∈ E1. Systém n vektorů (každý délky m) značený [T]E1,E2 :=
{[Te]E2 }e∈E1 pak nazýváme souřadnicovou reprezentací operátoru
T v bázích E1 a E2. Jsou-li obě báze pevně dány, píšeme opět
stručně [T] místo [T]E1,E2 .
VĚTA 3.36 (Důkaz D.31).
Nechť T : (V1, LF) → (V2, LF) je lineární operátor, V1 = L(E1). Pak
platí:
(1) T(E1) generuje R(T).
(2) T(E1) generuje V2 právě když T je surjekce.
(3) Je-li T izomorfní vnoření a E1 báze, pak T(E1) je báze v R(T).
(4) Je-li T izomorfní vnoření a E1 báze, pak T(E1) je lineárně
nezávislá podmnožina ve V2.
(5) Je-li T izomorfizmus a E1 báze, pak T(E1 ) je báze ve V2.
(6) Každé zobrazení f báze E1 do prostoru V2 se dá jednoznačně
rozšířit na lineární operátor V1 do V2. Je-li f prosté zobrazení
do nějaké báze E2 ve V2 (resp. bijekce na E2), pak toto
rozšíření je izomorfní vnoření (resp. izomorfizmus).
67
zobrazení ϕ(a0 + a1t + · · · + antn
) := [a0, a1, . . . , an] definuje izomorfizmus
z (Rn[t],LR) na (Rn+1
, LR), resp. z (Cn[z],LC) na (Cn+1
, LC).
Analogicky ψ(a0 + a1t + · · · + antn
) := {a0, a1, . . . , an, 0, . . . } definuje
izomorfní vnoření z (Rn[t],LR) do (RN
, LR), resp. z (Cn[t],LC)
do (CN
, LC).
VĚTA 3.38.
Nechť (V1, LF) a (V2, LF) jsou dva vektorové prostory. Nechť L(V1, V2)
značí množinu všech lineárních operátorů z V1 do V2 s operacemi z LF
definovanými po složkách jako v 3.4(4), tj. pro T, T1, T2 ∈ L(V1, V2)
a každé x ∈ V1 klademe:
(T1 + T2)(x) := T1(x) + T2(x), (−T)(x) := −T(x),
T ≡ 0 ⇔ T(x) = 0, (αT)(x) := αT(x).
Pak L(V1, V2) je vektorový prostor nad F.
Důkaz. Zřejmý: axiomy (L1)–(L4) prostoru (V2, LF) se po složkách
přenesou na L(V1, V2).
68
Věta 3.39.
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a ∼ nějaká relace ekvivalence na V
a V := V/∼ příslušný rozklad na V . Pak relace ∼ je kongruence na
(V, LF) ve smyslu definice 2.42 právě když pro x, x1, x2, x′
, x′
1, x′
2 ∈ V
platí implikace:
(1) x1 ∼ x′
1, x2 ∼ x′
2 ⇒ x1 + x2 ∼ x′
1 + x′
2,
(2) α ∈ F, x ∼ x′
⇒ αx ∼ αx′
.
V takovém případě třída 0 ∈ V obsahující nulový prvek je vektorovým
podprostorem ve V .
Důsledek 3.40.
Každý vektorový podprostor W vektorového prostoru (V, LF) určuje
kongruenci
W
∼ na V s vlastností W = 0 a naopak dle 3.39. Příslušný
faktor prostor (V , LF) tvořený odpovídajícími třídami rozkladu pak
značíme jako V/W a nazýváme jej faktor prostorem V modulo
(podle) W. Každá jeho třída obsahující vektor x je jednoznačně určena
podprostorem W ve tvaru x = {x + w | w ∈ W}. Místo x pak
píšeme x + W. Zejména samotný podprostor W = 0 + W tvoří třídu
obsahující nulový vektor 0.
Přitom platí x
W
∼ y ⇔ y − x ∈ W. V takovém případě říkáme, že
vektory x a y jsou kongruentní modulo W.
Pro příslušné kanonické lineární zobrazení V → V/W z věty 2.43,
x → x + W, pak tedy platí:
(x + y) + W = (x + W) + (y + W), (−x) + W = −(x + W), 0 → W,
(αx) + W = α(x + W) pro každé α ∈ F.
Důsledek 3.41.
Je-li T : (V1, LF) → (V2, LF) lineární zobrazení a V1/
T
∼ příslušný
kanonický rozklad dle definice 2.40, pak V1/
T
∼ = V1/N(T).
Poznámka 3.42.
Podobně každá faktor grupa V/W grupy (V, +, 0) je určena nějakou
69
ností: x ∼ x′
⇒ −x ∼ −x′
.
Příkladem je grupa (ZN , ⊕, 0), která je izomorfní s faktor grupou
grupy (Z, +, 0) podle podgrupy NZ := {Nk | k ∈ Z}. Píšeme pak
ZN ≃ Z/NZ. Pak
a
NZ
∼ b ⇔ b−a ∈ NZ ⇔ b−a = Nk pro nějaké k ∈ Z ⇔ N|(b−a),
což přesně odpovídá kongruenci z příkladu 2.62(2).
DEFINICE 3.43.
Nechť {(Wi, LF)}i∈I je systém vektorových podprostorů vektorového
prostoru (V, LF). Pak podprostor W := L(
Ë
i∈I Wi) nazýváme součtem
vektorových podprostorů Wi, i ∈ I a píšeme W =
È
i∈I Wi.
Jestliže navíc platí Wi ∩ L(
Ë
j∈I,j=i Wj ) = {0} pro každé i ∈ I, pak
součet nazýváme přímým součtem vektorových podprostorů
Wi, i ∈ I a píšeme W =
È
i∈IWi.
Speciálně v případě součtu dvou, resp. konečného počtu (n ≥ 2) podprostorů
píšeme W = W1 + W2, resp. W = W1 + · · · + Wn. Podobně
v případě přímého součtu dvou5
, resp. konečného počtu (n ≥ 2) podprostorů
píšeme W = W1 ∔ W2, resp. W = W1 ∔ · · · ∔ Wn.
Poznámka 3.44.
Součet ani přímý součet podprostorů zřejmě nezávisí na pořadí a uzávorkování
sčítanců a jsou to tedy komutativní a asociativní operace.
VĚTA 3.45. Pro podprostory z předchozí definice platí:
(1) W =
È
i∈I Wi právě když
W = {x ∈ V | x =
È
j∈J xj, xj ∈ Wj, J ⊆ I, card J < ∞}.
(2) W = W1 + · · · + Wn právě když
W = {x1 + · · · + xn | xi ∈ Wi, i = 1, . . . , n}.
(3) W =
È
i∈I Wi právě když
W = {x ∈ V | x =
È
j∈J xj, xj ∈ Wj , J ⊆ I, card J < ∞},
5dodatečná podmínka je v tomto případě tvaru W1 ∩ W2 = {0}.
70
j∈J xj je jediné až na pořadí a počet nulových sčítanců xj.
(4) W = W1 ∔ · · · ∔ Wn právě když
W = {x1 + · · · + xn | xi ∈ Wi, i = 1, . . . , n}, kde vyjádření
x1 +· · ·+xn každého vektoru je až na pořadí sčítanců jediné.
DŮSLEDEK 3.46.
W = W1 ∔ · · · ∔ Wn právě když W ≃ W1 × · · · × Wn.
VĚTA 3.47 ([Šik:V3.43 s.32]).
Ke každému podprostoru W vektorového prostoru (V, LF) existuje (obecně
ne jediný) podprostor W′
ve V tak, že V = W ∔ W′
a dim V =
dim W +dim W′
. Podprostor W′
se nazývá přímý doplněk W ve V .
Věta 3.48 ([Šik:V3.44 s.33]).
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a V = W1 ∔W2, pak V/W1 ≃ W2 a
každá třída rozkladu V/W1 obsahuje právě jeden prvek z W2 (podobně
po záměně role W1 a W2).
VĚTA 3.49 ([Šik:V3.45 s.33]).
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a V = W1 ∔ W2, pak dim V =
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2.
VĚTA 3.50 ([Šik:V3.46 s.33]).
Nechť (V, LF) je vektorový prostor a W1 a W2 jeho podprostory, pak
dim(W1 ∩ W2) + dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2.
PŘÍKLAD 3.51.
(1) Nechť 0 = u ∈ R2
je nějaký vektor, pak W := L({u}) =
{ξu | ξ ∈ R} je jednorozměrný vektorový podprostor v (R2
, LR)
generovaný vektorem u. Tento podprostor je v Euklidovské
rovině s pevně zvoleným počátkem reprezentován přímkou
procházející tímto počátkem ve směru vektoru u. Pak rozklad
R2
/W dle 3.40 je tvořen všemi přímkami rovnoběžnými
s W.
71
prostory jako v (1) reprezentované dvěma přímkami procházejícími
počátkem v různých směrech u1 a u2. Pak R2
=
W1 ∔ W2, neboť W1 ∩ W2 = {[0, 0]} a R2
= L(W1 ∪ W2) =
L({u1, u2}), neboť u1, u2 jsou zřejmě nezávislé a tudíž tvoří
bázi v R2
. Dle 3.49 podle očekávání platí 2 = dim R2
=
dim W1 + dim W2 = 1 + 1.
(3) Nechť W1 a W2 jsou dva různé dvourozměrné podprostory
v (R3
, LR) reprezentované různými rovinami procházejícími
počátkem Eukleidovského prostoru R3
. Zřejmě R3
= W1+W2
a dle 3.50 platí dim(W1 ∩W2) = dim W1 +dim W2 −dim R3
=
2 + 2 − 3 = 1. Podle očekávání je tedy průnikem těchto rovin
nějaká přímka procházející počátkem a součet R3
= W1 +W2
tedy nemůže být přímým součtem. Toho lze dosáhnout jen
když W1 je přímka a W2 rovina (nebo naopak), kdy
dim(W1 ∩ W2) = 1 + 2 − 3 = 0, tj. W1 ∩ W2 = {[0, 0, 0]}.
DEFINICE 3.52. Nechť W je vektorový podprostor vektorového
prostoru (V, LF) a P : V ։ W lineární operátor s vlastností: Px = x
pro každé x ∈ W. Pak P se nazývá projekční. P je zřejmě surjektivní
a P2
= P, tj. P(Px) = Px pro každé x ∈ V (tzv. vlastnost
idempotence).
VĚTA 3.53. Nechť (V, LF) je vektorový prostor a V = W1 ∔W2. Definujme
zobrazení P1 : V → W1 takto: P1(x) := x1 je onen dle věty
3.45(4) jednoznačně určený prvek z vyjádření x = x1 + x2, x1 ∈ W1,
x2 ∈ W2. Pak P1 je projekční operátor nazývaný operátorem rov-
noběžné6
projekce na podprostor W1, přičemž N(P1) = W2 a
V/
P1
∼= V/W2 .
6rozumí se rovnoběžně s podprostorem W2
72
Všude v tomto odstavci uvažujeme pouze reálné nebo komplexní vektorové
prostory, tj. F ⊆ C, zpravidla F = R nebo F = C.
DEFINICE 3.54. Nechť V je (reálný nebo komplexní) vektorový
prostor. Normou na V rozumíme funkci7
· : V → R+
s těmito
vlastnostmi:
(N1) x + y ≤ x + y pro každé x, y ∈ V
(trojúhelníková nerovnost).
(N2) αx = |α| x pro každé x ∈ V a α ∈ F.
(N3) Pro každé x ∈ V platí x ≥ 0, přičemž x = 0 ⇔ x = 0.
Vektorový prostor V pak nazýváme normovaným lineárním (vektorovým)
prostorem, zkráceně NL-prostorem a píšeme (V, LF, · ).
VĚTA 3.55. Vlastnosti normy, důkaz D.32
Z axiomů (N1) až (N3) bezprostředně vyplývají některé další užitečné
vlastnosti normy, například:
(N4) | x − y | ≤ x ± y ≤ x + y pro každé x, y ∈ V.
PŘÍKLAD 3.56.
(1) Absolutní hodnota |·| je normou v (F, LF).
(2) Podobně pro x =: [x1, . . . , xn] ∈ Fn
, n ∈ N, definuje vztah
x 1 := |x1| + · · · + |xn| tzv. 1-normu v (Fn
, LF).
(3) Dá se ukázat, že pro libovolné p ∈ N je rovněž
x p := p
Ô
|x1|p + · · · + |xn|p tzv. p-norma v (Fn
, LF). V limitě
pro p → ∞ dostaneme normu x ∞ := max(|x1|,. . . , |xn|).
POZNÁMKA 3.57. Norma představuje míru pro velikost vektorů ve
vektorovém prostoru. Norma x 2 z předchozího příkladu je běžně
užívaná Euklidovská norma.
7někdy také budeme psát · V místo · , abychom zdůraznili příslušnost
normy k prostoru V .
73
prostor. Skalárním (vnitřním) součinem na V rozumíme funkci8
·, · : V × V → F s těmito vlastnostmi:
(S1) x + y, z = x, z + y, z pro každé x, y, z ∈ V .
(S2) αx, y = α x, y pro každé x, y ∈ V a α ∈ F.
(S3) y, x = x, y pro každé x, y ∈ V , zejména tedy x, x ∈ R.
(S4) Pro každé x ∈ V platí x, x ≥ 0, přičemž x, x = 0 ⇔
x = 0.
Vektorový prostor V pak nazýváme lineárním (vektorovým) prostorem
s vnitřním součinem, zkráceně VS-prostorem a píšeme
(V, LF, ·,· ).
VĚTA 3.59. (Vlastnosti skalárního součinu, důkaz D.33)
Z axiomů (S1) až (S4) vyplývají některé další užitečné vlastnosti skalárního
součinu, například:
(S5) x, y + z = x, y + x, z pro každé x, y, z ∈ V .
(S6) x, αy = α x, y pro každé x, y ∈ V a α ∈ F.
(S7) 0, x = x, 0 = 0 pro každé x ∈ V .
POZNÁMKA 3.60.
Je-li V reálný vektorový prostor (F = R), pak (S3) a (S6) jsou tvaru:
(S3’) y, x = x, y pro každé x, y ∈ V (symetrie).
(S6’) x, αy = α x, y pro každé x, y ∈ V a α ∈ R.
Vlastnosti (S1), (S2), (S5) a (S6’), resp. (S6), znamenají, že ·,· je
tzv. bilineární forma na V. Vlastnost (S3’) znamená, že ·, · je
dokonce symetrická bilineární forma.
Vzhledem k vlastnostem bilinearity můžeme dále s výhodou provádět
8někdy také budeme psát ·, · V místo ·, · , abychom zdůraznili příslušnost
skalárního součinu k prostoru V .
74
n
i=1
ξixi,
m
j=1
ηj yj =
n
i=1
ξi xi,
m
j=1
ηjyj =
n
i=1
ξi
m
j=1
ηj xi, yj =
=
n
i=1
m
j=1
ξiηj xi, yj . (3.1)
VĚTA 3.61 ((Cauchy-)Schwarzova nerovnost, důkaz D.34).
[KaSk:V11.5 s.105]
(S8) | x, y | ≤
Ô
x, x
Ô
y, y
(S9)
= x y pro každé x, y ∈ V ,
přičemž rovnost nastane jen v případě, že x, y jsou lineárně
závislé, tj. jen když jeden z nich je skalárním násobkem druhého
(viz větu 3.18).
DŮSLEDEK 3.62 (Důkaz D.35).
(S9) x :=
Ô
x, x je norma na V nazývaná normou odvozenou
ze skalárního součinu ·, · nebo také normou indukovanou
skalárním součinem ·, · .
Věta 3.63 (Důkaz D.36).
V NL-prostoru V s normou · lze zavést vnitřní součin ·, · indukující
tuto normu dle (S9) právě když platí tzv. rovnoběžníkový
zákon (součet délek úhlopříček rovnoběžníku=součet délek stran):
(S10) x + y 2
+ x − y 2
= 2( x 2
+ y 2
) pro každé x, y ∈ V .
PŘÍKLAD 3.64.
• (Cn
, LC), n ∈ N, je VS-prostorem s vnitřním součinem
x, y =
Èn
i=1 xiyi.
• (Rn
, LR), n ∈ N, je VS-prostorem s vnitřním součinem
x, y =
Èn
i=1 xiyi.
• Indukovanou normou je v obou případech euklidovská norma, neboť
x, x =
Èn
i=1 xixi =
Èn
i=1|xi|2
= x 2
2.
• Protože každé dva nenulové reálné vektory x, y generují nejvýše
75
můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že x, y ∈ R2
. Pak užitím
Pythagorovy věty dostáváme (α a β jsou úhly, které po řadě
vektory x a y svírají s osou x):
x, y = x1y1 + x2y2 =
= ( x cos α) ( y cos β) + ( x sin α) ( y sin β) =
= x y (cos α cos β + sin α sin β) =
= x y cos(β − α).
Pak ϕ := β − α je úhel mezi směrově orientovanými vektory x a y a
můžeme psát:
−1 ≤ cos ϕ :=
x, y
x y
≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ π, (3.2a)
což poskytuje geometrickou interpretaci Schwarzovy nerovnosti.
V komplexním případě je x, y obecně komplexní číslo, takže úhel
můžeme zavést jen jako úhel mezi neorientovanými vektory:
0 ≤ cos ϕ :=
| x, y |
x y
≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤
π
2
, (3.2b)
Skalární součin tedy prostřednictvím Schwarzovy nerovnosti umožňuje
zavést úhlovou geometrii do libovolného abstraktního vektorového
prostoru se skalárním součinem dle následující definice.
DEFINICE 3.65.
Nechť V je reálný (resp. komplexní) vektorový prostor a x, y ∈ V jeho
dva nenulové vektory. Pak úhlem mezi x a y (svíraným vektory
x a y) rozumíme úhel ϕ určený svým kosinem dle (3.2a) (resp. dle
(3.2b)). Je-li x = 0 nebo y = 0, klademe definitoricky ϕ = π
2
.
• Řekneme, že vektory x a y jsou ortogonální, jestliže x, y = 0
(tj. když svírají pravý úhel), píšeme x ⊥ y. Zřejmě nulový vektor 0
je dle (S7) kolmý na každý vektor x ∈ V a dle (S4) je to současně
jediný vektor, který je kolmý sám na sebe.
• Podobně podmnožiny M, N ⊆ V se nazývají k sobě ortogonální,
76
M ⊥ N (místo {x} ⊥ N píšeme stručně x ⊥ N).
• Řekneme, že množina M ⊆ V je ortogonální, jestliže x ⊥ y pro
každou dvojici x, y ∈ M, x = y. Ortogonální množina M se nazývá
ortonormální9
, jestliže navíc x = 1 pro každé x ∈ M.
VĚTA 3.66 (Důkaz D.37). [KaSk:V11.8 s.106]
Nechť E := {e1, . . . , en} je ortogonální množina VS-prostoru V . Pak
platí:
(a) množina {α1e1, . . . , αnen} je ortogonální pro libovolná čísla
α1, . . . , αn ∈ F,
(b) pokud E neobsahuje nulové vektory, pak E lze normalizovat:
množina { 1
e1
e1, . . . , 1
en
en} je ortonormální.
VĚTA 3.67 (Pythagorova věta, Důkaz D.38). [KaSk:V11.9 s.106]
(S11) x + y 2
= x 2
+ y 2
pro každé x, y ∈ V , x ⊥ y.
Je-li E = {e1, . . . , en}, n ∈ N, ortogonální množina vektorového prostoru
V . Pak platí
(S11’) e1 + e2 + · · · + en
2
= e1
2
+ e2
2
+ · · · + en
2
.
VĚTA 3.68 (Důkaz D.39).
Nechť E je ortogonální množina VS-prostoru V neobsahující nulové
prvky. Pak E je lineárně nezávislá. Zejména tedy každá ortonormální
množina E ⊆ V je lineárně nezávislá. Jestliže taková množina E
generuje celý prostor V (viz 3.19(3)), nazývá se ortogonální, resp.
ortonormální báze prostoru V (zkráceně OB, resp. ONB).
DŮSLEDEK 3.69 (Důkaz D.40).
Nechť E je ONB VS-prostoru V , pak každý vektor x ∈ V má jediné
vyjádření ve tvaru x =
È
e∈E x, e e, kde suma má nejvýše konečně
mnoho nenulových sčítanců, neboť card {e ∈ E | x, e = 0} < ∞.
9Na rozdíl od ortogonální množiny nemůže dle (N3) ortonormální množina
obsahovat nulové prvky.
77
vektor souřadnic10
[x]E = [ x, e1 , . . . , x, en ].
DŮSLEDEK 3.70 (Souřadnicové vyjádření skalárního součinu v ONB).
Nechť E je ONB VS-prostoru V , x, y ∈ V , pak skalární součin lze
vyjádřit ve tvaru x, y =
È
e∈E x, e y, e , kde suma má nejvýše
konečně mnoho nenulových sčítanců. Zejména v případě x = y platí
x =
ÕÈ
e∈E| x, e |2.
Je-li V konečně rozměrný a E = {e1, . . . , en}, pak x, y =
Èn
i=1 ξiηi
a x =
ÔÈn
i=1|ξi|2, kde [x]E =: [ξ1, . . . , ξn], [y]E =: [η1, . . . , ηn],
ξi = x, ei a ηi = y, ei pro i = 1, . . . , n.
Důkaz. D.41.
Věta 3.71 (Důkaz D.42).
Nechť ∅ = M ⊆ V je podmnožina VS-prostoru V . Pak množina
M⊥
:= {x ∈ V | x ⊥ M} je vektorový podprostor ve V a platí
L(M)⊥
= M⊥
. Množina M⊥
se nazývá ortogonální doplněk (komplement)
množiny M ve V . Přitom M ⊆ N ⇒ N⊥
⊆ M⊥
.
POZNÁMKA 3.72. Z předchozí věty vyplývá důležitý fakt: k tomu,
aby nějaký vektor x ∈ V byl kolmý na nějaký podprostor W ve V
stačí, aby byl kolmý na nějakou obvykle podstatně menší množinu
jeho generátorů (konečná množina, pokud dim W < ∞).
VĚTA 3.73 (Důkaz D.43).
Nechť {(Wi, LF)}i∈I je systém navzájem kolmých VS–podprostorů VS-prostoru
(V, LF), Wi ⊥ Wj pro i = j. Pak jejich součet W :=
È
i∈I Wi
je přímý a nazývá se ortogonální součet podprostorů {Wi}i∈I .
Místo W =
È
i∈I Wi v takovém případě píšeme W =
Ä
i∈I Wi. Speciálně
v případě ortogonálního součtu dvou, resp. konečného počtu
(n ≥ 2) podprostorů píšeme W = W1 ⊕W2, resp. W = W1 ⊕· · ·⊕Wn.
10viz definici 3.31
78
Nechť (V, LF) je VS-prostor a V = W ⊕ W′
. Pak W′
= W⊥
je jediný
přímý doplněk ortogonální k W. V tomto případě operátor rovnoběžné
projekce V na W zavedený ve větě 3.53 nazýváme operátorem ortogonální
projekce a značíme jej PW . Každý vektor x ∈ V lze pak
jednoznačně rozložit na součet x = x + x⊥
, kde x := PW x ∈ W je
ortogonální projekce x na W a x⊥
∈ W⊥
je jednoznačně určená
reziduální složka vektoru x, x⊥
⊥ W.
DŮSLEDEK 3.75 (Důkaz D.45).
I−PW je operátor ortogonální projekce V na W⊥
a platí W⊥⊥
= W.
VĚTA 3.76 (Některé vlastnosti operátoru ortogonální projekce).
Nechť W1 a W2 jsou vektorové podprostory VS-prostoru V a PW1 a
PW2 operátory ortogonální projekce prostoru V po řadě na W1 a W2.
Pak platí:
(1) x ∈ W1 ⇔ PW1 x = x.
(2) x ∈ W⊥
1 ⇔ PW1 x = 0.
(3) W2 ⊆ W1 ⇔ PW2(PW1x) = PW2x pro každé x ∈ V.
DŮKAZ. D.46
VĚTA 3.77 (Věta o ortogonální projekci).
Nechť (V, LF) je VS-prostor, V = W ⊕ W⊥
a x = PW x pro nějaký
vektor x ∈ V . Pak x − x = infy∈W x − y a x je jediný prvek ve
W s takovou vlastností.
Je-li W = L(E), pak x = β1e1 + · · · + βnen pro vhodné11
vektory
ei ∈ E a βi ∈ F, i = 1, . . . , n, n ∈ N. Vektor x proto také nazýváme
nejlepší lineární aproximací x pomocí vektorů z E
podle normy · . Je-li E ONB ve W, pak βi = x, ei = x, ei pro
i = 1, . . . , n.
DŮKAZ. D.47
11zatímco x je určen jednoznačně, jeho lineární reprezentace pomocí βj a
ej ∈ E je jediná jen v případě, že E je báze.
79
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem ·, · a nechť
v1, . . . , vn (n ∈ N) je báze12
vektorového podprostoru W prostoru V .
Položme Wk := L({v1, . . . , vk}) pro každé k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n a
definujme rekurentně vektory e1, . . . , en ∈ V takto:
e1 = v1,
ek = vk − PWk−1 vk = vk −
k−1
j=1
vk, ej
ej
2
ej pro každé k = 2, . . . , n.
Pak L({e1, . . . , ek}) = Wk pro každé k = 1, . . . , n, přičemž vektory
e1, . . . , ek tvoří ortogonální bázi ve Wk. Zejména tedy vektory
e1, . . . , en tvoří ortogonální bázi ve W = Wn.
Důkaz. D.48
DŮSLEDEK 3.79 (Důkaz D.49). [KaSk:V11.12 s.107]
Každý VS-prostor V konečné dimenze má ortogonální i ortonormální
bázi. Přitom každou jeho ortogonální množinu bez nulových prvků lze
doplnit na OB ve V a každou jeho ortonormální množinu lze doplnit
na ONB ve V .
VĚTA 3.80 (Důkaz D.50).
Pro každý konečně rozměrný podprostor W vektorového prostoru (V, LF)
platí V = W ⊕W⊥
a tedy v takovém případě lze vždy použít větu o ortogonální
projekci.
Důsledek 3.81.
Nechť ∅ = M ⊆ V je podmnožina VS-prostoru V generující ve V
podprostor L(M) konečné dimenze. Pak M⊥⊥
= L(M).
Důkaz. W := L(M), dim W < ∞
3.80
⇒ V = W ⊕W⊥ 3.75
⇒ W = W⊥⊥
=
L(M)⊥⊥ 3.71
= M⊥⊥
.
12algoritmus lze po modifikaci užít i v případě, že v1, . . . , vn pouze generují
prostor V : v rekurzi pro ek sčítáme jen přes ta j, pro něž ej = 0; bázi pak tvoří
jen nenulové vektory ej .
80
Nechť (V1, LF) a (V2, LF) jsou dva VS-prostory a T : V1 → V2 lineární
operátor. Jestliže existuje zobrazení T∗
: V2 → V1 takové, že Tx, y =
x, T∗
y platí pro každé x ∈ V1 a y ∈ V2, pak T∗
je jediné takové
a určuje lineární operátor nazývaný operátorem adjungovaným
k T. Je-li V1 = V2 a T = T∗
, pak T se nazývá samoadjungovaný
operátor.
Věta 3.83.
Je-li T lineární operátor jako v 3.82 a dim R(T) =: n < ∞ pak T∗
existuje a zkonstruuje se takto:
(1) V R(T) vybereme nějakou n-prvkovou ortonormální bázi E′
a b1, . . . , bn ∈ V1 takové, že E′
= {T(b1), . . . , T(bn)}.
(2) Pak B := {b1, . . . , bn} je lineárně nezávislá ve V1 a tedy generuje
ve V1 podprostor W := L(B) rovněž dimenze n.
(3) Nechť E =: {e1, . . . , en} je ONB ve W získaná Gram-Schmidtovou
ortogonalizací báze B dle 3.78.
(4) Pro každé y ∈ V2 položíme T∗
y :=
Èn
j=1 y, Tej ej .
POZNÁMKA 3.84. Každý lineární operátor V1 → V2 určuje vztahem
Tx, y bilineární formu V1 ×V2 → F (srov. 3.60), kterou lze vzhledem
k linearitě T opět upravovat podle vztahů analogických k (3.1):
T
  n
i=1
ξixi
¡
,
m
j=1
ηj yj =
n
i=1
m
j=1
ξiηj Txi, yj . (3.3)
Je-li V := V1 = V2, pak zobrazení V → V definované vztahem Tx, x
nazýváme kvadratickou formou. Pokud navíc platí T = T∗
, pak
tato forma nabývá pouze reálných hodnot, neboť
Tx, x = x, Tx
(S3)
= Tx, x .
Samoadjungovaný operátor T se nazývá (striktně) pozitivní, jestliže
Tx, x ≥ 0 pro každé x ∈ V ( Tx, x > 0 pro každé x = 0), neboli
když jím určená kvadratická forma nabývá pouze nezáporných
hodnot (kladných hodnot pro nenulová x). Píšeme T ≥ 0 (T > 0).
81
Nechť (V1, LF), (V2, LF) a (V3, LF) jsou VS-prostory, T : V1 → V2 a
U : V2 → V3 lineární operátory a T∗
: V2 → V1 a U∗
: V3 → V2
operátory k nim adjungované. Pak platí
(1) T je operátor adjungovaný k T∗
, tj. platí T∗∗
= T.
(2) T∗
U∗
je operátor adjungovaný ke složenému operátoru
UT : V1 → V3, tj. platí (UT)∗
= T∗
U∗
.
(3) Identický operátor I : V1 → V1 je samoadjungovaný, tj.
I∗
= I.
(4) TT∗
i T∗
T jsou pozitivní operátory a tedy také samoadjun-
gované.
Věta 3.86 (Charakterizace ortogonální projekce, Důkaz D.53).
Nechť (V, LF) je VS-prostor a P surjektivní zobrazení V na nějaký
jeho podprostor W. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(1) P = PW , tj. P je operátor ortogonální projekce V na W.
(2) Pro každé x ∈ V platí x − Px ⊥ W.
(3) P je lineární operátor s vlastnostmi: P2
= P (tj. P je projekční)
a P = P∗
(tj. P je samoadjungovaný).
Důsledek 3.87 (Důkaz D.54).
Každý operátor ortogonální projekce je pozitivní.
Věta 3.88 (ilustrační obr. V3-88obr.tif(->ZIP), Důkaz D.55).
Nechť (V1, LF), (V2, LF) jsou VS-prostory, T : V1 → V2 lineární operátor
a T∗
: V2 → V1 operátor k němu adjungovaný. Pak platí:
(1) N(T) = R(T∗
)⊥
a N(T∗
) = R(T)⊥
.
(2) T = T∗
⇒ N(T) = R(T)⊥
.
(3) N(T∗
T) = N(T) a N(TT∗
) = N(T∗
).
(4) T surjektivní ⇒ T∗
je izomorfní vnoření.
T∗
surjektivní ⇒ T je izomorfní vnoření.
(5) Jestliže dim R(T) < ∞ nebo dim R(T∗
) < ∞, pak
(i) V1 = R(T∗
) ⊕ N(T), V2 = R(T) ⊕ N(T∗
),
(ii) N(T)⊥
= R(T∗
), N(T∗
)⊥
= R(T),
82
(iv) T∗
|R(T ) : R(T) → R(T∗
) i T|R(T ∗) : R(T∗
) → R(T)
jsou izomorfizmy a tedy dim R(T) = dim R(T∗
) =: n.
(v) dim V1 = n + dim N(T) a dim V2 = n + dim N(T∗
).
(vi) T izomorfizmus ⇒ T∗
je izomorfizmus, (T−1
)
∗
existuje
a platí (T−1
)
∗
= (T∗
)−1
.
DEFINICE 3.89. Lineární operátor z VS-prostoru V1 do VS-prostoru
V2 se nazývá unitární (ortogonální13
), jestliže zobrazuje nějakou
ONB ve V1 na ONB ve V2 o stejné mohutnosti. Každý unitární operátor
je dle 3.30(4) izomorfizmem, nazývá se proto také unitárním
izomorfizmem prostorů V1 a V2.
Jestliže existuje unitární operátor V1 na V2, pak říkáme, že prostory V1
a V2 jsou unitárně izomorfní a píšeme (V1, LF)
U
≃ (V2, LF). Jestliže
V1 je unitárně izomorfní pouze s nějakým podprostorem ve V2, pak píšeme
(V1, LF)
U
(V2, LF) a každý unitární operátor V1 na R(V1) ⊆ V2
nazýváme unitárně izomorfním vnořením V1 do V2.
VĚTA 3.90 (Charakterizace unitárních operátorů, Důkaz D.56).
Nechť (V1, LF), (V2, LF) jsou VS-prostory a existuje ONB ve V1. Nechť
dále T : V1 → V2 je lineární operátor. Pak následující výroky jsou
ekvivalentní:
(1) T je unitární.
(2) T zobrazuje každou ONB ve V1 na ONB ve V2 o stejné mo-
hutnosti.
(3) T je surjekce zachovávající skalární součin:
Tx, Ty = x, y pro každé x, y ∈ V1.
(4) T je surjekce zachovávající normu (tzv. izometrie):
Tx = x pro každé x ∈ V1.
(5) T∗
existuje a platí T∗
= T−1
.
(6) T∗
existuje a T∗
T je identický operátor.
13Termín ortogonální se obvykle užívá v případě reálných prostorů (F = R).
83
a platí nejen T∗
T = IV1 dle (6), ale i TT∗
= IV2 .
DŮSLEDEK 3.91 (Charakterizace unitárně izomorfních vnoření).
Za předpokladů předchozí věty jsou ekvivalentní následující výroky:
(1’) T je unitárně izomorfní vnoření.
(2’) T zobrazuje každou ONB ve V1 na ortonormální množinu ve
V2 o stejné mohutnosti.
(3’) T zachovává skalární součin:
Tx, Ty = x, y pro každé x, y ∈ V1.
(4’) T zachovává normu: Tx = x pro každé x ∈ V1.
(5’) T∗
: R(T) → V1 existuje a platí T∗
= T−1
na R(T).
(6’) T∗
existuje a T∗
T je identický operátor.
V takovém případě T−1
= T∗
je rovněž unitární operátor z R(T) na
V1 a platí nejen T∗
T = IV1 dle (6’), ale i TT∗
= IR(T ).
Důkaz. Je přímým důsledkem věty 3.90, jestliže uvážíme, že T : V1 → V2
je unitárně izomorfním vnořením právě když T : V1 → R(T) je unitárním
izomorfizmem. Stačí tedy ve formulacích dle potřeby V2 zaměnit
za R(T). Přitom surjektivita na R(T) je automatická, takže tento
požadavek lze ve (3’) a (4’) vypustit.
DŮSLEDEK 3.92 (Důkaz D.57).
Je-li (V, LF) VS-prostor konečné dimenze n, a E jeho ONB, pak izomorfizmus
[·]E : V → Fn
z věty 3.32 je dokonce unitární izomorfizmus
(V, LF) na (Fn
, LF).
DŮSLEDEK 3.93 (Důkaz D.58).
(1) Dva konečně rozměrné reálné (komplexní) VS-prostory V1 a
V2 mají stejnou dimenzi právě když (V1, LF)
U
≃ (V2, LF).
(2) Pro dva konečně rozměrné reálné (komplexní) VS-prostory
(V1, LF), (V2, LF) platí dim V1 ≤ dim V2 právě když
(V1, LF)
U
(V2, LF).
84
skalár scalar
skalární součin dot product
vektor vector
vektorový (lineární) prostor vector (linear) space
podprostor subspace
lineární kombinace linear combination
lineární obal linear span
(lineárně) generovaný (čím) spanned by
báze basis
lineárně (ne)závislý linearly (in)dependent
dimenze dimension
n-dimenzionální n-dimensional
vícerozměrný multivariate
lineární zobrazení (operátor) linear mapping (operator)
vnoření embedding
nulový podprostor (jádro) operátoru null space
prostor hodnot operátoru range space
souřadnice co-ordinates
faktor prostor factor space
kongruentní modulo congruent modulo
(přimý) součet (direct) sum
přímý doplněk direct complement
projekční operátor projection operator
norma norm
normovaný prostor normed space
vnitřní (skalární) součin inner (scalar) product
prostor s vnitřním součinem inner product space
bilineární forma bilinear form
kvadratická forma quadratic form
Pythagorova věta Pythagorean theorem
rovnoběžníkový zákon parallelogram law
úhel mezi angle between
85
ortonormální orthonormal
ortogonální doplněk orthogonal complement
ortogonální součet orthogonal sum
ortogonální projekce orthogonal projection
nejlepší lineární aproximace best linear approximation
ortogonalizace orthogonalization
(samo)adjungovaný (self-)adjoint
(striktně) pozitivní (strictly) positive
unitární operátor unitary operator
unitárně izomorfní unitary isomorphic
86
Teorie a příklady: [KaSk: s.63-129], [Šik: s.1-23]
Příklady: [Ho:řešené č.16-36; s.17-37],
[Ho:neřešené kap.4, 5 s.100-137]
Teorie matic představuje formální kalkulus pro manipulaci s vektory
a lineárními zobrazeními ve VS-prostoru (Fn
, LF). Prostřednictvím
unitárního izomorfizmu z 3.92 lze tento aparát užít i pro jakýkoli
abstraktní vektorový prostor (V, LF) konečné dimenze.
Numerické výpočetní prostředí MATLAB používá matice nad komplexními
čísly (F = C) jako základní proměnné a je tedy ideálním výpočetním
prostředím pro řešení úloh lineárního charakteru. Má však
daleko širší záběr i nad tento lineární rámec.
Název systému je odvozen z angličtiny: MATLAB=MATrix LABoratory.
Systém produkuje americká společnost MathWorks, Inc.
(http://www.mathworks.com) a jejím výhradním distributorem pro
Českou republiku je pražská firma Humusoft, s.r.o.
(http://www.humusoft.cz). Obecně lze systém MATLAB charakterizovat
jako maticově orientované výpočetní prostředí s vlastním programovacím
jazykem vhodným pro efektivní implementaci, provádění
a vizualizaci numerických výpočtů vyžadujících náročný aparát z nejrůznějších
oblastí matematiky. Je dostupný na všech běžných platformách
(WINDOWS, LINUX, UNIX, atd.) při zachování takřka stoprocentní
přenositelnosti vytvořených programů a datových souborů.
Vzhledem ke svému snadnému a intuitivnímu ovládání bude proto
MATLAB nadále využíván k demonstracím i ve cvičeních.
Cvičení v MATLABu: tmcv1, tmcv2, tmcv3, tmcv4
87
DEFINICE 4.1. Nechť I a J jsou konečné lineárně uspořádané
množiny (m := card I, n := card J), pak každé zobrazení A : I ×J →
F nazýváme maticí nad F typu m/n (rozměru m × n). Pro každé
i ∈ I a j ∈ J značíme hodnotu tohoto zobrazení jako aij := A(i, j)
(aij ∈ F) a nazýváme prvkem matice A v i-tém řádku a j-tém
sloupci nebo také (i, j)-tým prvkem matice A.
Množina I, resp. J se nazývá množinou řádkových, resp. sloupcových
indexů matice A. V dalším se bez újmy na obecnosti můžeme
omezit na standardně užívané indexové množiny I = {1, 2, . . . , m}
a J = {1, 2, . . . , n}. Matici A pak zapisujeme jako podrobný výčet
všech jejích prvků uspořádaný do tabulky:
A =
¾
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
¿
. (4.1)
Pokud aij nepředstavují konkrétní hodnoty, vystačíme se zjednodušeným
symbolickým zápisem A = [aij ]. Speciální případy:
• m = n: A nazýváme čtvercovou maticí řádu m.
• m = 1: A nazýváme řádkovým vektorem délky n.
• n = 1: A nazýváme sloupcovým vektorem délky m.
• m = n = 1: A ztotožňujeme s jejím jediným prvkem, tj. [a] = a.
• m = 0: A nazýváme prázdným řád. vektorem délky n.
• n = 0: A nazýváme prázdným sloup. vektorem délky m.
• m = n = 0: A nazýváme prázdnou maticí typu 0/0.
Je-li m = 0 nebo n = 0, pak A se nazývá prázdná matice14
. Píšeme
A = [ ].
14Prázdná matice koresponduje s prázdným zobrazením zavedeným v poznámce
1.36(4).
88
Matici B =: [bkl] nazveme submaticí matice A =: [aij], jestliže
existují řádkové indexy 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ m a sloupcové
indexy 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jq ≤ n tak, že bkl = aikjl pro každé
k = 1, . . . , p a l = 1, . . . , q. Píšeme B = A([i1, . . . , ip], [j1, . . . , jq]).
Speciální případy:
• p = m (vybrány všechny řádky): B =: A(:, [j1, . . . , jq]),
• q = n (vybrány všechny sloupce): B =: A([i1, . . . , ip], :),
• p = 1 (vybrán jeden řádek i := i1): B =: A(i, [j1, . . . , jq]),
• q = 1 (vybrán jeden sloupec j := j1): B =: A([i1, . . . , ip], j),
• i-tý řádek matice A: B =: A(i, :),
• j-tý sloupec matice A: B =: A(:, j).
Poznámka 4.3.
(1) Matice lze sestavovat i po blocích ve tvaru (4.1), kde aij mohou
být nahrazeny submaticemi Aij kompatibilních rozměrů.
Při sestavování matice pomocí bloků skládaných vedle sebe
(pod sebe) budeme v souladu se syntaxí jazyka MATLAB
v zápisech užívat jako oddělovače čárku (středník). Například
matici A ze (4.1) můžeme pomocí jejích sloupců sj := A(:,j),
resp. řádků ri := A(i, :) zapsat také takto:
A = [s1, . . . , sn], resp. A = [r1; . . . ; rm].
(2) Ztotožníme-li řádkové, resp. sloupcové vektory délky n s prvky
vektorového prostoru Fn
, můžeme matici A typu m/n interpretovat
dvojím způsobem:
a) jako uspořádaný systém m řádkových vektorů z Fn
,
b) jako uspořádaný systém n sloupcových vektorů z Fm
.
Takový systém může v příslušném prostoru hrát roli systému
generátorů nějakého podprostoru, jeho báze apod.
Označení .
Mm,n := Mm,n(F) . . . množina všech matic nad F typu m/n,
δij =
´
1 pro i = j
0 pro i = j
. . . Kroneckerův symbol δ.
89
εi := [δ1,i; δ2,i; . . . ; δn,i] . . . i-tý prvek přirozené báze E dle 3.25(4).
In := [δi,j] . . . jednotková matice řádu n: In(i, :) = In(:, i) = εi;
její i-tý řádek (sloupec) je právě εi, pokud neděláme
rozdíl mezi řádkovou či sloupcovou formou zápisu.
0m,n . . . nulová matice typu m/n: všechny prvky jsou nuly.
1m,n . . . matice jedniček typu m/n: všechny prvky jsou jedničky.
Eij ∈ Mm,n . . . matice, kde Eij(i, j) = 1 a ostatní prvky jsou nuly.
diag(A) =: [a11, a22, . . . ] . . . hlavní diagonála matice A.
[a1n, a2,n−1, a3,n−2 , . . . ] . . . vedlejší diagonála matice A.
Poznámka 4.4. Je-li x = [x1; . . . ; xn], pak zřejmě x =
Èn
i=1 xiεi a
tedy složky xi jsou dle 3.31 přímo souřadnicemi x v přirozené bázi.
Tudíž x = [x]E a zobrazení [·]E : Fn
→ Fn
je identita.
DEFINICE 4.5 (Matice se speciální strukturou).
Konstantní matice: A = [aij ], kde aij = a ∀ i, j, neboli matice, jejíž
všechny prvky jsou stejné, například 0m,n a 1m,n.
Diagonální matice: D = [dij], dij = 0 pro ∀ i = j,
neboli matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové.
diag(d), diag(d1, . . . , dn) . . . čtvercová diagonální matice řádu n s hlavní
diagonálou d = [d1, . . . , dn].
Symetrická matice: A = [aij], aij = aji ∀ i, j,
neboli matice se stejnými řádky a sloupci: A(i, :) = A(:,i) ∀ i
(symetrie vzhledem k hlavní diagonále).
Antisymetrická matice: A = [aij], aij = −aji ∀ i, j, neboli matice,
kde řádky a sloupce mají opačné znaménko: A(i, :) = −A(:, i) ∀ i
(antisymetrie vzhledem k hlavní diagonále). Jelikož aii = −aii, tak
každá antisymetrická matice má nulovou hlavní diagonálu.
Hermitovsky symetrická matice (F ⊆ C): A = [aij], aij = aji ∀ i, j,
neboli matice, kde řádky a sloupce jsou vůči sobě komplexně sdružené:
A(i, :) = A(:, i) ∀ i (hermitovská symetrie vzhledem k hlavní
diagonále). Jelikož aii = aii, tak každá hermitovsky symetrická matice
má na hlavní diagonále reálná čísla.
90
se symetrií.
Hermitovsky antisymetrická matice (F ⊆ C): A = [aij ], aij = −aji
∀ i, j (tj. Re aij = −Re aji a Im aij = Im aji),
neboli matice, kde řádky a sloupce se liší znaménkem v reálné části:
A(i, :) = −A(:,i) ∀ i (hermitovská antisymetrie vzhledem k hlavní diagonále).
Jelikož aii = −aii, tak každá hermitovsky antisymetrická
matice má na hlavní diagonále ryze imaginární čísla nebo nuly.
Je-li aij ∈ R ∀ i, j, pak hermitovská antisymetrie je zřejmě ekvivalentní
s antisymetrií.
Horní trojúhelníková matice: U = [uij ], uij = 0 pro ∀ i > j,
neboli matice, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové.
Dolní trojúhelníková matice: L = [lij], lij = 0 pro ∀ i < j,
neboli matice, která má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.
Schodovitá matice: S = [sij] matice m × n, která je buď nulová nebo
existují přirozená čísla k ≤ m a 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n s těmito
vlastnostmi:
(a) siji = 0 pro 1 ≤ i ≤ k,
(b) sir = 0 pro 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ r < ji,
(c) sij = 0 pro k < i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Snadno jako cvičení se dokáže následující věta.
VĚTA 4.6. Nechť S je nenulová schodovitá matice jako v definici
4.5, pak S([1, . . . , k], [j1, . . . , jk]) je její horní trojúhelníková submatice
s nenulovými prvky siji na hlavní diagonále.
91
V hranaté závorce za názvem operace uvádíme její syntaxi v MATLABu.
DEFINICE 4.7 (LINEÁRNÍ OPERACE).
Operace sečítání matic téhož typu, výběru opačné matice a násobení
matice skalárem definujeme po složkách:
Sečítání [X = A + B]:
X
m×n
= A
m×n
+ B
m×n
def.
≡ X(i, j) := A(i, j) + B(i, j) ∀i, j.
Opačná matice [X = -A]:
X
m×n
= − A
m×n
def.
≡ X(i, j) := −A(i, j) ∀i, j.
Násobení matice skalárem a ∈ F [X = a*A]:
X
m×n
= a A
m×n
def.
≡ X(i, j) := aA(i, j) ∀i, j.
DEFINICE 4.8 (TRANSFORMACE MATICE NA VEKTOR).
Operátor vec : Mmn → Fmn
[A(:)]:
vec A
m×n
:= [A(:,1); A(:, 2); . . . ; A(:, n)].
Tento operátor skládá tedy sloupce matice A pod sebe do sloupcového
vektoru.
Věta 4.9. Stejně jako v příkladu 3.4(4) tvoří množina všech matic
Mm,n opatřená výše uvedenými operacemi vektorový prostor (Mm,n, LF)
s nulovou maticí 0m,n jako nulovým prvkem. Operátor vec je zřejmě
lineární a dokonce izomorfizmus vektorových prostorů (Mm,n, LF) a
(Fmn
, LF). Uvážíme-li 3.33 a 3.25(4), pak dim Mm,n = mn, přičemž
roli přirozené báze v Mm,n hraje systém matic Eij (i = 1, . . . , m;
j = 1 . . . , n).
DEFINICE 4.10 (TRANSPOZICE MATIC).
Transponovaná matice [X = A.’]:
X
n×m
= AT
m×n
def.
≡ X(i, j) := A(j,i) ∀i, j.
92
X(i, :) = A(:,i) nebo ekvivalentně X(:,i) = A(i, :) ∀ i.
Hermitovsky (konjugovaně) transponovaná matice (F ⊆ C) [X = A’]:
X
n×m
= A∗
m×n
def.
≡ X(i, j) := A(j, i) ∀i, j.
Tento operátor zaměňuje řádky (resp. sloupce) za komplexně sdružené
sloupce (resp. řádky):
X(i, :) = A(:,i), resp. ekvivalentně X(:,i) = A(i, :) ∀ i.
Transpoziční operátory mají zřejmě následující vlastnosti:
VĚTA 4.11 (Vlastnosti (hermitovské) transpozice).
(1) (A + B)T
= AT
+ BT
, (A + B)∗
= A∗
+ B∗
.
(2) (aA)T
= aAT
, (aA)∗
= aA∗
∀ a ∈ F.
(3) 0∗
m,n = 0T
m,n = 0n,m, 1∗
m,n = 1T
m,n = 1n,m,
E∗
ij = ET
ij = Eji ∀ i, j.
(4) (AT
)T
= A, (A∗
)∗
= A.
(5) A reálná ⇒ A∗
= AT
.
(6) A je symetrická ⇔ AT
= A,
A je hermitovsky symetrická ⇔ A∗
= A.
(7) D diagonální ⇒ DT
= D, zejména platí I∗
n = IT
n = In.
(8) A horní (dolní) trojúhelníková ⇒ A∗
i AT
jsou dolní (horní)
trojúhelníkové matice.
(9) a(A + AT
), resp. a(A − AT
) je symetrická, resp. antisymetrická
matice pro každou čtvercovou matici A a každé a ∈ F.
(10) a(A +A∗
), resp. a(A −A∗
) je hermitovsky symetrická, resp.
hermitovsky antisymetrická matice pro každou čtvercovou matici
A a každé a ∈ R.
(11) Každou čtvercovou matici A lze rozložit na její (hermitovsky)
symetrickou a antisymetrickou část:
A = 1
2
(A+AT
)+ 1
2
(A−AT
), A = 1
2
(A +A∗
)+ 1
2
(A−A∗
).
93
Jelikož transpozice transformuje sloupcový (řádkový) vektor na řádkový
(sloupcový), platí zejména [x1; . . . ; xn] = [x1, . . . , xn]T
.
V dalším budeme pro zápis sloupcových vektorů přednostně užívat
tvar [x1, . . . , xn]T
, který je v matematice standardní (užívání středníku
je totiž motivováno pouze syntaxí jazyka MATLAB).
DEFINICE 4.13 (MULTIPLIKATIVNÍ OPERACE).
Maticové násobení [X = A * B]:
X
m×p
= A
m×n
. B
n×p
def.
≡ X(i, j) :=
Èn
k=1 A(i, k).B(k,j) ∀i, j.
Výše uvedené lze ekvivalentně vyjádřit dvojím způsobem:
a) X(:,j) =
Èn
k=1 A(:, k).B(k, j) ∀ j . . . j-tý sloupec X je lineární
kombinací sloupců matice A pomocí koeficientů z j-ho
sloupce matice B, nebo ekvivalentně: X(:, j) = A.B(:,j).
b) X(i, :) =
Èn
k=1 A(i, k).B(k, :) ∀ i . . . i-tý řádek X je lineární
kombinací řádků matice B pomocí koeficientů z i-ho řádku
matice A, nebo ekvivalentně: X(i, :) = A(i, :).B.
Hadamardův součin matic [X = A .* B]:
X
m×n
= A
m×n
◦ B
m×n
def.
≡ X(i, j) := A(i, j).B(i, j) ∀i, j.
Hadamardův součin je tedy operace součinu pro matice téhož typu
zavedená po složkách podobně jako v případě sečítání.
Kroneckerův (přímý) součin matic [X = kron(A,B)]:
X
mm′×nn′
= A
m×n
⊗ B
m′×n′
def.
≡ X = [A(i, j)B] ∀i, j.
X je tedy matice sestavená z m × n bloků (submatic) A(i, j)B o rozměru
m′
× n′
.
Věta 4.14 (Vlastnosti multiplikativních operací).
(1) Asociativita:
(A.B).C = A.(B.C), (A ◦ B) ◦ C = A ◦ (B ◦ C),
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C).
94
A.(B + C) = A.B + A.C, A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C,
A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C.
(3) Distributivita zleva:
(A + B).C = A.C + B.C, (A + B) ◦ C = A ◦ C + B ◦ C,
(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C.
(4) Komutativita:
A ◦ B = B ◦ A.
Maticový součin ani Kroneckerův součin nejsou obecně komutativní
operace.
(5) Jednotkový prvek:
Im.A = A.In = A, 1m,n ◦ A = A ◦ 1m,n = A,
11,1 ⊗ A = A ⊗ 11,1 = A, In ⊗ Im = Imn.
(6) (Hermitovská) transpozice součinu:
(A.B)T
= BT
.AT
, (A.B)∗
= B∗
.A∗
,
(A ◦ B)T
= AT
◦ BT
, (A ◦ B)∗
= A∗
◦ B∗
,
(A ⊗ B)T
= AT
⊗ BT
, (A ⊗ B)∗
= A∗
⊗ B∗
.
(7) Pravidlo smíšeného součinu:
(A ⊗ B).(C ⊗ D) = A.C ⊗ B.D pro matice kompatibilních
rozměrů:
A je m × n, C je n × p ⇒ A.C je m × p,
B je m′
× n′
, D je n′
× p′
⇒ B.D je m′
× p′
,
Odtud: A ⊗ B je (mm′
× nn′
) a C ⊗ D je (nn′
× pp′
),
takže (A ⊗ B).(C ⊗ D) má rozměr (mm′
× pp′
), který je
stejný jako rozměr matice A.C ⊗ B.D.
(8) Maticový součin dvou vektorů:
a) součin řádkového vektoru se sloupcovým:
x = [x1; . . . ; xn],y = [y1; . . . ; yn] ⇒ xT
y = yT
x =
Èn
i=1 xiyi.
b) součin sloupcového vektoru s řádkovým:
x = [x1; . . . ; xm],y = [y1; . . . ; yn] ⇒ xyT
= [xiyj] ∈ Mm,n.
(9) Skalární součiny pomocí maticového násobení (F ⊆ C):
x = [x1; . . . ; xn],y = [y1; . . . ; yn] ⇒ y∗
x =
Èn
i=1 xiyi = x, y ,
X = [xij] ∈ Mn,p, Y = [yij] ∈ Mn,m ⇒ Y ∗
X =: Z ∈ Mm,p,
95
Tedy zij je skalární součin j-ho sloupce matice X s i-tým
sloupcem matice Y .
Speciálně pro X = Y ∈ Mn,m je X∗
X =: Z ∈ Mm,m, kde
Z =: [zij], zij = X(:,j), X(:,i)
(S3)
= X(:,i), X(:,j) ∀i, j.
Matice X∗
X je tzv. Gramova matice.
(10) Součin s diagonální maticí: Nechť D = diag(d1, . . . , dm). Pak
A =: [r1; . . . ; rm] ⇒ DA = [d1r1; . . . ; dmrm] a podobně
A =: [s1, . . . , sm] ⇒ AD = [d1s1, . . . , dmsm]. Tedy vynásobení
diagonální čtvercovou maticí zleva (zprava) vede k vynásobení
řádků (sloupců) odpovídajícími diagonálními prvky.
(11) Provedení permutace pomocí maticového násobení:
Nechť σ : J → J je permutace transformující přirozeně uspořádanou
množinu indexů J := {1, . . . , m} na permutovanou
množinu {σ(1), . . . , σ(m)} a nechť P σ je matice, která vznikne
z jednotkové matice In stejnou permutací jejích řádků (řádek
σ(i) se přesune na i-tou pozici), tj. P σ := [δσ(i),j]. Pak
A = [r1; . . . ; rm] ⇒ P σ.A = [rσ(1); . . . ; rσ(m)] a podobně
A = [s1, . . . , sm] ⇒ A.P T
σ = [sσ(1), . . . , sσ(m)]. Tedy permutace
řádků (sloupců) nějaké matice dosáhneme jejím vynásobením
zleva (zprava) maticí, která vznikne z jednotkové
matice provedením stejné permutace s jejími řádky (sloupci).
Je-li A = D = diag(d1, . . . , dm) diagonální, pak složení téže
řádkové a sloupcové permutace zřejmě stejným způsobem permutuje
diagonálu v D: P σDP T
σ = diag(dσ(1), . . . , dσ(m)).
(12) Maticový součin dvou trojúhelníkových (diagonálních) matic:
Výsledkem maticového součinu dvou dolních (horních) trojúhelníkových
matic je opět dolní (horní) trojúhelníková matice.
Na diagonále jsou přitom součiny odpovídajích diagonálních
prvků. Analogicky pro diagonální matice.
Důkaz. S výjimkou (7) jsou všechny vlastnosti bezprostředním důsledkem
definic příslušných operací.
96
Označení .
V konečně rozměrných vektorových prostorech lze báze vždy považovat
za množiny lineárně uspořádané svými indexy. Vektory souřadnicového
vyjádření operátoru T : V1 → V2 z definice 3.35 (dim V1 = n,
dim V2 = m, E1 báze ve V1, E2 báze ve V2) pak rovněž můžeme uspořádat
jako sloupce v matici, tj. [T]E1,E1 =: [[Te1]E2 , . . . , [Ten]E2 ]
je pak maticí rozměru m × n nazývanou maticovou reprezentací
operátoru T.
Nadále ve všech uvažovaných vektorových prostorech předpokládáme
souřadnicové vyjádření v pevně zvolených a lineárně uspořádaných
bázích, zejména pak v (Fn
, LF) jimi budou přirozené báze E, pokud
nebude řečeno jinak. V souladu s definicemi 3.31 a 3.35 tedy budou
vynechávány indexy jak ve vyjádření vektorů tak i operátorů: píšeme
stručně [x] a [T] = [[Te1], . . . , [Ten]].
VĚTA 4.15. Každá matice T ∈ Mm,n určuje předpisem x → T .x
(x ∈ Fn
) tzv. maticový lineární operátor T : (Fn
, LF) → (Fm
, LF).
Přitom platí:
(1) Je-li M =: [x1, . . . , xk] systém vektorů z Fn
uspořádaný do
sloupců matice, pak jeho obraz v operátoru T je matice
T(M ) = [T .x1, . . . , T .xk]
4.13a)
= T .M.
(2) [T] = [[Tε1], . . . , [Tεn]] = T .
(3) R(T ) := R(T) = L(s1, . . . , sn) a R(T T
) = L(r1, . . . , rm),
kde ri jsou řádky a sj sloupce matice T .
(4) Součinu dvou matic odpovídá složení příslušných maticových
operátorů.
(5) Identická matice určuje identický operátor.
Jestliže F ⊆ C, pak navíc platí:
(6) Každá hermitovsky transponovaná matice T ∗
určuje operátor
adjungovaný k operátoru určenému maticí T , přičemž
R(T ∗
) = L(r1, . . . , rm). V případě reálné matice T hraje
tutéž roli transponovaná matice T T
.
97
matice T je hermitovsky symetrická. V případě reálné matice
T hraje tutéž roli symetrická matice.
(8) Matice T určuje unitárně izomorfní vnoření právě když její
sloupce tvoří ortnormální množinu . Je-li T v takovém případě
navíc čtvercová, pak určuje unitární operátor a nazývá
se proto unitární maticí (resp. ortogonální maticí v případě
F ⊆ R).
DŮKAZ. K důkazu linearity stačí ověřit vlastnosti (1) a (2) z věty
3.27:
T .(x + y) = T .x + T .y je důsledkem distributivity 4.14(2).
T .(αx) = αT .x plyne přímo z definice 4.13 maticového násobení:Èn
k=1 T(i, k)αxk = α
Èn
k=1 T(i, k)xk.
(1) je opět přímým důsledkem maticového násobení dle 4.13a):
totiž j-tý sloupec T(M ) je lineární kombinací sloupců T pomocí
j-tého sloupce M(:,j) = xj, což je totéž jako T .xj.
(2) [T] = [[Tε1], . . . , [Tεn]]
4.4
= [Tε1, . . . , Tεn]
(1)
= T .In
4.14(5)
= T .
(3) Podle 4.13a) je T .x lineární kombinací sloupců T pomocí koeficientů
vektoru x ∈ Fn
. Pak R(T ) = {T .x | x ∈ Fn
}
3.12(2)
=
L(s1, . . . , sn). Podobně pro R(T T
) a R(T ∗
) v (6).
(4) je přímým důsledkem asociativity maticového násobení:
(U.T ).x
4.14(1)
= U.(T .x).
(5) dle 4.14(5) platí In.x = x pro každé x ∈ Fn
.
(6) T .x, y
4.14(9)
= y∗
.(T .x)
4.14(1)
= (y∗
.T ).x
4.11(4)
= (y∗
.T ∗∗
).x =
4.14(6)
= (T ∗
.y)∗
.x
4.14(9)
= x, T ∗
.y .
Je-li T reálná, pak T ∗
= T T
dle 4.11(5).
(7) T určuje samoadjungovaný operátor
(6)
⇔ T = T ∗ 4.11(6)
⇔ T je
hermitovsky symetrická.
(8) • Nechť sloupce T jsou ortonormální. Podle (2) jsou obrazem
ONB E a jelikož generují podprostor R(T ) v Fm
, tak matice
98
• Nechť naopak matice T určuje unitárně izomorfní vnoření.
Pak její sloupce musí být jakožto obraz ONB E také ortonormální
dle 3.91(2’).
• Je-li T čtvercová, pak počet jejích sloupců je roven jejich
délce m, která je dimenzí celého prostoru Fm
. Sloupce pak
tvoří jeho bázi dle 3.24(4)(ii). T tedy určuje unitární operátor
opět dle 3.89.
Poznámka 4.16. Podle věty 4.15 není tedy nadále třeba rozlišovat
mezi maticí T , příslušným lineárním operátorem T a jeho maticovou
reprezentací [T] v přirozené bázi. Poznamenejme však, že týž operátor
může mít v jiné než přirozené bázi jinou maticovou reprezentaci.
Naopak táž matice může v různých bázích reprezentovat různé operátory.
Jak je ukázáno ve větě B.1 z přílohy B, mohou v tomto smyslu
matice dokonce reprezentovat i lineární operátory mezi libovolnými
abstraktními vektorovými prostory konečné dimenze.
DEFINICE 4.17 (HODNOST MATICE).
Sloupcovou (řádkovou) hodností matice A ∈ Mm,n, nazýváme
dimenzi vektorového podprostoru R(A) v Fm
(R(AT
) v Fn
), což je
dle 4.15(3) právě podprostor generovaný sloupci (řádky) matice A.
Podle níže dokázané věty 4.23 je sloupcová i řádková hodnost stejná,
nazývá se hodností matice A a značí se r(A). Matice A se nazývá
maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti, jestliže r(A) = n
(r(A) = m).
Matice A se nazývá regulární15
, je-li současně řádkově i sloupcově
plné hodnosti. Čtvercová matice, která není regulární se nazývá sin-
gulární.
15Regulární matice musí být čtvercová, neboť počet lineárně nezávislých
sloupců n nemůže přesáhnout dimenzi prostoru Fm
, tj. musí platit n ≤ m.
Analogicky z lineární nezávislosti řádků dostáváme m ≤ n.
99
sloupcová (řádková) hodnost matice počet prvků libovolné báze (neboli
maximální lineárně nezávislé podmnožiny) vybrané z generující
množiny všech jejích sloupců (řádků). Zejména tedy:
a) Matice je sloupcově (řádkově) plné hodnosti právě když všechny
její sloupce (řádky) jsou lineárně nezávislé.
b) Matice je regulární právě když je čtvercová a má lineárně
nezávislé všechny řádky i sloupce15
.
V dalším se zaměříme na důkaz tvrzení o shodnosti sloupcové a řádkové
hodnosti matice. Zde budou klíčovou roli hrát takové transformace
dané matice, které zachovají beze změny její sloupcovou i řádkovou
hodnost. Dále budeme psát A ∼ B, pokud matice A a B mají
shodné sloupcové i řádkové hodnosti. Takto zavedená relace je zřejmě
ekvivalencí na množině všech matic nad týmž skalárním polem F.
VĚTA 4.19.
(1) Každá regulární matice má stejnou sloupcovou a řádkovou
hodnost.
(2) A je regulární právě když AT
je regulární.
(3) Nechť A([i1, . . . , ir], [j1, . . . , jr]) je regulární submatice řádu r
matice A typu m/n. Pak sloupce A(:, j1), . . . , A(:,jr) i řádky
A(i1, :), . . . , A(ir, :) jsou lineárně nezávislé.
(4) Jednotková matice je regulární.
DŮKAZ.
(1) Dle 4.18b) má regulární matice stejný počet řádků (=řádková
hodnost) i sloupců (=sloupcová hodnost).
(2) Tvrzení je opět důsledkem 4.18b), neboť AT
vznikne z A
záměnou řádků za sloupce a naopak.
(3)
Èr
k=1 αkA(:, jk) = 0m,1 ⇒
Èr
k=1 αkA([i1, . . . , ir], jk) = 0r,1 ⇒
α1 = 0, . . . , αr = 0 dle 4.18b). Nezávislost řádků se dokáže
podobně.
(4) Řádky i sloupce jednotkové matice jsou prvky přirozené báze
a tudíž jsou lineárně nezávislé.
100
VĚTA 4.20.
(1) Matice A je sloupcově plné hodnosti právě když příslušný maticový
operátor je izomorfní vnoření.
(2) Matice A je řádkově plné hodnosti právě když příslušný maticový
operátor je surjektivní.
(3) Matice A je regulární právě když příslušný maticový operátor
je izomorfizmus.
DŮKAZ.
(1) Matice A typu m/n je sloupcově plné hodnosti
4.18a)
⇔ její
sloupce jsou lineárně nezávislé
4.13a)
⇔ [A.x = 0 ⇒ x = 0]
⇔ N(A) = {0}
3.30(1)
⇔ A určuje izomorfní vnoření.
(2) Ukážeme ekvivalenci negovaných výroků (viz 1.1(6)):
Matice A typu m/n není řádkově plné hodnosti ⇔ AT
nemá lineárně nezávislé sloupce ⇔ A∗
nemá lineárně nezávislé
sloupce (srov. důkaz 4.23) ⇔ matice A∗
typu n/m není
sloupcově plné hodnosti
(1)
⇔ maticový operátor příslušný k A∗
není izomorfní vnoření
3.30(1)
⇔ ∃ 0 = y ∈ Fm
: A∗
y = 0
3.58(S4)
⇔
∃ 0 = y ∈ Fm
: A∗
y, A∗
y = 0 ⇔ ∃ 0 = y ∈ Fm
:
Ax, y
3.82,4.15(6)
= x, A∗
y = 0 ∀ x ∈ Fn
⇔ ∃ 0 = y ∈ R(A)⊥
⇔ ∃ z ∈ Rm
− R(A) : z = PR(A)z + y (bez újmy na obecnosti
lze za z zvolit rovnou 0 = y ∈ R(A)⊥
) ⇔ maticový
operátor příslušný k A není surjektivní.
(3) Matice A je regulární
4.17
⇔ je současně sloupcově i řádkově
plné hodnosti
(1),(2)
⇔ A určuje surjektivní izomorfní vnoření
⇔ A určuje izomorfizmus.
101
Sloupcová ani řádková hodnost matice se nemění při jejím násobení
zleva (zprava) maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti.
DŮKAZ. Nechť R ∈ Mp,m je matice sloupcově plné hodnosti m a A
nějaká matice typu m/n. Pak
a) R(R.A) = {R.(A.x) | x ∈ Fn
} = {R.y | y ∈ R(A)}
4.20(1)
⇒
R(R.A) je izomorfním obrazem podprostoru R(A)
3.33
⇒
dim R(R.A) = dim R(A) ⇒ matice R.A a A mají stejnou
sloupcovou hodnost.
b) RT
je řádkově plné hodnosti
4.20(2)
⇒ RT
je surjekce ⇒
R((R.A)T
)
4.14(6)
= R(AT
.RT
) = {AT
.(RT
.x) | x ∈ Fp
} =
{AT
.y | y ∈ R(RT
) = Fm
} = R(AT
) ⇒ dim R((R.A)T
) =
dim R(AT
)
4.17
⇒ matice R.A a A mají stejnou řádkovou hod-
nost.
Násobení zprava maticí řádkově plné hodnosti lze transpozicí převést
na násobení zleva maticí sloupcově plné hodnosti: (A.R)T
= RT
.AT
.
Dle předcházející části mají (A.R)T
a AT
stejnou řádkovou i sloupcovou
hodnost a tedy totéž musí platit i pro A.R a A.
VĚTA 4.22 (Skeletní rozklad matice).
Nechť A je nenulová matice typu m/n sloupcové hodnosti r, pak existuje
matice sloupcově plné hodnosti B typu m/r a matice řádkově plné
hodnosti C typu r/n tak, že A = B.C. Přitom C má stejnou řádkovou
i sloupcovou hodnost r a platí R(A) = R(B), R(AT
) = R(CT
)
a N(A) = N(C). Přitom C lze zvolit tak, aby Ir byla její submaticí.
DŮKAZ. Položme B := A(:,[j1, . . . , jr]) rovno submatici v A sestávající
z vhodně vybraných sloupců tvořících bázi v R(A). Takový
výběr je vždy možný dle 3.20. Tyto sloupce jsou lineárně nezávislé,
takže B je dle 4.18a) sloupcově plné hodnosti a přitom R(A) = R(B).
Každý sloupec matice A patří do R(A), takže musí být nějakou lineární
kombinací bázových sloupců z B. Nechť C je matice, jejíž j-tý
102
v bázi B. Na základě 4.13a) tedy můžeme psát A = B.C. Vektorem
souřadnic k-tého bázového sloupce A(:, jk) je εk (k = 1, . . . , r),
což znamená, že jednotková matice Ir = C(:, [j1, . . . , jr]) je submaticí
matice C. Jelikož Ir je dle 4.19(4) regulární, jsou podle 4.19(3)
lineárně nezávislé jak všechny řádky matice C (tj. C je řádkově plné
hodnosti), tak i sloupce C(:, j1), . . . , C(:, jr). Ty dokonce tvoří bázi
v R(C) = Fr
, neboť dim Fr
= r (viz 3.24(4)(ii)). Tedy r je nejen
řádková, ale i sloupcová hodnost matice C.
V části b) důkazu lemmatu 4.21 jsme ukázali R(AT
) = R((B.C)T
) =
R(CT
). Platí také N(A) = N(C): B určuje dle 4.20(1) izomorfní
vnoření, takže N(B)
3.30(1)
= {0} a platí x ∈ N(A) ⇔ 0 = A.x =
B.(C.x) ⇔ C.x ∈ N(B) = {0} ⇔ 0 = C.x ⇔ x ∈ N(C).
VĚTA 4.23 (Tvrzení o shodě řádkové a sloupcové hodnosti).
Každá matice A má stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost, neboli
dim R(A) = dim R(AT
). Zejména platí r(A) = r(AT
). V případě
F ⊆ C platí také r(A) = r(A∗
).
DŮKAZ.
Nechť A = B.C je skeletní rozklad matice A. Pak A ∼ C dle 4.21.
Tedy matice A má stejnou řádkovou i sloupcovou hodnost jako C.
Ta má však obě hodnosti stejné, takže totéž musí platit pro A.
V případě F ⊆ C rovnost h := r(A) = r(A∗
) plyne z 3.88(5)(iv). Dá
se ale dokázat i přímo jako důsledek faktu, že operace komplexního
sdružení zachovává lineární nezávislost: totiž značí-li ri například
řádky matice A pak ri jsou sloupce matice A∗
. Přitom
Èk
j=1 αjrij =
0 = 0 =
Èk
j=1 αjrij , kde αj = 0 ⇔ αj = 0. V důsledku toho je
ri1 , . . . , rih maximální lineárně nezávislá mezi všemi řádky A právě
když ri1 , . . . , rih je maximální lineárně nezávislá mezi všemi komplexně
sdruženými řádky matice A, tj. mezi všemi sloupci matice A∗
.
103
(1) Hodnost matice se nemění při jejím násobení zleva (zprava)
maticí sloupcově (řádkově) plné hodnosti.
(2) Součin dvou matic sloupcově (řádkově) plné hodnosti je opět
matice sloupcově (řádkově) plné hodnosti.
(3) Hodnost matice se nemění při jejím násobení zleva nebo zprava
regulární maticí.
(4) Součin regulárních matic je regulární matice.
(5) Hodnost matice se nemění permutací jejích sloupců nebo řádků.
(6) Hodnost matice se nemění vynecháním sloupce (řádku), který
je lineární kombinací ostatních sloupců (řádků).
(7) Hodnost matice se nemění vynásobením některého sloupce
nebo řádku nenulovým skalárem.
(8) Hodnost matice se nemění přičtením skalárního násobku některých
sloupců (řádků) k jinému sloupci (řádku).
(9) Hodnost matice se nemění vynecháním nulových sloupců nebo
řádků.
DŮKAZ. Vzhledem k 4.23 všechny úvahy prováděné dále se sloupci
platí i pro řádky a naopak. Tvrzení (1) již bylo dokázáno v lemmatu
4.21. Tvrzení (2) je speciálním případem (1) stejně jako (3), neboť
regulární matice má plnou sloupcovou i řádkovou hodnost. Podobně
(4) je důsledkem (3). Tvrzení (2) a (4) lze jinou úvahou odvodit také
z věty 4.20: totiž součinu matic sloupcově (řádkově) plné hodnosti,
resp. regulárních, odpovídá dle 4.15(4) složení dvou izomorfních vnoření
(surjektivních lineárních zobrazení), resp. izomorfizmů, což je
opět lineární zobrazení téhož typu.
Tvrzení (5) je zřejmé, neboť prostor generovaný řádky nebo sloupci (a
tedy ani jeho dimenze) nezávisí na uspořádání množiny generátorů.
Tvrzení (6)–(8) jsou elementární úpravy z věty 3.14, které rovněž
nemění generovaný podprostor a tedy ani jeho dimenzi. Tvrzení (9)
je speciálním případem (6), neboť každý nulový sloupec či řádek lze
považovat za nulovou lineární kombinaci ostatních sloupců (řádků).
104
Čtvercová matice A řádu n je regulární právě když existují čtvercové
matice A1, A2 řádu n takové, že A1.A = A.A2 = In. V takovém
případě A1 = A2 =: A−1
je jediná, je regulární a určuje maticový
operátor inverzní k operátoru určenému maticí A. Matici A−1
nazýváme
maticí inverzní k A [v MATLABu: inv(A)].
DŮKAZ. A je regulární
4.20(3)
⇔ A určuje izomorfizmus.
• Jestliže A určuje izomorfizmus, nechť A−1
je maticová reprezenatce
inverzního operátoru. Pak A−1
.A = A.A−1
= In dle 4.15(4)(5).
• Nechť platí A1.A = A.A2 = In. Protože identický operátor In
je prosté a surjektivní zobrazení, platí: A.x = A.y ⇒ A1.A.x =
A1.A.y ⇒ In.x = In.y ⇒ x = y ⇒ A je prosté.
Podobně pro každé y máme y = In.y = A.A2.y ∈ R(A) ⇒ A je také
surjektivní. Celkem A je tedy izomorfizmus. Přitom A2 = In.A2 =
A1.A.A2 = A1.In = A1. Po záměně role A a A−1
vidíme, že A−1
je rovněž regulární a určuje izomorfizmus inverzní k izomorfizmu určenému
maticí A.
VĚTA 4.26. Každá permutační matice P σ je regulární a v případě
F ⊆ C je dokonce unitární.
DŮKAZ. P σ řádu n je regulární na základě věty 4.24(5), neboť je dle
4.14(11) permutací řádků jednotkové matice In, která je regulární dle
4.19(4). V případě F ⊆ C unitárnost matice P σ pak plyne z 3.90(3):
P σ.x, P σ.y
4.14(9)
=
Èn
i=1 xσ(i)yσ(i) =
Èn
i=1 xiyi
4.14(9)
= x, y , neboť
sečítání je komutativní a nezávisí tedy na permutaci sčítanců.
VĚTA 4.27. Čtvercová trojúhelníková (diagonální) matice je regulární
právě když všechny její prvky na hlavní diagonále jsou nenulové.
Důkaz. Vzhledem k 4.19(2) a 4.11(8) stačí tvrzení ověřit například
pro horní trojúhelníkovou matici A řádu n.
• Nechť aii = 0 pro každé i = 1, . . . , n. Dle 4.18b) a 4.23 stačí ukázat
například jen lineární nezávislost řádků. Z rovnosti [0, . . . , 0] =
105
0 = α1a11, 0 = α1a12 + α2a22, . . . , 0 =
Èn−1
k=1 αkakn + αnann.
Z 1. rovnice a11 = 0 ⇒ α1 = 0, po dosazení do 2. rovnice analogicky
a22 = 0 ⇒ α2 = 0, atd. až z poslední rovnice ann = 0 ⇒ αn = 0.
• Předpokládejme, že aii = 0 pro nějaké i. Vezměme nejmenší takové
i. Je-li i = 1, pak 1. sloupec je nulový a A tedy není regulární. Je-li
i > 1, pak A([1, . . . , i−1], [1, . . . , i−1]) je horní trojúhelníková submatice
řádu i − 1 s nenulovou diagonálou a tudíž regulární dle předchozí
části. Dle 4.19(3) jsou nezávislé celé sloupce A(:, 1), . . . , A(:, i − 1) a
protože A([i, . . . , n], [1, . . . , i]) je nulová submatice v důsledku aii = 0,
je sloupec A(:, i) lineární kombinací prvých i − 1 sloupců, tj. sloupce
A jsou závislé a A opět nemůže být regulární.
Diagonální matice je speciálním případem trojúhelníkové matice.
DŮSLEDEK 4.28 (Vlastnosti inverzních matic).
Nechť A, B jsou dvě čtvercové matice řádu n. Pak
(1) A je regulární právě když AT
je regulární. V takovém případě
platí (AT
)−1
= (A−1
)T
.
(1’) V případě F ⊆ C je obdobně A regulární právě když A∗
je
regulární. V takovém případě platí (A∗
)−1
= (A−1
)
∗
.
(2) A, B regulární ⇒ (A.B)−1
= B−1
.A−1
.
(3) Je-li P σ permutační matice určená permutací σ dle 4.14(11),
pak P σ−1 = P −1
σ = P T
σ .
(4) Je-li A =: [aij] regulární dolní (horní) trojúhelníková matice
řádu n, pak A−1
je rovněž dolní (horní) trojúhelníková matice
s prvky a−1
11 , . . . , a−1
nn na hlavní diagonále. Je-li A dokonce
diagonální, pak A−1
je rovněž diagonální.
Důkaz.
(1) AT
regulární
4.19(2)
⇔ A je regulární
4.25
⇔ A−1
.A = A.A−1
=
In
4.14(6)
⇔ AT
.(A−1
)T
= (A−1
)T
.AT
= IT
n
4.11(7)
= In
4.25
⇔
(AT
)−1
= (A−1
)T
.
106
přímo z 3.88(5)(vi).
(2) Plyne z toho, že inverzní zobrazení se skládají v opačném
pořadí. Jiné odvození se opět může opírat o větu 4.25:
B−1
.A−1
.A.B = B−1
.B = In a analogicky
A.B.B−1
.A−1
= A.A−1
= In.
(3) Dle 4.14(11): P σ = [δσ(i),j] ⇒ P T
σ = [δj,σ(i)] = [δσ−1(j),i],
neboť j = σ(i) právě když σ−1
(j) = σ−1
(σ(i)) = i. Matice
P T
σ tedy reprezentuje operátor inverzní permutace σ−1
,
tj. P σ−1 = P T
σ . Vezmeme-li v 4.14(11) za diagonální matici
jednotkovou matici D = In, pak D se nezmění při permutaci
samých jedniček na diagonále. Platí tedy P σ.P T
σ =
P σ.In.P T
σ = In a po záměně σ za σ−1
si matice P a P T
rovněž
zamění roli, takže také platí P T
σ .P σ = In a P −1
σ
4.25
= P T
σ .
(4) Nechť A =: [aij ] je například dolní trojúhelníková regulární
matice řádu n. Dle 4.27 jsou aii = 0 pro i = 1, . . . , n. Podle
4.25 musí pro matici X =: [xj,k] inverzní k A platit In = A.X.
Srovnáváním naddiagonálových prvků v i-tém řádku a k-tém
sloupci na levé a pravé straně této rovnice dostáváme postupně
pro i = 1, . . . , n a k ≥ i:
δ1k =
Èn
j=1 a1jxjk = a11x1k ⇒ 1 = a11x11 a 0 = a11x1k pro
k > 1 ⇒ x11 = a−1
11 a x1k = 0 pro k > 1. Analogicky pro
i = 2: δ2k =
Èn
j=1 a2j xjk = a21x1k + a22x2k = a22x2k ⇒
x22 = a−1
22 a x2k = 0 pro k > 2, atd.
Případ horní trojúhelníkové matice převedeme na předchozí
situaci transpozicí užitím 4.11(8) a 4.14(6): Podle 4.25 musí
také platit In = X.A, odtud In = IT
n = (X.A)T
= AT
.XT
,
kde AT
je dolní trojúhelníková, takže dle předchozí části je
také XT
dolní trojúhelníková a tedy X horní trojúhelníková.
Diagonálové prvky se transpozicí také nemění.
Matice A je diagonální právě když je současně horní i dolní
trojúhelníková, takže její inverze musí také mít obě vlastnosti,
tj. musí být diagonální.
107
VĚTA 4.29 (Zjišťování hodnosti).
Nechť A je matice typu m/n a B typu n/p. Pak platí:
(1) r(A) ≤ min(m, n).
(2) r(A.B) ≤ min(r(A), r(B)). Je-li A sloupcově plné hodnosti,
resp. B řádkově plné hodnosti, pak nastane rovnost a
r(A.B) = r(B), resp. r(A.B) = r(A).
(3) Hodnost nenulové matice A je rovna největšímu řádu nějaké
její regulární submatice.
(4) r(A) = n − dim N(A).
(5) V případě F ⊆ C platí r(A.A∗
) = r(A∗
.A) = r(A) = r(A∗
) a
speciálně je-li A sloupcově, resp. řádkově plné hodnosti, pak
A∗
.A, resp. A.A∗
je regulární.
(5’) V případě F ⊆ R platí r(A.AT
) = r(AT
.A) = r(A) = r(AT
)
a speciálně je-li A sloupcově, resp. řádkově plné hodnosti, pak
AT
.A, resp. A.AT
je regulární.
Důkaz.
(1) Hodnost matice odpovídá maximálnímu počtu lineárně nezávislých
sloupců (řádků) matice a nemůže proto přesáhnout
dimenzi prostoru, do něhož náleží, tj. musí platit r(A) ≤ m
a současně r(A) ≤ n.
(2) R(A.B) ⊆ R(A)
3.24(3)
⇒ dim R(A.B) ≤ dim R(A)
4.17
⇒
⇒ r(A.B) ≤ r(A). Užitím této nerovnosti na transpozici
součinu dostaneme i druhou nerovnost:
r(A.B)
4.23
= r((A.B)T
) = r(BT
.AT
) ≤ r(BT
)
4.23
= r(B).
Je-li B řádkově plné hodnosti, pak r(A.B)
4.24(1)
= r(A) =
min(r(A), r(B)), neboť dle (1) je r(A) ≤ min(m, n) ≤ n =
r(B). Analogicky pro A sloupcově plné hodnosti:
r(A.B)
4.24(1)
= r(B) = min(r(A), r(B)), neboť dle (1) máme
r(B) ≤ min(n, p) ≤ n = r(A).
108
čující regulární submatici [aij ] řádu 1. Označíme-li r největší
řád nějaké regulární submatice, pak tedy r ≥ 1 a dle 4.19(3)
lze v matici vybrat r nezávislých řádků (resp. sloupců), které
lze doplnit na bázi o h := r(A) prvcích. Platí tedy h ≥ r. Naopak
z matice A hodnosti h lze vybrat submatici B o h lineárně
nezávislých sloupcích (sloupcová báze), která má sloupcovou
plnou hodnost h. Dle 4.23 je i řádková hodnost matice
B rovna h, takže z B lze vybrat h nezávislých řádků. Výsledná
submatice řádu h má rovněž h nezávislých řádků (a
tedy i sloupců) a je proto regulární. Protože r udává největší
řád takové submatice, platí i opačná nerovnost h ≤ r a
celkem tedy h = r. Takto zkonstruovaná submatice má pak
největší možný řád h.
(4) Nechť A = B.C je skeletní rozklad podle věty 4.22, r := r(A).
Nechť Q je vhodná permutační matice (viz 4.14(11)), kterou
přeuspořádáme sloupce C tak, aby jednotková matice Ir obsažená
v C byla jejím prvním blokem: C.Q =: [Ir, C′
]. Stejným
způsobem přeuspořádáme vektory x ∈ Fn
: QT
.x =: [y; t],
kde výsledný vektor rozdělíme na dva sloupcové bloky y ∈ Fr
a t ∈ Fn−r
. Pak dostáváme:
x ∈ N(A)
4.22
= N(C) ⇔ C.x = 0
4.28(3)
⇔ C.Q.QT
.x = 0
⇔ [Ir, C′
].[y; t] = 0 ⇔ Ir.y + C′
.t = 0 ⇔ y = −C′
.t
⇔ [y; t] = [−C′
; In−r]
ßÞ
=:C′′
.t ⇔ x = Q.[y; t] ∈ R(Q.C′′
).
Tedy N(A) = R(Q.C′′
) ⇒ dim N(A) = dim R(Q.C′′
) =
r(Q.C′′
)
4.24(5)
= r(C′′
)
(3)
= n − r, neboť C′′
obsahuje regulární
submatici In−r, která je maximálního možného řádu, protože
n − r je sloupcový rozměr matice C′′
.
(5) Rovnost hodností plyne z 3.88(5)(iii),(iv). A sloupcově plné
hodnosti ⇒ r(A) = n ⇒ A∗
.A je řádu n o hodnosti n a tedy
109
cově plnou hodnost m. Pak dle předchozí části po záměně role
A a A∗
dostáváme: r(A.A∗
) = r(A∗∗
.A∗
) = r(A∗
) = m.
Matice A.A∗
je řádu m a tedy regulární.
(5’) Je důsledkem (5), neboť v případě reálné matice je A∗
= AT
dle 4.11(5).
DŮSLEDEK 4.30. Hodnost schodovité matice je rovna počtu jejích
nenulových řádků (tzv. schodů).
Důkaz. Pro nulovou matici je tvrzení zřejmé. Nechť S typu m/n je
schodovitá matice s k nenulovými řádky, k ≥ 1. Vynecháme-li m − k
nulových řádků, dostaneme dle 4.24(9) matici S′
typu k/n stejné
hodnosti: r(S) = r(S′
). Podle 4.6 matice S′
obsahuje horní trojúhelníkovou
submatici řádu k s nenulovou diagonálou, která je regulární
dle 4.27. Jelikož řádkový rozměr matice S′
je k, je tato submatice
maximální taková a tedy celkem r(S) = r(S′
)
4.29(3)
= k.
PŘÍKLAD 4.31. Vlastnost (5’) neplatí obecně pro matice s prvky
z nereálného skalárního pole F. Jednoduchý protipříklad najdeme již
v případě komplexních matic (F = C): Uvažujme matici
A =
1 i
−i 1
, kde [−i, 1] = −i[1, i] ⇒ r(A) = 1.
Totiž za sloupcovou (řádkovou) bázi (maximální lineárně nezávislou
podmnožinu) matice A lze v tomto případě zvolit jednoprvkovou
množinu tvořenou libovolným sloupcem (řádkem), neboť každá jednoprvková
množina obsahující nenulový vektor je triviálně lineárně
110
A.AT
=
1 i
−i 1
.
1 −i
i 1
=
0 0
0 0
=⇒ r(A.AT
) = 0.
AT
.A =
1 −i
i 1
.
1 i
−i 1
=
0 0
0 0
=⇒ r(AT
.A) = 0.
Podstata problému tkví v tom, že prvky například matice AT
.A jsou
sice konstruovány podobně jako u Gramovy matice v 4.14(9), tj. jsou
ve tvaru výrazů x1y1 + x2y2, kde x a y jsou vybrány ze sloupců A.
Tyto výrazy jsou skalárními součiny v R, nikoliv avšak v C, kde ztrácíme
platnost axiomu (S3) a tím i ortogonalitu: například pro sloupce
A máme [1, −i],[i, 1] = 1.i + (−i).1 = 1.(−i) + (−i).1 = −2.i = 0,
i když 1.i+(−i).1 = 0. Vzhledem k 3.68 tak nemáme garantovánu ani
lineární nezávislost, kterou jsme v tomto příkladu skutečně ztratili.
Ztratili jsme takto dokonce i vlastnost ortogonálního rozkladu dle
3.88(5)(i), přestože 3.88(5)(v) platí dle 4.29(4): dim N(A) = dim C2
−
r(A) = 2 − 1 = 1. Totiž C2
nemůže být ortogonálním součtem podprostorů
R(AT
) a N(A), neboť není ani jejich přímým součtem:
1. sloupec v A.AT
je roven A.[1,i]T
= [0, 0]T
⇒ [1, i]T
∈ N(A).
Současně ale také AT
.[1, 0]T
= [1,i]T
⇒ [1, i]T
∈ R(AT
) a tedy
0 = [1,0]T
∈ R(AT
) ∩ N(A)
3.43
⇒ R(AT
) + N(A) = R(AT
) ∔ N(A).
POZNÁMKA 4.32 (Maticový zápis bilineární a kvadratické formy).
Nechť A =: [aij] je čtvercová matice řádu n a x =: [x1; . . . ; xn],
y =: [y1; . . . ; yn] vektory z Fn
.
Bilineární forma určená maticí A je funkce Fn
×Fn
→ F definovaná
vztahem:
yT
.A.x =
n
i=1
(
n
j=1
aij xj)yi =
n
i=1
n
j=1
aijyixj,
kde výraz v závorce je i-tá složka vektoru A.x.
Pro x = y bilineární forma přejde v zobrazení Fn
→ F a nazývá se
111
xT
.A.x =
n
i=1
n
j=1
aijxixj.
V případě F ⊆ R je můžeme vzhledem k 4.14(9) a 4.15(6) vyjádřit
také pomocí skalárního součinu:
yT
.A.x = A.x, y , resp. xT
.A.x = A.x, x , což je v souladu s poznámkou
3.84. V komplexním případě F ⊆ C užijeme A∗
místo AT
,
takže dostáváme vyjádření:
A.x, y = y∗
.A.x =
n
i=1
n
j=1
aijyixj,
A.x, x = x∗
.A.x =
n
i=1
n
j=1
aij xixj.
Matice A se nazývá pozitivně semidefinitní (pozitivně definitní),
jestliže určuje operátor, který je pozitivní (striktně pozitivní)
ve smyslu poznámky 3.84. V takovém případě kvadratická forma
nabývá pouze reálných nezáporných hodnot (kladných hodnot pro
x = 0) a A je hermitovsky symetrická matice.
112
Věta 4.29 sice uvádí některé užitečné vlastnosti hodnosti matic umožňující
její zjištění v některých speciálních případech, nikoliv však
obecně pro libovolnou zadanou matici A, řekněme typu m/n. V tomto
odstavci odvodíme univerzální algoritmus tzv. Gaussovy eliminace,
který požadovanou úlohu beze zbytku řeší a navíc dává konstrukci
báze obou prostorů svázaných s maticí (operátorem) A, tj. jak oboru
hodnot R(A), tak jádra N(A). Jako jeho důsledek obdržíme navíc
tzv. LU-rozklad matice A, který představuje jeden z mnoha možných
skeletních rozkladů. Na rozdíl od důkazu věty 4.22, který byl
nekonstruktivní, Gaussova eliminace poskytuje (nikoliv obecně jednoznačnou)
konstrukci takového rozkladu.
Princip Gaussovy eliminace spočívá v postupném provádění elementárních
řádkových úprav16
, které nemění hodnost matice. V zásadě
vystačíme pouze s úpravami typu (5) a (8) z věty 4.24 a to dokonce
ve zjednodušené podobě: záměna dvou řádků a přičtení skalárního
násobku nějakého řádku k jinému řádku. V dalším zkonstruujeme
speciální regulární transformační matice, kterými budeme danou matici
postupně násobit zleva — viz též 4.24(3). Výsledkem bude převod
zadané matice A na schodovitý tvar, jehož hodnost (shodná s r(A))
se snadno zjistí podle 4.30.
DEFINICE 4.33 (Transformační matice pro některé řádkové úpravy).
Nechť m je řádkový rozměr transformované matice A.
(1) Záměna i-ho a j-ho řádku:
Nechť σ := σij značí permutaci provádějící záměnu indexu i a j. Pak
zřejmě σ = σ−1
. Označíme-li P i,j := P σ odpovídající permutační
matici řádu m, pak P i,j = P −1
i,j
4.28(3)
= P T
i,j a tedy při násobení
touto maticí zleva (zprava) dochází k záměně i-tého a j-tého řádku
(sloupce) — viz 4.14(11). V případě i = j je P ii = Im identita.
16Obdobně je možno provádět sloupcové úpravy. Jelikož je lze transpozicí
matice vždy převést na řádkové úpravy, upřednostňujeme nadále tento případ.
113
Nechť pro α ∈ F značí R
(α)
ij := Im + αEij čtvercovou matici řádu
m. Tato matice je trojúhelníková s jednotkovou diagonálou, prvkem
α v i-tém řádku a j-tém sloupci a nulami všude jinde. Zřejmě platí
R
(α)T
ij = R
(α)
ji , přičemž při násobení maticí R
(α)
ij zleva (maticí R
(α)
ji
zprava) dochází k přičtení α-násobku j-tého řádku (sloupce) k i-tému
řádku (sloupci).
(3) Vynásobení i-ho řádku skalárem α = 0:
Podle 4.14(10) je příslušnou transformační maticí diagonální matice
D
(α)
i := diag(1, . . . , 1, α, 1, . . . , 1), kde α je i-tým prvkem na jinak
jednotkové diagonále.
Věta 4.34 (Vlastnosti transformačních matic P ij, R
(α)
ij a D
(α)
i ).
Všechny uvedené matice jsou regulární a platí pro ně:
(1) Nechť index j je pevný a αi ∈ F je m skalárů (i = 1, . . . , m),
kde αj = 0. Pak R
(α)
j := R
(α1)
1j . . . R
(αm)
mj je jednotková matice,
k jejímuž j-tému sloupci je přičten vektor α := [α1, . . . , αm]T
.
Tato matice realizuje složení m řádkových úprav: k i-tému
řádku je přičten αi-násobek j-tého řádku pro i = 1, ...,m. Na
pořadí provádění těchto úprav (tj. na pořadí násobení matic
R
(αi)
ij ) přitom nezáleží. Zřejmě α = 0 ⇒ R
(α)
j = Im.
(2) Výsledná matice R
(α)
j je regulární a pokud αi = 0 pro i ≤ j
(i ≥ j), pak je navíc dolní (horní) trojúhelníková. V takovém
případě budeme obvykle psát L
(α)
j (U
(α)
j ) místo17
R
(α)
j .
Inverzní matice je určena vztahem: (R
(α)
j )−1
= R
(−α)
j .
Je tedy téhož typu, kde pouze skaláry mají obrácené znaménko.
Zejména také dostáváme (R
(α)
ij )−1
= R
(−α)
ij , neboť
R
(α)
ij je speciálním případem matice R
(α)
j , kde αi = α a
αk = 0 pro k = i.
17Značení je dáno zvyklostmi anglosaské odborné literatury: písmeno L, resp.
U je odvozeno od počátečních písmen slov Lower a Upper.
114
P ik.R
(α)
j = R
(P ik .α)
j .P ik.
Tedy matice P ik a R
(α)
j jsou při násobení záměnitelné až na
pořadí skalárů ve vektoru α, kde dojde k záměně jeho složek
αi a αk.
(4) L := L
(α1)
1 .L
(α2)
2 . . . L
(αm)
m a U := U
(αm)
m .U
(αm−1)
m−1 . . . U
(α1)
1
je po řadě regulární dolní a horní trojúhelníková matice s jednotkovou
diagonálou, kde L(i, j) = αj(i) a U(i, j) = αj(i)
pro každé i = j, neboli sloupce v L, resp. U odpovídají po
řadě příslušným sloupcům matic L
(αj)
j , resp. U
(αj)
j . Poznamenejme,
že na rozdíl od (1) v tomto případě již záleží na
pořadí provádění úprav (tj. na pořadí násobení matic L
(αj )
j ,
resp. U
(αj)
j ).
(5) D
(α1)
1 .D
(α2)
2 . . . D
(αm)
m = diag(α1, α2, . . . , αm) je při všech
nenulových αi = 0 regulární diagonální matice. Tato matice
realizuje složení m řádkových úprav: i-tý řádek je vynásoben
skalárem αi pro i = 1, ...,m. Na pořadí provádění těchto
úprav (tj. na pořadí násobení matic D
(αi)
i ) přitom nezáleží.
Důkaz. Pro větší názornost zobrazme nejprve strukturu matice R
(α)
j :
R
(α)
j =
¾
1 . . . 0 α1 0 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 . . . 1 αj−1 0 . . . 0 . . . 0
0 . . . 0 1 0 . . . 0 . . . 0
0 . . . 0 αj+1 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 . . . 0 αi 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0 . . . 0 αm 0 . . . 0 . . . 1
¿
.
115
s jednotkovou diagonálou, případně jsou součinem takových matic.
Podle 4.27 a případně i s ohledem na 4.24(4) jsou tedy regulární.
Součin dolních (horních) trojúhelníkových matic je opět matice téhož
typu dle 4.14(12). Strukturu matic ve tvaru součinu si čtenář snadno
odvodí jako snadné cvičení provedením tohoto součinu, resp. příslušných
řádkových úprav při postupném násobení zprava doleva. Při
důkazu tvrzení (2) stačí podobně na základě věty 4.25 ověřit přímým
vynásobením platnost identit: R
(−α)
j .R
(α)
j = R
(α)
j .R
(−α)
j = Im.
Poznámka 4.35.
Je-li A matice typu m/n, pak s uvážením 4.14(8)b) snadno nahlédneme,
že R
(α)
j .A = A+α.A(j,:). Maticový výraz vpravo tak představuje
alternativní způsob provedení stejných řádkových úprav v matici
A, jaké odpovídají násobení maticí R
(α)
j zleva. V některých situacích
může být tento druhý způsob z hlediska programové implementace
efektivnější, neboť není třeba dopředu vytvářet a do paměti
ukládat matici R
(α)
j , která je řídká (má velké množství nulových
prvků), což může vést k plýtvání pamětí.
VĚTA 4.36 (Převod matice na schodovitý tvar Gaussovou elimi-
nací18
). Každá matice se dá konečným počtem řádkových elementárních
transformací typu 4.33(1),(2) převést na matici ve schodovitém
tvaru o stejné hodnosti.
DŮKAZ. Důkaz této věty je konstruktivní, to znamená, že dává postup
řešení této úlohy, který je možno použít v konkrétním případě.
Tento postup bývá nazýván Gaussův algoritmus a spočívá v následujících
krocích pro matici A =: [aij] typu m/n:
(G0) Jestliže matice A je nulová, již je ve schodovitém tvaru a
jsme hotovi.
(G1) V opačném případě nechť j1 je index prvního nenulového
sloupce. Existuje tedy k ∈ N, 1 ≤ k ≤ m tak, že akj1 = 0.
18 viz též skripta [KaSk:V9.3 s.80-81] nebo [Šik:V1.26 s.9-10]
116
dostaneme matici B =: [buv] typu m/n takovou, že sloupce
1, 2, . . . , j1 − 1 jsou nulové a b1j1 = 0.
(G2) V matici B ke každému u-tému řádku (2 ≤ u ≤ m) přičteme
první řádek vynásobený číslem −
buj1
b1j1
. Dostaneme matici
C = [cuv] typu m/n takovou, že sloupce 1, 2, . . . , j1 − 1
jsou nulové, c1j1 = 0 a cuj1 = 0 pro každé 2 ≤ u ≤ m.
Tím je určen první řádek hledané schodovité matice. Není-li matice C
ještě ve schodovitém tvaru, aplikujeme kroky (G1) a (G2) na submatici
C([2, . . . , m], :). Po jejich provedení bude druhý řádek celé matice
druhým řádkem hledané schodovité matice, atd. Tímto způsobem postupujeme
tak dlouho, až obdržíme matici ve schodovitém tvaru, tj.
jakmile buď byl proveden maximální možný počet kroků m a nebo
všechny zbývající řádky jsou již nulové.
Důsledek 4.37 (Maticový zápis Gaussovy eliminace).
Nechť A je matice typu m/n, r(A) = r. Pak Gaussova eliminace rekurentně
konstruuje posloupnost matic A =: A0 ∼ A1 ∼ · · · ∼ Ar =: S
téže hodnosti, kde S =: [sij] je schodovitá matice s r nenulovými
řádky (schody) a horní trojúhelníkovou submaticí řádu r s diagonálovými
prvky siji = 0, 1 ≤ j1 < · · · < jr ≤ n (viz 4.6). Nechť pro
i ∈ {1, . . . , r} byla již zkonstruována matice Ai−1. Pak Ai dostaneme
ve dvou krocích takto:
(G1) Záměna i-tého a k-ho řádku v matici Ai−1:
Bi := P i.Ai−1 =: [buv], kde P i := P ik pro vhodné i ≤ k ≤ m
takové, že Ai−1(k, ji) = 0 (k závisí na i). Takto zajistíme
biji = 0.
(G2) Eliminace koncové části ji-tého sloupce v matici Bi:
Ai := L
(βi)
i .Bi, kde βi = [0, . . . , 0
ßÞ
i×
, −
bi+1ji
biji
, . . . , −
bmji
biji
]T
.
Sloučením obou kroků do jednoho dostáváme rekurentní vztah:
Ai = L
(βi)
i .P i.Ai−1 pro i = 1, . . . , r.
117
R.A = S, kde R := L
(βr)
r .P r . . . L
(β2)
2 .P 2.L
(β1)
1 .P 1 je regulární matice
řádu m realizující provedení všech elementárních úprav převodu
na schodovitý tvar.
Důkaz. Transformační vztahy jsou důsledkem 4.33(1) a 4.34(1)(2),
kde transformační matice R
(βi)
i = L
(βi)
i je skutečně dolní trojúhelníková,
neboť βi(u) = 0 pro u ≤ i. Volba βi(u) = −
buji
biji
pro
i+1 ≤ u ≤ m pak zajistí požadovanou eliminaci koncové části ji-tého
sloupce, neboť přičtením βi(j)-tého násobku i-tého řádku matice Bi
k jejímu u-tému řádku dostáváme:
a) ji-tý sloupec:
Ai(u, ji) = buji + βi(u)biji = buji + (−
buji
biji
)biji = 0.
b) Úvodní sloupce pro 1 ≤ v < ji:
Ai(u, v) = buv + βi(u)biv = 0 zůstávají nulové, neboť buv = biv = 0
byly nulové již z předchozích kroků.
Regularita výsledné transformační matice R je důsledkem 4.24(4) a
regularity všech zúčastněných matic.
DŮSLEDEK 4.38 (LU-rozklad matice).
Platí L.S = P .A, kde L =: [lui] je čtvercová dolní trojúhelníková matice
řádu m s jednotkovou diagonálou (lii = 1 pro i = 1, . . . , m) a pod
hlavní diagonálou s prvky lui =
b′
uji
b′
iji
pro i = 1, . . . , r
0 pro i = r + 1, . . . , m
, kde
u = i+1, . . . , m a b′
uji
jsou prvky z ji-tého sloupce matice B′
i := Ai−1
ze všech r kroků (G1) provedených během Gaussovy eliminace předem
permutované matice P .A, přičemž P = P r . . . P 2.P 1 je matice permutace
vzniklé složením všech r řádkových záměn provedených v krocích
(G1) během Gaussovy eliminace původní nepermutované matice
A.
118
po řadě v L, resp. S tvořené jejich prvými r sloupci, resp. řádky, dostáváme
modifikovaný rozklad L′
.S′
= P .A.
• Je-li speciálně A čtvercová a regulární, pak L′
= L a S′
= S =: U,
kde U je horní trojúhelníková matice s nenulovou diagonálou, takže
dostáváme rozklad L.U = P .A, který je obvykle nazýván LU-rozkladem
matice A. V dalším takto budeme nazývat i kterýkoli z výše uvedených
obecnějších rozkladů L.S = P .A nebo L′
.S′
= P .A, které jsou
platné pro libovolnou matici A.
Důkaz.
Matice L má tuto strukturu:
L =
¾
1 0 . . . 0 0 . . . 0
b′
2j1
b′
1j1
1 . . . 0 0 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
b′
rj1
b′
1j1
b′
rj2
b′
2j2
. . . 1 0 . . . 0
b′
r+1j1
b′
1j1
b′
r+1j2
b′
2j2
. . .
b′
r+1jr
b′
rjr
1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
...
b′
mj1
b′
1j1
b′
mj2
b′
2j2
. . .
b′
mjr
b′
rjr
0 . . . 1
¿
.
• Konstrukce rozkladu L.S = P .A:
Dle 4.37 platí S = R.A, kde R := L
(βr)
r .P r . . . L
(β2)
2 .P 2.L
(β1)
1 .P 1.
Užijme opakovaně 4.34(3) pro postupné provádění záměn:
P 2.L
(β1)
1 = L
(P 2.β1)
1 .P 2,
P 3.L
(β2)
2 = L
(P 3.β2)
2 .P 3, P 3.L
(P 2.β1)
1 = L
(P 3.P 2.β1)
1 .P 3, atd.
Po jejich provedení obdržíme:
S = L
(βr)
r .L
(P r.βr−1)
r−1 . . . L
(P r...P 3.β2)
2 .L
(P r...P 2.β1)
1 . P r . . . P 1
ßÞ
P
.A.
Odtud: 
L
(βr)
r .L
(P r.βr−1)
r−1 . . . L
(P r...P 3.β2)
2 .L
(P r...P 2.β1)
1
¡−1
.S = P .A.
119
L :=
 
L
(βr)
r .L
(P r.βr−1)
r−1 . . . L
(P r...P 3.β2)
2 .L
(P r...P 2.β1)
1
¡−1 4.28(2)
=
 
L
(P r...P 2.β1)
1
¡−1
.
 
L
(P r...P 3.β2)
2
¡−1
. . .
 
L
(P r.βr−1)
r−1
¡−1
.
 
L
(βr)
r
¡−1 4.34(2)
=
L
(−P r...P 2.β1)
1 .L
(−P r...P 3.β2)
2 . . . L
(−P r.βr−1)
r−1 .L
(−βr)
r . L
(0)
r+1 . . . L(0)
m
ßÞ
=Im
.
Matice L má dle 4.34(4) požadovanou strukturu. K tomu stačí jen
uvážit, že permutace P r . . . P i+1 prováděné s vektory koeficientů βi
z úpravy matice A přesně odpovídají nepermutovaným vektorům β′
i
koeficientů z úpravy předem permutované matice P .A, kdy krok (G1)
vynecháváme, neboť pro každé i = 1, . . . , r již máme předem zajištěno
Ai−1(i, ji) = 0, tj. P i = Im a tedy B′
i := Ai−1 pro každé
i = 1, . . . , m.
• L′
.S′
= L.S:
Stačí uvážit, že posledních m − r řádků schodovité matice S je nulových,
takže při násobení maticí L zleva na jejích hodnotách v posledních
m − r sloupcích nezáleží (jsou během součinu násobeny nulami).
• Případ regulární čtvercové matice A:
V tomto případě m = r, takže L = L′
a S = S′
. Navíc také n = r,
takže S je čtvercová řádu r a dle 4.6 současně obsahuje regulární
horní trojúhelníkovou submatici U téhož řádu r. To může nastat, jen
když S = U.
DŮSLEDEK 4.39 (Konstrukce báze prostoru R(A)).
Nechť A je matice typu m/n a A = L.S = L′
.S′
je její LU-rozklad,
kde U = S′
(:,[j1, . . . , jr]) je regulární horní trojúhelníková submatice
v S′
. Pak sloupce matice L′
tvoří bázi prostoru R(A) a rovněž
A(:, j1), . . . , A(:,jr) tvoří jeho sloupcovou bázi.
DŮKAZ.
Sloupce L′
jsou lineárně nezávislé, neboť jsou vybrány z nezávislé
množiny sloupců regulární matice L, tvoří tak bázi v R(L′
) a současně
L′
je sloupcově plné hodnosti. Dále
A(:, [j1, . . . , jr]) = L′
.S′
(:, [j1, . . . , jr]) = L′
.U
4.24(1)
⇒
120
jsou lineárně nezávislé a tvoří proto podle 3.24(4)(ii) bázi prostoru
R(A), neboť dim R(A) = r.
Z vyjádření A = L′
.S′
současně plyne (viz 4.13a)), že každý sloupec
matice A (tj. každý z generátorů prostoru R(A)) je lineární kombinací
sloupců L′
, tj. patří do R(L′
). Pak A(:,j1), . . . , A(:, jr) musí
také tvořit bázi v R(L′
) a oba prostory jsou proto stejné.
DŮSLEDEK 4.40 (Konstrukce báze prostoru N(A)).
Nechť A je matice typu m/n a A = L′
.S′
je její LU-rozklad, kde U =
S′
(:, [j1, . . . , jr]) je regulární horní trojúhelníková submatice v S′
. Nechť
S′′
je submatice v S′
tvořená zbývajícími n − r sloupci nezařazenými
do matice U. Buď Q vhodná permutační matice, kterou přeuspořádáme
sloupce S′′
tak, aby U byla prvním blokem a S′′
druhým blokem:
S′
.Q = [U, S′′
]. Pak n − r sloupců blokově sestavené matice
N =: Q.[−U−1
.S′′
; In−r] ∈ Mn,n−r tvoří bázi prostoru N(A).
DŮKAZ. Všech n − r sloupců matice N je zřejmě lineárně nezávislých,
neboť N obsahuje regulární submatici maximálního možného
řádu n−r (viz 4.29(3)). Podle téže věty dim N(A)
4.29(4)
= n−r, takže
stačí ukázat, že každý sloupec matice N patří do N(A). Podle 4.15(1)
je tedy třeba ověřit, že A.N je nulová matice:
A.N = L′
.S′
Q.QT
.N = L′
.[U, S′′
].QT
.Q.[−U−1
.S′′
; In−r] =
L′
.[U, S′′
].[−U−1
.S′′
; In−r] = L′
.(−U.U−1
.S′′
+ S′′
.In−r) =
L′
.(−S′′
+ S′′
) = 0n,n−r.
Poznámka 4.41.
(1) Při konstrukci báze prostoru N(A) dle 4.40 se inverzní matice
U−1
snadno spočte postupem naznačeným v důkazu
4.28(4). V rovnici Ir = X.U postupně počítáme neznámé
prvky matice X := U−1
srovnáváním prvého sloupce vlevo
a vpravo (tím spočteme prvý sloupec X), pak prvého řádku
vlevo a vpravo (tím dopočteme prvý řádek X), pak podobně
pro druhý sloupec a řádek, atd. Alternativně můžeme také
121
livé sloupce: U.X(:,j) = −S′′
(:, j), což je vzhledem k trojúhelníkové
struktuře matice U snadné (podrobněji bude probráno
později v odstavci věnovaném řešení systémům lineárních
rovnic). Obdržíme tak matici X = −U−1
.S′′
, což
je právě horní blok ve vyjádření řádkově permutované matice
N.
(2) LU-rozklad A = L′
.S′
není nic jiného než speciální případ
skeletního rozkladu 4.22, kde L′
hraje roli matice B a S′
hraje roli matice C. Porovnání obou rozkladů ukazuje, že se
liší ve dvou aspektech:
• Roli regulární jednotkové submatice řádu r v B nyní
hraje horní trojúhelníková submatice U řádu r v S′
.
Konstrukce prostoru N(A) popsaná v důkazu tvrzení
4.29(4) koresponduje s konstrukcí ze 4.40: jestliže U nahradíme
jednotkovou maticí Ir, tak horní blok −U−1
.S′′
ve vyjádření N přejde v matici −I−1
n .S′′
= −S′′
, která
koresponduje s maticí −C′
. Nevýhodou je nutnost vypočítat
−U−1
.S′′
, což dle (1) odpovídá řešení maticové
rovnice U.X = −S′′
.
• Konstrukce LU-rozkladu je konstruktivní, zatímco důkaz
4.22 nikoliv: u konkrétní matice totiž obvykle není
snadné určit její sloupcovou bázi pro konstrukci B. Teoreticky
bychom mohli sice využít 4.39. Mnoho bychom
si však nepomohli, protože nalezení C by vyžadovalo
řešit vzhledem k C maticovou rovnici A = B.C, což
opět není snadné, neboť B nemá obecně žádnou speciální
strukturu, která by toto usnadnila. Tyto komplikace
zdaleka nejsou vyváženy výhodou snadného nalezení
báze prostoru N(A), které nevyžaduje řešení žádné
inverzní úlohy.
(3) LU-rozklad není jediným užitečným rozkladem skeletního typu.
Další hojně využívaný (jen pro F ⊆ C) je tzv. QR-rozklad:
122
normální bázi prostoru R(A), matice R je horní trojúhelníková
a dle 4.13a) její sloupce opět představují vektory souřadnic
sloupců matice A v ONB dané maticí Q. Sloupce Q
lze vždy doplnit na ONB celého prostoru Fm
(viz 3.79) a
matici R pak stejným počtem nulových řádků. Můžeme tedy
bez újmy na obecnosti předpokladat, že Q je unitární matice:
analogie s LU-rozkladem, kde regulární matici L můžeme považovat
za doplnění sloupcové báze L′
prostoru R(A) na bázi
celého prostoru Fm
.
QR-rozklad se s výhodou užívá místo Gram-Schmidtova algoritmu
3.78 k nalezení ONB prostoru R(A). Ten totiž trpí
numerickou nestabilitou v situacích, kdy některý sloupcový
vektor matice A je blízký lineární kombinaci ostatních. Při
numerických výpočtech se proto doporučuje dávat přednost
QR-algoritmu. Teoretické odvození QR-rozkladu jde nad rámec
tohoto kurzu. Čtenář jej může najít například ve skriptech
[Šik : odst. 13.2 s.105 − 110].
(4) Jordanova eliminace je modifikací Gaussovy eliminace, kdy
v matici A eliminujeme postupně nejen pod diagonálou, ale
i nad diagonálou. Regulární horní trojúhelníková submatice
S([1, . . . , r], [j1, . . . , jr]), ve schodovitém tvaru se tak stane
diagonální maticí s nenulovou diagonálou (r = r(A)). Můžeme
také postupovat tak, že eliminujeme horní části sloupců
S([1, . . . , i − 1], ji), i = 1, . . . , r ve schodovitém tvaru S až
dodatečně. Jestliže každý řádek takto získané diagonální submatice
S([1, . . . , r], [j1, . . . , jr]) navíc vydělíme nenulovým diagonálním
prvkem siji, i = 1, . . . , r (neboli násobíme S zleva
postupně regulárními transformačními maticemi D
(1/siji
)
i pro
i = 1, . . . , r), přejde S([1, . . . , r], [j1, . . . , jr]) dokonce v jednotkovou
matici Ir.
Výše uvedeným postupem lze tedy každou regulární matici
A převést na jednotkovu matici In, neboť v tomto případě
123
Na závěr poznamenejme, že příslušná transformační matice R
realizující Jordanovu eliminaci na diagonální tvar (ať obecný
či s jednotkovou diagonálou) sice zůstane regulární, ztratí
však svůj dolní trojúhelníkový tvar. Podobně v příslušném
LU-rozkladu již ani matice L nebude dolní trojúhelníková,
ale jen regulární.
Relevantní procedury v MATLABu:
rref . . . převod matice na schodovitý tvar a určení sloupcové báze
(rref=reduced row echelon form)
lu . . . nalezení LU-rozkladu matice
qr . . . nalezení QR-rozkladu matice
orth . . . nalezení ONB prostoru R(A) užitím QR-rozkladu
null . . . nalezení ONB prostoru N(A).
124
V tomto odstavci zavedeme dvě z nejdůležitějších skalárních veličin
přiřazovaných k matici: determinant matice a stopu matice.
Pojem determinantu patří mezi základní pojmy lineární algebry. V tomto
odstavci uvedeme některé jeho základní vlastnosti a metody jeho výpočtu.
Poznamenejme, že v dnešní době je praktické použití determinantů
na ústupu vzhledem k existenci efektivnějších algoritmů pro
řešení úloh, v nichž se tradičně používaly (řešení systému lineárních
rovnic, inverze matice aj.) Nicméně pro teoretickou oblast lineární algebry,
vyjadřování různých algebraických i geometrických vlastností
je pojem determinantu stále nezbytný.
Pojem determinantu se vztahuje ke čtvercovým maticím následovně:
Každé čtvercové matici A = [aij ] řádu n je podle přesně uvedeného
pravidla (viz dále 4.44) přiřazen skalár z F (obvykle reálné nebo komplexní
číslo) nazývané determinantem matice A a označované sym-
boly
det A nebo
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
a11 · · · a1n
...
...
an1 · · · ann
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
=: |A|.
I když je det A skalár, užíváme pro determinant názvy týkající se matic
a rozumíme jimi názvy pojmů matice A. Tak například mluvíme
o řádku determinantu, sloupci, hlavní diagonále determinantu a pod.
Ke přesné definici determinantu je nezbytné nejprve zavést pojem
parity permutace.
DEFINICE 4.42 (Parita permutace [Šik:odst.2.1 s.12]).
Nechť σ je permutace nějaké n-prvkové úplně uspořádané množiny
J. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat J = {1, 2, . . . , n}.
Jestliže označíme σ(i) := σi, pak pro permutaci σ budeme používat
buď jednořádkový zápis
[σ] := [σ1, σ2, . . . , σn]
125
σ =
1 2 . . . n
σ1 σ2 . . . σn
nebo případně
i1 i2 . . . in
j1 j2 . . . jn
,
kde i1, i2, . . . , in jsou prvky J uspořádané v jiném pořadí a jk = σ(ik)
pro k = 1, 2, . . . , n.
Říkáme, že σi, σj stojí v inverzi, jestliže i < j a σi > σj. Permutace
σ se pak nazývá sudá, resp. lichá, když (−1)p
= +1, resp.
(−1)p
= −1, kde p je počet inverzí permutace σ (neboli když v permutaci
σ je sudý, resp. lichý počet navzájem různých dvojic σi, σj
stojících v inverzi). Číslo sgn σ := (−1)p
se pak nazývá paritou nebo
také znaménkem permutace σ.
Jestliže existuje k > 1 navzájem různých prvků K := {i1, . . . , ik}
množiny J takových, že [σi1 , . . . , σik ] představuje permutaci množiny
K, pak tuto permutaci nazýváme cyklem permutace σ a číslo k délkou
cyklu. Cyklům délky 2 se říká záměna prvků i1 a i2.
VĚTA 4.43 (Vlastnosti parity permutace).
(1) Identická permutace má sudou paritu.
(2) Inverzní permutace k permutaci σ má stejnou paritu:
sgn σ−1
= sgn σ.
(3) Při skládání permutací se jejich parity násobí:
sgn (σ1σ2) = sgn (σ2σ1) = sgn σ1.sgn σ2.
(4) Záměnou dvou různých prvků v jednořádkovém zápisu permutace
dostaneme novou permutaci s opačnou paritou (zna-
ménkem).
(5) Jsou-li [σ] a [σ′
] jednořádkové zápisy dvou permutací, pak
jeden z druhého se dá dostat posloupností záměn19
a obě permutace
mají stejnou (různou) paritu právě když počet záměn
je sudý (lichý).
(6) Počet všech permutací je n!, přičemž pro n > 1 je toto číslo
sudé, jedna polovina permutací má sudou paritu a druhá polovina
lichou paritu.
19dokonce se můžeme omezit jen na záměny sousedních prvků.
126
(1) V identické permutaci nevystupuje žádná inverze ⇒ (−1)0
= 1
a parita je tedy sudá.
(2) σi, σj jsou v inverzi ⇔ i < j a k := σi > σj =: l ⇔ l < k
a j = σ−1
(l) > σ−1
(k) = i ⇔ σ−1
(l), σ−1
(k) jsou v inverzi.
Tedy σ i σ−1
mají stejný počet inverzí a tudíž i stejnou paritu.
(3) Nechť σ := σ2σ1, p1 je počet inverzí v σ1 a p2 počet inverzí
v σ2. Pak každá z p2 inverzí permutace σ2 buď zruší
nějakou existující inverzi v σ1 nebo ji naopak přidá. Protože
(−1)p1+1
= (−1)p1−1
, bude mít σ paritu (−1)p1+p2
=
(−1)p1 (−1)p2 = (sgn σ1)(sgn σ2). Pro σ1σ2 analogicky záměnou
role σ1 a σ2.
(4) Nechť i < j a
[σ] = [σ1 . . . σi . . . σj . . . σn], [σ′
] = [σ1 . . . σj . . . σi . . . σn].
Pokud i, j jsou sousední (j − i = 1), dojde ke změně inverze
jen jednou a to u dvojice σi, σj. Tedy parita permutace se
změní. Pokud j − i > 1, změní se navíc inverze ještě všech
indexů k, kde i < k < j, a to jak vzhledem k σi, tak vzhledem
σj. Takových indexů k je j − i − 1, takže celkový počet změn
je liché číslo 2(j − i − 1) + 1 a tudíž i v tomto případě dojde
ke změně parity permutace.
(5) [σ′
] dostaneme ze [σ] následující posloupností záměn: Je-li
σi1 = σ′
1 a i1 = 1, pak záměnou σ1 a σi1 dosáhneme správného
umístění σ′
1 na první pozici. Podobně pro σi2 = σ′
2 a
i2 = 2 záměnou σ′
2 a σi2 umístíme σ′
2 správně na druhou pozici,
atd. Každou záměnu na pozicích, které nejsou sousední
přitom jistě můžeme nahradit posloupností záměn sousedních
prvků.
(6) Pro n > 1 je n! = 1.2 . . . sudé číslo. Vyberme libovolně nějakou
permutaci σ ∈ Σ(J). K [σ] můžeme dle (4) přiřadit
permutaci [σ′
] opačné parity záměnou prvých dvou prvků
127
gicky vytvoříme další obdobnou dvojici. Celkem dostaneme
n!/2 takových dvojic, kde jeden člen má sudou a jeden lichou
paritu.
DEFINICE 4.44 (Determinant).
Nechť A =: [aij ] je čtvercová matice řádu n a Σ(J) množina všech
permutací (card Σ(J) = n!) množiny jejích sloupcových indexů J =
{1, 2, . . . , n}. Pak číslo (skalár)
det A :=
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . anσn
nazýváme determinantem matice A.
Součin a1σ1 . . . anσn nazýváme členem determinantu a sgn σ jeho
znaménkem.
Poznámka 4.45. Z definice plyne, že každý člen determinantu se dostane
jako součin prvků matice A vybraných přesně po jednom z každého
jejího řádku. Podle věty 4.43(6) je počet všech členů n!, přičemž
pro n > 1 jedna polovina z nich má kladné a druhá polovina záporné
znaménko.
VĚTA 4.46 (Základní vlastnosti determinantu [Šik:V2.6 s.14]).
Nechť A =: [aij] =: [a1; . . . ; an] je matice řádu n a a1, . . . , an její
řádky. Pak platí
(1) Obsahuje-li A nulový řádek, pak det A = 0.
(2) Je-li b =: [b1, . . . , bn] řádkový vektor, pak pro matici získanou
z A přičtením vektoru b k jejímu i-tému řádku ai
128
det
¾
a1
...
ai−1
ai + b
ai+1
...
an
¿
= det
¾
a1
...
ai−1
ai
ai+1
...
an
¿
ßÞ
A
+ det
¾
a1
...
ai−1
b
ai+1
...
an
¿
.
(3) Výměnou dvou různých řádků v matici A se změní znaménko
jejího determinantu det A.
(3a) Důsledek 120
: Má-li A dva různé řádky stejné, pak det A = 0.
(3b) Důsledek 2: Je-li σ nějaká permutace množiny {1, . . . , n} a
P σ příslušná permutační matice (viz 4.14(6)), pak
det P σ = sgn σ.
Zejména det P i,j = −1, kde P i,j je permutační matice řádu
n pro záměnu i-ho a j-tého řádku jako v definici 4.33(1).
(3c) Důsledek 3: det(P σA) = det P σ. det A = sgn σ. det A a podobně
det(AP σ) = det A. det P σ = sgn σ. det A.
Zejména det(P i,j A) = det P i,j . det A = − det A a podobně
det(AP i,j ) = det A. det P i,j = − det A.
(4) Determinant trojúhelníkové (diagonální) matice je roven součinu
jejích prvků v hlavní diagonále.
(4a) det In = 1, kde In je jednotková matice řádu n.
(5) det AT
= det A.
(5a) Důsledek: Všechny výroky této věty týkající se řádků platí i
pro sloupce.
(5b) Důsledek: V případě F ⊆ C platí det A∗
= det A.
20Toto tvrzení platí jen když pole skalárů F nemá charakteristiku 2 (srov.
2.71), tedy například pro F = R nebo F = C, což jsou pole nekonečné charakteristiky
(viz příklad 2.76).
129
řádku skalárem α, pak det A′
= α. det A.
(6a) Důsledek 1: det D
(α)
i = α, kde D
(α)
i je transformační matice
řádu n jako v definici 4.33(3).
(6b) Důsledek 2: det(D
(α)
i A) = det D
(α)
i . det A = α. det A a podobně
det(AD
(α)
i ) = det A. det D
(α)
i = α. det A.
(6c) Důsledek 3: det(α.A) = αn
. det A.
(7) det A se nemění přičtením α-násobku j-ho řádku k i-tému
(i = j).
(7a) Důsledek 1: det R
(α)
ij = 1, kde R
(α)
ij je transformační matice
řádu n jako v definici 4.33(2).
(7b) Důsledek 2: det(R
(α)
ij A) = det R
(α)
ij . det A = det A a podobně
det(AR
(α)
ij ) = det A. det R
(α)
ij = det A.
(8) Je-li R součin transformačních matice typu P ij , R
(α)
ij nebo
D
(α)
i pak det(RA) = det R. det A a det(AR) = det A. det R.
(8a) Je-li T trojúhelníková (diagonální) matice řádu n, pak
det(T A) = det T . det A a podobně det(AT ) = det A. det T .
(9) Cauchyova věta o determinantu součinu matic: Pro libovolnou
čtvercovou matici B řádu n platí det(AB) = (det A).(det B).
(10) Matice A je regulární (neboli dle 4.18b) má lineárně nezávislé
řádky, resp. sloupce) právě když det A = 0.
(11) Nechť X je čtvercová matice, pro niž platí AX = In (resp.
XA = In), pak platí také druhá identita XA = In (resp.
AX = In) a tedy X = A−1
(viz též větu 4.25)21
.
(12) Když A−1
existuje, pak det A−1
= (det A)−1
.
Důkaz.
(1) Nechť ai je nulový řádek. Pak
det A :=
È
σ∈Σ(J)(sgn σ)a1σ1 . . . aiσi . . . anσn = 0, neboť
aiσi = 0 pro každou permutaci σ ∈ Σ(J).
21Toto tvrzení říká, že k definici inverzní matice stačí jen jeden z definičních
vztahů AX = In nebo XA = In.
130
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . (aiσi + bσi ) . . . anσn =
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . aiσi . . . anσn +
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . bσi . . . anσn ,
což je právě součet determinantů matic vpravo.
(3) Nechť B =: [bij] je matice vzniklá z A záměnou řádků ai a
aj . Pak
det B =
σ∈Σ(J)
(sgn σ)b1σ1 . . . biσi . . . bjσj . . . bnσn =
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . ajσi . . . aiσj . . . anσn =
σ′∈Σ(J)
(−sgn σ′
)a1σ′
1
. . . aiσ′
i
. . . ajσ′
j
. . . anσ′
n
= − det A,
neboť [σ′
] vznikla ze [σ] záměnou σi a σj, takže dle 4.43(4)
sgn σ = −sgn σ′
ve všech členech determinantu.
(3a) Nechť ai = aj pro i = j. Jejich záměnou se matice nezmění,
takže det A = det B
(3)
= − det A. Odtud (2 det A) = 0 a tedy
také det A = 0, pokud F nemá charakteristiku 2.
(3b) Podle 4.43(5) se [σ] dá získat posloupností záměn z identické
permutace. Pak dle 4.43(1)(4) sgn σ = (−1)p
, kde p je počet
takových záměn. Tvrzení je pak důsledkem (3) a (4a): P σ
dostaneme z In pomocí p řádkových záměn, takže det P σ =
(−1)p
det In
(4a)
= (−1)p
.
(3c) P σA je matice získaná z A pomocí p řádkových záměn určujících
σ jako ve (3b). Pak det(P σA)
(3)
= (−1)p
det A
(3b)
=
det P σ. det A.
131
nulový jen když do něj nevybíráme nulové prvky nad hlavní
diagonálou. V 1. řádku jediný takový prvek je a11, ve 2. řádku
a21 již vybrat nelze, takže zbývá a22, atd. až z posledního
řádku zbude také jen možnost ann. Jediný člen který může
být nenulový je tedy a11 . . . ann, který odpovídá identické
permutaci sudé parity. V případě horní trojúhelníkové matice
obdobně postupujeme odzdola nahoru.
(4a) Plyne ze (4), neboť jednotková matice je speciální případ diagonální
matice.
(5) Označíme-li AT
=: [a′
ij], a′
ij := aji a a := a1σ1 . . . anσn člen
determinantu det A, pak a = a′
σ11 . . . a′
σnn = a1σ−1(1) . . . anσ−1(n)
je také členem determinantu det AT
odpovídajícímu permutaci
σ−1
. Parita obou permutací je stejná dle 4.43(2), takže
oba determinanty maji všechny členy stejné včetně znaménka.
(5a) Zřejmé užitím (5).
(5b) det A∗ 4.10
= det AT 4.44
= det AT (5)
= det A.
(6) Z každého členu determinatu lze α vytknout a tedy jej lze
vytknout i z det A, který je jejich součtem.
(6a) Matice det D
(α)
i vznikla z In vynásobením jejího i-ho řádku
číslem α. Pak tedy det D
(α)
i
(6)
= α. det In
(4a)
= α.
(6b) Je důsledkem (6) a (6a).
(6c) αA je matice, jejíž každý řádek byl vynásoben číslem α. Stačí
aplikovat (6) postupně pro každý z n řádků.
(7) Ve (2) položme b = αaj. Užitím (6) pak poslední sčítanec
bude ve tvaru součinu čísla α s determinantem matice, v níž
je řádek aj dvakrát. Podle (3a) je proto nulový a zůstane tak
jen prvý sčítanec det A.
(7a) Plyne ze (4a), neboť R
(α)
ij vznikne z jednotkové matice přičtením
α-násobku jejího j-tého řádku k i-tému. Tvrzení plyne
také přímo ze (4), neboť R
(α)
ij je trojúhelníková matice s jednotkovou
diagonálou.
132
(8) Dostane se opakovaným užitím (3c), (6b) nebo (7b).
(8a) Nechť T =: [tij] je například horní trojúhelníková matice.
Snadno nahlédneme, že
T = D
(tnn)
n . . . R
(t2n)
2n . . . R
(t23)
23 D
(t22)
2 R
(t1n)
1n . . . R
(t12)
12 D
(t11)
1 .
Násobení těmito maticemi v pořadí zprava doleva postupně
vytváří 1. řádek, pak 2. řádek, atd. až poslední řádek matice
T . V případě dolní trojúhelníkové matice postupujeme
obdobně od posledního řádku k prvnímu. Tvrzení je pak důsledkem
(8).
(9) Nechť P A = LU je LU-rozklad matice A dle 4.38. Pak
det P . det(AB)
(3c)
= det(P AB) = det(L(UB))
(8a)
=
(det L. det U). det B
(8a)
= det(LU). det B = det(P A). det B
(3c)
=
det P . det A. det B. Po zkrácení hodnotou det P
(3b)
= ±1 dostáváme
požadovaný vztah.
(10) Matice A řádu n je podle definice 4.17 regulární ⇔ r(A) = n
4.37
⇔ po Gaussově eliminaci schodovitým tvarem matice A je
horní trojúhelníková čtvercová matice S řádu n s nenulovou
diagonálou ⇔ pro schodovitý tvar S =: [sij] matice A platí
0 = s11 . . . snn
(4)
= det S
(3),(7)
= ± det A ⇔ det A = 0.
(11) Platí-li AX = In pro čtvercové matice A a X, pak
1
(4a)
= det In = det(AX)
(9)
= (det A)(det X). Tedy zejména
det A = 0 a tudíž podle (10) je matice A regulární a na
základě 4.25 k ní existuje inverzní matice A−1
. Vynásobením
rovnice AX = In = AA−1
zleva maticí A−1
obdržíme
X = A−1
AX = A−1
AA−1
= A−1
.
(12) AA−1
= In ⇒ (det A)(det A−1
)
(9)
= det In
(4a)
= 1 a tedy
det A−1
= (det A)−1
.
133
Nechť A je matice rozměru m × n a B = A([i1, . . . , ik], [j1, . . . , jk]),
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n její čtvercová submatice
(viz též definici 4.2) řádu k ≤ min(m, n), pak det B nazýváme
minorem (nebo též subdeterminantem) řádu k matice A. Tento
minor budeme značit M := Mi1,...,ik
j1,...,jk
(A).
Doplňkovým minorem (stručně doplňkem) minoru M ve čtvercové
matici A řádu n při k < n rozumíme minor složený ze zbývajících
řádků a sloupců matice A. Značíme jej C
i1,...,ik
j1,...,jk
(A) nebo
jen stručně C. Algebraický doplněk minoru M je C
i1,...,ik
j1,...,jk
(A) :=
(−1)s
C
i1,...,ik
j1,...,jk
(A), kde s = i1 + · · · + ik + j1 + · · · + jk. Je-li minor
složen z jediného prvku aij (tj. k = 1, i1 = i a j1 = j), pak jeho doplněk,
resp. algebraický doplněk značíme Cij (A), resp. Cij(A). V tomto
případě tedy platí Cij (A) = (−1)i+j
Cij (A). Matice A′
:= [a′
ij ], kde
a′
ij = Cji(A) se nazývá adjunktem k matici A a značí se adj A.
Poznámka 4.48 (Značení).
Pokud nebude hrozit nedorozumění (pevně daná matice A), budeme
nadále minory matice A a jejich doplňky označovat zjednodušeně
M
i1,...,ik
j1,...,jk
, C
i1,...,ik
j1,...,jk
, Cij , C
i1,...,ik
j1,...,jk
a Cij nebo jen M, C a C, pokud
rovněž výběrové indexy budou pevně dány.
V dalším budeme v případě čtvercové matice A řádu n pracovat s následujícími
výrazy :
R(i1, . . . , ik) :=
t1,...,tk
M
i1,...,ik
t1,...,tk
C
i1,...,ik
t1,...,tk
,
S(j1, . . . , jk) :=
t1,...,tk
M
t1,...,tk
j1,...,jk
C
t1,...,tk
j1,...,jk
,
kde t1, . . . , tk probíhají všechna přirozená čísla s vlastností 1 ≤ t1 <
· · · < tk ≤ n. Počet sčítanců v každém z výrazů je tedy
 n
k
¡
.
134
Předpokládejme označení z poznámky 4.48. Pak pro každý výběr řádkových
indexů i1, . . . , ik, resp. sloupcových indexů j1, . . . , jk platí
R(i1, . . . , ik) = S(j1, . . . , jk) = det A.
Důkaz. Nechť M := M
i1...ik
j1...jk
je nějaký minor matice A a C = (−1)s
C
jeho algebraický doplněk, kde s :=
Èk
t=1(it + jt). Položme J :=
{j1, . . . , jk} a J′
:= {1, . . . , n} − J1.
1) Předpokládejme nejprve, že M leží vlevo nahoře (it = jt = t), pak
s :=
Èk
t=1(t + t) = 2(1 + 2 + · · · + k) je sudé číslo, takže jeden ze
sčítanců M.C = M.C ve výrazu R(i1, . . . , ik) nabude tvaru
M.C
4.44
=
 
σ∈Σ(J)
(sgn σ)a1σ1 . . . akσk
¡
.
 
σ′∈Σ(J′)
(sgn σ′
)ak+1,σ′
1
. . . an,σ′
n−k
¡
=
σ∈Σ(J) σ′∈Σ(J′)
(sgn σ)a1σ1 . . . akσk (sgn σ′
)ak+1,σ′
1
. . . an,σ′
n−k
4.43(3)
=
σ∈Σ(J) σ′∈Σ(J′)
(sgn σσ′
)a1σ1 . . . akσk ak+1,σk+1 . . . anσn ,
kde [σσ′
] = [σ1, . . . , σk, σk+1, . . . , σn] je permutace množiny {1, . . . , n}
získaná složením dvou cyklů [σ] =: [σ1, . . . , σk] a [σ′
] =: [σ′
1, . . . , σ′
n−k],
kde σ′
i =: σk+i pro i = 1, . . . , n − k. Každý ze sčítanců je tedy jedním
členem determinantu d := det A včetně správného znaménka.
2) Nechť nyní minor M je tvořen řádky a sloupci s obecnými indexy
i1 < · · · < ik a j1 < · · · < jk. Přemístěme řádky a sloupce (sousedními
výměnami) na prvních k pozic tak, aby se zachovalo jejich
pořadí. Výměn řádků a sloupců bude celkem
(i1 −1)+· · ·+(ik −k)+(j1 −1)+· · ·+(jk −k) = s−2(1+2+· · ·+k).
Výměnami přejde determinant d v nový determinant
d′ 4.46(3)
= (−1)s−2(1+2+···+k)
d = (−1)s
d,
135
dolního rohu. Podle části 1) součin M.C bude roven součtu některých
členů determinantu d′
, opatřených znaménky, která jim přísluší v determinantu
d′
. Tato znaménka se liší od znamének členů determinantu
d jen faktorem (−1)s
, takže M.C = M.(−1)s
C je součet některých
členů determinantu d, která jim přísluší v d. Je patrné, že sčítanci
v M.C jsou (formálně) různí a jejich počet je k!(n − k)!. Když uvážíme,
že lze vybrat
 n
k
¡
minorů z (pevně) zvolených k řádků matice A,
bude všech sčítanců k!(n−k)!
 n
k
¡
= k!(n−k)! n!
k!(n−k)!
= n!, tj. celkem
součet všech členů determinantu d včetně správných znamének.
Užijeme-li k výpočtu determinantu matice A výrazu R(i1, . . . , ik)
resp. S(j1, . . . , jk), pak řekneme, že jsme jej počítali Laplaceovým
rozvojem podle řádků i1, . . . , ik resp. sloupců j1, . . . , jk nebo
že jsme det A rozvinuli (Laplaceovým rozvojem) podle řádků
i1, . . . , ik resp. sloupců j1, . . . , jk.
DŮSLEDEK 4.50 (Laplaceův rozvoj podle jednoho řádku/sloupce).
Nechť i je nějaký řádkový, resp. j sloupcový index. Pak platí
n
t=1
aitCit =
n
t=1
atjCtj = det A.
Lemma 4.51. Nechť A = [aij ] je čtvercová matice řádu n a nechť
i, j ∈ N, 1 ≤ i, j ≤ n. Pak platí:
(1)
Èn
t=1 aitCjt(A) =
´
0, jestliže i = j
det A, jestliže i = j,
(2)
Èn
t=1 atj Cti(A) =
´
0, jestliže i = j
det A, jestliže i = j.
Důkaz.
Jestliže i = j, pak výraz (1) je dle 4.50 Laplaceův rozvoj det A
podle i-tého řádku a obdobně výraz (2) Laplaceův rozvoj podle i-tého
sloupce.
136
řádku determinantu matice, jejíž j-tý řádek byl nahrazen i-tým řádkem.
Obdobně výraz (2) představuje Laplaceův rozvoj podle i-tého
sloupce determinantu matice, jejíž i-tý sloupec byl nahrazen j-tým
sloupcem. Tyto determinanty jsou však podle 4.46(3a) nulové.
VĚTA 4.52. Pro čtvercovou matici A řádu n máme:
A(adj A) = (adj A)A = (det A).In
Důkaz.
Tvrzení plyne z lemmatu 4.51 a z definice matice adj A ve 4.47.
DŮSLEDEK 4.53. Pro regulární čtvercovou matici A platí
A−1
=
1
det A
adj A.
Důkaz. Podle 4.46(10) je det A = 0. Rovnici ve 4.52 můžeme tedy
tímto determinantem vydělit, takže dostáváme
A
1
det A
adj A =
1
det A
adj A A = In,
a tedy A−1
= 1
det A adj A podle 4.25.
DŮSLEDEK 4.54 (Cramerovo pravidlo).
Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n a b sloupcový vektor
délky n. Pak
A−1
b =
det A1
det A
, . . . ,
det An
det A
T
,
kde Aj je matice získaná z A nahrazením jejího j-tého sloupce vektorem
b (j = 1, . . . , n).
DŮKAZ. Označme b =: [bt] a položme y := [yj] := (adj A)b.
Pak yj =
Èn
t=1 Ctj bt =
Èn
t=1 btCtj představuje Laplaceův rozvoj
podle j-tého sloupce determinantu matice Aj , tj. yj = det Aj (j =
1, . . . , n). Tvrzení pak ihned dostáváme po vynásobení rovnice ve 4.53
zprava vektorem b.
137
• Přímý výpočet z definice 4.44:
Je vhodný pouze pro matice nízkých řádů, obvykle nejvýše řádu 3:
Řád 1: Pro čtvercovou matici A = [a] řádu 1 je výpočet jednoduchý.
Jedinou permutací jednoprvkové množiny je identická permutace sudé
parity, takže dostáváme:
det A = det[a] = a.
Řád 2: Jedinými permutacemi dvouprvkové mmnožiny je identická
permutace [1,2] sudé parity a [2, 1] liché parity. Dostáváme tak vztah:
det A = a11a22 − a12a21. (4.2a)
Řád 3: Tříprvkovou mmnožinu lze uspořádat šesti způsoby (= 3!),
přičemž dle 4.43(6) tři permutace mají sudou paritu (+) a tři lichou
paritu (−):
[1, 2, 3], [2, 3, 1],[3, 1, 2] s počtem inverzí po řadě 0, 2, 2 (+)
[3, 2, 1], [2, 1, 3],[1, 3, 2] s počtem inverzí po řadě 3, 1, 1 (−).
Dostáváme tak vztah:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32. (4.2b)
Výše uvedené vztahy si lze snadno zapamatovat takto: trojice prvků
vybíraná rovnoběžně s hlavní diagonálou dává příslušnému členu znaménko
+, zatímco trojice prvků vybíraná rovnoběžně s vedlejší diagonálou
dává znaménko −. Toto pravidlo je také známo jako tzv.
Sarrusovo pravidlo.
• Rekurentní výpočet užitím Laplaceova rozvoje:
Opakovaným používáním Laplaceova rozvoje postupně na zadaný determinant,
pak na vybírané minory a jejich doplňky, atd. vede k postupnému
snižování řádu determinantů až na úroveň, kde můžeme
užít přímý výpočet. Indexy i1, . . . , ik, resp. j1, . . . , jk vybíráme tak,
aby ve vybraných řádcích, resp. sloupcích bylo co nejvíce nulových
138
se zjednoduší. Můžeme také tomu napomoci prováděním vhodných
elementárních transformací dle 4.46(7-7b), které nemění hodnotu počítaného
determinantu.
Obvykle se provádí rozvoj pouze podle jednoho řádku, resp. sloupce,
z něhož nejprve eliminujeme co nejvíce nenulových prvků. Ideální je,
když tam zůstane pouze jeden takový prvek, řekněme aij . Pak se rozvoj
redukuje jen na jeden sčítanec det A = aij (−1)i+j
Cij , kde Cij je
řádu n − 1. Na něj pak aplikujeme podobný postup, čímž se řád dále
sníží na n − 2, atd.
• Užití Gaussovy eliminace, resp. LU-rozkladu:
Při Gaussově eliminaci se matice A řádu n převede posloupností elementárních
řádkových úprav 4.46(7) a řádkových záměn 4.46(3) na
čtvercovou matici ve schodovitém tvaru S rovněž řádu n. Uvažme
dále, že S je horní trojúhelníková matice. Zatímco řádkové úpravy
4.46(7) nemění hodnotu det A, tak každá řádková záměna 4.46(3)
obrací její znaménko. Označíme-li p počet provedených řádkových
záměn, dostáváme (−1)p
det A = det S
4.46(4)
= s11 . . . snn a odtud hledaný
vztah
det A = (−1)p
s11 . . . snn. (4.3)
Obdobný vztah dostáváme z rovnice L.S = P A pro LU-rozklad
dle 4.38. Totiž L je dolní trojúhelníková s jednotkovou diagonálou,
takže det L = 1 dle 4.46(4). Matice P je permutační matice složená
z výše zmíněných řádkových záměn, takže det P = (−1)p
dle 4.43(3)
a 4.46(3b).
Kromě determinantu, další běžně užívanou skalární veličinou přiřazovanou
čtvercové matici je stopa matice:
DEFINICE 4.56 (Stopa matice).
Stopou (angl. trace) čtvercové matice A =: [aij ] řádu n nazýváme
součet jejích prvků na hlavní diagonále. Píšeme tr A :=
Èn
i=1 aii.
V teorii polynomů hraje důležitou roli tzv. Vandermondova matice:
139
Vandermondovou maticí danou vektorem x := [x1, . . . , xn] ∈ Fn
rozumíme následující čtvercovou matici řádu n:
V (x) := V (x1, . . . , xn) :=
¾
1 x1 x2
1 · · · xn−1
1
1 x2 x2
2 · · · xn−1
2
...
...
... · · ·
...
1 xn x2
n · · · xn−1
n
¿
. (4.4a)
V jejím i-tém řádku a j-tém sloupci se nachází prvek xj−1
i , můžeme
proto psát stručně22
V (x) = [xj−1
i ].
VĚTA 4.58 (Vandermondův determinant).
Determinant z Vandermondovy matice se nazývá Vandermondův
determinant. Vandermondův determinant řádu n ≥ 2 se spočte
z následujícího vztahu:
det V (x1, . . . , xn) =
1≤i<j≤n
(xj − xi). (4.4b)
DŮKAZ. Důkaz probíhá indukcí vzhledem k n.
1) n=2: užitím (4.2a) ihned dostáváme
det V (x1, x2) =
¬
¬
¬
¬
1 x1
1 x2
¬
¬
¬
¬ = 1.x2 − x1.1 = x2 − x1 =
1≤i<j≤2
(xj − xi).
2) n > 2 (indukční krok): Předpokládejme, že (4.4b) již bylo dokázáno
pro n−1. Proveďme s maticí (4.4a) následující sloupcové úpravy
neměnící hodnotu determinantu (viz 4.46(5a)(7)):
Pro každé j = n, n − 1, . . . , 2 odečteme od j-tého sloupce xn-násobek
(j − 1)-ho sloupce. V posledním řádku zůstane v 1. sloupci jediný
nenulový prvek 1, podle něhož determinant rozvineme:
det V (x1, . . . , xn) = 1.(−1)n+1
det C, kde z každého řádku determinantu
doplňkové matice C lze před něj vytknout rozdíl (xi − xn),
22pokud xi = 0, pak v 1. sloupci neurčitý výraz 00
nahradíme jedničkou.
140
det C = (x1 − xn) . . . (xn−1 − xn) det V (x1, . . . , xn−1)
I.P.
=
(−1)n−1
(xn − x1) . . . (xn − xn−1)
1≤i<j≤n−1
(xj − xi) =
(−1)n−1
1≤i<j≤n
(xj − xi).
Po dosazení do výše uvedeného vztahu dostáváme požadované:
V (x1, . . . , xn) = (−1)2n
É
1≤i<j≤n(xj − xi) =
É
1≤i<j≤n(xj − xi).
DŮSLEDEK 4.59. Vandermondova matice V (x1, . . . , xn) je regulární
právě když skaláry x1, . . . , xn jsou navzájem různé.
141
(prázdná, čtvercová) matice (empty, square) matrix (pl. matrices)
rozměr (typ) matice size of a matrix
prvek element
dolní/horní index lower/upper subscript (index, pl. indices)
řádek/sloupec row/column
submatice submatrix
jednotková matice identity matrix
hlavní (vedlejší) diagonála main (secondary) diagonal
hermitovská (anti)symetrie hermitian (anti)symmetry
dolní/horní trojúhelníková lower/upper triangular
schodovitý tvar reduced row echelon form
(konjugovaná) transpozice (complex conjugate) transpose
maticový součin matrix product
pravidlo smíšeného součinu mixed-product rule
hodnost rank
singulární, regulární singular, nonsingular
řádkově (sloupcově) plná hodnost full-row (full-column) rank
skeletní rozklad rank factorization
inverze matice matrix inverse
pozitivně (semi)definitní positively (nonnegatively) definite
LU-rozklad, QR-rozklad LU-factorization, QR-factorization
Gaussian (Jordan) elimination Gaussian (Jordan) elimination
permutace, záměna permutation, interchange
parita, znaménko, cykl parity, sign, cycle
determinant, subdeterminant determinant, subdeterminant
(doplňkový) minor (complementary) minor
adjunkt matice compound matrix
Laplaceův rozvoj Laplace expansion
Vandermondova matice Vandermonde matrix
Cramerovo pravidlo Cramer rule
stopa trace
0
142
Teorie a příklady: [KaSk:odst.10 s.88-99], [Šik:kap.4 s.37-41]
Příklady: [Ho:řešené č.24-35; s.24-36],
[Ho:neřešené kap.5 s.126-137]
Formulace problému:
Je dán systém m lineárních rovnic (SLR) o n neznámých x1, x2, . . . , xn
ve tvaru:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 . . . 1. rovnice
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . 2. rovnice
...
... · · ·
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm . . . m-tá rov.
(5.1a)
Ekvivalentní maticový zápis systému (5.1a):
Ax = b, (5.1b)
kde je
A := [aij]1≤i≤m
1≤j≤n
. . . matice SLR (5.1a), aij ∈ F
b :=
¾
b1
b2
...
bm
¿
. . . pravá strana SLR (5.1a), bi ∈ F
x :=
¾
x1
x2
...
xn
¿
. . . vektor neznámých SLR (5.1a), xj ∈ F.
143
jeho řešením.
Systém rovnic (5.1a) se nazývá homogenní, jestliže má nulovou pravou
stranu: b = 0m,1.
DEFINICE 5.1. Nechť A je matice SLR (5.1b), pak matici A :=
[A, b] rozměru m × (n + 1) nazýváme rozšířenou maticí tohoto
systému. Zřejmě každý SLR je jednoznačně popsán svou rozšířenou
maticí soustavy A.
VĚTA 5.2 (Věta o řešitelnosti SLR: Frobeniova věta23
).
Systém lineárních rovnic (5.1b) je řešitelný právě když r(A) = r(A).
DŮKAZ. Systém je řešitelný ⇔ b ∈ R(A)
4.15(3)
⇔ b je lineární
kombinací sloupců matice A
3.14(5)
⇔ přidáním b ke sloupcům matice
A se nemění jimi generovaný prostor ⇔ R(A) = R(A)
3.24(3)
⇔
dim R(A) = dim R(A)
4.17
⇔ r(A) = r(A).
DŮSLEDEK 5.3 (Popis množiny všech řešení).
Homogenní SLR s libovolnou maticí soustavy A je vždy řešitelný a
množinou všech jeho řešení je jádro N(A). Je-li x(0)
nějaké řešení
(řešitelného) systému (5.1b), pak x(0)
se nazývá jeho partikulárním
řešením a x(0)
+N(A) = {x(0)
+u | u ∈ N(A)} udává množinu všech
jeho řešení. Zejména platí:
(1) Systém má jediné řešení právě když r(A) = r(A) = n neboli
právě když A je sloupcově plné hodnosti, ale A nikoliv.
Zejména každý systém s regulární maticí soustavy (m = n)
má vždy právě jedno řešení.
(2) Systém má nekonečně mnoho řešení právě když r := r(A) =
r(A) a r < n. V tomto případě množina všech řešení je
tvaru {x(0)
+t1u(1)
+· · ·+tn−ru(n−r)
| t1, . . . , tn−r ∈ F}, kde
u(1)
, . . . , u(n−r)
je nějaká báze v N(A) a t1, . . . , tn−r ∈ F
jsou tzv. volné parametry.
23nebo též Kronecker–Capelliho věta.
144
a) Homogenní systém: x je řešení homogenního systému ⇔ Ax = 0
3.29
⇔ x ∈ N(A).
b) Nehomogenní systém: x je řešení nehomogenního systému ⇔
Ax = b = Ax(0)
⇔ Ax − Ax(0)
= 0 ⇔ A(x − x(0)
) = 0
a)
⇔
x − x(0)
=: u ∈ N(A) ⇔ x = x(0)
+ u, kde u ∈ N(A).
Poznamenejme, že výše uvedená úvaha koresponduje s teorií o faktor
prostorech z odst. 3.5 (věta 3.39 a její důsledky). Totiž A : Fn
→ Fm
určuje dle 4.15 lineární operátor, přičemž množina všech řešení je
úplný vzor A−1
({b}), což je právě jedna ze tříd faktor prostoru Fn
/N(A)
(viz 3.41), která se dle 3.40 dá psát ve tvaru x(0)
+N(A) pro libovolný
reprezentant x(0)
této třídy. Podle 4.29(4) je dim N(A) = n − r(A).
Odtud ihned dostáváme:
(1) Řešitelný systém (podmínka r(A) = r(A) z věty 5.2) má
tedy právě jedno řešení pouze v případě, že N(A) = {0},
tj. když 0 = dim N(A) = n − r(A), neboli když současně
platí r(A) = n. Partikulární řešení x(0)
je pak tímto jediným
řešením.
(2) V opačném případě (r := r(A) < n) má vždy nekonečně
mnoho řešení vyjádřitelných ve tvaru součtu partikulárního
řešení x(0)
se všemi prvky z jádra N(A), neboli se všemi
možnými lineárními kombinacemi vhodně zvolených bázových
vektorů u(1)
, . . . , u(n−r)
∈ N(A).
DEFINICE 5.4. Řekneme, že dva SLR Ax = b a A′
x = b′
jsou
ekvivalentní, jestliže oba systémy mají tytéž množiny řešení. V takovém
případě píšeme A ∼ A
′
, kde A := [A, b] a A
′
:= [A′
, b′
] značí
příslušné rozšířené matice těchto systémů (s týmž počtem sloupců).
Poznámka 5.5 (Princip konstrukce množiny všech řešení SLR).
Základní princip se opírá o nalezení ekvivalentního systému s podstatně
jednodušší maticí soustavy, obvykle trojúhelníkové, nebo ještě
145
matice (věta 4.22). Nechť totiž A = BC je nějaký skeletní rozklad
matice soustavy A typu m×n o hodnosti r. Doplňme zprava lineárně
nezávislé sloupce B na bázi v Fm
. To lze vždy udělat dle 3.24(1). Obdržíme
tak čtvercovou regulární matici B′
. Jestliže jako C′
označíme
matici vzniklou z C přidáním m − r nulových řádků zdola, dostáváme
A = BC = B′
C′
. Označíme-li T := B′−1
, pak T A = C′
.
Pak x je řešení SLR Ax = b ⇔ T Ax = T b ⇔ C′
x = b′
, kde
b′
:= T b. Tedy [A, b] ∼ [C′
, b′
] určují ekvivalentní systémy, přičemž
[C′
, b′
] = [T A, T b] = T [A, b] = T A. Rozšířenou matici ekvivalentního
systému tedy dostaneme vynásobením původní rozšířené matice
A zleva regulární transformační maticí T .
Typickými rozklady skeletního typu jsou LU-rozklad a QR-rozklad
(viz 4.41(2),(3)), kde C′
vždy obsahuje regulární horní trojúhelníkovou
submatici, která umožňuje snadné nalezení jak partikulárního
řešení, tak i báze jádra N(C′
), což umožňuje popsat všechna řešení na
základě 5.3. Báze jádra se hledá analogicky jako v důkazu 4.29(4)—
viz též 4.41(1). V případě LU-rozkladu P A = LS matice T = L−1
P
odpovídá elementárním řádkovým úpravám převádějícím A na schodovitý
tvar C′
=: S, resp. A na schodovitý tvar [S, b′
]. V případě
QR-rozkladu je B′
=: Q unitární matice (viz 4.15(8)) a C′
=: R,
takže dle 3.90(5) roli T = Q−1
hraje (hermitovsky) transponovaná
matice Q∗
.
V dalším se soustředíme na metody konstrukce množiny všech řešení
založené na LU-rozkladu. V případě QR-rozkladu se postupuje
analogicky.
146
5.1. SLR s regulární trojúhelníkovou maticí A řádu n.
Podle 4.27 má A na hlavní diagonále všechny prvky nenulové:
akk = 0 pro k = 1, 2, . . . , n.
(1) A dolní trojúhelníková: Algoritmus dopředného dosazování:
x1 = b1/a11
xk =
 
bk −
Èk−1
j=1 akj xj
¡
/akk pro k = 2, 3 . . . , n.
(5.2a)
(2) A horní trojúhelníková: Algoritmus zpětného dosazování:
xn = bn/ann
xk =
 
bk −
Èn
j=k+1 akj xj
¡
/akk pro k = n − 1, n − 2, . . . , 1.
(5.2b)
5.6. Výpočetní složitost algoritmů (5.2a) a (5.2b).
Označíme-li O(±) počet operací sečítání a odčítání (aditivní složitost)
a O(∗, /) počet operací násobení a dělení (multiplikativní složitost),
pak užitím známého vztahu pro součet členů aritmetické posloupnosti
dostáváme pro algoritmy dopředného a zpětného dosazování kvadratickou
aditivní i multiplikativní složitost:
Aditivní složitost:
O(±) = 0 + 1 + . . . n − 1 =
n(n − 1)
2
=
n2
− n
2
.
Multiplikativní složitost:
O(∗,/) = 1 + 2 + . . . n =
n(n + 1)
2
=
n2
+ n
2
.
147
pak v každém kroku ušetříme jedno dělení a multiplikativní i aditivní
složitost bude stejná:
O(∗, /) = 0 + 1 + . . . n − 1 = O(±) =
n2
− n
2
.
5.2. SLR s libovolnou maticí soustavy A rozměru m × n.
(1) Gaussova eliminace
a) Převod A na schodovitý tvar algoritmem Gaussovy eliminace
Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme rozšířenou matici
soustavy A = [A, b] na schodovitý tvar jako v 4.37. Z hlediska numerické
přesnosti se doporučuje tzv. pivotování, kdy pro přehození
řádků vybíráme takový, který má v eliminovaném sloupci prvek co
největší v absolutní hodnotě. Při eliminaci se totiž tímto prvkem dělí.
Jeho malé (i když nenulové) hodnoty mohou vést k extrémně vysokým
hodnotám podílů a tudíž ke ztrátě platných cifer při jejich ukládání
v paměti počítače.
Nechť R (=: T v poznámce 5.5) je regulární transformační matice
realizující tento převod. Obdržíme:
RA = [S, b′
] =: S, kde S = RA a b′
= Rb.
Podle poznámky 5.5 jsme takto obdrželi ekvivalentní SLR Sx = b′
.
b) Rozhodnutí o řešitelnosti SLR Sx = b′
Podle Frobeniovy věty 5.2 je tento systém řešitelný právě když r(S) =
r(S). Uvážíme-li, že S je schodovitý tvar původní matice A, tak systém
bude řešitelný právě když S i S mají shodný počet nenulových
řádků, který pak udává jejich společnou hodnost r dle 4.30: sloupec
b′
nepřináší schod navíc.
Je-li systém řešitelný pokračujeme dalším krokem c). Přitom posledních
m − r nulových řádků v S můžeme vynechat, neboť reprezentují
rovnice s nulovými koeficienty a nulovými pravými stranami, které
148
b′
nahradíme subvektorem b′
= [b1, . . . , br] bez m − r koncových nul,
pak S′
x = b′
představuje rovněž SLR ekvivalentní k původnímu.
c) Nalezení partikulárního řešení x(0)
systému S′
x = b′
V matici S′
, která je rozměru r × n, vyberme sloupcové indexy 1 ≤
j1 < · · · < jr ≤ n odpovídající sloupcům se schody (viz 4.37). Pak
U := S′
(:,[j1, . . . , jr]) je regulární horní trojúhelníková submatice.
Nastanou dva případy
(i) r = n, kdy U = S′
a systém Ux = b′
má tedy dle 5.3(2) jediné
(partikulární) řešení x(0)
, které nalezneme algoritmem
zpětného dosazování (5.2b). Vektor x(0)
je také jediným řešením
Ax = b a jsme tedy u konce.
(ii) r < n, kdy U je vlastní submatice S′
.
Označme 1 ≤ k1 < · · · < kn−r ≤ n zbývající sloupce v S′
a
U′
matici jimi vytvořenou. Dále nechť yp := xjp značí složky
x odpovídající sloupcům U (tzv. vázané proměnné) a podobně
tq := xkq zbývající složky (tzv. volné proměnné).
Pak
b′
= S′
x =
n
j=1
S′
(:, j)xj =
r
p=1
S′
(:,jp)yp +
n−r
q=1
S′
(:, kq)tq =
= Uy + U′
t a odtud
Uy = b′
− U′
t. (5.3)
Dosadíme-li za všechny volné proměnné nuly, pak t = 0 a (5.3) přejde
v rovnici Uy = b′
, z níž určíme vázané proměnné algoritmem zpětného
dosazování jako v (i). Partikulární řešení x(0)
tak má složky
x
(0)
j =
´
yp jestliže j = jp pro nějaké p a
0 jestliže j = kq pro nějaké q.
Ve většině praktických úloh vystačíme s partikulárním řešením. V opačném
případě pokračujeme krokem d).
149
méně n − r nulovými složkami snadno nalézt užitím operátoru (\) levého
dělení: x(0)
= S′
\b′
. Pokud A není singulární čtvercová matice,
lze jej aplikovat přímo na původní systém: x(0)
= A\b. V případě
singulární čtvercové matice stačí k systému přidat jednu nulovou rovnici.
Dostaneme ekvivalentní systém s obdélníkovou maticí soustavy,
s níž už lze výše uvedený postup použít.
d) Nalezení báze N(S′
) pro popis všech řešení systému S′
x = b′
Řešíme (5.3) s b′
= 0 postupně pro n−r vektorů volných proměnných
t = t(i)
, i = 1, . . . , n − r, kde t
(i)
q = δi,q (Kroneckerův symbol), neboli
t
(i)
i = 1 a nula jinak. Rovnice (5.3) tak budou tvaru Uy = −U′
(:,i) =
−S′
(:,ki) a jejich řešením dostaneme n − r odpovídajících vektorů
y(i)
vázaných proměnných určujících n − r řešení u(i)
homogenního
systému S′
u = 0 ze vztahů
u
(i)
j =
y
(i)
p jestliže j = jp pro nějaké p a
1 jestliže j = kq pro q = i
0 jestliže j = kq pro nějaké q = i.
Tento systém je nezávislý, neboť matice z nich vytvořená obsahuje
jednotkovou submatici řádu n − r, která je regulární (viz 4.19(3)(4)).
Protože je u(i)
∈ N(S′
) a dim N(S′
) = n−r(S′
) = n−r, musí tvořit
jeho bázi (viz též 3.24(4)(ii)). Množina všech řešení je pak určena
dle 5.3(2) následujícími vztahy, kde t1, . . . , tn−r ∈ F jsou libovolně
zvolené volné proměnné:
x1 = x
(0)
1 + t1.u
(1)
1 + · · · + tn−r.u
(n−r)
1
x2 = x
(0)
2 + t1.u
(1)
2 + · · · + tn−r.u
(n−r)
2
...
...
... · · ·
...
xn = x
(0)
n + t1.u
(1)
n + · · · + tn−r.u
(n−r)
n
(5.4)
Poznámka: Pomocí systému MATLAB lze (dokonce ortonormální)
bázi jádra N(A) = N(S′
) snadno nalézt užitím příkazu null(A).
150
Postupujeme analogicky jako při Gaussově eliminaci (1) s tím rozdílem,
že v kroku a) provádíme převod na schodovitý tvar pomocí
Jordanovy metody popsané v poznámce 4.41(4). Při této metodě je
v každém kroku eliminována i část sloupce nad každým schodem.
Za cenu většího počtu výpočetních operací tak získáme jednodušší
schodovitý tvar S′
, v němž regulární horní trojúhelníková submatice
U se stane diagonální maticí, což výrazně zjednoduší výpočty
v následných krocích c) a d). Rovnice (5.3) má diagonální matici soustavy,
takže vázané proměnné partikulárního řešení určíme z rovnice
Uy = b′
pouhým vydělením diagonálními prvky ujj = 0: yj =
b′
j
ujj
pro j = 1, . . . , r. Stejně snadno určíme v kroku d) vázané proměnné
bázových vektorů u
(i)
j : y
(i)
j = −U′(j,i)
ujj
= −S′(j,ki)
ujj
pro j = 1, . . . , r a
i = 1, . . . , n − r.
(3) Užití LU-rozkladu
Nechť P A = LS je LU-rozklad matice A. Zřejmě platí:
Ax = b ⇔ P Ax = P b ⇔ LSx = P b ⇔ Lz = P b, kde z := Sx.
Celý postup hledání řešení tak sestává ze čtyř kroků:
a) Konstrukce matic L, U a P podle 4.38
b) Provedení permutace pravé strany P b
c) Řešení soustavy Lz = P b algoritmem dopřed. dosazování (5.2a)
Matice L je dolní trojúhelníková a regulární, takže podle 5.3(1) existuje
právě jedno řešení z. Matice L =: [lij ] má dokonce jednotkovou
diagonálu, takže při dopředném dosazování nemusíme v rovnicích
(5.2a) dělit diagonálními prvky lii = 1.
d) Řešení soustavy Sx = z algoritmem zpětného dosazování (5.2b)
Rozhodneme o řešitelnosti a případně hledáme řešení stejně jako v krocích
b) až d) Gaussovy eliminace (1). Pouze pravou stranu b′
zaměníme
vektorem z.
151
Všechny algoritmy mají stejnou kubickou aditivní i multiplikativní
složitost:
Aditivní složitost:
O(±) =
n3
− n
3
+
n2
− n
2
Multiplikativní složitost:
O(∗, /) =
n3
− n
3
+ n2
Z hlediska výpočtové složitosti jsou všechny algoritmy ekvivalentní.
Vzhledem k tomu, že ve všech třech metodách má nejvyšší výpočetní
nároky triangularizace (převod na horní trojúhelníkový tvar: faktor
n3
−n
3
), resp. diagonalizace u Jordanovy metody, bude algoritmus (3)
výhodnější v případě, že řešíme systém opakovaně s různými pravými
stranami b a stejnou maticí soustavy A. V takovém případě totiž
stačí provést triangularizaci P A = LU jen jednou, neboť nezávisí na
pravé straně, a pak opakovaně provádět kroky b) až d) pro jednotlivé
pravé strany. Tohoto postupu lze využít při řešení maticových rovnic
typu A.X = B, jehož speciálním případem je úloha nalezení inverze
regulární čtvercové matice (viz dále odst. 5.5).
(4) Cramerovo pravidlo pro regulární čtvercovou matici soustavy A.
Je-li A regulární čtvercová matice řádu n, pak x = A−1
b je zřejmě
(jediné) hledané řešení soustavy Ax = b, neboť AA−1
b = b v důsledku
rovnosti AA−1
= In. Toto řešení můžeme spočíst Cramerovým
pravidlem 4.54. Metoda však vyžaduje spočtení n + 1 determinantů
řádu n a je proto použitelná jen pro soustavy o malém počtu
rovnic (n ≤ 3) a nebo ve speciálních případech, např. při vyjadřování
řešení v symbolickém tvaru u rovnic, kde matice soustavy závisí
na dalších parametrech. Pro numerické řešení větších soustav není
152
dek velkého počtu prováděných operací). Dochází tak ke ztrátě přesnosti,
zejména v případech, kdy A se blíží k singulární matici (det A
je nepřesně spočtené malé číslo, kterým se při Cramerově pravidlu
dělí). Takovým maticím říkáme špatně podmíněné (podrobněji viz
dále odst. 5.6).
5.3. SLR s pásovou (tridiagonální) maticí soustavy.
Věta 5.8. Nechť Ax = b, kde A je regulární pásová tridiagonální
matice (aij = 0 pro |i − j| > 1) rozměru n × n:
A =
¾
a1 c1 0 . . . 0 0 0
b2 a2 c2 . . . 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . bn−1 an−1 cn−1
0 0 0 . . . 0 bn an
¿
.
Potom její LU-rozklad A = LU je tvaru
L =
¾
1 0 . . . 0 0
β2 1 . . . 0 0
...
...
...
...
...
0 0 . . . 1 0
0 0 . . . βn 1
¿
, U =
¾
α1 c1 0 . . . 0
0 α2 c2 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . cn−1
0 0 0 . . . αn
¿
,
kde α1 = a1
βi =
bi
αi−1
αi = ai − βici−1 pro i = 2, 3, . . . , n.
(5.5a)
Důkaz. Vztahy pro neznámé αi a βi snadno nalezneme formálním porovnáním
prvků matic na levé a pravé straně po roznásobení maticové
rovnice A = LU: viz též poznámku 5.9(3).
153
(1) Jinou variantu algoritmu (5.5a) lze odvodit pro
L =
¾
α1 0 . . . 0 0
b2 α2 . . . 0 0
...
...
...
...
...
0 0 . . . αn−1 0
0 0 . . . bn αn
¿
, U =
¾
1 γ1 . . . 0 0
0 1 . . . 0 0
...
...
...
...
...
0 0 . . . 1 γn−1
0 0 . . . 0 1
¿
,
kde α1 = a1, γ1 =
c1
α1
αi = ai − biγi−1
γi =
ci
αi
pro i = 2, 3, . . . , n.
(5.5b)
(2) Analogické algoritmy obdržíme pro blokově tridiagonální matice,
kde ai, bi, ci, αi, βi (resp. γi) jsou submatice kompatibilních
rozměrů. Pak místo 1
αi−1
násobíme inverzní maticí α−1
i−1
zprava v (5.5a) (resp. místo 1
αi
maticí α−1
i zleva v (5.5b)).
(3) V případě obecné regulární čtvercové matice A lze výše popsaný
postup zobecnit pro přímý výpočet prvků matic L a
U tak, že postupně sestavujeme rovnice pro prvky 1. řádku
U, 1. sloupce L, 2. řádku U, 2. sloupce L, atd.
5.4. Přibližné řešení SLR metodou nejmenších čtverců.
Pokud neexistuje řešení SLR Ax = b, je to důsledkem toho, že
b /∈ R(A). V tomto případě má smysl hledat řešení x, které minimalizuje
v nějakém smyslu chybu b−Ax. Chybu obvykle měříme vhodnou
normou b − Ax . Nejčastěji se pro tento účel užívají p-normy (viz
3.56). Pokud je norma odvozena24
z nějakého vnitřního součinu ·, · ,
stačí nahradit pravou stranu b její ortogonální projekcí b ∈ R(A) na
24viz 3.62(S9).
154
malizující b − b . Místo původní rovnice pak řešíme rovnici Ax = b
tzv. metodou nejmenších čtverců (MNČ) podle následující věty.
VĚTA 5.10 (Metoda nejmenších čtverců ve (V, LF)).
Nechť (V, LF) je VS-prostor nad skalárním polem F ⊆ C a W := L(A)
jeho vektorový podprostor generovaný konečnou množinou vektorů
A := {a1, . . . , an}. Pak β =: [β1, . . . , βn] ∈ Fn
je ve smyslu věty 3.77
řešením úlohy ortogonální projekce PW b =: b = β1a1 + · · · + βnan
vektoru b ∈ V na podprostor W právě když β je přesným řešením
následujícího systému lineárních rovnic, který je vždy řešitelný:
a1, a1 β1 + a2, a1 β2 + . . . + an, a1 βn = b, a1
a1, a2 β1 + a2, a2 β2 + . . . + an, a2 βn = b, a2
...
... · · ·
...
...
a1, an β1 + a2, an β2 + . . . + an, an βn = b, an .
(5.6a)
DŮKAZ. W je konečně rozměrný, takže podle 3.80 lze užít větu 3.77
o ortogonální projekci. Podle věty 3.86 je PW b = b ⇔ b − b ⊥ W
3.72
⇔ b − b ⊥ ai pro i = 1, . . . , n ⇔ b −
Èn
j=1 βjaj, ai = 0
pro i = 1, . . . , n
(3.1)
⇔ b, ai −
Èn
j=1 βj aj, ai = 0 pro i = 1, . . . , n
⇔
Èn
j=1 βj aj , ai = b, ai pro i = 1, . . . , n ⇔ β je řešením (5.6a).
Řešitelnost tohoto systému je garantována větou o ortogonální pro-
jekci.
DŮSLEDEK 5.11 (Metoda nejmenších čtverců ve (Fm
, LF)).
Nechť A =: [a1, . . . , an] je matice typu m/n tvořená sloupcovými
vektory a1, . . . , an a b ∈ Fm
libovolný vektor. Pak x ∈ Fn
je řešením
rovnice Ax = b nad skalárním polem F ⊆ C právě když x je přesným
řešením následujícího systému lineárních rovnic:
(A∗
A)x = A∗
b. (5.6b)
155
matice A∗
A — viz 4.14(9).
DŮKAZ. Jestliže nahradíme β v předchozí větě vektorem x, pak
b = x1a1 + · · · + xnan
4.13
= Ax. Vektor x je tedy řešením této úlohy
právě když je řešením SLR (5.6a), kde βi = xi. Tomuto systému odpovídá
dle 4.14(9) maticový zápis (5.6b). Jeho řešitelnost je dána předchozí
větou nebo také přímo plyne ihned z toho, že jeho pravá strana
A∗
b ∈ R(A∗
)
3.88(5)(iii)
= R(A∗
A).
Poznámka 5.12.
(1) Jestliže F ⊆ R, pak v (5.6b) je A∗ 4.11(5)
= AT
.
(2) Je-li W nějaká pozitivně definitní matice řádu m (tzv. váhová
matice), pak lze pomocí ní zavést v Fm
vážený skalární
součin x, y W := W x, y
4.14(9)
= y∗
W x (podrobnosti dále
v kapitole 6). Systém (5.6a) tak přejde v
(A∗
W A)x = A∗
W b. (5.6c)
Jeho řešení nazýváme řešením úlohy Ax = b tzv. váženou
metodu nejmenších čtverců s váhovou maticí W .
Obvykle W je diagonální matice s kladnými diagonálními
vahami wii > 0 (jinak W by totiž nebyla pozitivně definitní).
Nechť r := b − Ax značí vektor odchylek řešení
od pravé strany (tzv. reziduální vektor). Malá hodnota
wii v odvozené normě r W =
Ô
W r, r W =
√
r∗W r =
ÔÈm
i=1 wiiriri =
ÔÈm
i=1 wii|ri|2 snižuje vliv odchylky ri na
hodnotu normy a připouští tudíž větší odchylku i-té složky
oproti j-té složce, kde wjj > wii.
(3) Je-li b ∈ R(A), pak b = PW b
3.76(1)
= b, takže každé řešení
soustavy (5.6b) je současně přesným řešením původní rovnice
Ax = b. V MATLABu pro nečtvercovou matici pomocí operátoru
levého dělení x = A\b spočteme nějaké (partikulární)
156
původní systém řešitelný — viz poznámku v 5.2(1)c).
5.5. Řešení maticové rovnice A.X = B a výpočet inverze A−1
.
Nechť A typu m/n a B typu m/p jsou dané matice. Řešením maticové
rovnice A.X = B rozumíme každou matici X kompatibilního
typu n/p, která tuto rovnici splňuje. Protože A.X = B ⇔
A.X(:,k) = B(:, k) pro k = 1, . . . , p, vidíme, že sloupce X jsou po
řadě řešení p systémů lineárních rovnic s pravými stranami tvořenými
odpovídajícími sloupci matice B. Všechny tyto systémy mají přitom
stejnou maticí soustavy A.
V zásadě můžeme po drobné modifikaci užít metody (1) až (3) z odst. 5.2.
(1) Gaussova nebo Jordanova eliminace
V kroku a) převádíme na schodovitý tvar matici soustavy rozšířenou
o všechny pravé strany, tj. matici A = [A, B]. Obdržíme [S, B′
].
V kroku b) rozhodnutí o řešitelnosti maticové rovnice spočívá v rozhodnutí
o řešitelnosti všech ekvivalentních soustav s měnícími se pravými
stranami B′
(:, k), k = 1, . . . , p. Snadno nahlédneme, že nutnou
a postačující podmínkou je opět podmínka r(A) = r(A), tj. stejný
počet nenulových řádků v maticích S a [S, B′
].
V kroku c) pak (5.3) řešíme postupně s pravými stranami b′
= B′
(:, k)
pro k = 1, . . . , p. Krok d) zůstane beze změny, neboť nezávisí na pravé
straně.
(2) Užití LU-rozkladu
Jak již bylo zmíněno v 5.7, stačí vlastní LU-rozklad z kroku a) provést
pouze jednou, v kroku b) pak provedeme řádkovou permutaci P B celé
matice B, což odpovídá řádkovým permutacím všech pravých stran.
Nakonec pro každou pravou stranu (sloupce matice B) opakujeme
kroky c)d), čímž postupně dostáváme jako řešení odpovídající sloupce
neznámé matice X.
157
A.X = B nalézt řešením maticové rovnice (A∗
A)X = A∗
B, která
je vždy řešitelná.
Je-li A regulární čtvercová matice řádu n, pak k nalezení inverze
X = A−1
stačí podle 4.46(11) řešit maticovou rovnici A.X = In.
Tato úloha je tak speciálním případem maticové rovnice (m = n = p).
Poznamenejme ještě, že v případě regulární matice, je A−1
B (jediným)
řešením obecné maticové rovnice s libovolnou pravou stranou B.
V případě regulární matice A nízkého řádu, můžeme pro výpočet její
inverze užít také determinantovou metodu dle důsledku 4.53.
5.6. Problémy s numerickou nestabilitou při řešení SLR.
Matice A se nazývá špatně podmíněná, jestliže malé změny pravé
strany b mají za následek velké změny řešení x. Například pro čtvercovou
matici A tato situace nastává v případech, kdy A je sice regulární,
avšak s malou hodnotou determinantu, neboli říkáme, že je “skoro singulární”.
Tato situace nastane, když některý sloupcový (řádkový) vektor
v A svírá malý úhel s nadrovinou generovanou ostatními sloupci
(řádky).
Jako příklad uvažme následující systém dvou lineárních rovnic:
x + 2y = 2
2x + 3y = 3, 4
Přesné řešení x = 0, 8, y = 0, 6 aproximujme dosti nepřesně hodnotami
x = 1, y = 0, 48. Po jejich dosazení do obou rovnic dostáváme
po řadě 1, 96 místo 2 a 3, 44 místo 3, 4, což jsou malé odchylky řádově
v setinách ve srovnání s chybou řešení, která je řádově v desetinách.
Příčina tkví v tom, že hledáme průsečík dvou přímek, které svírají
velmi malý úhel o směrnicích −1
2 a −2
3 . Řádky [1, 2] a [2, 3] matice
soustavy v tomto případě totiž reprezentují souřadnice kolmic
k oběma přímkám a svírají tedy stejný úhel jako přímky samotné.
158
vektorů, tj. ke stavu, kdy matice soustavy je singulární.
Podobně lze zkonstruovat situace, kdy při libovolně velké odchylce
řešení lze dosáhnout libovolně malé odchylky od pravé strany.
ZÁVĚR: Nelze tedy hodnotit přesnost nalezeného řešení podle odchylek
od pravé strany po jeho dosazení do rovnic!
Lze pouze hodnotit podmíněnost matice. Ta se měří číslem podmíněnosti,
které se zpravidla počítá jako poměr největšího ku nejmenšímu
singulárnímu číslu matice. Singulární čísla matice A jsou druhé odmocniny
vlastních čísel symetrické matice AT
A — tedy v případě
symetrické matice splývají s jejími vlastními čísly (podrobněji viz
následující kapitolu). Toto číslo podmíněnosti v systému MATLAB
počítá funkce cond. Čím větší číslo podmíněnosti má daná matice,
tím je hůře podmíněná a více se blíží k singulární matici. Jinak počítané
reciproké číslo podmíněnosti v intervalu [0, 1] vrací funkce rcond.
V tomto případě špatnou podmíněnost indikují hodnoty blízké k nule.
5.7. Iterační metody pro řešení systému lineárních rovnic.
Princip:
Rovnici Ax = b, kde A je čtvercová regulární matice řádu n, převedeme
na rovnici tvaru x = Γx + γ, kterou generujeme posloupnost
iterací.
Obecný postup hledání Γ a γ:
Matici A vhodně rozložíme do tvaru A = N −M, kde N je regulární
matice. Pak platí
Ax = b ⇔ (N − M)x = b ⇔ Nx = Mx + b ⇔
x = N−1
MßÞ
Γ
x + N−1
bßÞ
γ
.
159
x(0)
. . . počáteční iterace
x(k+1)
= Γx(k)
+ γ pro k = 0, 1, . . . .
(5.7)
DEFINICE 5.13 (Jacobiho prosté iterace).
Položíme
N := diag(A) =
¾
a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . ann
¿
M := N − A =
¾
0 −a12 . . . −a1n
−a21 0 . . . −a2n
...
...
...
...
−an1 −an2 . . . 0
¿
,
pak
Γ =
¾
0 −a12
a11
. . . −a1n
a11
−a21
a22
0 . . . −a2n
a22
...
...
...
...
− an1
ann
− an2
ann
. . . 0
¿
, γ =
¾ b1
a11
b2
a22
...
bn
ann
¿
.
Rozepsáním (5.7) do jednotlivých rovnic dostáváme
Jacobiho iterační proces:
x
(0)
1 , . . . , x
(0)
n . . . počáteční iterace
x
(k+1)
j = 1
ajj
 
bj −
Èn
i=1
i=j
aji x
(k)
i
¡
,
j = 1, . . . , n; k = 0, 1, . . . .
(5.8)
160
nice vzhledem k proměnné xj.
Jestliže nyní v (5.8) použijeme pro i < j již spočtenou iteraci x
(k+1)
i
místo x
(k)
i , obdržíme následující zřejmě poněkud rychleji konvergující
iterační proces.
DEFINICE 5.14 (Gauss-Seidelovy iterace).
Položíme
N :=
¾
a11 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
¿
,
M := N − A =
¾
0 −a12 . . . −a1n
0 0 . . . −a2n
...
...
...
...
0 0 . . . 0
¿
,
pak z Nx(k+1)
= Mx(k)
+ b dostáváme ihned rovnice pro
Gauss-Seidelův iterační proces:
x
(0)
1 , . . . , x
(0)
n . . . počáteční iterace
x
(k+1)
j = 1
ajj
 
bj −
Èj−1
i=1 aji x
(k+1)
i −
Èn
i=j+1 aji x
(k)
i
¡
,
j = 1, . . . , n; k = 0, 1, . . . .
(5.9)
DEFINICE 5.15. Čtvercová matice A řádu n se nazývá striktně
diagonálně dominantní, jestliže |ajj | >
Èn
i=1
i=j
|aji| pro j = 1, 2, . . . , n.
VĚTA 5.16 (Konvergence Jacobiho a Gauss-Seidelovy metody).
Nechť A je striktně diagonálně dominantní matice. Potom systém lineárních
rovnic Ax = b má jediné řešení a Jacobiho i Gauss-Seidelův
161
teční aproximaci x(0)
.
POZNÁMKA 5.17. Obecně z konvergence jedné z obou metod neplyne
konvergence druhé. Pokud konvergují obě, pak Gauss-Seidelova
metoda konverguje rychleji.
PŘÍKLAD 5.18. Jak ukazuje následující příklad, může pouhou
změnou pořadí rovnic dojít ke ztrátě konvergence. Uvažme SLR
4x − y + z = 7
4x − 8y + z = −21
−2x + y + 5z = 15
Jacobiho iterace tohoto SLR odstartované v počáteční aproximaci
x(0)
= [1, 2, 2] konvergují k přesnému řešení x = [2, 4, 3], neboť matice
soustavy je striktně diagonálně dominantní.
Jestliže zaměníme první a poslední rovnici, tak se tato vlastnost poruší
a SLR
−2x + y + 5z = 15
4x − 8y + z = −21
4x − y + z = 7
při téže počáteční iteraci diverguje od přesného řešení.
Poznámka 5.19. Iterační metody jsou vhodné zejména pro rozsáhlé
systémy lineárních rovnic s řídkou maticí soustavy (malým počtem
nenulových prvků), kde u Gaussovy eliminace bývají problémy s numerickou
stabilitou (viz 5.6) a větší výpočetní nároky vzhledem k nemožnosti
účelně využít případné řídkosti matice soustavy.
Snažíme se vhodnou záměnou pořadí rovnic (řádkovou permutací
rozšířené matice soustavy) a změnou pořadí nezávisle proměnných
(sloupcová permutace matice soustavy) soustředit největší nenulové
prvky kolem hlavní diagonály s cílem dosáhnout (pokud možno) striktně
diagonální dominantnosti. To je zpravidla snazší u řídké matice,
která se stane pásovou (nenulové prvky soustředěny kolem hlavní di-
agonály).
162
systém lineárních rovnic (SLR) system of linear equations (SLE)
matice systému matrix of the system
pravá strana right-hand side
vektor neznámých vector of unknowns
(ne)homogenní systém (non-)homogeneous system
rozšířená matice SLR augmented matrix of a SLE
množina řešení solution set
partikulární řešení particular solution
algoritmus dopředného dosazování forward-substitution algorithm
algoritmus zpětného dosazování back-substitution algorithm
SLR s dolní trojúhelníkovou maticí lower-triangular SLE
SLR s horní trojúhelníkovou maticí upper-triangular SLE
výpočetní složitost computational complexity
tridiagonální matice tridiagonal matrix
pásová matice band matrix
přibližné řešení approximate solution
metoda nejmenších čtverců (MNČ) least-squares (LSQ) solution
vážená MNČ weighted LSQ method
váhová matice weight matrix
maticová rovnice matrix equation
numerická (ne)stabilita numerical (in)stability
špatně podmíněná matice badly-conditioned matrix
dobře podmíněná matice well-conditioned matrix
číslo podmíněnosti condition number
iterační metoda iterative method
163
Látka je předběžně zpracována v souborech TrSour.tifa DiagMat.tif,
které jsou zkomprimovány v TrSour.zip a v DiagMat.zip.
164
Nechť dále značí a := a1 + ia2, b := b1 + ib2 dvě komplexní čísla v
kartézském tvaru a
a = |a|(cos α + i sin α) = |a|eiα
, b = |b|(cos β + i sin β) = |b|eiβ
jejich
vyjádření v goniometrickém, resp. Eulerově tvaru.
Jelikož funkce kosinus je sudá (cos(−x) = cos(x)) a funkce sinus lichá
(sin(−x) = − sin(x)), dostáváme:
eiα = e−iα
a tedy a = |a|e−iα
a b = |b|e−iβ
.
A.1. Sečítání, odčítání.
a + b := (a1 + b1) + i(a2 + b2)
a − b := (a1 − b1) + i(a2 − b2)
A.2. Násobení.
ab = (a1 + ia2)(b1 + ib2) = (a1b1 − a2b2) + i(a2b1 + a1b2) nebo
ab = |a|eiα
|b|eiβ
= |a||b|ei(α+β)
= |a||b|(cos(α + β) + i sin(α + β)).
Zejména platí
aa = a2
1 + a2
2 = |a|2
.
A.3. Dělení. Nechť b = 0, pak
a
b
=
ab
bb
=
a1b1 + a2b2
b2
1 + b2
2
+ i
a2b1 − a1b2
b2
1 + b2
2
nebo
a
b
=
|a|eiα
|b|eiβ
=
|a|
|b|
ei(α−β)
=
|a|
|b|
(cos(α − β) + i sin(α − β)).
A.4. Umocňování.
Tvrzení (Moivreova věta).
an
= |a|n
(cos αn + i sin αn), kde n ∈ Z
Důkaz. Indukcí vzhledem k |n| užitím vztahu A.2 pro násobení při
n > 0, resp. vztahu A.3 pro dělení komplexních čísel při n < 0.
165
1. Druhá odmocnina v kartézských souřadnicích
√
a1 + ia2 = ±(u1 + iu2), kde
u1 =
Ö
1
2
(|a| + a1)
u2 = sgn(a2)
Ö
1
2
(|a| − a1), kde sgn(a2) udává znaménko a2.
2. n-tá odmocnina
Uvažme, že vzhledem k periodicitě funkcí kosinus a sinus platí
a = |a|(cos α+i sin α) = |a|(cos(α+2πk)+i sin(α+2πk)) = |a|ei(α+2πk)
pro každé k ∈ Z.
Odtud dostaneme ihned vztah pro všechny n-té odmocniny z a:
n
√
a = n
Ô
|a|ei α+2πk
n = n
Ô
|a| cos
α + 2πk
n
+ i sin
α + 2πk
n
pro k = 0, 1, . . . , n − 1.
3. n-tá odmocnina z 1
Z předchozího dostaneme volbou a = 1 všechny n-té odmocniny z 1:
n
√
1 = ei 2πk
n = cos
2πk
n
+ i sin
2πk
n
pro k = 0, 1, . . . , n − 1.
Tvrzení (Vlastnosti).
(1) Všechny hodnoty n-té odmocniny z komplexního čísla a dostaneme
vynásobením jedné z těchto hodnot všemi hodnotami
n-té odmocniny z 1.
(2) Jsou-li ε1, ε2 n-té odmocniny z 1, pak ε1ε2 je rovněž n-tá
odmocnina z 1.
(3) Je-li ε k-tá odmocnina z 1 a l = kq, pak ε je rovněž l-tá
odmocnina z 1.
166
mocnina z 1 pro k = 0, 1, . . . , n − 1.
(5) ε se nazývá primitivní n-tá odmocnina z 1, platí-li:
(i) εn
= 1
(ii) εk
= 1 pro k = 1, 2, . . . , n − 1.
(6) Je-li ε n-tá odmocnina z 1, pak ε je primitivní právě když
hodnoty εk
jsou pro k = 0, 1, . . . , n − 1 navzájem různé.
Zejména ε := e
i2π
n je vždy primitivní, neboť εk
= e
i2πk
n jsou
pro k = 0, 1, . . . , n − 1 navzájem různá komplexní čísla.
(7) Nechť ε je primitivní n-tá odmocnina z 1. Pak εk
je primitivní
n-tá odmocnina z 1 právě když n a k jsou nesoudělné.
(8) Nechť p je prvočíslo, pak všechny p-té odmocniny z 1 různé
od 1 jsou primitivní.
A.6. Goniometrické vzorce.
1. Vyjádření goniometrických funkcí sin nα, cos nα pomocí sin α, cos α
Použitím Moivreovy věty a binomické věty dostáváme:
cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α)n
=
=
n
k=0
n
k
cosk
α (i)n−k
sinn−k
α.
Stačí pak porovnat reálné, popřípadě imaginární části výrazů vlevo a
vpravo. Zejména pro n = 2 tak dostáváme známé vztahy pro dvojnásobný
úhel:
cos 2α = cos2
α − sin2
α, sin 2α = 2 sin α cos α.
Ty jsou však speciálním případem obecnějších vztahů pro součet a
rozdíl úhlů, získaných z A.2 volbou a1 = cos α,a2 = sin α a
b1 = cos(±β) = cos β, b2 = sin(±β) = ± sin β. Jelikož |a| = |b| = 1,
obdržíme:
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β,
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.
167
Z Eulerova vztahu dostáváme vyjádření pro sin α a cos α :
sin α =
eiα
− e−iα
2i
, cos α =
eiα
+ e−iα
2
.
Ty stačí umocnit na n-tou opět užitím binomické věty:
sinn
α =
1
2nin
n
k=0
n
k
eikα
(−1)n−k
e−i(n−k)α
cosn
α =
1
2n
n
k=0
n
k
eikα
e−i(n−k)α
.
Například spočtěme
sin3
α =
1
23i3
(ei3α
− 3ei2α
e−iα
+ 3eiα
e−i2α
− e−i3α
) =
=
1
8i3
(2i sin 3α − 3.2i sin α) =
1
4i2
(sin 3α − 3 sin α) =
=
1
4
(3 sin α − sin 3α).
168
vektorových prostorů konečné dimenze
Věta B.1. Nechť (V1, LF), (V2, LF) a (V3, LF) jsou tři vektorové prostory
konečných dimenzí dim V1 = n, dim V2 = m a dim V3 = p. Pak
zobrazení T → [T] (T ∈ L(V1 , V2)) je izomorfizmem vektorového prostoru
L(V1, V2) všech lineárních operátorů z V1 do V2 (viz 3.38) na
vektorový prostor všech matic Mm,n (viz 4.9). Přitom platí:
(1) [Tx] = [T].[x] pro každé x ∈ V1.
(2) Složení dvou operátorů T : V1 → V2 a U : V2 → V3 odpovídá
v souřadnicovém vyjádření součin matic: [UT] = [U].[T].
(3) Maticovou reprezentací identického operátoru I : V1 → V1 je
jednotková matice: [I] = In.
(4) Operátor T je surjektivní právě když je reprezentován maticí
řádkově plné hodnosti25
.
(5) Operátor T je izomorfní vnoření právě když je reprezentován
maticí sloupcově plné hodnosti25
.
(6) Operátor T je izomorfizmus právě když je reprezentován regulární
maticí25
. Přitom platí [T]−1
= [T−1
], kde [T]−1
je
matice inverzní26
k [T].
V případě VS-prostorů (F ⊆ C) navíc platí:
(7) Maticovou reprezentací operátoru adjungovaného k T je hermitovsky
transponovaná matice: [T∗
] = [T]∗
. Zejména maticovou
reprezentaci samoadjungovaného operátoru je hermitovsky
symetrická matice.
(8) Operátor T je unitární právě když je reprezentován unitární
maticí.
Důkaz. Nadále E = {e1, . . . , e1} je nějaká pevně zvolená báze ve V1.
• Linearita zobrazení T → [T]:
[T1 + T2] = [[(T1 + T2)e1], . . . , [(T1 + T2)en]] =
25Viz definici 4.17.
26Matice určující maticový operátor inverzní k operátoru určenému maticí
[T ] dle věty 4.25.
169
[[T1e1] + [T2e1], . . . , [T1en] + [T2en]] =
[[T1e1], . . . , [T1en]] + [[T2e1], . . . , [T2en]] = [T1] + [T2].
[αT] = [[(αT)e1], . . . , [(αT)en]] = [[α(Te1)], . . . , [α(Ten)]]
3.92
=
[α[Te1], . . . , α[Ten]] = α[[Te1], . . . , [Ten]] = α[T].
• T → [T] je prosté:
T1 = T2
3.35
⇒ ∃ i : T1ei = T2ei
3.92
⇒ ∃ i : [T1ei] = [T2ei] ⇒
[[T1e1], . . . , [T1en]] = [[T2e1],. . . , [T2en]] ⇒ [T1] = [T2].
• T → [T] je surjekce:
Buď A libovolná matice typu m/n. Dle 3.92 je [·] surjekce, takže ke
každému sloupci A(:, j) existuje vektor vj ∈ V2 tak, že [vj] = A(:,j).
Podle 3.36(6) lze zobrazení ej → vj rozšířit na lineární operátor
V1 → V2, takže [Tej] = [vj] = A(:, j) ⇒ [T] = [[Te1], . . . , [Ten]] =
[A(:,1), . . . , A(:,n)] = A.
• Vlastnost (1):
Nechť x =
Èn
i=1 ξiei, tj. ξ = [x]. Pak [Tx] = [T(
Èn
i=1 ξiei)] =
[
Èn
i=1 ξiTei]
3.92
=
Èn
i=1 ξi[Tei]
4.13a)
= [[Te1], . . . , [Ten]].ξ = [T].[x].
• Vlastnost (2):
[UT] = [[U(Te1)], . . . , [U(Ten)]]
(1)
= [[U].[Te1], . . . , [U].[Ten]]
4.15(1)
=
[U].[[Te1], . . . , [U].[Ten]] = [U].[T].
• Vlastnost (3):
[I] = [[Ie1], . . . , [Ien]] = [[e1], . . . , [en]] = [ε1, . . . , εn] = In.
• Vlastnosti (4)–(6),(8):
Označíme-li S1 : V1 → Fn
a S2 : V2 → Fm
unitární izomorfizmy přiřazení
souřadnic (Si zastupije zápis [·] ve 3.92), pak [Tx]
(1)
= [T].[x]
lze psát ve tvaru S2Tx = [T].(S1x)
4.15
= [T]S1x pro každé x ∈ Fn
,
což je ekvivalentní s rovností složených operátorů S2T = [T]S1. Aplikujeme-li
na tuto rovnost S−1
2 zleva, resp. S−1
1 zprava, obdržíme vyjádření:
T = S−1
2 [T]S1, resp. [T] = S2TS−1
1 . Složení tří izomorfních
vnoření (surjekcí, izomorfizmů) je zřejmě opět izomorfní vnoření
(surjekce, izomorfizmus). Jelikož S1 i S2 jsou izomorfizmy (surjektivní
170
je izomorfní vnoření (surjekce, izomorfizmus) ⇔ [T] určuje izomorfní
vnoření (surjekci, izomorfizmus), což je podle věty 4.20 ekvivalentní
s dokazovanými tvrzeními o matici [T]. Protože Si jsou unitární izomorfizmy
a také složení tří unitárních izomorfizmů je rovněž unitární
izomorfizmus, dostáváme podobně ekvivalenci s unitaritou maticového
operátoru [T] a tedy i s maticí [T] (viz 4.15(8)).
T izomorfizmus ⇒ T−1
T = I a TT−1
= I jsou identity na V1 a V2
(2),(3)
⇒ [T−1
].[T] = In a [T].[T−1
] = Im, což podle věty 4.25 znamená,
že [T−1
] = [T]−1
.
• Vlastnost (7):
Nechť x ∈ V1 a y ∈ V2 jsou libovolné. Protože [·] je unitární, dostáváme
užitím 3.90(3):
Tx, y = [Tx], [y]
(1)
= [T].[x],[y]
4.15(6)
= [x],[T]∗
.[y] ,
x, T∗
y = [x], [T∗
y]
(1)
= [x], [T∗
].[y] .
Pak Tx, y = x, T∗
y ⇒ [x], [T]∗
.[y] = [x], [T∗
].[y] , kde [x],
resp. [y] probíhá všechny prvky Fn
, resp. Fm
(totiž [·] je izomorfizmus
a tedy surjekce). Adjungovaný operátor je dle 3.82 určen jednoznačně,
takže operátory určené maticemi [T]∗
a [T∗
] jsou stejné. Dle úvodní
části důkazu této věty existuje jednojednoznačná korespondence mezi
maticemi a příslušnými operátory, takže také [T]∗
= [T∗
].
171
MATHEMATICAL FONTS DEMO (mathfont.aml)
(definitions from the input file mathfont.tex assumed)
Math roman \mathrm: ABCDEFGH.
Math roman bold \mathbf: ABCDEFGH.
Math blackboard bold \mathbb or \Bbb ABCDEFGH.
Math normal \mathnormal: ABCDEFGH.
Math bold normal \bm: ABCDEF GH.
Math italic \mathit: ABCDEFGH.
Math sans serif \mathsf: ABCDEFGH.
Math typewriter \mathtt: ABCDEFGH.
Math script \mathcal or \cal: ABCDEFGH.
Math bold script \bcal: ABCDEFGH.
Euler script \matheu or \eu: ABCDEFGH.
Euler bold script \beu: ABCDEFGH.
Math fraktur \mathfrak or \frak: ABCDEFGH.
Math bold fraktur \bfrak: ABCDEFGH.
The set of natural numbers \Nset: N
The set of integers \Zset: Z
The set of integers modulo N \ZNset{N}: ZN
The set of rational numbers \Qset: Q
The set of real numbers \Rset: R
The set of complex numbers \Cset: C
172
Type: Print: Type: Print: Type: Print:
\alpha α \beta β \gamma γ
\digamma ̥ \delta δ \epsilon ǫ
\varepsilon ε \zeta ζ \eta η
\theta θ \vartheta ϑ \iota ι
\kappa κ \varkappa κ \lambda λ
\mu µ \nu ν \xi ξ
\pi π \varpi ̟ \rho ρ
\varrho ̺ \sigma σ \varsigma ς
\tau τ \upsilon υ \phi φ
\varphi ϕ \chi χ \psi ψ
\omega ω
Type: Print: Type: Print:
\Gamma Γ \varGamma Γ
\Delta ∆ \varDelta ∆
\Theta Θ \varTheta Θ
\Lambda Λ \varLambda Λ
\Xi Ξ \varXi Ξ
\Pi Π \varPi Π
\Sigma Σ \varSigma Σ
\Upsilon Υ \varUpsilon Υ
\Phi Φ \varPhi Φ
\Psi Ψ \varPsi Ψ
\Omega Ω \varOmega Ω
HEBREW LETTERS (hebrew.tex)
Type: Print: Type: Print:
\aleph ℵ \beth
\daleth \gimel ‫ג‬
173
Type: Print: Type: Print:
\pm ± \mp ∓
\dotplus ∔ \cdot ·
\times × \centerdot
\ltimes ⋉ \rtimes ⋊
\leftthreetimes ⋋ \rightthreetimes ⋌
\ast ∗ \star ⋆
\diamond ⋄ \circ ◦
\bullet • \div ÷
\setminus \ \smallsetminus
\cap ∩ \cup ∪
\Cap ⋓ \Cup ⋒
\sqcap ⊓ \sqcup ⊔
\wedge ∧ \vee ∨
\barwedge ⊼ \doublebarwedge
\curlywedge \curlyvee
\veebar ⊻ \intercal ⊺
\oplus ⊕ \ominus ⊖
\uplus ⊎ \And &
\otimes ⊗ \oslash ⊘
\odot ⊙ \circleddash ⊖
\circledast ⊛ \circledcirc ⊚
\boxminus ⊟ \boxtimes ⊠
\boxdot ⊡ \boxplus ⊞
\triangleleft ⊳ \triangleright ⊲
\lhd ✁ \rhd ✄
\unlhd ✂ \unrhd ☎
\bigtriangleup △ \bigtriangledown ▽
\dagger † \ddagger ‡
\wr ≀ \bigcirc
\amalg ∐ \divideontimes
174
Type: Print: Type: Print:
\prod {i=1}ˆ{n}
Én
i=1 \coprod {i=1}ˆ{n} n
i=1
\bigcap {i=1}ˆ{n}
Ìn
i=1 \bigcup {i=1}ˆ{n}
Ën
i=1
\bigvee {i=1}ˆ{n}
Ïn
i=1 \bigwedge {i=1}ˆ{n}
În
i=1
\bigsqcup {i=1}ˆ{n} n
i=1 \biguplus {i=1}ˆ{n}
Ín
i=1
\bigotimes {i=1}ˆ{n}
Æn
i=1 \bigoplus {i=1}ˆ{n}
Än
i=1
\bigodot {i=1}ˆ{n}
Ân
i=1 \sum {i=1}ˆ{n}
Èn
i=1
\int aˆb
Ê b
a
\oint aˆb
À b
a
\iint {E 2}
ÊÊ
E2
\iiint {E 3}
ÊÊÊ
E3
\iiiint {E 4}
ÊÊÊÊ
E4
\idotsint {E n}
Ê
···
Ê
En
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n℄
i=1
nÇ
i=1
nÅ
i=1
nÃ
i=1
n
i=1
b
a
Á b
a E2 E3 E4
· · ·
En
175
Type: Print: Type: Print:
\leq ≤ \geq ≥
\leqslant \geqslant
\eqslantless \eqslantgtr
\lesssim \gtrsim
\lessapprox \gtrapprox
\approxeq ≅
\lessdot ⋖ \gtrdot ⋗
\ll ≪ \gg ≫
\lll ≪ \ggg ≫
\lessgtr ≶ \gtrless ≷
\lesseqgtr ⋚ \gtreqless
\lesseqqgtr \gtreqqless
\prec ≺ \succ ≻
\preceq \succeq
\doteqdot \eqcirc ≖
\circeq ⊜ \fallingdotseq
\risingdotseq \triangleq
\equiv ≡ \sim ∼
\simeq ≃ \backsim ∽
\thicksim ∼ \backsimeq ⋍
\approx ≈ \thickapprox ≈
\preccurlyeq \succcurlyeq
\curlyeqprec \curlyeqsucc
\precsim \succsim
\precapprox \succapprox
176
\subset ⊂ \supset ⊃
\subseteq ⊆ \supseteq ⊇
\subseteqq \supseteqq
\Subset ⋐ \Supset ⋑
\sqsubset ❁ \sqsupset ❂
\sqsubseteq ⊑ \sqsupseteq ⊒
\vartriangleleft ⊳ \vartriangleright ⊲
\trianglelefteq \trianglerighteq
\vdash ⊢ \dashv ⊣
\vDash \Vdash
\Vvdash \models |=
\smile ⌣ \smallsmile
\frown ⌢ \smallfrown
\mid | \shortmid
\parallel \shortparallel
\asymp ≍ \cong ∼=
\bumpeq ≏ \Bumpeq ≎
\between ≬ \pitchfork ⋔
\propto ∝ \varpropto ∝
\bowtie ⊲⊳ \Join ✶
\in ∈ \ni ∋
\backepsilon \doteq
.
=
\blacktriangleleft ◭ \blacktriangleright ◮
\therefore ∴ \because ∵
\perp ⊥
177
Type: Print: Type: Print:
\ne = \notin /∈
\nless ≮ \ngtr ≯
\nleq \ngeq
\nleqslant \ngeqslant
\nleqq \ngeqq
\lneq \gneq
\lneqq \gneqq
\lvertneqq \gvertneqq
\lnsim \gnsim
\lnapprox ≨ \gnapprox ≩
\nprec ⊀ \nsucc ⊁
\npreceq \nsucceq
\precneqq \succneqq
\precnsim \succnsim
\precnapprox \succnapprox
\nsim ≁ \ncong ≇
\nshortmid \nshortparallel
\nmid ∤ \nparallel ∦
\nvdash \nvDash
\nVdash \nVDash
\ntriangleleft ⋪ \ntriangleright ⋫
\ntrianglelefteq \ntrianglerighteq
178
\nsubseteq \nsupseteq
\nsubseteqq \nsupseteqq
\subsetneq \supsetneq
\varsubsetneq \varsupsetneq
\subsetneqq \supsetneqq
\varsubsetneqq \varsupsetneqq
To put a slash through a symbol type \not before it, e.g. \not= gives
=.
179
Type: Print: Type: Print:
\leftarrow ← \rightarrow or \to →
\longleftarrow ←− \longrightarrow −→
\Leftarrow ⇐ \Rightarrow ⇒
\Longleftarrow ⇐= \Longrightarrow =⇒
\leftrightarrow ↔ \longleftrightarrow ←→
\Leftrightarrow ⇔ \Longleftrightarrow ⇐⇒
\leftleftarrows ⇔ \rightrightarrows ⇒
\leftrightarrows ⇆ \rightleftarrows ⇄
\Lleftarrow ⇚ \Rrightarrow ⇛
\twoheadleftarrow և \twoheadrightarrow ։
\leftarrowtail ֋ \rightarrowtail ֌
\looparrowleft \looparrowright
\uparrow ↑ \downarrow ↓
\Uparrow ⇑ \Downarrow ⇓
\upuparrows ⇈ \downdownarrows
\updownarrow \Updownarrow
\nearrow ր \searrow ց
\swarrow ւ \nwarrow տ
\mapsto → \longmapsto −→
\hookleftarrow ←֓ \hookrightarrow ֒→
\leftharpoonup ↼ \rightharpoonup ⇀
\leftharpoondown ↽ \rightharpoondown ⇁
\upharpoonleft ↿ \upharpoonright ↾
\downharpoonleft ⇃ \downharpoonright ⇂
\multimap ⊸ \rightsquigarrow
\leftrightsquigarrow \leadsto ❀
Type: Print: Type: Print:
\nleftarrow \nrightarrow
\nLeftarrow \nRightarrow
\nleftrightarrow \nLeftrightarrow
180
Type: Print: Type: Print:
\hbar \hslash ℏ
\imath ı \jmath 
\ell ℓ \complement ∁
\wp ℘ \Re Re
\Im Im \partial ∂
\infty ∞ \smallint ∫
\P ¶ \S §
\prime ′ \backprime
\emptyset ∅ \varnothing ∅
\Bbbk k \backslash \
\diagup \diagdown
\triangle △ \nabla ∇
\vartriangle △ \blacktriangle
\triangledown ▽ \blacktriangledown
\square \lozenge ♦
\Box ✷ \Diamond ✸
\blacksquare \blacklozenge
\forall ∀ \exists ∃
\nexists ∄ \neg ¬
\angle ∠ \sphericalangle ∢
\measuredangle ∡ \|
\surd
√
\Vert
\top ⊤ \bot ⊥
\dag † \ddag ‡
\flat ♭ \natural ♮
\sharp ♯
\clubsuit ♣ \diamondsuit ♦
\heartsuit ♥ \spadesuit ♠
\circledS \bigstar ⋆
\mho ✵ \eth ð
\Finv \Game
181
another with the \stackrel command, e.g. $A \stackrel{\alpha}{\rightarrow}
B$ gives A
α
→ B.
182
D.1. Důkaz věty 2.19:
Nechť a, b ∈ M jsou libovolné prvky.
I. Ukážeme, že < je areflexivní a symetrická, je-li ≤ uspořádání
(reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace):
areflexivita: (a ≤ a) ∧ (a = a) neplatí ⇒ a ≮ a
tranzitivita: (a < b) ∧ (b < c) ⇒ (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) ∧ (a = b) ∧ (b =
c) ⇒ a ≤ c v důsledku tranzitivity relace ≤ a a = c v důsledku její
antisymetrie (kdyby a = c, pak a = b je v rozporu s a = b); tedy platí
(a ≤ c) ∧ (a = c) neboli a < c.
II. Ukážeme, že ≤ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, je-li <
areflexivní a tranzitivní relace:
reflexivita: (a < a) ∨ (a = a) platí ⇒ a ≤ a
tranzitivita: (a ≤ b)∧(b ≤ c) ⇒ ((a < b)∨(a = b))∧((a < b)∧(b = c))
a odtud pro všechny čtyři možné případy:
a) a = b, b = c ⇒ a = c ⇒ a ≤ c
b) a = b, b < c ⇒ a < c ⇒ a ≤ c
c) a < b, b = c ⇒ a < c ⇒ a ≤ c
d) a < b, b < c ⇒ a < c (tranzitivita <) ⇒ a ≤ c.
antisymetrie: (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) ⇒ a ≤ a v důsledku již dokázané
tranzitivity ⇒ (a < a) ∨ (a = a), přičemž a < a nemůže nastat
(areflexivita <), a tedy platí a = a.
D.2. DŮKAZ věty 2.21:
(1) jsou-li a, a′
dva takové prvky, pak platí současně a ≤ a′
i a′
≤ a
a tedy a = a′
v důsledku antisymetrie.
(2) a nejmenší ⇒ x ≥ a ∀ x ∈ M ⇒ v M neexistuje x < a a tedy a je
minimální v M.
(3) sporem: kdyby existovaly dva takové prvky a = a′
, pak vzhledem
k úplnému uspořádání množiny M platí a < a′
nebo a′
< a, takže
alespoň jeden z prvků a, a′
nemůže být maximální, resp. minimální.
(4) sporem: kdyby například neexistoval minimální prvek, pak v M
lze vybrat nekonečnou posloupnost prvků a1 > a2 > a3 > . . . (a1
183
také není minimální, atd.), což je spor s konečností množiny M.
D.3. Důkaz věty 2.23:
⇐ tato implikace plyne z tranzitivity relace <
⇒ je-li a < b v konečné množině M, pak její uspořádaná podmnožina
A0 := {c ∈ M | a < c ≤ b} je rovněž konečná a dle věty 2.21(4)
má alespoň jeden minimální prvek t1. Pokud t1 < b vezmeme minimální
prvek t2 podmnožiny A1 := {c ∈ M | t1 < c ≤ b}, atd. Vzhledem
ke konečnosti množiny M musí po konečném počtu n kroků
nastat případ tn = b.
D.4. DŮKAZ nerovnosti z definice 2.26:
Důkaz probíhá ve třech návazných krocích:
I. Nejprve ukážeme, že b−
k ≤ b+
N pro každé k, N ∈ N:
II. Ukážeme, že limsup an je horní závora posloupnosti {b−
k }k∈N:
III. Ověříme požadovanou nerovnost lim inf an ≤ limsup an:
D.5. DŮKAZ věty 2.27:
(1) pro neklesající posloupnost {an} je b+
k = sup{an}∞
n=k = sup{an}∞
n=1
konstantní posloupnost, jejíž infimum (=limsup{an}∞
n=1) je tatáž konstanta
sup{an}∞
n=1. Podobně b−
k = inf{an}∞
n=k = ak, takže opět
lim inf{an}∞
n=1 = sup{b−
k }∞
k=1 = sup{ak}∞
k=1.
(2) se dokazuje analogicky.
D.6. Důkaz věty 2.29:
Tvrzení dokážeme pro supremum (postup pro infimum je analogický).
⇒ a = sup P existuje ⇒ a ≥ x∀ x ∈ P ⇒ f(a) ≥ f(x)∀ f(x) ∈ f(P)
⇒ f(a) je horní závora f(P). Je-li naopak t ∈ N nějaká horní závora
f(P), pak t ≥ f(x)∀ x ∈ P ⇒ f−1
(t) ≥ f−1
f(x) = x∀ x ∈ P ⇒
f−1
(t) je horní závora P ⇒ f−1
(t) ≥ a ⇒ t = ff−1
(t) ≥ f(a) ⇒
f(a) = sup f(P) existuje.
⇐ Implikace [sup f(P) existuje ⇒ sup P existuje] plyne z předchozího
záměnou f ↔ f−1
a P ↔ f(P).
184
Pro zavedenou relaci ρ ověříme, že má vlastnosti ekvivalence:
reflexivita: a ∈ M =
Ë
i∈I Mi ⇒ ∃ i ∈ I : a ∈ Mi ⇒ aρa.
tranzitivita: aρb, bρc ⇒ ∃ i, j ∈ I : a, b ∈ Mi; b, c ∈ Mj ⇒ b ∈ Mi ∩Mj
⇒ i = j, neboť Mi ∩ Mj = ∅ pro i = j ⇒ a, c ∈ Mi ⇒ aρc.
symetrie: aρb ⇒ ∃ i ∈ I : a, b ∈ Mi ⇒ ∃ i ∈ I : b, a ∈ Mi ⇒ bρa.
D.8. DŮKAZ věty 2.35:
Pro každé a ∈ M položme Ma := {x ∈ M | xρa} (podmnožina všech
prvků v M ekvivalentních s x) a M := {Ma}a∈M . Ukážeme, že M je
rozklad na množině M:
• M = ∅ ⇒ ∃ a ∈ M ⇒ a ∈ Ma ∈ M ⇒ M = ∅ a Ma = ∅ pro každé
Ma ∈ M.
• pro každé a ∈ M je a ∈ Ma a Ma ⊆ M, takže platí M ⊆
Ë
a∈M ⊆ M
a tedy M =
Ë
a∈M .
• Ma ∩ Mb = ∅ ⇒ ∃ c ∈ Ma ∩ Mb ⇒ aρc, cρb. Pak x ∈ Ma ⇒ xρa ⇒
xρb v důsledku tranzitivity, neboť je xρaρcρb ⇒ x ∈ Mb a tedy jsme
dokázali Ma ⊆ Mb. Záměnou role a a b analogicky platí též Mb ⊆ Ma.
Celkem tedy Ma = Mb. Závěr: dvě množiny z M jsou buď disjunktní
a nebo stejné.
• Celkem jsme tedy ukázali, že M tvoří na M rozklad (po vynechání
duplicitních množin). Zřejmě platí xρy ⇔ x, y ∈ Mx.
D.9. Důkaz věty 2.38:
f je prosté: Θ1, Θ2 ∈ E(M), Θ1 = Θ2 ⇒ ∃ [x, y] ∈ Θ1 − Θ2 nebo
[x, y] ∈ Θ2 − Θ1. Nechť například [x,y] ∈ Θ1 − Θ2. Pak
x, y ∈ M1
x ∈ M/Θ1, x ∈ M2
x ∈ M/Θ2, ale y /∈ M2
x ⇒ M1
x = M2
x ⇒
v příslušných rozkladech existují alespoň dvě různé třídy, takže rozklady
jsou různé množiny: f(θ1) = M/Θ1 = M/Θ2 = f(Θ2).
f je surjekce: je přímým důsledke věty 2.34
Zatím jsme tedy ukázali, že f je bijekce.
f je monotonní: Θ1 ⊆ Θ2 ⇒ M1
x := {y | yΘ1x} ⊆ M2
x := {z | zΘ2x}
pro každé x ∈ M (tj. pro všechny třídy z M/Θ1) ⇒ f(Θ1) ≤ f(Θ2).
f−1
je monotonní: nechť naopak f(Θ1) ≤ f(Θ2) a xΘ1y pro nějaká
185
Celkem f je izomorfizmus uspořádaných množin.
D.10. DŮKAZ věty 2.39:
reflexivita: f(x) = f(x) ⇒ x
f
∼ x
symetrie: x
f
∼ y ⇒ f(x) = f(y) ⇒ f(y) = f(x) ⇒ y
f
∼ x
tranzitivita: x
f
∼ y, y
f
∼ z ⇒ f(x) = f(y), f(y) = f(z) ⇒ f(x) = f(z)
⇒ x
f
∼ z.
D.11. DŮKAZ důsledku 2.41:
x
f
∼ y ⇒ f(x) = f(y) ⇒ g(f(x)) = g(f(y)) ⇒ (gf)(x) = (gf)(y) ⇒
x
gf
∼ y.
D.12. Důkaz věty 2.43:
I. Nechť ∼ je kongruence na M:
• Je-li ρ ∈ S nějaká n-ární relace, pak
ρ(a1, . . . , an) = 1 ⇒ ρ(a1, . . . , an) = 1 dle 2.42(i) a tedy zobrazení
„pruh nahoře je podle 2.10(1) homomorfizmem vzhledem k ρ.
• Je-li ω ∈ S nějaká n-ární operace, pak ω(a1, . . . , an) = ω(a1, . . . , an)
dle 2.42(ii) a tedy zobrazení „pruh nahoře je podle 2.10(2) homomorfizmem
vzhledem k ω.
II. Naopak nechť f je homomorfizmus, pak a1
f
∼ b1, . . . , an
f
∼ bn ⇒
f(ai) = f(bi) pro i = 1, . . . , n ⇒ f(ω(a1, . . . , an)) = ω(f(a1), . . . , f(an))
= ω(f(b1), . . . , f(bn)) = f(ω(b1, . . . , bn)) pro libovolnou n-ární operaci
ω ⇒ ω(a1, . . . , an)
f
∼ ω(b1, . . . , bn) ⇒
f
∼ je kongruence.
186
(L5) ⇐
a) α = 0: x
L4
= 1x = (1 + 0)x
L2
= 1x + 0x
L4
= x + 0x ⇒
0 = −x + x = −x + (x + 0x) = (−x + x) + 0x = 0 + 0x = 0x.
b) x = 0: y = y + 0 ⇒ αy = α(y + 0)
L1
= αy + α0 ⇒
0 = −αy+αy = −αy+(αy+α0) = (−αy+αy)+α0 = 0+α0 = α0.
(L5) ⇒ Jestliže αx = 0, pak nastanou 2 případy:
a) α = 0, kdy tvrzení platí, nebo
b) α = 0, kdy x
L4
= 1x = (α−1
α)x
L3
= α−1
(αx) = α−1
0 = 0 dle
předchozí části důkazu.
(L6)
(−α)x + αx
L2
= (−α + α)x = 0x
L5
= 0,
α(−x) + αx
L1
= α(−x + x) = α0
L5
= 0,
Prvek opačný k αx je jediný, takže −αx = α(−x) = (−α)x.
(L7) α(x−y) = α(x+(−y))
L1
= αx+α(−y)
L6
= αx+(−αy) = αx−αy.
(L8) (α−β)x = (α+(−β))x
L2
= αx+(−β)x
L6
= αx+(−βx) = αx−βx.
(L9) Opakovaně aplikujeme axiom L1 s využitím asociativity sečítání
v grupě (V, +, 0).
(L10) Opakovaně aplikujeme axiom L2 s využitím asociativity sečítání
v aditivní grupě (F,+ ,0).
(L11)
 Èm
i=1 αi
¡ Èn
j=1 xj
¡ L10
=
Èm
i=1 αi
Èn
j=1 xj = α1(x1 + · · · + xn) + · · ·
+αm(x1 +· · ·+xn)
L9
= α1x1 +· · ·+α1xn +· · ·+αmx1 +·· ·+αmxn =Èm
i=1
Èn
j=1 αixj, kde poslední rovnost je důsledkem komutativity sečítání
v grupě (V, +, 0). Poslední dokazovanou rovnost dostaneme
analogicky užitím L10 místo L9 (místo αi před součet vektorů v závorce
vytýkáme xj za součet skalárů v závorce).
D.14. DŮKAZ věty 3.7:
⇒ sečítání a násobení skaláry jsou operacemi struktury LF a tudíž
podprostor k nim musí být uzavřen.
187
grupovým operacím v grupě (V, +, 0) (tj. vlastnosti (2) a (3) z poznámky
2.58(2)(3)):
• Jelikož W = ∅, tak existuje x ∈ W a užitím (2) a L5 dostáváme
0 = 0x ∈ W.
• Pro x ∈ W analogicky užitím (2) a L6 dostáváme −x = (−1)x ∈ W.
D.15. DŮKAZ důsledku 3.8:
αixi ∈ W ∀ i ∈ I dle (1) a jejich součet tedy rovněž leží ve W podle
obecného asociativnícho zákona 2.46.
D.16. DŮKAZ věty 3.10:
Pro
Ì
i∈I Wi je třeba ověřit vlastnosti (1) a (2) z věty 3.7:
(1) x, y ∈
Ì
i∈I Wi ⇒ x, y ∈ Wi ∀ i ∈ I
(1)
⇒ x + y ∈ Wi ∀ i ∈ I ⇒
x + y ∈
Ì
i∈I Wi.
(2) x ∈
Ì
i∈I Wi ⇒ x ∈ Wi ∀ i ∈ I
(2)
⇒ αx ∈ Wi ∀ i ∈ I a α ∈ F ⇒
αx ∈
Ì
i∈I Wi.
D.17. DŮKAZ věty 3.12:
(1) Položme W(G) :=
Ì
{W | W je podprostor ve V : G ⊆ W}. Potom
W(G) je podprostor ve V dle 3.10. Z jeho konstrukce plyne
G ⊆ W(G) ⊆ W pro každý podprostor W obsahující G. W(G) je
tedy nejmenší a tudíž L(G) = W(G).
Je-li G = ∅, pak nutně W(G) = {0}, neboť 0 je prvkem každého podprostoru
a {0} je nejmenší z nich dle poznámky 3.9, přičemž ∅ ⊆ {0}
platí triviálně.
(2) Položme L(G) := {
Èn
i=1 αixi | αi ∈ F, xi ∈ G, n ∈ N}. Pak platí:
• G ⊆ L(G), neboť pro každé x ∈ G je x = 1x ∈ L(G).
• L(G) je podprostor dle 3.7, neboť součet dvou lineárních kombinací
prvků z G je opět lineární kombinace prvků z G. Podobně pro skalární
násobek: α(α1x1 + · · · + αnxn)
L9
= α(α1x1) + · · · + α(αnxn)
L3
=
(αα1)x1 + · · · + (ααn)xn.
Tedy L(G) je podprostor obsahující G a protože L(G) je nejmenší
188
Podle 3.8 musí být L(G) uzavřen ke všem lineárním kombinacím
svých prvků, tedy zejména i těch z G, takže také platí opačná inkluze
L(G) ⊆ L(G). Celkem jsme tak ukázali L(G) = L(G).
D.18. DŮKAZ věty 3.14:
(1) L(G) je podprostor
3.9
⇒ {0} ⊆ L(G) ⇒ 0 ∈ L(G).
(2) Mohou nastat 2 případy:
• M = ∅, kdy {0} = L(M) ⊆ L(G) dle (1).
• M = ∅, M ⊆ L(G), kdy dle 3.8 každá lineární kombinace prvků z M
padne do L(G), takže s uvážením 3.12(2) dostáváme L(M) ⊆ L(G).
(3) Postupujeme analogicky jako v předchozím případě:
• M = ∅ ⇒ {0} = L(M) ⊆ L(N) dle (1).
• M = ∅, M ⊆ N ⇒ dle 3.8 každá lineární kombinace prvků z M je
současně také lineární kombinací prvků z N, takže opět s uvážením
3.12(2) dostáváme L(M) ⊆ L(N).
(4) Inkluze W ⊆ L(W) je přímo z definice 3.11. Naopak nechť x ∈ L(W)
je libovolný prvek. Protože W = ∅, je dle 3.12(2) x =
Èn
i=1 αixi,
kde xi ∈ W, takže x ∈ W dle 3.8. Tedy také platí opačná inkluze
L(G) ⊆ W a celkem L(G) = W.
(5) G − {x} ⊂ G
(3)
⇒ L(G − {x}) ⊆ L(G).
Naopak: x ∈ L(G − {x}) ⇒ G = (G − {x}) ∪ {x} ⊆ L(G − {x})
(2)
⇒
L(G) ⊆ L(G − {x}).
Celkem jsme dokázali L(G) = L(G − {x}).
(6) (G − {x}) ∪ {αx} ⊆ L(G)
(2)
⇒ L((G − {x}) ∪ {αx}) ⊆ L(G).
Naopak: G = (G − {x}) ∪ {α−1
(αx)} ⊆ L((G − {x}) ∪ {αx})
(2)
⇒
L(G) ⊆ L((G − {x}) ∪ {αx}).
Celkem jsme dokázali L(G) = L((G − {x}) ∪ {αx}).
(7) (G − {x}) ∪ {x + y} ⊆ L(G)
(2)
⇒ L((G − {x}) ∪ {x + y}) ⊆ L(G).
Naopak: G = (G − {x}) ∪ {x + y − y} ⊆ L((G − {x}) ∪ {x + y})
(2)
⇒
L(G) ⊆ L((G − {x}) ∪ {x + y}).
Celkem jsme dokázali L(G) = L((G − {x}) ∪ {x + y}).
189
(1) Nechť ∅ = N ⊆ M. Vyšetříme dva případy:
a) M nekonečná lineárně nezávislá: Všechny konečné podmnožiny v N
jsou také konečnými podmnožinami v M a jsou proto lineárně nezávislé,
když M je lineárně nezávislá.
b) M =: {x1, . . . , xn} konečná lineárně nezávislá: bez újmy na obecnosti
můžeme položit N := {x1, . . . , xk}, k ≤ n. Pak
0 = α1x1 + · · · + αkxk + 0xk+1 + · · · + 0xn ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
neboť M je lineárně nezávislá. Tedy rovněž N je lineárně nezávislá.
(2) 1 · 0 = 0, kde 1 = 0 ⇒ {0} není lineárně nezávislá
(1)
⇒ {0} M
⇒ 0 /∈ M.
(3) 0 = x − x =
Èn
i=1 αixi −
Èn
i=1 βixi
(∗)
=
Èn
i=1(αixi − βixi)
L7
=Èn
i=1(αi −βi)xi ⇒ αi −βi = 0 pro i = 1, . . . , n ⇒ αi = αi −βi +βi =
0 + βi = βi pro i = 1, . . . , n. Na závěr poznamenejme, že rovnost (∗)
platí vzhledem ke komutativitě a asociativitě sečítání.
(4) Tvrzení je důsledkem (1) a (3). Sporem: kdyby totiž existovala
dvě různá vyjádření x =
Èn
i=1 αixi =
Èm
j=1 βjyj, kde xi, yj ∈ M
a αi = 0, βj = 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m), pak vhodným doplněním
nulových koeficientů tato vyjádření lze přepsat jako dvě navzájem
různé lineární kombinace vektorů z konečné podmnožiny N :=
{x1, . . . , xn}∪{y1, . . . , ym}. Podle (3) toto není možné (spor), neboť
N je dle (1) lineárně nezávislá.
D.20. DŮKAZ věty 3.18:
∅ = M ⊆ V je lineárně závislá ⇔ M není lineárně nezávislá ⇔
v M existuje neprázdná konečná podmnožina N = {x1, . . . , xn},
která rovněž není lineárně nezávislá (srov. 3.16 a 3.17(1)) ⇔ 0 =
α1x1 +· · ·+αnxn, kde αi = 0 pro nějaké i ⇔ αixi = −α1x1 −· · ·−
αi−1xi−1 − αi+1xi+1 − · · ·− αnxn, αi = 0
L3,L6,L9
⇔ xi = (α−1
i αi)xi =
(−α−1
i α1)x1+· · ·+(−α−1
i αi−1)xi−1+(−α−1
i αi+1)xi+1+· · ·+(−α−1
i αn)xn
⇒ existuje xi =: x ∈ M: x ∈ L(M − {x}). Poslední implikaci lze i
obrátit, neboť stačí položit αi = 1 (totiž 1 = 0) a užít L4.
190
(1) ⇒ (2) G báze ve V
3.15
⇒ G je minimální s vlastností L(G) = V .
Pak nutně G musí být nezávislá, neboť jinak by dle 3.18 existoval
prvek x ∈ G: x ∈ L(G − {x})
3.14(5)
⇒ L(G − {x}) = L(G), což je spor
s minimalitou G. G je maximální s touto vlastností, neboť každý další
prvek x ∈ V − G leží v L(G), takže G ∪ {x} již musí být dle 3.18
lineárně závislá.
(2) ⇒ (3) G je dle (2) lineárně nezávislá, zbývá tedy ukázat, že
generuje celý prostor. Kdyby tomu tak nebylo, pak L(G) ⊂ V a můžeme
vybrat nějaký prvek x ∈ V − L(G), x = 0, neboť 0 ∈ L(G).
Jeho přidáním ke G dostaneme lineárně nezávislou vlastní nadmnožinu
G∪{x} ⊃ G, takže G by nebyla maximální taková (spor). K ověření
lineární nezávislosti této nadmnožiny stačí ověřit, že každá její
neprázdná konečná podmnožina N ⊆ G ∪ {x} je lineárně nezávislá
(srov. 3.16). Mohou nastat dva případy:
a) N ⊆ G, kdy N musí být nezávislá dle 3.17(1), neboť G je nezávislá;
b) x ∈ N, kdy N =: {x, x1, . . . , xk}, xi ∈ G pro i = 1, . . . , k, k ≥ 0.
Z podmínky αx + α1x1 + · · · + αkxk dostáváme α = 0. Při k = 0
toto plyne z L5, při k > 0 analogicky jako v důkazu D.20 předpoklad
α = 0 vede ke sporu x = (−α−1
α1)x1 + · · · + (−α−1
αk)xk ∈ L(G).
Jelikož α = 0, musí být v případě k > 0 nulové i ostatní koeficienty
αi pro i = 1, . . . , k, neboť xi patří do lineárně nezávislé množiny G.
(3) ⇒ (1) Dle (3) L(G) = V platí. Zbývá ukázat, že G je minimální
s touto vlastností. Kdyby tomu tak nebylo, pak existuje vlastní podmnožina
G′
⊂ G: L(G′
) = V a prvek x ∈ G−G′
je lineární kombinací
prvků z G′
⊂ G
3.18
⇒ G je lineárně závislá, což je spor s (3).
D.22. Důkaz důsledku 3.20:
Zvolme nějakou lineárně nezávislou podmnožinu N0 v G, L(N0) = V .
Alespoň jedna taková existuje: totiž V = {0} ⇒ G = ∅ a existuje
0 = x ∈ G. Dle L5 pak stačí položit N0 = {x}. Pokud existuje nějaká
vlastní lineárně nezávislá nadmnožina množiny N0, označme ji N1,
191
vislých množin N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . , jehož sjednocením N = i Ni
je hledaná maximální lineárně nezávislá množina (tedy báze) obsahující
N0. N je opravdu lineárně nezávislá, neboť každá její neprázdná
konečná podmnožina je podmnožinou některé lineárně nezávislé množiny
Ni a tudíž lineárně nezávislá dle 3.17(1). Z konstrukce plyne, že
N je maximální taková (v opačném případě by musela být nekoncovým
prvkem řetězce).
D.23. DŮKAZ důsledku 3.22:
Podle 3.20 lze z konečného systému generátorů vybrat bázi, která je
ovšem také konečná.
Jsou-li ve Steinitzově větě obě množiny M a N bázemi, pak jejich
role lze zaměnit:
V N existuje podmnožina N′
: card M = card N′
≤ card N a současně
v M existuje podmnožina M′
: card N = card M′
≤ card M. Celkem
tedy card N = card M.
D.24. DŮKAZ důsledku 3.24:
(1) Jestliže dim V = ∞, pak k ≤ dim V platí triviálně.
Pokud n := dim V < ∞, tak ve V existuje báze N o n prvcích a
ve větě 3.21 stačí položit M := {x1, . . . , xk}. M má právě k prvků,
protože x1, . . . , xk musí být navzájem různé, když jsou lineárně nezávislé.
Pak N′
⊆ N má tedy také k prvků a tudíž k ≤ n.
Nerovnost i tvrzení o rozšíření také plyne přímo z věty 3.19(2) nebo
jejího důsledku 3.20.
(2) Je-li V = {0}, pak bází je prázdná množina. V opačném případě
ve V existuje nenulový prvek x a jednoprvková množina {x} je dle
3.3(L5) lineárně nezávislá. Podle (1) ji lze doplnit na bázi.
(3) Jestliže dim V = ∞, pak dim W ≤ dim V platí triviálně, neboť
dim W = ∞ nebo dim W < ∞.
Pokud n := dim V < ∞, pak dle 3.19(2) ve V může existovat nejvýše
n-prvková lineárně nezávislá podmnožina a tudíž každá báze W může
mít nejvýše n prvků. S uvážením 3.22 a 3.23 je tedy dim W ≤ dim V .
Pokud W = V , pak žádná báze W negeneruje V a nemůže být dle
192
je třeba přidat nejméně jeden prvek, aby jí byla. Pak ovšem nutně
dim W < dim V .
(4) (i) ⇒ (ii) G báze ⇒ G má n prvků dle 3.22 a 3.23 a je lineárně
nezávislá dle 3.19.
(ii) ⇒ (iii) Sporem: Kdyby lineárně nezávislá podmnožina o n
prvcích negenerovala V , pak dle (1) ji lze na bázi ve V rozšířit přidáním
alespoň jednoho prvku, tj. platilo by dim V > n, spor.
(iii) ⇒ (i) Sporem: Kdyby n-prvková množina generovala V a
nebyla by bází, pak by dle 3.15 nebyla minimální taková, tj.existovala
by její vlastní podmnožina rovněž generující V a platilo by tedy
dim V < n, spor.
D.25. DŮKAZ věty 3.27:
⇒ Je-li T lineární zobrazení (tj. homomorfizmus), pak musí zachovávat
všechny operace z LF, tj. zejména také grupové sečítání a násobení
skaláry, což jsou právě vlastnosti (1) a (2).
⇐ Má-li T vlastnosti (1) a (2), zbývá ověřit, že má i ty zbývající:
a) T zachovává unární operaci výběru opačného prvku:
T(−x)
L6
= T((−1)x)
(2)
= (−1)T(x)
L6
= −1 · T(x)
L4
= −T(x).
b) T zachovává nulový prvek:
T(0)
L5
= T(0 · x)
(2)
= 0 · T(x)
L5
= 0.
Je-li T bijekce, pak inverzní zobrazení je homomorfizmus, protože vektorový
prostor je strukturou bez relací (viz poznámku 2.61). Složení
dvou homomorfizmů dokonce libovolných struktur je vždy homorfizmus
(viz dedinici 2.10). V případě vektorových prostorů stačí pro
složení dvou lineárních zobrazení T1 : V1 → V2 a T2 : V2 → V3 toto
tvrzení snadno ověřit jen pro vlastnosti (1) a (2):
(1) (T2T1)(x+y) = T2(T1(x+y)) = T2(T1(x)+T1(y)) = T2(T1(x))+
T2(T1(y)) = (T2T1)(x) + (T2T1)(y).
193
D.26. DŮKAZ důsledku 3.28:
Opakovaným užitím věty 3.27 dostáváme:
T(α1x1 + · · · + αnxn)
(1)
= T(α1x1) + · · · + T(αnxn)
(2)
=
α1T(x1) + · · · + αnT(xn).
D.27. DŮKAZ věty 3.29:
Pro obě množiny stačí pomocí věty 3.27 ověřit vlastnosti 3.7(1)(2):
a) pro N(T):
(1) x1, x2 ∈ N(T) ⇒ T(x1) = 0, T(x2) = 0 ⇒ T(x1 + x2) =
T(x1) + T(x2) = 0 + 0 = 0 ⇒ x1 + x2 ∈ N(T).
(2) x1 ∈ N(T), α ∈ F ⇒ T(x1) = 0 a T(αx1) = αT(x1) = α0
L5
= 0
⇒ αx1 ∈ N(T).
b) pro R(T):
(1) y1, y2 ∈ R(T) ⇒ ∃ x1, x2 ∈ V1 : y1 = Tx1, y2 = Tx2 ⇒ y1+y2 =
Tx1 + Tx2 = T(x1 + x2) ⇒ y1 + y2 ∈ R(T).
(2) y ∈ R(T), α ∈ F ⇒ ∃ x ∈ V1 : y = Tx a αy = αTx = T(αx) ⇒
αy ∈ R(T).
D.28. Důkaz důsledku 3.30:
(1) ⇒ T izomorfní vnoření ⇒ T je prosté ⇒ kromě 0 se žádný jiný
prvek ve V1 nemůže zobrazit na nulový prvek ve V2 ⇒ N(T) = {0}.
⇐ Nechť N(T) = {0} a Tx = Ty. Pak T(x − y) = Tx − Ty = 0
⇒ x − y ∈ N(T) ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y.
(2) T je izomorfizmus ⇔ T je surjektivní izomorfní vnoření
(1)
⇔
N(T) = {0} a R(T) = V2.
(3) ⇒ Nechť T je izomorfní vnoření a E := {e1, . . . , en} nějaká neprázdná
(n ∈ N) n-prvková množina, tj. ei = ej pro i = j. Protože T
je prosté, tak obraz T(E) má tytéž vlastnosti a je tedy také n-prvková.
Nechť E je navíc lineárně nezávislá. Pak 0 = α1Te1 +· · ·+αnTen
3.28
=
T(α1e1 + · · · + αnen) ⇒ α1e1 + · · · + αnen ∈ N(T)
(1)
= {0} ⇒
α1e1 + · · · + αnen = 0 ⇒ α1 = · · · = αn = 0, neboť prvky E
194
⇐ Nechť naopak T zobrazí každou konečnou neprázdnou lineárně
nezávislou množinu na lineárně nezávislou množinu s týmž počtem
prvků. Podle (1) stačí ukázat, že v takovém případě N(T) = {0}.
Pokud V1 = {0}, pak je toto splněno triviálně. V opačném případě
ve V1 existuje alespoň jeden nenulový prvek. Sporem ukážeme, že
žádný takový prvek nemůže ležet v N(T). Kdyby tomu tak bylo,
tj. kdyby existoval 0 = x ∈ N(T), pak jednoprvková množina {x}
by byla dle (L5) lineárně nezávislá a tedy podle předpokládané vlastnosti
zobrazení T by musela být lineárně nezávislá také jednoprvková
množina {Tx}. Je však Tx = 0, neboť x ∈ N(T) a dostáváme tak
spor s 3.17(2).
(4) ⇒ Nechť T je izomorfizmus a E libovolná báze ve V1. Rovnost
mohutností card T(E) = card E je zřejmá, neboť T je prosté. K tomu,
aby T(E) byla báze stačí podle 3.19(3) ukázat, že T(E) je lineárně
nezávislá a L(T(E)) = V2:
a) lineární nezávislost T(E): podle definice 3.16 stačí ukázat, že každá
její konečná podmnožina ∅ = N ⊆ T(E) je lineárně nezávislá. To
plyne bezprostředně ze (3), protože N je obrazem konečné podmnožiny
T−1
(N) ⊆ E, která je lineárně nezávislá dle 3.17(1).
b) T(E) generuje V2: Jelikož T je surjektivní, tak každý prvek y ∈ V2
je obrazem nějakého prvku z V1 = L(E), tj. je obrazem nějaké lineární
kombinace:
y = T(α1e1 + · · · + αnen)
3.28
= α1Te1 + · · · + αnTen ∈ L(T(E)).
Tedy V2 = L(T(E)), což se mělo dokázat.
⇐ Předpokládejme, že T zachovává nějakou bázi E ve V1 včetně
mohutnosti. Je třeba ověřit, že pak T je izomorfizmus, neboli:
a) T je izomorfní vnoření: dle (1) stačí ukázat N(T) = {0}. Podle
předpokladu je T(E) báze ve V2. Nechť x ∈ N(T), pak x = α1e1 +
· · · + αnen, ei ∈ E a 0 = Tx = T(α1e1 + · · · + αnen)
3.28
= α1Te1 +
· · · + αnTen ⇒ α1 = · · · = αn = 0 v důsledku nezávislosti báze T(E)
⇒ x = 0. Tedy v jádře leží pouze nulový prvek.
a) T je surjekce: buď y ∈ V2 libovolný. Protože T(E) je báze ve V2,
195
αi ∈ F a nějaká ei ∈ E. Tedy T je surjekce.
D.29. DŮKAZ věty 3.32:
Dle 3.30(2) stačí ověřit N([·]E) = {0} a R([·]E) = Fn
:
• x ∈ N([·]E) ⇒ [x]E = [0, . . . , 0] ⇒ x = 0 · e1 + · · · + 0 · en = 0 ⇒
N([·]E) = {0}.
• Buď [ξ1, . . . , ξn] ∈ Fn
libovolná n-tice, pak
x := ξ1e1 +· · ·+ξnen ∈ L(E) = V ⇒ [x]E = [ξ1, . . . , ξn]. Tedy každá
n-tice je obrazem nějakého vektoru z V , takže [·]E je surjekce.
D.30. DŮKAZ důsledku 3.33:
(1) ⇒ Nechť dim V1 = dim V2 =: n a E1 a E2 jsou nějaké n-prvkové
báze pořadě ve V1 a V2. Pak dle 3.32 V1 i V2 jsou izomorfní s Fn
, takže
jsou nutně izomorfní navzájem: stačí složit izomorfizmy
V1
[·]E1
−−−→ Fn
[·]−1
E2
−−−→ V2.
⇐ Je-li T : (V1, LF) → (V2, LF) izomorfizmus a E1 nějaká n-prvková
báze ve V1 pak T(E1) je dle 3.30(4) rovněž n-prvková báze ve V2 a
tudíž dim V1 = dim V2 = n.
(2) ⇒ Nechť n := dim V1 ≤ dim V2 =: m a E1 je nějaká n-prvková
báze ve V1 a E2 m-prvková báze ve V2. Libovolných n prvků vybraných
z E2 generuje ve V2 podprostor dimenze n (viz 3.24(4)), který
je dle (1) izomorfní s V1, takže V1 lze izomorfně vnořit do V2.
⇐ Je-li naopak T : V1 → V2 nějaké izomorfní vnoření, pak R(T) je
podprostor ve V2 (viz 3.29) izomorfní s V1 a opět dle (1) dostáváme
dim V1 = dim R(T) ≤ dim V2 s uvážením 3.24(3).
D.31. DŮKAZ věty 3.36:
Tato věta je shrnutím některých předchozích výsledků:
(1) R(T) = {Tx | x ∈ V1 = L(E1)}
3.12(2)
=
{T(
Èn
i=1 ξiei) | ξi ∈ F, ei ∈ E1, i = 1, . . . , n; n ∈ N}
3.28
=
{
Èn
i=1 ξiT(ei) | ξi ∈ F, T(ei) ∈ T(E1 ), i = 1, . . . , n; n ∈ N}
3.12(2)
=
L(T(E1 )).
196
(3) T : V1 → V2 izomorfní vnoření ⇒ T : V1 → R(T) je izomorfizmus.
Pak T(E1) je báze v R(T) pro každou bázi E1 ve V1 dle 3.30(4).
(4) E1 báze ve V1
3.19
⇒ E1 je lineárně nezávislá ve V1
3.30(3)
⇒ T(E1) je
lineárně nezávislá ve V2.
(5) Jedná se přímo o tvrzení 3.30(4). Je také důsledkem (3) uvážíme-li,
že v případě izomorfizmu je R(T) = V2.
(6) Nechť f : E1 → V2 je libovolné zobrazení. Podle poznámky 3.34
hledaný operátor T je pro libovolné x ∈ V1 jednoznačně určen vztahem
Tx := ξ1f(e1) + · · · + ξnf(en), kde x = ξ1e1 + · · · + ξnen
je vyjádření vektoru x pomocí vhodných bázových prvků ei ∈ E1.
Protože E1 je jakožto báze lineárně nezávislá množina (viz 3.19) je
dle 3.17(4) až na případné nulové koeficienty toto vyjádření jediné,
takže T je korektně definováno. Zřejmě restrikce T na E1 je právě
f, neboť Te = T(1 · e) = 1 · f(e) = f(e) pro každé e ∈ E1. Zbývá
ověřit, že takto zavedené zobrazení je lineární, tj. ověřit vlastnosti
3.27(1)(2). Jejich platnost je však bezprostředním důsledkem elementárních
vlastností (L3) a (L11):
• αx = α(ξ1e1 + · · · + ξnen) = (αξ1)e1 + · · · + (αξn)en ⇒ T(αx) =
(αξ1)f(e1)+· · ·+(αξn)f(en) = α(ξ1f(e1)+· · ·+ξnf(en)) = αT(x).
• Podobně pro sečítání. Nechť y = η1e1 + · · · + ηnen je další vektor,
kde e1, . . . , en jsme zvolili jako sjednocení bázových vektorů z vyjádření
pro x a y vhodným doplněním nulových koeficientů ξk a ηj. Pak
x +y = (ξ1e1 +· · ·+ξnen)+(η1e1 +· · ·+ηnen) = (ξ1 +η1)e1 +· · ·+
(ξn + ηn)en ⇒ T(x + y) = (ξ1 + η1)f(e1) + · · · + (ξn + ηn)f(en) =
(ξ1f(e1) + · · · + ξnf(en)) + (η1f(e1) + · · · + ηnf(en)) = Tx + Ty.
• Nechť navíc f (a tedy i T) je prosté zobrazení do nějaké báze E2,
resp. bijekce na E2. Pak f(E1) je s uvážením 3.17(1) lineárně nezávislá
podmnožina v E2 téže mohutnosti generující R(T): to plyne
z 3.12(2), neboť dle konstrukce T prvky z R(T) jsou právě všechny lineární
kombinace prvků z f(E1). Obraz f(E1) je tedy dle 3.19(3) báze
v R(T) a podle 3.30(4) je pak T izomorfizmus V1 na R(T), a tudíž
197
je báze ve V2, takže R(T) = V2 a T je tedy izomorfizmus.
D.32. DŮKAZ věty 3.55:
Pro libovolné x, y ∈ V dostáváme:
x = (x − y) + y
N1
⇒ x ≤ x − y + y ⇒ x − y ≤ x − y .
Analogicky záměnou role x a y:
−( x − y ) = y − x ≤ y − x = (−1)(x − y)
N2
= x − y .
Protože absolutní hodnota rozdílu se od něj liší pouze znaménkem,
dostáváme z obou podtržených nerovností:
| x − y | ≤ x − y . Dosazením −y místo y, pak ±y
N2
= y a
platí tedy i obdobná nerovnost pro normu součtu:
| x − y | = | x − −y | ≤ x − (−y) = x + y . Dokázali jsme
tak levou z obou nerovností.
Pravá nerovnost je vlastně přímo trojúhelníková nerovnost (N1):
x ± y ≤ x + ±y
N2
= x + y .
D.33. DŮKAZ věty 3.59:
(S5) x, y + z
S3
= y + z, x
S1
= y, x + z, x = y, x + z, x
S3
=
x, y + x, z .
(S6) x, αy
S3
= αy, x
S2
= α y, x = α y, x
S3
= α x, y .
(S7) 0, x
L5
= 0 · x, x
S2
= 0 · x, x = 0; x, 0
S3
= 0, x = 0 = 0.
D.34. Důkaz věty 3.61:
Ve speciálním případě F = R existuje jednodušší důkaz, který lze
nalézt v [KaSk:V11.5 s.105]. Zde uvedeme obecný důkaz platný i
pro F = C.
Pro x, y ∈ V ; α,β ∈ F libovolné užitím (S1) až (S6) dostáváme
následující úpravu jakožto speciální případ vztahu (3.1):
0
S4
≤ αx+βy, αx+βy = αα x, x +αβ x, y +βα y, x +ββ y, y .
Hlavní myšlenka důkazu spočívá ve vhodné volbě α, β tak, aby nerovnost
přešla na tvar kvadratické nerovnosti At2
+ 2Bt + C ≥ 0, kde
198
t, A, B, C ∈ R. Položíme α := t ∈ R a β := x,y
| x,y | pro x, y = 0.
Pak zřejmě platí ββ = |β|2
= 1 a v případě x, y = 0 máme:
β x, y =
x, y x, y
| x, y |
=
| x, y |2
| x, y |
= | x, y | =
= | x, y | = β x, y = β x, y
S3
= β y, x .
Poznamenejme, že rovnost zarámovaných výrazů je zřejmě triviálně
splněna i pro druhý případ x, y = 0. Jelikož α = t je reálné číslo,
tak α = α = t a po dosazení do výše uvedené nerovnosti tato přejde
do požadovaného tvaru:
x, x
ßÞ
=:A
t2
+ 2 | x, y |
ßÞ
=:B
t + y, y
ßÞ
=:C
≥ 0.
Tato kvadratická nerovnost platí pro libovolné t ∈ R, takže příslušná
kvadratická rovnice může mít nejvýše jeden reálný kořen, což nastane
právě tehdy, když její diskriminant není kladný, tj. právě když
| x, y |2
− x, x y, y ≤ 0, tj. právě když | x, y |2
≤ x, x y, y , což
již po odmocnění dává dokazovanou nerovnost (S8).
Zbývá už jen ověřit, kdy nastane rovnost. Pokud x, y jsou lineárně
závislé, například y = ax, pak | x, y | = | x, ax | = |a x, x | =
|a| x 2
= |a| x x = x ax = x y a rovnost platí.
Nechť naopak platí rovnost. Pak mohou nastat dvě situace:
a) x = 0 nebo y = 0, kdy x = 0 · y nebo y = 0 · x a x, y jsou tedy
lineárně závislé (viz též 3.17(2));
b) x = 0 a y = 0. Nastane-li rovnost v (S8), pak při popsané volbě
α, β to znamená, že platí rovnost i ve výchozí nerovnosti, tj.
0 = αx + βy, αx + βy
S4
⇒ αx + βy = 0 při α = t a |β|2
= 1,
tj. zejména β = 0 a x, y jsou tedy lineárně závislé.
199
Pro x := x, x ověříme platnost axiomů (N1)–(N3).
(N1) x +y 2 S9
= x+y, x+y
(3.1)
= x, x + x, y + y, x + y, y
S3
=
x, x + x, y + x, y + y, y = x, x + 2Re x, y + y, y ≤
x, x +2| x, y |+ y, y
S8,S9
≤ x 2
+2 x y + y 2
= ( x + y )2
⇒ x + y ≤ x + y .
(N2) αx =
Ô
αx, αx
S2,S6
=
Ô
αα x, x
S9
=
Ô
|α|2 x 2 = |α| x .
(N3) x = 0 ⇔
Ô
x, x = 0 ⇔ x, x = 0
S4
⇔ x = 0.
D.36. Důkaz věty 3.63:
⇒ Je-li V VS-prostor, pak podobně jako při ověřování axiomu (N1)
v předchozím důkazu dostáváme: x + y 2
+ x − y 2
=
( x 2
+ x, y + y, x + y 2
) + ( x 2
− x, y − y, x + −y 2
) =
2( x 2
+ y 2
).
⇐ Platí-li v NL-prostoru (S10), zavedeme v něm skalární součin
následovně pomocí tzv. polarizační identity:
x, y :=
1
4 { x + y 2
− x − y 2
} pro F = R
1
4
{ x + y 2
− x − y 2
+
+i( x + iy 2
− x − iy 2
)} pro F = C.
Ověření axiomů (S3) a (S4) je snadné zatímco (S1) a (S2) vyžadují
poněkud větší úsilí.
D.37. DŮKAZ věty 3.66:
(a) αie1, αjej = αiαj ei, ej = 0 pro libovolné i, j ∈ {1, . . . , n},
i = j, neboť ei, ej = 0 v důsledku ortogonality ei ⊥ ej .
(b) ei = 0 ∀ i = 1, . . . , n
N3
⇒ ei = 0 ∀ i = 1, . . . , n a { 1
ei
ei}
je ortogonální dle (a), přičemž 1
ei
ei
N2
= 1
ei
ei = 1, takže je
celkem ortonormální.
200
x ⊥ y ⇒ x, y = y, x = 0 ⇒ x + y 2
= x + y, x + y =
x, x + x, y + y, x + y, y = x, x + y, y = x 2
+ y 2
.
D.39. DŮKAZ věty 3.68:
Nechť {e1, . . . , en} ⊆ E je libovolná konečná podmnožina. Jelikož E
je ortogonální s nenulovými prvky, tak ei, ej = 0 ∀ i, j ∈ {1, . . . , n},
i = j a ej , ej = 0 dle (S4). Pak
Èn
i=1 αiei = 0 ⇒ pro libovolné j ∈ {1, . . . , n} dostáváme 0
S7
= 0, ej =Èn
i=1 αiei, ej =
Èn
i=1 αi ei, ej = αj ej , ej ⇒ αj = 0 pro každé
j = 1, . . . , n, neboť ej, ej = 0. Tedy e1, . . . , en jsou lineárně nezávislé
a E rovněž dle definice 3.16, neboť výběr konečné podmnožiny
byl libovolný.
D.40. DŮKAZ důsledku 3.69:
E báze ve V ⇒ pro každé x ∈ V existují ξi ∈ F, ei ∈ E, i =
1, . . . , n taková, že x =
Èn
i=1 ξiei ⇒ x, ej =
Èn
i=1 ξiei, ej =
Èn
i=1 ξi ei, ej = ξj ej, ej = ξj ej
2
= ξj pro každé j = 1, . . . , n
vzhledem k ortonormalitě E. Toto vyjádření je přitom jediné možné
dle 3.17(4).
D.41. DŮKAZ důsledku 3.70:
Dle 3.69 můžeme po případném doplnění nulových koeficientů zapsat
x i y jako lineární kombinaci týchž vektorů:
x =
Èn
i=1 ξiei a y =
Èn
j=1 ηjej , kde ei ∈ E pro i = 1, . . . , n. Pak
x, y =
Èn
i=1 ξiei,
Èn
j=1 ηjej
(3.1)
=
Èn
i,j=1 ξiηj ei, ej =
Èn
i=1 ξiηi.
x = y ⇒ x =
Ô
x, x =
ÕÈn
i=1 ξiξi =
ÔÈn
i=1|ξi|2. Vztahy pro
souřadnice ξi = x, ei a ηj = y, ej dostáváme z 3.69.
D.42. Důkaz věty 3.71:
a) M⊥
je podprostor: dle 3.7 stačí ukázat uzavřenost M⊥
vzhledem
k sečítání a násobení skaláry: x1, x2 ∈ M⊥
⇒ x1, y = 0, x2, y = 0
pro každé y ∈ M ⇒ x1 + x2, y
S2
= x1, y + x2, y = 0 + 0 = 0 pro
každé y ∈ M ⇒ x1 + x2 ∈ M⊥
.
201
α · 0 = 0 pro každé y ∈ M a α ∈ F ⇒ αx ∈ M⊥
.
b) L(M)⊥
⊆ M⊥
: x ∈ L(M)⊥
⇒ x ⊥ y pro každé y ∈ L(M) ⇒
x ⊥ y pro každé y ∈ M ⊆ L(M) ⇒ x ∈ M⊥
.
c) M⊥
⊆ L(M)⊥
: x ∈ M⊥
⇒ x ⊥ M. Buď y ∈ L(M) libovolný, pak
existují ηi ∈ F a yi ∈ M, i = 1, . . . , n: y =
Èn
i=1 ηiyi a x, y =
x,
Èn
i=1 ηiyi
(3.1)
=
Èn
i=1 ηi x, yi
ßÞ
=0
= 0. Tedy x ∈ L(M)⊥
.
d) M ⊆ N ⇒ N⊥
⊆ M⊥
: zřejmé neboť každý prvek kolmý na N musí
být též kolmý na M, když platí M ⊆ N.
D.43. DŮKAZ věty 3.73:
Pro každé i ∈ I platí: Wi ⊥ Wj pro i = j ⇒ Wi ⊥
Ë
j=i Wj
3.71,3.72
⇒
Wi ⊥ L(
Ë
j=i Wj ). Pokud x ∈ Wi ∩ L(
Ë
j=i Wj), pak x ⊥ x ⇒
0 = x, x
S4
⇒ x = 0. Tedy Wi ∩ L(
Ë
j=i Wj) = {0} pro každé i ∈ I a
tudíž součet W =
È
i∈I Wi je přímý podle definice 3.43.
D.44. DŮKAZ věty 3.74:
Nechť W′
je nějaký přímý doplněk ortogonální k W, pak samozřejmě
W′
⊆ W⊥
. Zbývá ukázat i opačnou inkluzi. Nechť tedy naopak
x ∈ W⊥
je libovolný prvek, pak x = w + w′
, kde w ∈ W a w′
∈ W′
,
přičemž 0 = x, w = w + w′
, w
S1
= w, w + w′
, w
ßÞ
=0
= w, w
S4
⇒
w = 0 ⇒ x = w′
∈ W′
. Platí tedy také W⊥
⊆ W′
a tedy celkem
W⊥
= W′
.
D.45. DŮKAZ důsledku 3.75:
Plyne ze symetrie V = W ⊕ W⊥
= W⊥
⊕ W ve větě 3.74: záměnou
role W a W⊥
dostáváme W⊥⊥
= W a PW ⊥ x = x⊥
= x − x⊥
=
Ix−PW x = (I −PW )x, takže I −PW = PW ⊥ je skutečně operátorem
ortogonální projekce.
D.46. DŮKAZ věty 3.76:
(1) ⇒ x ∈ W ⇒ PW1x = x, neboť x = x + 0, kde 0 je kolmý na
202
přímo z 3.52 a 3.53, protože PW je dle 3.74 projekční operátor).
⇐ PW1x = x ⇒ x ∈ W1, neboť PW1x ∈ W1.
(2) x ∈ W⊥
1
3.75&(1)
⇔ (I−PW1 )x = x ⇔ x−PW1 x = x ⇔ PW1x = 0.
(3) Pro každé x ∈ V platí x = PW1 x+x⊥
, x⊥
∈ W⊥
1 a tedy PW2 x =
PW2 (PW1x) + PW2 x⊥
.
Odtud: PW2x = PW2 (PW1x) ∀ x ∈ V ⇔ PW2x⊥
= 0 ∀ x ∈ V
∗
⇔
PW2 y = 0 ∀ y ∈ W⊥
1
(2)
⇔ y ∈ W⊥
2 ∀ y ∈ W⊥
1 ⇔ W⊥
1 ⊆ W⊥
2
3.71
⇔
W2 ⊆ W1 s uvážením identit W1 = W⊥⊥
1 , W2 = W⊥⊥
2 plynoucích
z 3.75.
Zdůvodněme ještě podrobněji implikaci
∗
⇒ (opačná implikace
∗
⇐ je
zřejmá, neboť x⊥
∈ W⊥
1 ): Libovolné y ∈ W⊥
1 lze uvážit v roli x, neboť
W⊥
1 ⊆ V . Jelikož PW1y
(2)
= 0, tak y = y⊥
a PW2y = PW2y⊥
= 0.
D.47. DŮKAZ věty 3.77:
a) Vlastnost nejlepší aproximace: Buď x ∈ V libovolně, ale pevně
zvolený. Pak pro každé y ∈ W dostáváme: x − y = x − x
ßÞ
=x⊥
+ x − y
ßÞ
∈W
S11
⇒ x − y 2
= x − x 2
+ x − y 2
ßÞ
≥0
≥ x − x 2
. Tedy x − x je
nejmenší prvek uspořádané množiny { x − y | y ∈ W} a tudíž její
infimum dle 2.25.
b) x je jediný: Nechť x ∈ W je prvek s vlastností x−x = x−x =
infy∈W x − y . Položíme-li y = x v důkazu a), pak x − x 2
=
x − x 2
+ x − x 2
⇒ 0 = x − x 2 N3
⇒ x = x.
c) Souřadnice prvku x: Je-li W = L(E), kde E je ONB ve W, pak
βi = x, ei = x − x⊥
, ei = x, ei − x⊥
, ei
ßÞ
=0
= x, ei je dle 3.69
jediné souřadnicové vyjádření.
203
Indukcí vzhledem k n:
n = 1: e1 = v1
3.17(2)
= 0 je báze ve W = W1 = L(e1), která je triviálně
ortogonální, neboť je jednoprvková.
Indukční krok pro n > 1: Podle indukčního předpokladu (I.P.) nechť
tvrzení platí pro n − 1. Zřejmě v1, . . . , vn−1 je lineárně nezávislá (viz
3.17(1)) a tedy dle 3.19(3) tvoří bázi ve Wn−1 := L({v1, . . . , vn−1}).
Dle I.P. je Wn−1 = L({e1, . . . , en−1}), kde e1, . . . , en−1 je ortogonální
báze, tj. zejména ej ⊥ ek pro j = k a ej = 0; j,k ∈ {1, . . . , n − 1}.
Ukážeme, že totéž platí i po doplnění této báze o prvek en:
• ortogonalita: en = vn −PWn−1 vn
3.74
∈ W⊥
n−1 ⇒ en ⊥ {e1, . . . , en−1}
a tedy celkem máme ej ⊥ ek pro každé j, k ∈ {1, . . . , n}, j = k.
• en = 0 sporem: Kdyby en = 0, pak vn = PWn−1 vn ∈ Wn−1 =
L(v1, . . . , vn−1)
3.18
⇒ v1, . . . , vn jsou lineárně závislé, takže dle 3.19(3)
nemohou tvořit bázi, spor s předpokladem věty.
• L({e1, . . . , en})
?
= Wn: Inkluze ⊆ je zřejmá, neboť e1, . . . , en ∈ Wn.
v1, . . . , vn−1 ∈ Wn−1 = L({e1, . . . , en−1}) ⊆ L({e1, . . . , en})
vn = en +
Èn−1
j=1
vn,ej
ej
2 ej ∈ L({e1, . . . , en})
3.14(2)
⇒
Wn = L({v1, . . . , vn}) ⊆ L({e1, . . . , en}).
Celkem tedy e1, . . . , en je ortogonální báze ve W podle 3.68.
Výpočet projekce v k-tém kroku:
PWk−1 vk
3.77
=
Èk−1
j=1 vk,
ej
ej
ej
ej
S6
=
Èk−1
j=1
1
ej
vk, ej
ej
ej
, neboť
{
ej
ej
}k
j=1 je dle 3.66(b) ortonormální báze vzniklá normalizací ortogonální
báze {ej}k
j=1.
D.49. DŮKAZ věty 3.79:
Tvrzení o existenci OB, resp. ONB plyne z toho, že dle 3.24(2) má
každý vektorový prostor bázi, kterou lze dle 3.78 ortogonalizovat a
případně dle 3.66(b) i normalizovat.
204
nulovými prvky je dle 3.68 lineárně nezávislá, takže ji lze dle 3.24(1)
doplnit na bázi a tu pak ortogonalizovat užitím 3.78, kde zřejmě dostaneme
ej = vj, pokud vj jsou pro j = 1, . . . , k již ortogonální.
Totiž suma ve vztahu pro vk se vynuluje v důsledku vk ⊥ Wk−1, kdy
vk, ej = 0 pro j = 1, . . . , k − 1.
D.50. DŮKAZ věty 3.80:
Nechť dim W =: n < ∞. Vzhledem k 3.73 stačí ukázat V = W +W⊥
.
K tomu stačí ověřit V ⊆ W + W⊥
, neboť opačná inkluze platí vždy.
Podle 3.79 existuje ve W nějaká ONB, označme ji E =: {e1, . . . , en}.
Zvolme x ∈ V libovolně a položme w :=
Èn
i=1 x, ei ei ∈ W. Potom
x−w ⊥ E, neboť x−
Èn
i=1 x, ei ei, ej
S1
= x, ej −
Èn
i=1 x, ei ei, ej
= x, ej − x, ej = 0 pro každé j vzhledem k ortonormalitě E, kdy
eiej = 0 pro i = j a ejej = ej
2
= 1. Podle 3.72 je x − w ⊥ W
a x = wßÞ
∈W
+ x − w
ßÞ
∈W ⊥
3.45(2)
⇒ x ∈ W + W⊥
.
D.51. Důkaz věty 3.82:
a) Jednoznačnost: Nechť T∗
a T′
jsou dvě zobrazení s vlastností:
Tx, y = x, T∗
y = x, T′
y ∀ x ∈ V1 a ∀ y ∈ V2
S5
⇒
0 = x, T∗
y−T′
y ∀ x ∈ V1 a ∀ y ∈ V2 ⇒ speciálně pro x = T∗
y−T′
y
dostáváme 0 = T∗
y − T′
y, T∗
y − T′
y ∀ y ∈ V2
S4
⇒ T∗
y − T′
y = 0
∀ y ∈ V2 ⇒ T∗
y = T′
y ∀ y ∈ V2 ⇒ T∗
= T′
.
b) Linearita T∗
: Pro libovolná x ∈ V1, y, y1, y2 ∈ V2 a α ∈ F je třeba
ověřit vlastnosti (1) a (2) z věty 3.27:
(1) x, T∗
(y1+y2) = Tx, y1+y2
S5
= Tx, y1 + Tx, y2 = x, T∗
y1 +
x, T∗
y2
S5
= x, T∗
y1 + T∗
y2
a)
⇒ T∗
(y1 + y2) = T∗
y1 + T∗
y2.
(2) x, T∗
(αy) = Tx, αy
S6
= α Tx, y = α x, T∗
y
S6
= x, αT∗
y
a)
⇒ T∗
(αy) = αT∗
y.
D.52. DŮKAZ věty 3.85:
Pro libovolně zvolené prvky x ∈ V1, y ∈ V2, z ∈ V3 ověříme (1)–(4).
205
vané větou 3.82:
(1) T∗
y, x
S3
= x, T∗y = Tx, y
S3
= y, Tx
3.82
⇒ T = T∗∗
.
(2) (UT)x, z = U(Tx), z = Tx, U∗
z = x, T∗
(U∗
z) = x, (T∗
U∗
)z)
3.82
⇒ (UT)∗
= T∗
U∗
.
(3) Ix, y = x, y = x, Iy
3.82
⇒ I∗
= I.
(4) (T∗
T)∗ (2)
= T∗
T∗∗ (1)
= T∗
T a podobně (TT∗
)∗ (2)
= T∗∗
T∗ (1)
= TT∗
⇒ TT∗
i T∗
T jsou samoadjungované operátory.
Dále s uvážením 3.84 platí:
T∗
Tx, x = Tx, T∗∗
x
(1)
= Tx, Tx
S4
≥ 0 ⇒ T∗
T je pozitivní.
TT∗
y, y = T∗
y, T∗
y
S4
≥ 0 ⇒ TT∗
je pozitivní.
D.53. Důkaz věty 3.86:
(1) ⇒ (2) P = PW
3.74
⇒ ∀ x ∈ V : x = PW x + x⊥
, kde x⊥
∈ W⊥
⇒ x − PW x ⊥ W.
(2) ⇒ (1) W + W⊥
⊆ V platí triviálně. Naopak V ⊆ W + W⊥
rovněž platí, neboť pro každé x ∈ V je x = PxßÞ
∈W
+ x − Px
ßÞ
∈W ⊥
. Tedy
celkem V = W + W⊥
= W ⊕ W⊥
, přičemž z jednoznačnosti tohoto
rozkladu (ortogonální součet je totiž přímým součtem dle 3.73) dostáváme
PW x = Px ∀ x ∈ V ⇒ P = PW je operátorem ortogonální
projekce na W.
(1) ⇒ (3) Je-li P operátorem ortogonální projekce (tj. P = PW ),
pak je dle 3.74 speciálním případem projekčního operátoru a tudíž
lineární a splňuje P2
= P (viz 3.52, 3.53). Vlastnost P2
= P můžeme
ověřit i přímo: u := Px ∈ W; Pu ∈ W ⇒ u − Pu ∈ W ∩ W⊥
= {0}
⇒ Px = u = Pu = P(Px) = P2
x ∀ x ∈ V .
Zbývá ověřit samoadjungovanost P = P∗
. Zvolme x, y ∈ V libovolně.
206
ßÞ
=0
ßÞ
=0
x + x⊥
, y = x, Py .
(3) ⇒ (2) Položme M := {x ∈ V | Px = x}. Zřejmě M ⊆ W.
Platí i opačná inkluze. Totiž pro každé x ∈ V je Px ∈ M, neboť
Px = P2
x = P(Px) ⇒ W = R(P) ⊆ M. Celkem tedy M = W.
Pak pro každé u ∈ M = W a x ∈ V dostáváme: x − Px, u
S1,S2
=
x, u − Px, u = x, u − x, P∗
u = x, u − x, Pu =
x, u − x, u = 0. Tedy x − Px ⊥ W pro každé x ∈ V .
D.54. DŮKAZ věty 3.87:
3.86(3) ⇒ P = P P = P∗
P
3.85(4)
⇒ P je pozitivní.
D.55. Důkaz věty 3.88:
(1) x ∈ N(T) ⇔ Tx = 0
∗
⇔ Tx, y = 0 ∀ y ∈ V2 ⇔ x, T∗
y = 0
∀ y ∈ V2 ⇔ x ∈ R(T∗
)⊥
.
Zdůvodněme ještě podrobněji implikaci
∗
⇐ (opačná implikace
∗
⇒ je
důsledkem S7): položíme-li y = Tx, pak Tx, Tx = 0
S4
⇒ Tx = 0.
Záměnou role T a T∗
dostáváme N(T∗
) = R(T∗∗
)⊥ 3.85(1)
= R(T)⊥
.
(2) je speciálním případem (1) při T = T∗
.
(3) • N(T)
?
⊆ N(T∗
T): x ∈ N(T) ⇒ Tx = 0 ⇒ T∗
Tx = T∗
0 = 0
⇒ x ∈ N(T∗
T).
• N(T)
?
⊇ N(T∗
T): x ∈ N(T∗
T) ⇒ T∗
Tx = 0
S7
⇒ 0 = x, T∗
Tx
3.82
=
Tx, Tx
S4
⇒ Tx = 0 ⇒ x ∈ N(T).
• N(T∗
)
?
= N(TT∗
) plyne z již dokázaného záměnou role T a T∗
:
N(TT∗
)
3.85(1)
= N(T∗∗
T∗
) = N(T∗
).
(4) T surjektivní ⇒ R(T) = V2 ⇒ N(T∗
)
(1)
= R(T)⊥
= V ⊥
2 = {0},
neboť jediný prvek ve V2 kolmý na V2 a tedy i kolmý sám na sebe je
dle 3.65 právě jen nulový prvek. Pro T∗
se analogické tvrzení dokáže
opět záměnou role T a T∗
.
207
(i) V2
3.80
= R(T) ⊕ R(T)⊥ (1)
= R(T) ⊕ N(T∗
).
(ii) V2
(i)
= N(T∗
) ⊕ R(T)
3.74
⇒ R(T) = N(T∗
)⊥
.
(iii) a) R(TT∗
)
?
= R(T): Inkluze R(TT∗
) ⊆ R(T) je zřejmá, neboť
každý prvek y ∈ R(TT∗
) je tvaru y = TT∗
y′
, kde
T∗
y′
∈ V1 a tedy y ∈ R(T). Pak dim R(TT∗
) ≤ dim R(T)
dle 3.24(3) a (ii) lze tak aplikovat i na operátor TT∗
: V2 → V2:
R(TT∗
)
(ii)
= N((TT∗
)∗
)⊥ 3.85(4)
= N(TT∗
)⊥ (3)
= N(T∗
)⊥ (ii)
=
R(T).
b) R(T∗
T)
?
= R(T∗
): Inkluze R(T∗
T) ⊆ R(T∗
) platí analogicky
jako v případě a). K důkazu opačné inkluze je však
třeba užít jiný postup, neboť není garantována konečnost dimenze
prostoru R(T∗
): Libovolný prvek x ∈ R(T∗
) je tvaru
x = T∗
y, kde V2 ∋ y
(i)
= y + y⊥
, y ∈ R(T), y⊥
∈ N(T∗
).
Pak ovšem x = T∗
(y + y⊥
) = T∗
y + T∗
y⊥
ßÞ
=0
= T∗
y ∈ R(T)
a tedy existuje x′
∈ V1: y = Tx′
a tudíž x = T∗
Tx′
, takže
x ∈ R(T∗
T).
(iv) R(T∗
T)
(iii)
= R(T∗
) ⇒ T∗
|R(T ) je surjekce na R(T∗
) a tedy
R(T∗
|R(T )) = R(T∗
).
N(T∗
|R(T )) = {y ∈ R(T) | T∗
y = 0} = R(T) ∩ N(T∗
)
(ii)
=
N(T∗
)⊥
∩ N(T∗
) = {0}, neboť dle 3.65 jedině nulový vektor
může být kolmý sám na sebe. Celkem T∗
|R(T ) je tedy
podle 3.30(2) izomorfizmem. Podle 3.33 platí dim R(T) =
dim R(T∗
) =: n < ∞.
Při důkazu (iv) jsme ukázali, že také dim R(T∗
) < ∞. Vzhledem
k rovnosti T∗∗ 3.85(1)
= T můžeme všude v (5) provést záměny T ❀ T∗
,
T∗
❀ T, V1 ❀ V2 a V2 ❀ V1, což dá duální tvrzení dosud nedokázaná
v (i),(ii) a (iv): V2 = R(T) ⊕ N(T∗
) ❀ V1 = R(T∗
) ⊕ N(T),
N(T∗
)⊥
= R(T) ❀ N(T)⊥
= R(T∗
) a
208
Z týchž důvodů je možno (5) analogicky dokazovat s výchozím předpokladem
dim R(T∗
) < ∞ namísto zde užitého dim R(T) < ∞.
(v) je důsledkem (i) a vět 3.73 a 3.49.
(vi) T izomorfizmus
3.30(2)
⇒ N(T) = {0}
(i)
⇒ V1 = R(T∗
) ⇒ T∗
je
surjektivní. Protože T je také surjektivní, tak podle (4) je T∗
současně izomorfním vnořením. Celkem tedy T∗
je izomorfi-
zmus.
Buďte x ∈ V1 a y ∈ V2 libovolně zvolené prvky. Jelikož T∗
je izomorfizmus a tudíž surjekce, tak x = T∗
y′
pro vhodné
y′
∈ V2. Pak T−1
y, x = T−1
y, T∗
y′
= TT−1
y, y′
=
y, y′
= y, (T∗
)−1
x a tedy (T−1
)
∗
= (T∗
)−1
vzhledem
k jednoznačnosti dle 3.82.
D.56. Důkaz věty 3.90:
(1) ⇒ (3) T unitární ⇒ pro nějakou ONB E ve V1 je T(E) rovněž
ONB ve V2 téže mohutnosti, zejména tedy je zobrazení T : E1 → E2
bijekcí. Zvolme x, y ∈ V1 libovolně. Pak podle 3.69 existuje konečně
mnoho e1, . . . , en ∈ E, ei = ej pro i = j tak, že x =
Èn
i=1 ξiei
a y =
Èn
j=1 ηj ej. Pak Tx =
Èn
i=1 ξiTei a Ty =
Èn
j=1 ηjTej, kde
Tei = Tej pro i = j. Oba vektory i jejich obrazy mají tedy stejné
souřadnice v ONB E i v ONB T(E), takže dle 3.70 platí:
Tx, Ty =
Èn
i=1
Èn
j=1 ξηj = x, y .
T je také surjektivní, neboť je dle 3.89 izomorfizmem.
(3) ⇒ (2)
• T je izomorfizmus: x ∈ N(T) ⇒ Tx = 0 ⇒ 0
S4
= Tx, Tx
(3)
= x, x
S4
⇒ x = 0, takže N(T) = {0}. Současně také platí R(T) = V2, neboť
T je surjekce. Celkem je tedy T izomorfizmus podle 3.30(2).
• T zachovává ortonormální báze: Je-li E libovolná ONB ve V1, pak
T(E) je podle 3.30(4) bází ve V2 téže mohutnosti. Zbývá ověřit její
ortonormalitu:
209
Te
S9
=
Ô
Te, Te
(3)
=
Ô
e, e
S9
= e = 1.
b) Pro libovolné dva prvky Te1, Te2 ∈ T(E), Te1 = Te2 jistě platí
také e1 = e2, e1 ⊥ e2, takže Te1, Te2
(3)
= e1, e2 = 0 ⇒ Te1 ⊥ Te2.
(2) ⇒ (1) Podle předpokladu věty existuje ve V1 alespoň jedna ONB,
která se při platnosti (2) zobrazí na ONB ve V2 téže mohutnosti, takže
T je podle definice 3.89 unitární.
(3) ⇒ (4) Tx
S9
=
Ô
Tx, Tx
(3)
=
Ô
x, x
S9
= x ∀ x ∈ V1, kde T
je surjektivní.
(4) ⇒ (3) Pro libovolné x, y ∈ V1 lze výpočtem opírajícím se o (S9)
a bilinearitu 3.1 skalárního součinu ověřit (cvičení) platnost tzv. polarizační
identity (viz též důkaz rovnoběžníkového zákona D.36) 27
:
x, y =
1
4
{ x + y 2
− x − y 2
+ i( x + iy 2
− x − iy 2
)} ve V1
a
Tx, Ty =
1
4
{ Tx + Ty 2
− Tx − Ty 2
+
+ i( Tx + iTy 2
− Tx − iTy 2
)} ve V2,
kde Tx ± Ty = T(x ± y)
(4)
= x ± y a podobně Tx ± iTy =
T(x ± iy)
(4)
= x ± iy implikuje Tx, Ty = x, y .
(3) ⇒ (5) Již byla ukázána ekvivalence (3) ⇔ (1), takže T je
unitární a zejména izomorfizmus dle 3.89. Proto T−1
existuje a pro
každé x ∈ V1 a y ∈ V2 můžeme psát:
x, T−1
y
(3)
= Tx, TT−1
y = Tx, y
3.82
⇒ T∗
= T−1
.
(5) ⇒ (6) T∗
= T−1
⇒ T∗
T = T−1
T = I a TT∗
= TT−1
= I.
27člen v kulaté závorce se dá upravit na tvar 2i( y, x − x, y ), takže v případě
F = R se vynuluje v důsledku symetrie (S3’).
210
platí Tx, Ty
3.82
= x, T∗
Ty = x, Iy = x, y .
Pokud T je unitární, tak T−1
rovněž: totiž pro každé x, y ∈ V2 je
T−1
x, T−1
y
(3)
= TT−1
x, TT−1
y = x, y , přičemž samozřejmě
T−1
je izomorfizmus a tedy zejména surjektivní. Pro T−1
tak platí
(3) a je proto unitární.
D.57. Důkaz důsledku 3.92:
dim V < ∞
3.79
⇒ ve V existuje ONB. Pak [·]E : V → Fn
je izomorfizmus
dle 3.32 (tedy i surjekce), který je dokonce unitární na základě
3.90(3), neboť pro ONB E =: {e1, . . . , en} a každé x, y ∈ V dostáváme:
x, y
3.70
=
Èn
i=1 ξiηi
3.64
= ξ, η
3.69
= [x]E, [y]E , kde ξi = x, ei
a ηi = y, ei .
D.58. Důkaz důsledku 3.93:
Protože v konečně rozměrných prostorech lze dle 3.79 vždy vybrat
ortonormální báze, tak izomorfizmy, resp. izomorfní vnoření z důkazu
D.30 důsledku 3.33 budou podle 3.92 unitární, jestliže navíc uvážíme
triviální fakt, že skládáním unitárních izomorfizmů, resp. izomorfních
vnoření dostáváme opět unitární izomorfizmus, resp. izomorfní vnoření.
Totiž složení dvou lineárních zobrazení majících např. vlastnost
3.90(2), resp. 3.91(2’) bude jistě zase lineární zobrazení s touž vlast-
ností.
211